Úvod do výrokové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
|
|
|
- Milan Pravec
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do výrokové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
2 Extenzionalita Extenze a intenze typ výrazu extenze intenze individuový výraz jednotlivý objekt individuový pojem predikát množina objektů či relace vlastnost či vztah věta pravdivostní hodnota propozice (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
3 Princip bivalence Extenzionalita Každý výrok je bud pravdivý, nebo nepravdivý nikdy ne obojí a vždy alespoň jedno z toho. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
4 Extenzionalita Princip kompozicionality Význam složeného výrazu je určen významy jeho částí a tím jak se tyto části skládájí. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
5 Princip extenzionality Extenzionalita Extenze složeného výrazu je určena extenzemi jeho částí a tím, jak se tyto části skládají. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
6 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
7 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
8 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
9 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
10 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
11 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
12 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
13 Extenzionalita Extenzionální a neextenzionální kontexty Extenzionální kontexty: Platón je filosof. Každý člověk je smrtelný. Není pravda, že Plzeň je hlavní město ČR. V roce 1994 byl prezidentem ČR Václav Havel a prezidentem USA byl George Bush. Neextenzionální kontexty: Karel by chtěl být prezidentem ČR. Nutně platí, že = 4. Petr věří, že zítra bude sněžit. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
14 Úvod do klasické výrokové logiky Logické operátory výrokové logiky... a... konjunkce... nebo... disjunkce jestliže..., pak... implikace... právě tehdy, když... ekvivalence není pravda, že... negace (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
15 Úvod do klasické výrokové logiky Syntax: Formální jazyk klasické výrokové logiky Mimologickými symboly jsou tzv. atomy: p 1, p 2, p 3,.... Logickými symboly jsou operátory:,,,,. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
16 Úvod do klasické výrokové logiky Syntax: Formální jazyk klasické výrokové logiky Mimologickými symboly jsou tzv. atomy: p 1, p 2, p 3,.... Logickými symboly jsou operátory:,,,,. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
17 Úvod do klasické výrokové logiky Gramatika: Induktivní definice formule KVL Definice Každý atom je formule (atomická formule). Jestliže ϕ je formule, pak ϕ je také formule. Pokud ϕ, ψ jsou formule, pak (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) a (ϕ ψ) jsou také formule. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
18 Úvod do klasické výrokové logiky Syntaktické pojmy: Podformule, konstrukce formule, syntaktický strom Podformule formule ϕ je každá část formule ϕ, která je sama formulí. Konstrukce formule ϕ je posloupnost formulí zobrazující, jak lze postupně vytvořit formuli ϕ z atomů pomocí spojek. Syntaktický strom je alternativní reprezentace struktury dané formule. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
19 Úvod do klasické výrokové logiky Syntaktické pojmy: Podformule, konstrukce formule, syntaktický strom Podformule formule ϕ je každá část formule ϕ, která je sama formulí. Konstrukce formule ϕ je posloupnost formulí zobrazující, jak lze postupně vytvořit formuli ϕ z atomů pomocí spojek. Syntaktický strom je alternativní reprezentace struktury dané formule. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
20 Úvod do klasické výrokové logiky Syntaktické pojmy: Podformule, konstrukce formule, syntaktický strom Podformule formule ϕ je každá část formule ϕ, která je sama formulí. Konstrukce formule ϕ je posloupnost formulí zobrazující, jak lze postupně vytvořit formuli ϕ z atomů pomocí spojek. Syntaktický strom je alternativní reprezentace struktury dané formule. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
21 Pravdivostní funkce Definice n-argumentová funkce přiřazuje n-ticím pravdivostních hodnot pravdivostní hodnoty. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
22 Logické operátory jakožto pravdivostní funkce Logické operátory operují na extenzích vět. Extenze vět jsou pravdivostní hodnoty. Tudíž logické operátory lze chápat jako pravdivostní funkce. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
23 Jednoargumentové pravdivostní funkce x f 1 f 2 f 3 f (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
24 Dvouargumentové pravdivostní funkce x y f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f x y f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
25 Pravdivostní tabulka negace x f (x) (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
26 Ostatní spojky x y f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
27 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
28 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
29 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
30 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
31 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
32 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
33 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
34 Cvičení: Formalizujte následující věty Jestliže přijde brzy podzim nebo v létě začne hodně pršet a bude zima, pak pokud budu zdravý, dopíšu knihu a začnu s rekonstrukcí bytu. Václav nastartoval auto a odjel. Sokratés a Aristotelés jsou filosofové. Soužití psa a člověka trvá již 130 tisíc let. Karel, ani Petr nejsou trémisti. Petr přišel, ale už bylo pozdě. Na poskytnutí příspěvku nebo půjčky není nárok. Ubytujeme vás jen za předpokladu, že nemáte žádná zvířata. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
35 Interpretace Formální sémantika klasické výrokové logiky Interpretace je funkce, která přiřadí každému atomickému výroku nějakou pravdivostní hodnotu. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
36 Tarského definice pravdy I = p p.t.k. I(p) = 1. I = ϕ p.t.k. není pravda, že I = ϕ. I = ϕ ψ p.t.k. I = ϕ a I = ψ. I = ϕ ψ p.t.k. I = ϕ nebo I = ψ. I = ϕ ψ p.t.k. není pravda, že I = ϕ nebo platí, že I = ψ. I = ϕ ψ p.t.k. I = ϕ právě tehdy, když I = ψ. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
37 Model a kontra-model formule, model množiny formulí Definice Interpretace I je modelem formule ϕ p.t.k. I = ϕ. Interpretace I je kontra-modelem formule ϕ p.t.k. I není modelem formule ϕ. Interpretace I je modelem množiny formulí p.t.k. I je modelem každé formule z této množiny. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
38 Pojem vyplývání Definice Závěr vyplývá z předpokladů, když každý model předpokladů je modelem závěru. (Ekvivalentně: Neexistuje model předpokladů, který by současně byl kontra-modelem závěru.) Značíme: T = ϕ. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
39 Logická ekvivalence ϕ, ψ jsou logicky ekvivalentní formule, když ϕ = ψ a ψ = ϕ. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
40 Sémantické pojmy Formule je splnitelná, když je alespoň v jedné interpretaci pravdivá. Množina formulí je splnitelná, když má model. Formule je tautologie, když je v každé interpretaci pravdivá. Formule je kontradikce, když není v žádné interpretaci pravdivá. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
41 Sémantické pojmy Formule je splnitelná, když je alespoň v jedné interpretaci pravdivá. Množina formulí je splnitelná, když má model. Formule je tautologie, když je v každé interpretaci pravdivá. Formule je kontradikce, když není v žádné interpretaci pravdivá. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
42 Sémantické pojmy Formule je splnitelná, když je alespoň v jedné interpretaci pravdivá. Množina formulí je splnitelná, když má model. Formule je tautologie, když je v každé interpretaci pravdivá. Formule je kontradikce, když není v žádné interpretaci pravdivá. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
43 Sémantické pojmy Formule je splnitelná, když je alespoň v jedné interpretaci pravdivá. Množina formulí je splnitelná, když má model. Formule je tautologie, když je v každé interpretaci pravdivá. Formule je kontradikce, když není v žádné interpretaci pravdivá. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
44 Sémantické pojmy Formule je splnitelná, když je alespoň v jedné interpretaci pravdivá. Množina formulí je splnitelná, když má model. Formule je tautologie, když je v každé interpretaci pravdivá. Formule je kontradikce, když není v žádné interpretaci pravdivá. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
45 Důležité tautologie ϕ ϕ (princip vyloučeného třetího) (ϕ ϕ) (princip sporu) ϕ ϕ (princip dvojí negace) (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
46 Příklady logických ekvivalencí (ϕ ψ) je log. ekviv. s ϕ ψ (ϕ ψ) je log. ekviv. s ϕ ψ ϕ (ψ χ) je log. ekviv. s (ϕ ψ) (ϕ χ) ϕ (ψ χ) je log. ekviv. s (ϕ ψ) (ϕ χ) (ϕ ψ) χ je log. ekviv. s (ϕ χ) (ϕ χ) (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
47 Vztahy mezi spojkami ϕ ψ je log. ekviv. s ϕ ψ ϕ ψ je log. ekviv. s (ϕ ψ) ϕ ψ je log. ekviv. s (ϕ ψ) ϕ ψ je log. ekviv. s ( ϕ ψ) ϕ ψ je log. ekviv. s ϕ ψ ϕ ψ je log. ekviv. s ( ϕ ψ) (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
48 Vztahy mezi sémantickými pojmy ϕ je tautologie právě tehdy, když ϕ je kontradikce. ϕ = ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. ϕ je log. ekvivalentní s ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. T = ϕ právě tehdy, když T { ϕ} není splnitelná. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
49 Vztahy mezi sémantickými pojmy ϕ je tautologie právě tehdy, když ϕ je kontradikce. ϕ = ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. ϕ je log. ekvivalentní s ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. T = ϕ právě tehdy, když T { ϕ} není splnitelná. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
50 Vztahy mezi sémantickými pojmy ϕ je tautologie právě tehdy, když ϕ je kontradikce. ϕ = ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. ϕ je log. ekvivalentní s ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. T = ϕ právě tehdy, když T { ϕ} není splnitelná. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
51 Vztahy mezi sémantickými pojmy ϕ je tautologie právě tehdy, když ϕ je kontradikce. ϕ = ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. ϕ je log. ekvivalentní s ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. T = ϕ právě tehdy, když T { ϕ} není splnitelná. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
52 Axiomatizace výrokové logiky Axiomatizace Definice Hilbertovský kalkul pro klasickou výrokovou logiku sestává ze tří axiomatických schémat H1 ϑ (χ ϑ), H2 (ϑ (χ γ)) ((ϑ χ) (ϑ γ)), H3 ( χ ϑ) (ϑ χ), a odvozovacího pravidla modus ponens: mp ϑ, ϑ χ/χ. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
53 Axiomatizace výrokové logiky Úplnost a korektnost Hilbertovského kalkulu Věta o korektnosti: Jestliže ψ je odvoditelná z ϕ 1,..., ϕ n, pak ϕ 1,..., ϕ n = ψ. Věta o úplnosti: Jestliže ϕ 1,..., ϕ n = ψ, pak ψ je odvoditelná z ϕ 1,..., ϕ n. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
54 Axiomatizace výrokové logiky Úplnost a korektnost Hilbertovského kalkulu Věta o korektnosti: Jestliže ψ je odvoditelná z ϕ 1,..., ϕ n, pak ϕ 1,..., ϕ n = ψ. Věta o úplnosti: Jestliže ϕ 1,..., ϕ n = ψ, pak ψ je odvoditelná z ϕ 1,..., ϕ n. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
55 Axiomatizace výrokové logiky Úplnost a korektnost Hilbertovského kalkulu Věta o korektnosti: Jestliže ψ je odvoditelná z ϕ 1,..., ϕ n, pak ϕ 1,..., ϕ n = ψ. Věta o úplnosti: Jestliže ϕ 1,..., ϕ n = ψ, pak ψ je odvoditelná z ϕ 1,..., ϕ n. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 29
Rejstřík. ekvivalentní transformace 89 extenze 162
Rejstřík A analýza 13 Aristotelés 111 aritmetika 250 elementární 250 Peanova 251 Presburgerova 251 Robinsonova 250 standardní model 251 axiom 247 distribuce 247, 269 identity 269, 292 indukce (schéma)
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM
Základy informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
Úvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1
Úvod do predikátové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 1 Relace Neuspořádaná vs. uspořádaná dvojice {m, n} je neuspořádaná dvojice. m, n je uspořádaná dvojice. (FLÚ AV ČR) Logika:
Formální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Klasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
Důkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné
teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
Klasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
Základy logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17
Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
Výroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.
Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.
přednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
Výroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13
Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 13 Axiomatizace predikátové logiky Axiomatizace predikátové logiky Definice Hilbertovský
Kapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
Sylogistika. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 16
(FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 16 Výstavba logické teorie Sylogistika 1) Syntax základní symboly (logické, mimologické) gramatická pravidla (pojem formule) 2) Sémantika pojem interpretace
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
Matematická logika. 1
Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická
Základní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Výroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
Úvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky doc. PhDr. Jiří
1.4.4 Negace složených výroků
1.4.4 Negace složených výroků Předpoklady: 1401, 1402, 1403 Negace konjunkce: Př. 1: Doplň následující tabulku pravdivostních hodnot výroků: 1 1 1 0 0 1 0 0 a b ( a b) a b ( a b) 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková
09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Vysoká škola ekonomická v Praze
Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Student Vedoucí bakalářské práce : Marek Nekvasil : RNDr. Jiřina Vejnarová, CSc. TÉMA BAKALÁŘSKÉ
Jak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
Matematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Matematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Úvod do teoretické informatiky(2015/2016) cvičení 6 1
Úvod do teoretické informatiky(2015/2016) cvičení 6 1 Cvičení 6 Příklad 1: Pro každou z následujících sekvencí symbolů rozhodněte, zda se jedná o a) term, b) formuli predikátové logiky(používejte běžné
Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]
![Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]](/thumbs/92/108888591.jpg "Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]")
Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:
1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto
Cvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.
Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
Matematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika
Výroková logika syntaxe a sémantika
syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Úvod do teoretické informatiky
Úvod do teoretické informatiky Zdeněk Sawa Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 11. února 2018 Z. Sawa (VŠB-TUO)
Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka
Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B
1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY
Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
Výroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
Logika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
Predikátová logika dokončení
Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
Rejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79
Rejstřík Rejstřík A antecedent 27 Aristotelés 13 axiom 163 nezávislá množina 164 axiomatické systémy 163 axiom distributivity 222 axiomová schémata 164 B Beth 197 bezesporný 171 Bolzano 14 booleovské funktory
Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu
Jiří Raclavský (214): Úvod do logiky: klasická výroková logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.216, OPVK) Úvod
Systém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
Sémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
Další (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20
Predikátová logika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20 Jazyk predikátové logiky Má dvě sorty: 1 Termy: to jsou objekty, o jejichž vlastnostech chceme hovořit. Mohou být proměnné. 2 Formule:
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma
Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou matematika, ostatní přírodní
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,
1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
Predikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
Kvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků