Lineární algebra. Vektorové prostory
|
|
- Dušan Svoboda
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/
2 Obsah 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 27
3 Obsah 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 27
4 Obsah 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 27
5 Obsah přednášky Vektorové prostory 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 27
6 Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Definice Nechť R je množina reálných čísel. Utvořme množinu V n = R R R = R n } {{ } n krát všech uspořádaných n-tic (a 1,..., a n) reálných čísel (kde a i R pro i = 1, 2,..., n). Každou uspořádanou n-tici nazveme aritmetickým vektorem, n jeho dimenzí. Vektory budeme značit a = (a 1,..., a n). Další možnosti označení jsou a nebo a. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 27
7 Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Definice Nechť a = (a 1,..., a n), b = (b 1,..., b n). Na množině V n definujeme rovnost a operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem následujícími axiomy: A1: a, b jsou si rovny (píšeme a = b), jestliže platí: a 1 = b 1,..., a n = b n. A2: Součtem vektorů a, b rozumíme vektor, který značíme a + b a platí: a + b = (a 1 + b 1,..., a n + b n). A3: Součinem vektoru a s reálným číslem k rozumíme vektor, který značíme k a a platí: k a = (ka 1,..., ka n). Množinu V n s takto definovanými operacemi nazýváme n-rozměrný reálný aritmetický vektorový prostor dimenze n, jeho prvky nazýváme aritmetickými vektory. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 27
8 Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Věta Nechť je dáno zobrazení V n V n V n, které každé uspořádané dvojici vektorů ( a, b) V n V n přiřazuje vektor a + b V n tak, že pro každé vektory a, b, c V n, platí: 1 a + b = b + a, (komutativní zákon) 2 a + ( b + c) = ( a + b) + c, (asociativní zákon pro sčítání) 3 ke každému vektoru a V n existuje vektor o V n tak, že platí a + o = a (vektor o = (0,..., 0) se nazývá nulový aritmetický vektor), 4 ke každému vektoru a V n existuje vektor a V n tak, že platí a + ( a) = o (vektor a se nazývá vektor opačný k vektoru a). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 27
9 Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Věta Nechť je dáno zobrazení R V n V n, které každé uspořádané dvojici (r, a) R V n přiřazuje vektor r a V n tak, že pro každá reálná čísla r, s R a každé vektory a, b Vn, platí: 1 1 a = a, 2 r(s a) = (rs) a, (asociativní zákon pro násobení vektoru číslem) 3 (r + s) a = r a + s a, (distributivní zákon) 4 r( a + b) = r a + r b. (distributivní zákon) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 27
10 Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Označení Vektory e 1,..., e n nazýváme jednotkové vektory e 1 = (1, 0, 0,..., 0) e 2 = (0, 1, 0,..., 0). e n = (0, 0,..., 0, 1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 27
11 Vektorové prostory Definice Vektor u V n se nazývá lineární kombinací vektorů a 1,..., a r V n (r 1), existují-li reálná čísla p 1,..., p r tak, že u = p 1 a p r a r. Příklady 1 Nulový vektor je lineární kombinací libovolných vektorů (volíme p 1 = = p r = 0). 2 Vektor u = ( 7, 17) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a 1 = (1, 2), a 2 = (3, 7) V 2. u = 2 a 1 3 a 2 = 2(1, 2) 3(3, 7) = (2, 4) (9, 21) = ( 7, 17) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 27
12 Vektorové prostory Příklad Ve V 3 vyjádřete vektor u = (u 1, u 2, u 3) jako lineární kombinaci vektorů e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). u = (u 1, 0, 0) + (0, u 2, 0) + (0, 0, u 3) = = u 1(1, 0, 0) + u 2(0, 1, 0) + u 3(0, 0, 1) = = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 Poznámka Libovolný vektor u V n lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů e 1, e 2,..., e n. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 27
13 Vektorové prostory Příklad Zjistěte, zda vektor u = ( 2, 1, 6) je lineární kombinací vektorů a 1 = (4, 0, 1) a a 2 = (2, 0, 5). u = p 1 a 1 + p 2 a 2 2 = 4p 1 + 2p 2 1 = 0p 1 + 0p 2 6 = 1p 1 + 5p 2 Tato soustava zřejmě nemá řešení (viz druhá rovnice), proto vektor u není lineární kombinací vektorů a 1, a 2. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 27
14 Vektorové prostory Definice Nechť a 1,..., a r jsou vektory z vektorového prostoru V n, r 1. Řekneme, že vektory a 1,..., a r jsou lineárně závislé (LZ), jestliže existují reálná čísla p 1,..., p r, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí p 1 a p r a r = o. Pokud je tato rovnost splněna pouze pro p 1 = = p r = 0 nazývají se vektory a 1,..., a r lineárně nezávislé (LN). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 27
15 Vektorové prostory Příklad Zjistěte, zda jsou vektory e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) lineárně závislé nebo nezávislé. p 1 e 1 + p 2 e 2 = o p 1(1, 0) + p 2(0, 1) = (0, 0) (p 1, 0) + (0, p 2) = (0, 0) (p 1, p 2) = (0, 0) p 1 = p 2 = 0 Poznámka Vektory e 1,..., e n V n jsou lineárně nezávislé. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 27
16 Vektorové prostory Věta Skupina vektorů a 1,..., a r V n, r 2, je lineárně závislá právě když jeden z vektorů a 1,..., a r je lineární kombinací ostatních vektorů. Důkaz I. II. p 1 0 : p 1 a p r a r = o p 1 a 1 = p 2 a 2... p r a r a 1 = p2 p 1 a 2... pr p 1 a r a 1 = p 2 a p r a r o = a 1 + p 2 a p r a r odtud p 1 = 1 0. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 27
17 Vektorové prostory Příklad Lze v prostoru V n najít skupinu n + 1 lineárně nezávislých vektorů? p 1 a p n a n + p n+1 a n+1 = o (1) Vektorová rovnice (1) reprezentuje homogenní systém n rovnic o n + 1 neznámých (p 1,..., p n+1). Tento systém je řešitelný neboť hodnost matice soustavy je stejná jako hodnost rozšířené matice soustavy (přidáme pouze nulový sloupec) a má tedy nekonečně mnoho řešení tedy má i nenulové řešení LZ. Poznámka Je-li mezi vektory a 1..., a r některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory LZ. Věta Maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve V n je n. (Skupina n + 1 vektorů je vždy lineárně závislá; neexistuje více než n lineárně nezávislých vektorů). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 27
18 Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Definice Nechť a 1,..., a r jsou vektory z vektorového prostoru V. Jestliže lze libovolný vektor u V vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a 1,..., a r, říkáme, že vektorový prostor je generován vektory a 1,..., a r a této množině vektorů říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Definice Množina n lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru V n se nazývá báze vektorového prostoru. Definice Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dimv. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 27
19 Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Věta: Platí: 1 V n má nekonečně mnoho bází 2 Každá báze ve V n obsahuje právě n vektorů 3 Každý vektor u V n lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze. 4 Je-li báze tvořena vektery a 1,..., a n, pak u = p 1 a p n a n. Čísla p 1,..., p n se nazývají souřadnice vektoru u v bázi B. Píšeme u = (p 1,..., p n) B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 27
20 Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Poznámka Ortonormální báze: B 0 = e 1,..., e n. Je-li u = (u 1, u 2,..., u n), pak u = u 1 e u n e n, tj. u = (u 1, u 2,..., u n) B0 Není-li u souřadnic index báze uveden, předpokládáme, že jde o souřadnice vzhledem k ortonormální bázi B 0. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 27
21 Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Příklad Nalezněte souřadnice vektoru u = (7, 4) v bázi B = a 1, a 2, kde a 1 = (1, 3), a 2 = ( 1, 2). u = p 1 a 1 + p 2 a 2 (7, 4) = p 1(1, 3) + p 2( 1, 2) 7 = p 1 p 2 4 = 3p 1 + 2p 2 tedy p 1 = 2, p 2 = 5. Souřadnice vektoru u v bázi B jsou tedy: u = (2, 5) B Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 27
22 Obsah přednášky Příklady 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 27
23 Řešené příklady Příklady Příklad Vektor u = (0, 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů a 1 = ( 5, 2), a 2 = (3, 3). Řešení: u = p 1 a 1+p 2 a 2 5p 1 + 3p 2 = 0 2p 1 + 3p 2 = 1 Odečtením první rovnice od druhé dostáváme 7p 1 = 1 p 1 = 1 7 a dosazením například do první rovnice: p2 = 0 p2 = 5 21 u = 1 7 a a2 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 27
24 Řešené příklady Příklady Příklad Rozhodněte, zda dané vektory u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9) a w = (0, 2, 7) jsou lineárně závislé nebo lineárně nezávislé. Řešení: p 1 u + p 2 v + p 3 w = o p 1 + 3p 2 = 0 p 1 + 6p 2 + 2p 3 = 0 p 1 + 9p 2 + 7p 3 = 0 Z první rovnice máme p 1 = 3p 2. Dosazením do zbývajících rovnic dostáváme: 3p 2 + 2p 3 = 0 6p 2 + 7p 3 = 0 Pokud nyní od druhé rovnice odečteme dvakrát první rovnici dostaneme: 3p 3 = 0. Tedy p 3 = 0. Postupným dosazováním vypočteme p 2 a p 3. Soustava má jediné řešení a to p 1 = p 2 = p 3 = 0 tedy vektory jsou lineárně nezávislé. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 27
25 Řešené příklady Příklady Příklad Vektor a = (3, 2, 4) vyjádřete v dané bázi B u, v, w, kde u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1), w = (1, 0, 1). p 1 + p 3 = 3 p 1 + p 2 = 2 p 2 + p 3 = 4 Odečtením první rovnice od druhé dostáváme soustavu: p 1 + p 3 = 3 p 2 p 3 = 1 p 2 + p 3 = 4 Nyní odečteme druhou rovnici od třetí rovnice: p 1 + p 3 = 3 p 2 p 3 = 1 2p 3 = 5 Z poslední rovnice vypočteme p 3 = 5 2. Postupným dosazováním dostáváme p2 = 3 2 a p 1 = 1 2. Tedy souřadnice vektoru a v bázi B jsou a = (1/2, 3/2, 5/2) B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 27
26 Příklady k procvičení Příklady 1 Určete vektor v = a + 2 b 3 c, který je lineární kombinací vektorů a = (1, 1, 3), b = (4, 0, 1), c = (2, 3, 1). 2 Určete vektor x, pro který platí: 2( x + u) = 3 v + w, kde u = (1, 3, 0), v = (0, 2, 1), w = (0, 0, 2) 3 Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci ostatních vektorů. a) a = (5, 1, 11), b = (3, 2, 2), c = (2, 3, 1), d = (1, 1, 3) b) a = (1, 2, 4), u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9), w = (0, 2, 7) c) a = (1, 4, 6, 4), b = (1, 3, 2, 1), c = (1, 1, 3, 2), d = (2, 1 1, 3), e = (3, 2, 1, 1) 4 Vektor a vyjádřete v dané bázi B. a) a = (3, 2, 4), B = u, v, w, u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1), w = (1, 0, 1) b) a = (4, 6, 12, 6), B = u 1, u 2, u 3, u 4, kde u 1 = (2, 4, 8, 3), u 2 = (2, 3, 5, 3), u 3 = ( 1, 1, 3, 2), u 4 = (1, 2, 4, 2) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 27
27 Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 27
28 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatnou práci Příklad 1: Najděte vektor u pro který platí: a) u = 3( 1, 2, 0) + (1, 3, 2) + 2(0, 3, 1) b) a + 2 u = 3( b u) 2 a, kde a = (0, 1, 2, 3) a b = (2, 3, 2, 0) Příklad 2: Rozhodněte, zda dané vektory jsou lineárně závislé nebo nezávislé. a) u = (0, 2, 1), v = (3, 2, 2), w = (1, 4, 2) b) u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9), w = (0, 2, 7) Příklad 3: Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u, v, w a) a = (0, 2, 7), u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9), w = (1, 2, 4) b) a = ( 1, 4, 2), u = (1, 2, 4), v = (1, 1, 1), w = (2, 2, 4) Příklad 4: Zapište souřadnice vektoru a v bázi B a) a = (4, 11, 11), B = u, v, w, u = (2, 3, 3), v = ( 1, 4, 2), w = ( 1, 2, 4) b) a = (6, 2, 6, 7), B = u 1, u 2, u 3, u 4, u 1 = (1, 3, 2, 3), u 2 = (1, 1, 3, 2), u 3 = ( 6, 6, 9, 3), u 4 = ( 4, 4, 2, 8) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 27
29 Konec Následuje téma Matice. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 27
Rostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
VíceDefinice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceGymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
VíceVýrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu cv.
Operační výzkum Vícekriteriální hodnocení variant. Grafická metoda. Metoda váženého součtu cv. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceMatematika I 6a Vektorové prostory, báze, ortogonalizace
Matematika I 6a Vektorové prostory, báze, ortogonalizace Jan Slovák Masarykova univerzita, Fakulta informatiky 22. 10. 2012 Obsah přednášky 1 Vektorové prostory 2 Báze a souřadnice 3 Transformace souřadnic
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
Více2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
VíceAnalytická geometrie (3. - 4. lekce)
Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceHra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },
Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceTaky si zkuste promyslet, která zobrazení jsou afinní: to které zobrazí přímku jako rovinu? Nebo snad to které zobrazí rovinu jako přímku?
Afinní zobrazenní Úmluva Symbolem V (popř V ) budu vždy značit nějaký vektorový prostor, symbolem A (popř A ) pak vždy afinní bodový prostor, zdvojená písmena (např A, B, C, ) značí vždy matice Definice
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Buď (T, +, ) těleso. Pak soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,................................... a m1 x 1 + a m2 x
VíceOrientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k
Více4 Soustavy lineárních rovnic
4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Více3. Slimák lezl na strom 10m vysoký. Přes den vylezl 4m ale v noci vždycky sklouzl o 3m. Za kolik dní dosáhl vrcholu stromu?
Logické úlohy 1. Katka přišla k Janě, která krmila na dvoře drůbež. Katka se ptala: Víš, kolik máte kuřat, kolik housat a kolik kachňat? Jana odpověděla: Vím, a ty si to vypočítej: dohromady máme 90hlav.
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor013 Vypracoval(a),
Více( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201
7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji
Více4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
Více10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
VíceNe tak letmý úvod k maticím První pracovní verze
Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
Více(1.1) (1.2) vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme
1. Algebraický vektorový prostor Definice 1.1 (algebraický vektorový prostor). Množinu R n všech uspořádaných n-tic reálných čísel (a 1, a 2,..., a n ) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými
VíceFunkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP
VíceKVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VíceSoustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
VíceNumerická integrace. 6. listopadu 2012
Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme
VíceIRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
VíceDefinice a vlastnosti funkcí
Definice a vlastnosti funkcí Učební text pro druhý ročník (sextu) gymnázia V tomto textu jsou definovány základní, obecné pojmy týkající se funkcí. Součástí textu nejsou (velmi důležité!) obrázky; ty si
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Více1. a) Přirozená čísla
jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí
VíceMS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE
MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE 1 ZAPNUTÍ SLEDOVÁNÍ ZMĚN Pokud zapnete funkci Sledování změn, aplikace Word vloží značky tam, kde provedete mazání, vkládání a změny formátu. Na kartě Revize klepněte
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
Více3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí
DMA Přednáška Speciální relace Nechť R je relace na nějaké množině A. Řekneme, že R je částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. V tom případě značíme relaci a řekneme,
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ
Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.
VíceFyzikální praktikum 3 - úloha 7
Fyzikální praktikum 3 - úloha 7 Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití Teorie: Operační zesilovač je elektronická součástka využívaná v měřící, regulační a výpočetní technice. Ideální model má nekonečně
VíceSMĚŠOVACÍ KALORIMETR -tepelně izolovaná nádoba s míchačkou a teploměrem, která je naplněná kapalinou
KALORIMETRIE Kalorimetr slouží k měření tepla, tepelné kapacity, případně měrné tepelné kapacity Kalorimetrická rovnice vyjadřuje energetickou bilanci při tepelné výměně mezi kalorimetrem a tělesy v kalorimetru.
VíceMANUÁL PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH TESTOVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SADA B (TEST PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO 8LETÉHO GYMNÁZIA)
PH-M5MBCINT MANUÁL PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH TESTOVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SADA B (TEST PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO 8LETÉHO GYMNÁZIA) 1. TYPY TESTOVÝCH ÚLOH V TESTU První dvě úlohy (1 2) jsou tzv. úzce otevřené
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
VíceStatistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických
Vícesouřadné systémy geometrické určení polohy pevně spojené se vztažným tělesem
souřadné systémy geometrické určení polohy pevně spojené se vztažným tělesem kartézský souřadný systém Z Y X kartézský souřadný systém Z Y X kartézský souřadný systém Z x y Y X kartézský souřadný systém
VícePříklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
VíceŘešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
Více( ) ( ) 9.2.12 Podmíněné pravděpodobnosti I. Předpoklady: 9207
9.. Podmíněné pravděpodobnosti I Předpoklady: 907 Pedagogická poznámka: Podmíněné pravděpodobnosti se často vynechávají jako velmi těžké a nepochopitelné učivo. Moje zkušenosti ukazují, že situace není
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra fyziky, chemie a odborného vzdělávání Matematika jako nástroj fyziky ve vybraných fyzikálních zákonech Bakalářská práce Brno 2015 Vedoucí bakalářské práce:
Více2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou
.6. Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou Předpoklady: 60, 603 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem hodiny je nácvik volby odpovídajícího postupu. Proto je dobré nechat studentům chvíli, aby si metody
Vícetitul před titul za rodné číslo datum narození (nebylo-li přiděleno rodné číslo)
Návrh na vklad do katastru nemovitostí podle 4 zákona č. 265/1992 Sb. Spisová značka Určeno: Katastrálnímu úřadu pro Katastrální pracoviště vyplní katastrální úřad I. Údaje o účastnících řízení fyzických
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
VíceMatematika pro 9. ročník základní školy
Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy
VíceDruhá mocnina. Druhá odmocnina. 2.8.5 Druhá odmocnina. Předpoklady: 020804. V této hodině jsou kalkulačky zakázány.
.8.5 Druhá odmocnina Předpoklady: 0080 V této hodině jsou kalkulačky zakázány. Druhá mocnina nám umožňuje určit z délky strany plochu čtverce. Druhá mocnina 1 1 9 11 81 11 délky stran čtverců obsahy čtverců
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
Více1 Měření kapacity kondenzátorů
. Zadání úlohy a) Změřte kapacitu kondenzátorů, 2 a 3 LR můstkem. b) Vypočítejte výslednou kapacitu jejich sériového a paralelního zapojení. Hodnoty kapacit těchto zapojení změř LR můstkem. c) Změřte kapacitu
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
VíceOzobot aktivita lov velikonočních vajíček
Ozobot aktivita lov velikonočních vajíček Autor: Ozobot Publikováno dne: 9. března 2016 Popis: Tato hra by měla zábavnou formou procvičit programování ozokódů. Studenti mají za úkol pomoci Ozobotovi najít
VíceKontrolní test Číslicová technika 1/2. 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2
Kontrolní test Číslicová technika 1/2 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2 2.převeďte do dvojkové soustavy číslo 0,87 3.Převeďte do osmičkové soustavy z= 8 číslo (92,45)
VíceStavební mechanika 3. 9. přednáška, 2. května 2016
Stavební mechanika 3 9. přednáška,. května 06 Stavební mechanika 3 9. přednáška,. května 06 Silová metoda ) opakování použití principu virtuálních il ) vliv mykové deormace 3) motivační příklad 4) zobecnění
Vícepro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:
Kapitola 2 Gaussova eliminace Název druhé kapitoly je současně názvem nejčastěji používané metody (algoritmu) pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních
VíceMěřidla. Existují dva druhy měření:
V této kapitole se seznámíte s většinou klasických druhů měřidel a se způsobem jejich použití. A co že má dělat měření na prvním místě mezi kapitolami o ručním obrábění kovu? Je to jednoduché - proto,
VíceMatematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
Více15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceStanovení optimálních teplot výpalu vápenců z různých lokalit a jejich souvislostí s fyzikálními vlastnostmi vápenců
Stanovení optimálních teplot výpalu vápenců z různých lokalit a jejich souvislostí s fyzikálními vlastnostmi vápenců Ing. Radovan Nečas, Ing. Dana Kubátová, Ph.D., Ing. Jiří Junek, Ing. Vladimír Těhník
VíceRegresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
VíceKružnice. Kruh. Kruh K(S; r) je množina všech bodů roviny, které mají. od zadaného bodu S, vzdálenost r. Bod S je střed, r je poloměr kružnice.
Kružnice Kružnice k(s; r) je množina všech bodů roviny, které mají d od zadaného bodu S, vzdálenost r. Bod S je střed, r je poloměr kružnice. S r Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
VíceMetodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární
VíceMatematika 1. ročník. září
září Matematika 1. ročník Počítání předmětů v daných souborech. Tvorba souborů o daném počtu prvků 1-4, vytváření představy o čísle. Zavedení číslic 1-4, jejich poznávání a čtení. Řazení čísel na číselnou
VíceExterní zařízení Uživatelská příručka
Externí zařízení Uživatelská příručka Copyright 2009 Hewlett-Packard Development Company, L.P. Informace uvedené v této příručce se mohou změnit bez předchozího upozornění. Jediné záruky na produkty a
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Více1) Vypočítej A) 32 B) 44 C) 48 D) 56. 2) Urči číslo, které se skrývá za A ve výpočtu: 8 5 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15
Varianta A 4 4 4 4 4 4 4 4 1) Vypočítej A) 32 B) 44 C) 48 D) 56 2) Urči číslo, které se skrývá za A ve výpočtu: 8 5 20 120 A. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 3) Najdi největší a nejmenší trojciferné číslo skládající
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
VíceMODEL MOSTU. Ing.Jiřina Strnadová. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti. Předmět:Fyzika
MODEL MOSTU Ing.Jiřina Strnadová Předmět:Fyzika Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Model mostu Teoretický úvod: Příhradové nosníky (prutové soustavy) jsou složené z prutů, které jsou vzájemně spojené
VíceTento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.
Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146
VíceUniverzita Tomáše Bati ve Zlíně
Univerzita Tomáše Bati ve líně LABORATORNÍ CVIČENÍ ELEKTROTECHNIKY A PRŮMYSLOVÉ ELEKTRONIKY Název úlohy: pracovali: Měření činného výkonu střídavého proudu v jednofázové síti wattmetrem Petr Luzar, Josef
VíceOborové číslo Hodnocení - část A Hodnocení - část B Hodnocení - část A+B
PŘIJÍMACÍ TEST Z INFORMATIKY A MATEMATIKY NAVAZUJÍCÍ MAGISTERSKÉ STUDIUM V OBORU APLIKOVANÁ INFORMATIKA FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITY HRADEC KRÁLOVÉ ČÁST A Oborové číslo Hodnocení - část
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
VíceGoniometrie trigonometrie
Goniometrie trigonometrie Goniometrie se zabývá funkcemi sinus, kosinus, tangens, kotangens (goniometrické funkce). V tomto článku se budeme zabývat trigonometrií (součást goniometrie) používáním goniometrických
Více7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí?
7. Speciální teorie relativity 7.1 Kosmonaut v kosmické lodi, přibližující se stálou rychlostí 0,5c k Zemi, vyšle směrem k Zemi světelný signál. Jak velká je rychlost signálu a) vzhledem k Zemi, b) vzhledem
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY
Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!
VíceŘešení: 20. ročník, 2. série
Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme
Více1) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 16 D, - 4 D, - 12 D.
ČOČKY ) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 6 D, - 4 D, - 2 D. φ = 2 D φ 2 = 6 D φ = 4 D φ = 2 D f 4 =? (m) Optická mohutnost je převrácená hodnota ohniskové vzdálenosti
Více7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
Více