Základy vytěžování dat

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy vytěžování dat"

Transkript

1 Základy vytěžování dat předmět A7Bb36vyd Vytěžování dat Filip Železný, Miroslav Čepek, Radomír Černoch, Jan Hrdlička katedra kybernetiky a katedra počítačů ČVUT v Praze, FEL Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Klasifikace a predikce Odkaz na výukové materiály: https://cw.felk.cvut.cz/doku.php/courses/a7b36vyd/moduly/start (oddíl 5) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

3 Vytěžování dat, přednáška 7: Klasifikace Filip Železný Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Fakulta elektrotechnická, ČVUT 1 / 24 Klasifikace

4 Učení s učitelem Pravděpodobnostní rozdělení P XY na X Y Předpokládáme, že Y je konečná množina Data: D je multimnožina D = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),... (x m, y 2 )} (m N) prvky vybrány náhodně a navzájem nezávisle z P XY Vzor se bude používat na tomtéž X, Y a P XY Obvykle hledáme vzory aproximující (pro zadané x X) podmíněnou pravděpodobnost P Y X (y x) = P XY (x, y)/p X (x) nebo nejpravděpodobnější hodnotu arg max y Y P Y X (y x) tyto vzory nazýváme klasifikátory 2 / 24 Klasifikace

5 Klasifikace s jedním příznakem X Vysoké příjmy ano ano ne ano ne ne ne ano ano ano ne Y Splácí úvěr ano ne ano ano ne ne ano ano ano ano ne Kontingenční tabulka Y (splácí úvěr) ano ne X (vysoké ano příjmy) ne Nový žadatel o úvěr má vysoké příjmy. Bude splácet úvěr? S jakou pravděpodobností? 3 / 24 Klasifikace

6 Klasifikace dle aposteriorní pravděpodobnosti Klient má vysoké příjmy. Jak bude splácet úvěr? Tedy z x = vysoké urči nejpravděpodobnější hodnotu y (třídu). Hledáme y vyhovující Řešení je y = splácí y = arg max P Y X (y vysoké) y P Y X (y vysoké) 2/3 S pravděpodobností 1 P Y X (y vysoké) klasifikujeme chybně. Klasifikací y = splácí tedy minimalizujeme chybu. 4 / 24 Klasifikace

7 Ztrátová funkce Každá chyba klasifikace je jinak drahá. Např. příliš optimististické hodnocení klienta stojí víc než příliš skeptické. Klasifikace dle aposteriorní pravděpodobnosti toto nerespektuje. Pro zohlednění odlišných ztrát pro různé chyby potřebujeme pojem ztrátové funkce. Ztrátová funkce L(y, y ) zachycuje ztrátu pro každou kombinaci y - skutečná třída y - třída, do které klasifikujeme Pro náš příklad L(y, y ) např.: y y splácí problémy nesplácí splácí problémy nesplácí / 24 Klasifikace

8 Klasifikátor a Riziko Hledáme klasifikátor, tj. funkci f : X Y minimalizující střední hodnotu ztráty: R(f) = x,y L(y, f(x))p XY (x, y) Střední hodnotu ztráty pro f se nazývá riziko klasifikátoru f. Řešením f = arg min f R(f) je funkce f (x) = arg min y r(x, y ) kde r(x, y ) = y L(y, y )P Y X (y x) je riziko klasifikace y při příznaku x 6 / 24 Klasifikace

9 Klasifikace jako minimalizace rizika Jak klasifikovat vysokopříjmového klienta? P Y X L x y splácí problémy nesplácí vysoké 2/3 1/3 0/3 střední 2/6 2/6 2/6 nízké 0/2 1/2 1/2 y y splácí problémy nesplácí splácí problémy nesplácí Klasifikace y = splácí skut. třída ztráta s pravděp. splácí 0 2/3 problémy 5 1/3 nesplácí 10 0 Riziko při této klasifikaci: 0 2/ / = 5/3 7 / 24 Klasifikace

10 Klasifikace jako minimalizace rizika Jak klasifikovat vysokopříjmového klienta? P Y X L x y splácí problémy nesplácí vysoké 2/3 1/3 0/3 střední 2/6 2/6 2/6 nízké 0/2 1/2 1/2 y y splácí problémy nesplácí splácí problémy nesplácí Klasifikace y = problémy skut. třída ztráta s pravděp. splácí 1 2/3 problémy 0 1/3 nesplácí 5 0 Riziko při této klasifikaci: 1 2/ / = 2/3 8 / 24 Klasifikace

11 Klasifikace jako minimalizace rizika Jak klasifikovat vysokopříjmového klienta? P Y X L x y splácí problémy nesplácí vysoké 2/3 1/3 0/3 střední 2/6 2/6 2/6 nízké 0/2 1/2 1/2 y y splácí problémy nesplácí splácí problémy nesplácí Klasifikace y = nesplácí skut. třída ztráta s pravděp. splácí 2 2/3 problémy 1 1/3 nesplácí 0 0 Riziko při této klasifikaci: 2 2/ / = 4/3 9 / 24 Klasifikace

12 Klasifikace jako minimalizace rizika Klasifikujeme do y = arg min r(vysoké, y) = problémy y Pozor, jiný výsledek než dle aposteriorní pravděpodobnosti y = arg max P Y X (y vysoké) = splácí y Při jaké ztrátové funkci L(y, y ) by výsledky vyšly stejně? y y splácí problémy nesplácí splácí problémy nesplácí Tzv. L 01 ztrátová funkce. Je-li použita, je r(x, y ) pravděpodobnost, že klasifikace instance s příznakem x do třídy y je chybná. 10 / 24 Klasifikace

13 Klasifikace s několika příznaky Zatím jsme klasifikovali pouze dle jediného příznaku (x - výše příjmů) O klientech toho víme obvykle více. Příjmy (p) Rok narození (n) Úvěr (y) vysoké 1969 splácí nízké 1974 nesplácí střední 1940 problémy nízké 1985 problémy x (p, n) Třírozměrná kontingenční tabulka p vs. n vs. y 11 / 24 Klasifikace

14 Klasifikace s několika příznaky Na principech klasifikace se nic nemění. Např. jak klasifikovat nízkopříjmového klienta narozeného v r. 1985? Maximalizací aposteriorní pravděpodobnosti f(x) = y = arg max P Y P,N (y nízké, 1974) y Minimalizací rizika Z kontingenční tabulky f(x) = y = arg min y r((nízké, 1974), y) P Y P,N (y nízké, 1974) počet klientů s y = y, p = nízké, n = 1974 počet klientů s p = nízké, n = / 24 Klasifikace

15 Prokletí rozměrnosti P Y P,N (y nízké, 1974) počet klientů s y = y, p = nízké, n = 1974 počet klientů s p = nízké, n = 1974 Čím více příznaků, tím větší nebezpečí výsledku 0/0! Kolik dat potřebujeme, aby odhady dobře konvergovaly k pravděpodobnostem? Kontingenční tabulka musí být dostatečně zaplněna. V předchozím příkladě (jediný příznak) p y splácí problémy nesplácí vysoké střední nízké v průměru 11/9 případů na kolonku tabulky. 13 / 24 Klasifikace

16 Prokletí rozměrnosti Předpokládejme, že 11/9 je dostatečný poměr. Kolik případů (m) potřebujeme pro jeho zachování se dvěma příznaky p a n? Přepodkládejme 100 možných roků narození. Kontingenční tabulka má = 900 kolonek. m 900 = 11 9 tedy nyní již potřebujeme /9 = 1100 dat. Po přidání dalšího příznaku, např. roku ukončení studia už potřebujeme /9 = dat! Obecně pro odhady z kontingenční tabulky (tzv. neparametrické odhady) roste potřebný počet dat exponenciálně s počtem příznaků. Prokletí rozměrnosti 14 / 24 Klasifikace

17 Podmíněně nezávislé příznaky Situace se zjednoduší, jsou-li výše příjmů a rok narození podmíněně nezávislé, tj. platí P P,N Y (p, n y) = P P Y (p y) P N Y (n y) pro každou z hodnot y {splácí, problémy, nesplácí) Využijeme tzv. Bayesova pravidla P Y P,N (y p, n) = P P,N Y(p, n y)p Y (y) P P,N (p, n) 15 / 24 Klasifikace

18 Podmíněně nezávislé příznaky Z Bayesova pravidla platí pro klasifikaci maximalizací aposteriorní pravděpodobnosti arg max y P Y P,N (y p, n) = arg max P P,N Y (p, n y)p Y (y) y Podobně pro klasifikaci minimalizací rizika arg min L(y, y )P Y P,N (y p, n) y y = arg min L(y, y )P P,N Y (p, n y)p Y (y) y Proč zmizelo P P,N (p, n)? Nezávisí na y! y K oběma typům klasifikace tedy potřebujeme odhady dvou rozdělení: P P,N Y a P Y. 16 / 24 Klasifikace

19 Podmíněně nezávislé příznaky K oběma typům klasifikace tedy potřebujeme odhady dvou rozdělení: P P,N Y a P Y. P Y odhadneme z jednorozměrné kontingenční tabulky Z podmíněné nezávislosti plyne P P,N Y = P P Y P N Y P P Y odhadneme z dvourozměrné tabulky 3 3 P N Y odhadneme z dvourozměrné tabulky Nejnáročnější na počet dat, pro zachování poměru 11/9 vyžaduje cca 367 (<< 1100). Obecně: při podmíněně nezávislých příznacích neroste potřebný počet dat exponenciálně s počtem příznaků. Je určen příznakem s největším oborem hodnot. Příznaky obvykle nejsou podmíněně nezávislé! Je-li přesto použita tato metoda, mluvíme o naivní Bayesovské klasifikaci. 17 / 24 Klasifikace

20 Klasifikace dle nejbližšího souseda Metoda, která nevyžaduje odhad pravděpodobností. Předpoklad: umíme spočítat podobnost dvou datových instancí (jako např. u shlukování) Zde p, n N, u {splácí, problémy, nesplácí} 18 / 24 Klasifikace

21 Klasifikace dle nejbližšího souseda Zde podobnost např. (p 1 p 2 ) 2 + (n 1 n 2 ) 2 Zařazujeme do třídy nejpodobnější instance. Náchylné k šumu v datech. 19 / 24 Klasifikace

22 Klasifikace dle k nejbližších sousedů Zde podobnost např. (p 1 p 2 ) 2 + (n 1 n 2 ) 2 Zařazujeme do třídy převládající mezi k nejpodobnějšími instancemi. S rostoucím k klesá náchylnost k šumu. Nevýhody? 20 / 24 Klasifikace

23 Trénovací a skutečná chyba klasifikátoru Trénovací chyba Podíl instancí v datech chybně klasifikovaných klasifikátorem f sestrojeným z těchto dat (tzv. trénovacích dat). Skutečná chyba Pravděpodobnost chybné klasifikace f při náhodném výběru (x X, y Y) dle P XY. Při použití ztrátové funkce L 01 rovna riziku R(f). 21 / 24 Klasifikace

24 Jaké k je nejlepší? Experiment: generovaná data [Hastie et al.: Elements of Statistical Learning] k = 1 Nulová trénovací chyba, přesto klasifikace odlišná od optimální Dle maximální aposteriorní pravděpodobnosti (optimální) k = 15 Malá náchylnost k šumu, přesto klasifikace odlišná od optimální 22 / 24 Klasifikace

25 Trénovací vs. skutečná chyba Typický průběh chyb pro k = m (počet dat), m 1,... 1 Trénovací chyba obecně není dobrým odhadem skutečné chyby! 23 / 24 Klasifikace

26 Klasifikace dle etalonů Metoda nevyžadující přístup ke všem instancím při klasifikaci. Každá třída má etalon, tj. instanci s minimální průměrnou vzdáleností ke všem instancím třídy. (vybírána buďto z trénovacích dat, nebo z celého oboru hodnot (p, n)) Etalony jsou jednoduchým nepravděpodobnostním modelem dat. 24 / 24 Klasifikace

27 Vytěžování dat, přednáška 7: Rozhodovací stromy Filip Železný Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Fakulta elektrotechnická, ČVUT 1 / 26 Rozhodovací stromy

28 Reálné příznaky Lineární/polynomiální modely: příznaky jsou reálná čísla 2 / 26 Rozhodovací stromy

29 Nominální příznaky teplota bolest svalů diagnóza zvýšená ne nachlazení normální ne hypochondr horečka ano chřipka Lze převést na příznaky s oborem {0, 1} : reprezentace 1 z n teplota bolest diagnóza normální zvýšená horečka svalů nachlaz. chřipka hypoch Umožňuje využití lineárních resp. polynomiálních klasifikátorů, ale nešikovné. Klasifikační modely přímo pro nominální příznaky? 3 / 26 Rozhodovací stromy

30 Rozhodovací strom Klasifikační model Uzly (mimo listy): testy příznaků, hrany: možné hodnoty Klasifikace: cesta z kořene do listu podle hodnot příznaků Jak strom zkonstruovat? 4 / 26 Rozhodovací stromy

31 Rekurzivní rozdělování: příklad 2 binární příznaky x 1, x 2 {+, } Instance spadají do 3 tříd: 10 červených instancí 8 zelených instancí 5 modrých instancí Všech 10 s x 1 = + má y = Všech 10 s x 1 = + má y = Zbývá 13 instancí s x 1 = Všech 8 s x 2 = + má y = Všech 5 s x 2 = má y = 5 / 26 Rozhodovací stromy

32 Algoritmus pro tvorbu rozhodovacího stromu TDIT(D,I) /* Top Down Induction of Decision Trees */ Input: D trénovací data, I indexy příznaků if všechny instance v D mají stejnou třídu y then return uzel označený y else if I = then return uzel označený většinovou třídou v D else vyber i I a vytvoř uzel označený x i for v j Range(x i ) /* konečný obor hodnot x i */ do E j = všechny instance z D u nichž x i = v j Vyveď z uzlu x i hranu označenou v j if E j = then připoj list na hranu v j označený většinovou třídou v D else připoj výsledek TDIT(E j, I \ {i}) na hranu v i end end end end return vytvořený strom s kořenem x i 6 / 26 Rozhodovací stromy

33 TDIT: rekurzivní volání 7 / 26 Rozhodovací stromy

34 Výběr příznaku Jak implementovat příkaz vyber i I v algoritmu TDIT? Příklad Třída: barva Příznaky: tvar, velikost, průhlednost Začínáme konstruovat strom. Jaký příznak zvolit první? Měl by co nejčistěji dělit data podle tříd 8 / 26 Rozhodovací stromy

35 Výběr příznaku 9 / 26 Rozhodovací stromy

36 Entropie Entropie množiny instancí D s t třídami H(D) = t p i log 2 p i i=1 p 1, p 2... p t... poměrné velikosti tříd p i = počet instancí třídy i v D počet všech instancí v D Minimální H(D) = 0, pokud jsou všechny příklady v jedné třídě. Maximální H(D) = log 2 t, pokud p 1 = p 2 =... = p t. 10 / 26 Rozhodovací stromy

37 Entropie Pro dvě třídy 11 / 26 Rozhodovací stromy

38 Entropie p zelená = p červená = 1 2 H(D) = 1 ( ) 1 2 log 2 1 ( ) log 2 = / 26 Rozhodovací stromy

39 Entropie po rozdělení množiny E velké = velké instance p zelená = p červená = 0.5 H(E velké ) = 1 Vážený průměr entropií E malé = malé instance p zelená = p červená = 0.5 H(E malé ) = 1 j {velké,malé} E j D H(E j) = = 1 13 / 26 Rozhodovací stromy

40 Entropie po rozdělení množiny E j H(Ej ) = = / 26 Rozhodovací stromy E průhledné = průhledné instance p zelená = 1 p červená = 0 H(E průhledné ) = 0 Vážený průměr entropií E neprůhledné = neprůhledné instance p zelená = 1/3 p červená = 2/3 H(E neprůhledné ) = 0.92

41 Entropie po rozdělení množiny E hranaté = hranaté instance p zelená = 1 p červená = 0 H(E hranaté ) = 0 Vážený průměr entropií E kulaté = kulaté instance p zelená = 0 p červená = 1 H(E kulaté ) = 0 j {hranaté,kulaté} 15 / 26 Rozhodovací stromy E j D H(E j) = = 0

42 Pokles entropie H(D, x i ) = H(D) v j Range(x i ) E j D H(E j) Rozdíl entropie původní množiny D a váženého průměru entropií množiny rozdělené hodnotami příznaku x i Jak implementovat příkaz vyber i I v algoritmu TDIT? Vybereme i, které maximalizuje H(D, x i ) Pozn: pro výběr i není sčítanec H(D) důležitý (nezávisí na i). 16 / 26 Rozhodovací stromy

43 Pokles entropie Jak implementovat příkaz vyber i I v algoritmu TDIT? Vybereme i, které maximalizuje H(D, xi ) 17 / 26 Rozhodovací stromy

44 Složitost rozhodovacího stromu Algoritmus TDIT se snaží minimalizovat trénovací chybu za cenu velké složitosti (košatosti) stromu Stále platí kompromis mezi složitostí modelu a trénovací chybou! Vymyslete úpravu algoritmu TDIT omezující složitost stromu Nevětvíme, pokud maxi H(D, x i ) < θ, θ > 0... parametr 18 / 26 Rozhodovací stromy

45 Ordinální příznaky Ordinální veličina Veličina, jejíž obor hodnot je uspořádán Např. přirozená (nebo reálná) čísla 1 < 2 < 3 <... ale i např. nízký < střední < vysoký 19 / 26 Rozhodovací stromy

46 Ordinální příznaky Pro ordinální příznaky obvykle test x > h v uzlech, kde h je zvolená hraniční hodnota 20 / 26 Rozhodovací stromy

47 Převod na nominální příznaky Před tvorbou stromu můžeme každý ordinální příznak, např. teplota převést na množinu nominálních příznaků teplota > h 1, teplota > h 2,..., teplota > h n z nichž každý má binární obor hodnot. Co jsou h 1, h 2,... h n? V nejjednodušším případě celý obor hodnot původního příznaku, je-li konečný (a malý). Obvykle ale jen některé z oboru hodnot. Které? 21 / 26 Rozhodovací stromy

48 Diskretizace U některých veličin se hraniční hodnoty nabízejí. x i < 36.5 podchlazení 36.5 x i < 37 normální teplota 37 x i < 38 zvýšená teplota 38 x i < 42 horečka 42 x i smrt Zde tedy uvažujeme hraniční hodnoty {36.5, 37, 38, 42} Pozn.: převedení reálné veličiny (teplota) na veličinu s konečným oborem hodnot = diskretizace. V obecném případě vhodné hraniční hodnoty předem neznáme. 22 / 26 Rozhodovací stromy

49 Diskretizace: 3 obecné způsoby Intervaly stejné délky Intervaly stejné pravděpodobnosti Intervaly obsahující instance stejné třídy (nejužívanější pro stromy) 23 / 26 Rozhodovací stromy

50 Separace: srovnání Separace v prostoru dvou reálných příznaků Lineární klasifikátor (nelze rozdělit) Kvadratický klasifikátor Rozhodovací strom 24 / 26 Rozhodovací stromy

51 Separace rozhodovacím stromem Separace v prostoru dvou reálných příznaků 25 / 26 Rozhodovací stromy

52 Minimalizace nákladů na rozhodování Rozhodovací strom netestuje vždy všechny příznaky! TDIT lze přizpůsobit tak, aby levné testy byly blíže ke kořeni 26 / 26 Rozhodovací stromy

53 Vytěžování dat, přednáška 9: Lineární klasifikátor, rozšíření báze, LDA, logistická regrese Miroslav Čepek Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Fakulta elektrotechnická, ČVUT 1 / 32 Lineární klasifikátor

54 Klasifikátory Jaké znáte klasifikační algoritmy? Naive Bayes Rozhodovací strom KNN Jak fungují? Naive Bayes počítá pravděpodobnost přiřazení do třídy za podmínky dané pozorováním. Rozhodovací strom generuje posloupnost rozhodnutí. KNN hledá nejbližsí instance z trénovací množiny. 2 / 32 Lineární klasifikátor

55 Rozhodovací hranice Další možný pohled je z hlediska rozhodovací hranice. Rozhodovací hranice je místo, kde instance přestávají patřit do třídy A a začínají patřit do třídy B. Převzadto z http: //openclassroom.stanford.edu/mainfolder/documentpage. php?course=machinelearning&doc=exercises/ex8/ex8.html 3 / 32 Lineární klasifikátor

56 Rozhodovací hranice (2) Co když mám následující data: Jak bude vypadat nejjednodušší rozhodovací hranice, která data oklasifikuje bez chyby? Stačí přece přímka! 4 / 32 Lineární klasifikátor

57 Lineární klasifikátor Takovou přímku umíme celkem jednoduše najít a vyrobit :). Jak vypadá rovnice přímky? y = j w j x j = wx Jak zjistíme, do které třídy patří vzor x? Prostým dosazením! Pokud y > 0 vzor patří do jedné třídy, y < 0 vzor patří do druhé třídy. y = 0 je rozhodovací hranice, kde se nelze rozhodnout. Naštěstí se toto nestává často. Porovnání < 0 nebo > 0 můžeme nahradit například funkcí signum(y) která vrací +1 pro kladná čísla a 1 pro záporná. 5 / 32 Lineární klasifikátor

58 Lineární klasifikátor (2) Vidíte v rovnici nějaký problém? Zkusme dosadit do rovnice x 1 = x 2 = 0. Co vyjde? y = 0 bez ohledu na nastavení vah w 1, w 2. Rozhodovací hranice libovolného klasifikátoru tedy musí procházet nulou resp. vektorem (0, 0,..., 0). To je docela nepříjemné omezení rozhodovací hranice se vlastně pouze otáčí kolem nuly. Co s tím? Můžeme přidat změnit rovnici přímky na j w jx j + Θ = 0. Θ je aditivní konstanta a označuje se jako práh. 6 / 32 Lineární klasifikátor

59 Lineární klasifikátor (3) Rovnice pro lineární klasifikátor se tedy mírně změní: y = j w j x j + Θ = wx + Θ Ale jinak vše zůstane stejné. Pokud tedy vyjde, že y > 0 vzor patří do jedné třídy, y < 0 vzor patří do druhé třídy. 7 / 32 Lineární klasifikátor

60 Práh Teď zbývá pouze najít vektor koeficientů (vah) (w 1, w 2,..., w n ) a prahu Θ. Nejprve se zamysleme zda práh Θ představuje nějakou anomálii, která potřebuje speciální zacházení. Tak napůl :). Nepotřebuje, pokud trochu upravíme vstupní data. Co kdyby všechny vzory měli jeden atribut (vstupní proměnnou, řekněme x 0 ) se stejnou hodnotou? Když pak budu počítat w 0 x 0, vyjde mi vždy stejná hodnota... to je přece náš práh! Takže přidám ke každému vzoru ještě jednu dimenzi, která bude mít konstantní hodnotu pro jednoduchost 1 (ale můžete mu přiřadit libovolnou nenulovou hodnotu). Pak už se o práh nemusím speciálně starat. 8 / 32 Lineární klasifikátor

61 Gradientní sestup krok stranou Gradientní sestup je iterativní optimalizační metoda. Jde o to, že máme funkci f(x) a hledáme její minimum. A jak minimum najít? Budu hledat takové x, kde má funkce f(x) nejnižší hodnotu. Mám nějaké x 0 a znám hodnotu f(x 0 ). A hledám v okolí x 0, nejaké x 1, kde bude hodnota f(x 1 ) nižší. A to budu opakovat stále dokola, až to dál nepůjde. Na horách se chci dostat do údolí. Podívám se, kterým směrem se kopec nejvíc snižuje a udělám krok tím směrem. A zase se podívám, kam je to nejvíc z kopce a udělám krok. A tak dále, až jednou zjistím, že to dál nejde, čili jsem v údolí. 9 / 32 Lineární klasifikátor

62 Gradientní sestup krok stranou (2) V matematice existuje možnost, jak zjistit směr největšího vzestupu hodnoty funkce - gradient. To je první parciální derivace podle všech dimenzí. Když půjdu přesně opačně, půjdu ve směru největšího poklesu. Gradient je vektor parciálních derivací podle jednotlivých proměnných: grad(f(x 1, x 2,..., x n )) = ( f x 1, f x 2,..., f x n ) 10 / 32 Lineární klasifikátor

63 Chybová funkce a gradientní sestup Stejně jako u jiných klasifikačních metod, hledáme nastavení klasifikátoru (zde vah) takové, aby klasifikoval správně co nejvíc vzorů. Mějme tedy chybovou funkci J(w, χ), která vrací počet špatně klasifikovaných vzorů x z množiny vzorů χ (například z testovací množiny) při daných vahách w. Ale taková se nám nehodí neumím spočítat parciální derivace (a tudíž ani gradient). Zkusme jinou E(w) = x χ err( w(t)x), kde χerr jsou špatně klasifikované vzory z χ. To už je spojitá funkce. A chybovou funkci E mohu minimalizovat změnou vah pomocí gradientního sestupu. 11 / 32 Lineární klasifikátor

64 Chybová funkce a gradientní sestup Parciální derivace chybové funkce E podle jedné proměnné vypadá takto: E = x 1 χ err( w 1(t)x 1 ) w 1 w 1 Kde x 1 je první souřadnice z x a w 1 je první souřadnice z w. x 1 χ err( w 1(t)x 1 ) w 1 = x 1 χ err x 1 Z toho plyne závěr, že nejvíce chybu snížím, pokud váhu w 1 změním o součet hodnot prvních vstupních proměnných x 1 vzorů na kterých jsem udělal chybu. Analogicky i ostatní vstupní proměnné (včetně prahu). 12 / 32 Lineární klasifikátor

65 Učení lineárního klasifikátoru A přesně na této myšlence je založen Perceptronový algoritmus. (Proč zrovna perceptronový, necháme teď stranou). 1. Inicializuj váhy na náhodné hodnoty. 2. Vezmi náhodný vstupní vzor x. A spočítej hodnotu y(x) = sgn( j w jx j = wx). 3. Pokud se požadovaný výstup d(x) liší od skutečného y(x), oprav váhy (w) takto: e(x) = d(x) y(x) wi (t + 1) = w i (t) + ηe(x)x i 4. Pokud chceš, pokračuj bodem 2). η je koeficient učení, který s postupem času může klesat k nule. 13 / 32 Lineární klasifikátor

66 Jednoznačnost výsledné přímky Jak poznám, že se perceptronový algoritmus zastavil? Je výsledná přímka jediná možná? Ne, takových přímek je dokonce nekonečně mnoho. Přesto jsou některé lepší něž jiné. Kterou mám vybrat? A kterou nám vybere Perceptronový algoritmus? 14 / 32 Lineární klasifikátor

67 Lineárně separovatelné problémy Lze pomocí tohoto algoritmu klasifikovat bezchybně následující data? Ne! Třídám (datům), které lze oddělit přímkou říkáme lineárně separovatelná. 15 / 32 Lineární klasifikátor

68 Lineárně ne separovatelné problémy Lze pomocí lineárního klasifikátoru vyřešit lineárně ne-separovatelné problémy? Ne. K tomu potřebuji přidat další kvalitu. 1. Jednou z možností je zkombinovat lin. klasifikátory. (O tom bude příští přednáška.) 2. Rozšíření báze. 16 / 32 Lineární klasifikátor

69 Rozšíření báze Když data nejsou separabilní v originálním prostoru, zkusme jestli by nebyla lineárně separovatelná ve více-dimenzionálním prostoru. 17 / 32 Lineární klasifikátor

70 Transformace Zase existuje mnoho transformací. Jedna z těch jednodušších přidává ke stávajícím dimenzím také součiny originálních dimenzí. Je charakterizovaná parametrem s maximálním stupněm součinu. Pro s = 2 z původních dimenzí (x 1, x 2 ) získám 5D prostor dimenzí (x 1, x 2, χ 1, χ 2, χ 3 ), kde χ 1 = x 2 1 χ2 = x 1 x 2 χ 3 = x / 32 Lineární klasifikátor

71 Učení nelineárního klasifikátoru Když mám teď nové dimenze, jak naučím můj klasifikátor? Díky rozšíření báze teď mám více-dimenzionální prostor a (třeba) teď dokáži třídy lineárně separovat. Úplně stejně jako v předchozím případě. Tj použiji například perceptronový algoritmus. Pokud se mi nepodaří získat lineární separaci, mohu zkusit zvýšit maximální stupeň součinu a zkusit separaci znovu. 19 / 32 Lineární klasifikátor

72 Rozhodovací hranice Jak pak bude vypadat projekce rozhodovací hranice zpět do originálních dimenzí? Tím se nám podařilo dosáhnout toho, že se rozhodovací hranice ohnula. A pokud budu zvyšovat parametr s, bude hranice stále poddajnější. 20 / 32 Lineární klasifikátor

73 Rozhodovací hranice (2) Můžu zvyšovat maximální stupeň součinu (parametr s) do nekonečna? Nebo někde narazím? S vyšším maximálním stupněm s vyvstávají dva problémy: 1. Jednak mám více vah, které musím nastavovat a perceptronový (nebo jakýkoliv jiný) algoritmus to nemusí zvládnout čili váhy se nastaví špatně. 2. Zvyšuji pravděpodobnost, že se klasifikátor přeučí. Tj. naučí se šum a chyby v trénovacích datech a nedokáže vlastnosti trénovacích dat zobecnit. (Podobně jako například 1-NN klasifikátor.) 21 / 32 Lineární klasifikátor

74 Klasifikace do několika tříd Co když mám více než dvě třídy? Mohu použít (ne-)lineární separaci? Případně jak? Budu rozhodovat o každé třídě samostatně. Čili pro problém s N třídami budu mít N klasifikátorů. Každý bude říkat Instance patří do mé třídy / Instance nepatří do mé třídy. Při rozhodování o neznámé instanci x se zeptám všech N klasifikátorů na jejich rozhodnutí. 1. x patří právě do jedné třídy. 2. x patří do více tříd pak se musím rozhodnout například podle hodnoty xw (čím je větší, tím je x dále od rozhodovací hranice). 3. analogoicky, pokud x nepatří do žádné třídy. Hledám tedy trídu, kam x nepatří nejméně :). 22 / 32 Lineární klasifikátor

75 Problémy lineárních klasifikátorů Linearita Pokud se dostatečně pohnu i jen v jedné proměnné, můžu získat obrácený výsledek. Hodnota xw roste se vzdáleností od rozhodovací hranice a nemá žádnou interpretaci. Lineární klasifikátory špatně snášejí chybějící hodnoty. Pokud provádím rozšíření báze, může trvat učení velmi dlouho. 23 / 32 Lineární klasifikátor

76 Linear Discriminant Analysis LDA je statistický přístup k problému lineární separace. Pamatujete si PCA? (Principal Component Analisis mluvili jsme o něm u SOM) LDA redukuje původní prostor na přímku (1 dimenzi) a to tak, co nejvíce oddělil vzory různých tříd. V jistém smyslu je to opak rozšíření báze. 24 / 32 Lineární klasifikátor

77 Linear Discriminant Analysis (2) Obraz vzoru v nové souřadnici pak získám jako xw, kde w jsou váhy. V principu počítám to samé jako u lineárního klasifikátoru, ale interpretace a postup jsou úplně jiné. 25 / 32 Lineární klasifikátor

78 Linear Discriminant Analysis (3) Při počítání LDA se snažím maximalizovat separaci mezi třídami. Nejprve pro každou třídu musím spočítat rozptyl v obraze (scatter). µ s1 = 1 s 1 x i s 1 x i y i = x i w µ s1 = 1 s 1 s 1 2 = y i = 1 s 1 x i s 1 µ s1 x 1 s 1 y i x i s 1 x i w 26 / 32 Lineární klasifikátor

79 Linear Discriminant Analysis (4) A nyní můžu spočítat míru separace pro projekci danou vahami w. J(w) = µ s 1 µ s2 2 s s 2 Hledáme tedy projekci, která co nejvíc seskupí vzory stejné třídy a co nejvíc zároveň oddělí vzory různých tříd. 27 / 32 Lineární klasifikátor

80 LDA pro více tříd LDA lze zobecnit tak, aby dokázalo klasifikovat do více tříd. Pak se nevytváří pouze jedna nová dimenze, ale počet tříd -1 nových dimenzí a mírně se upraví vzorečky :). 28 / 32 Lineární klasifikátor

81 Problémy LDA Stejně jako všechno, má i LDA nějaké mouchy: Počet dimenzí vytvořený LDA nemusí stačit ke správném zařazení do třídy. LDA předpokládá normální rozložení dat ve třídách. A selhává, pokud tomu tak není. (Například třídy mají komplexní tvary). Rozíly mezi třídami jsou spíše v rozptylu hodnot než v rozdílu středních hodnot. 29 / 32 Lineární klasifikátor

82 Logistická regrese Co kdybych chtěl, abych dokázal vzdálenosti od rozhodovací hranice nějak interpretovat. Ideálně ještě tak, že je to pravděpodobnost příslušnosti k dané třídě. Existuje logistická funkce, která je definovaná takto f(z) = 1 1+e z Její hodnoty jsou omezené na interval A navíc kolem z = 0 (rozhodovací hranice) je její změna největší. 30 / 32 Lineární klasifikátor

83 Logistická regrese (2) Zkusíme zavést pojem sance = p 1 p Abychom ji dostali do rozmezí zkusme ji zlogaritmovat. Tím získáme funkci logit(p) = log(sance(p)) = log( p 1 p ) Zkusme předpokládat, že logit(p) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k Kde β 1,..., β k jsou regresní koeficienty a β 0 je posun. A teď zkusme opět dopočítat pravděpodobnost vzoru x. p(x) = 1 1+e β 0 +β 1 x 1 +β 2 x β k x k 31 / 32 Lineární klasifikátor

84 Zdroje LDA převzata z research.cs.tamu.edu/prism/lectures/pr/pr_l10.pdf logisticregression/html/logisticregression.htm 32 / 32 Lineární klasifikátor

85 Vytěžování dat, přednáška 10: Neuronové sítě s dopřednou architekturou Miroslav Čepek Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Fakulta elektrotechnická, ČVUT 1 / 30 Neuronové sítě

86 Umělé neuronové sítě Umělá neuronová síť je matematickým přiblížením biologické neuronové sítě. A snahou je napodobovat funkci biologických neuronových sítí. Umělé neuronové sítě představují jiný přístup k řešení problémů než konvenční výpočetní technika. Ale mezi schopnostmi umělých neuronových sítí a mozku je přecejen ještě obrovský rozdíl. 2 / 30 Neuronové sítě

87 Biologická neuronová síť Více si můžete přečíst například na nebo 3 / 30 Neuronové sítě

88 Umělá neuronová síť Se skládá ze vzájemně propojených jednotek neuronů. Každý neuron transformuje své vstupy na výstup. Čili umí jen velmi málo, ale jejich síla je v jejich spolupráci. Konekcionistivký přístup k umělé inteligenci představa, že spoluprácí mnoha hloupých jednotek dosáhnu chování, které je kvalitativně chytřejší než jen součet možností jednotlivých elementů. Neuron při transformaci může uplantit svou lokální paměť. Výstupy neuronu jsou přivedeny na vstupy dalších neuronů. 4 / 30 Neuronové sítě

89 Historie První, kdo se začal zabývat výzkumem umělých neuronových sítí byl v roce 1943 jistý profesor McCulloch a jeho žák Pitts. Oba v prvním plánu hledali matematický model biologického neuronu. Tento jejich model se dodnes používá a nazývá se McCulloch-Pittsův neuron. Občas se označuje také jako Perceptron. kk-thesis/kk-thesis-html/node12.html 5 / 30 Neuronové sítě

90 Princip práce McCulloch-Pittsova neuronu Na vstupy x 1, x 2,... x n (na předchozím odrázku označeny jako I 1, I 2,... I n ) předložím pozorované hodnoty. Tyto hodnoty přenásobím vahami w 1, w 2,... w n a spočítám tzv. aktivaci neuronu. n a = w i x i i=1 Aktivace odpovídá aktivaci biologického neuronu. A ten vypálí výstup jen v případě, že aktivace překročí určitý práh. To se v umělých neuronových sítích simuluje pomocí aktivační funkce. V případě perceptronu skokovou funkcí. f(a) = 0, pro a < konst, jinak f(a) = 1. Nepřipomíná vám to něco? 6 / 30 Neuronové sítě

91 Rozhodovací hranice a učení Jak vypadá rozhodovací hranice Perceptronu (McCulloch-Pittsova neuronu)? A jak nastavíme váhy? Přece pomocí perceptronového algoritmu! Jaké jsou limity perceptronu? 7 / 30 Neuronové sítě

92 Aktivační funkce Prvním vylepšením perceptronu jsou různé aktivační funkce, kterými se transformuje aktivaci na výstup. 8 / 30 Neuronové sítě

93 ADALINE Drobné vylepšení perceptronu, které se týká učícího algoritmu. Při učení se chyba nepočítá přímo z výstupu, ale z aktivace. Což znamená, že musím znát požadovanou aktivaci. 9 / 30 Neuronové sítě

94 Vícevrstvá síť perceptronů Madaline MADALINE Multiple Adaptive Linear Element síť s jednou skrytou vrstvou a jednou výstupní vrstvou. 10 / 30 Neuronové sítě

95 MADALINE vybavování Výpočet odpovědi sítě na předložený vstupní vzor je jednoduchý. Přivedu na vstupy všech neuronů odpovídající hodnoty vstupů. Pro každý neuron přenásobím vstupní hodnoty vstupnímy vahami a sečtu. Tím získám aktivaci neuronu. Aktivaci transformuji aktivační funkcí na výstup. Když takto vypočítám výstupy všech neuronů, aplikuji majoritu (spočítám kolik neuronů zařadilo vzor do třídy 0 a kolik do třídy 1). A podle toho předpovím výstupní třídu sítě. 11 / 30 Neuronové sítě

96 Učení MADALINE Učení jen nastíním předložím vstupní vzor a spočítám výstup sítě. Pokud se výstup shoduje s požadovaným, nedělám nic. Pokud se vypočítaný a skutečný výstup liší, musím změnit váhy nějakého neuronu, který předpovídá špatnou třídu, aby příště změnil názor a tím se majorita přiklonila na správnou stranu. A nejjednodušší je přesvědčit neuron, který má aktivaci nejblíž nule. Tomuto neuronu přepočítám váhy. 12 / 30 Neuronové sítě

97 Použití MADALINE Je dnes spíše ilustrativní. Učící algoritmus nezvládá komplexní úpravy a nedokáže měnit váhy neuronů dostatečně flexibilně. Druhý a stejně závažný problém MADALINE z principu fungování nemůže zvládnout lineárně neseparabilné problémy. Vymyslíte proč? Problém dělá ta majorita / 30 Neuronové sítě

98 Back Propagation Neuronová síť typu back propagation představuje elegantní cestu, jak se vypořádat s problémy sítě MADALINE a zárověň zvládnout učení několika skrytých vrstev. Podle jména dochází k zpětnému šíření kokrétně ke zpětnému šíření chyby. Nejedná se v pravém slova smyslu o jednu neuronovou síť, ale označuje se tímto pojmem libovolná síť, ve které se při učení šíří chyba z výstupu zpět na vstup. Můžete narazit i na jiné back propagation síť, než o které budu vyprávět já. BP jsou prakticky jediným typem sítí, který je znám mimo výzkumnou komunitu zabývající se NS. 14 / 30 Neuronové sítě

99 Struktura Back Propagation Jedná se o dopřednou síť s jednou nebo dvěma skrytými vrstvami. Vrstva se skládá z neuronů jejich počet v jednotlivých vrstvách (a počet vrstev) je jedním z parametrů, který musíte určit experimentálně tj. zkusit. Existuje celá teorie, která dokazuje, že k aproximaci libovolné funkce (libovolné rozhodovací hranice) stačí dvě skryté vrstvy. 15 / 30 Neuronové sítě

100 Back Propagation neuron Jedná se o standardní Perceptron se spojitou (!!) aktivační funkcí. Spojitost funkce budeme používat při učení budeme počítat derivace. 16 / 30 Neuronové sítě

101 Back Propagation aktivační funkce 17 / 30 Neuronové sítě

102 Back Propagation učení (1) Učící algoritmus je trochu podobný tomu, co jsme již viděli. Nejprve se spočítá odpověď (výstup) sítě na předložený vstup, pak se spočítá rozdím mezi vypočítaným a požadovaným výstupem. Co je úplně jiné je výpočet změny vah. Chyba se totiž distribuuje zpět ke vstupům a postupně se upravují váhy ve skrytých vrstvách. A pak se pokračuje předložením dalšího vzoru, až do té doby než dosáhneme zastavujícího kritéria. 18 / 30 Neuronové sítě

103 Back Propagation učení (2) 1. Inicializuj všechny váhy všech neuronů na náhodné hodnoty. 2. Vytvoř permutaci trénovací množiny. 3. Vyber další vzor x i z vytvořené permutace. 4. Vypočítej výstup sítě y i. 5. Spočítej chybu (rozdíl) mezi y i a skutečnou hodnotou d i. 6. Postupně propaguj chybu zpět a modifikuj váhy. 7. Pokud jsi dosud nepředložil všechny prvky z trénovací množiny pokračuj bodem Pokud chyba přes všechny trénovací vzory je větší než zvolené kritétium, pokračuj bodem / 30 Neuronové sítě

104 Back Propagation učení (3). Výpočet výstupu sítě se provádí již známým způsobem. Pro každý neuron, u nějž známe všechny vstupy spočítáme aktivaci. n a = w i x i + Θ i=1 Pokud znám aktivaci můžu spočítat výstup pomocí zvolené aktivační funkce. Pro, například, logistickou funkci tedy 1 y = 1 + e γa Takto postupuji pro všechny neurony, až zjistím výstup výstupního neuronu. 20 / 30 Neuronové sítě

105 Back Propagation učení (4) Když zjistím výstup pro všechny vzory v trénovací množině, můžu zjistit globální chybu (energii) sítě. E = 1 n (y 2 i d i ) 2 i=1 A snažíme se chybu (energii) minimalizovat. To se dá dělat různě a jednou z variant je gradientní sestup. Gradientní metoda mění váhy tak, aby energie klesla co možná nejvíc. 21 / 30 Neuronové sítě

106 Back Propagation učení (4) Na horách se chci dostat do údolí. Podívám se, kterým směrem se kopec nejvíc snižuje a udělám krok tím směrem. A zase se podívám, kam je to nejvíc z kopce a udělám krok. A tak dále, až jednou zjistím, že to dál nejde, čili jsem v údolí. V matematice existuje možnost, jak zjistit směr největšího vzestupu hodnoty funkce - gradient. To je první parciální derivace podle všech dimenzí. Když půjdu přesně opačně, půjdu ve směru největšího poklesu. 22 / 30 Neuronové sítě

107 Back Propagation učení (5) Po chvíli derivování spočítáme (viz například skripta Miroslav Šnorek: Neuronové sítě a neuropočítače ), dojdeme k následujícím vzorcům. δ o i (t) = (y o i d i )S (ϕ) Kde δi o (t) je požadovaná změna neuronu i ve výstupní vrstvě o při skutečném výstupu y i oproti skutečnému výstupu d i. S je funkce inverzní k aktivační funkci a ϕ je aktivace neuronu. Změnu váhy mezi neuronem i ve vástupní vrstvě a neuronem j v první skryté vrstvě pak spočítám takto: w o ij(t + 1) = w o ij(t) + w o ij(t) w o ij(t) = ηδ o i (t)y h j Kde y h j je výstup j-tého neuronu ve druhé skryté vstvě. 23 / 30 Neuronové sítě

108 Back Propagation učení (6) Nový práh neuronu i ve výstupní vrstvě o pak spočítám takto: Θ o i (t + 1) = Θ o i (t) + Θ o i (t) Θ o i (t) = ηδ o i (t) 24 / 30 Neuronové sítě

109 Back Propagation učení (7) V druhé skryté vrstvě pak změnu vah vypočítám podle následujících vzorců: δ h i (t) = y h i (1 yh i ) w o ik δo k w h ij(t + 1) = w h ij(t) + w h ij(t) w h ij(t) = ηδ h i (t)y h 1 j Θ h i (t + 1) = Θ h i (t) + Θ h i (t) Θ h i (t) = ηδi h (t) Kde w h ij e váha mezi neuronem i ve druhé skryté vrstvě a j v první skryté vrstvě. y h 1 j je výstup j-tého neuronu v první skryté vrstvě. 25 / 30 Neuronové sítě

110 Back Propagation vylepšení trénovacího algoritmu Všechna vylepšení směřují k tomu, abych zvýšil pravděpodobnost toho, že (rychleji) najdu globální minimum energetické funkce. Lze si jednoduše představit situaci, kdy gradientní sestup tak jak jsem o něm teď mluvil skončí v lokálním extrému. (Všechny body ve vzdálenosti 1 krok jsou výše, ale rozhodně nejsem v globálním minimu). Setrvačnost při hledání směru kroku v čase t + 1 zohledním nejen současný gradient, ale i směr a velikost minulého kroku. Restart nejde o vylepšení učícího algoritmu v pravém smyslu slova, ale pokud se sestup energetické funkce zastaví, zapamatuji si výsledek a začnu znova. Další podrobnosti viz. například skripta Miroslav Šnorek: Neuronové sítě a neuropočítače. 26 / 30 Neuronové sítě

111 Další neuronové sítě Prezentované sítě nejsou zdaleka jediné, které existují. I když Back propagation je nejznámější, neznamená to, že je nejlepší, nejzajímavější a nejlépe fungující. Exitují například sítě, které při učení mění nejen váhy, ale i svou strukturu sítě GMDH a GAME. Navíc mohou používat úplně jiné aktivační funkce. Síť s jiným typem neuronů (a v každé vrstvě jiné) RBF síť. Sítě s velkými počty neuronů, kde váha mezi neurony i a j není určena zapamatovanou hodnotou, ale nějakou funkcí w(i, j) HyperNEAT (umožňuje tvořit sítě s tisíci neuronů). Sítě pro shlukování SOM. 27 / 30 Neuronové sítě

112 Použití neuronových sítí Klasifikace Regrese Shlukování Komprese dat Filtrování Řízení 28 / 30 Neuronové sítě

113 Problémy / Nevýhody Umělé neurnové sítě (stejně jako cokoliv) nejsou všemocné. A na některé problémy se nehodí nebo jsou zbytečně složité. Předtím než začnete zkoušet NS zkuste se zamyslet nad následujícími otázkami: Dokáži jednoduše popsat řešení problému? Pokud ano, je mnohem jednodušší držet se tradičního programování. Mám dostatečné množství ohodnocených dat v trénovací množině? Musím získat absolutně přesné hodnoty na výstupu? Potřebuji být schopen jednoduše vysvětlit funkci modelu? 29 / 30 Neuronové sítě

114 Zdroje php?modgui=212 chapters.html skripta Miroslav Šnorek: Neuronové sítě a neuropočítače. série knih Mařík a spol: Umělá inteligence 30 / 30 Neuronové sítě

115 Vytěžování dat, cvičení 9: Strojové učení Radomír Černoch Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Fakulta elektrotechnická, ČVUT 1 / 11 Strojové učení

116 Iris data ještě jednou 2 / 11 Strojové učení

LDA, logistická regrese

LDA, logistická regrese Vytěžování Dat Přednáška 9 Lineární klasifikátor, rozšíření báze, LDA, logistická regrese Miroslav Čepek Fakulta Elektrotechnická, ČVUT Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11

Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11 Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11 Program 1. seminární cvičení: základní typy klasifikátorů a jejich princip 2. počítačové cvičení: procvičení na problému rozpoznávání číslic... body za aktivitu

Více

Klasifikace a rozpoznávání. Lineární klasifikátory

Klasifikace a rozpoznávání. Lineární klasifikátory Klasifikace a rozpoznávání Lineární klasifikátory Opakování - Skalární součin x = x1 x 2 w = w T x = w 1 w 2 x 1 x 2 w1 w 2 = w 1 x 1 + w 2 x 2 x. w w T x w Lineární klasifikátor y(x) = w T x + w 0 Vyber

Více

Základy vytěžování dat

Základy vytěžování dat Základy vytěžování dat předmět A7Bb36vyd Vytěžování dat Filip Železný, Miroslav Čepek, Radomír Černoch, Jan Hrdlička katedra kybernetiky a katedra počítačů ČVUT v Praze, FEL Evropský sociální fond Praha

Více

Strukturální regresní modely. určitý nadhled nad rozličnými typy modelů

Strukturální regresní modely. určitý nadhled nad rozličnými typy modelů Strukturální regresní modely určitý nadhled nad rozličnými typy modelů Jde zlepšit odhad k-nn? Odhad k-nn konverguje pro slušné k očekávané hodnotě. ALE POMALU! Jiné přístupy přidají předpoklad o funkci

Více

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

Rosenblattův perceptron

Rosenblattův perceptron Perceptron Přenosové funkce Rosenblattův perceptron Rosenblatt r. 1958. Inspirace lidským okem Podle fyziologického vzoru je třívrstvá: Vstupní vrstva rozvětvovací jejím úkolem je mapování dvourozměrného

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat

Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Jan Žižka IBA Institut biostatistiky a analýz PřF & LF, Masarykova universita Kamenice 126/3, 625 00 Brno Email: zizka@iba.muni.cz Bioinformatika:

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

přetrénování = ztráta schopnosti generalizovat vlivem přílišného zaměření klasifikátorů na rozeznávání pouze konkrétních trénovacích dat

přetrénování = ztráta schopnosti generalizovat vlivem přílišného zaměření klasifikátorů na rozeznávání pouze konkrétních trénovacích dat Zkouška ISR 2013 přetrénování = ztráta schopnosti generalizovat vlivem přílišného zaměření klasifikátorů na rozeznávání pouze konkrétních trénovacích dat 1. Rozdílné principy u induktivního a deduktivního

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence

Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence APLIKACE UMĚLÉ INTELIGENCE Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence Aplikace umělé inteligence - seminář ING. PETR HÁJEK, PH.D. ÚSTAV SYSTÉMOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A INFORMATIKY

Více

Asociativní sítě (paměti) Asociace známého vstupního vzoru s daným výstupním vzorem. Typická funkce 1 / 44

Asociativní sítě (paměti) Asociace známého vstupního vzoru s daným výstupním vzorem. Typická funkce 1 / 44 Asociativní paměti Asociativní sítě (paměti) Cíl učení Asociace známého vstupního vzoru s daným výstupním vzorem Okoĺı známého vstupního vzoru x by se mělo také zobrazit na výstup y odpovídající x správný

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Strojové učení Marta Vomlelová

Strojové učení Marta Vomlelová Strojové učení Marta Vomlelová marta@ktiml.mff.cuni.cz KTIML, S303 Literatura 1.T. Hastie, R. Tishirani, and J. Friedman. The Elements of Statistical Learning, Data Mining, Inference and Prediction. Springer

Více

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 Úvodní poznámky... 11 1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 1.1 Základní pojmy... 15 1.2 Aplikační oblasti a etapy zpracování signálů... 17 1.3 Klasifikace diskretních

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Pravděpodobně skoro správné. PAC učení 1

Pravděpodobně skoro správné. PAC učení 1 Pravděpodobně skoro správné (PAC) učení PAC učení 1 Výpočetní teorie strojového učení Věta o ošklivém kačátku. Nechť E je klasifikovaná trénovací množina pro koncept K, který tvoří podmnožinu konečného

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Projekční algoritmus. Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění. Jan Klíma

Projekční algoritmus. Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění. Jan Klíma Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění Jan Klíma Obsah Motivace & cíle práce Evoluční algoritmy Náhradní modelování Stromové regresní metody Implementace a výsledky

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Neuronové sítě Ladislav Horký Karel Břinda

Neuronové sítě Ladislav Horký Karel Břinda Neuronové sítě Ladislav Horký Karel Břinda Obsah Úvod, historie Modely neuronu, aktivační funkce Topologie sítí Principy učení Konkrétní typy sítí s ukázkami v prostředí Wolfram Mathematica Praktické aplikace

Více

Lineární diskriminační funkce. Perceptronový algoritmus.

Lineární diskriminační funkce. Perceptronový algoritmus. Lineární. Perceptronový algoritmus. Petr Pošík Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering Dept. of Cybernetics P. Pošík c 2012 Artificial Intelligence 1 / 12 Binární klasifikace

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald

Více

Kapitola 1. Logistická regrese. 1.1 Model

Kapitola 1. Logistická regrese. 1.1 Model Kapitola Logistická regrese Předpokládám, že už jsme zavedli základní pojmy jako rysy a že už máme nějaké značení Velkost trenovacich dat a pocet parametru Motivační povídání... jeden z nejpoužívanějších

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Státnice odborné č. 19

Státnice odborné č. 19 Státnice odborné č. 19 Klasifikace dat do tříd Klasifikace dat do tříd. Metoda k-nejbližších sousedů, lineární separace, Perceptronový algoritmus, neuronové sítě Klasifikace dat do tříd, Klasifikace a

Více

Rozdělování dat do trénovacích a testovacích množin

Rozdělování dat do trénovacích a testovacích množin Rozdělování dat do trénovacích a testovacích množin Marcel Jiřina Rozpoznávání je důležitou metodou při zpracování reálných úloh. Rozpoznávání je definováno dvěma kroky a to pořízením dat o reálném rozpoznávaném

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

5. Umělé neuronové sítě. neuronové sítě. Umělé Ondřej Valenta, Václav Matoušek. 5-1 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015

5. Umělé neuronové sítě. neuronové sítě. Umělé Ondřej Valenta, Václav Matoušek. 5-1 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 Umělé neuronové sítě 5. 4. 205 _ 5- Model umělého neuronu y výstup neuronu u vnitřní potenciál neuronu w i váhy neuronu x i vstupy neuronu Θ práh neuronu f neuronová aktivační funkce _ 5-2 Neuronové aktivační

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

ZÍSKÁVÁNÍ ZNALOSTÍ Z DATABÁZÍ

ZÍSKÁVÁNÍ ZNALOSTÍ Z DATABÁZÍ Metodický list č. 1 Dobývání znalostí z databází Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení základních pojmů z oblasti dobývání znalostí z databází i východisek dobývání znalostí z databází inspirovaných

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

ZÍSKÁVÁNÍ ZNALOSTÍ Z DATABÁZÍ

ZÍSKÁVÁNÍ ZNALOSTÍ Z DATABÁZÍ metodický list č. 1 Dobývání znalostí z databází Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení základních pojmů z oblasti dobývání znalostí z databází i východisek dobývání znalostí z databází inspirovaných

Více

Interpolace, aproximace

Interpolace, aproximace 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Neuronové sítě (11. přednáška)

Neuronové sítě (11. přednáška) Neuronové sítě (11. přednáška) Machine Learning Naučit stroje se učit O co jde? Máme model výpočtu (t.j. výpočetní postup jednoznačně daný vstupy a nějakými parametry), chceme najít vhodné nastavení parametrů,

Více

Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak

Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak StatSoft Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak V tomto článečku si uděláme exkurzi do teorie regresní analýzy a detailně se podíváme na jeden jediný diagnostický graf. Jedná se o graf Předpovědi

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

StatSoft Úvod do neuronových sítí

StatSoft Úvod do neuronových sítí StatSoft Úvod do neuronových sítí Vzhledem k vzrůstající popularitě neuronových sítí jsme se rozhodli Vám je v tomto článku představit a říci si něco o jejich využití. Co si tedy představit pod pojmem

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Restaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci

Restaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci Restaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky

Více

Bayesovské rozhodování - kritétium minimální střední ztráty

Bayesovské rozhodování - kritétium minimální střední ztráty Bayesovské rozhodování - kritétium imální střední ztráty Lukáš Slánský, Ivana Čapková 6. června 2001 1 Formulace úlohy JE DÁNO: X množina možných pozorování (příznaků) x K množina hodnot skrytého parametru

Více

Obsah Úvod Kapitola 1 Než začneme Kapitola 2 Práce s hromadnými daty před analýzou

Obsah Úvod Kapitola 1 Než začneme Kapitola 2 Práce s hromadnými daty před analýzou Úvod.................................................................. 11 Kapitola 1 Než začneme.................................................................. 17 1.1 Logika kvantitativního výzkumu...........................................

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz VII. SYSTÉMY ZÁKLADNÍ POJMY SYSTÉM - DEFINICE SYSTÉM (řec.) složené, seskupené (v

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Rozhodovací stromy Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více