Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna"

Transkript

1 Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna 7. října 7

2 Obsah:.Ortogonálnídoplňky,ortogonalizace....Vzájemnápolohalineálů...6.Příčkymimoběžek Vzdálenostboduodnadroviny... 5.Vlastníčíslamatice Objemaobsahpomocívnějšíhoavektorovéhosoučinu Gradient,divergencearotace Dvojnýatrojnýintegrál Objempomocítrojnéhointegrálu...58.Křivkovýintegrál...6.Plošnýintegrál...7.Greenova,StokesovaaGaussova-Ostrogradskéhověta...78.ŘešenídiferenciálníchrovnicpomocíLaplaceovytransformace...95 Literatura...

3 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace. Ortogonální doplňky, ortogonalizace Nechť Ujepodprostorvektorovéhoprostoru V.Ortogonálnídoplněk U obsahujevšechnyvektory,které jsoukolmékekaždémuvektoruzu,neboli v U u U u v cožlzevyjádřitpomocískalárníhosoučinu u v. Ortogonálnídoplněk U kpodprostoru U u,..., u k tedyhledámejakořešeníhomogennísoustavyrovnic u., u k nuly na pravé straně při výpočtu zpravidla vynecháváme. Připomeňme také vztah dimu+dimu dimv. Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,),,,5). Hledáme vektorx, y, z), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme tedy řešitúpravou na Gaussův tvar pomocí elementárních úprav) homogenní soustavu rovnic zadanou maticí neboli Odtud dostáváme 5 ) 7 z α R, 7y+ z y 7 α, x+ α+α x α x, y, z)α 7 ) 7, 7, α7,, 7). V dalších příkladech budeme nuly na pravé straně soustavy vynechávat a upravovat na výhodnější tvar ) ) ) Odtud již snadno zjistíme, že vektorx,, 7) jistě vyhovuje druhé rovnici. Dosadíme-li ho do první rovnice, dostaneme7x+7 7)ax7. Hledaný ortogonální doplněk je tedy lineární obal 7,, 7). ) Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,). Hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanoumaticí ) ) ) 5 5 5

4 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Odtud dostáváme x, y, z, t)α,,, 5)+ β,, 5,). Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal,,, 5),,, 5,). Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,),,,,). Opět hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanou maticí Odtud dostáváme Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal x, y, z, t)α,4, 5, 5).,4, 5, 5). Vnásledujícíchpříkladechmámeortogonalizovatskupinuvektorů u, u, u,....užívámevzorce v u, v u v u v v nebonásobek), v u v u v v v u v v nebonásobek),atakdále Příklad.4: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,),,,),,,). Označímevektory u,,), u,,), u,,)aužijemevzorce v u,,) v, u v u v v,,) u v u v v v u v v,,),,),,),,),,),,),, ) vezmeme v,,) v 6,,,),,),,),,),,),,) 6,,) 4,,)+,,),,) vecv,,). Dostáváme ortogonální bázi v,,), v,,).

5 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace 5 Příklad.5: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),4, 5,5,),, 8,,). Označímevektory u,,,), u 4, 5,5,), u, 8,,)aužijemeuvedenévzorce v u,,,) v 5, v u v u v v 4, 5,5,) 5,,,),,, ) v 5, v u v u v v v u Dostáváme ortogonální bázi v v, 8,,) 5,,,),,, ),,, ). 5 v,,,), v,,, ), v,,, ). Příklad.6: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),,,,),,,,),,,,). Označímevektory u,,,), u,,,), u,,,), u 4,,,)aužijemevzorce v u,,,) v 7, v u v u v v,,,) 7 7,,,),,,) v 5, v u v u v v v u v v,,,) 7 5,,,) 7 5,,,),,,) v,,,), u 4 v u 4 v v v u 4 v v v u 4 v v Dostáváme ortogonální bázi,,,) 7,,,) 7 5,,,) 5,8,,5) vezmeme v 4,8,,,5) v,,,), v,,,), v 4,8,,5).

6 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Vzájemná poloha lineálů Ovzájemnépolozelineálůafinníchprostorů) K a+u a+ u,..., u k alb+v b+ v,..., v l podává přehled následující tabulka: K L K L U V U, V rovnoběžné U V nebo V U U V U, V mimoběžné U, V různoběžně Na základě následující soustavy rovnic u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) pak rozhodneme. o rovnoběžnosti vektorových podprostorů U a V, neboť U V dimu+ V)maxdim U,dimV), kde dimenze prostorů zjistíme podle hodností částí matice soustavy u T,..., ut k hod dim U v T,..., vt l hod dim V hod dimu+v) b a) T ),.oprůniku K Lb+s v + +s l v l a+t u + +t k u k ),kdehodnotyparametrů s,...,s l nebo t,..., t k )zjistímeřešenímstejnésoustavy u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) t... t k s... s l. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. K[,,]+,.) L[,,]+,,) V úvodu řešení ukážeme, jak uvedená metoda odpovídá poznatkům ze střední školy. Hledáme vzájemnou polohu polohu dvou přímek, jejichž vyjádření přepíšeme do parametrických rovnic K: x + t y t z + t t R a L: x s y z + s t R. Ze střední školy si pamatujeme, že mezi příslušné rovnicepro x-ové, y-ové, z-ové souřadnice) položíme znaménko rovnosti a vypočítáme parametry s a t + t s t + t + s V rovnicích převedeme výrazy s parametrem s na levou stranu a čísla bez parametrů napravo t+s t + t s..

7 . Vzájemná poloha lineálů 7 Takto vzniklá matice odpovídá maticiuvedené v úvodu této kapitoly), která pro lineály K a+ u a L b+ v vznikne, když do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici pak řešíme jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý) tvar u T v T b a) T) t }{{} s }{{} 4. Nejprve potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,],,)[,,]. Pro kontrolu můžeme dopočítat neznámou t, průsečík vyjde stejně a+t u[,,],,)[,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,]. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u jepopsán K[,,]+,.) L[,,7]+,,) bodem a[,,] avektorem u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,7] avektorem v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici řešíme opět jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý)

8 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. tvar u T v T b a) T) ) t }{{} s }{{} 5. Zaměřenílineálů-vektorovéprostory U u av v nejsourovnoběžné, U V,neboťdimU,dim V adimu+ V)apodmínkadimU+ V)maxdimU,dimV)neplatí. Protožesoustavanemářešenízjistímepodletřetířádkymatice s),jeprůniklineálůprázdný, K L. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) 4 t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavaseskládázedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemetedyjednuneznámounapříklad s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L. Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,]+ s),,)+s ),,)[,, ]+ s,4,).)

9 . Vzájemná poloha lineálů 9 Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V). Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečnetním bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 7. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) je splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,,7]+,4,),,,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,,7] advěmavektory v,4,)a v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v )

10 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s. Potřebujeme opět zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnosti částímaticesoustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V) maxdim U,dimV)neplatí,nejsouzaměření Ua V lineálůrovnoběžná. Maticichápemejakosoustavulineárníchrovnicproneznámé t, t, s a s.protožemámetřirovniceačtyři neznámé, volíme za jednutřeba poslední) neznámou parametr s. Pro zjištění průniku nám stačí třetí a čtvrtá neznámá s as s.průnik K Lpakobsahujebody b+s v + s v [,,7],4,)+ s,,)[6, 7,5]+ s,,). Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t +s, t s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [6, 7,5]+ s,,). Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V) aprůniksestávázpřímky K L [6, 7,5]+,, ). Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,, 4,]+,,,),,,,) L[,,,]+,,,) bodem a[,, 4,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

11 . Vzájemná poloha lineálů lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je tedy prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,6,,),,,,) L[,,,4]+,,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,6,,)a u,,,), bodem b[,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 8.

12 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[5,, 9,]+,,,),,,,) L[7,,,4]+,,,) bodem a[5,, 9,] advěmavektory u,,,)a u,,,), bodem b[7,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[7,,,4]+,,,)[4,5,7,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t 5at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [5,, 9,]+5,,,),,,)[4,5,7,4]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[4,5,7,4]. Příklad.9:

13 . Vzájemná poloha lineálů Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,, ) L[,,,]+,7, 6,4) bodem a[,,, ] advěmavektory u,,,)a u,,, ), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,7, 6,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t 4 s 4 }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdná množina. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdný. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,,, ),,,,) L[,,,]+ 6,4,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,,, )a u,,,), bodem b[,,,] avektorem v 6,4,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

14 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a 6 6 u T u T v T b a) T) t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Protožesoustavaseskládápouzezedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemejednuneznámou například s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L.Prokontrolumůžeme dopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+ s),,, ) s,,,)[,,,]+ s 6,4,,). Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V)aprůnikjeroven L. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,4]+,,,),,,, ) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,,4] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za plnou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 6 6.

15 . Vzájemná poloha lineálů 5 Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,5]+,,,),,,, ) L[,, 4, 4]+,,,) bodem a[,,,5] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,, 4, 4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s4.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,, 4, 4]+4,,,)[7,, 8,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,5],,,),,, )[7,, 8,4]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [7,, 8,4]. Příklad.:

16 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,6,,),,,,),,,,) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,, ] atřemivektory u,6,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,,, )[5,,, ]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,, ]+,6,,),,,)+,,,)[5,,, ]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [5,,, ]. Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,8,,),,5,,),,,,) L[,,,]+,4,5, ) bodem a[,,,] atřemivektory u,8,,), u,5,,)a u,,,),

17 . Vzájemná poloha lineálů 7 lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,4,5, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,4,5, )[,5,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+,5,,),,,)[,5,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,5,,]. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v, v pak K[,,,6]+,,,),,,, ) L[,,8, ]+,,,),,,,) bodem a[,,,6] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,8, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

18 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpaksestávázbodu b+s v + s v [,,8, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,6],,,)+,,, )[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,,,]+,,,),,,,) L[,4,, ]+,,,),,,,) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán bodem a[,,,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,4,, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

19 . Vzájemná poloha lineálů 9 lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpakobsahujeprávě jeden bod b+s v + s v [,4,, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+,,,),,,)[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,, 4, 5]+,,,),,,,),,4,5,8) L[,,,6]+,,, ),,,,4) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán bodem a[,, 4, 5] atřemivektory u,,,), u,,,)a u,4,5,8), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,6] advěmavektory v,,, )a v,,,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého

20 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,6]+s,,, ) s,,,4)[,,,6]+s,, 4, 7). Prokontrolusiopětmůžemedopočítatneznámé t s, t + sat 6s,průsečíkvyjde stejně a+t u + t u + t u [,, 4, 5] s),,,)+ + s),,,)+ 6s),4,5,8)[,,,6]+s,, 4, 7). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,6]+,, 4, 7). Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,,5),,,,) L[,,,]+,,, ),,,4,) bodem a[,,, ] atřemivektory u,,,), u,,,5)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,] advěmavektory v,,, )a v,,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a

21 . Vzájemná poloha lineálů u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,]+s,,, )+ s,,4,)[,,,]+ s,,, ). Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t s, t at s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,, ] +s),,,)+,,,5)+ s),,,)[,,,]+ s,,, ). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,]+,,,). Příklad.9: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, 5]+,,,),,,,),,,,) L[4,,,]+,,,),,,,8) bodem a[,,, 5] advěmavektory u,,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[4,,,] advěmavektory v,,,)a v,,,8). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a

22 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 7 6. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)ajejichprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,,, ),,,, ),,,,) L[7,,5,]+ 4,,, 4),,,,5) bodem a[,,,] atřemivektory u,,, ), u,,, )a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[7,,5,] advěmavektory v 4,,, 4)a v,,,5). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4 5.

23 . Vzájemná poloha lineálů Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázetřírovnicopětineznámých,protodvěneznáménapříklad s, s )budemepovažovatza parametry.průnik K Ljepaktvořenlineálem L.Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t +s s, t +s + s a t,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+ +s s ),,, )++s +s ),,, )[7,,5,]+s 4,,, 4)+s,,,5). Lineál Ljetedypodmnožinou Kneboť K LL au V).

24 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Příčky mimoběžek Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která je rovnoběžná s vektorem w,, ). Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Směrhledanépříčkyoznačmeji r)jedanývektorem w,zbývátedyzjistitjedenjejíbod.tentobodnajdeme jako průsečík roviny ρ určené přímkou q a směrem w, tedy apřímky ρa+ u, w [,,5]+,, ),,,) q B+ v [,,]+,,). Při hledání průnikuoznačme bod v něm ležící D) budeme postupovat stejně jako v kapitole, 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedybod D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšeme hledanoupříčku r D+ w [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 7,, ),,)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T w T D E) T) t s adostaneme E D+s w[ 4,, ]+,,)[, 6,]nebo E A+t u[,,5] 7,, )[, 6,]. p B A v u rρ w D q Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která prochází bodem C [, 7, ]. Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D).

25 . Příčky mimoběžek 5 Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A 4,9, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ), 4,9, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+ 9,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 59at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 59,, )+ 4,9, 5)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T C D) T D A) T) t s adostaneme E D+s C D)[ 4,, ]+ [,,5]+ 59,, )[ 55 4,47 9,, )[ 55 4,47 6, ]nebo E A+t u 6, ]. p u A C B v D q rρ Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) a qb+ v [,,]+,,),která procházíbodem C[, 4,]. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D). Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A,, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ),,, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7 a t dopočítaných zesoustavy.potom D[,,5]+ 7,, )+,, 5)[ 4,, ].

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více