Geometrické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 9. března 2008
|
|
- František Štěpánek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Geometrické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 9. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
2 Definice geometrického vektoru 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
3 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
4 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
5 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
6 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
7 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
8 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
9 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
10 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
11 Definice geometrického vektoru Budeme vycházet z běžné středoškolské definice vektoru jako veličiny, která je určena směrem, velikostí a orientací. Tato názorná představamájednuvýjimku,asicenulovývektor vektoronulové velikosti nemající směr ani orientaci. Pod geometrickým vektorem budeme rozumět množinu orientovaných úseček o stejné nenulové délce, směru a orientaci, případně množinu úseček o nulové délce. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci, budeme nazývat opačnými vektory. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
12 Operace s geometrickými vektory 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
13 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
14 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
15 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
16 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
17 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
18 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
19 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
20 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
21 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
22 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Pro b=1.6 ajeorientacevektoru bstejnájakoorientacevektoru aa jeho velikost je 1.6 větší. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
23 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Pro c = 2.4 a je orientace vektoru c opačná a velikost 2.4 větší. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
24 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Sčítání geometrických vektorů Součet a+ bgeometrickýchvektorů a, bzískámedoplněnímna rovnoběžník, případně trojúhelník. Násobení geometrického vektoru číslem Násobek geometrického vektoru má stejný směr jako násobený vektor. Orientace a velikost násobku záleží na čísle, kterým násobíme. Obecně: velikost vektoru α a je α násobkem velikosti vektoru a, pro α < 0mávektor α aopačnouorientacinežvektor a,pro α > 0 souhlasnou orientaci. Kontrolníotázka:Jakjetopro α=0? Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
25 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
26 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
27 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
28 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
29 Operace s geometrickými vektory Definice operací- sčítání, násobení číslem, lineární kombinace Lineární kombinace vektorů Lineárníkombinacívektorů a, bjenapříkladvektor1.3 a+0.7 b. Obecnějelineárníkombinacívektorů a 1, a 2,..., a n skoeficienty α 1, α 2,..., α n vektor α 1 a 1 + α 2 a 2 + +α n a n Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
30 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
31 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
32 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
33 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
34 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
35 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
36 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 1 Prolibovolnédvavektory u, vje u+ v= v+ u. 2 Prolibovolnétřivektory u, v, wje ( u+ v)+ w= u+( v+ w). Tuto vlastnost využíváme k vypouštění závorek, píšeme stručněji u+ v+ w. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
37 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
38 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
39 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
40 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
41 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
42 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
43 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 3 Pro nulový vektor o a libovolný vektor u platí u+ o= u. 4 Ke každému nenulovému vektoru u eistuje opačný vektor v, který splňuje u+ v= o. Pro nulový geometrický vektor u = o tuto vlastnost má nulový vektor v= o. Opačný vektor budeme označovat u a součet vektoru u svektorem wbudemepsátmísto w+( u)stručněji w u. 5 Pro každý vektor u platí 1 u= u. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
44 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
45 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
46 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
47 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
48 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
49 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
50 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
51 Operace s geometrickými vektory Vlastnosti operací s geometrickými vektory 6 Pro každý vektor u platí 0 u= o. 7 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí α(β u) =(αβ) u. Díky této vlastnosti můžeme vypouštět závorky a psát stručněji αβ u. 8 Prokaždoudvojicičísel α, βaprokaždývektor uplatí (α+β) u=α u+β u. 9 Prokaždéčíslo αaprokaždoudvojicivektorů u, vplatí α( u+ v)=α u+α v. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
52 Souřadnice geometrických vektorů 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Kosoúhlé soustavy souřadné 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
53 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné y Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, 1 1 čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
54 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
55 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
56 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
57 Souřadnice geometrických vektorů Kartézské soustavy souřadné Zvolíme kartézskou soustavu souřadnou, ta je určena počátkem a dvojicí vektorů i, j. Vyjádříme vektor u jako lineární kombinaci vektorů i a j: u= i+y j, čísla v této lineární kombinaci budeme nazývat souřadnicemi vektoru u vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory i, j a budeme používat označeníù=( y). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
58 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
59 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
60 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
61 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
62 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné 1 1 V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
63 Souřadnice geometrických vektorů Kosoúhlé soustavy souřadné 1 1 V případě kartézské soustavy jsou vektory i, jurčujícíosyvzájemněkolméa mají velikost rovnu jedné. Zvolíme-li nenulové vektory u, v různých směrů, dostaneme obecnější kosoúhlou soustavu souřadnou. Vyjádříme vektor a jako lineární kombinaci vektorů u a v: a=α u+β v akoeficienty α, βvtétolineárníkombinacibudeme, stejnějakou kartézské soustavy, nazývat souřadnicemi vektoru a vzhledem k souřadné soustavě spojené s vektory u, v a budeme používat označení =( α β). Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
64 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
65 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
66 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
67 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
68 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
69 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
70 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
71 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
72 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) Ukážeme, že libovolné dva nenulové vektory u, v různých směrů můžeme vzít za základ soustavy souřadné v rovině, a jak vypočteme souřadnice libovolně zvoleného vektoru a. Narýsujeme rovnoběžník se stranami rovnoběžnýmí s vektory u, v, jehož úhlopříčku tvoří vektor a, změříme velikosti a vypočteme koeficienty v lineární kombinaci. a=1.75 u 0.25 v Vektory u, v budeme nazývat bazí. Souřadnice vektoru a vzhledemktétobazijsou =( 0.25) Situace v trojrozměrném prostoru je obdobná, jen je baze tvořena třemi nenulovými vektory, které neleží v jedné společné rovině. Důležitou vlastností je: pro danou bazi a daný vektor jsou souřadnice jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
73 Souřadnice vektorů a operace s vektory 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
74 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
75 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
76 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
77 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
78 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
79 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
80 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
81 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
82 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
83 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
84 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
85 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
86 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
87 y Souřadnice vektorů a operace s vektory Jak vypočteme souřadnice α násobku vektoru u pomocí α aù= ( u u y )? Souřadnicesoučinu α u jsou( α u α u y ). Všimněte si podobných trojúhelníků, ze kterých uvedené plyne. y Jak vypočteme souřadnice součtu vektorů u, v zù=( u u y )Ú=( v v y )? Souřadnice součtu u + v jsou ( u +v u y+v y ). Všimnětesi,že v y <0,protoje u y+ v y rovnorozdíluvelikostí vyznačených úseček. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
88 Otočená soustava, transformační matice 1 Definice geometrického vektoru 2 Operace s geometrickými vektory 3 Souřadnice geometrických vektorů 4 Baze(v rovině a v trojrozměrném prostoru) 5 Souřadnice vektorů a operace s vektory 6 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Odvození transformačních vztahů Otočení v 3D prostoru 7 Změna souřadnic v kosoúhlých soustavách, matice přechodu 8Třibazeanásobenímaticpřechodu Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
89 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
90 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
91 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
92 Otočená soustava, transformační matice Transformační vztahy, jejich maticový zápis Na obrázku jsou znázorněny souřadnice bodu A vůči vzájemně pootočeným souřadným systémům. Velikost úhlu pootočení(modře vyznačeného) označíme ω. y A Vztahy mezi souřadnicemi[, y] a[, y]téhožbodu Ajsou y =cosω+ ysin ω, y= sin ω+ ycosω. (Na následující straně tyto vztahy odvodíme.) Souřadnice bodu A jsou zároveň souřadnicemi jeho polohového vektoru a jejich transformaci můžeme zapsat jako maticový součin ( ) ( ) ( ) cosω sin ω = y sin ω cosω y (Ověřte vynásobením matic.) Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
93 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
94 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
95 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
96 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
97 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
98 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
99 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) i+( sin ω+ ycosω) j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
100 y y Otočená soustava, transformační matice Odvození transformačních vztahů Dva vyznačené úhly mají stejnou velikost, označíme ji ω. Vztahy mezi bazovými vektory jsou i= icosω jsin ω j= isin ω+ jcosω Dosazením do a= i+y j dostaneme a=( icosω jsin ω)+y( isin ω+ jcosω). Poúpravě a=(cosω+ ysin ω) } {{ } i+( sin ω+ ycosω) } {{ } j asrovnáníms a= i+ y j dostaneme =cosω+ ysin ω y= sin ω+ ycos ω. Souřadnice vektoru jsou v dané soustavě souřadné jednoznačně určené. Martina Šimůnková (KAP) Geometrické vektory 9. března / 27
15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
Více3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
VíceSTEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
Více6 ZÁKLADY VEKTOROVÉHO POČTU
10 6 ZÁKLADY VEKTOROVÉHO POČTU Základní definice, sečítání a odečítání vektorů, násobení vektorů. Počítání se skaláry nevyžaduje žádné zvláštní operace, protože - s ohledem na jejich definici - můžeme
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
VíceM - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
VíceMatice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Zlomky sčítání a odčítání. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce
METODICKÝ LIST DA2 Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky sčítání a odčítání Dušan Astaloš Matematika Ročník:. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Buď (T, +, ) těleso. Pak soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,................................... a m1 x 1 + a m2 x
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceLineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceDualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
VíceAritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008
Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací
Více1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
VíceJan Paseka. Masarykova Univerzita Brno. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic nad obecným
VícePředpokládané znalosti ze středoškolské matematiky. Pokuste se rozhodnout o pravdivosti následujících výroků a formulujte jejich negace.
Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky 1. Matematická logika Výroky, složené výroky: konjunkce (, a zároveň ), disjukce (, nebo), negace výroků ( před nebo čárka nad označením výroku), implikace
VíceKapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
VíceVztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
Více{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.
9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceKONSTRUKČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ UŽITÍM MNOŽIN BODŮ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KONSTRUKČNÍ
VíceSoustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
VíceKIV/ZI Základy informatiky. MS Excel maticové funkce a souhrny
KIV/ZI Základy informatiky MS Excel maticové funkce a souhrny cvičící: Michal Nykl zimní semestr 2012 MS Excel matice (úvod) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)
Více4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu
4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu
Více2.3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B
.3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B V řadě případů je užitečné znát polarizaci vlny a poměry mezi jednotlivými složkami vektoru elektrické intenzity E takzvané polarizační koeficienty,
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceKirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony
Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon
VíceČíselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana 1 (celkem 7) Číselné soustavy
Číselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana (celkem 7) Polyadické - zobrazené mnohočlenem desítková soustava 3 2 532 = 5 + 3 + 2 + Číselné soustavy Číslice tvořící zápis čísla jsou vlastně
VíceOrientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k
VíceM - Příprava na 11. zápočtový test
M - Příprava na 11. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceZákonitosti, vztahy a práce s daty
20mate matematika Jednotlivé kapitoly mají rozsah čtyř stran a každá kapitola je obohacena o rozšiřující učivo. sčítání a odčítání Zákonitosti, vztahy a práce s daty 1 Vyřeš úlohy. a) Součet všech čísel
Více(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceRůznostranné obecné Rovnoramenné Rovnostranné. třetí, základna, je různá
Trojúhelník Trojúhelník - AB určují tři body A, B,, které neleží na jedné přímce. Trojúhelník je rovněž možno považovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. γ, γ, γ Body A, B,, se nazývají
VíceM - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceRostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
VíceKvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
VíceAnalytická geometrie (3. - 4. lekce)
Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Více( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
VíceK základní větě reálné afinní rovinné geometrie V. Havel V. Sedlář
K základní větě reálné afinní rovinné geometrie V Havel V Sedlář Abstrakt: Je podán důkaz věty zmíněné v nadpisu bez prostředků projektivní geometrie Klíčová slova: Vektorový prostor, regulární lineární
VíceMatice a maticová algebra, soustavy lineárních rovnic, kořeny polynomu a soustava nelin.rovnic
co byste měli umět po dnešní lekci: definovat matici, přistupovat k jejím prvkům provádět základní algebraické operace spočíst inverzní matici najít řešení soustavy lineárních rovnic určit vlastní čísla
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceMatice. Význačné matice. Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců:
Matice Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců: aa 11 aa 12 aa 1nn aa 21 aa 22 aa 2nn AA = aa mm1 aa mm2 aa mmmm Označení matic obvykle velkými písmeny
VíceMatematika I Lineární závislost a nezávislost
Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace
VíceDomácí úkol DU01_2p MAT 4AE, 4AC, 4AI
Příklad 1: Domácí úkol DU01_p MAT 4AE, 4AC, 4AI Osm spolužáků (Adam, Bára, Cyril, Dan, Eva, Filip, Gábina a Hana) se má seřadit za sebou tak, aby Eva byly první a Dan předposlední. Příklad : V dodávce
Více(1.1) (1.2) vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme
1. Algebraický vektorový prostor Definice 1.1 (algebraický vektorový prostor). Množinu R n všech uspořádaných n-tic reálných čísel (a 1, a 2,..., a n ) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými
VícePŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2010 - I.termín
MATEMATIKA Obor: 79-41-K/81 Součet bodů: Opravil: Kontroloval: Vítáme vás na gymnáziu Omská a přejeme úspěšné vyřešení všech úloh. Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí. V matematice pracujeme s čísly
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceMatematika I: Aplikované úlohy
Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
VíceFunkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
VíceFunkce. Liché a sudé funkce, periodické funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, 2012-14. Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Liché a, periodické funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah Sudé a 1 Sudé a 3 Sudé a Sudá funkce f má vzhledem k ose o y symetrický definiční
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Více9.2.5 Sčítání pravděpodobností I
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava
VíceGymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
Více2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o.
METODICKÝ LIST DA41 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Poměry III. postupný poměr Astaloš Dušan Matematika sedmý frontální, fixační samostatná práce upevnění znalostí
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceMatematika - Tercie Matematika tercie Výchovné a vzdělávací strategie Učivo ŠVP výstupy
- Tercie Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo
Více4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
VíceDruhá mocnina a odmocnina Irena Budínová PDF MU budinova@ped.muni.cz
Druhá mocnina a odmocnina Irena Budínová PDF MU budinova@ped.muni.cz Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických pracovníků propojením pedagogické
VíceMatematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceIdentifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_353
dentifikátor materiálu: VY_32_NOVACE_353 Anotace Autor Jazyk Očekávaný výstup Výuková prezentace.na jednotlivých snímcích jsou postupně odkrývány informace, které žák zapisuje či zakresluje do sešitu.
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Více4 Soustavy lineárních rovnic
4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu
VíceZápadočeská univerzita v Plzni
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY KONSTRUKCE ČÍSELNÝCH OBORŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Magdaléna ŠŤASTNÁ Přírodovědná studia, Matematická studia Vedoucí
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceDůkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné
VíceGymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceParadigmata programování 1
Paradigmata programování 1 Akumulace Vilém Vychodil Katedra informatiky, PřF, UP Olomouc Přednáška 7 V. Vychodil (KI, UP Olomouc) Akumulace Přednáška 7 1 / 33 Přednáška 7: Přehled 1 Akumulace pomocí foldr
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceMaturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008 1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY 2 2 2 3 3 3 a ± b ; a b ; a ± b ; a ± b 1.1. rozklad výrazů na součin: vytýkání, užití vzorců: ( ) ( ) 1.2. určování definičního
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceParadigmata kinematického řízení a ovládání otevřených kinematických řetězců.
Přednáška 6 Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství Paradigmata kinematického řízení a ovládání otevřených kinematických řetězců. Kinematickým zákonem řízení rozumíme předpis, který na základě direktiv
Více