Mechanické veličiny. Teplota (NVE MD): U = U(r N ) = potenciál E = E(T, V) = vnitřní energie. E kin ƒ k B /2. T kin = Vnitřní energie:
|
|
- Antonie Vlčková
- před 3 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Mechanické veličiny 1/22 Teplota (NVE MD): T kin = E kin ƒ k B /2 značení zde: U = U(r N ) = potenciál E = E(T, V) = vnitřní energie Vnitřní energie: E = E kin + U = ƒ 2 k BT + U E id + E res res = reziduální (viz následující stránka) Tlak P = F V T, F = k B T ln Q N N!Λ 3N, Q N = V N exp( βu)d r N β = 1/k B T Trik: bezrozměrné (škálované) proměnné ξ : r = V 1/3 ξ P = k BT Q N Q N V = N U(V 1/3 ξ N V k ) BT P id + P res V kde derivaci U(V 1/3 ξ N )/ V počítáme za konstantních ξ N, tedy celá konfigurace se rovnoměrně sdrcne nebo nafoukne.
2 Reziduální veličiny 2/22 = vzhledem ke standardnímu stavu ideální plyn při stejné teplotě, stejném objemu i stejném složení jako daný systém. Užitečné v kanonickém (NVT) souboru. někdy též excess Pro Helmholtzovu energii: F = k B T ln Z N = k B T ln Q N N!Λ 3N = k BT ln VN N!Λ 3N k BT ln Q N V N F id + F res Opakování: de Broglieova tepelná vlnová délka: Λ = h 2πmkB T chemický potenciál ideálního plynu: μ id = Fid N T,V = k B T ln NΛ3 V
3 Tlak virtuální změna objemu 3/22 P = k BT Q N Q N V = N V k BT U(V 1/3 ξ N ) Numerická derivace (pro vybranou sérii konfigurací) V U V = U(V + ΔV) U(V) ΔV + O(ΔV) U( ) U( ) ΔV + O(ΔV) U U(V + ΔV) U(V ΔV) = + O(ΔV 2 ) V 2ΔV Implementace: U(V + ΔV) znamená nafouknutí celé konfigurace (všech vzdáleností) ve stejném poměru; u molekul vzhl. k ref. bodu (pak N je počet molekul): V + ΔV V 1/3 Přeškálovaná konfigurace je jen pomocná pro výpočet, není součástí trajektorie. Pro modely s tuhým jádrem takové, že při nafouknutí boxu nemůže dojít k překryvu, lze použít sdrcnutí: P = Nk B T/V + k BT ΔV e [U(V ΔV) U(V)]/k BT + O(ΔV)
4 Tlak z viriálu síly 4/22 Expandujeme derivaci: U(V 1/3 ξ N ) V = N =1 ƒ 1 3 V 2/3 ξ U = 1 r 3V N =1 r U r Výsledek: PV = Nk B T W ƒ W ƒ = N =1 r U r = N =1 r ƒ... nelze přímo použít v periodických okrajových podmínkách Párově aditivní síly v periodických okrajových podmínkách: P = N V k BT 1 3V rj (r j ) P id + P res <j (viriál síly)
5 Fluktuační veličiny + 5/22 (ΔX) 2 = Var X = (střední kvadratická) fluktuace = rozptyl = variance ΔX = X X fluktuace = (mech/el/... veličina) = (termodynamický potenciál) Méně přesné než střední hodnoty! Např. (NVT): P = F V T, E = βf β V Tepelná kapacita za konst. [V]: E C V = = 1 T k B T 2Var E = 1 k B T 2 (ΔE kin + ΔU) 2 V Cov (U, E kin ) = ΔUΔE kin = 0, Var E kin = ƒ 2 (k BT) 2 (viz cvičení) C V = 1 ƒ kb 2 k B T ΔU = ƒ k B k B T 2 (ΔU) 2 C V,id + C V,res Izotermická kompresibilita (stlačitelnost) v NPT souboru: κ = 1 V = (ΔV)2 V P Vk B T Též permitivita (dielektrická konstanta), více později T
6 Cvičení + 6/22 Vypočtěte (pomocí Maplu) E kin a Var E kin pro jeden stupeň volnosti, tj. E kin = 1 2 m2. Maple:
7 Entropické veličiny 7/22 Potřebujeme partiční funkci! Formálně: Q = e βu dr N 1 = e βu dr N V N e βu e +βu dr N = VN e βu... k ničemu metoda termodynamické integrace: přes reálné veličiny (T, V, P) nebo zapojovací parametr Widomova metoda vkládání částice neboltzmannovské vzorkování: postupné vkládání, alchymistická transmutace; deštníkové vzorkování (umbrella sampling), multiple histogram reweighting výpočet reverzibilní práce integrací síly metoda lokální hustoty
8 Metoda termodynamické integrace 8/22 Kanonický soubor vzpomeňte si na fyzikální chemii: F (βf) (βfres ) = P, = E, nebo V β β T Integrujeme numericky musíme pseudoměřit v mnoha bodech V V (E = vnitřní energie) = U Začínáme z vhodného známého stavu (ideální plyn, tuhé koule, Lennard-Jones, Einsteinův krystal) Důkaz # 1 vzorce (βf) β = E: (βf) β Důkaz # 2 vzorce (βf) β = E: = (F/T) (1/T) = (F/T) T / (1/T) T = ST F T 2 / 1 T 2 = ST + F = E (βf) β ln Z = β = 1 Z ψ Z e βe(ψ) β = β ψ = ψ E(ψ)e βe(ψ) = E = E e βe(ψ) ψ e βe(ψ)
9 Integrace přes zapojovací parametr 9/22 Uvažujme libovolnou závislost (βu)(λ), např.: β[u0 + λ(u 1 U 0 )] λ = zapojovací parametr (βu)(λ) = λu λ β: viz předchozí stránka načež βf res λ = ln Q λ = 1 Q e βu λ drn = 1 Q (βf res )(λ 1 ) = (βf res )(λ 0 ) + (βu)(λ) λ1 λ 0 λ e βu(λ) dr N = (βu)(λ) kde λ = střední hodnota v souboru (simulaci) s potenciálem U(λ) Příklad 1: pro λ = β dostaneme jako minule: β 1 F res (β 1 ) β 0 F res (β 0 ) = β1 λ β 0 U dβ λ dλ (βu)(λ) Příklad 2: integrace z Einsteinova krystalu do reálného krystalu. Pozn.: Einsteinův krystal = nezávislé harmonické oscilátory ve vrcholech mřížky λ λ
10 NeBoltzmannovské vzorkování 10/22 Chceme (βu) 1, ale simulujeme (βu) 0 (měníme β/u/oboje) Δ(βU) = (βu) 1 (βu) 0 X (βu)1 = Xe (βu) 1 d r N e (βu) 1 d r N = Xe (βu) 0 e Δ(βU) d r N e (βu) 0 e Δ(βU) d r N = Xe Δ(βU) 0 e Δ(βU) 0 Helmholtzova energie: Δ(βF res ) = β 1 F res ((βu) 1 ) β 0 F res ((βu) 0 ) = Q1 e (βu) 1 d r N ln = ln e (βu) 0 d r N Q 0 = ln e (βu) 0 e Δ(βU) d r N e (βu) 0 d r N = ln e Δ(βU) 0 = ln e +Δ(βU) 1 kde poslední rovnice vyplývá ze záměny 0 1
11 NeBoltzmannovské vzorkování II 11/22 Δ(βU) nesmí být příliš velké pro infinitezimálně malé Δ(βU) dostaneme termodynamickou integraci: Δ(βF res ) = ln e Δ(βU) 0 ln 1 Δ(βU) 0 Δ(βU) (βf res )/ λ = Δ(βU)/ λ λ Deštníkové vzorkování (umbrella sampling) Vzorkujeme systém uprostřed, mid = (βu) 0 + Δ(βU)/2 = (β 0 U 0 + β 1 U 1 )/2: Δ(βF res ) = ln e +Δ(βU)/2 mid ln e Δ(βU)/2 mid
12 Metadynamika 12/22 Kolektivní proměnná (proměnné) λ = λ(r N ) popisuje proces, který chceme studovat: reakční koordináta, vzdálenost ligand receptor (příp. vč. natočení), aj. K systému popsanému potenciálem U 0 přidáme bias potenciál ΔU(λ), který neznáme; na začátku třeba ΔU = 0. Vždy po určitém počtu kroků simulace aktualizujeme ΔU takto: ΔU := ΔU + ω δ(λ) h(λ) δ = aproximace δ-funkce (histogram bin, Gauss) ω = dostatečně malý relaxační parametr h(λ) = hustota kartézských bodů na nadploše λ; např. h(λ) = 4πλ 2 pro λ = r 12 příště bude menší pravděpodobnost navštívení stejného λ Po zkonvergování máme uniformní (vzhledem k projekci kartézské míry na λ) rozdělení pravděpodobnosti stavů a platí F(λ) = const ΔU(λ) Vhodné pro překonání bariér (špatná ergodicita hrdlo láhve ) vč. výpočtu profilu volné energie (ΔF nebo ΔG) MC varianta: Wang Landau
13 Multiple histogram reweighting I + 13/22 Četnost energií pro inverzní teplotu β (normovaný histogram): h (E) = hustota stavů o dané energii n(e)e β E n(e)e β E de = n(e)e β (E F ) n(e) = Z jedné teploty [ale F (ještě) neznám]: E=U 1 d r N n(e) = h (E)e β (E F ) Více simulací pro několik teplot: zprůměrujeme přes ně: n(e) = (E)h (E)e β (E F ), (E) = 1 Určení vah: minimalizace chyby δn(e) nebo kvalifikovaný odhad: (E) = N h (E) j N jh j (E) = N e β(e F) j N je β j(e F j ) kde N je počet měření s teplotou β
14 Multiple histogram reweighting II + 14/22 e β F = n(e)e β E de = h (E)e β E j N je β j(e F j ) de což řešíme iteračně (self-konzistentní řešení). F jsou určeny až na aditivní konstantu, n(e) na multiplikativní Střední hodnota za teploty β: X(E)n(E)e βe de X(E) h (E) j N je β j(e F j ) e βe de X β = n(e)e βe de = h (E) j N je β j(e F j ) e βe de de je součet přes histogramy šířky ΔE v extrémním případě velmi úzkého ΔE skladujeme všechny vypočtené energie a místo h (E)dE přes ně sčítáme protože VarE/ E N 1/2, lze odhadnout β /β +1 1 ± N 1/2
15 Parallel tempering + 15/22 k simulací při teplotách β 1 < β 2... provádím paralelně. Občas krok prohození 2 subsystémů β, β j (normálně j = 1) přijmu s pravděpodobností: min 1, exp( β E j β j E ) exp( β E β j E j ) Výhody: snáze překonám bariéry, lepší ergodicita, rychlejší konvergence při nízkých teplotách Nevýhody: korelace subsystémů a složitější odhad chyb
16 Widomova metoda vkládání částice I 16/22 Otevřený systém: βμ res = (βfres ) N βμ = V,T df = SdT PdV + μdn (βf) = N V,T = ln(qn /V N ) N ln ZN N V,T V,T ln Q N+1 V N+1 ln Q N V N exp( βμ res ) = 1 V Q N+1 Q N Ještě jednou pro plný chemický potenciál: e βμ = Z N+1 Z N = 1 (N + 1)Λ 3 Q N+1 Q N 1 NΛ 3 Q N+1 Q N po odečtení μ id = k B T ln NΛ3 V dostaneme stejné μ res = μ μ id
17 Widomova metoda vkládání částice II 17/22 exp( βμ res ) = 1 V Q N+1 Q N 1 V Q N+1 Q N = N N VQ N U N+1 = U N + Ψ(N) exp( βu N βψ)d r 1... d r N+1 = 1 V e βψ N d r N+1 exp( βμ res ) = 1 V e βψ N d r N+1 = e βψ N náhodně r N+1 1 V Xd rn+1 = X random rn+1 = střední hodnota X přes polohy (N+ 1)-ní částice v objemu V počítaná MC integrací, tj. náhodným vkládáním (N + 1)-ní částice neovlivňuje simulaci je virtuální (fiktivní, ghost) Problém: husté systémy, velké rozpuštěnce Náprava: postupné vkládání Podobně: vkládání rozpuštěnce rozpustnost, Henryho konstanta
18 Příklad 18/22 Simulovali jsme N = 500 atomů Ar (Lennard-Jones: σ = Å, ε/k B = K) v boxu o objemu V = nm 3 za teploty T = 150 K. Widomovou metodou jsme našli * exp( μ res /k B T) = 0.749(3) μ id = k B T ln NΛ3 V Vypočtěte μ, chemický potenciál Ar vzhledem ke standardnímu stavu ideální plyn za tlaku p st = 1 bar a za teploty T. Rada: μ res = μ μ id (T, V) (N částic v objemu V) μ = μ μ id (T, V id ) (V id = objem id. plynu sestávajícího z N částic za T, p st ) μres = J (per molecule) σ(μres) = kbt (0.003/0.749) = J (std. error) V id = NkBT/p st = nm 3 Δμ μ( nm 3 ) μ(10355 nm 3 ) = TΔs = kbt ln(15.791/10355) = J μ = μres + Δμ = (8) J μ = 8.449(5) kj mol 1 (per mole) * Hodnoty v závorkách jsou odhadnuté nejistoty v jednotkách poslední uvedené cifry.
19 Henryho konstanta 19/22 Plyn (2) rozpuštěn v kapalině (1), mol. zlomek v kapalině 2 = N 2 /(N 1 + N 2 ), 2 1. Jedna z forma vyjádření Henryho zákona pro parciální tlak p 2 plynu (2) v rovnováze s roztokem: p 2 = K H 2 Virtuálním vkládáním jedné molekuly (N 2 = 1) plynu (2) do čisté kapaliny (1) dostaneme reziduální chemický potenciál (2) za molárního zlomku 2 = 1/(N 1 + 1) 1/N 1, μ res,2 = μ 2 ( 2 ) μ id 2 (V) Protože jsme rovnováze (nezapomeň, že N 2 = 1), μ 2 ( 2 ) = μ id (V 2 ) = k B T ln Λ3 2 V 2 kde V 2 je objem odpovídající tlaku p 2, μ id = k B T ln NΛ3 V Nakonec: V 2 = 1k BT p 2 K H = ρ 1 k B Te βμ res, = kde ρ 1 = N 1 /V (číselná hustota kapaliny (1)). = k BT 2 K H = k BTN 1 K H ρ 1 k B T e βψ N1 náhodné vložení (2)
20 Reverzibilní práce integrací střední síly 20/22 Z termodynamiky: Δμ = r (2) r (1) ƒ d r kde ƒ je síla působící na částici a and U ( r ) její potenciál Molekuly: integrujeme střední sílu na těžiště či vhodný referenční bod Příklad:
21 Střední síla a její potenciál + 21/22 Definujme jednočásticovou hustotu ρ 1 ( r 1 ) = N Q N e βu( r 1,..., r N ) d r 2... d r N ρ 1 ( r 1 )d r 1 je pravděpodobnost nalezení částice (libovolné) v d r 1 rozšíření na směsi: N/Q N N species /Q N Potenciál střední síly je definován vztahem: Odpovídající síla je U1 ƒ = r 1 U 1 ( r 1 ) = k B T ln[vρ 1 ( r 1 )] = k B T ρ 1/ r 1 ρ 1 = U r 1 tj. je to skutečně střední síla na částici 1 držené v poloze r 1. r 2,..., r N = ƒ 1 r2,..., r N Pozn.: Podobně z dvoučásticové rozdělovací funkce, což je pro pár částic v izotropní tekutine g(r), dostaneme potenciál střední síly U 2 (r) = k B T ln[g(r)]
22 Metoda lokální hustoty/koncentrace + 22/22 Necht na rozpuštěnce působí vnější potenciál U ext ( r) (např. gravitace ). V rovnováze: čili μ ( r) + U ext ( r) = const μ ( r 1 ) μ ( r 2 ) = [U ext ( r 1 ) U ext ( r 2 )] Určujeme koncentraci či hustotu v r, znajíce chemický potenciál (vzhl. k jisté referenci) Příklad:
Fluktuace termodynamických veličin
Kvantová a statistická fyzika (Termodynamika a statistická fyzika Fluktuace termodynamických veličin Fluktuace jsou odchylky hodnot fyzikálních veličin od svých středních (rovnovážných hodnot. Mají původ
VíceFyzikální chemie. Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302. 14. února 2013
Fyzikální chemie Magda Škvorová KFCH CN463 magda.skvorova@ujep.cz, tel. 3302 14. února 2013 Co je fyzikální chemie? Co je fyzikální chemie? makroskopický přístup: (klasická) termodynamika nerovnovážná
VíceTento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně.
Statistická fyzika - cvičení RNDr. Filip Moučka, Ph.D., filip.moucka@ujep.cz Tento dokument je doplňkem opory pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně. Cílem tohoto textu
VíceTermodynamika materiálů. Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn
Termodynamika materiálů Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn Důležité konstanty Standartní podmínky Avogadrovo číslo N A = 6,023.10
Více9. Struktura a vlastnosti plynů
9. Struktura a vlastnosti plynů Osnova: 1. Základní pojmy 2. Střední kvadratická rychlost 3. Střední kinetická energie molekuly plynu 4. Stavová rovnice ideálního plynu 5. Jednoduché děje v plynech a)
VíceMolekulový počítačový experiment
Molekulový počítačový experiment 1/16 též pseudoexperiment REÁLNÝ EXPERIMENT Vedení laboratorního deníku POČÍTAČOVÝ EXPERIMENT Vedení laboratorního deníku Zvol metodu (přístroj, protokol) Zvol metody (MD,
Více6. Stavy hmoty - Plyny
skupenství plynné plyn x pára (pod kritickou teplotou) stavové chování Ideální plyn Reálné plyny Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti skupenství plynné reálný plyn ve stavu
VíceNeideální plyny. Z e dr dr dr. Integrace přes hybnosti. Neideální chování
eideální plyny b H Q(, V, T )... e dp 3... dpdr... dr! h Integrace přes hybnosti QVT (,, ) pmkt! h 3 / e dr dr dr /... U kt... eideální chování p kt r B ( T) r B ( T) r 3 3 Vyšší koeficinety velice složité
VíceN A = 6,023 10 23 mol -1
Pro vyjadřování množství látky se v chemii zavádí veličina látkové množství. Značí se n, jednotkou je 1 mol. Látkové množství je jednou ze základních veličin soustavy SI. Jeden mol je takové množství látky,
VíceHmotnost atomů a molekul 6 Látkové množství 11. Rozdělení směsí 16 Separační metody 20. Hustota, hmotnostní a objemový zlomek 25.
Obsah Obecná chemie II. 1. Látkové množství Hmotnost atomů a molekul 6 Látkové množství 11 2. Směsi Rozdělení směsí 16 Separační metody 20 3. Chemické výpočty Hustota, hmotnostní a objemový zlomek 25 Koncentrace
VíceDo známky zkoušky rovnocenným podílem započítávají získané body ze zápočtového testu.
Podmínky pro získání zápočtu a zkoušky z předmětu Chemicko-inženýrská termodynamika pro zpracování ropy Zápočet je udělen, pokud student splní zápočtový test alespoň na 50 %. Zápočtový test obsahuje 3
VícePlyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2
Plyny Plyn T v, K Vzácné plyny 11 plynných prvků He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn 165 Rn 211 N 2 O 2 77 F 2 90 85 Diatomické plynné prvky Cl 2 238 H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 H 2 He Ne Ar Kr Xe 20 4.4 27 87 120 1 Plyn
VíceMol. fyz. a termodynamika
Molekulová fyzika pracuje na základě kinetické teorie látek a statistiky Termodynamika zkoumání tepelných jevů a strojů nezajímají nás jednotlivé částice Molekulová fyzika základem jsou: Látka kteréhokoli
VíceA až E, s těmito váhami 6, 30, 15, 60, 15, což znamená, že distribuce D dominuje.
Příklad 1 Vypočtěte počet způsobů rozdělení 18 identických objektů do 6 boxů s obsahem 1,0,3,5,8,1 objektů a srovnejte tuto váhu s konfigurací, kdy je každý box obsazen třemi objekty. Která konfigurace
VíceKapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH. I. Základní pojmy FCH a kinetická teorie plynů
Kapitoly z fyzikální chemie KFC/KFCH I. Základní pojmy FCH a kinetická teorie plynů RNDr. Karel Berka, Ph.D. Univerzita Palackého v Olomouci Zkouška a doporučená literatura Ústní kolokvium Doporučená literatura
Vícemetoda je základem fenomenologické vědy termodynamiky, statistická metoda je základem kinetické teorie plynů, na níž si princip této metody ukážeme.
Přednáška 1 Úvod Při studiu tepelných vlastností látek a jevů probíhajících při tepelné výměně budeme používat dvě různé metody zkoumání: termodynamickou a statistickou. Termodynamická metoda je základem
Více2.4 Stavové chování směsí plynů Ideální směs Ideální směs reálných plynů Stavové rovnice pro plynné směsi
1. ZÁKLADNÍ POJMY 1.1 Systém a okolí 1.2 Vlastnosti systému 1.3 Vybrané základní veličiny 1.3.1 Množství 1.3.2 Délka 1.3.2 Délka 1.4 Vybrané odvozené veličiny 1.4.1 Objem 1.4.2 Hustota 1.4.3 Tlak 1.4.4
VíceTepelná vodivost. střední rychlost. T 1 > T 2 z. teplo přenesené za čas dt: T 1 T 2. tepelný tok střední volná dráha. součinitel tepelné vodivosti
Tepelná vodivost teplo přenesené za čas dt: T 1 > T z T 1 S tepelný tok střední volná dráha T součinitel tepelné vodivosti střední rychlost Tepelná vodivost součinitel tepelné vodivosti při T = 300 K součinitel
VíceFázové přechody Isingův model
Fázové přechody Isingův model Fázové přechody prvního druhu: diskontinuita v první derivaci volné energie Fázové přechody druhého druhu: diskontinuita v druhých derivacích A Může statistická mechanika
VíceTermodynamika a živé systémy. Helena Uhrová
Termodynamika a živé systémy Helena Uhrová Základní pojmy termodynamiky soustava izolovaná otevřená okolí vlastnosti soustavy znaky popisující soustavu stav rovnováhy tok m či E =0 funkce stavu - soubor
VíceLekce 9 Metoda Molekulární dynamiky III. Technologie
Lekce 9 Metoda molekulární dynamiky III Technologie Osnova 1. Výpočet sil. Výpočet termodynamických parametrů 3. Ekvilibrizační a simulační část MD simulace Výpočet sil Pohybové rovnice ɺɺ W mk rk = FK,
VíceDyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics
Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí
VíceIDEÁLNÍ PLYN. Stavová rovnice
IDEÁLNÍ PLYN Stavová rovnice Ideální plyn ) rozměry molekul jsou zanedbatelné vzhledem k jejich vzdálenostem 2) molekuly plynu na sebe působí jen při vzájemných srážkách 3) všechny srážky jsou dokonale
VícePlyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2
Plyny Plyn T v, K Vzácné plyny 11 plynných prvků He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn 165 Rn 211 N 2 O 2 77 F 2 90 85 Diatomické plynné prvky Cl 2 238 H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 H 2 He Ne Ar Kr Xe 20 4.4 27 87 120 1 Plyn
Více2.6. Koncentrace elektronů a děr
Obr. 2-11 Rozložení nosičů při poloze Fermiho hladiny: a) v horní polovině zakázaného pásu (p. typu N), b) uprostřed zakázaného pásu (vlastní p.), c) v dolní polovině zakázaného pásu (p. typu P) 2.6. Koncentrace
VíceLátkové množství n poznámky 6.A GVN
Látkové množství n poznámky 6.A GVN 10. září 2007 charakterizuje látky z hlediska počtu částic (molekul, atomů, iontů), které tato látka obsahuje je-li v tělese z homogenní látky N částic, pak látkové
VíceIdeální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory
Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Vlastnosti ideálního plynu: Ideální plyn Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, epelné motory rozměry molekul jsou ve srovnání se střední
VíceMolekulová fyzika a termika. Přehled základních pojmů
Molekulová fyzika a termika Přehled základních pojmů Kinetická teorie látek Vychází ze tří experimentálně ověřených poznatků: 1) Látky se skládají z částic - molekul, atomů nebo iontů, mezi nimiž jsou
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Chemie (CHE) Obecná chemie 1. ročník a kvinta 2 hodiny týdně Školní tabule, interaktivní tabule, tyčinkové a kalotové modely molekul, zpětný projektor, transparenty,
VíceRovnováha Tepelná - T všude stejná
Fázové heterogenní rovnováhy Fáze = homogenní část soustavy, oddělná fyzickým rozhraním, na rozhraní se vlastnosti mění skokem Rovnováha Tepelná - T všude stejná Mechanická - p všude stejný Chemická -
VíceCHEMICKÉ VÝPOČTY I. ČÁST LÁTKOVÉ MNOŽSTVÍ. HMOTNOSTI ATOMŮ A MOLEKUL.
CHEMICKÉ VÝPOČTY I. ČÁST LÁTKOVÉ MNOŽSTVÍ. HMOTNOSTI ATOMŮ A MOLEKUL. Látkové množství Značka: n Jednotka: mol Definice: Jeden mol je množina, která má stejný počet prvků, jako je atomů ve 12 g nuklidu
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceChemická kinetika. Reakce 1. řádu rychlost přímo úměrná koncentraci složky
Chemická kinetika Chemická kinetika Reakce 0. řádu reakční rychlost nezávisí na čase a probíhá konstantní rychlostí v = k (rychlost se rovná rychlostní konstantě) velmi pomalé reakce (prakticky se nemění
VíceFYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 1. ČÁST KCH/P401
Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta FYZIKÁLNÍ CHEMIE I: 1. ČÁST KCH/P401 Magda Škvorová Ústí nad Labem 2013 Obor: Toxikologie a analýza škodlivin, Chemie (dvouoborová) Klíčová
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceFyzika IV. g( ) Vibrace jader atomů v krystalové mříži
Vibrace jader atomů v krystalové mříži v krystalu máme N základních buněk, v každé buňce s atomů, které kmitají kolem rovnovážných poloh výchylky kmitů jsou malé (Taylorův rozvoj): harmonická aproximace
VíceÚloha 1: Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu.
Úloha : Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu. Všechny zadané prvky mají krystalovou strukturu kub. diamantu. (http://en.wikipedia.org/wiki/diamond_cubic),
VíceFázové heterogenní rovnováhy Fáze = homogenní část soustavy, oddělná fyzickým rozhraním, na rozhraní se vlastnosti mění skokem
Fázové heterogenní rovnováhy Fáze = homogenní část soustavy, oddělná fyzickým rozhraním, na rozhraní se vlastnosti mění skokem Rovnováha Tepelná - T všude stejná Mechanická - p všude stejný Chemická -
VíceNultá věta termodynamická
TERMODYNAMIKA Nultá věta termodynamická 2 Práce 3 Práce - příklady 4 1. věta termodynamická 5 Entalpie 6 Tepelné kapacity 7 Vnitřní energie a entalpie ideálního plynu 8 Výpočet tepla a práce 9 Adiabatický
VícePlyn. 11 plynných prvků. Vzácné plyny He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2
Plyny Plyn T v, K 11 plynných prvků Vzácné plyny He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Diatomické plynné prvky H 2, N 2, O 2, F 2, Cl 2 H 2 20 He 4.4 Ne 27 Ar 87 Kr 120 Xe 165 Rn 211 N 2 77 O 2 90 F 2 85 Cl 2 238 1 Plyn
VíceFyzika - Sexta, 2. ročník
- Sexta, 2. ročník Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence komunikativní Kompetence k řešení problémů Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence
VícePočítačové simulace a statistická mechanika
Počítačové simulace a statistická mechanika Model = soubor aproximaci přijatých za účelem popisu určitého systému okrajové podmínky mezimolekulové interakce Statistické zpracování průměrování ve fázovém
VíceStatistická termodynamika
Statistická termodynamika Jan Řezáč UOCHB AV ČR 24. listopadu 2016 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Statistická termodynamika 24. listopadu 2016 1 / 38 Úvod Umíme popsat jednotlivé molekuly (případně jejich interakce)
VíceFázové rovnováhy I. Phase change cooling vest $ with Free Shipping. PCM phase change materials
Fázové rovnováhy I PCM phase change materials akumulace tepla pomocí fázové změny (tání-tuhnutí) parafin, mastné kyseliny tání endotermní tuhnutí - exotermní Phase change cooling vest $149.95 with Free
VíceTermodynamika. T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]= t [ 0 C] termodynamická teplota: Stavy hmoty. jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické
Termodynamika termodynamická teplota: Stavy hmoty jednotka: 1 K (kelvin) = 1/273,16 část termodynamické teploty trojného bodu vody (273,16 K = 0,01 o C). 0 o C = 273,15 K T [K ]=t [ 0 C] 273,15 T [ K ]=
VíceZákladem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček:
Molekulová fyzika zkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struktury, pohybu a vzájemného působení částic, ze kterých se látky skládají. Termodynamika se zabývá zákony přeměny různých forem energie
VíceFenomenologická termodynamika
Atkins 1 Fenomenologická termodynamika Popisuje makroskopický stav Neuvažuje vnitřní stavbu hmoty okolí termodynamická soustava (systém) okolí Vnitřní parametry teplota T vnitřní energie U tlak p látková
VíceFáze a fázové přechody
Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Fáze a fázové přechody Pojem fáze je zobecněním pojmu skupenství, označuje homogenní část makroskopického tělesa. Jednotlivé fáze v
VícePoznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3.
Vnitřní energie U Vnitřní energie U je stavová veličina U = U (p, V, T), ale závisí pouze na teplotě (experiment Gay-Lussac / Joule) U = f(t) Pro měrnou vnitřní energii (tedy pro vnitřní energii jednoho
VíceFyzikální chemie. 1.2 Termodynamika
Fyzikální chemie. ermodynamika Mgr. Sylvie Pavloková Letní semestr 07/08 děj izotermický izobarický izochorický konstantní V ermodynamika rvní termodynamický zákon (zákon zachování energie): U Q + W izotermický
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
VícePravdìpodobnostní popis
Pravdìpodobnostní popis 1/19 klasická mechanika { stav = { r 1,..., r N, p 1,..., p N } stavù je { hustota pravdìpodobnosti stavù ρ( r 1,..., r N, p 1,..., p N ) kvantové mechaniky { stav = stavù je koneènì
VíceMonte Carlo. Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel.
Monte Carlo Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel. Typy MC simulací a) MC integrace b) Geometrické MC c) Termodynamické MC d) Modelování vývoje na strukturální
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceOBECNÁ CHEMIE. Kurz chemie pro fyziky MFF-UK přednášející: Jaroslav Burda, KChFO.
OBECNÁ CHEMIE Kurz chemie pro fyziky MFF-UK přednášející: Jaroslav Burda, KChFO burda@karlov.mff.cuni.cz HMOTA, JEJÍ VLASTNOSTI A FORMY Definice: Každý hmotný objekt je charakterizován dvěmi vlastnostmi
Více2. Statistický popis plazmatu
Statistický popis plazmatu 60 Statistický popis plazmatu Při popisu typického plazmatu je technicky nemožné popsat trajektorie všech částic Jen v řídkém plazmatu mezihvězdného prostoru nalezneme miliony
VíceTERMOMECHANIKA 1. Základní pojmy
1 FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. TERMOMECHANIKA 1. Základní pojmy OSNOVA 1. KAPITOLY Termodynamická soustava Energie, teplo,
VíceFyzikální chemie Úvod do studia, základní pojmy
Fyzikální chemie Úvod do studia, základní pojmy HMOTA A JEJÍ VLASTNOSTI POSTAVENÍ FYZIKÁLNÍ CHEMIE V PŘÍRODNÍCH VĚDÁCH HISTORIE FYZIKÁLNÍ CHEMIE ZÁKLADNÍ POJMY DEFINICE FORMY HMOTY Formy a nositelé hmoty
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceIII. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYNŮ
III. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYNŮ 3.1 Ideální plyn a) ideální plyn model, předpoklady: 1. rozměry molekul malé (ve srovnání se střední vzdáleností molekul). molekuly na sebe navzálem silově nepůsobí (mimo
VíceFyzika IV. -ezv -e(z-zv) kov: valenční elektrony vodivostní elektrony. Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 1897: J.J. Thomson - elektron jako částice 1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů Drudeho model elektrony se mezi srážkami
Více5.7 Vlhkost vzduchu 5.7.5 Absolutní vlhkost 5.7.6 Poměrná vlhkost 5.7.7 Rosný bod 5.7.8 Složení vzduchu 5.7.9 Měření vlhkosti vzduchu
Fázové přechody 5.6.5 Fáze Fázové rozhraní 5.6.6 Gibbsovo pravidlo fází 5.6.7 Fázový přechod Fázový přechod prvního druhu Fázový přechod druhého druhu 5.6.7.1 Clausiova-Clapeyronova rovnice 5.6.8 Skupenství
VíceŘešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky
Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první
VícePřírodní vědy - Chemie vymezení zájmu
Přírodní vědy - Chemie vymezení zájmu Hmota Hmota má dualistický, korpuskulárně (částicově) vlnový charakter. Převládající charakter: korpuskulární (částicový) - látku vlnový - pole. Látka se skládá z
VíceStanislav Labík. Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost
Stanislav Labík Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost 325 labik@vscht.cz 220 444 257 http://www.vscht.cz/fch/ Výuka Letní semestr N403032 Základy fyzikální chemie
VíceSedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:
Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces
Více8. Chemické reakce Energetika - Termochemie
- Termochemie TERMOCHEMIE oddíl termodynamiky Tepelné zabarvení chemických reakcí Samovolnost chemických reakcí Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti - Termochemie TERMOCHEMIE
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceNekovalentní interakce
Nekovalentní interakce Jan Řezáč UOCHB AV ČR 3. listopadu 2016 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Nekovalentní interakce 3. listopadu 2016 1 / 28 Osnova 1 Teorie 2 Typy nekovalentních interakcí 3 Projevy v chemii
Více8 Elasticita kaučukových sítí
8 Elasticita kaučukových sítí Elastomerní polymerní látky (např. kaučuky) tvoří ze / chemické příčné vazby a / fyzikální uzly. Vyznačují se schopností deformovat se již malou silou nejméně o 00 % své původní
VíceTermodynamika 2. UJOP Hostivař 2014
Termodynamika 2 UJOP Hostivař 2014 Skupenské teplo tání/tuhnutí je (celkové) teplo, které přijme pevná látka při přechodu na kapalinu během tání nebo naopak Značka Veličina Lt J Nedochází při něm ke změně
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceHydrochemie koncentrace látek (výpočty)
1 Atomová hmotnostní konstanta/jednotka m u Relativní atomová hmotnost Relativní molekulová hmotnost Látkové množství (mol) 1 mol je takové množství látky, které obsahuje tolik částic, kolik je atomů ve
VíceNekovalentní interakce
Nekovalentní interakce Jan Řezáč UOCHB AV ČR 31. října 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Nekovalentní interakce 31. října 2017 1 / 28 Osnova 1 Teorie 2 Typy nekovalentních interakcí 3 Projevy v chemii 4 Výpočty
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VíceSkupenské stavy látek. Mezimolekulární síly
Skupenské stavy látek Mezimolekulární síly 1 Interakce iont-dipól Např. hydratační (solvatační) interakce mezi Na + (iont) a molekulou vody (dipól). Jde o nejsilnější mezimolekulární (nevazebnou) interakci.
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceLOGO. Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn
Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Ideální plyn Protože popsat chování plynů je nad naše možnosti, zavádíme zjednodušený model tzv. ideálního plynu, který má tyto vlastnosti: Částice ideálního plynu
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceTermodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů
Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceZákladní chemické výpočty I
Základní chemické výpočty I Tomáš Kučera tomas.kucera@lfmotol.cuni.cz Ústav lékařské chemie a klinické biochemie 2. lékařská fakulta, Univerzita Karlova v Praze a Fakultní nemocnice v Motole 2017 Relativní
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceGenerování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
VíceFyzika IV Dynamika jader v molekulách
Dynamika jader v molekulách vibrace rotace Dynamika jader v molekulách rotační energetické hladiny (dvouatomová molekula) moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm osa těžiště m2 m1 r2 r1 R moment
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceTrocha termodynamiky ještě nikdy nikoho nezabila (s pravděpodobností
Trocha termodynamiky ještě nikdy nikoho nezabila (s pravděpodobností 95 %) Studium tohoto podpůrného textu není k vyřešení úlohy B3 potřeba, slouží spíše k obohacení vašich znalostí o rovnovážných dějích,
VíceDomácí úlohy ke kolokviu z předmětu Panorama fyziky II Tomáš Krajča, , Jaro 2008
Domácí úlohy ke kolokviu z předmětu Panorama fyziky II Tomáš Krajča, 255676, Jaro 2008 Úloha 1: Jaká je vzdálenost sousedních atomů v hexagonální struktuře grafenové roviny? Kolik atomů je v jedné rovině
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více