Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna"

Transkript

1 Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna 7. října 7

2 Obsah:.Ortogonálnídoplňky,ortogonalizace....Vzájemnápolohalineálů...6.Příčkymimoběžek Vzdálenostboduodnadroviny... 5.Vlastníčíslamatice Objemaobsahpomocívnějšíhoavektorovéhosoučinu Gradient,divergencearotace Dvojnýatrojnýintegrál Objempomocítrojnéhointegrálu...58.Křivkovýintegrál...6.Plošnýintegrál...7.Greenova,StokesovaaGaussova-Ostrogradskéhověta...78.ŘešenídiferenciálníchrovnicpomocíLaplaceovytransformace...95 Literatura...

3 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace. Ortogonální doplňky, ortogonalizace Nechť Ujepodprostorvektorovéhoprostoru V.Ortogonálnídoplněk U obsahujevšechnyvektory,které jsoukolmékekaždémuvektoruzu,neboli v U u U u v cožlzevyjádřitpomocískalárníhosoučinu u v. Ortogonálnídoplněk U kpodprostoru U u,..., u k tedyhledámejakořešeníhomogennísoustavyrovnic u., u k nuly na pravé straně při výpočtu zpravidla vynecháváme. Připomeňme také vztah dimu+dimu dimv. Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,),,,5). Hledáme vektorx, y, z), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme tedy řešitúpravou na Gaussův tvar pomocí elementárních úprav) homogenní soustavu rovnic zadanou maticí neboli Odtud dostáváme 5 ) 7 z α R, 7y+ z y 7 α, x+ α+α x α x, y, z)α 7 ) 7, 7, α7,, 7). V dalších příkladech budeme nuly na pravé straně soustavy vynechávat a upravovat na výhodnější tvar ) ) ) Odtud již snadno zjistíme, že vektorx,, 7) jistě vyhovuje druhé rovnici. Dosadíme-li ho do první rovnice, dostaneme7x+7 7)ax7. Hledaný ortogonální doplněk je tedy lineární obal 7,, 7). ) Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,). Hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanoumaticí ) ) ) 5 5 5

4 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Odtud dostáváme x, y, z, t)α,,, 5)+ β,, 5,). Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal,,, 5),,, 5,). Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,),,,,). Opět hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanou maticí Odtud dostáváme Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal x, y, z, t)α,4, 5, 5).,4, 5, 5). Vnásledujícíchpříkladechmámeortogonalizovatskupinuvektorů u, u, u,....užívámevzorce v u, v u v u v v nebonásobek), v u v u v v v u v v nebonásobek),atakdále Příklad.4: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,),,,),,,). Označímevektory u,,), u,,), u,,)aužijemevzorce v u,,) v, u v u v v,,) u v u v v v u v v,,),,),,),,),,),,),, ) vezmeme v,,) v 6,,,),,),,),,),,),,) 6,,) 4,,)+,,),,) vecv,,). Dostáváme ortogonální bázi v,,), v,,).

5 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace 5 Příklad.5: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),4, 5,5,),, 8,,). Označímevektory u,,,), u 4, 5,5,), u, 8,,)aužijemeuvedenévzorce v u,,,) v 5, v u v u v v 4, 5,5,) 5,,,),,, ) v 5, v u v u v v v u Dostáváme ortogonální bázi v v, 8,,) 5,,,),,, ),,, ). 5 v,,,), v,,, ), v,,, ). Příklad.6: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),,,,),,,,),,,,). Označímevektory u,,,), u,,,), u,,,), u 4,,,)aužijemevzorce v u,,,) v 7, v u v u v v,,,) 7 7,,,),,,) v 5, v u v u v v v u v v,,,) 7 5,,,) 7 5,,,),,,) v,,,), u 4 v u 4 v v v u 4 v v v u 4 v v Dostáváme ortogonální bázi,,,) 7,,,) 7 5,,,) 5,8,,5) vezmeme v 4,8,,,5) v,,,), v,,,), v 4,8,,5).

6 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Vzájemná poloha lineálů Ovzájemnépolozelineálůafinníchprostorů) K a+u a+ u,..., u k alb+v b+ v,..., v l podává přehled následující tabulka: K L K L U V U, V rovnoběžné U V nebo V U U V U, V mimoběžné U, V různoběžně Na základě následující soustavy rovnic u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) pak rozhodneme. o rovnoběžnosti vektorových podprostorů U a V, neboť U V dimu+ V)maxdim U,dimV), kde dimenze prostorů zjistíme podle hodností částí matice soustavy u T,..., ut k hod dim U v T,..., vt l hod dim V hod dimu+v) b a) T ),.oprůniku K Lb+s v + +s l v l a+t u + +t k u k ),kdehodnotyparametrů s,...,s l nebo t,..., t k )zjistímeřešenímstejnésoustavy u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) t... t k s... s l. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. K[,,]+,.) L[,,]+,,) V úvodu řešení ukážeme, jak uvedená metoda odpovídá poznatkům ze střední školy. Hledáme vzájemnou polohu polohu dvou přímek, jejichž vyjádření přepíšeme do parametrických rovnic K: x + t y t z + t t R a L: x s y z + s t R. Ze střední školy si pamatujeme, že mezi příslušné rovnicepro x-ové, y-ové, z-ové souřadnice) položíme znaménko rovnosti a vypočítáme parametry s a t + t s t + t + s V rovnicích převedeme výrazy s parametrem s na levou stranu a čísla bez parametrů napravo t+s t + t s..

7 . Vzájemná poloha lineálů 7 Takto vzniklá matice odpovídá maticiuvedené v úvodu této kapitoly), která pro lineály K a+ u a L b+ v vznikne, když do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici pak řešíme jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý) tvar u T v T b a) T) t }{{} s }{{} 4. Nejprve potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,],,)[,,]. Pro kontrolu můžeme dopočítat neznámou t, průsečík vyjde stejně a+t u[,,],,)[,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,]. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u jepopsán K[,,]+,.) L[,,7]+,,) bodem a[,,] avektorem u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,7] avektorem v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici řešíme opět jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý)

8 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. tvar u T v T b a) T) ) t }{{} s }{{} 5. Zaměřenílineálů-vektorovéprostory U u av v nejsourovnoběžné, U V,neboťdimU,dim V adimu+ V)apodmínkadimU+ V)maxdimU,dimV)neplatí. Protožesoustavanemářešenízjistímepodletřetířádkymatice s),jeprůniklineálůprázdný, K L. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) 4 t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavaseskládázedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemetedyjednuneznámounapříklad s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L. Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,]+ s),,)+s ),,)[,, ]+ s,4,).)

9 . Vzájemná poloha lineálů 9 Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V). Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečnetním bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 7. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) je splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,,7]+,4,),,,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,,7] advěmavektory v,4,)a v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v )

10 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s. Potřebujeme opět zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnosti částímaticesoustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V) maxdim U,dimV)neplatí,nejsouzaměření Ua V lineálůrovnoběžná. Maticichápemejakosoustavulineárníchrovnicproneznámé t, t, s a s.protožemámetřirovniceačtyři neznámé, volíme za jednutřeba poslední) neznámou parametr s. Pro zjištění průniku nám stačí třetí a čtvrtá neznámá s as s.průnik K Lpakobsahujebody b+s v + s v [,,7],4,)+ s,,)[6, 7,5]+ s,,). Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t +s, t s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [6, 7,5]+ s,,). Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V) aprůniksestávázpřímky K L [6, 7,5]+,, ). Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,, 4,]+,,,),,,,) L[,,,]+,,,) bodem a[,, 4,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

11 . Vzájemná poloha lineálů lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je tedy prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,6,,),,,,) L[,,,4]+,,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,6,,)a u,,,), bodem b[,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 8.

12 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[5,, 9,]+,,,),,,,) L[7,,,4]+,,,) bodem a[5,, 9,] advěmavektory u,,,)a u,,,), bodem b[7,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[7,,,4]+,,,)[4,5,7,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t 5at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [5,, 9,]+5,,,),,,)[4,5,7,4]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[4,5,7,4]. Příklad.9:

13 . Vzájemná poloha lineálů Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,, ) L[,,,]+,7, 6,4) bodem a[,,, ] advěmavektory u,,,)a u,,, ), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,7, 6,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t 4 s 4 }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdná množina. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdný. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,,, ),,,,) L[,,,]+ 6,4,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,,, )a u,,,), bodem b[,,,] avektorem v 6,4,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

14 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a 6 6 u T u T v T b a) T) t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Protožesoustavaseskládápouzezedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemejednuneznámou například s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L.Prokontrolumůžeme dopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+ s),,, ) s,,,)[,,,]+ s 6,4,,). Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V)aprůnikjeroven L. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,4]+,,,),,,, ) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,,4] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za plnou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 6 6.

15 . Vzájemná poloha lineálů 5 Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,5]+,,,),,,, ) L[,, 4, 4]+,,,) bodem a[,,,5] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,, 4, 4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s4.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,, 4, 4]+4,,,)[7,, 8,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,5],,,),,, )[7,, 8,4]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [7,, 8,4]. Příklad.:

16 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,6,,),,,,),,,,) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,, ] atřemivektory u,6,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,,, )[5,,, ]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,, ]+,6,,),,,)+,,,)[5,,, ]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [5,,, ]. Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,8,,),,5,,),,,,) L[,,,]+,4,5, ) bodem a[,,,] atřemivektory u,8,,), u,5,,)a u,,,),

17 . Vzájemná poloha lineálů 7 lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,4,5, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,4,5, )[,5,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+,5,,),,,)[,5,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,5,,]. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v, v pak K[,,,6]+,,,),,,, ) L[,,8, ]+,,,),,,,) bodem a[,,,6] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,8, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

18 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpaksestávázbodu b+s v + s v [,,8, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,6],,,)+,,, )[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,,,]+,,,),,,,) L[,4,, ]+,,,),,,,) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán bodem a[,,,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,4,, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

19 . Vzájemná poloha lineálů 9 lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpakobsahujeprávě jeden bod b+s v + s v [,4,, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+,,,),,,)[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,, 4, 5]+,,,),,,,),,4,5,8) L[,,,6]+,,, ),,,,4) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán bodem a[,, 4, 5] atřemivektory u,,,), u,,,)a u,4,5,8), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,6] advěmavektory v,,, )a v,,,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

20 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,6]+s,,, ) s,,,4)[,,,6]+s,, 4, 7). Prokontrolusiopětmůžemedopočítatneznámé t s, t + sat 6s,průsečíkvyjde stejně a+t u + t u + t u [,, 4, 5] s),,,)+ + s),,,)+ 6s),4,5,8)[,,,6]+s,, 4, 7). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,6]+,, 4, 7). Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,,5),,,,) L[,,,]+,,, ),,,4,) bodem a[,,, ] atřemivektory u,,,), u,,,5)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,] advěmavektory v,,, )a v,,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a

21 . Vzájemná poloha lineálů u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,]+s,,, )+ s,,4,)[,,,]+ s,,, ). Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t s, t at s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,, ] +s),,,)+,,,5)+ s),,,)[,,,]+ s,,, ). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,]+,,,). Příklad.9: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, 5]+,,,),,,,),,,,) L[4,,,]+,,,),,,,8) bodem a[,,, 5] advěmavektory u,,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[4,,,] advěmavektory v,,,)a v,,,8). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a

22 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 7 6. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)ajejichprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,,, ),,,, ),,,,) L[7,,5,]+ 4,,, 4),,,,5) bodem a[,,,] atřemivektory u,,, ), u,,, )a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[7,,5,] advěmavektory v 4,,, 4)a v,,,5). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4 5.

23 . Vzájemná poloha lineálů Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázetřírovnicopětineznámých,protodvěneznáménapříklad s, s )budemepovažovatza parametry.průnik K Ljepaktvořenlineálem L.Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t +s s, t +s + s a t,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+ +s s ),,, )++s +s ),,, )[7,,5,]+s 4,,, 4)+s,,,5). Lineál Ljetedypodmnožinou Kneboť K LL au V).

24 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Příčky mimoběžek Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která je rovnoběžná s vektorem w,, ). Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Směrhledanépříčkyoznačmeji r)jedanývektorem w,zbývátedyzjistitjedenjejíbod.tentobodnajdeme jako průsečík roviny ρ určené přímkou q a směrem w, tedy apřímky ρa+ u, w [,,5]+,, ),,,) q B+ v [,,]+,,). Při hledání průnikuoznačme bod v něm ležící D) budeme postupovat stejně jako v kapitole, 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedybod D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšeme hledanoupříčku r D+ w [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 7,, ),,)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T w T D E) T) t s adostaneme E D+s w[ 4,, ]+,,)[, 6,]nebo E A+t u[,,5] 7,, )[, 6,]. p B A v u rρ w D q Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která prochází bodem C [, 7, ]. Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D).

25 . Příčky mimoběžek 5 Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A 4,9, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ), 4,9, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+ 9,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 59at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 59,, )+ 4,9, 5)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T C D) T D A) T) t s adostaneme E D+s C D)[ 4,, ]+ [,,5]+ 59,, )[ 55 4,47 9,, )[ 55 4,47 6, ]nebo E A+t u 6, ]. p u A C B v D q rρ Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) a qb+ v [,,]+,,),která procházíbodem C[, 4,]. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D). Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A,, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ),,, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7 a t dopočítaných zesoustavy.potom D[,,5]+ 7,, )+,, 5)[ 4,, ].

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

10. Afinní a euklidovský prostor

10. Afinní a euklidovský prostor 10. Afinní a euklidovský prostor Definice 10.1. Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Základy analytické geometrie. I

Základy analytické geometrie. I Základy analytické geometrie. I Prostory vnořené do Em In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. I. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1951. pp. 50 67. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402523

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více