Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna"

Transkript

1 Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna 7. října 7

2 Obsah:.Ortogonálnídoplňky,ortogonalizace....Vzájemnápolohalineálů...6.Příčkymimoběžek Vzdálenostboduodnadroviny... 5.Vlastníčíslamatice Objemaobsahpomocívnějšíhoavektorovéhosoučinu Gradient,divergencearotace Dvojnýatrojnýintegrál Objempomocítrojnéhointegrálu...58.Křivkovýintegrál...6.Plošnýintegrál...7.Greenova,StokesovaaGaussova-Ostrogradskéhověta...78.ŘešenídiferenciálníchrovnicpomocíLaplaceovytransformace...95 Literatura...

3 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace. Ortogonální doplňky, ortogonalizace Nechť Ujepodprostorvektorovéhoprostoru V.Ortogonálnídoplněk U obsahujevšechnyvektory,které jsoukolmékekaždémuvektoruzu,neboli v U u U u v cožlzevyjádřitpomocískalárníhosoučinu u v. Ortogonálnídoplněk U kpodprostoru U u,..., u k tedyhledámejakořešeníhomogennísoustavyrovnic u., u k nuly na pravé straně při výpočtu zpravidla vynecháváme. Připomeňme také vztah dimu+dimu dimv. Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,),,,5). Hledáme vektorx, y, z), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme tedy řešitúpravou na Gaussův tvar pomocí elementárních úprav) homogenní soustavu rovnic zadanou maticí neboli Odtud dostáváme 5 ) 7 z α R, 7y+ z y 7 α, x+ α+α x α x, y, z)α 7 ) 7, 7, α7,, 7). V dalších příkladech budeme nuly na pravé straně soustavy vynechávat a upravovat na výhodnější tvar ) ) ) Odtud již snadno zjistíme, že vektorx,, 7) jistě vyhovuje druhé rovnici. Dosadíme-li ho do první rovnice, dostaneme7x+7 7)ax7. Hledaný ortogonální doplněk je tedy lineární obal 7,, 7). ) Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,). Hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanoumaticí ) ) ) 5 5 5

4 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Odtud dostáváme x, y, z, t)α,,, 5)+ β,, 5,). Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal,,, 5),,, 5,). Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,),,,,). Opět hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanou maticí Odtud dostáváme Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal x, y, z, t)α,4, 5, 5).,4, 5, 5). Vnásledujícíchpříkladechmámeortogonalizovatskupinuvektorů u, u, u,....užívámevzorce v u, v u v u v v nebonásobek), v u v u v v v u v v nebonásobek),atakdále Příklad.4: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,),,,),,,). Označímevektory u,,), u,,), u,,)aužijemevzorce v u,,) v, u v u v v,,) u v u v v v u v v,,),,),,),,),,),,),, ) vezmeme v,,) v 6,,,),,),,),,),,),,) 6,,) 4,,)+,,),,) vecv,,). Dostáváme ortogonální bázi v,,), v,,).

5 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace 5 Příklad.5: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),4, 5,5,),, 8,,). Označímevektory u,,,), u 4, 5,5,), u, 8,,)aužijemeuvedenévzorce v u,,,) v 5, v u v u v v 4, 5,5,) 5,,,),,, ) v 5, v u v u v v v u Dostáváme ortogonální bázi v v, 8,,) 5,,,),,, ),,, ). 5 v,,,), v,,, ), v,,, ). Příklad.6: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),,,,),,,,),,,,). Označímevektory u,,,), u,,,), u,,,), u 4,,,)aužijemevzorce v u,,,) v 7, v u v u v v,,,) 7 7,,,),,,) v 5, v u v u v v v u v v,,,) 7 5,,,) 7 5,,,),,,) v,,,), u 4 v u 4 v v v u 4 v v v u 4 v v Dostáváme ortogonální bázi,,,) 7,,,) 7 5,,,) 5,8,,5) vezmeme v 4,8,,,5) v,,,), v,,,), v 4,8,,5).

6 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Vzájemná poloha lineálů Ovzájemnépolozelineálůafinníchprostorů) K a+u a+ u,..., u k alb+v b+ v,..., v l podává přehled následující tabulka: K L K L U V U, V rovnoběžné U V nebo V U U V U, V mimoběžné U, V různoběžně Na základě následující soustavy rovnic u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) pak rozhodneme. o rovnoběžnosti vektorových podprostorů U a V, neboť U V dimu+ V)maxdim U,dimV), kde dimenze prostorů zjistíme podle hodností částí matice soustavy u T,..., ut k hod dim U v T,..., vt l hod dim V hod dimu+v) b a) T ),.oprůniku K Lb+s v + +s l v l a+t u + +t k u k ),kdehodnotyparametrů s,...,s l nebo t,..., t k )zjistímeřešenímstejnésoustavy u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) t... t k s... s l. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. K[,,]+,.) L[,,]+,,) V úvodu řešení ukážeme, jak uvedená metoda odpovídá poznatkům ze střední školy. Hledáme vzájemnou polohu polohu dvou přímek, jejichž vyjádření přepíšeme do parametrických rovnic K: x + t y t z + t t R a L: x s y z + s t R. Ze střední školy si pamatujeme, že mezi příslušné rovnicepro x-ové, y-ové, z-ové souřadnice) položíme znaménko rovnosti a vypočítáme parametry s a t + t s t + t + s V rovnicích převedeme výrazy s parametrem s na levou stranu a čísla bez parametrů napravo t+s t + t s..

7 . Vzájemná poloha lineálů 7 Takto vzniklá matice odpovídá maticiuvedené v úvodu této kapitoly), která pro lineály K a+ u a L b+ v vznikne, když do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici pak řešíme jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý) tvar u T v T b a) T) t }{{} s }{{} 4. Nejprve potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,],,)[,,]. Pro kontrolu můžeme dopočítat neznámou t, průsečík vyjde stejně a+t u[,,],,)[,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,]. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u jepopsán K[,,]+,.) L[,,7]+,,) bodem a[,,] avektorem u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,7] avektorem v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici řešíme opět jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý)

8 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. tvar u T v T b a) T) ) t }{{} s }{{} 5. Zaměřenílineálů-vektorovéprostory U u av v nejsourovnoběžné, U V,neboťdimU,dim V adimu+ V)apodmínkadimU+ V)maxdimU,dimV)neplatí. Protožesoustavanemářešenízjistímepodletřetířádkymatice s),jeprůniklineálůprázdný, K L. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) 4 t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavaseskládázedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemetedyjednuneznámounapříklad s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L. Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,]+ s),,)+s ),,)[,, ]+ s,4,).)

9 . Vzájemná poloha lineálů 9 Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V). Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečnetním bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 7. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) je splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,,7]+,4,),,,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,,7] advěmavektory v,4,)a v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v )

10 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s. Potřebujeme opět zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnosti částímaticesoustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V) maxdim U,dimV)neplatí,nejsouzaměření Ua V lineálůrovnoběžná. Maticichápemejakosoustavulineárníchrovnicproneznámé t, t, s a s.protožemámetřirovniceačtyři neznámé, volíme za jednutřeba poslední) neznámou parametr s. Pro zjištění průniku nám stačí třetí a čtvrtá neznámá s as s.průnik K Lpakobsahujebody b+s v + s v [,,7],4,)+ s,,)[6, 7,5]+ s,,). Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t +s, t s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [6, 7,5]+ s,,). Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V) aprůniksestávázpřímky K L [6, 7,5]+,, ). Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,, 4,]+,,,),,,,) L[,,,]+,,,) bodem a[,, 4,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

11 . Vzájemná poloha lineálů lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je tedy prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,6,,),,,,) L[,,,4]+,,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,6,,)a u,,,), bodem b[,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 8.

12 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[5,, 9,]+,,,),,,,) L[7,,,4]+,,,) bodem a[5,, 9,] advěmavektory u,,,)a u,,,), bodem b[7,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[7,,,4]+,,,)[4,5,7,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t 5at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [5,, 9,]+5,,,),,,)[4,5,7,4]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[4,5,7,4]. Příklad.9:

13 . Vzájemná poloha lineálů Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,, ) L[,,,]+,7, 6,4) bodem a[,,, ] advěmavektory u,,,)a u,,, ), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,7, 6,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t 4 s 4 }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdná množina. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdný. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,,, ),,,,) L[,,,]+ 6,4,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,,, )a u,,,), bodem b[,,,] avektorem v 6,4,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

14 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a 6 6 u T u T v T b a) T) t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Protožesoustavaseskládápouzezedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemejednuneznámou například s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L.Prokontrolumůžeme dopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+ s),,, ) s,,,)[,,,]+ s 6,4,,). Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V)aprůnikjeroven L. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,4]+,,,),,,, ) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,,4] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za plnou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 6 6.

15 . Vzájemná poloha lineálů 5 Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,5]+,,,),,,, ) L[,, 4, 4]+,,,) bodem a[,,,5] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,, 4, 4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s4.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,, 4, 4]+4,,,)[7,, 8,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,5],,,),,, )[7,, 8,4]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [7,, 8,4]. Příklad.:

16 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,6,,),,,,),,,,) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,, ] atřemivektory u,6,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,,, )[5,,, ]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,, ]+,6,,),,,)+,,,)[5,,, ]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [5,,, ]. Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,8,,),,5,,),,,,) L[,,,]+,4,5, ) bodem a[,,,] atřemivektory u,8,,), u,5,,)a u,,,),

17 . Vzájemná poloha lineálů 7 lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,4,5, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,4,5, )[,5,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+,5,,),,,)[,5,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,5,,]. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v, v pak K[,,,6]+,,,),,,, ) L[,,8, ]+,,,),,,,) bodem a[,,,6] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,8, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

18 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpaksestávázbodu b+s v + s v [,,8, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,6],,,)+,,, )[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,,,]+,,,),,,,) L[,4,, ]+,,,),,,,) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán bodem a[,,,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,4,, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

19 . Vzájemná poloha lineálů 9 lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpakobsahujeprávě jeden bod b+s v + s v [,4,, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+,,,),,,)[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,, 4, 5]+,,,),,,,),,4,5,8) L[,,,6]+,,, ),,,,4) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán bodem a[,, 4, 5] atřemivektory u,,,), u,,,)a u,4,5,8), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,6] advěmavektory v,,, )a v,,,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

20 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,6]+s,,, ) s,,,4)[,,,6]+s,, 4, 7). Prokontrolusiopětmůžemedopočítatneznámé t s, t + sat 6s,průsečíkvyjde stejně a+t u + t u + t u [,, 4, 5] s),,,)+ + s),,,)+ 6s),4,5,8)[,,,6]+s,, 4, 7). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,6]+,, 4, 7). Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,,5),,,,) L[,,,]+,,, ),,,4,) bodem a[,,, ] atřemivektory u,,,), u,,,5)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,] advěmavektory v,,, )a v,,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a

21 . Vzájemná poloha lineálů u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,]+s,,, )+ s,,4,)[,,,]+ s,,, ). Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t s, t at s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,, ] +s),,,)+,,,5)+ s),,,)[,,,]+ s,,, ). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,]+,,,). Příklad.9: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, 5]+,,,),,,,),,,,) L[4,,,]+,,,),,,,8) bodem a[,,, 5] advěmavektory u,,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[4,,,] advěmavektory v,,,)a v,,,8). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a

22 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 7 6. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)ajejichprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,,, ),,,, ),,,,) L[7,,5,]+ 4,,, 4),,,,5) bodem a[,,,] atřemivektory u,,, ), u,,, )a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[7,,5,] advěmavektory v 4,,, 4)a v,,,5). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4 5.

23 . Vzájemná poloha lineálů Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázetřírovnicopětineznámých,protodvěneznáménapříklad s, s )budemepovažovatza parametry.průnik K Ljepaktvořenlineálem L.Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t +s s, t +s + s a t,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+ +s s ),,, )++s +s ),,, )[7,,5,]+s 4,,, 4)+s,,,5). Lineál Ljetedypodmnožinou Kneboť K LL au V).

24 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Příčky mimoběžek Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která je rovnoběžná s vektorem w,, ). Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Směrhledanépříčkyoznačmeji r)jedanývektorem w,zbývátedyzjistitjedenjejíbod.tentobodnajdeme jako průsečík roviny ρ určené přímkou q a směrem w, tedy apřímky ρa+ u, w [,,5]+,, ),,,) q B+ v [,,]+,,). Při hledání průnikuoznačme bod v něm ležící D) budeme postupovat stejně jako v kapitole, 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedybod D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšeme hledanoupříčku r D+ w [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 7,, ),,)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T w T D E) T) t s adostaneme E D+s w[ 4,, ]+,,)[, 6,]nebo E A+t u[,,5] 7,, )[, 6,]. p B A v u rρ w D q Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která prochází bodem C [, 7, ]. Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D).

25 . Příčky mimoběžek 5 Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A 4,9, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ), 4,9, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+ 9,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 59at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 59,, )+ 4,9, 5)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T C D) T D A) T) t s adostaneme E D+s C D)[ 4,, ]+ [,,5]+ 59,, )[ 55 4,47 9,, )[ 55 4,47 6, ]nebo E A+t u 6, ]. p u A C B v D q rρ Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) a qb+ v [,,]+,,),která procházíbodem C[, 4,]. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D). Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A,, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ),,, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7 a t dopočítaných zesoustavy.potom D[,,5]+ 7,, )+,, 5)[ 4,, ].

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Analytická geometrie v prostoru

Analytická geometrie v prostoru Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více