Různostranné obecné Rovnoramenné Rovnostranné. třetí, základna, je různá

Transkript

1 Trojúhelník Trojúhelník - AB určují tři body A, B,, které neleží na jedné přímce. Trojúhelník je rovněž možno považovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. γ, γ, γ Body A, B,, se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky AB, B, A, jsou strany trojúhelníku b a Konvexní úhly BA, AB, BA jsou vnitřní úhly trojúhelníku, vedlejší úhly k těmto úhlům jsou vnější úhly α, α β β, A α, β, B Rozdělení trojúhelníků podle stran: Různostranné obecné Rovnoramenné Rovnostranné žádné dvě strany nejsou shodné dvě strany, ramena, jsou shodná všechny strany jsou shodné třetí, základna, je různá Rozdělení trojúhelníků podle vnitřních úhlů: Ostroúhlé Pravoúhlé Tupoúhlé všechny vnitřní úhly ostré jeden vnitřní úhel pravý protější jeden vnitřní úhel je tupý strana přepona, ostatní odvěsny Další vztahy platné v trojúhelníku: Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý (180 ) Velikost vnějšího úhlu trojúhelníku je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů při ostatních vrcholech. Součet dvou stran je větší než strana třetí (trojúhelníková nerovnost) Proti větší straně leží větší vnitřní úhel a proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana

2 Střední příčka Výška trojúhelníku B 1 A 1 V v c v a v b A 1 B A B Střední příčka je úsečka spojující středy dvou stran. Je rovnoběžná se třetí stranou a její délka je polovinou délky strany. Výška je úsečka spojující vrchol trojúhelníku s patou kolmice vedené z protilehlé strany. Výšky se protínají ve společném průsečíku V nazývaném ortocentrum. V ostroúhlém trojúhelníku leží uvnitř, v pravoúhlém splývá s vrcholem pravého úhlu a v tupoúhlém leží vně trojúhelníku. Těžnice trojúhelníku Úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a střed protější strany se nazývá t c těžnice. Těžnice (označujeme t a, t b, t c ) se B 1 T A 1 protínají ve společném bodě T nazývaném t a t b těžiště trojúhelníku. Vzdálenost těžnice od vrcholu je rovna třetinám A 1 B délky příslušné těžnice.

3 Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku se nazývá trojúhelníku opsaná. k Její poloměr označujeme r a její střed S o je S o průsečíkem os stran trojúhelníku. V ostroúhlém r trojúhelníku leží uvnitř, v pravoúhlém je středem přepony a v tupoúhlém leží vně trojúhelníku. A B Kružnice, která se dotýká všech tří stran trojúhelníku se nazývá trojúhelníku vepsaná. k Její poloměr označujeme r a její střed S v je S v průsečíkem os stran trojúhelníku. ρ A B V rovnostranném trojúhelníku splývá střed kružnice opsané se středem kružnice vepsané, ortocentrem a těžištěm S o = S V = V = T

4 PS Jsou dány tři různé body A, B,, které neleží na jedné přímce. Narýsujte trojúhelník AB. A B a) Symbolicky zapište AB jako průnik tří polorovin b) Označte α, β, γ vnitřní úhly trojúhelníku AB a α, β, γ jeho vnější úhly c) Dopočítejte velikosti vyznačených úhlů, je-li β = a γ = α = α = β = γ = d) V trojúhelníku AB označte strany a, b, c a uspořádejte jejich délky podle velikosti vzestupně. Symbolicky zapište:

5 2. V trojúhelníku KLM sestrojte těžiště T a ortocentrum V. Doplňte věty. K M L a) Ortocentrum každého ostroúhlého trojúhelníku leží uvnitř trojúhelníku. b) Ortocentrum každého tupoúhlého trojúhelníku leží trojúhelníku. c) Ortocentrum každého pravoúhlého trojúhelníku d) Těžiště trojúhelníku leží uvnitř tohoto trojúhelníku.

6 3. Sestrojte střed S kružnice vepsané a střed O kružnice opsané trojúhelníku GHI. V obrázku vyznačte poloměr ρ kružnice vepsané a poloměr r kružnice opsané. Kružnice narýsujte. Doplňte následující věty. I G H a) Střed kružnice opsané každému ostroúhlému leží tohoto b) Střed kružnice opsané každému tupoúhlému leží vně tohoto c) Střed kružnice opsané každému pravoúhlému d) Střed kružnice vepsané trojúhelníku leží uvnitř tohoto

7 4. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá. a) Součet velikostí všech vnitřních úhlů v tupoúhlém trojúhelníku je větší než součet všech vnitřních úhlů v ostroúhlém trojúhelníku. b) V každém trojúhelníku pro výšku a těžnici vedenou z téhož vrcholu X platí: v x t x c) V každém rovnostranném trojúhelníku splývá těžiště, střed kružnice vepsané, střed kružnice opsané a ortocentrum d) V každém rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně shodné 5. Vypočítejte velikosti neznámých úhlů podle obrázku 39 δ 44 ε 116 γ σ ω α β

8 6. Ke každé dvojici délek úseček přiřaďte třetí délku tak, aby bylo možno sestrojit čtyři trojúhelníky zadané vzniklými délkami stran. Každou délku využijte právě jednou. A) 20, 25 1) 46 B) 12, 28 2) 42 ) 31, 18 3) 49 D) 28, 22 4) V trojúhelníku AB s délkami stran a = 294; b = 306,6; c = 480 byly určeny délky těžnic: t a = 375,0; t b = 367,2; t c = 180,0. B 1 A 1 T A 1 B a) Obvod A 1 je b) Obvod BB 1 1 je c) Obvod ABT je d) Obvod A 1 B 1 T je

9 8. Odchylka výšek, které jsou vedeny na ramena rovnoramenného trojúhelníku AB, je 38. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku AB. v c v a 38 A B α = β = γ = 9. Vyberte správnou odpověď. D δ E A B Pokud AB = B = E, je velikost úhlu δ vyznačeného na obrázku: a) 120 b) 112,5 c) 135 d) 150 e) nelze určit

10 10. Vyberte správnou odpověď: ε D A B E Body D, A, B, E leží na přímce. Pokud AB = B = A = BE = AD, je velikost úhlu ε vyznačeného na obrázku: a) 120 b) 112,5 c) 135 d) 150 e) nelze určit 11. Je dán AB. Vypočítejte velikost úhlu ε, který svírá výška na stranu c a spojnice vrcholu se středem kružnice trojúhelníku vepsané. A B

11 12. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku a rozhodněte, zda je trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý nebo tupoúhlý. a) β = α + 25, γ = 45 b) α: β = 1: 2, β: γ = 1: 3 c) α + β = 135, β + γ = 135 d) α + β = 125, γ β = 45

12 Shodnost trojúhelníků Trojúhelník AB je shodný s trojúhelníkem A, B,, mají-li shodné všechny sobě odpovídající strany a úhly. Zapisujeme: AB A, B,, Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss: Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus: Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. Věta usu: Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k ní přilehlých, jsou shodné. Věta Ssu: Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné. Podobnost trojúhelníků Trojúhelník A, B,, je podobný trojúhelníku AB, existuje-li kladné reálné číslo k tak, že pro strany trojúhelníku platí: a, = k a, b, = k b, c, = k c Je-li k > 1 je podobnost zvětšením, je-li k < 1 je podobnost zmenšením. (k=1 je shodnost) Zapisujeme: AB ~ A, B,, Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss: Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech poměrech stran, jsou podobné. Věta uu: Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, jsou podobné. Věta sus: Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech, jsou podobné. Věta Ssu: Jestliže se dva trojúhelníky shodují v poměru délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich, jsou podobné.

13 PS Jsou dány trojúhelníky AB a KLM. Platí: AB LMK. Doplňte: a) AB = A = B = b) BA = AB = AB = 2. Rozhodněte, které trojúhelníky jsou shodné. Shodnost trojúhelníků zapište. Výsledky uspořádejte do tabulky. Z 20 Y M V 20 U A 20 B X N 26 O T H J L R E D I G K P 20 Q F shodnost trojúhelníků použitá věta o shodnosti

14 3. Jsou dány trojúhelníky AB a TUV. Platí: AB~ VTU. Doplňte: a) AB : VT = b) BA = AB = AB = 4. Rozhodněte, které trojúhelníky jsou podobné. Podobnost trojúhelníků zapište. Výsledky uspořádejte do tabulky. B 20 A I Z Y L X U J 21 K O G 36 H 28 R 105 F P M V 120 T Q N D E podobnost trojúhelníků použitá věta o podobnosti

15 5. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá. a) Dva rovnostranné trojúhelníky jsou shodné, pokud se shodují v jedné straně. b) Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou shodné, pokud se shodují v základně a úhlu proti základně. c) Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou shodné, pokud se shodují v jednom ostrém úhlu a nejdelší straně. d) Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou podobné. e) Každý trojúhelník podobný rovnoramennému trojúhelníku je také rovnoramenný. f) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky se stejnou délkou přepony jsou podobné.

16 6. V rovnoramenném trojúhelníku AB je S b střed strany A a S c střed stranyab. Kolmice na rameno A vedená S b protne přímku AB v bodě L, přímku B v bodě X. Kolmice na rameno AB vedená S c protne přímku A v bodě M, přímku B v boděy. Dokažte následující tvrzení. A S c S b L M X Y B a) AS c AS b B b) BS c BS b c) S b L = S c M d) S b Y = S c X

17 7. Dané úsečky rozdělte v daném poměru. a) AB v poměru 3:2 b) D v poměru 2:5 A B D 8. Dané úsečky zkraťte v daném poměru. a) EF v poměru 3:8 b) GH v poměru 5:7 E F G H 9. Dané úsečky zvětšete v daném poměru. a) IJ v poměru 6:5 b) KL v poměru 9:4 I J K L

18 10. Jsou dány úsečky o délkách a, b, c. Sestrojte úsečku délky d tak, aby platilo a:b = c:d a b c d 11. Platí : AB~ DEF. Vypočítejte délky zbývajících stran, je-li dáno: a) a = 14, c = 16, e = 27, f = 24 b) b = 84, c = 63, d = 10, e = 12

19 12. Vypočítejte výšku stromu, který vrhá stín dlouhý 7m. Víte, že stín svislé metrové tyče má ve stejném okamžiku délku 140 cm. 13. Strany trojúhelníku AB mají velikost 7 m, 9 m, 12 m. Vypočítejte velikosti stran trojúhelníku DEF, který je podobný trojúhelníku AB, jestliže obvod trojúhelníku DEF je: a) 70 m b) 14 m

20 17. Výška na základnu rovnoramenného trojúhelníku má velikost 12,5 cm, ramena mají délku 15 cm. Vypočítejte poloměr kružnice trojúhelníku opsané. 18. Mezi třemi sloupy, jejichž paty leží v jedné přímce, je nataženo lanko. Vypočítejte výšku x třetího sloupu. (rozměry jsou v cm) x

21 19. Ocelová nájezdová rampa pro vozíčkáře a kočárky je v určitém místě podepřena sloupkem, jehož výška h je 45% celkového výškového rozdílu v rampy. Určete vzdálenost paty sloupku od budovy, je-li počátek rampy 15 m od budovy. budova h v 15 m 20. V lichoběžníku PQRS se základnami PQ a RS platí: PRQ = PSR, PQ = 33 dm, RS = 15 dm. Vypočítejte délku úhlopříčky PR.

22 21. Vinohrad o 15 řádcích má tvar trojúhelníku R 1 VK 1. První řádek je totožný se stranou R 1 K 1 a má délku 120 m. Další řádky jsou s ním rovnoběžné, body R 2 až R 15 rozdělují vzdálenost R 1 V na 15 stejných dílů. Určete délku druhého, čtvrtého a desátého řádku. K 1 K 2 K 3 K 4 K 14 K 15 V R 1 R 2 R 3 R 4.. R 14 R 15

23 Příklady k domácí přípravě 1. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku a rozhodněte, zda je trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý nebo tupoúhlý. a) β = α + 32, γ = 64 b) α + β = 72, β = 2 α 2. V rovnostranném trojúhelníku AB se stranou a = 18cm má výška v = 15,6cm. Vypočtěte obvody trojúhelníků AS c a BT. S b T S a A S c B 3. Pro trojúhelníky platí: AB~ KLM. Vypočtěte zbývající strany trojúhelníků, pokud a = 4cm b = 6cm l = 90cm m = 120cm 4. Vypočtěte výšku stromu, který vrhá stín délky 21 m, víte-li, že ve stejném okamžiku 2m vysoký pilíř plotu vrhá stín dlouhý 3m.