1.6. Integrace goniometrických funkcí

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1.6. Integrace goniometrických funkcí"

Transkript

1 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí.6. Inegrace goniomerických funkcí Průvodce sudiem V éo kapiole se budeme podrobněji zabýva inegrací funkcí, keré jsou složené z goniomerických funkcí. Takové inegrály se časo vyskyují v prakických aplikacích. Budeme se s nimi sekáva hlavně při výpoču vícenásobných inegrálů v Maemaice III. Při výpoču inegrálů ohoo ypu je obvykle používána subsiuční meoda. Někeré inegrály se aké dají vypočía meodou per pares. Vhodnou subsiucí lze dané inegrály časo převés na inegrály z racionálních funkcí, keré jsme se naučili inegrova v předcházející kapiole. Pro jednolivé ypy inegrálů přehledně uvedeme vhodnou meodu výpoču. Cíle Seznámíe se s posupy, keré jsou vhodné při inegraci funkcí složených z goniomerických funkcí. Uvedeme základní ypy ěcho inegrálů a nejvhodnější meody inegrace ěcho funkcí. Předpokládané znalosi Předpokládáme, že znáe základní inegrály uvedené v abulce.. a umíe vypočía inegrály subsiuční meodou, meodou per pares a umíe inegrova racionální funkce. Předpokládáme, že znáe základní vlasnosi goniomerických funkcí a důležié vzahy, keré pro ně plaí. m Inegrály ypu Výklad n d Nejprve se budeme zabýva inegrály ypu m n d, kde m, n jsou celá čísla. Jeden akový inegrál jsme již počíali, viz příklad... Inegrály ohoo ypu budeme velmi časo dosáva při výpoču dvojných a rojných inegrálů v předměu Maemaika III. Posup výpoču závisí na om, zda jsou čísla m, n sudá nebo lichá. Nejprve uvedeme přehledně posup pro jednolivé možnosi a pak pro každou možnos vypočíáme příklad, na kerém posup objasníme

2 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Výpoče inegrálů ypu d, kde m, n Z : m a) m je liché subsiuce =, b) n je liché subsiuce =, m i n sudé, alespoň jedno záporné subsiuce g =, n d) m i n sudé nezáporné použijeme vzorce pro dvojnásobný úhel =, + =. Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočěe inegrál 5 d. Řešení: V omo případě je m = 5, n =, akže budeme voli subsiuci =. Pro diferenciál dosáváme d = d. Z inegrované funkce si edy vypůjčíme jeden us pro diferenciál a zbývající y snadno převedeme na funkci kous pomocí známého vzahu + =. Dosaneme: ( ) 5 = = = d d d subsiuce: = d = = = d ( ) ( ) = d = d ( ) d C C. = + = + + = Poznámky. Jsou-li lichá m i n, můžeme si vybra, jakou subsiuci použijeme, zda a) nebo b). Takovou úlohu jsme již řešili v příkladu.... Obecně si sačí pamaova, že v případě liché mocniny použijeme jednu funkci us (resp. kous) pro diferenciál a zbývající mocninu (bude sudá) převedeme na druhou funkci (kous, resp. us) a u aké položíme rovnu nové proměnné

3 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Příklad.5.. Vypočěe inegrál 8. d Řešení: V omo případě je m =, n = 8. Jelikož je n<0, budeme voli subsiuci g = pro ( π, π ). Pro hodnoy z uvedeného inervalu je = arcg, a edy diferenciál d d =. Pro výpoče inegrálu ješě pořebujeme vyjádři funkce a + pomocí funkce g. Pořebné vzahy snadno odvodíme z pravoúhlého rojúhelníka, jehož jeden úhel má velikos. Jesliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mí proilehlá odvěsna velikos g =. Z Pyhagorovy věy + g = vypočeme velikos přepony +. Z definic funkcí us a kous (poměr velikosí proilehlé, resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) dosaneme: = + a =. + subsiuce + d ( d + ) d = g = = = + = d = 8 8 d + + ( + ) d = + ( + + ) ( ) ( ) ( ) = + d = + + d = + + d = C = = g + g + g +C. 5 7 Příklad.5.. Vypočěe inegrál d. Řešení: Máme m = a n = 0. Jelikož je m>0 a je sudé, snížíme mocninu použiím vzorce pro poloviční úhel

4 Maemaika II ( ).6. Inegrace goniomerických funkcí d = d = d = ( + ) d = + ( ) = + d = C = = C Poznámka Inegrál z funkcí a jsme vypočeli podle vzorce [6] z abulky... Prakicky používáme subsiuci Inegrály ypu R(, ) d Výklad =, resp. =. V další čási se budeme zabýva inegrály racionálních funkcí, keré dosaneme z funkcí, a reálných čísel pomocí konečného poču arimeických operací (sčíání, odčíání, násobení a dělení). Časo jsou yo inegrály značeny jako inegrály ypu R(, ) d, kde R( uv, ) předsavuje racionální funkci dvou proměnných v=. Jedná se například o inegrály funkcí: R(, ) =, R(, ) =, + + R(, ) =. u = a Poznámka Pokud bychom mezi výchozí funkce přidali ješě funkce g a cog, nedosaneme nic nového, neboť g = a vyvořenou ze ů a koů. cog =. Po úpravě dosaneme opě racionální funkci - 7 -

5 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Univerzální subsiuce Ukážeme, že inegrál ypu R(, ) d můžeme subsiucí g =, ( π, π ) převés na inegrál racionální lomené funkce. K omu musíme nejprve funkce a vyjádři pomocí g. Analogicky jako v příkladu.5.. snadno odvodíme pořebné vzahy pro poloviční úhel z pravoúhlého rojúhelníka. Jesliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mí proilehlá odvěsna velikos g =. + g = Z Pyhagorovy věy vypočeme velikos přepony +. Z definic funkcí us a kous (poměr velikosí proilehlé resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) dosaneme: = + a =. + S použiím vzorců pro dvojnásobný úhel ( α = αα, = α α ) získáme α = = = + + +, = = = Podsané je, že po subsiuci dosáváme míso funkcí us a kous racionální funkce. Ze vzahu g = pro ( π, π ) dosáváme = arcg, = arcg, a edy d = d. Po dosazení dosáváme inegrál racionální funkce

6 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí R(, ) d= R, d Shrnuí: Inegrály ypu R(, ) d můžeme řeši subsiucí g =, ( π, π ). Pak vyjádříme =, + =, + d = d. + Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočěe inegrál d, (0, π ). Řešení: Uvedený inegrál jsme již jednou řešili subsiucí (příklad..6). Z výše odvozených vzahů snadno dosaneme: d = d = d = ln + C = ln g C Příklad.5.5. Vypočěe inegrál Řešení: Použijeme subsiuci g + d. =. Z výše odvozených vzahů snadno dosaneme: d d d = = = = d = d = d = d = ( ) = arcg( ) + C = arcg(g ) +C

7 Maemaika II Příklad.5.6. Vypočěe inegrál + + d..6. Inegrace goniomerických funkcí Řešení: Použijeme subsiuci g =. Z výše odvozených vzahů dosaneme: d = + + d = d = ( + ) ( + ) = d = d ( )( + ) ( )( + ) Dosali jsme inegrál z racionální funkce ryze lomené. Pro rozklad racionální funkce na parciální zlomky použijeme posup uvedený v kapiole.5. Polynom ve jmenovaeli má reálné kořeny = 0, = a kompleně sdružené kořeny, = ± i. Rozklad na souče parciálních zlomků bude mí var: ( + ) A B C D = ( )( + ) + + Nalezneme neznámé koeficieny A, B, C, D rozkladu z rovnice ( + ) = A( )( + ) + B( + ) + C ( ) + D( ). Dosaneme: A=, B=, C = 0, D=. Inegrujeme parciální zlomky: ( + ) d = ( + + ) d = ln + ln arcg + C ( )( + ) + = g = ln g + ln g arcg g + C = ln +C. g Poznámka Subsiucí g = pro ( π, π ) můžeme řeši každý inegrál ypu R(, ) d. Vzniklé racionální funkce však mohou bý komplikované a inegrace pracná. V někerých speciálních případech může k cíli rychleji vés subsiuce g =. =, =, případně

8 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí Konrolní oázky. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu ypu d, mn, Z, je-li m liché?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu ypu d, mn, Z, je-li n liché?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu ypu d, mn, Z, jsou-li m i n sudé?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 5. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu m m m d?? d 6. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? 7. Jaký posup zvolíe při výpoču inegrálu 8. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 9. Jakou funkci předsavuje zápis R(, )? 0. Kdy je vhodná univerzální subsiuce g d? =?? d. Je vhodná univerzální subsiuce při výpoču inegrálu d?. Při výpoču inegrálu d je vhodnější jiná než univerzální subsiuce. Jaká? n n n Úlohy k samosanému řešení. a) d) g) j) d b) d e) h) d k) d 5 d d f) 5 i) d d l) d d d d

9 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí. a) d) d + b) d + e) d + d f) d + 5 d. a) d) b) d e) d d f) d d g g d g +. a) d) d b) d e) 7 7 d d f) d d + Výsledky úloh k samosanému řešení. a) + C ; b) C; C; 5 6 d) + C ; e) + + C; f) C; g) + + C ; h) + + C ; i) ln + + C ; + j) + ln + C ; k) + ln + C ; l) + +C. 8. a) ln + + C ; b) + ln + + C ; arcg + C ; d) arcg + C ; e) 5 + C; f) + + C.. a) g + C; b) g + C ; 5 6 ln g + C ; d) arcg g + C 5 5 ; e) g + C ; f) ln g + + C. g. a) + g ln g + C ; b) ln g + C ; C + ; d) ln g 7 +C ; g

10 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí e) ln g + g + C ; f) arcg g + C. Konrolní es. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu a) =, b) =, univerzální, d) g =. d?. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu a) =, b) =, univerzální, d) g =.. Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu a) univerzální, b) =, g =, d) =.. Vypočěe neurčiý inegrál 5 d. 7 d? d a) + +C, b) + + C, C, d) + + C Vypočěe neurčiý inegrál a) C, + + b) C, + + d) 6. Vypočěe neurčiý inegrál d d. a) ( + ) +C, b) ( + ) + C, ( + ) + C, d) ( ) C, C.?

11 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí 7. Vypočěe neurčiý inegrál d (lze i bez subsiuce). a) cog + g + g +C, b) cog g C, g cog + g + C, d) 8. Vypočěe neurčiý inegrál d. g + cog + g + C. a) ln, + C b) ln, + + C ln, + +C d) d 9. Vypočěe neurčiý inegrál ln + C. a) ln+ g, b) ln + g + C, ln + g + C, d) ln+ g + C. 0. Bez použií univerzální subsiuce vypočěe neurčiý inegrál a) g + C, b) g + C, d. cog C, + d) g + + C. Výsledky esu. b);. a);. ;. b); 5. b); 6. ; 7. a); 8. d); 9. ; 0. d). Průvodce sudiem Pokud jse správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračuje další kapiolou. V opačném případě je řeba prosudova kapiolu.6 znovu a propočía další úlohy k samosanému řešení. Shrnuí lekce V prakických aplikacích se velmi časo vyskyují inegrály, keré obsahují goniomerické funkce. Při výpoču inegrálů ohoo ypu je obvykle užívána subsiuční meoda. V éo kapiole jsou přehledně uvedeny subsiuce používané pro základní ypy inegrálů, se kerými

12 Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí se časo sekáváme. Časo se vyskyují inegrály, keré je možno řeši několika způsoby. Je dobré zvoli akovou meodu, kerá povede nejrychleji k cíli. Obvykle posupujeme ako: - Nejprve uvažíme, zda nelze použí subsiuci = nebo =, - pak zkoušíme, zda není vhodná subsiuce g =, - nakonec se pokusíme problém vyřeši univerzální subsiucí g =

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací

Více

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních le jsme vložili do abulky 7.1. a) Jaké plodiny paří mezi obiloviny?

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semesrální práce z předměu KMA/MAB Téma: Schopnos úrokového rhu předvída sazby v době krize Daum: 7..009 Bc. Jan Hegeď, A08N095P Úvod Jako éma pro

Více

2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ

2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ 2 P ÌmoËar pohyb V roce 1977 vyvo ila Kiy OíNeilov rekord v z vodech dragser. Dos hla ehdy rychlosi 628,85 km/h za pouh ch 3,72 s. Jin rekord ohoo ypu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. p i jìzdï na

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV 3 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6-7 září 2006 Porovnání způsobů hodnocení invesičních projeků na bázi kriéria Dana Dluhošová

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava MODULOVANÉ SIGNÁLY. učební text. Zdeněk Macháček, Pavel Nevřiva

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava MODULOVANÉ SIGNÁLY. učební text. Zdeněk Macháček, Pavel Nevřiva Vysoká škola báňská Tehniká univerzia Osrava MODULOVANÉ SIGNÁLY učební ex Zdeněk Maháček, Pavel Nevřiva Osrava Reenze: Ing. Jiří Kozian, Ph.D. RNDr. Miroslav Liška, CS. Název: Modulované signály Auor:

Více

(2) Řešení. 4. Platí: ω = 2π (3) (3) Řešení

(2) Řešení. 4. Platí: ω = 2π (3) (3) Řešení (). Načrněe slepý graf závislosi dráhy sojícího člověka na b 2. Na abuli je graf A závislosi rychlosi pohybu rabanu kombi na Vypočěe dráhu, kerou raban urazil v čase od 2,9 s do 6,5 s. 3. Jakou rychlosí

Více

Zásady hodnocení ekonomické efektivnosti energetických projektů

Zásady hodnocení ekonomické efektivnosti energetických projektů Absrak Zásady hodnocení ekonomické efekivnosi energeických projeků Jaroslav Knápek, Oldřich Sarý, Jiří Vašíček ČVUT FEL, kaedra ekonomiky Každý energeický projek má své ekonomické souvislosi. Invesor,

Více

V EKONOMETRICKÉM MODELU

V EKONOMETRICKÉM MODELU J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům

Více

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s.

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s. PEZIJÍ PLÁ Allianz ransformovaný fond, Allianz penzijní společnos, a. s. Preambule Penzijní plán Allianz ransformovaného fondu, Allianz penzijní společnos, a. s. (dále jen Allianz ransformovaný fond ),

Více

Prognózování vzdělanostních potřeb na období 2006 až 2010

Prognózování vzdělanostních potřeb na období 2006 až 2010 Prognózování vzdělanosních pořeb na období 2006 až 2010 Zpráva o savu a rozvoji modelu pro předvídání vzdělanosních pořeb ROA - CERGE v roce 2005 Vypracováno pro čás granového projeku Společnos vědění

Více

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Masarykova univerzia Přírodovědecká fakula VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Bakalářská práce Lucie Pečinková Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Per ČERVINEK Brno 202 Bibliografický záznam

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

KIV/PD. Sdělovací prostředí

KIV/PD. Sdělovací prostředí KIV/PD Sdělovací prosředí Přenos da Marin Šime Orienační přehled obsahu předměu 2 principy přenosu da mezi 2 propojenými zařízeními předměem sudia je přímá cesa, ne omuniační síť ja se přenáší signály

Více

CENTRUM EKONOMICKÝCH STUDIÍ VŠEM

CENTRUM EKONOMICKÝCH STUDIÍ VŠEM V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U CENTRUM EKONOMICKÝCH STUDIÍ VŠEM ISSN 1801-1578 03 vydání 03/ ročník 2010 /31.3.2010 Bullein CES VŠEM V TOMTO VYDÁNÍ Příspěvek k insiucionální

Více

Stochastické modelování úrokových sazeb

Stochastické modelování úrokových sazeb Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo

Více

S t u d i j n í m a t e r i á l - M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

S t u d i j n í m a t e r i á l - M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e S d i j n í m a e i á l - M a i c e e s ř e d o š k o l s k é m a e m a i c e 9 Vyžií ablkoého poceso Open.Office.og Calc při počíání s maicemi a deeminany Tao kapiola je čena předeším po y čenáře, keří

Více

Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR

Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR 3. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6.-7. září 006 Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného

Více

Univerzita Pardubice. Dopravní fakulta Jana Pernera

Univerzita Pardubice. Dopravní fakulta Jana Pernera Univerzia Pardubice Dopravní fakula Jana Pernera Fakory ovlivňující popávku po osobních auomobilech v ČR Bc. Tomáš Mikas Diplomová práce 2011 Prohlašuji: Tuo práci jsem vypracoval samosaně. Veškeré lierární

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová. Slovo úvodem 3

Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová. Slovo úvodem 3 Fyzikajekolemnás(Polohaajejízměny) Sudijní ex pro řešiele FO a osaní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová Obsah Slovo úvodem 3 1 Popis polohy ělesa 4 1.1 Jednorozměrnýprosor.......................

Více

Ekonomické aspekty spolehlivosti systémů

Ekonomické aspekty spolehlivosti systémů ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novoného lávka 5, 116 68 Praha 1 43. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST pořádané výborem Odborné skupiny pro spolehlivos k problemaice Ekonomické aspeky spolehlivosi sysémů

Více

Protipožární obklad ocelových konstrukcí

Protipožární obklad ocelových konstrukcí Technický průvoce Proipožární obkla ocelových konsrukcí Úvo Ocel je anorganický maeriál a lze jí ey bez zvlášních zkoušek zařai mezi nehořlavé maeriály. Při přímém působení ohně vlivem vysokých eplo (nárůs

Více

1.5.3 Výkon, účinnost

1.5.3 Výkon, účinnost 1.5. Výkon, účinnos ředpoklady: 151 ř. 1: ři výběru zahradního čerpadla mohl er vybíra ze ří čerpadel. rvní čerpadlo vyčerpá za 1 sekundu,5 l vody, druhé čerpadlo vyčerpá za minuu lirů vody a řeí vyčerpá

Více

Frézování - řezné podmínky - výpočet

Frézování - řezné podmínky - výpočet Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: Základy výroby 2 M. Geisová 10. červen 2012 Název zpracovaného celku: Frézování - řezné podmínky - výpoče Posup při určování řezných podmínek, výpoče řezné síly Fř, výkonu

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MODELOVÁNÍ A KLASIFIKACE REGIONÁLNÍCH TRHŮ PRÁCE

MODELOVÁNÍ A KLASIFIKACE REGIONÁLNÍCH TRHŮ PRÁCE VYSOKÁ ŠKOL BÁNSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZIT OSTRV EKONOMICKÁ FKULT MODELOVÁNÍ KLSIFIKCE REGIONÁLNÍCH TRHŮ PRÁCE Jana Hančlová Ivan Křivý Jaromír Govald Miroslav Liška Milan Šimek Josef Tvrdík Lubor Tvrdý

Více

VÝSLEDKY ČESKÝCH ŽÁKŮ V MEZINÁRODNÍCH VÝZKUMECH 1995 2000

VÝSLEDKY ČESKÝCH ŽÁKŮ V MEZINÁRODNÍCH VÝZKUMECH 1995 2000 VÝSLEDKY ČESKÝCH ŽÁKŮ V MEZINÁRODNÍCH VÝZKUMECH 1995 2000 Úav pro informace ve vzdělávání Praha 2002 Úav pro informace ve vzdělávání Sekce měření výledků vzdělávání ISBN 80-211-0415-5 ÚVOD Hodnocení výledků

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Podzim 2004. Výzkumná práce 2 Sektorové produktivity a relativní cena neobchodovatelných statků: Opravdu příliš mnoho povyku pro nic?

Podzim 2004. Výzkumná práce 2 Sektorové produktivity a relativní cena neobchodovatelných statků: Opravdu příliš mnoho povyku pro nic? Podzim 24 Výzkumná práce 2 Sekorové produkiviy a relaivní cena neobchodovaelných saků: Opravdu příliš mnoho povyku pro nic? Makroekonomický vývoj 15 Akuální makroekonomický vývoj České republiky 32 Prognóza

Více

Manuál k vyrovnávacímu nástroji pro tvorbu cen pro vodné a stočné

Manuál k vyrovnávacímu nástroji pro tvorbu cen pro vodné a stočné OPERAČNÍ PROGRAM ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ EVROPSKÁ UNIE Fond soudržnosi Evropský fond pro regionální rozvoj Pro vodu, vzduch a přírodu Manuál k vyrovnávacímu násroji pro vorbu cen pro vodné a sočné MINISTERSTVO

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Srovnání výnosnosti základních obchodních strategií technické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR 1

Srovnání výnosnosti základních obchodních strategií technické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR 1 Výnosnos obchodních sraegií echnické analýzy Michal Dvořák Srovnání výnosnosi základních obchodních sraegií echnické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR Verze 3 03 Michal Dvořák Záměr Na přednáškách

Více

Koncepce penzijní reformy hledání základních parametrů

Koncepce penzijní reformy hledání základních parametrů Analýza říjen 2004 Koncepce penzijní efomy hledání základních paameů Téma penzí neusále nabývá na významu. Takzvaný důchodový úče nespasily ani změny paameů povedené v ámci efomy veřejných ozpočů a hlavní

Více

1.5.1 Mechanická práce I

1.5.1 Mechanická práce I .5. Mechanická ráce I Předoklady: Práce je velmi vděčné éma k rozhovoru: někdo se nadře a ráce za ním není žádná, jiný se ani nezaoí a udělá oho sousu, a všichni se cíí nedocenění. Fyzika je řírodní věda

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Manuál pro textilní průmysl

Manuál pro textilní průmysl Manuál pro exilní průmysl 2 Manuál je jedním z výsupů granového projeku VaV/720/7/01, Oborový manuál pro prevenci a minimalizaci odpadů, vypsaného a zasřešeného Minisersvem živoního prosředí. Auorský ým:

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

1/77 Navrhování tepelných čerpadel

1/77 Navrhování tepelných čerpadel 1/77 Navrhování epelných čerpadel paramery epelného čerpadla provozní režimy, navrhování akumulace epla bilancování inervalová meoda sezónní opný fakor 2/77 Paramery epelného čerpadla opný výkon Q k [kw]

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Working Papers Pracovní texty

Working Papers Pracovní texty Working Papers Pracovní exy Working Paper No. 2/23 Inflace po vsupu do měnové unie vybrané problémy Jan Kubíček INSIU PRO EKONOMICKOU A EKOLOGICKOU POLIIKU A KAERA HOSPOÁŘSKÉ POLIIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ

Více

ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY

ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakula informaiky a saisiky ANALÝZA EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD S PŘÍKLADY Josef Arl Markéa Arlová Eva Rublíková 00 Recenzeni: Prof. Ing. Franišek Fabian, CSc. Doc. Ing. Jiří

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

ELEKTRONICKÉ OBVODY I

ELEKTRONICKÉ OBVODY I NIVEZITA OBANY Fakula vojenských echnologií Kaedra elekroechniky -99 ELEKTONIKÉ OBVODY I čebnice Auoři: rof. Ing. Dalibor Biolek, Sc. rof. Ing. Karel Hájek, Sc. doc. Ing. Anonín Krička, Sc. doc. Ing. Karel

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

2.1.4 Výpočet tepla a zákon zachování energie (kalorimetrická rovnice)

2.1.4 Výpočet tepla a zákon zachování energie (kalorimetrická rovnice) ..4 Výpoče epla a zákon zachování energie (kalorimerická rovnice) Teplo je fyzikální veličina, předsavuje aké energii a je udíž možné (i nuné) jej měři. Proč je aké nuné jej měři? Např. je předměem obchodu

Více

ANALÝZA SPEKULATIVNÍCH OBCHODŮ S KOMODITAMI NA ZÁKLADĚ DETEKCE PARAMETRICKÝCH EXTRÉMŮ V ČASOVÝCH ŘADÁCH CEN

ANALÝZA SPEKULATIVNÍCH OBCHODŮ S KOMODITAMI NA ZÁKLADĚ DETEKCE PARAMETRICKÝCH EXTRÉMŮ V ČASOVÝCH ŘADÁCH CEN Trendy v podniání vědecý časopis Fauly eonomicé ZČU v Plzni ANALÝZA SPEKULATIVNÍCH OBCHODŮ S KOMODITAMI NA ZÁKLADĚ DETEKCE PARAMETRICKÝCH EXTRÉMŮ V ČASOVÝCH ŘADÁCH CEN Jiří Peší, Mara Šlehoferová ÚVOD

Více

Nové indikátory hodnocení bank

Nové indikátory hodnocení bank 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 8. - 9. září 2010 Nové indikáory hodnocení bank Josef Novoný 1 Absrak Příspěvek je

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Přechodové jevy RC. Řešení přechodového jevu v obvodech 1. řádu RC. a) varianta nabíjení ideálního kondenzátoru u C (t)

Přechodové jevy RC. Řešení přechodového jevu v obvodech 1. řádu RC. a) varianta nabíjení ideálního kondenzátoru u C (t) čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr Přchodové jvy Účlm éo knihy j nači sdny řši přchodové jvy v obvodch. řád yp a sznámi j s oricko problmaiko přchodových jvů v obvodch. řádů yp. Přchodové jvy v

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Recenzované studie. Working Papers Fakulty mezinárodních vztahů

Vysoká škola ekonomická v Praze Recenzované studie. Working Papers Fakulty mezinárodních vztahů Vysoká škola ekonomická v Praze Recenzované sudie Working Papers Fakuly mezinárodních vzahů 12/2010 Míra nezaměsnanosi neakcelerující inflaci a hospodářský cyklus v prosředí České republiky hisorie a možný

Více

Ě Ó ó ó ž ž Ú ž Ř ž ž Ý ó Ú ž ň ž ž ž ž ž ó ž ň Ú ň ó ž Ť ň Ť ň Ě É ž ň Ť Ú ó ň ó ó ž ó ž ž ó ň Ť Ř Ť ó ó ž ž Ťž ň ž ž ž ž ž Ř ž ž Ř Ř ó ó ž ó ó ž ó Ť Ř Ť ň ň ž ň ň Ť ž Ý ž Ó Ě ó ó ó Ť ž ó ň ó ó Ť ó ó

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: VY_32_INOVACE_HRAVĚ19 Soutěž zlomky, celá čísla, procenta, rovnice a sl.

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Working Papers Pracovní texty

Working Papers Pracovní texty Working Papers Pracovní exy Working Paper No. 10/2003 Konvergence nominální a reálné výnosnosi finančního rhu implikace pro poby koruny v mechanismu ERM II Vikor Kolán INSTITUT PRO EKONOMICKOU A EKOLOGICKOU

Více

FYZIKA 2. ROČNÍK ( ) V 1 = V 2 =V, T 1 = T 2, Q 1 =Q 2 c 1 = 139 J kg 1 K 1-3. Řešení: m c T = m c T 2,2

FYZIKA 2. ROČNÍK ( ) V 1 = V 2 =V, T 1 = T 2, Q 1 =Q 2 c 1 = 139 J kg 1 K 1-3. Řešení: m c T = m c T 2,2 . Do dou sejných nádob nalijeme odu a ruť o sejných objemech a eploách. Jaký bude poměr přírůsků eplo kapalin, jesliže obě kapaliny přijmou při zahříání sejné eplo? V = V 2 =V, T = T 2, Q =Q 2 c = 9 J

Více

Working Paper Solidarita mezi generacemi v systémech veřejného zdravotnictví v Evropě

Working Paper Solidarita mezi generacemi v systémech veřejného zdravotnictví v Evropě econsor www.econsor.eu Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf The Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Pavloková, Kaeřina

Více

( ) 7.3.3 Vzájemná poloha parametricky vyjádřených přímek I. Předpoklady: 7302

( ) 7.3.3 Vzájemná poloha parametricky vyjádřených přímek I. Předpoklady: 7302 7.. Vzájemná oloha aramericky yjádřených římek I Předoklady: 70 Pedagogická oznámka: Tao hodina neobsahje říliš mnoho říkladů. Pos elké čási sdenů je oměrně omalý a časo nesihno sočía ani obsah éo hodiny.

Více

ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZTAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI

ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZTAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI Polcká ekonome 49:, sr. 58-73, VŠE Praha,. ISSN 3-333 Rukops ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI Josef ARL, Šěpán RADKOVSKÝ, Vsoká škola ekonomcká, Praha, Česká národní banka, Praha.

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA Přednáška 7 MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA A INTERAKCE S MĚNOVÝM KURZEM (navazující přednáška na přednášku na éma inflace, měnová eorie a měnová poliika) Měnová poliika

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Úhrada za ústřední vytápění bytů II

Úhrada za ústřední vytápění bytů II Úhrada za úsřdní vyápění byů II Anoac Článk j druhým z séri příspěvků, krými jsou prsnovány dlouholé výsldky prác na Tchnické univrziě v Librci v oblasi rozpočíávání nákladů na vyápění pomocí poměrových

Více

Rovnoměrný pohyb. velikost rychlosti stále stejná (konstantní) základní vztah: (pokud pohyb začíná z klidu) v m. s. t s

Rovnoměrný pohyb. velikost rychlosti stále stejná (konstantní) základní vztah: (pokud pohyb začíná z klidu) v m. s. t s Ronoměrný poyb eliko rycloi ále ejná (konanní) základní za:. graf záiloi dráy na čae: polopřímka ycázející z počáku (pokud poyb začíná z klidu) m graf záiloi rycloi na čae: ronoběžka odoronou ou m. U poybu

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Kinemik hmoného bodu Obsh Klsická mechnik... Vzžný sysém... Polohoý ekor... Trjekorie... Prmerické ronice rjekorie... 3 Příkld 1... 3

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Working Papers Pracovní texty

Working Papers Pracovní texty Working Papers Pracovní exy Working Paper No. /003 Hyperbolické diskonování a jeho význam v ekonomickém modelování Michal Andrle Jan Brůha INSTITUT PRO EKONOMICKOU A EKOLOGICKOU POLITIKU A KATEDRA HOSPODÁŘSKÉ

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Working Papers Pracovní texty

Working Papers Pracovní texty Working Papers Pracovní exy Working Paper o. 1/24 ondový penzijní sysém v konvergující ekonomice Jan Kubíček ISIU PRO EKOOMICKOU A EKOLOGICKOU POLIIKU VYSOKÁ ŠKOLA EKOOMICKÁ V PRAZE AKULA ÁROOHOSPOÁŘSKÁ

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_10_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_10_FY_B Zákon síly. Hmonos jako míra servačnosi. Vyvození hybnosi a impulsu síly. Závislos zrychlení a hmonosi Cvičení k zavedeným pojmům Jméno auora: Mgr. Zdeněk Chalupský Daum vyvoření: 11. 11. 2012 Číslo DUM:

Více

213/2001 ve znění 425/2004 VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 14. června 2001,

213/2001 ve znění 425/2004 VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 14. června 2001, 213/2001 ve znění 425/2004 VYHLÁŠKA Minisersva průmyslu a obchodu ze dne 14. června 2001, kerou se vydávají podrobnosi náležiosí energeického audiu Minisersvo průmyslu a obchodu sanoví podle 14 ods. 5

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novotného lávka 5, 116 68 Praha 1 ZAJIŠTĚNOST ÚDRŽBY MATERIÁLY ZE XIII. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST

ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novotného lávka 5, 116 68 Praha 1 ZAJIŠTĚNOST ÚDRŽBY MATERIÁLY ZE XIII. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novoného lávka 5, 116 68 Praha 1 ZAJIŠTĚNOST ÚDRŽBY MATERIÁLY ZE XIII. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST Praha, lisoad 2003 1 OBSAH OPTIMALIZACE PREVENTIVNÍ ÚDRŽBY Prof.

Více

Mechanické upevnění solárních zařízení na průmyslové střechy Bezpečné - Přizpůsobivé - Rychlé. Světová novinka SOL-R

Mechanické upevnění solárních zařízení na průmyslové střechy Bezpečné - Přizpůsobivé - Rychlé. Světová novinka SOL-R Mechanické upevnění solárních zařízení na průmyslové sřechy Bezpečné - Přizpůsobivé - Rychlé Svěová novinka SOL-R SOL-R nejpřizpůsobivější upevňovací sysém pro monáž solárních zařízení na průmyslové sřechy

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1.1.15 Řešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb I

1.1.15 Řešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb I ..5 Řešení příkldů n ronoměrně zrychlený pohyb I Předpokldy: 4 Pedgogická poznámk: Cílem hodiny je, by se sudeni nučili smosně řeši příkldy. Aby dokázli njí zh, kerý umožňuje příkld yřeši, dokázli ze zhů

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Průzkumová analýza dat (Exploratory Data Analysis, EDA)

Průzkumová analýza dat (Exploratory Data Analysis, EDA) 19. února 2007 Přednáška 1 maeriály: přednášky zápoče: v průběhu semesr určiý projek na zápoče a na známku, kerá bude ke zkoušce zkouška: zadaný určiý problém, na něj zadaný určiý čas, zpracováván s využiím

Více

ROTORŮ TURBOSOUSTROJÍ

ROTORŮ TURBOSOUSTROJÍ ZJIŠŤOVÁNÍ PŘÍČIN ZVÝŠENÝCH VIBRACÍ ROTORŮ TURBOSOUSTROJÍ Prof Ing Miroslav Balda, DrSc Úsav ermomechaniky AVČR + Západočeská univerzia Veleslavínova 11, 301 14 Plzeň, el: 019-7236584, fax: 019-7220787,

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

Seznam parametrů Vydání 04/03. sinamics SINAMICS G110

Seznam parametrů Vydání 04/03. sinamics SINAMICS G110 Seznam paramerů Vydání 04/0 sinamics SINAMICS G110 Dokumenace k výrobku SINAMICS G110 Příručka pro začínající uživaele Příručka pro začínající uživaele si klade za cíl umožni uživaelům rychlý přísup k

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

MIČKAL, Karel. Technická mechanika II: pro střední odborná učiliště. Vyd. 3., nezm. Praha: Informatorium, 1998c1990, 118 s. ISBN 80-860-7323-8.

MIČKAL, Karel. Technická mechanika II: pro střední odborná učiliště. Vyd. 3., nezm. Praha: Informatorium, 1998c1990, 118 s. ISBN 80-860-7323-8. Idenifiáor maeriálu: ICT 1 9 Regisrační číslo rojeu Název rojeu Název říjemce odory název maeriálu (DUM) Anoace Auor Jazy Očeávaný výsu Klíčová slova Druh učebního maeriálu Druh ineraiviy Cílová suina

Více

VLIV MAKROEKONOMICKÝCH ŠOKŮ NA DYNAMIKU VLÁDNÍHO DLUHU: JAK ROBUSTNÍ JE FISKÁLNÍ POZICE ČESKÉ REPUBLIKY?

VLIV MAKROEKONOMICKÝCH ŠOKŮ NA DYNAMIKU VLÁDNÍHO DLUHU: JAK ROBUSTNÍ JE FISKÁLNÍ POZICE ČESKÉ REPUBLIKY? VLIV MAKROEKONOMICKÝCH ŠOKŮ NA DYNAMIKU VLÁDNÍHO DLUHU: JAK ROBUSTNÍ JE FISKÁLNÍ POZICE ČESKÉ REPUBLIKY? Aleš Melecký, Marin Melecký, VŠB Technická univerzia Osrava* 1. Úvod Globální finanční a ekonomická

Více

Pojistné rozpravy 5 POJISTNĚ TEORETICKÝ BULLETIN

Pojistné rozpravy 5 POJISTNĚ TEORETICKÝ BULLETIN Pojisné rozpravy 5 POJISTNĚ TEORETICKÝ BULLETIN 999 ISSN 0862 662 OBSAH Siuace ve veřejném zdravoním pojišění v ČR... 5 (Ing. Jarmila Fuchsová Soukromé zdravoní pojišění v Německu... (Klaus Michel Zdravoní

Více

4.1 Zptnovazební oscilátory sinusového prbhu naptí

4.1 Zptnovazební oscilátory sinusového prbhu naptí 4 Osciláory Nezpracovávají žádný vsupní signál, ale jsou sami zdrojem sídavých signál. Ze sejnosmrného napájecího napí vyváejí napí sídavá. Druh osciláor je mnoho. Podle principu innosi se rozdlují na

Více