MATEMATICKÉ METODY VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTŮ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATICKÉ METODY VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTŮ"

Transkript

1 MATEMATICKÉ METODY VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTŮ Miroslav Pokorný Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Olomouc 2010

2 Projekt Aplikovatelný systém dalšího vzdělávání ve VaV (dále jen APSYS) OP VK č. CZ.1.07/2.3.00/ je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Text neprošel jazykovou úpravou. Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Autor: Recenzovali: prof. Dr. Ing. Miroslav POKORNÝ prof. Dr. Zdeněk SOUČEK, DrSc. Mgr. Antonín SEDLÁČEK Olomouc 2010 ISBN

3 Obsah Úvod Matematická statistika... 7 Cíl Statistika a pravděpodobnost Náhodná veličina Funkční charakteristiky náhodné veličiny Číselné charakteristiky náhodné veličiny Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Vlastnosti datových souborů Cíl Statistické datové soubory Vlastnosti reprezentativního datového souboru Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Průzkumová analýza naměřených dat Cíl Ověření vlastností výběrového souboru Grafy identifikace vlastností výběrového souboru Histogram Ověření předpokladů o datech Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Statistická analýza naměřených dat Cíl Cíle statistické analýzy Bodové odhady parametrů náhodné veličiny Intervalové odhady parametrů náhodné veličiny Vybrané typy funkcí rozloţení hustoty pravděpodobnosti Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Testování statistických hypotéz Cíl Metoda statistických testů Testy o reprezentativnosti výběrového souboru Testy hypotéz o statistických parametrech jednoho souboru... 37

4 5.4 Testy hypotéz o statistických parametrech dvou souborů Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Robustní metody statistické analýzy Cíl Robustní odhady parametrů Vyhodnocení malých výběrů Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Zkoumání statistických závislostí Cíl Závislost náhodných veličin Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Ekonomická statistika Cíl Statistika a ekonomie Statistické ukazatele a šetření Organizace statistických a šetření Shrnutí kapitoly Literatura ke kapitole Literatura Seznam obrázků Seznam tabulek... 58

5 Úvod Od odborných pracovníků (zvláště pak manaţerů) se stále více očekává, ţe budou rozhodovat především na základě logických úvah a důkladných analýz, nikoliv pouze intuitivně na základě svých zkušeností. Právě metody pro vyhodnocení statistických šetření jsou pro analýzu řešených problémů a následné rozhodování často pouţívány. Patří mezi tzv. kvantitativní metody a jsou určeny pro zdokonalení řešení našich profesních problémů a úloh. Můţeme říci, ţe slouţí podpoře a zdokonalení našeho profesního rozhodování. Pro úspěšné řešení všech rozhodovacích úloh jsou kromě odborných znalostí nutné také kvalitní informace, týkající se daného problému. Informace získáváme shromáţděním a analýzou nejrůznějších údajů. Údaje jsou obvykle číselná data nebo mají formu, kterou lze na číselná data převést. Údaje jsou přitom získávána různými metodami od pouţití měřicích přístrojů () aţ po akce hromadných průzkumů (šetření). O problematice vlastností ekonomických údajů a problematice jejich získávání pojednává kapitola 8. V této souvislosti je třeba poznamenat, ţe současná (superturbulentní) doba je v oblasti společenské a ekonomické charakterizována existencí silně nestacionárních jevů a procesů. Jejich modelování výlučně konvenčními matematicko-statistickými metodami je stále obtíţnější a výsledky, které jsou získány simulacemi pomocí takových modelů (např. predikce s vyuţitím extrapolací, trendů a řad) jsou často velmi odlišné od skutečnosti. Stoupá význam znalostí a metod, které jsou schopny je do procesu modelování a simulací zahrnout. To platí zvláště v oblasti taktického a strategického rozhodování. V praxi jsou veškerá měření zatíţena řadou vlivů, které způsobují chyby odchylky velikosti hodnot naměřených od jejich hodnot skutečných. Vlivy, které tyto odchylky způsobují, nelze ve většině případů exaktně popsat ani předvídat jsou nahodilé, náhodné. Měřené hodnoty tak získávají charakter náhodné veličiny (charakter nahodilý, stochastický). Charakteristickou vlastností je skutečnost, ţe velikost takové náhodné veličiny nelze zjistit naprosto přesně - lze jen vypočítat odhad velikosti takové hodnoty a stanovit interval, v němž se bude její přesná hodnota nacházet (vţdy ale pouze s určitou pravděpodobností). Náhodné veličiny jsou ve své podstatě sloţitější, neţ veličiny nenáhodné (deterministické). Proto je problematika jejich měření a vyhodnocování rovněţ sloţitější. Veškerá vyhodnocení vycházejí ze zpracování souborů dat, naměřených na studovaných objektech. Podmínky, za kterých jsou soubory dat pořizovány, mají rozhodující vliv na kvalitu vyhodnocených výsledků. Cílem statistického vyhodnocení datových souborů je pak získání grafických nebo numerických charakteristik, které kvantitativně vyjadřují základní vlastnosti těchto souborů a tím i náhodných veličin, které tyto soubory reprezentují. Zdůrazněme znovu, ţe kvalita výsledků, získaných aplikací metod statistické analýzy na konkrétních souborech naměřených dat, je přímo závislá na vlastnostech těchto souborů. V případě nevhodných vlastností datových souborů je pouţití mnohých metod (tak jak se často stává) nekorektní výsledky, které dostaneme, neodpovídají skutečnosti. Vlastnosti datových souborů jsou přitom dány způsobem, jakým jsou data získána. Učební látka zahrnuje vysvětlení metody správného měření (získávání datových souborů) a metod zpracování naměřených dat (statistických analýz). Důraz je kladen na vysvětlení významu tzv. průzkumových (předsledných, exploratorních) analýz, které mají za úkol poskytnout předběţné - 5 -

6 informace o kvalitě souborů před jejich vlastním statistickým zpracováním. Text seznamuje s moţnostmi nápravy nevhodných vlastností souborů a způsobem výběru takových metod statistické analýzy, které zajistí i v případech ne zcela vhodných datových souborů maximální moţnou správnost výsledků. V textu je uvedena řada odkazů na odbornou literaturu, v nichţ lze nalézt podrobnější informace. Velkým přínosem pro kvalitu výsledků statistického zpracování dat znamenalo rozšíření počítačů, které přineslo moţnost vyuţití specializovaných programů. I kdyţ úkolem našeho kurzu není dokonalé zvládnutí takových programů, je třeba se o nich zmínit. Dovolují nejen rychlé provádění komplikovaných výpočtů, ale umoţňují hlavně zvolit z velkého počtu různých statistických metod metodu vhodnou, a to podle vlastností datového souboru a podle toho, jakou informaci z něj pro naši další práci máme získat. Pro podporu statistických výpočtů mají dnes odborníci k dispozici nabídku řady specializovaných interaktivních programových balíků (STATGRAPHIC, ADSTAT, MATLAB- Statistics Toolbox, S-PLUS). Pro naši potřebu můţe být zajímavý statistický paket NCSS (Number Cruncher Statistical Systems) jako universální soubor statistických procedur, doporučovaný zejména uţivatelům nestatistikům. Pokud jsou obrázky, uvedené v textech jednotlivých kapitol, vytištěny z počítačové předlohy, byl k jejich vytvoření pouţit Statistic Tool Box systému MATLAB. Vyuţitím programových paketů se statistické výpočty zpracování dat stávají zcela rutinními procedurami a záleţí pouze na jejich uţivatelích, aby byly správně pouţívány, aby výsledky statistických analýz byly korektní a efektivní pro správné rozhodování. Neţ se začneme věnovat obsahu dalších kapitol, ujasníme si problém jejich pochopení z hlediska našich dosavadních znalostí zvláště znalostí matematiky. Statistické metody jsou metodami exaktními, jejich vysvětlení a popis není proto moţný bez pouţití matematického formálního aparátu (matematické výrazy, rovnice, nerovnosti a relace). Texty kapitol musí být doprovázeny matematickými vztahy. Kvůli úplnosti a praktické použitelnosti textu jsou do nezbytné hloubky vysvětleny. Nemusíme se jich obávat. Matematická statistika však (aţ na výjimky) nevyuţívá aparátu vyšší matematiky a proto jsou pouţité vztahy jednoduché. V textech (aţ na výjimku) nebylo třeba pouţít vztahů, vyuţívajících diferenciálního a integrálního počtu. Vztahy, pouţité pro vysvětlení principů, jsou jednoduché a dobře pochopitelné i se znalostí středoškolské matematiky. Jiné, sloţitější, jsou prezentovány z důvodů komplexnosti a homogenity látky, pro orientaci těch čtenářů, kteří se statistikou zabývají nebo budou zabývat prakticky. Nejsou v ţádném případě určeny k učení nazpaměť. Systematicky se texty odvolávají na odbornou literaturu, uvedenou v seznamu. V těchto pramenech naleznou rovněž zájemci bližší vysvětlení původu hodnot řady empirických číselných konstant, které jsou pro řadu statistických vztahů charakteristické. Kapitoly také (z důvodu omezeného rozsahu) nezahrnují ţádné řešené příklady a není v nich ani zařazena příloha se statistickými tabulkami (které jsou pro řešení statistických úloh nezbytné). Příklady praktického použití všech v textu uvedených metod a statistických tabulek budou hlavní náplní tutoriálů, které jsou součástí kurzů. Učební látka představuje pouze základy matematické statistiky a její aplikace v ekonomii, prohloubení znalostí je věcí dalšího studia odborné literatury nebo dalších specializovaných kurzů

7 1 Matematická statistika CÍL Po prostudování budete umět: charakterizovat teorie pravděpodobnosti a matematickou statistiku, definovat náhodnou veličinu a její charakteristiky, vyjmenovat a popsat charakteristiku funkční a praktické vyuţití charakteristik číselných. KLÍČOVÁ SLOVA Matematická pravděpodobnost, matematická statistika, náhodná veličina, funkční charakteristiky, funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti, číselné charakteristiky, charakteristiky polohy, charakteristiky rozptýlení, charakteristiky tvaru. 1.1 Statistika a pravděpodobnost Pojmem statistiky můţe být chápán v několika svých významech, které však spolu v praxi úzce souvisí [1]: Statistiku tedy chápeme jako: údaj nebo souhrn údajů (datový soubor), který byl získán sběrem nebo dalším zpracováním. praktickou činnost, spočívající ve sběru, zpracování a vyhodnocování číselných údajů. vědní disciplínu, která se zabývá metodami sběru, zpracování a vyhodnocování číselných údajů. V souvislosti se statistikou vznikla a byla široce rozpracována jiná matematická disciplína teorie pravděpodobnosti. Zjednodušeně lze říci, ţe statistika zkoumá hromadné jevy, kdeţto teorie pravděpodobnosti zkoumá jevy individuální, jedinečné. Pravděpodobnost, jak uvidíme dále, je přitom chápána jako šance, zda daný jev nastane nebo nikoliv. Statistika a teorie pravděpodobnosti spolu velmi úzce souvisí, neboť představují dva pohledy na stejný problém. Kaţdý hromadný jev je totiţ tvořen jednotlivými jevy individuálními a naopak opakováním individuálního jevu získáme jev hromadný. V současné době nelze teorii pravděpodobnosti a statistiku od sebe oddělit teorie pravděpodobnosti je povaţována za součást moderní statistiky a tvoří její teoretický základ. Původní, tzv. popisná (deskriptivní) statistika byla rozvinuta do statistiky matematické. Matematická statistika na základě teorie pravděpodobnosti umoţňuje - 7 -

8 získat kvalifikované závěry (odhady) o sledovaném jevu i z menšího počtu dat (údajů). Nové statistické postupy otevřely moţnosti pro průzkumy veřejného mínění, namátkové testy a další postupy, ve kterých z vlastností části usuzujeme na chování celku. Statistika byla zpočátku vyuţívána spíše ve vědách přírodních a technických, dnes však zaznamenává rozvoj svých aplikací v disciplínách humanitního charakteru, například v psychologii, sociologii a ekonomii. 1.2 Náhodná veličina Jak jiţ bylo řečeno, praktická měření jsou zatíţena řadou vlivů, které způsobují chyby - odchylky velikosti hodnot naměřených od jejich hodnot skutečných (okolní teplota, únava pozorovatele, nálada respondenta apod.). Důsledky těchto vlivů nelze exaktně popsat ani predikovat. Měřené hodnoty pak získávají charakter náhodné veličiny, u níţ nelze určit její velikost a lze jen stanovit odhady jejích charakteristik a intervaly, v němţ se budou skutečné hodnoty charakteristik nacházet s určitou pravděpodobností. Seznámíme se nyní se základními pojmy teorie náhodných veličin [3], [1]. Uvaţujme jev A, který můţe být výsledkem daného pokusu (respondent odpoví ano ). Předpokládejme, ţe jsme pokus opakovali n-krát a ţe v sérii těchto n pokusů jev A nastal k-krát. Pravděpodobnost jevu A označíme. Rovnice 1.1 Jestliţe pak vykonáme za určitých, a to nezměněných (reprodukovatelných) podmínek, velké mnoţství pokusů (přičemţ v kaţdém z nich jev A nastat můţe nebo nemusí), pak pravděpodobnost P(A) bude konvergovat k určité konstantní hodnotě, kterou označíme p(a) a nazveme ji statistickou pravděpodobností jevu A, přičemţ hodnota odpovídá velikosti vypočítané v případě nekonečně mnoha pokusů. Rovnice 1.2 Problémem matematické statistiky je skutečnost, ţe nekonečného počtu pokusů nelze dosáhnout. Dále budeme proto pracovat s pravděpodobností. Počet pokusů n jak uvidíme dále by měl být vţdy co největší. Pro velikost pravděpodobnosti jevu A pak platí, ţe: Rovnice 1.3 kdy pravděpodobnost jevu jistého je nemoţného je P(A) = 0. a pravděpodobnost jevu - 8 -

9 1.3 Funkční charakteristiky náhodné veličiny Náhodná veličina je definována svými charakteristikami. Základní charakteristikou je charakteristika funkční. Pokud známe její tvar (nebo analytické vyjádření), pak známe náhodnou veličinu dokonale. Diskrétní náhodná veličina můţe nabývat pouze určitých hodnot. Uvaţujme diskrétní náhodnou veličinu X a mnoţinu jejích hodnot Rovnice 1.4 Kaţdá z hodnot x i je moţná, ale není jistá, náhodná proměnná X jí můţe nabýt pouze s určitou pravděpodobností, kterou označíme. Označme dále: Rovnice 1.5 Funkce p(x) se nazývá se funkce rozloţení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Uvaţujme nyní náhodnou veličinu X, která můţe nabývat nekonečně mnoha hodnot z intervalu reálných čísel (je definována na intervalu, ). Taková náhodná veličina je nazývána spojitou náhodnou veličinou. Její funkční charakteristika se nazývá funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti (někdy zkráceně hustota pravděpodobnosti). Tato funkce má následující vlastnosti: pravděpodobnost, ţe náhodná veličina nabude hodnot z intervalu a, b je rovna ploše pod křivkou f(x) omezenou hodnotami a,b, coţ lze matematicky vyjádřit velikostí integrálu Rovnice 1.6 celková plocha pod křivkou je rovna jedné, neboť pravděpodobnost, ţe náhodná veličina X nabude některé z hodnot intervalu ( je rovna 1 (jistota). Rovnice 1.7 Tyto vlastnosti funkce jsou znázorněny na obrázku 1.1a b, kde je nakreslen moţný příklad jejího tvaru. Tvar křivky můţe být různý závisí na vlastnostech (neboli typu) konkrétní náhodné veličiny. S některými typy se seznámíme v kap

10 Vlastnosti funkce rozložení hustoty pravděpodobnosti Obrázek 1.1 Funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny f(x) je nositelem úplné informace o vlastnostech náhodné veličiny X. Problémem je, ţe získat její tvar (případně analytické vyjádření) můţe být velmi obtíţné. V praxi se (naštěstí) bez této funkce obejdeme, známe-li alespoň její vybrané parametry. Tyto parametry nazýváme číselnými charakteristikami náhodné veličiny. 1.4 Číselné charakteristiky náhodné veličiny Funkční charakteristiky jsou obtíţně dosaţitelné a navíc mnohdy i málo přehledné. Pro lepší představu o chování náhodné veličiny proto hledáme častěji její číselné charakteristiky, které jsou významnými parametry křivky. Číselné charakteristiky náhodné veličiny (často nazývané jejími momenty), dělíme do tří skupin: charakteristiky polohy nás informují o střední hodnotě (středu) rozloţení. Kromě střední hodnoty patří mezi charakteristiky polohy i tzv. medián, modus a kvantily. Střední hodnota náhodné veličiny vţdy odpovídá poloze maxima na křivce a udává, jak je poloha křivky posunuta ve směru vodorovné osy souřadnic. charakteristiky rozptýlení (variability) udávají, v jak velké míře kolísají (jsou rozptýleny) hodnoty náhodné veličiny kolem své střední hodnoty. Patří sem disperze (rozptyl) a směrodatná odchylka. Čím má náhodná veličina větší rozptyl, tím je křivka širší a niţší. charakteristiky tvaru, tedy šikmosti které udávají nesouměrnost křivky vzhledem k její střední hodnotě - a špičatosti, které hodnotí, jak dalece je křivka funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti f(x) ve střední hodnotě špičatá. Patři sem koeficient šikmosti (asymetrie) resp. koeficient špičatosti (excesu) Jak vidíme, číselné charakteristiky reprezentují tvar funkční charakteristiky a jsou schopny zastoupit celý její průběh. Jako čísla mají ten význam, ţe je můţeme pouţít dále ve všech výpočtech

11 V tomto místě jsme uvedli pouze vysvětlení významu charakteristik náhodné veličiny pro pochopení látky v kapitole následující. V této souvislosti bylo třeba pouţít některé pouze částečně a jen kvalitativně vysvětlené pojmy (charakteristiky polohy, rozptýlení a tvaru). Vztahy pro výpočet velikosti odpovídajících číselných charakteristik závisí na typu náhodné veličiny a budou uvedeny v kap. 4. SHRNUTÍ KAPITOLY Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika se jako vědní obory zabývají studiem vlastností a vyhodnocováním charakteristik náhodných veličin. Náhodná veličina je zatíţena řadou vlivů, které způsobují takové změny její velikosti, které nelze predikovat. Měřené hodnoty náhodné veličiny mají stochastický charakter. Přesné charakteristiky náhodné veličiny určit nelze, lze jen stanovit intervaly, v nichţ se budou hodnoty těchto charakteristik nacházet s určitou pravděpodobností. Nejdůleţitější funkční charakteristikou náhodné veličiny je funkce rozloţení její hustoty pravděpodobnosti. Prakticky významné jsou číselné charakteristiky, které představují relevantní parametry funkce rozloţení. Nejdůleţitější číselné charakteristiky náhodné veličiny jsou její střední hodnota a rozptyl. Tyto parametry pouţíváme pro reprezentaci náhodné veličiny při jejím pouţití ve výpočtech. ÚKOLY 1. Vysvětlete oblasti zájmu vědních oborů teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky! 2. Jak vypočítáte pravděpodobnost náhodného jevu? 3. Jaký praktický význam má funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny? 4. Popište vzájemnou souvislost mezi funkcí rozloţení hustoty pravděpodobnosti, střední hodnotou a rozptylem náhodné veličiny! LITERATURA KE KAPITOLE Základní literatura: [1] HÁJOVSKÝ, R., POKORNÝ, M., KOZUB, R. Statistické zpracování měřených dat I. Ostrava: FEI VŠB-TUO, [2] FRIEDRICH, V. Statistika pro ekonomy Ekonomické ukazatele a statistické zjišťování [on line]. [cit ]. Dostupný z WWW: <moodle.vsb.cz/statistika/01.pdf>

12 Doporučená literatura: [3] LIKEŠ, J., MACHEK, J. Matematická statistika. Praha: SNTL,

13 2 Vlastnosti datových souborů CÍL Po prostudování budete umět: vysvětlit poţadavky na vlastnosti výběrového souboru, vyjmenovat základní výsledky statistické analýzy souboru, porozumět principu vyhodnocení vlastností náhodné veličiny. KLÍČOVÁ SLOVA Náhodný výběr hodnot, výběrový soubor prvků, reprezentativnost souboru, rozsah výběrového souboru, střední hodnota, rozptyl. 2.1 Statistické datové soubory Jedním ze základních předpokladů pouţití matematické statistiky pro potlačení chyb měření, vzniklých působením náhodných vlivů, je moţnost pořízení souboru dostatečného počtu pozorovaných (měřených) hodnot sledované veličiny za reprodukovatelných podmínek. Tento poţadavek můţe být hlavním problémem při realizaci konkrétních měření. Nesplnitelnost předpokladů vede k v praktických případech k pořízení datových souborů, jejichţ vlastnosti nezaručují korektnost pouţití metod statistické analýzy a vedou k získání výsledků, které jsou v rozporu se skutečností. V etapě získávání dat (měření) vytváříme náhodný výběr dat, jehoţ prvky (jednotlivá měření, pozorování) náhodnou veličinu reprezentují. Podstatné je získat tzv. reprezentativní náhodný výběr, který je základním předpokladem korektnosti pouţití statistických metod pro vyhodnocení výsledků měření. Úplným (případně základním) souborem rozumíme mnoţinu všech moţných (někdy i nekonečně mnoha) hodnot náhodné veličiny. Všechny hodnoty však mnohdy získat nemůţeme a proto omezeným měřením získáme soubor výběrový vlastně náhodný výběr hodnot z úplného souboru. Aby výsledky statistické analýzy takového náhodného výběru byly správné - odpovídaly parametrům souboru úplného musí mít výběrový soubor určité vlastnosti musí být reprezentativní [1], [2]. 2.2 Vlastnosti reprezentativního datového souboru Statistickým vyhodnocením úplného (základního) souboru dat bychom obdrţeli přesné (deterministické) hodnoty parametrů náhodné veličiny. Jelikoţ však máme

14 k dispozici pouze výběrový soubor - konečnou mnoţinu dat, výběr z mnoţiny úplné (někdy nekonečné) - nemůţeme jeho statistickým vyhodnocením získat parametry deterministické, nýbrţ opět jen stochastické (které mají opět charakter náhodných veličin!). Tyto parametry musíme povaţovat pouze za odhady skutečných hodnot parametrů. Jde nyní o to, aby tyto odhady (statistické odhady) byly co nejbliţší hodnotám skutečným, abychom se nedopustili nepřípustných chyb. Prvním předpokladem kvality statistických odhadů je jak jsme jiţ uvedli - pořízení reprezentativního výběrového souboru. Znaky takového reprezentativního výběru jsou: vzájemná nezávislost jednotlivých prvků výběru velikost jednoho prvku nesmí být ovlivněna velikosti prvku jiného (např. předcházejícího), homogenita výběru - podmíněná tím, ţe všechny prvky výběru pocházejí ze stejného druhu rozloţení hustoty pravděpodobnosti výběrový soubor nesmí být sloţen z více podsouborů odlišných náhodných veličin, stejná pravděpodobnost všech prvků ţe budou do výběru zařazeny, ţádná hodnota nesmí být upřednostněna před ostatními. Významnou podmínkou korektnosti výběrového souboru je, aby všechna měření byla provedena za stejných podmínek (podmínka reprodukovatelnosti podmínek měření). Prvotním úkolem pracovníka, který organizuje etapu získání dat (etapu měření viz kap.8), je vyloučení vlivů, které by mohly reprezentativnost budoucího souboru porušit. Prvotním úkolem pracovníka, který pak přistupuje ke statistické analýze výběrového souboru, musí být ověření vlastností tohoto souboru a potvrzení jeho reprezentativnosti. Základním výsledkem statistické analýzy jsou odhady charakteristik vyhodnocované náhodné veličiny. Jsou to obvykle typ funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti měřené náhodné veličiny. střední (nejpravděpodobnější) hodnota náhodné veličiny disperze (rozptyl) - rozptýlení hodnot náhodné veličiny kolem této střední hodnoty Základním předpokladem správnosti získaných výsledků je poţadavek, aby parametry náhodné veličiny, získané analýzou výběrového souboru jako jejich odhady, se co nejméně odlišovaly od parametrů skutečných, tedy takových, které bychom získali analýzou úplného souboru (kdybychom jej měli k dispozici). Jak ukáţeme dále, jsou vlastnosti souboru velice významně ovlivněny jeho rozsahem počtem naměřených hodnot n. Lze říci, ţe čím je rozsah souboru větší, tím přesnější odhady velikostí parametrů náhodné veličiny (střední hodnota, rozptyl) jsme schopni získat. Platí, ţe přesnost a spolehlivost všech statistických výpočtů je přímo úměrná rozsahu výběrového souboru

15 V mnohých případech není moţné dostatečně velký počet měření získat (důvody časové, ekonomické, věcné). V takových případech se musíme spokojit s malým rozsahem souboru a k analýze musíme pouţít speciální metody (metody robustní viz kap. 6). Jak uvidíme, lze stanovit minimální nutný počet měření, potřebný k dosaţení předem stanovené (poţadované) přesnosti výpočtů. Problematika získávání datových souborů v ekonomii je uvedena v kap. 8. SHRNUTÍ KAPITOLY Vlastnosti náhodné veličiny vyšetřujeme prostřednictvím výběrového souboru jejích naměřených dat. Výběrový soubor musí splňovat podmínky reprezentativnosti. Vyhodnocením náhodného výběru hodnot získáme pouze odhady charakteristik náhodné veličiny, skutečné hodnoty bychom mohli získat ze souboru základního. Ten obsahuje všechny moţné hodnoty náhodné veličiny a není proto prakticky dostupný. ÚKOLY 1. Definujte základní a výběrový soubor hodnot náhodné veličiny! 2. Jaké jsou vlastnosti reprezentativního náhodného výběru? 3. Jmenujte náhodnou veličinu, u níţ lze získat základní soubor jejích hodnot! LITERATURA KE KAPITOLE Základní literatura: [1] HÁJOVSKÝ, R., POKORNÝ, M., KOZUB, R. Statistické zpracování měřených dat I. Ostrava: FEI VŠB-TUO, Doporučená literatura: [2] LIKEŠ, J., MACHEK, J. Matematická statistika. Praha: SNTL,

16 3 Průzkumová analýza naměřených dat CÍL Po prostudování budete umět: vyjmenovat základní metody průzkumové analýzy, charakterizovat grafy identifikace vlastností souboru a pouţít je v praxi, ověřit předpoklady o naměřených datech, porozumět významu průzkumové analýzy statistického souboru dat. KLÍČOVÁ SLOVA Průzkumová analýza, kvantil, diagram rozptýlení, krabicový graf, histogram, předpoklady o vlastnostech naměřených dat, vybočující data. 3.1 Ověření vlastností výběrového souboru Ověření vlastností výběrového souboru provádíme pomocí metod, které jsou zahrnuty do tzv. průzkumové analýzy, kterou nesmíme nikdy vynechat. Průzkumová analýza poskytuje také mnohé moţnosti ke zlepšení vlastností výběrového datového souboru, coţ vede k získání lepších výsledků statistické analýzy [1]. Úkolem průzkumové analýzy dat je prvotní zhodnocení jejich vlastností s cílem stanovení předpokladů pro jejich následné statistické zpracování. Jejím cílem je především nalezení zvláštností statistického chování dat. Jako metody průzkumné analýzy pouţíváme pouze takové, které nejsou ovlivněny typem vyšetřované náhodné veličiny. Pro pochopení konstrukce a významu nástrojů průzkumové analýzy je nutno vysvětlit pojem tzv. kvantilů. Kvantily jsou zvláštním druhem číselných charakteristik polohy. Označujeme je jako P-kvantily. Jsou to vybrané hodnoty výběrového souboru studované náhodné veličiny. Kvantily P-procentní kvantil je taková hodnota náhodné veličiny x, která má tu vlastnost, ţe pod ní leţí p% procent prvků náhodného výběrového souboru. Tak např. 100procentní kvantil je největší prvek souboru (všechny ostatní leţí velikostí pod ním), 60procentní kvantil je takový prvek, pod ním svojí velikostí leţí 60% zbývajících prvků souboru apod. Význam kvantilů ve statistice bude vysvětlen v dalších podkapitolách a kapitolách

17 3.2 Grafy identifikace vlastností výběrového souboru Jednou z nejjednodušších metod průzkumové analýzy výběrového souboru je konstrukce identifikačních grafů. Jednotlivé grafy identifikace poskytují informace o velmi důleţitých statistických rysech výběru, jako je stupeň symetrie výběru, stupeň rozptylu výběru, lokální koncentrace (shluky) dat přítomnost abnormálních (vybočujících) dat. Tyto rysy jsou velice důleţitými informacemi, které nám umoţňují na jedné straně předběţně odhadnout tvar funkce rozdělení hustoty pravděpodobnosti výběrového souboru, odhalit nehomogenity souboru a upozornit na existenci takových dat, které se od hodnot ostatních hrubě odlišují a mohou, jak bude ukázáno dále, reprezentativnost výběrového souboru významně poškodit. Uvaţujme výběrový soubor sloţený z n jednotlivých prvků (naměřených hodnot). Seřaďme hodnoty podle velikosti (od nejmenší po největší 3.1). ) a vynesme je podle velikosti do řady na vodorovnou osu (obrázek Diagram rozptýlení Diagram rozptýlení Obrázek 3.1 Získáme tzv. graf rozptýlení (hodnot náhodné veličiny ve výběrovém souboru). Je to sice primitivní graf, odhalí však okamţitě lokální koncentrace dat (je-li jich více neţ jedna, svědčí to o nehomogenitě výběrového souboru data nepatří pouze jedné náhodné veličině, nebyly dodrţeny poţadavky opakovatelnosti podmínek měření) a velmi nebezpečné abnormální (vybočující) hodnoty měření. Náhodná veličina s grafem rozptýlení na Obrázku 3.1 má zřejmě symetrickou funkci, výběrový soubor je homogenní (pouze jeden shluk přibliţně uprostřed grafu) a neobsahuje zřejmě vybočující data. Jestliţe koncentrace dat v určitých úsecích diagramu znepřehledňuje obraz, použijeme rozmítnutého diagramu rozptýlení (vychýlením některých hodnot ve směru svislé osy) podle Obrázku

18 Rozmítnutý diagram rozptýlení Obrázek 3.2 Krabicový graf Pro lepší informaci o vlastnostech výběrového souboru vyuţijeme tzv. krabicového grafu, který umoţňuje určení mediánu M jako charakteristiky polohy (střední hodnoty) identifikaci odlehlých dat. Krabicový graf (Obrázku 3.3) je konstruován jako obdélník o délce Rovnice 3.1 souboru. kde je 75procentní (horní) a 25procentní (dolní) kvantil výběrového V místě mediánu je obdélník rozdělen vertikální čarou. Od obou protilehlých stran obdélníku pokračují úsečky, které jsou ukončeny tzv. přilehlými hodnotami a. Tyto hodnoty leţí uvnitř tzv. vnitřních hradeb nejblíţe k jejich hranicím a : Rovnice 3.2 Rovnice 3.3 Významné je, ţe prvky výběrového souboru, leţící mimo vnitřní hradby, jsou povaţovány za podezřelé a jako takové mohou být ze souboru vyloučeny jako hodnoty vybočující (odlehlé). Na Obrázku 3.3 jsou vybočující data jsou označena kříţky. Tvar grafu svědčí o mírné nesymetrii křivky. Krabicový graf Obrázek

19 Obdobou krabicového grafu je vrubový krabicový graf, který umoţňuje posoudit navíc variabilitu (rozptyl) mediánu. Ta je vyjádřena intervalem, pro jehoţ meze platí vztahy: Rovnice 3.4 Rovnice 3.5 Interval rozptylu mediánu je na obrázku 3.4 vyznačen tečkovanými čarami, vybočující data jsou opět označena kříţky. Vrubový krabicový graf Obrázek 3.4 Krabicové grafy se pouţívají také často k porovnání dvou výběrů. Dobře indikují asymetrii rozdělení a podezřelá měření. 3.3 Histogram Histogram je jedna z nejstarších metod odhadu tvaru funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti. Jde o obrys sloupcového grafu, kde jsou na ose x vyneseny tzv. třídy definující počet (a tedy i šířku) sloupců, přičemţ výšky sloupců odpovídají empiricky zjištěným hustotám pravděpodobnosti jako četnosti výskytu hodnot v jednotlivých třídách. Setřídění dat do tříd předpokládá určení počtu tříd L, který kvalitu histogramu značně ovlivňuje. Pro přibliţně symetrická rozloţení výběru volíme Rovnice 3.6 nebo empiricky pro široké rozmezí velikosti výběru n Pro rozloţení, u nichţ předpokládáme přibliţnou symetrii, volíme délku třídních intervalů konstantní. Rovnice

20 Na Obrázku 3.5 je nakreslen příklad histogramu, které naznačuje moţný typ funkce f(x) odpovídající funkci Gaussova rozloţení hustoty pravděpodobnosti. Histogram homogenního souboru s Gaussovým rozložením Obrázek 3.5 Histogramy jsou velmi důleţitou metodou průzkumové analýzy, protoţe dovolují předběţně posoudit nejen velikost číselných charakteristik, ale i tvar funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti tedy typu analyzované náhodné veličiny. Histogram známe např. jako grafickou metodu posouzení kvality snímku (rozdělení jasů) digitálního fotoaparátu. 3.4 Ověření předpokladů o datech V minulé podkapitole jsme uvedli ty metody průzkumové analýzy, které umoţňují získat rychle a spolehlivě základní informace o typu rozloţení náhodné veličiny a o homogenitě souboru. Nyní si ukáţeme, jak lze ověřit, zda rozsah výběrového souboru je pro naše potřeby dostatečný, zda neobsahuje vybočující data a zda můţeme předpokládat, ţe náhodná veličina má normální rozloţení hustoty pravděpodobnost. Ověření minimální velikosti výběru Jak jiţ bylo řečeno a bude ukázáno i dále, počet naměřených hodnot (tzv. rozsah) výběru n je pro kvalitu statistické analýzy velmi významný. U velmi malých výběrů se stává, ţe přesnost výsledků statistických výpočtů jsou více ovlivněny hodnotou velikosti výběru n neţ variabilitou dat!

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I.

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I. pro kombinované a distanční studium Radim Briš Martina Litschmannová

Více

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů?

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? Dnes se podíváme na zoubek speciální třídě grafů, podle názvu článku a případně i ilustračního obrázku vpravo jste jistě již odhadli, že půjde o třídu pravděpodobnostních

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Co je to statistika? teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat Jak získat data?

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Obsah 1. Úvod 2. Oblast působnosti 3. Definice 3.1 Definice uvedené ve směrnici 3.2 Obecné definice 3.2.1 Nejistoty způsobené postupem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky. 2.1. Statistická terminologie. Statistická jednotka

2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky. 2.1. Statistická terminologie. Statistická jednotka 2. Statistická terminologie a vyjadřovací prostředky 2.1. Statistická terminologie Statistická jednotka Statistická jednotka = nositel statistické informace, elementární prvek hromadného jevu. Příklady:

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

aktivita A0705 Metodická a faktografická příprava řešení regionálních disparit ve fyzické dostupnosti bydlení v ČR

aktivita A0705 Metodická a faktografická příprava řešení regionálních disparit ve fyzické dostupnosti bydlení v ČR aktivita A0705 Metodická a faktografická příprava řešení regionálních disparit ve fyzické dostupnosti bydlení v ČR 1 aktivita A0705 Metodická a faktografická příprava řešení regionálních disparit ve fyzické

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

SW podpora při řešení projektů s aplikací statistických metod

SW podpora při řešení projektů s aplikací statistických metod SW podpora při řešení projektů s aplikací statistických metod Jan Král, Josef Křepela Úvod Uplatňování statistických metod vyžaduje počítačovou podporu. V současné době je rozšiřována řada vynikajících

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M3 ZÁKLADY TEORIE ODHADU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU

KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU KVANTITATIVNÍ METODY V PEDAGOGICKÉM VÝZKUMU RADEK KRPEC CZ.1.07/2.2.00/29.0006 OSTRAVA, ČERVEN 2013 Studijní opora je jedním z výstupu projektu ESF OP VK. Číslo Prioritní osy: 7.2 Oblast podpory: 7.2.2

Více

Základní analýza dat. Úvod

Základní analýza dat. Úvod Základní analýza dat literatura: Hendl, J. 2006: Přehled statistických metod zpracování dat. Analýza a metaanalýza dat. Praha: Portál. Macháček, J. 2001: Studie k velkomoravské keramice. Metody, analýzy

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ V OBLASTI SPOLEČENSKÝCH VĚD

MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ V OBLASTI SPOLEČENSKÝCH VĚD MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ V OBLASTI SPOLEČENSKÝCH VĚD Miroslav Pokorný Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Olomouc 2010 Projekt Aplikovatelný systém dalšího vzdělávání ve VaV (dále jen APSYS) OP VK č. CZ.1.07/2.3.00/09.0134

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více