Geometrická posloupnost a její užití, pravidelný růst a pokles, nekonečná geometrická řada. 1 n. r s. [ a)22 ; b)31,5 ; c)-50 ; d)0 ; e)

Transkript

1 9 Geometrická posloupost její užití, prvidelý růst pokles, ekoečá geometrická řd Geometrická posloupost Je dá posloupost { }. Tuto posloupost zveme geometrická, jestliže pro kždé dv po sobě ásledující čley pltí: + q kde q je reálé číslo, q 0, 0 eboli pltí: +. q Příkld geometrické poslouposti: {,, 8, 6,, 6, 8,...} kždý čle je dvojásobkem čleu předchozího, q Určeí - tého čleu geometrické poslouposti:. q Dále pltí teto vzth:. q r s r s Vzorec pro součet - čleů geometrické poslouposti: ) q s q. q ) q s. V geometrické poslouposti je, Určete q. 7. q 6 96 odtud q 8. q odtud q Cvičeí:. Určete součet prvích čleů geometrické poslouposti, je-li dáo: ), q -, 5 b) 6, q 0,5, 6 c) -5, q, 0 d) -5, q -, 0 e) 0,75, q /, 8 f), q, 6 [ ) ; b),5 ; c)-50 ; d)0 ; e) 9 ( ) 6 ; f) 7. ( + ) ]. Určete - tý čle geometrické poslouposti, jestliže pltí, q, s 86. [ 7. 6 ]

2 . Zjistěte, která z čísel jsou čley geometrické poslouposti, v íž je 7, q -.. Dokžte, že čísl 5 ; ; 5 + jsou tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. 5. Njděte součet prvích deseti čleů geometrické poslouposti, v íž je - ;. [68 ] ) Úlohy složeé úrokováí: Užití geometrické poslouposti Do peěžího ústvu vložíme částku 0. Vkld se kždoročě úročí p procety. Kolik budeme mít spořeo po letech? vkld... 0 p z rok p p z roky po letech... Máme určit -tý čle geometrické poslouposti s prvím čleem 0 q Jkou částku získáme z 0 let, uložíme-li vkldový list ,- Kč při ročích úrocích 8 %? ,99 00 Získáme částku 5 89,99 Kč. ) Odpisy strojů zřízeí: 0 Příkld : Ce ového stroje čiil 0 Kč. Kždoročě se ce tohoto stroje sižovl o p procet. Kolik čiil ce stroje po letech? ce počátku... 0 p ce z jede rok p p ce z dv roky

3 ce z let... Máme určit -tý čle geometrické poslouposti s prvím čleem 0 q Do podiku byl zkoupe stroj v hodotě ,- Kč. Z cey stroje se kždoročě odepisuje 5%. Jká bude hodot stroje z let? Ce počátku Ce po letech: , ,70 00 Ce stroje po letech bude čiit ,70 Kč. ) Úlohy o prvidelém střádáí: Do peěžího ústvu vkládáme počátku kždého roku částku 0. Vkld je kždoročě úroče p procety. Kolik budeme mít spořeo počátku. roku i s dlším vkldem? vkld počátku. roku... A 0 počátku.roku... A pro jedoduchost si + 00 ozčíme q počátku.roku...a ( 0.q + 0 ).q q + 0.q + 0 počátku.roku...a 0.q + 0.q + 0.q + 0 počátku.roku...a 0.q q + 0.q + 0 Jedá se o součet čleů geometrické poslouposti. Částk počátku.roku: A q 0. kde q + q 00 P Novák prvidelě počátku kždého roku ukládá vkldí kížku 5000, - Kč. Vkldí kížk se kždoročě úročí 6 procety. Kolik bude mít spořeo zčátku 5. roku ( i s ovým vkldem)? Vkld: 5000,- Kč 5 Částk poč. 5. roku: A , ,89, 06 N počátku 5. roku bude mít p Novák spořeo 6 79,89 Kč. Do peěžího ústvu vkládáme počátku kždého roku částku 0. Vkld je kždoročě úroče p procety. Kolik budeme mít spořeo koci - tého roku? vkld... A 0 0

4 po roce... A 0. + pro jedoduchost si + ozčíme q po letech... A ( 0.q + 0 ).q 0.q + 0.q po letech... A ( 0.q + 0.q + 0 ).q 0.q + 0.q + 0.q po letech...a 0.q + 0.q q + 0.qq.( 0.q q + 0.q) Jedá se o součet čleů geometrické poslouposti ásobeý ještě víc q. Částk po -letech: A q q 0.. kde q + q 00 P Horák prvidelě počátku kždého roku ukládá vkldí kížku 5000, - Kč. Vkldí kížk se kždoročě úročí 6 procety. Kolik bude mít spořeo koci. roku (i s ově připsými úroky)? Vkld: 5000,- Kč Částk koci. roku: A , 06.,. 79,895, 06 N koci. roku bude mít p Horák spořeo 79,89 Kč. Cvičeí:. Město má obyvtel. Jejich počet se kždoročě zvyšuje o,%. Určete počet obyvtel měst z 5 let. [ 09 0 ]. Ce ového stroje je ,- Kč, kždoročě se odepisuje 5% cey stroje z předchozího roku. Určete ceu stroje po deseti letech. [ ]. P Kovář si uložil vkldový list částku ,- Kč. Určete, kolik tto částk vzroste z 0 let, úročí-li se 5% ročě. [ 8 5 ]. P Kovář si uložil vkldový list částku ,- Kč. Určete, kolik tto částk vzroste z 0 let, úročí-li se 5% ročě koci kždého roku se z úroků strhává 5% dň. [ 75 8 ] 5. Určete, jkou částku musí pí Bílá uložit,by při 5% úroku měl spořeo z 5 let Kč.(z úroků epltí dň) [ 8 0 ] 6. Určete, při jké úrokové míře se obos vložeý do spořitely z dobu deseti let zdvojásobí. [ 8,5% ] 7. P Šetřílek si ukládá počátkem kždého roku 5000,- Kč. Určete, jkou částku bude mít koci 5. roku při úrocích %. [ ] 8. Stroj ztrácí opotřebováím kždoročě 0% své původí cey. Určete po kolik letech klese jeho ce poloviu. [6,5 ] 9. Možství dřev v lese kždoročě roste o %.. Určete, z jk dlouho se zdvojásobí. [ 5 let ] 0. Pí Nová ukládá počátkem kždého roku 0 000,- Kč. Určete, jkou částku bude mít z deset let při úrokové míře 5%, je-li dň z úroků 5%. [ 6 6 ]. Určitý druh bktérií se rozmožuje tk, že kždá bkterie se z půl hodiy rozdělí dvě. Kolik bkterií vzike z hodi? [ ]. Ve městě žije v součsé době obyvtel. Kolik obyvtel lze ve městě očekávt z 6 let, jestliže se předpokládá průměrý ročí přírůstek,7%? [ ]

5 Nekoečá geometrická řd Výrz tvru kde,,,,...,... jsou čley poslouposti { } se zývá ekoečá řd. Zkráceě můžeme pst řdu ve tvru: Tvoří-li víc čley,,,,...,... geometrickou posloupost, zýváme řdu ekoečá geometrická řd. Součet geometrické řdy: - vypočteme podle vzorce : s Aby eistovl součet geometrické řdy, musí být q <. Určete součet řdy q Jedá se o geometrickou řdu, kde, q. Protože je splě podmík q <, můžeme pro součet geometrické řdy použít vzorec s s Součet geometrické řdy je. q. Určete součet řdy Tto řd prví pohled evypdá jko geometrická. Při bližším zkoumáí zjistíme, že jsou zde dvě geometrické řdy promícháy do sebe. Můžeme ji rozložit dvě geometrické řdy: ; q ; q Určíme zvlášť součet kždé řdy: s s s s + s,5 Npište periodické číslo, ve tvru zlomku. Toto číslo má tvr,... Můžeme jej rozepst jko součet zlomků 0 Bez prvího zlomku se jedá o součet geometrické řdy, kde ; q Prví zlomek poecháme strou, sečteme geometrickou řdu. Výsledek sečteme s prvím zlomkem s Výsledý zlomek bude mít tvr

6 Kotrolu můžeme provést klkulčce vyděleím čísel 7:0,. Npište periodické číslo, 7 ve tvru zlomku. Toto číslo má tvr, Můžeme jej rozepst jko součet zlomků 0 Bez prvího zlomku se jedá o součet geometrické řdy, kde ; q Prví zlomek poecháme strou, sečteme geometrickou řdu. Výsledek sečteme s prvím zlomkem s Výsledý zlomek má tvr Nejprve sečteme řdu levé strě rovice. Levou stru ještě uprvíme tvr: ( ) ( ) ( ) Jedá se o geometrickou řdu, kde ; q. Aby měl řd součet musí být <, tedy < 0, odtud < 0. Součet řdy určíme podle vzorce: s Dále řešíme rovici. / ( ) ; Vypočteý koře - vyhovuje podmíce. Určete, pro která lze určit součet řdy určete ho: + ( + ) + ( + ) + ( + ) +... Jedá se o geometrickou řdu, q ( + ) musí být I + I < Nerovice se řeší metodou ulového bodu: splňuje podmíku: - < < 0 s Určete hodotu součiu 8 y... Protože se jedá o souči e součet, musíme ejprve celou rovost logritmovt - získáme součet logritmů: Cvičeí: ) Sečtěte tyto řdy: log y log + log + log + 8 log + log prvé strě je ekoečá geometrická řd : log, q Po doszeí do rovosti : log y log 9 y 9 ) b) s log log log

7 c) +... d) e) f) 5 g) [ ),5 ; b) ; c) ; d) 50 ; e) 0,5 ; f) 0,5 ; g) - ] ) Převeďte zlomky: ) 8, b) 0, 7 c), 0 d), [ ) ; b) ; c) ; d) ] ) Řešte rovice: ) b) ) Určete součet řdy: ) Určete součet řdy: 6 6) Určete součet řdy: 7) Převeďte zlomek: 8) Určete součet řdy: 9) Určete součet řdy: 0) Určete součet řdy: , ( 5 ) + ( 5 ) + ( 5 ) + ( 5 ) +... ) Určete, pro která eistuje součet řdy určete ho: + ( ) + ( ) + ( ) +... [ ) ; b) ; ] ; ) Určete hodotu výrzu: ) Řešte rovici: log + log + log + log +... [ 0] 8 ) Řešte rovici: [ 6; ] jede koře eí kořeem 5) Řešte rovici: [ ] 6 6) Řešte rovici: + si + si + si +... tg [ 5, 5 ] 7) Určete součet řdy: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ) Řešte rovici: ) Řešte rovici:... 0, [ ; ] 7