Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna
|
|
- Miroslava Musilová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Řešené příklady z Matematiky III. František Mošna 7. října 7
2 Obsah:.Ortogonálnídoplňky,ortogonalizace....Vzájemnápolohalineálů...6.Příčkymimoběžek Vzdálenostboduodnadroviny... 5.Vlastníčíslamatice Objemaobsahpomocívnějšíhoavektorovéhosoučinu Gradient,divergencearotace Dvojnýatrojnýintegrál Objempomocítrojnéhointegrálu...58.Křivkovýintegrál...6.Plošnýintegrál...7.Greenova,StokesovaaGaussova-Ostrogradskéhověta...78.ŘešenídiferenciálníchrovnicpomocíLaplaceovytransformace...95 Literatura...
3 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace. Ortogonální doplňky, ortogonalizace Nechť Ujepodprostorvektorovéhoprostoru V.Ortogonálnídoplněk U obsahujevšechnyvektory,které jsoukolmékekaždémuvektoruzu,neboli v U u U u v cožlzevyjádřitpomocískalárníhosoučinu u v. Ortogonálnídoplněk U kpodprostoru U u,..., u k tedyhledámejakořešeníhomogennísoustavyrovnic u., u k nuly na pravé straně při výpočtu zpravidla vynecháváme. Připomeňme také vztah dimu+dimu dimv. Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,),,,5). Hledáme vektorx, y, z), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme tedy řešitúpravou na Gaussův tvar pomocí elementárních úprav) homogenní soustavu rovnic zadanou maticí neboli Odtud dostáváme 5 ) 7 z α R, 7y+ z y 7 α, x+ α+α x α x, y, z)α 7 ) 7, 7, α7,, 7). V dalších příkladech budeme nuly na pravé straně soustavy vynechávat a upravovat na výhodnější tvar ) ) ) Odtud již snadno zjistíme, že vektorx,, 7) jistě vyhovuje druhé rovnici. Dosadíme-li ho do první rovnice, dostaneme7x+7 7)ax7. Hledaný ortogonální doplněk je tedy lineární obal 7,, 7). ) Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,). Hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanoumaticí ) ) ) 5 5 5
4 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Odtud dostáváme x, y, z, t)α,,, 5)+ β,, 5,). Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal,,, 5),,, 5,). Příklad.: Zjistěte ortogonální doplněk,,,),,,,),,,,). Opět hledáme vektorx, y, z, t), jehož skalární součin se zadanými vektory roven nule. Budeme řešit soustavu rovnic zadanou maticí Odtud dostáváme Hledaný ortogonální doplněk je lineární obal x, y, z, t)α,4, 5, 5).,4, 5, 5). Vnásledujícíchpříkladechmámeortogonalizovatskupinuvektorů u, u, u,....užívámevzorce v u, v u v u v v nebonásobek), v u v u v v v u v v nebonásobek),atakdále Příklad.4: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,),,,),,,). Označímevektory u,,), u,,), u,,)aužijemevzorce v u,,) v, u v u v v,,) u v u v v v u v v,,),,),,),,),,),,),, ) vezmeme v,,) v 6,,,),,),,),,),,),,) 6,,) 4,,)+,,),,) vecv,,). Dostáváme ortogonální bázi v,,), v,,).
5 . Ortogonální doplňky, ortogonalizace 5 Příklad.5: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),4, 5,5,),, 8,,). Označímevektory u,,,), u 4, 5,5,), u, 8,,)aužijemeuvedenévzorce v u,,,) v 5, v u v u v v 4, 5,5,) 5,,,),,, ) v 5, v u v u v v v u Dostáváme ortogonální bázi v v, 8,,) 5,,,),,, ),,, ). 5 v,,,), v,,, ), v,,, ). Příklad.6: Nalezněte ortogonální bázi prostoru,,,),,,,),,,,),,,,). Označímevektory u,,,), u,,,), u,,,), u 4,,,)aužijemevzorce v u,,,) v 7, v u v u v v,,,) 7 7,,,),,,) v 5, v u v u v v v u v v,,,) 7 5,,,) 7 5,,,),,,) v,,,), u 4 v u 4 v v v u 4 v v v u 4 v v Dostáváme ortogonální bázi,,,) 7,,,) 7 5,,,) 5,8,,5) vezmeme v 4,8,,,5) v,,,), v,,,), v 4,8,,5).
6 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Vzájemná poloha lineálů Ovzájemnépolozelineálůafinníchprostorů) K a+u a+ u,..., u k alb+v b+ v,..., v l podává přehled následující tabulka: K L K L U V U, V rovnoběžné U V nebo V U U V U, V mimoběžné U, V různoběžně Na základě následující soustavy rovnic u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) pak rozhodneme. o rovnoběžnosti vektorových podprostorů U a V, neboť U V dimu+ V)maxdim U,dimV), kde dimenze prostorů zjistíme podle hodností částí matice soustavy u T,..., ut k hod dim U v T,..., vt l hod dim V hod dimu+v) b a) T ),.oprůniku K Lb+s v + +s l v l a+t u + +t k u k ),kdehodnotyparametrů s,...,s l nebo t,..., t k )zjistímeřešenímstejnésoustavy u T,..., u T k v T,..., vt l b a) T) t... t k s... s l. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. K[,,]+,.) L[,,]+,,) V úvodu řešení ukážeme, jak uvedená metoda odpovídá poznatkům ze střední školy. Hledáme vzájemnou polohu polohu dvou přímek, jejichž vyjádření přepíšeme do parametrických rovnic K: x + t y t z + t t R a L: x s y z + s t R. Ze střední školy si pamatujeme, že mezi příslušné rovnicepro x-ové, y-ové, z-ové souřadnice) položíme znaménko rovnosti a vypočítáme parametry s a t + t s t + t + s V rovnicích převedeme výrazy s parametrem s na levou stranu a čísla bez parametrů napravo t+s t + t s..
7 . Vzájemná poloha lineálů 7 Takto vzniklá matice odpovídá maticiuvedené v úvodu této kapitoly), která pro lineály K a+ u a L b+ v vznikne, když do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici pak řešíme jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý) tvar u T v T b a) T) t }{{} s }{{} 4. Nejprve potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,],,)[,,]. Pro kontrolu můžeme dopočítat neznámou t, průsečík vyjde stejně a+t u[,,],,)[,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,]. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u jepopsán K[,,]+,.) L[,,7]+,,) bodem a[,,] avektorem u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,7] avektorem v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců - vektor prvního lineálu u) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) -zadvojitoučárupakvektor,kterývznikneodečtením b a Vzniklou matici řešíme opět jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé t a s převodem na Gaussůvstupňovitý)
8 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. tvar u T v T b a) T) ) t }{{} s }{{} 5. Zaměřenílineálů-vektorovéprostory U u av v nejsourovnoběžné, U V,neboťdimU,dim V adimu+ V)apodmínkadimU+ V)maxdimU,dimV)neplatí. Protožesoustavanemářešenízjistímepodletřetířádkymatice s),jeprůniklineálůprázdný, K L. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) 4 t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavaseskládázedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemetedyjednuneznámounapříklad s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L. Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,]+ s),,)+s ),,)[,, ]+ s,4,).)
9 . Vzájemná poloha lineálů 9 Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V). Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,, ]+,4,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,, ] avektorem v,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečnetním bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 7. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) je splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,]+,.),,,) L[,,7]+,4,),,,) bodem a[,,] advěmavektory u,,)a u,,), bodem b[,,7] advěmavektory v,4,)a v,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v )
10 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s. Potřebujeme opět zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnosti částímaticesoustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V) maxdim U,dimV)neplatí,nejsouzaměření Ua V lineálůrovnoběžná. Maticichápemejakosoustavulineárníchrovnicproneznámé t, t, s a s.protožemámetřirovniceačtyři neznámé, volíme za jednutřeba poslední) neznámou parametr s. Pro zjištění průniku nám stačí třetí a čtvrtá neznámá s as s.průnik K Lpakobsahujebody b+s v + s v [,,7],4,)+ s,,)[6, 7,5]+ s,,). Prokontrolumůžemedopočítatzbyléneznámé t +s, t s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [6, 7,5]+ s,,). Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V) aprůniksestávázpřímky K L [6, 7,5]+,, ). Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,, 4,]+,,,),,,,) L[,,,]+,,,) bodem a[,, 4,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého
11 . Vzájemná poloha lineálů lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je tedy prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,6,,),,,,) L[,,,4]+,,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,6,,)a u,,,), bodem b[,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 8.
12 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[5,, 9,]+,,,),,,,) L[7,,,4]+,,,) bodem a[5,, 9,] advěmavektory u,,,)a u,,,), bodem b[7,,,4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[7,,,4]+,,,)[4,5,7,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t 5at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [5,, 9,]+5,,,),,,)[4,5,7,4]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[4,5,7,4]. Příklad.9:
13 . Vzájemná poloha lineálů Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,, ) L[,,,]+,7, 6,4) bodem a[,,, ] advěmavektory u,,,)a u,,, ), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,7, 6,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t 4 s 4 }{{} 5. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdná množina. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdný. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,]+,,, ),,,,) L[,,,]+ 6,4,,) bodem a[,,,] advěmavektory u,,, )a u,,,), bodem b[,,,] avektorem v 6,4,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého
14 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a 6 6 u T u T v T b a) T) t t s }{{}. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) platí, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Protožesoustavaseskládápouzezedvourovnicamámetřineznámé t, t a s,můžemejednuneznámou například s) považovatzaparametr.průnik K Lsepakrovnápřímolineálu L.Prokontrolumůžeme dopočítatzbyléneznámé t sat s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+ s),,, ) s,,,)[,,,]+ s 6,4,,). Lineál Ljetedypodprostoremlineálu Kneboť K LL au V)aprůnikjeroven L. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,4]+,,,),,,, ) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,,4] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za plnou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 6 6.
15 . Vzájemná poloha lineálů 5 Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedymimoběžnéneboť K L au V)aprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v pak K[,,,5]+,,,),,,, ) L[,, 4, 4]+,,,) bodem a[,,,5] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,, 4, 4] avektorem v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T v T b a) T) t t s }{{} 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, U a V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V).ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačídruháneznámá s4.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,, 4, 4]+4,,,)[7,, 8,4]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,5],,,),,, )[7,, 8,4]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [7,, 8,4]. Příklad.:
16 6 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,6,,),,,,),,,,) L[,,,]+,,, ) bodem a[,,, ] atřemivektory u,6,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,,, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,,, )[5,,, ]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,, ]+,6,,),,,)+,,,)[5,,, ]. Lineály K a Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu [5,,, ]. Příklad.4: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,8,,),,5,,),,,,) L[,,,]+,4,5, ) bodem a[,,,] atřemivektory u,8,,), u,5,,)a u,,,),
17 . Vzájemná poloha lineálů 7 lineál Lb+ v pak bodem b[,,,] avektorem v,4,5, ). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) - za čáru vektor druhého lineálu s opačným znaménkem v) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T b a) T) t t t s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikunámstačíčtvrtáneznámá s.průnik K Lpakobsahujeprávějedenbod b+s v[,,,]+,4,5, )[,5,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t, t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+,5,,),,,)[,5,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,5,,]. Příklad.5: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán lineál Lb+ v, v pak K[,,,6]+,,,),,,, ) L[,,8, ]+,,,),,,,) bodem a[,,,6] advěmavektory u,,,)a u,,, ), bodem b[,,8, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého
18 8 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpaksestávázbodu b+s v + s v [,,8, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,6],,,)+,,, )[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.6: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,,,]+,,,),,,,) L[,4,, ]+,,,),,,,) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u jepopsán bodem a[,,,] advěmavektory u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,4,, ] advěmavektory v,,,)a v,,,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého
19 . Vzájemná poloha lineálů 9 lineálu L,tedy b a u T u T v T v T b a) T) t t s s Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+ V, Ua V poznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Prozjištěníprůnikupotřebujemetřetíačtvrtouneznámou s as.průnik K Lpakobsahujeprávě jeden bod b+s v + s v [,4,, ]+,,,),,,)[,,,]. Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t at,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u [,,,]+,,,),,,)[,,,]. Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázjednohobodu[,,,]. Příklad.7: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů K[,, 4, 5]+,,,),,,,),,4,5,8) L[,,,6]+,,, ),,,,4) a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán bodem a[,, 4, 5] atřemivektory u,,,), u,,,)a u,4,5,8), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,6] advěmavektory v,,, )a v,,,4). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého
20 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,6]+s,,, ) s,,,4)[,,,6]+s,, 4, 7). Prokontrolusiopětmůžemedopočítatneznámé t s, t + sat 6s,průsečíkvyjde stejně a+t u + t u + t u [,, 4, 5] s),,,)+ + s),,,)+ 6s),4,5,8)[,,,6]+s,, 4, 7). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,6]+,, 4, 7). Příklad.8: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, ]+,,,),,,,5),,,,) L[,,,]+,,, ),,,4,) bodem a[,,, ] atřemivektory u,,,), u,,,5)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[,,,] advěmavektory v,,, )a v,,4,). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a
21 . Vzájemná poloha lineálů u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+ V)4.ProtožepodmínkadimU+ V)maxdim U,dimV) neplatí, nejsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázečtyřrovnicopětineznámých,protozajednuneznámounapříklad s )zvolímeparametr s.prozjištěníprůnikupotřebujemečtvrtouapátouneznámou s sas s.průnik K Ljepaktvořen body b+s v + s v [,,,]+s,,, )+ s,,4,)[,,,]+ s,,, ). Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t s, t at s,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,, ] +s),,,)+,,,5)+ s),,,)[,,,]+ s,,, ). Lineály Ka Ljsoutedyrůznoběžnéneboť K L au V)ajejichprůniksestávázlineálu K L [,,,]+,,,). Příklad.9: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,, 5]+,,,),,,,),,,,) L[4,,,]+,,,),,,,8) bodem a[,,, 5] advěmavektory u,,,), u,,,)a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[4,,,] advěmavektory v,,,)a v,,,8). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektorydruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a
22 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III. u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 7 6. Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů. Neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V rovnoběžná. Soustava nemá řešení, průnik K L je proto prázdný. Lineály Ka Ljsoutedyrovnoběžnéneboť K L au V)ajejichprůnikjeprázdnámnožina. Příklad.: Zjistěte vzájemnou polohu lineálů a jejich průnik. Lineál K a+ u, u, u jepopsán K[,,,]+,,, ),,,, ),,,,) L[7,,5,]+ 4,,, 4),,,,5) bodem a[,,,] atřemivektory u,,, ), u,,, )a u,,,), lineál Lb+ v, v pak bodem b[7,,5,] advěmavektory v 4,,, 4)a v,,,5). Do jedné matice zapíšeme po řadě do sloupců -vektoryprvníholineálu u, u, u ) -začáruvektordruhéholineálusopačnýmznaménkem v, v ) - za dvojitou čáru pak vektor, který vznikne odečtením bodu příslušného prvnímu lineálu K od bodu druhého lineálu L,tedy b a u T u T u T v T v T b a) T) t t t s s 4 5.
23 . Vzájemná poloha lineálů Potřebujeme zjistit, v jakém vzájemném vztahu jsou zaměření lineálů, neboli jsou-li příslušné vektorové prostory U u, u, u av v, v rovnoběžné.dimenzeprostorů U+V, Ua Vpoznámepodlehodnostičástímatice soustavy,tedydim U,dimV adimu+v).protožejepodmínkadimu+v)maxdim U,dimV) splněna, jsou zaměření U a V lineálů rovnoběžná. Soustavasestávázetřírovnicopětineznámých,protodvěneznáménapříklad s, s )budemepovažovatza parametry.průnik K Ljepaktvořenlineálem L.Prokontrolumůžemedopočítatneznámé t +s s, t +s + s a t,průsečíkvyjdestejně a+t u + t u + t u [,,,]+ +s s ),,, )++s +s ),,, )[7,,5,]+s 4,,, 4)+s,,,5). Lineál Ljetedypodmnožinou Kneboť K LL au V).
24 4 František Mošna: Řešené příklady z Matematiky III.. Příčky mimoběžek Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která je rovnoběžná s vektorem w,, ). Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Směrhledanépříčkyoznačmeji r)jedanývektorem w,zbývátedyzjistitjedenjejíbod.tentobodnajdeme jako průsečík roviny ρ určené přímkou q a směrem w, tedy apřímky ρa+ u, w [,,5]+,, ),,,) q B+ v [,,]+,,). Při hledání průnikuoznačme bod v něm ležící D) budeme postupovat stejně jako v kapitole, 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedybod D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšeme hledanoupříčku r D+ w [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 7,, ),,)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T w T D E) T) t s adostaneme E D+s w[ 4,, ]+,,)[, 6,]nebo E A+t u[,,5] 7,, )[, 6,]. p B A v u rρ w D q Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) aq B+ v [,,]+,,), která prochází bodem C [, 7, ]. Zjistěte také průsečíky příčky s mimoběžkami. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D).
25 . Příčky mimoběžek 5 Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A 4,9, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ), 4,9, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+ 9,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 59at dopočítanýchzesoustavy.potom D[,,5] 59,, )+ 4,9, 5)[ 4,, ]. Bod Djeprůsečíkpříčky ramimoběžky q.průsečíkpříčky ramimoběžky poznačíme Eavzpočítámeho opět jako v kapitole ) pomocí soustavy u T C D) T D A) T) t s adostaneme E D+s C D)[ 4,, ]+ [,,5]+ 59,, )[ 55 4,47 9,, )[ 55 4,47 6, ]nebo E A+t u 6, ]. p u A C B v D q rρ Příklad.: Zjistětepříčkudvoumimoběžek pa+ u [,,5]+,, ) a qb+ v [,,]+,,),která procházíbodem C[, 4,]. Známe jeden bod C hledané příčkyoznačme ji r), potřebovali bychom zjistit ještě jedenoznačme ho D). Víme,žehledanápříčkabudeležetvroviněurčenépřímkou pa+ u abodem C,nebolivrovině ρurčené bodem Aavektory uac A,, 5).Bod D,vekterémbudehledanápříčka rprotínatpřímku qtedynajdemejakoprůsečíkroviny ρa+ u, C A [,,5]+,, ),,, 5) apřímky qb+ v [,,]+,,).Přihledáníjejichprůnikubudemepostupovatstejnějakovkapitole , 5 4 t t s zposlednířádkydostávámeparametr s 4,atedy D[,,] 4,,)[ 4,, ].Zapíšemehledanou příčku r D+ C D [ 4,, ]+,,). Poznamenejme,žesouřadnicebodu Dmůžemezjistittaképomocíparametrů t 7 a t dopočítaných zesoustavy.potom D[,,5]+ 7,, )+,, 5)[ 4,, ].
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VícePROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07
VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VícePodrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
Vícemá spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceVeronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VíceVzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová
Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
Více