Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných
|
|
|
- Tereza Dušková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Robert Mařík 12. září 2006
2 Obsah z = x 4 + y 4 4xy z = x 2 y 2 x 2 y z = yln(x 2 + y)
3 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1]
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_3.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.")
4 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] Vypočteme parciální derivace. H(S 3 ) = 16 4 Při derivování 4 16 podle 162 x 16 považujeme > 0,lok.min.vbodě y za konstantu [ 1, a 1] naopak.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_4.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
5 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hledáme stacionární body.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_5.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
6 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Toto je soustava, kterou řešíme.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_6.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
7 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Osamostatníme y z první rovnice.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_7.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
8 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Dosadíme za y do druhé rovnice.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_8.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
9 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Upravíme.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_9.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.")
10 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Rozložíme na součin.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_10.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
11 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] Buď H(S 2 ) = 16 x = 4 0,nebo (x 8 1) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] Druhýpřípaddává x 8 = 1ax = ±1. H(S 3 ) = 16 4 Uvažujme tedy 4 16 tři 162 různé 16 případy > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1]
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_11.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] Buď H(S 2 ) = 16 x = 4 0,nebo (x 8 1) = 0.")
12 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 Najdemeodpovídající 4 16 ykekaždému 16 > 0,lok.min.vbodě x(y = x 3 ).Dostávámetři [ 1, 1] stacionární body.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669014/images/page_12.jpg "z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.")
13 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Funkce má tři stacionární body. Kvalitu těchto stacionárních bodů vyšetříme pomocí druhé derivace a Hessiánu.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.](/docs-images/47/21669014/images/page_13.jpg "vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Funkce má tři stacionární body.")
14 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] VypočtemeHessiánvestacionárnímbodě S 1. Hessiánjezápornýafunkcevtomtoboděnemálokálníextrém.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.](/docs-images/47/21669014/images/page_14.jpg "vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.")
15 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Vbodě S 2 jehessiánkladnýafunkcezdemálokálníextrém. Protože z xx = 16 > 0,funkcemávbodě S 2lokálníminimum.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.](/docs-images/47/21669014/images/page_15.jpg "vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.")
16 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hessiánjekladnývbodě S 3 afunkcezdetedymálokálníextrém. Protože z xx = 16 > 0,máfunkcevbodě S 3lokálníminimum.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.](/docs-images/47/21669014/images/page_16.jpg "vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.")
17 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hotovo!
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.](/docs-images/47/21669014/images/page_17.jpg "min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hotovo!")
18 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
19 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Budeme hledat parciální derivace.
![Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1];](/docs-images/47/21669014/images/page_19.jpg "S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Budeme hledat parciální")
20 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního z násobku. xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
![2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Derivujeme](/docs-images/47/21669014/images/page_20.jpg "nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního z násobku.")
21 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Vypočteme derivace.
22 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
23 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Podobně derivujeme podle y.
24 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Vypočteme jednotlivé derivace.
25 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
26 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Máme první 2 derivace, 0 které použijeme pro hledání 0 4 stacionárních bodů.
27 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Položíme derivace 2 0 rovny nule. 0 4
28 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Řešíme soustavu z yy = nelineárních 2(x2 1)(y) y rovnic = 2(x2 1) 1 z Začneme xx = 2(y 2 s první rovnicí. 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Tatorovnicejevetvaru součinrovnásenule
29 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Jedenzesoučinitelůnalevéstraněprvnírovnicemusíbýtnula. z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx Budemezpracovávatodděleněpřípady,kdy = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x x = 2 0a(y 1) 2 1) = 0, t.j., y = ±
30 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Případ xx = 2(y ); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dosadíme x = 2 0 0dodruhérovnice. 0 4
31 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Najdeme y.dostávámestacionárníbod 2 0 S
32 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z PodobněproPřípad xx = 2(y 2 1); z 2. xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dosadíme y = 1dodruhérovnice
33 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Vyřešímevzhledemkx. xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dostávámedvěřešeníatedyidvastacionárníbody
34 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Podobně xx = 2(y 2 Případ 3. 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dosadíme y = 1dodruhérovnice
35 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Řešíme xx = 2(y 2 kvadratickou 1); z rovnici pro x. xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Mámedvěřešeníadvadalšístacionárníbody
36 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 Celkem má funkce pět stacionárních bodů. Nyní budeme vyšetřovat H(S 2 ) = 0 4 tyto body pomocí druhé derivace.. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
37 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 Derivujeme H(S 2 ) = 0 z 4 x podle xaupravíme. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
38 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 Derivujeme H(S 2 ) = 0 z 4 x podle yaupravíme. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
39 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 Derivujeme H(S 2 ) = 0 z 4 y podle yaupravíme. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
40 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Použijeme druhé derivace pro testování stacionárních bodů 4 0 = 16 na < existenci akvalitulokáníhoextrému.začnemebodem S 0 1 avypočtemehessián H(S H(S 3 ) = 0 1 ) 4 = z xx z xy z 4 0 = xy 16 z yy < = = 4 > [x,y]=[0,0] Vbodě S 1 máfunkcelokálnímaximum.
41 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 2 ) = z xx z xy 4 0 = z xy 16 z < yy 0 Vbodě S 2 nenílokálníextrém. [x,y]=[1,1] = = 16 < 0
42 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 3 ) = z xx z xy z 4 0 xy = 16 z yy < 0 Vbodě S 3 nenílokálníextrém. [x,y]=[ 1,1] = = 16 < 0
43 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 ) = z xx z xy 4 0 z = xy 16 z yy < 0 Vbodě S 4 nenílokálníextrém. [x,y]=[1, 1] = = 16 < 0
44 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 5 ) = z xx z xy z xy 4 0 = 16 z yy < 0 Vbodě S 5 nenílokálníextrém. [x,y]=[ 1, 1] = = 16 < 0
45 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 Jedinýlokálníextrémjevbodě S 1 = [0, 0].Jednáseolokální maximum. H(S 3 ) = Ostatní stacionární = 16 body < 0 jsou sedlové body.
46 Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = = 16 < 0 Hotovo!
47 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
48 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] The z ln( ) xx = function 2y(x2 + yields y) 2xy2x restrictions to the z domain xx = 2y2 of 2yx the 2 function.
49 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 lny + y y = 0, y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 ln(x 2 ) = 0 x lny = 1, 2 = e 0 = 1 We find the partial derivatives. y = e 1 Differentiating withx respect = ±1 to x we use theconstantmultiplerule,sinceintheproduct yln(x 2 + y)thefactor y is treated as a constant. The chain S 1 = [0, e 1 S 2 rule = [1, follows, 0] andsince S 3 = the [ 1, function 0]. ln(x 2 + y)isacompositefunctionwithinsidefunction ] (x 2 + y). S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] (yln(x 2 + y)) x = y(ln(x2 + y)) x = y 1 x 2 (2x + 0) + y z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
50 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Differentiating with respect to y we use the product rule, since both factors yand ln(x 2 + y)arefunctions(xistreatedasaconstantand yasavariable). z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
51 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] To find z xx = stationary 2y(x2 + points y) 2xy2x we put the derivatives z xx = 2y2 equal 2yx to zero. 2
52 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. ] S 1 = [0, Wee 1 start ], with the S 2 first(simpler) = [1, 0], equation. S 3 = [ 1, 0] Thefractionequalszeroiffthenumeratoriszero. z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
53 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. Toensurethataproductiszero,(atleast)oneofthefactorshas ] S 1 = [0, tobezero. e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] We distinguish two possible cases. z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
54 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] We substitute z xx = 2y(x2 x = + 0y) into 2xy2x the second equation z xx = and 2y2 simplify. 2yx 2
55 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] The z inverse xx = 2y(x2 function + y) to ln 2xy2x function is an exponential z xx = 2y2 function. 2yx 2
56 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Wehavethestationarypoint S 1 = [0, e 1 ].Wecheckthat S 1 Dom(f). z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
57 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = WereturntotheCase2. [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Weput y = 0intotheredequation. z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
58 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Weisolate z xx = 2y(x2 x 2 andsolvefor + y) 2xy2x x. z xx = 2y2 2yx 2
59 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] We have z xx = two 2y(x2 stationary + y) points. 2xy2x We check z that xx = both 2y2 belong 2yx 2 to Dom(f).
60 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 Uptonowwehavethis. z xy = 2x 3 z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 1 ) = e > 0, H(S 2 ) = = 4 < 0,
61 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = e > 0, We will use the second derivative test to recognize, z xy = 2x 3 whether H(S 2 ) = 0 2 a local extremum appears at the stationary points. 2 2 = 4 < 0,
62 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = e > 0, z xy = 2x 3 H(S 2 ) = 0 2 Wedifferentiate z x withrespectto x.thisgives z xx. 2 2 = 4 < 0,
63 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = e > 0, z xy = 2x 3 H(S 2 ) = 0 2 Wedifferentiate z x withrespectto y.thisgives z xy. 2 2 = 4 < 0,
64 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = e > 0, z xy = 2x 3 H(S 2 ) = 0 2 Wedifferentiate z yy withrespectto y.thisgives z yy 2 2. = 4 < 0,
65 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 We z simplify. xy = 2x 3 z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 1 ) = e > 0, H(S 2 ) = = 4 < 0,
66 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = e > 0, z 2x 3 xy = H(S 2 ) = = 4 < 0, z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 3 ) = = 4 < 0. Localminimumat [0, e 1 ].Nootherlocalextremum. We evaluate the hessian at each of the stationary points.
67 Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = e > 0, z 2x 3 xy = H(S 2 ) = = 4 < 0, z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 3 ) = = 4 < 0. Localminimumat [0, e 1 ].Nootherlocalextremum. According to the second derivative test we obtain the following conclusion.
68 Konec
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
Spojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
Matematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54
MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
Aplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation
Aplikace matematiky Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky, Vol. 25 (1980), No. 6, 457--460 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103885 Terms
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
WORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1
WORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1 1. Write down the arithmetical problem according the dictation: 2. Translate the English words, you can use a dictionary: equations to solve solve inverse operation variable
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Lineární Regrese Hašovací Funkce
Hašovací Funkce Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
Stanovení optimálních teplot výpalu vápenců z různých lokalit a jejich souvislostí s fyzikálními vlastnostmi vápenců
Stanovení optimálních teplot výpalu vápenců z různých lokalit a jejich souvislostí s fyzikálními vlastnostmi vápenců Ing. Radovan Nečas, Ing. Dana Kubátová, Ph.D., Ing. Jiří Junek, Ing. Vladimír Těhník
Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83
Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Řetězovka (catenary)
Řetězovka (catenary) Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Řetězovka - křivka lan a řetězů prověšených vlastní vahou Budeme se zajímat
Daniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ
PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.
2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Gymnázium, Brno, Slovanské nám. 7, SCHEME OF WORK Mathematics SCHEME OF WORK. http://agb.gymnaslo. cz
SCHEME OF WORK Subject: Mathematics Year: second grade, 2.X School year:../ List of topisc # Topics Time period 1. Functions 09-10 2. Exponential and logarithm function 10-01 3. Trigonometric functions
1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
ú ň ň ů ý ů ů ů ň Í ů ý ů ý ý ý ň ú ý ů ú ň ý ú ý ů ú ů ý ý ů ď ď ň ú ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ý ý ó ť ý ů ý ů ý ý ý ý ý ď ý ý ý ý ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ů Í ů ď ý ý ů Ť ý ý ý ý ý ý ý ú ý ů ú ú Í Ť ú ú
Lineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
Derivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
Jednoduchý fuzzy regresní model. A simplefuzzyregressionmodel
Jednoduchý fuzzy regresní model Adresa: Prof.RNDr.PhDr. Zdeněk Půlpán,CSc. Na Brně 1952/39, 500 09 Hradec Králové 9 Mgr. Jiří Kulička, PhD A simplefuzzyregressionmodel Zdeněk Půlpán Jiří Kulička Univerzita
Matematická analýza III.
4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi.
Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost
Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a
Gymnázium, Brno, Slovanské nám. 7 WORKBOOK. Mathematics. Teacher: Student:
WORKBOOK Subject: Teacher: Student: Mathematics.... School year:../ Conic section The conic sections are the nondegenerate curves generated by the intersections of a plane with one or two nappes of a cone.
Osvětlovací modely v počítačové grafice
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz
Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
![Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola](/thumbs/39/19231280.jpg "Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola")
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo
(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
ZATÍŽENÍ SNĚHEM A VĚTREM
II. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Cesta k pravděpodobnostnímu posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí 21.3.2001 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01410-3
Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty
H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ 63 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty 631 Definice Definice Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s onstantními oeficienty nazýváme rovnici
V tabulce jsou uvedeny roční náklady na údržbu (v dolarech) a cena domu (v tis. dolarů).
1. Příklad V tabulce jsou uvedeny roční náklady na údržbu (v dolarech) a cena domu (v tis. dolarů). Náklady 835 63 240 1005 184 213 313 658 195 545 Cena 136 24 52 143 42 43 67 106 61 99 a.) Modelujte závislost
SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
Měření elektrického proudu
Měření elektrického proudu Měření elektrického proudu proud měříme ampérmetrem ampérmetrřadíme vždy do sériově k měřenému obvodu ideální ampérmetr má nulový vnitřní odpor na skutečném ampérmetru vzniká
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární
Funkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým
na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:
Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle
Aritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny
GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická
Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
MECHANIKA HORNIN A ZEMIN
MECHANIKA HORNIN A ZEMIN podklady k přednáškám doc. Ing. Kořínek Robert, CSc. Místnost: C 314 Telefon: 597 321 942 E-mail: robert.korinek@vsb.cz Internetové stránky: fast10.vsb.cz/korinek Mechanické vlastnosti
Funkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III
- 1 - Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III (c) Ing. Ladislav Kopecký, srpen 2015 V p edchozí ásti tohoto lánku jsme dosp li k zapojení horního spína e se dv ma transformátory, které najdete
Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Vstupní test 8 I NUMERICKÉ METODY 10 2 Chyby při numerických výpočtech 10 2.1 Zdroje a typy chyb...............................
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Cyklické redundantní součty a generátory
Cyklické redundantní součty a generátory pseudonáhodných čísel Rostislav Horčík: Y01DMA 20. dubna 2010: CRC a pseudonáhodná čísla 1/17 Definice Řekneme, že polynomy a(x), b(x) jsou kongruentní modulo m(x),
Globální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Metody řešení matematických úloh I
Metody řešení matematických úloh I Naďa Stehlíková, Jaroslav Zhouf Předmět Metody řešení matematických úloh I (MŘI) je prvním z řady předmětů zaměřených na základní metody řešení matematických úloh. Jako
Kvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
Rostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 1. Je dána funkce f(x,y,z) x 2 + y + 2z 2. Potom pro funkční hodnoty f(1,0,0), f(0,-1,0) a
Numerická integrace. 6. listopadu 2012
Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové
Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky
provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace
1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ
1. POLOVODIČOVÁ DIODA JAKO SMĚRŇOVAČ Zadání laboratorní úlohy a) Zaznamenejte datum a čas měření, atmosférické podmínky, při nichž dané měření probíhá (teplota, tlak, vlhkost). b) Proednictvím digitálního
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička
VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU Ing. Aleš Hrdlička Katedra technické kybernetiky a vojenké robotiky Vojenká akademie v Brně E-mail: hrdlicka@c.vabo.cz Úvod Tento článek popiuje jednoduchou
Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Potenciometrie. Obr.1 Schema základního uspořádání elektrochemické cely pro potenciometrická měření
Potenciometrie 1.Definice Rovnovážná potenciometrie je analytickou metodou, při níž se analyt stanovuje ze změřeného napětí elektrochemického článku, tvořeného indikační elektrodou ponořenou do analyzovaného
ZADÁNÍ: ÚVOD: Měření proveďte na osciloskopu Goldstar OS-9020P.
ZADÁNÍ: Měření proveďte na osciloskopu Goldstar OS-900P. 1) Pomocí vestavěného kalibrátoru zkontrolujte nastavení zesílení vertikálního zesilovače, eventuálně nastavte prvkem "Kalibrace citlivosti". Změřte