Jan Paseka. Masarykova Univerzita Brno. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57
|
|
|
- Vratislav Horák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57
2 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic nad obecným tělesem K a naučíme se je řešit. Využijeme při tom zápis soustavy pomocí jisté matice. Strukturní vlastnosti množiny všech řešení dané soustavy a jejich důsledky budeme studovat až později, poté, co se blíže seznámíme se strukturou vektorových prostorů. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.2/57
3 Obsah přednášky Obsah 3 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Maticový zápis soustavy lineárních rovnic 3.2 Redukovaný stupňovitý tvar matice Elementární řádkové a sloupcové operace 3.4 Gaussova eliminační metoda SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.3/57
4 Maticový zápis I 3 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 3.1 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Základní pojem tohoto odstavce je pojem lineární rovnice. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.4/57
5 Maticový zápis II Lineární rovnicí o n neznámych x 1,..., x n nad číselným tělesem K rozumíme formuli tvaru a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, kde a 1, a 2,..., a n, b K, v proměnných x 1, x 2,..., x n. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.5/57
6 Maticový zápis III Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x 1, x 2,..., x n nad číselným tělesem K rozumíme konjunkci formulí tvaru a 11 x 1 + a 21 x a 1n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.6/57
7 Maticový zápis IV Zde a ij, b i, pro 1 i m, 1 j n, jsou skaláry z tělesa K. Matici A = (a ij ) K m n nazýváme maticí soustavy, sloupcový vektor b = (b 1,..., b m ) T K m nazýváme její pravou stranou. Rozšířenou maticí soustavy nazýváme blokovou matici (A b) K m (n+1). Soustava sa nazývá homogenní, je-li b = 0; v opačném případě sa nazývá nehomogenní. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.7/57
8 Maticový zápis V Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně zapsat v maticovém tvaru A x = b, resp., pokud jde o homogenní soustavu, v tvaru A x = 0. Řešením soustavy A x = b nazýváme takový vektor x = (x 1, x 2,..., x n ) T K n, jehož složky vyhovují každé z rovnic této soustavy, t. j. platí A x = b. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.8/57
9 Maticový zápis VI Vyřešit soustavu znamená najít všechna její řešení, t. j. popsat množinu všech jejích řešení. Dvě soustavy A x = b a B x = c, kde A, B K m n, b, c K m 1, se nazývají ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení, t. j. pokud pro všechna x K n platí A x = b právě tehdy, když B x = c. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.9/57
10 Poznámka I Poznámka (a) Podtrhněme, že řešením soustavy rozumíme vždy sloupcový vektor x a ne jeho složky. Tak například soustava 2x + 3y = 12 3x 2y = 5 nad tělesem R má jediné řešení nikoliv dvě řešení x = 3, y = SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.10/57 ( x y ) = ( 3 2 ) a
11 Poznámka II Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení x = 3, y = 2. (b) Všimněme si, že počet rovnic soustavy a počet neznámých se nemusí rovnat. V obvyklém případě, když rovnic je stejný počet jako neznámých, očekáváme, že soustava bude mít jediné řešení. Pokud je rovnic méně než neznámých, lzee očekávat, že soustava bude mí vícero (případně i nekonečně mnoho) řešení. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.11/57
12 Poznámka III Naopak, pokud je rovnic více než neznámých, může se stát, že soustava nebude mít žádné řešení. Naproti tomu, že tato očekávaní vyjadřují převládající trend, lehce lze najít příklady, kdy se nemusí splnit. Poznamenejme, že homogenní soustava A x = 0 má (bez ohledu na počet neznámých a počet rovnic) vždy alespoň jedno řešení je jím nulový vektor x = SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.12/57
13 Poznámka IV Není důležité, jakými znaky jsou označené neznámé v soustavě A x = b. Na její řešení nemá vliv, zda si vektor neznámých označíme x = (x 1,..., x n ) T nebo y = (y 1,..., y n ) T nebo nějak jinak. To znamená, že celá informace o této soustavě, potřebná pro nalezení všech jejich řešení, je obsažená v rozšířené matici soustavy (A b), resp., pokud půjde o homogenní soustavu, jen v matici soustavy A. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.13/57
14 Poznámka V Proto i metoda řešení soustav lineárních rovnic, se kterou se nyní seznámíme, bude založená jen na úpravě této matice. Rozšířenou matici (A b) soustavy A x = b budeme upravovat tak, abychom dostali nějakou jinou matici (B c), která odpovídá nové soustavě B x = c, přičemž tato splňuje nasledující dvě podmínky: 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.14/57
15 Poznámka VI (a) Je ekvivalentní s původní soustavou A x = b, t. j. má stejnou množinu řešení. (b) Všechna její řešení můžeme přímo vyčíst z její rozšířené matice (B c). Pak říkáme, že soustava B x = c je vyřešená. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.15/57
16 Redukovaný tvar I 3.2 Redukovaný stupňovitý tvar matice Říkáme, že prvek a ij matice A K m n je vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud a ij 0, a j = 1 nebo a il = 0 pro všechny 1 l < j. Jinak řečeno, vedoucí prvek nenulového řádku je první nenulový prvek tohoto řádku. Nulový řádek nemá vedoucí prvek. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.16/57
17 Redukovaný tvar II Řekneme, že matice A = (a ij ) K m n je v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud splňuje nasledující čtyři podmínky: (a) Je-li r i (A) 0 a r k (A) = 0, pak i < k; t. j. každý nenulový řádek matice A leží nad každým jejím nulovým řádkem. (b) Jsou-li a ij, a kl vedoucí prvky i-tého resp. k-tého řádku a i < k, pak platí j < l; t. j. vedoucí prvek vyššího řádku leží více vlevo než vedoucí prvek nižšího řádku. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.17/57
18 Redukovaný tvar III (c) Je-li a ij vedoucí prvek i-tého řádku, pak a ij = 1; t. j. vedoucí prvek každého nenulového řádku je 1. (d) Je-li a ij vedoucí prvek i-tého řádku, tak a kj = 0 pro každé k i; t. j. v sloupci, v kterém sa nachází vedoucí prvek nějakého řádku, jsou všechny ostatní prvky rovné SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.18/57
19 Redukovaný tvar IV Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b), říkáme, že je v stupňovitém tvaru. Používá se též název (redukovaný) schodovitý tvar. Následující matice nejsou ve stupňovitém tvaru SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.19/57
20 Redukovaný tvar V Matice jsou ve stupňovitém tvaru, ale nejsou v redukovaném stupňovitém tvaru SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.20/57
21 Redukovaný tvar VI Matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.21/57
22 Redukovaný tvar VII Jednotková a nulová matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru. Příklad (B c) = = je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.22/57
23 Redukovaný tvar VIII Tato matice odpovídá soustavě x 1 2x 3 = 3 x 2 + 6x 3 = 0 x 4 = 1 v neznámých x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.23/57
24 Redukovaný tvar IX Každé volbě parametrů s, t R zodpovídá jedno řešení x 1 = 3 + 2s x 2 = 6s x 3 = s x 4 = 1 x 5 = t. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.24/57
25 Redukovaný tvar X Přeznačení neznámých za parametry x 3 = s, x 5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou k matici (B c) můžeme považovat za vyřešenou. Řešení lze napsat přímo na základě matice (B c). Soustavu lineárních rovnic B x = c nad tělesem K budeme nazývat vyřešenou soustavou, pokud její rozšířená matice (B c) je v redukovaném stupňovitém tvaru. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.25/57
26 Redukovaný tvar XI V případě homogenní soustavy se stačí omezit pouze na matici B. Nyní ukážeme, jak můžeme k dané blokové matici (B c) v redukovaném stupňovitém tvaru najít všechna řešní soustavy B x = c. Nejprve si ujasníme, kdy je takováto soustava řešitelná, t. j. má alespoň jedno řešení. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.26/57
27 Redukovaný tvar XII Soustava B x = c má řešení právě tehdy, když se v matici (B c) nenachází řádek tvaru (0,..., 0 } {{ } n-krát 1). Takový řádek odpovídá rovnici 0 = 1, která očividně nemá řešení. To, že nepřítomnost takovéhoto řádku je i postačující podmínkou řešitelnosti soustavy, vyplýva z následujícího postupu, jak toto řešení najít. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.27/57
28 Redukovaný tvar XIII Pokud se v j-tém sloupci matice B nenachází vedoucí prvek žádného řádku, tak si neznámou x j zvolíme za parametr; pokud se v j-tém sloupci nachádzí vedoucí prvek nějakého řádku, tak si vyjádříme neznámou x j pomocí parametrů tak, že sloupce matice B příslušné těmto parametrům přehodíme s opačným znaménkem na druhou stranu. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.28/57
29 Redukovaný tvar XIV Příklad. (B c) = /3 1/ / / x je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R. Vidíme, že se v ní nenachází řádek tvaru (0, 0, 0, 0 1), tedy soustava B x = c by měla mít řešení. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.29/57
30 Redukovaný tvar XV Vedoucí prvky řádků matice B sa nacházají ve sloupcích 1, 2 a 3. Za parametry si tedy zvolíme neznámé x 4 a x 5. Řešením soustavy je každý vektor (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T R tvaru x 1 = s+1 2 t x 2 = s x 3 = 2+4s+ 2 5 t x 4 = s x 5 = t, 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.30/57
31 Redukovaný tvar XVI Parametry s, t R mohou nabývat libovolné hodnoty. Zlomků u parametrů se můžeme zbavit. Je jedno, zda si parametrické proměnné zvolíme ve tvaru x 4 = s, x 5 = t nebo ve tvaru x 4 = 12s, x 5 = 10t, kde s, t R. Při takovéto volbě parametrů dostaneme všechna řešení soustavy x 1 = 5 8s +5t x 2 = 2 9s x 3 = 2+36s+ 4t ve tvaru bez zlomků. x 4 = 12s x 5 = 10t 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.31/57
32 ERO a ESO I 3.3 Elementární řádkové a sloupcové operace (ERO a ESO) Elementární řádkovou operací (transformací), zkráceně ERO, na matici A K m n rozumíme I. Výměnu dvou řádků matice A; II. Vynásobení některého řádku matice A nenulovým skalárem z číselného tělesa K; III. Přičtení skalárního násobku některého řádku matice A k jejímu jinému řádku. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.32/57
33 ERO a ESO II Matice A, B K m n sa nazývají řádkově ekvivalentní, označení A B, pokud jednu z nich můžeme upravit na druhou konečným počtem elementárních řádkových operací. Analogické pojmy elementární sloupcové operace (ESO) a sloupcová ekvivalence matic, označení A B. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.33/57
34 ERO a ESO III Výměnou i-tého a k-tého řádku v matici A = r 1 (A). r i (A). r k (A). r m (A) dostaneme matici r 1 (A). r k (A). r i (A). r m (A). 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.34/57
35 ERO a ESO IV Vynásobením i-tého řádku matice A skalárem c 0 dostaneme matici r 1 (A). cr i (A).. Vynásobením i-tého řádku této r k (A) matice skalárem c 1 0 zís-. káme opět matici A. r m (A) 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.35/57
36 ERO a ESO V Přičtením c-násobku i-tého řádku matice A k jejímu k-tému řádku z ní dostaneme matici r 1 (A). r i (A).. r k (A) + cr i (A). r m (A) 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.36/57
37 ERO a ESO VI Všimněme si, že i-tý řádek při této úpravě zůstává nezměněný. Matici A z této matice získáme přičtením ( c)-násobku jejího i-tého řáddku k jejímu k-tému řádku. Poznamenejme, že, v případě výměny opětovnou výměnou i-tého a k-tého řádku v matici vzniklé výměnou i-tého a k-tého řádku, získame zase matici A. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.37/57
38 ERO a ESO VII Je-li A x = b soustava s rozšířenou maticí (A b) a bloková matica (A b ) vznikne z (A b) provedením jedné (nezáleží které) ERO, pak soustava A x = b je ekvivalentní s původní soustavou A x = b. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.38/57
39 ERO a ESO VIII Elementární řádkové operace na matici (A b) totiž odpovídají postupné záměně pořadí dvou rovnic soustavy, vynásobením některé rovnice nenulovým skalárem a přičtením nějakého násobku jedné rovnice k jiné rovnici. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.39/57
40 ERO a ESO IX Přesněji nahrazením dvojice rovnic dvojicí rovnic r i (A) x = b i, r k (A) x = b k r i (A) x = b i, (r k (A)+cr i (A)) x = b k +cb i. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.40/57
41 ERO a ESO X Je-li A x = b soustava s rozšířenou maticí (A b) a (A b ) rozšířená matice nové ekvivalentní soustavy A x = b, můžeme se od nové soustavy vhodnou ERO provedenou na její rozšířené matici opět vrátit k původní soustavě A x = b. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.41/57
42 ERO a ESO XI Tvrzení 1 Necht K je těleso, A, B K m n, b, c K m. Jsou-li blokové matice (A b), (B c) řádkově ekvivalentní, pak jsou i soustavy lineárních rovnic A x = b, B x = c ekvivalentní. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.42/57
43 ERO a ESO XII Věta 2 Každá matice nad číselným tělesem K je řádkově ekvivalentní s nějakou (právě jednou) maticí v redukovaném stupňovitém tvaru. Poznámka. Uvedený redukovaný stupňovitý tvar dané matice je jednoznačně určený. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.43/57
44 ERO a ESO XIII Příklad 3 Je daná soustava 2x 1 +3x 2 x 4 = 1 3x 1 +2x 2 +4x 3 2x 4 = 0 x 1 x 2 +4x 3 x 4 = 2 třech rovnic o čtyřech neznámých nad tělesem R. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.44/57
45 ERO a ESO XIV Její rozšířená matice je Při její úpravě na redukovaný stupňovitý tvar budeme vynechávat některé mezikroky a zaznamenáme jen některé výsledky vícero provedených ERO. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.45/57
46 ERO a ESO XV Poslední řádek matice dáme na první místo, potom jeho ( 2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který posuneme na druhé místo, a ( 3)-násobek původního posledního řádku přičteme k původnímu druhému řádku, který posuneme na třetí místo. Dostaneme tak matici SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.46/57
47 ERO a ESO XVI Přičtením ( 1)-násobku druhého řádku k třetímu řádku dostaneme matici Z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici nemá řešení obsahuje totiž rovnici 0 = 3. Tedy ani původní soustava nemá řešení. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.47/57
48 ERO a ESO XVII Dokončíme úpravu na redukovaný stupňovitý tvar, který dostaneme vynásobením třetího řádku skalárem 1/3, přičtením ( 2)-násobku resp. 3-násobku tohoto nového řádku k prvnímu resp. druhému řádku a, konečně, vynásobením druhého řádku skalárem 1/5: /5 6/ /5 1/ SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.48/57
49 ERO a ESO XVIII Tvrzení 4 Necht A K m n, b K m a m < n, t. j. soustavy A x = 0, A x = b obsahují méně rovnic než neznámých. Potom (a) homogenní soustava A x = 0 má s řešením x 0 = 0 alespoň jedno řešení x 0; (b) pokud existuje alespoň jedno řešení soustavy A x = b, pak má tato soustava více než jedno řešení. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.49/57
50 Gaussova EM I 3.4 Gaussova eliminační metoda Dále uvedeme tzv. Gaussovu eliminační metodu řešení soustav lineárních rovnic. Rozšířenou matici soustavy upravíme jen na stupňovitý (tedy ne nutně redukovaný stupňovitý) tvar. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.50/57
51 Gaussova EM II Z tohoto tvaru můžeme snadno určit, zda má soustava nějaké řešení (příslušná matice nesmí obsahovat řádek tvaru (0,..., 0 d), kde 0 d K). V tomto případě můžeme všechna řešení soustavy získat volbou parametrů (opět si za ně volíme neznámé x j takové, že v j-tém sloupci se nevyskytuje vedoucí prvek žádného řádku) a zpětným dosazováním, t. j. eliminací neznámých pomocí parametrů. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.51/57
52 Gaussova EM III Příklad 5 Předpokládejme, že rozšířenou matici nějaké soustavy nad R jsme si pomocí ERO upravili na stupňovitý tvar SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.52/57
53 Gaussova EM IV Tato matice odpovídá soustavě 2x 2 +3x 3 x 5 +4x 6 = 1 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 3x 5 + x 6 = 4. Za parametry si zvolíme proměnné x 1, x 3 a x SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.53/57
54 Gaussova EM V Zpětným dosazováním postupně dostaneme všechna řešení v parametrickém tvaru x 6 = t x 5 = 1 3 (4 x 6) = t x 4 = 1 2 (5x 5 + 4x 6 ) = t x 3 = s x 2 = 1 2 (1 3x 3 + x 5 4x 6 ) = s 13 6 t x 1 = r, kde r, s, t R. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.54/57
55 Gaussova EM VI Případně, po trochu vhodnější volbě parametrů, bude řešení v tvaru x 6 = 6t, x 5 = 4 3 2t, x 4 = t, x 3 = 2s, x 2 = 7 6 3s + 13t, x 1 = r. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.55/57
56 Gaussova EM VII Zpětné dosazování můžeme nahradit další úpravou rozšířené matice soustavy pomocí ERO na redukovaný stupňovitý tvar. Stačí totiž vynásobit nenulové řádky převrácenými hodnotami jejich vedoucích prvků a přičtením vhodných násobků těchto řádků vynulovat zbývající nenulové prvky ve sloupcích obsahujících vedoucí prvky jednotlivých řádků. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.56/57
57 Gaussova EM VIII Gaussova eliminačná metóda je užitečná zejména tehdy, pokud nám nejde ani tak o explicitní tvar řešení, ale spíše o samotnou otázku řešitelnosti soustavy, případně o počet parametrů, které se v nich vyskytují. Toto vše je možné zjistit už na základě nějaké matice ve stupňovitém tvaru, která je řádkově ekvivalentní s původní rozšířenou maticí soustavy. V tomto případě si tedy můžeme odpustit další úpravu na redukovaný stupňovitý tvar i zpětné dosazování. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.57/57
Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Buď (T, +, ) těleso. Pak soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,................................... a m1 x 1 + a m2 x
Matice. Význačné matice. Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců:
Matice Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců: aa 11 aa 12 aa 1nn aa 21 aa 22 aa 2nn AA = aa mm1 aa mm2 aa mmmm Označení matic obvykle velkými písmeny
Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
Dopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě
4 Soustavy lineárních rovnic
4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu
Lineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Kvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
(1.1) (1.2) vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme
1. Algebraický vektorový prostor Definice 1.1 (algebraický vektorový prostor). Množinu R n všech uspořádaných n-tic reálných čísel (a 1, a 2,..., a n ) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými
Kvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.
9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení
2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí
DMA Přednáška Speciální relace Nechť R je relace na nějaké množině A. Řekneme, že R je částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. V tom případě značíme relaci a řekneme,
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava
3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
Orientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
![4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}](/thumbs/41/22269260.jpg "4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}")
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.
1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax
A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
![Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )](/thumbs/39/20455694.jpg "Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )")
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
10. Polynomy a racionálně lomenné funkce
10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
Matematická analýza III.
4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi.
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
KIV/ZI Základy informatiky. MS Excel maticové funkce a souhrny
KIV/ZI Základy informatiky MS Excel maticové funkce a souhrny cvičící: Michal Nykl zimní semestr 2012 MS Excel matice (úvod) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)
= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
Číselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana 1 (celkem 7) Číselné soustavy
Číselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana (celkem 7) Polyadické - zobrazené mnohočlenem desítková soustava 3 2 532 = 5 + 3 + 2 + Číselné soustavy Číslice tvořící zápis čísla jsou vlastně
Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Zlomky sčítání a odčítání. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce
METODICKÝ LIST DA2 Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky sčítání a odčítání Dušan Astaloš Matematika Ročník:. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105
.. Kruhový pohyb Předpoklady: 05 Předměty kolem nás se pohybují různými způsoby. Nejde pouze o přímočaré nebo křivočaré posuvné pohyby. Velmi často se předměty otáčí (a některé se přitom pohybují zároveň
Matice a maticová algebra, soustavy lineárních rovnic, kořeny polynomu a soustava nelin.rovnic
co byste měli umět po dnešní lekci: definovat matici, přistupovat k jejím prvkům provádět základní algebraické operace spočíst inverzní matici najít řešení soustavy lineárních rovnic určit vlastní čísla
Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
Geometrické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 9. března 2008
Geometrické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 9. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března 2008 1/ 27 Definice geometrického vektoru 1 Definice geometrického
pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:
Kapitola 2 Gaussova eliminace Název druhé kapitoly je současně názvem nejčastěji používané metody (algoritmu) pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních
Funkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
Rostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
MONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)
11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,
4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky
4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky Předpoklady: 4205 Pedagogická poznámka: Tuto hodinu učím jako běžnou jednohodinovku s celou třídou. Některé dvojice stihnou naměřit více odporů. Voltampérová
Nyní jste jedním z oněch kouzelníků CÍL: Cílem hry je zničit soupeřovy HERNÍ KOMPONENTY:
Vytvořili Odet L Homer a Roberto Fraga Velikonoční ostrov je tajemný ostrov v jižním Pacifiku. Jeho původní obyvatelé již před mnoha lety zmizeli a jediné, co po nich zůstalo, jsou obří sochy Moai. Tyto
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
Tabulky Word 2007 - egon. Tabulky, jejich formátování, úprava, změna velikosti
Tabulky Word 2007 - egon Tabulky, jejich formátování, úprava, změna velikosti Jan Málek 26.7.2010 Tabulky Tabulky nám pomáhají v pochopení, jak mezi sebou souvisí určité informace, obohacují vzhled dokumentu
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL,
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL, URČITÝ INTEGRÁL Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
MATEMATIKA 1. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova:
Optika. VIII - Seminář
Optika VIII - Seminář Op-1: Šíření světla Optika - pojem Historie - dva pohledy na světlo ČÁSTICOVÁ TEORIE (I. Newton): světlo je proud částic VLNOVÁ TEORIE (Ch.Huygens): světlo je vlnění prostředí Dělení
Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Paradigmata kinematického řízení a ovládání otevřených kinematických řetězců.
Přednáška 6 Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství Paradigmata kinematického řízení a ovládání otevřených kinematických řetězců. Kinematickým zákonem řízení rozumíme předpis, který na základě direktiv
DUM téma: KALK Výrobek sestavy
DUM téma: KALK Výrobek sestavy ze sady: 2 tematický okruh sady: Příprava výroby a ruční programování CNC ze šablony: 6 Příprava a zadání projektu Určeno pro : 3 a 4 ročník vzdělávací obor: 23-41-M/01 Strojírenství
Základní chemické pojmy a zákony
Základní chemické pojmy a zákony LRR/ZCHV Základy chemických výpočtů Jiří Pospíšil Relativní atomová (molekulová) hmotnost A r (M r ) M r číslo udávající, kolikrát je hmotnost daného atomu (molekuly) větší
Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu
4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu
( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
Matematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy
V týmové spolupráci jsou komentáře nezbytností. V komentářích se může např. kolega vyjadřovat k textu, který jsme napsali atd.
Týmová spolupráce Word 2010 Kapitola užitečné nástroje popisuje užitečné dovednosti, bez kterých se v kancelářské práci neobejdeme. Naučíme se poznávat, kdo, kdy a jakou změnu provedl v dokumentu. Změny
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
Zákonitosti, vztahy a práce s daty
20mate matematika Jednotlivé kapitoly mají rozsah čtyř stran a každá kapitola je obohacena o rozšiřující učivo. sčítání a odčítání Zákonitosti, vztahy a práce s daty 1 Vyřeš úlohy. a) Součet všech čísel
Novinky v programu Účtárna 2.09
Novinky v programu Účtárna 2.09 Podpora pro Kontrolní hlášení Popis: Program obsahuje podporu pro plátce DPH, pro něž platí od 1.1.2016 nová legislativní povinnost Kontrolní hlášení. V knihách prvotních
Microsoft Office. Word styly
Microsoft Office Word styly Karel Dvořák 2011 Styly Používání stylů v textovém editoru přináší několik nesporných výhod. Je to zejména jednoduchá změna vzhledu celého dokumentu. Předem připravené styly
Pingpongový míček. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinancován
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
Všechny možné dvojice ze čtyř možností, nezáleží na uspořádání m (všechny výsledky jsou rovnocenné), 6 prvků. m - 5 prvků
9.2.2 Pravděpodobnost Předpoklady: 9201 Pedagogická poznámka: První příklad je opakovací, nemá cenu se s ním zabývat více než pět minut. Př. 1: Osudí obsahuje čtyři barevné koule: bílou, fialovou, zelenou,
1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
Důkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné
2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
E-ZAK. metody hodnocení nabídek. verze dokumentu: 1.1. 2011 QCM, s.r.o.
E-ZAK metody hodnocení nabídek verze dokumentu: 1.1 2011 QCM, s.r.o. Obsah Úvod... 3 Základní hodnotící kritérium... 3 Dílčí hodnotící kritéria... 3 Metody porovnání nabídek... 3 Indexace na nejlepší hodnotu...4
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Sada 2 - MS Office, Excel
S třední škol stvební Jihlv Sd 2 - MS Office, Excel 11. Excel 2007. Mtice, determinnty, soustvy lineárních rovnic Digitální učební mteriál projektu: SŠS Jihlv šblony registrční číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284
Google AdWords - návod
Google AdWords - návod Systém Google AdWords je reklamním systémem typu PPC, který provozuje společnost Google, Inc. Zobrazuje reklamy ve výsledcích vyhledávání či v obsahových sítích. Platí se za proklik,
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
Taky si zkuste promyslet, která zobrazení jsou afinní: to které zobrazí přímku jako rovinu? Nebo snad to které zobrazí rovinu jako přímku?
Afinní zobrazenní Úmluva Symbolem V (popř V ) budu vždy značit nějaký vektorový prostor, symbolem A (popř A ) pak vždy afinní bodový prostor, zdvojená písmena (např A, B, C, ) značí vždy matice Definice
Vyhledávání v databázi CINAHL with Fulltext prostřednictvím EBSCOhost. Příklad vyhledávání tématu pomocí předmětových hesel
Vyhledávání v databázi CINAHL with Fulltext prostřednictvím EBSCOhost Příklad vyhledávání tématu pomocí předmětových hesel Základní fakta o dtb. CINAHL CINAHL = Cumulative Index of Nursing andallied Health
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
1. cvičení Polynomy. Procvičované postupy, algoritmy: Hornerovo schéma, dělení polynomu polynomem, hledání racionálních
1. cvičení Polynomy Pojmy které je třeba znát: Polynom, kořen polynomu, kořenový činitel. Věty, které je třeba znát: Základní věta algebry, věta o polynomech s racionálními koeficienty, komplexně sdružené
Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
když n < 100, n N, pak r(n) = n,
Zúžená aritmetika úvod Nad a Stehlíková Autorem netradiční aritmetické struktury, v rámci které se budeme nadále pohybovat, je Prof. Milan Hejný. Nejdříve si zavedeme základní pojmy. Základem zúžené aritmetiky
Název: VY_32_INOVACE_PG3309 Booleovské objekty ve 3DS Max - sčítání a odčítání objektů
Název: VY_32_INOVCE_PG3309 ooleovské objekty ve 3DS Max - sčítání a odčítání objektů utor: Mgr. Tomáš Javorský Datum vytvoření: 05 / 2012 Ročník: 3 Vzdělávací oblast / téma: 3D grafika, počítačová grafika,
Domácí úkol DU01_2p MAT 4AE, 4AC, 4AI
Příklad 1: Domácí úkol DU01_p MAT 4AE, 4AC, 4AI Osm spolužáků (Adam, Bára, Cyril, Dan, Eva, Filip, Gábina a Hana) se má seřadit za sebou tak, aby Eva byly první a Dan předposlední. Příklad : V dodávce
Operační program Rybářství 2007-2013
OP Rybářství 2007-2013 Operační program Rybářství 2007-2013 Elektronické podání Žádosti o dotaci opatření 3.1. a) (6.kolo OP Rybářství) Oddělení metodiky OP Rybářství Ing. Antonín VAVREČKA, Ing. Miroslav
8. Lineární rovnice s parametrem
@08 8. Lineární rovnice s aramerem Příklad: Řeše lineární rovnice v R. a) + = 5 b) + = 5 c) + = 5 d) + 4 = 5 e) + 5 = 5 f) + 6 = 5 g) + 7 = 5 h) + 8 = 5 i) + 9 = 5 Řešení: Všechny rovnice se řeší sejně.
Označování dle 11/2002 označování dle ADR, označování dle CLP
Označování dle 11/2002 označování dle ADR, označování dle CLP Nařízení 11/2002 Sb., Bezpečnostní značky a signály 4 odst. 1 nařízení 11/2002 Sb. Nádoby pro skladování nebezpečných chemických látek, přípravků
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého