POČÍTAČOVÁ PODPORA LITÍ A TUHNUTÍ ODLITKŮ studijní opora

Transkript

1 Vysoá šola báňsá Techncá nverzta Ostrava Falta metalrge a materálového nženýrství POČÍTAČOVÁ PODPORA LITÍ A TUHNUTÍ ODLITKŮ stdní opora Jaroslav Beňo Nol Šprtová Ostrava 03

2 Recenze: Ing. Frantše Mšovsý, CSc. Název: Počítačová podpora ltí a thntí odltů Ator: Ing. Jaroslav Beňo, Ph.D., Ing. Nol Šprtová Vydání: první, 03 Počet stran: 03 Stdní materály pro stdní program Metalrgcé nženýrství na Faltě metalrge a materálového nženýrství. Jazyová oretra: nebyla provedena. Stdní opora vznla v rámc proet OP VK: Název: ModIn - Modlární novace baalářsých a navazících magstersých programů na Faltě metalrge a materálového nženýrství VŠB - TU Ostrava Číslo: CZ..07/..00/ Jaroslav Beňo, Nol Šprtová VŠB Techncá nverzta Ostrava ISBN

3 OBSAH. TEORETICKÝ ROZBOR TUHNUTÍ A CHLADNUTÍ ODLITKŮ Thntí (rystalzace) odltů Odlšnost strtry tavenny a thé fáze Termodynama rystalzace Kneta rystalzace.... Vzn rystalzačních zárodů - nleace Homogenní nleace Heterogenní nleace Krystalzace sltn v reálných podmínách Růst rystalů Prmární rystalzace odltů Dendrtcý růst odltů....3 Thntí odltů Mrofologe thntí Kneta thntí Průběh a doba thntí odlt... 3 VYUŽITÍ VÝPOČETNÍ TECHNIKY PRO SIMULACI LITÍ A TUHNUTÍ ODLITKŮ Sočasný stav výpočetní techny ve slévárensé technolog Možnost smlačních programů Trendy vývoe smlačních programů MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ SLÉVÁRENSKÝCH PROCESŮ Rozdělení modelů Fyzální modelování slévárensých procesů Podobnost systémů Rovnce Fyzálního model Bezrozměrové parametry Stanovení rtérí podobnost pomocí rozměrové analýzy Stanovení rtérí podobnost metodo podobnostní transformace Stanovení rtérí podobnost metodo rozměrové analýzy rovnc

4 OBSAH 4..7 Přehled nerozšířeněších bezrozměrových rtérí Matematcé modelování slévárensých procesů Analytcé metody Počáteční a oraové podmíny Nmercé metody NUMERICKÉ SIMULOVÁNÍ Archtetra smlačních programů Preprocessng Manprocessng Postprocessng VYUŽITÍ SIMULAČNÍCH PROGRAMŮ PRO RŮZNÉ METODY LITÍ Gravtační ltí Ltí do sořepnových forem Tlaové ltí SIMULAČNÍ PROGRAMY VE SLÉVÁRENSTVÍ Hstorcý vývo Přehled smlačních programů MAGMASOFT ProCast PAM CAST / SIMULOR WINCast /SIMTEC Nova Flow & Sold KLÍČ K ŘEŠENÍ

5 Počítačová podpora ltí a thntí odltů Poyny e std POKYNY KE STUDIU Počítačová podpora ltí a thntí odltů Pro předmět Počítačová podpora ltí a thntí odltů 4. semestr stdního obor Moderní metalrgcé technologe ste obdržel stdní balí obsahící ntegrované srptm pro ombnované stdm obsahící poyny e std.. Prerevzty Pro stdm tohoto předmět se předpoládá absolvování předmět: Teore slévárensých pochodů Slévárenství sltn neželezných ovů Metalrge ltn Dagnosta a řízení valty odltů. Cílem předmět a výstpy z čení Cílem předmět e seznámení stdenta se zálady matematcého a fyzálního modelování slévárensých procesů. V rámc stda bde poslchač seznámen s možností požtí smlačních programů s vyžtím výpočetní techny pro návrh a výrob model, odltů a forem. Stdent dále bde seznámen s možnostm predce řešení onstrce a elmnace vzn vad. V rámc stda srpta stdent navíc zísá nformace o možnostech vyžtí smlačních programů pro specální technologe výroby odltů. Po prostdování předmět by měl stdent být schopen: výstpy znalostí: - stdent bde znát zálady modelování fyzálních vlastností materálů - stdent se bde orentovat v možnostech požtí smlačních programů pro ednotlvé postpy výroby odltů výstpy dovedností:. - stdent bde mět vytvořt a zpracovat vrtální model včetně technologcého postp výroby - stdent bde mět aplovat metody výpočetní techny pro výrob odlt Pro oho e předmět rčen Předmět e zařazen do magstersého stda obor Moderní metalrgcé technologe stdního program Metalrgcé nženýrství, ale může e stdovat záemce z teréhoolv ného obor, pod splňe požadované prerevzty. 5

6 Počítačová podpora ltí a thntí odltů Poyny e std Stdní opora se dělí na část, aptoly, teré odpovídaí logcém dělení stdované láty, ale neso steně obsáhlé. Předpoládaná doba e std aptoly se může výrazně lšt, proto so velé aptoly děleny dále na číslované podaptoly a těm odpovídá níže popsaná strtra. Př std aždé aptoly doporčeme následící postp: Čas e std: xx hodn Na úvod aptoly e veden čas potřebný prostdování daného úse láty. Časový harmonogram e poze orentační, záleží poze na schopnostech daného stdenta a na tom, zda se ž s dano problemato setal anebo má v daném obor ž bohaté zšenost Tento úda Vám může složt ao hrbé vodíto pro rozvržení stda celého předmět nebo aptoly. Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat... popsat... vyřešt... Ihned potom so vedeny cíle, terých by ste měl dosáhnot po prostdování dané aptoly, tzn. onrétní dovednost a znalost Výlad Následe vlastní výlad stdované láty, zavedení nových pomů a ech vysvětlení, vše e doprovázeno obrázy, tablam, přílady a lteratro ze teré lze čerpat pro další stdm nebo v případě neasností něterých pomů. Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Na závěr aptoly so zopaovány hlavní pomy, teré ste s měl osvot. Pod něterém z nch nerozmíte, vraťte se něm eště edno. Otázy probraném čv Za účelem ověření, že ste dobře a úplně lát aptoly zvládl, máte dspozc něol teoretcých otáze. Klíč řešení Výsledy teoretcých otáze so vedeny v závěr stdní opory v Klíč řešení. Požívete e až po samostatném zodpovězení úloh, en ta s samostatně ověříte, že ste obsah aptoly stečně úplně zvládl. Úspěšné a příemné stdm s toto oporo Vám přee ator výového materál - Jaroslav Beňo 6

7 Způsob omnace s vyčícím: Počítačová podpora ltí a thntí odltů Poyny e std Během stda daného předmět pro dělení zápočt msí stdent předložt semestrální prác, eíž téma bde voleno ndvdálně s ohledem na předchozí zšenost stdenta se smlačním slévárensým programy, popřípadě s ohledem na eho pracovní zařazení. Pro úspěšné dělení zápočt, msí daná práce splňovat formální obsahové náležtost, teré bdo zadány na počát přímé ontatní výy. Během stda, nad rámec ontatní výy, so možné ndvdální onzltace, po předchozí domlvě s vyčícím předmět.. Kontatní údae na vyčícího: Ing. Jaroslav Beňo, Ph.D aroslav.beno@vsb.cz 7

8 Thntí a chladntí odltů. Teoretcý rozbor thntí a chladntí odltů. Thntí (rystalzace) odltů Čas e std: 9 hodn Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat spořádání thé fáze a tavenny; defnovat mechansmy a prncpy vzn zárodů a růst rystalů defnovat vlv materálových vlastností formy na eí termo-fyzální vlastnost popsat termodynamcé a netcé podmíny rystalzace; popsat záladní rozdíly mez homogenní a heterogenní nleací, popsat rystalzac v reálných podmínách vyřešt rtco velost zárod; vyřešt dob thntí odlt Výlad Výroba odltů do slévárensých forem představe složtý dě spoený s procesem prostorového přenos neen tepla, ale hmoty př soběžně probíhaících fyzálněchemcých děích v nestaconárních podmínách. S ohledem na čas, př terém daný proces probíhá, lze celý proces přenos tepla mez odltem a formo rozdělt na thntí a chladntí odlt. Na mechansm thntí (rystalzace) sltn závsí mrostrtra sltny a tdíž eí mechancé vlastnost. Thntí sltn má dvě stáda: nleac rystalů růst rystalů Př nleac vznaí na mnoha místech v tavenně stablní zárody bdocích rystalů. Každý rystal postpně roste, a to ta dloho, než se ednotlvé rystaly setaí. Z aždého zárod rystal pa vzná zrno thého rozto s vlastní orentací rystalové strtry nebo částc né fáze (Obr..). Z tohoto důvod so obecně ovové materály polyrystalcé. 8

9 Thntí a chladntí odltů Obr.. Nleace a růst rystalů v ov (l - tavena, s - thá fáze).. Odlšnost strtry tavenny a thé fáze Kovy a sltny v thém stav se vlvem působení vazebních sl vyznačí pravdelným spořádáním atomů v prostor, čímž vzná rystalcá mříža. Jeí geometrcé vlastnost so charaterzovány elementární bňo. V aždé rystalové mřížce, nevyímae čsté ovy, exstí různé porchy. V mřížce so rčté zlové polohy neobsazené atomy, vznaí tzv. vaantní místa, echž počet se mění s teploto. Vedle vaantních míst, terá patří bodovým porchám, se v rystalové mřížce vysytí eště čárové porchy (dsloace), teré prostpí rystalovo mřížo v rčtých rovnách. Tavenny, steně ao thé fáze patří tzv. ondenzovaným fázím, de vlvem dostatečně těsného přblížení se atomů dochází významné deformac eletronového obal a sté oletvzac vněších eletronových obalů, což společně vytváří vazebné síly, eíchž působením so atomy držovány v rčtých polohách. Neznáměší pozorovatelný rozdíl mez apalným a thým stavem spočívá v tetost, t. schopností zaplnt prostor, v němž se láta nachází. K výrazným rozdílům mez važovaným stavy patří větší entrope apalny, větší stlačtelnost a teplotní roztažnost tavenny vyšší hodnoty oefcent dfúze v tavenně. Podle vaantní teore, resp. teore děr, vypracované EYRINGEM, resp. FRENKELEM, v tavenně e prostorové spořádání atomů podobné spořádání v thém stav s vyímo výrazně vyššího počt vaancí. Rozdíl mez tho fází a tavenno se proeve především v hstotě vaancí, terá e v tavenně v blízost teploty tání výrazně vyšší (o něol řádů) než v thé fáz, poblíž této teploty. Jným slovy s teploto počet děr roste a roste ta celový obem tavenny. Naopa př přechod teté fáze na fáz tho (v solad se změno spořádání z blízé na větší vzdálenost) se mění obem... Termodynama rystalzace Krystalzací e označována fázová přeměna doprovázená změno obem za sočasného volnění spensého tepla rystalzace. Průběh rystalzace e řízen obecným záontostm platným pro všechny fázové přeměny. Obecným rtérem, teré složí působení možnost samovolného průběh lbovolné fázové přeměny e změna volné entalpe G, defnované vztahem: G H T S 9

10 Termodynama a neta rystalzace Kde H e změna entalpe a S změna entrope provázeící tto přeměn. Volná entalpe představe podíl energe, tero sostava může přeměnt v prác, t. v daném případě stečnění fázové přeměny. Př rystalzac čstého ov e změna volné entalpe dána rozdílem volných entalpí daného ov v thém (GS) a v apalném (GL) stav: G G S G L Exste teplota, př níž původní fáze a fáze nově vznaící e ve stav termodynamcé rovnováhy. Podmíno rovnováhy e rovnost volné entalpe DG obo fází (Obr..) Obr.. Změna volné entalpe G s teploto pro tho a teto fáz ov Příčno rystalzace e snaha ov nebo sltny dosáhnot př ochlazení stablního stav. Z hledsa termodynamcých záontostí e stablní stav defnován mnmální volno entalpí. Nad teploto T 0 (Obr..) so hodnoty volné entalpe tavenny nžší a proto e termodynamcy stablněší než fáze rystalcá. Př teplotě T 0 exste rovnováha mez oběma fázem. Označe se ao teoretcá teplota rystalzace. Jelož e rystalzace dfúzním pochodem, nelze očeávat eí započetí př teplotě T 0. Msí doít rčtém přechlazení T pod tto teplot ta, aby změna volné entalpe G mez původní a nově vznaící fází byla dostatečná tom, aby byla vlastní rystalzace podnícena. Rozdíl entalpí (G) hradí vešero prác, terá e ntná pro vzn a růst zárodů. V prax stečný vzn zárodů rystalzace probíhá př přechlazení menším než 0 C. 0

11 ..3 Kneta rystalzace Termodynama a neta rystalzace Z hledsa nety se rystalzace sládá ze dvo na sobě nezávslých děů, t. vzn zárodů rystal a eho růst v závslost na teplotním gradent (rovnné, bněčné, dendrtcé).. Jným slovy přemístění mezfázové hrance směrem do teté fáze. Každý z těchto hlavních děů e složen z něola dalších dílčích děů. Z nchž nepomaleší dě lmte rychlost celého děe. Napřílad v případě nleace se stečňe shromáždění vhodných drhů atomů dfúzním nebo ným pohybem, ech vzáemné vntřní spořádání, vytvoření mezfázové hrance apod. Steně ta růst zahrne transport atomů staro fází, ech přeso mezfázovo hrancí a transport atomů novo fází. Většna těchto děů e tepelně atvována, tzn., že energetcé baréry so přeonávány tepelným pohybem energetcy atvovaných atomů nebo ech spn. Přechod tavenny v tho rystalco fáz lze stdovat ze dvo hledse: Z hledsa rychlost růst nové fáze v závslost na podmínách odvod tepla z tavenny. Jným slovy na záladě obem vzrostlé thé fáze za daných podmíne ochlazování. Z fyzálně - chemcého hledsa (mechansm thntí) Př vysoé rychlost tvorby rystalzačních zárodů (velý počet zárodů) a malé lneární rychlost dalšího růst rystal e výsledná strtra tvořena emným zrny a naopa př nízé rychlost vzn rystalzačních center a vysoé lneární rychlost růst vznaí hrbá polyedrcá zrna. Rychlost tvorby zárodů KZ dle TAMMANNA e defnována: KZ a lneární rychlost růst dendrtů KG: KG pocet cm T 3 LITÍ zarod mn T L x TUH de: - tepelná vodvost tetého ov L - latentní teplo rystalzace x - tlošťa vrstvy teté fáze Grafco závslost změny lneárního růst v závslost na stpn přechlazení pa zachycí Obr. 3a a 3b.

12 Termodynama a neta rystalzace 3a Změna lneární rychlost růst v závslost na stpn přechlazení 3b Změna lneární rychlost růst v závslost na stpn přechlazení (ovy a sltny) Obr.3. Změna lneární rychlost růst K dosažení emněší mrostrtry tedy dochází v případě zvýšení ochlazovací rychlost tavenny, čímž e dosažena vyšší hnací síla thntí. Jemnozrnné materály a materály s emným částcem fází maí vyšší pevnostní vlastnost v porovnání s hrbozrnným. Uvedený postp vša lze poze aplovat malých obemů tavenny, protože velých obemů tavenny nelze ochlazovací rychlost přílš zvyšovat, neboť e lmtována odvodem tepla z roztavené sltny. Pro zemnění mrostrtry se proto ve větší míře požívá očování. Prncpem očování e úmyslné vnášení emných czorodých částc do tavenny, teré se stávaí rystalzačním zárody, přčemž e dosaženo rovněž emné mrostrtry. Zárody rystalzace moho vznat samovolně (homogenní nleací) nebo so vneseny do tavenny (heterogenní nleace).

13 Homogenní a heterogenní nleace. Vzn rystalzačních zárodů - nleace Pomem nleace se označe tvorba nové fáze, terá v případě rystalzace e oddělena od svého oolí dsrétní hrancí. K samovolné, nebo-l spontánní nleac bez ovlvnění stěnam, vměsty, přísadam č tlaovým mplsy dochází velm vzácně, obecně lze říct, že se edná poze o nleac v laboratorních podmínách. V taovýchto případech hovoříme o homogenní nleac. V reálných podmínách nleace obvyle začíná na povrch formy, oly č různých částc přítomných v tavenně. V tomto případě se hovoří o heterogenní nleac... Homogenní nleace Tímto termínem se označe vzn zárodů nové fáze vntř oblast staré fáze. Vzná z center shlů atomů, ež vznaí v tavenně přrozeným způsobem. Blíží-l se teplota tavenny teplotě thntí (T t ), dochází v ní přrozené fltac oncentrací, čímž vznaí shly s geometrcy pravdelným spořádáním atomů, teré odpovídá rystalcém stav hmoty, ným slovy e vzn nové fáze. Množství vznlých zárodů za ednot čas a v ednotce obem lze vyádřt statstco pravděpodobností počt homeofáových fltací. Změny v oncentrac so taé doprovázeny změnam v energ sostavy, t. tepelným fltacem. Stečným - atvním - zárody se tyto shly stávaí v oamž, dy so termodynamcy stablní. To znamená, že dsponí menší volno energí než původní tetá fáze. Celová změna volné entalpe př vzn zárodů thé fáze v tavenně e dána volněním volné entalpe př vzn lového zárod o poloměr r a energí ntno vytvoření povrch zárod (hrance zárode - tavenna). Vzhledem malém obem zárodů a tím pádem velém poměr povrch obem, hrae mezfázová energe významno rol. Práce ntná vytvoření zárod (nles) e úměrná volné entalp, terá pro vzn zárod v tavenně e dána vztahem: de: G - celová změna volné entalpe G G V G S G V - změna volné entalpe sostavy př přechod fáze teté ve fáz tho G S - volná entalpe potřebná vytvoření mezfázové hrance Př vytvoření lovtého shl o rozměr r se msí rčté množství energe volnt. 3 Toto množství e defnováno sočnem obem shl ( 4 V r ) a volné energe (volné 3 entalpe) obemové ednoty: E G V 4 r 3 3 G V m m 3

14 Homogenní a heterogenní nleace de: G m - rozdíl molárních volných entalpí thé a teté fáze, terý e př rystalzac záporný V m - měrný molární obem Hodnota volné energe G V, o tero bde snížena energe sostavy, nabývá záporné hodnoty (vzhledem sostavě) a ční sostav termodynamcy stablní. Hodnota energe potřebné vytvoření mezfázové hrance rystal - tavenna e úměrná velost plochy (A) fázového rozhraní () a velost povrchového napětí. Tato energe představe přírůste energe sostavy a proto e ladná. Pro vzn mezfázové hrance pro lový zárode tedy platí rovnce: E GS 4 r Pa celová volná energe (entalpe) př vzn rystalzačního zárod v tavenně e defnována vztahem: E C G G V G S 4 4 r r 3 3 G V Energetcé poměry př tvorbě rystalcých zárodů lze popsat grafcy (Obr. 4), přčemž průběh řvy E odpovídá vadratcé parabole, řva E má charater paraboly bcé. m m Obr.4. Změna volné entalpe (G) zárod v závslost na eho poloměr Maxma sočtové řvy E C = E - E e dosaženo př rtcé velost zárod r r. S ohledem na rtco velost zárod platí, že částce, teré so menší než r r se bdo zpětně rozpoštět, naopa částce větší než r r bdo dále růst, neboť oba děe so spoeny s polesem volné entalpe. Krtco velost zárod lze stanovt pomocí první dervace pro stanovení celové volné energe (stanovení extrém fnce)položené rovno 0 a př dodržení podmíny: 4

15 E C E 0 C 0 r r pa lze rtco velost zárod defnovat dle rovnce: Homogenní a heterogenní nleace r r Vm G m MT lg T de T - stečná teplota rystalzace M - molelová hmotnost rystalzící láty Práce spoená s tvorbo zárod lze odvodt ze vztah E r Vm G Krtcá velost zárod r r e nepřímo úměrná velost podchlazení T (Obr.5). S rostocím podchlazením T lesá poloměr rtcé velost zárod. Krtcé podchlazení tavenny, dy se homogenní zárode stává stablním a e schopen dalšího růst e dle DAVIESE (Obr.6.): T 0, r T t m Obr.5. Závslost rtcé velost zárod na podchlazení Obr.6. Vlv podchlazení na průběh nleace 5

16 Homogenní a heterogenní nleace.. Heterogenní nleace V reálných podmínách probíhá heterogenní nleace př mírněším přechlazení. Krystalzace e vyvolána přítomností různých vměstů oxdů, řemčtanů, ntrdů neovových vměstů apod., rovněž probíhá na stěnách formy a nerovnostech formy. Jedná se o běžno rystalzac, anž by vznlo ntné přechlazení zaháení spontánní rystalzace. Pro vzn rystalů e postačící přechlazení cca 0,0 T t. Z toho vyplývá, že tato rystalzace předchází spontánní rystalzac. Nleace heterogenní probíhá mnohem rychle než homogenní Aby se vměste mohl stát czím rystalzačním zárodem, msí splňovat daná rtéra: msí mít příbzno rystalco mříž zárode msí být smáčen tavenno; Čím e rystalcá příbznost mříže ov a vměst větší, tím menší e úhel smáčení a tím snáze se zárode stává atvním rystalzačním zárodem příměs vnášené do tavenny cílevědomě, př rystalzac působí ao atvní podložy; Označí se ao očovadla (např. T a Zr sltn Al a FeS ltn). Exstí vša další vlvy, teré ovlvňí vlastní průběh rystalzace: Čstota ov (v případě, že ov obsahe plyny, vměsty, vzdch, pa nepotřebe výrazného přechlazení zaháení rystalzace) Pohyb tavenny (aýolv pohyb tavenny, ao např. vbrace, chvění, prodění atd. snže ntné přechlazení tvorbě zárod) Tla (vysoý vněší tla napomáhá rystalzac) Stpeň přehřátí ov př nenžším stpn e neemněší strtra, se zvyšícím se stpněm roste rozměr zrna a potom od rčté rtcé teploty se opět strtra zemňe Fyzální podstata rystalzace z heterogenních zárodů spočívá ve snížení mezfázového napětí v sostavě tavenna - czí částce vznaící zárode a proto e tay hodnota ntné energe pro vzn atvního zárod nžší. Z tohoto důvod probíhá heterogenní rystalzace ž př malém přechlazení. Povrchové mezfázové napětí a smáčvost mez zárodem a tavenno so nedůležtěší velčny, teré rozhodí o tom, zda se czí zárode stane atvním. Povrchové mezfázové napětí a úhel smáčení mez tavenno (T), zárodem (Z) a rystalco fází (K) vznaící na czím zárod (Obr. 7) lze defnovat dle vztah: TZ KZ KT cos de úhel smáčení e roven: TZ cos KT KZ 6

17 Homogenní a heterogenní nleace platt: Obr.7. Heterogenní nleace Podmíno rystalzace tavenny z daného zárod e tedy dobrá smáčvost a msí TZ KZ Čím e úhel smáčení menší, tím větší e předpolad, že zárode bde atvní, schopen většího růst a termodynamcy stablní. Čím e rystalcá příbznost mříže ov a vměst větší, tím menší e úhel smáčení a tím snáze se zárode stává atvním rystalzačním zárodem. Energe potřebná pro vzn heterogenního zárod e dána vztahem G h. z. 4 3 KT A rtcá velost rozměr zárod e r r 3 3cos cos 3G G KT V V 7

18 ..3 Krystalzace sltn v reálných podmínách Krystalzace sltn v reálných podmínách Krystalzační poměry v proces thntí sltn lze hodnott pomocí rovnovážných stavových dagramů (obr.8.). Jech platnost e vša omezena poze na děe ochlazování sltn s velm malo ochlazovací rychlostí. Z důvod exstence teplotního rozdíl mez lvdem a soldem, př aždé teplotě so v termodynamcé rovnováze thá a tetá fáze s různým chemcým složením. Obr.8. Krystalzace sltn v reálných podmínách Složení I odpovídá oncentrac C 0. Př dosažení teploty lvd (t l ) thno první rystaly tavenny, echž složení e C. Vylčováním rystalů thé fáze se postpně mění složení tavenny podél řvy lvd, taže zbyte tavenny thne za teploty (t s ) o oncentrac C L. Za rovnovážných podmíne se bde měnt oncentrace tavenny od C 0 do C L a oncentrace thé fáze od C do C 0. Poměr oncentrací přísad v rystalech a v tavenně lze charaterzovat rozdělovacím oefcentem K. Tento oefcent e defnován dle vztahů: CK C K S 0 CK K L K K S K L C C C 0 L 0 Postpno změno oncentrace thé fáze dochází nehomogentám (první rystaly bohaté na slož A, až na posledně thnocí ochzené složo A), Vytváří se ta celová heterogenta rystal, terá se částečně vyrovnává dfúzí v thé teté fáz, nolv vša úplně. Po sončení rystalzace by se vešeré oncentrační rozdíly měly vyrovnat. Př rychlém ochlazování odltů vša zůstane odmíšení zachováno (segregace). V reálných podmínách rystalzace e ntno počítat en s velm malo účnností dfúze. Vyšší pohyblvost atomů e v tavenně, přesto nelze počítat s rovnoměrno oncentrací ednotlvých prvů v neblžším oolí rystal. Změna oncentrace C L(x) přísadového prv v tavenně (Obr. 9.) v oolí rostocího rystal e příčno změny teploty lvd (t L(x) ), terá e nžší v oolí mezfázového rozhraní a směrem do tavenny se zvyše rovnovážné teplotě lvd t L. 8

19 Krystalzace sltn v reálných podmínách Obr.9. Změna oncentrace přísadového prv B v tavenně na vzdálenost rystalzační fronty. Nenžší teploty (nevyšší přechlazení) e dosaženo na hranc forma-ov, směrem do odlt se teplota zvyše, přčemž maxmální hodnoty dosahe v tepelné ose odlt, t. v místě, teré thne naposledy (Obr.0) Obr.0. Průběh teploty a onsttčního přechlazení tavenny Rozdíl mez průběhem stečné teploty (t t ) a změno teploty lvd (t L(x) ) dává tzv. onsttční přechlazení (t ), ehož hodnota se zvětše s rostocí vzdáleností od hrance rystal a pa lesá až nle. Konsttční přechlazení ovlvňe výsledno prmární strtr rystalzící tavenny a e příčno větvení př růst ovových rystalů. 9

20 ..4 Růst rystalů Krystalzace sltn v reálných podmínách Předpoladem růst rystalů po vzn zárod e větší tepelný to z odlt než z centra povrch odlt, nastává z termodynamcy stablních (atvních) zárodů rystalzace za poles volné energe G sostavy. Jným slovy stálý odvod latentního tepla thntí od mezfázové hrance. Toto e možné poze př rčtém teplotním gradent v oblast přléhaící hranc thá fáze - tetá fáze. Obecně e rychlost růst exponencální fncí energetcých podmíne růst a teploty. Záladní otázo mechansm růst e způsob přpotání atomů na povrch rostocího zárod. K potání atomů z tavenny e ntní, aby na povrch exstovaly vhodné stpně. Neprve dochází růst rystalů z ednotlvých zárodů (mroměříto), pozdě narůstá sovslá vrstva prot směr odvod tepla v daném čase (maro měříto). Za těchto podmíne se rystalzace neřídí rovnovážným podmínam. Byla by dosažena poze př nízé rychlost thntí. Rozvětveno rystalzační strtr lze rozdělt do něola strtr: rovnná strtra, bněčná strtra, bněčno-dendrtcá a dendrtcá strtra...5 Prmární rystalzace odltů Pro vntřní (exogenní) zárody rystalzace platí záladní pravdlo, že pod so v ontat se stěnam formy, přednostně vyrůstaí ve stablní rystaly, pa ltá prmární strtra na povrch odlt se msí sestávat z tola rystalů, vyrůstaících olmo povrch stěny formy. V reálných podmínách (Obr.) obsahe povrchová oblast odlt nahodle orentované rystaly (globlty). V důsled rychlého ochlazování má potom tato lcí ůra né mechancé vlastnost, než střed odlt a zárody, teré so v dobrém ontat se stěnam formy, rosto přednostně. Loální přednostní růst probíhá v místech zvýšené tepelné vodvost. Na tto lcí strtr navaze oblast protáhlých olmnárních rystalů, echž hlavní osy so rovnoběžné se směrem maxmálního odvod tepla z odlt a maí typcý dendrtcý charater. Ve střed odlt se nachází oblast rovnoosých globltcých (polyedrcých) rystalů. U odltů nemsíme vždy tyto typy strtry naít. Strtra odltů e tvořena en z olmnárních rystalů, teré se stýaí v tepelné ose (transrystalzace), nebo naopa e celá strtra rovnoosá. Tohoto zemnění lze dosáhnot dalším zásahy do thntí, např. očováním nebo ršeno rystalzací působením vněších sl (vbrace, ltrazv atd.) 0

21 Krystalzace sltn v reálných podmínách Obr.. Nečastěší strtra v odltcích V techncých sltnách probíhá po prmární rystalzac fázovým přeměnám v thém stav, tzv. přerystalzac, teré rovněž ovlvňí onečno strtr odltů (např. přeměna fert v astent př poles teploty)...6 Dendrtcý růst odltů Tento drh rystalzace e typcý právě pro sltny Fe. Předpoladem pro dendrtcý růst e vysoá rystalzační rychlost. Za exstence podmíne rychlé rystalzační rychlost a podchlazené vrstvy tavenny před mezfázovým rozhraním (onsttční přechlazení) se výrazně platňí rystalografcé vlvy, energetcé porchy a výstpy - nerovnost na hrančním povrch zárod (rystal). Na nch se začno ládat atomy dfndící z tavenny prot směr ochlazování rychle a rystal se protahe a roste do víceosého stromeč(obr.) s výrazno hlavní oso. Obr.. SEM obráze dendrt a eho model S rostocí rychlostí rystalzace se vyvíí zřetelně dendrtcá strtra a vzná hsté síťoví sendárních a tercárních os do stromečovtého tvar. Př velé rychlost ochlazování se vzdálenost mez prmárním větvem zmenší, až sendární a tercární větve zanaí.

22 Thntí odltů.3 Thntí odltů Thntím se rozmí postp rystalzačních vrstev, ech směrněnost za účelem vysoé vntřní homogenty odlt a řada průvodních evů thntí. Poem thntí odlt má všeobecněší smysl, než poem rystalzace. Kromě fázové přeměny zahrne morfologcé, fyzální a obemové změny. S ohledem na výše vedené procesy nás zaímá především neta thntí.3. Mrofologe thntí Vzhledem postp thntí v obem odlt se rozlší dvě morfologe thnt Exogenní Endogenní U exogenního thntí se zárody nacházeí na povrch formy a thntí postpe od povrch odlt do eho střed. Rozlšeme (Obr.) : a)thntí na hladé vrstvě rystalů (s rovnným fázovým rozhraním). a)thntí na člentém fázovém rozhraní. a3)hobovté thntí se slně rozvětveným dendrty. U endogenního thntí se romě toho vytvářeí zárody a z nch rystaly v celém obem tavenny. Rozlšeme (Obr.3) : b) Kašovté thntí. Jde o obemové thntí. b)vrstevnaté thntí, rovněž obemové thntí; od povrch se vša tvoří vrstva globltcých rystalů. Obr.3. Morfologe thntí

23 .3. Kneta thntí Thntí odltů V reálných podmínách přchází v úvah poze thntí sltn v nterval teplot. Během thntí pa moho vedle sebe exstovat tř pásma (Obr. 3). Od povrch ve sty s formo e to pásmo thého ov (x), ehož tlošťa se s časem nestále zvětše. Vedle ně exste dvofázové pásmo (), ehož šířa závsí na nterval thntí a teplotním gradent, s časem se rozšře. Posledním pásmem, e pás tavenny, ehož šířa se stále zmenše. Tepelno oso pa rozmíme množn bodů, de se setávaí rystalzační plochy (zosoldy). Šířa dvofázového pásma, teré e omezeno plocham zosold a zolvd, ovlvňe výsyt a rozsah mropórovté strtry. V případě šroého pásma vznaí zolované ostrůvy tavenny v oblast tepelné osy, echž thntím a smrštěním vznaí mrostaženny. Šíř dvofázového pásma ovlvňe: Interval thntí sltny (to e defnováno chemcým složením sltny Rychlost ochlazování (tepelná amlace formy b f ) b f c f f f de: f - tepelná vodvost formy c f - měrné teplo formy f -obemová hmotnost formy Čím e amlační schopnost formy vyšší, tím e příčný teplotní gradent větší a tím dvofázové pásmo e žší..3.3 Průběh a doba thntí odlt Proces thntí odlt od stěny formy probíhá rčto rychlostí, tero lze poszovat podle tlošťy zthlé vrstvy sltny za ednot čas (obr.4.) Pro výpočet doby thntí vycházíme z tepelné blance odlt a formy př thntí: Q = Q [J] Kde ndexem e označen odlte, ndexem pa forma Pro poloneonečno form tvar desy můžeme Q zednodšeně vyádřt vztahem: Q S x L c ( s T T ) K rčení množství tepla, ež přala (amlovala) forma se vychází z rovnce rozdělení teplot ve formě, terá odpovídá průběh Gassovy řvy. T T T T p v v e 0 d G( x a 3

24 Thntí odltů 4 Rychlost odvod tepla z ov do formy pa odpovídá hstotě tepelného to: a T T x t d dq q v p s ) ( ) ( ) ( Obr.4. Podmíny thntí na rozhraní forma - ov A množství tepla prošlého celovo ploch odlt S: f v p f f f v p s b T T S c S T T d q S Q ) ( ) ( 0 ) ( Po zednodšení předchozích rovnc a dosazení do vztah pro Q = Q : f s b T S T T c L V ) ( se zísá defnční vztah pro výpočet doby thntí: Kde podíl S V R e relatvní tlošťa (modl) odlt, tero defnoval CHVORINOV. Relatvní tlošťa odlt e poměr obem odlt (eho tepelné apacty) povrch. Pa s rostocí masvností odlt (s rostocím R) se prodlže doba thntí. 4 ) ( ) ( f s b T t t c L S V

25 Thntí odltů Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Volná entalpe Zárode Homogenní nleace Heterogenní nleace Konsttční přechlazení Segregace Dendrt Tepelná amlace formy Modl (relatvní tlošťa) Otázy probraném čv. Ja probíhá thntí sltn, aé stáda rozeznáváme?. Na čem závsí mrostrtra sltny a tdíž eí mechancé vlastnost? 3. Čím lze ovlvnt charater mrostrtry? 4. Čím e vyvolán samovolný průběh lbovolné fázové přeměny? 5. Co e příčno rystalzace ovů nebo sltn? 6. Jaý e rozdíl mez homogenní a heterogenní nleací? 7. Který způsob vzn zárodů se platňe v reálných podmínách thntí ovů a sltn? 8. Jaé podmíny msí mít vměste, aby se mohl stát rystalzačním zárodem? 9. V čem spočívá fyzální podstata rystalzace z heterogenních zárodů? 0. Co e to segregace?. Jaé drhy rystalů můžeme ve strtře odlt nalézt. Jaé drhy thntí rozeznáváme 3. Co e to tepelná osa 4. Čím lze ovlvnt šíř dvofázového pásma pozorovatelného thntí odltů 5

26 Thntí odltů Požtá lteratra, tero lze čerpat dalším std HAVLÍČEK, F.: Teore slévárenství (výběr z přednáše). VŠB TU Ostrava, Ostrava, 99. s.30 JELÍNEK, P.: Slévárenství. VŠB TU Ostrava, Ostrava, 000. s.5 MYSLIVEC, T.: Fyzálně chemcé zálady ocelářství. SNTL, Praha, 97, s. 445 MICHNA, Š., NOVÁ, I.: Technologe a zpracování ovových materálů. ADIN, Prešov, 008, s. 36, ISBN VOJTĚCH, D.: Kovové materály. VŠCHT Praha, Praha, 006, s. 85, ISBN ISBN: PŘIBYL, J.: Thntí a náltování odltů. SNTL, Praha, 954, s.3 KUBÍČEK, L.: Krystalzace ovů a sltn. VŠCHT Praha, Praha, 99, s. 38, ISBN KUCHAŘ, L. Metalrge čstých ovů. VŠB TU Ostrava, Ostrava, 988, s. 338 STEFANESCU, D.M. Soldfcaton and modelng of cast ron A short hstory of the defnng moments. Materals Scence and Engneerng A (005)

27 Vyžtí výpočetní techny pro smlac ltí a thntí odltů Vyžtí výpočetní techny pro smlac ltí a thntí odltů. Sočasný stav výpočetní techny ve slévárensé technolog Čas e std: hodny Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat možnost oblast vyžtí výpočetní techny ve slévárensé prax, teré evy př řešení thntí a chladntí odltů lze pomocí smlačních programů defnovat a řešt. Dále popsat rozdíly v ednotlvých běžně požívaných smlačních programech popsat hlavní problémy, teré so pomocí smlačních programů řešeny v oblast plnění písové formy, pro formy trvalé a pro oblast ltí odltů pod tlaem; ve fáz thntí a chladntí soběžně s materálovým vlastnostm a možnost úprav př přípravě postp výroby odltů... Výlad Výroba odltů do slévárensých forem představe složtý dě spoený s procesem prostorového přenos neen tepla, ale hmoty př soběžně probíhaících fyzálněchemcých děích v nestaconárních podmínách. S ohledem na čas, př terém daný proces probíhá, lze celý proces přenos tepla mez odltem a formo rozdělt na thntí a chladntí odlt. Bez možnost vyžtí potřebné výpočetní techny bylo thntí a rystalzace ovů a ech sltn sledováno nečastě pomocí metalografcých rozborů marostrtry a mrostrtry. Zhrba od 80. let mnlého století začaly vznat první smlační softwary zaměřené na thntí odltů. Zdoonalováním výpočetní techny a rozvoem expermentálních techn byly rovněž zdoonalovány smlační programy, pomocí terých lze stdovat a sledovat thntí odlt neen v celém omplex, ale rovněž v rátých časových ntervalech. Z tohoto pohled se nmercé smlace staly často a efetvně vyžívaným nástroem vyžívaným neen pro optmalzac navrhovaných technologí výroby odltů, ale opěrným bodem ve výzm tepelných děů v sostavě odlte forma oolí. Moderní smlační programy zahrní predc tavenny během plnění formy, vzáemno nterac ov a formy, deformace odlt - pntí a predc strtry mrostrtry odlt. Jednotlvé modely započítávaí přestp tepla, rychlost a způsob formy, prodění ov ve formě, net thntí, tvorb strtr, modely pórovtost, odmíšení v nterval thntí a v neposlední řadě výpočet pntí. 7

28 Vyžtí výpočetní techny pro smlac ltí a thntí odltů I dyž má aždá technologe výroby odltů své odlšnost a specfa, v sočasné době exstí plnohodnotné nmercé smlace pro většn běžně požívaných technologí výroby odltů. Jedná se zeména o technologe gravtačního odlévání do písových a ovových forem, dále so zpracovány modely pro nízo- vysootlaý způsob odlévání odltů, pro metod Lost foam a pro tzv. procesy Sem-sold.. Možnost smlačních programů S nestálým vývoem v oblast hardware a software roste rovněž možnost a přesnost výpočtů a smlační programy so nestále zdoonalovány. Pomocí smlačních programů so v dnešní době řešeny následící hlavní spny problémů: Ve fáz plnění lascé písové formy: výpočet doby plnění formy daného různým rtér způsob plnění tavenny a míst vzn trblence, vírů sledování tla a teploty v tavenně rychlost prodění ov v ednotlvých částech systém (charater prodění závsí na hodnotě Reynoldsova rtéra) Ve fáz thntí: časy thntí, teplotní gradenty a chladící poměry v aždém bodě výpočet teplotních polí, podíl teté fáze, staženn a ředn teplotní zatížení ader a formy řvy chladntí v teréolv oblast účnnost exotermcého č zolačního nástavce segregace prvů Ve fáz chladntí a s tím sovseící materálové vlastnost: rozložení napětí v odlt a částech formy a ader deformac odlt a formy v závslost na čase a rozložení teploty teplotní a dfúzní to rčení strtry materál v různých etapách chladntí výpočet doby transformace (dle ARA, IRA dagramů) výpočet mechancých vlastností materál, výpočet tvrdost zahrntí vlv formy na průběh graftcé expanze 8

29 Vyžtí výpočetní techny pro smlac ltí a thntí odltů Pro technolog ltí do ovových forem (gravtační, č tlaové) rozložení teplotního pole v ednotlvých etapách výrobního cyl teplotní zatížení ader a formy prodění ov napětí v různých částech formy a odlt návrh tlaů pro ednotlvé roy proces návrh technologcy optmálních časů teplotní režm př náběh výroby otevření a zavření formy defnovat v závslost na čase nebo na teplotě vlv postřů a nátěrů ontrola fnce chladících análů Technolog může pomocí smlačního software pravovat a dolaďovat: optmalzac vtoové sostavy optmální místění nált a chladíte redc velost a počt nált a chladíte mnmalzac zbytových napětí a optmalzac rozložení napětí po vychladntí odhad a mnmalzac deformace, zrocení a smrštění optmalzac podmíne plnění tlaového ltí, časů a optmalzace lcího cyl, redc teplotního namáhání ader zlepšení fnce chladících anál v závslost na nformacích z termočlán př tlaovém ltí Kvalta ednotlvých smlačních programů, ech vypovídaící hodnota včetně shody výsledů smlace s reálným dě e ovlvněna především následícím oolnostm:. valto matematcého pops dílčích děů - t. rozpracováním Forerovy dferencální rovnce vedení tepla, terá e slně ovlvněna správností volby počátečních a oraových podmíne;. zahrntím odchyly chování a stav odlévaného materál od deálního předpolad ednofázového stav tavenny (např. nenewtonsá apalna, teplotní závslost postpného volňování latentního tepla př thntí tavenny atd.); 9

30 Vyžtí výpočetní techny pro smlac ltí a thntí odltů 3. tepelně-fyzálním defnováním vlastností forem odlévaného materál v závslost na teplotě v celé potřebné šíř teplotního nterval. Neméně důležtým fatorem e fat, aým způsobem tyto smlační programy defní prodění apalny pomocí záona zachování hmoty (rovnce ontnty) a hybnost (Naver-Stoesův záon), přenos tepla př thntí a chladntí odltů (Forerova dferencální rovnce), úroveň zbytových č vntřních pntí, záony mechany thého tělesa př plastcé a elastcé deformac atd. S tím e úzce spoena volba výchozích a oraových podmíne řešení, teré výrazně ovlvňí výsledy nmercé smlace Poměrně velým problémem př smlačních výpočtech e stanovení hodnot potřebných tepelně-fyzálních velčn v závslost na teplotě. Toto e nečastěší příčno rozdílů mez výsledy zísaným smlačním výpočtem a expermentálním měřením př srovnatelných podmínách. Nmercá smlace a modelování hrae důležto rol př sočasné optmalzac a plánování slévárensých procesů. Účelem modelování - smlace e dosažení předpověd s co možná nevětší přesnost a tím šetření čas a fnančních prostředů př řízení, ovládání, vývo a výrobě. Snaha o dosažení výrazného nárůst prodtvty, zvyšování aost a rychlení novačního proces vede vyžtí výsledů zísaných z nmercé smlace do dalších procesů. Exstí snahy zabdovat smlace do nformačních a optmalzačních technologí, případně do dalších techncých výpočtů, teré doáží vyžít provedené analýzy (např. vyžtí rozložení zbytových pntí v odlt do následných nárazových zoše atomoblů). Vše vede vytvoření rčtého vrtálního testovacího prostředí, teré možní maxmální zdoonalení výrob během onstrčního návrh a prototypové výroby..3 Trendy vývoe smlačních programů V posledních něola letech se v oblast slévárenství př výrobě odltů obevla řada významných zlepšení, zeména pod de o možnost aplace výpočetního smlačního nástroe. Požtí smlace př odlévání odlt má významný vlv na potlačení výsyt staženn, zvýšení vyžtí tetého ov a optmalzac vtoové a výfové sostavy forem pro vysootlaé ltí. Vývo těchto nástroů vša nestále porače, a to v daleo šrších sovslostech než doposd. Tím vznaí nové a vylepšené modly pro více slévárensých technologí. Frmy zabývaící se vývoem a prodeem těchto programů vládaí značné úslí a fnanční prostředy do spooení potřeb trh a svých záazníů. Vývo a výzm e zaměřen zeména do následících oblastí: zpřesnění a zrychlení nmercých výpočtových metod zpřesnění a doplnění databází termofyzálních dat, oefcentů přestp tepla a dalších velčn nezbytných pro výpočet možnost výpočtů nových slévárensých procesů a materálů vývo modelů pro tzv. mro-modelování zdoonalení rtérí pro vyhodnocení výsledů smlací zavedení optmalzačních techn do nmercé smlace 30

31 Vyžtí výpočetní techny pro smlac ltí a thntí odltů možnost vyžtí výsledů smlace pro další techncé výpočty, nformační a ontrolní procesy Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Moderní smlační programy zahrní predc tavenny během plnění formy, vzáemno nterac ov a formy, deformace odlt - pntí a predc strtry mrostrtry odlt. Jednotlvé modely započítávaí přestp tepla, rychlost a způsob formy, prodění ov ve formě, net thntí, tvorb strtr, modely pórovtost, odmíšení v nterval thntí a v neposlední řadě výpočet pntí Otázy probraném čv. Co lze predovat př proces thntí pomocí smlačních programů. Co e účelem modelování, resp. smlace slévárensých pochodů? Požtá lteratra, tero lze čerpat dalším std VRÁBEL, P.: Vývoové směry ve slévárenství. Slévárenství, č. 0, 004, s. 4-43; ČECH, J. et.al.: Výroba odltů s požtím počítačových smlac a programů ve frmě ŽĎAS a.s.. Slévárenství, č. 0, 004, s , KRUTIŠ, V., KUZMA, Z.: Nmercá smlace ve slévárensé technolog, MM spetrm. dostpné z: < smlace-ve-slevarensetechnolog] VLADÍK, R. Smlace prodění ov ve slévárensé formě z hledsa eho reoxdace. Dsertační práce, 0, VŠB-TU Ostrava KRUTIŠ, V.: Trendy a vývo v oblast nmercých smlací. Slévárenství 004, 5, 0, BONOLLO,F., ODORIZZI, S. Nmercal Smlaton of Fondry Processes. st ed. Padova: S.G.E., 00, 64 p. ISBN LICHUN, LCH., SCOTT, H. Castng desgn and modelng, ASM Internatonal, 009, s. 95, ISBN MICHNA, Š. Počítačové smlační programy pro odlévání materál ao moderní nástro pro zísání valtních odltů, dostpné z:< ogramy.pdf>. 3

32 Modelování a smlace 3 Modelování a smlace Čas e std: hodna Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat záladní pomy modelování a smlací požívaných př std obecných systémů a rozdíly mez nm defnovat ednotlvé roy modelovacích a smlačních procesů popsat postp smlace reálného systém Výlad Pomem modelování se rozmí expermentální proces, terý složí zísávání nformací o ednom systém vyžtím ného systém model. Systémem se pa rozmí sobor elementárních částí, prvů, teré maí vzáemné specfcé vazby. Jelož model představe systém, vyžívá se této podobnost př modelování. Význam modelování spočívá v tom, že nformace o daném systém so výhodně, rychle a často eonomčtě zísávány expermentováním na ech modelech, než orgnálech. Obecně lze aýolv systém lze stdovat dle následícího schémat (Obr.5): Obr.5. Obecný prncp stda lbovolného systém 3

33 Modelování a smlace Podstato modelování e tedy náhrada zomaného systém eho modelem (přesně: systémem, terý e modele), eímž cílem e zísat pomocí posů s modelem nformac o původním zomaném systém Pro ednodché modelované systémy, lze chování systém defnovat matematcým vztahy a hledané velčny stanovt pomocí matematcých prostředů. Výsledem so pa fnční vztahy, ve terých ao proměnné velčny fgrí parametry model. Pro složtěší systémy, echž specfcým vlastnostm so velá rozsáhlost, neúplnost daných nformací, valtatvní charater parametrů, velá dynamčnost probíhaících procesů a složtý charater vztahů mez prvy systém e třeba omplexní analýzy. V tomto případě pa modelování obecně probíhá v něola rocích:. Vytvoření abstratního model formlován na záladě účelového a zednodšeného pops zomaného systém. Vytvoření smlačního model vzná zápsem abstratního model pomocí programovacího azyy (smlačního program) 3. Smlace vlastní expermenty s reprezentací smlačního model. Cílem této etapy e analýza chování systém v závslost na vstpních velčnách a na hodnotách parametrů. Proces smlace spočívá v opaovaném řešení model, prováděním smlačních běhů, př terých so vyhodnocována výstpní data defnící chování systém. Smlační běhy se ta prováděí ta dloho, dod se nezísaí dostateční nformace o systém nebo pod nebdo nalezeny taové hodnoty parametrů, pro teré má systém požadované chování. Smlace e výzmná techna, eíž podstato e náhrada zomaného dynamcého systém eho smlátorem s tím, že se smlátorem se expermente s cílem zísat nformace o původním zomaném dynamcém systém. Před vlastní smlací e zařazen první ro verface smlačního model, nebo-l ověření správnost model. Účelem verface model e tedy napřílad vyvrácení potenconálních chyb v příslšném program, nebo zda v něm není požta nevhodná nmercá metoda. Dalším neméně důležtým roem e nestálá onfrontace nformací, teré o modelovaném systém máme a teré smlací zísáváme. Tím dochází ověření valdty (platnost) model. Ověřování valdty model e tedy proces, v němž se se snažíme doázat, že e stečně pracováno s modelem adevátním modelovaném systém. V případě, že chování model neodpovídá předpoládaném chování orgnál, e ntné model modfovat s ohledem na zísané nformace, teré byly zísány předcházeící smlací (vz Obr.6). 33

34 Modelování a smlace Obr.6. Postp smlace reálného systém Postp smlace reálného systém lze shrnot do něola po sobě docích roů:. stanovení účel smlace a sledované výstpy - na záladě výstpů e možné stanovt zúčastněné procesy. vytvoření smlačního model - zomorfní vztah s abstratním modelem - sočástí e naplnění model daty 3. valdace model 4. vytvoření počítačového model 5. ověření fnčnost počítačového model 6. návrh expermentů 7. zpracování výsledů - záznam průběh smlace - vzalzace, anmace - analýza, porovnání s reálným daty a výběr nelepší alternatvy Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Systém Model Modelování Smlace Verface model 34

35 Modelování a smlace Valdace model Otázy probraném čv. Co se rozmí pomem systém?. Jaá e podstata modelování? 3. Co e to smlace? 4. Co se označe pomem verface model? 5. Co se označe pomem valdta model? 35

36 Modelování slévárensých procesů 4 Modelování slévárensých procesů Čas e std: 0 hodn Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat způsoby modelování slévárensých procesů popsat rtéra dělení modelů defnovat zálady fyzálního a matematcého modelování popsat rozdíly mez fyzálním a matematcým modelováním defnovat podobnost systémů vyřešt stanovení rtérí podobností metodo rozměrové analýzy vyřešt stanovení rtérí podobností metodo podobnostní transformace vyřešt stanovení rtérí podobností metodo rozměrové analýzy rovnc defnovat záladní rovnce fyzálního modelování slévárensých procesů defnovat nmercé metody vyžívané pro smlac slévárensých procesů popsat analytcé a nmercé metody matematcého modelování popsat a vyřešt podmíny ednoznačnost Výlad Ja bylo vedeno v předchozí aptole, modelováním e defnován expermentální proces, př terém se stdovaném systém (orgnál) ednoznačně přřaze podle daných rtérí ný systém, fyzcý nebo abstratní, nazývaný model. Cílem e co nevěrohodně zachytt chování reálného systém pomocí matematcého nebo fyzálního model. Na záladě výsledů dosažených na model lze pa zpětně předpovídat chování reálného systém př různých změnách proces. Úloho modelování e dále rozvíet teor fyzálních, chemcých a tepelných děů, a tyto teore dále vyžívat v prax modelování. Pomocí modelování lze bez měření napřílad na příslšném průmyslovém zařízení: stanovt dynamcé vlastnost systém stanovt vlv změn oraových podmíne provozování systém 36

37 Modelování slévárensých procesů optmalzovat metalrgcé a né systémy a stanovt podmíny ech čnnost doporčt optmalzac rozměrů a ných techncých parametrů zařízení Modelování procesů lze rozčlent na dva záladní směry. První směr e reprezentován metodam fyzálního modelování, teré většno řeší procesy probíhaící na stečném zařízení a eho zmenšených modelech stečných zařízení a př normálních teplotách oolí. Vyžívá se přtom teore fyzální podobnost mez dvěma systémy. Dva evy so fyzálně podobně tehdy, estlže se popsí steno rterální rovncí a estlže so odpovídaící rtéra podobnost v homologcých bodech steně velá. Ve srovnání s matematcým modely, fyzální modely defní úplně a spolehlvě vlastnost modelovaného systém. Vyplývá to ze stečnost, že fyzální modelování řeší úlohy v sbstanc, dežto matematcé modelování analyze strtr problém. Navíc př stavbě fyzálních modelů není ntné znát matematcý pops zomaného proces. Naopa fyzální modely so spoeny s vyšším pořzovacím cenam něterých modelů, maí ohrančeno požtelnost onrétního model a často se obtížně mění velost modelových parametrů, což nědy vede ntnost se spoot en s valtatvním řešením. Drho cesto e pa matematcé modelování, teré zahrne expermentálněstatstcé modely a modely analytcé Matematcé modelování e založeno na matematcé analog (podobnost) dvo rozdílných procesů. Jevy rozdílné fyzální povahy so matematcy podobné tehdy, so-l popsány formálně shodným (zomorfním) záladním rovncem. Z matematcé podobnost pa vyplývá úměrnost mez odpovídaícím s velčnam analogcých evů. Příladem můžo být přenosové evy, t. procesy, př terých se z ednoho místa do drhého přenáší hybnost (vsozta), energe (vedení tepla) hmotnost (dfúze). Všechny tyto děe sovsí s nespořádáným tepelným pohybem molel. Je-l slněna podmína analoge, t. zomorfzms záladních rovnc, pa důsledná analoge mez výše vedeným evy způsobe, že onrétní vzorce so pro sdílení tepla onvecí a pro molelovo dfúz, stanovené expermentálně, v rčtých mezích shodné. Metoda analoge se s výhodo požívá tehdy, estlže nemíme řešt záladní rovnce analytcy. 4. Rozdělení modelů Exste celá řada rtérí, podle terých dělíme modely do ednotlvých spn (Obr.7). Mez záladní rtéra patří dělení modelů podle: A. Charater proces na model: determnstcé ty se vyznačí ednoznačně přřazeným příčnam a ech následy, tzn., že všechny proměnné, onstanty a fnce v model so determnstcé (nenáhodné) velčny nebo fnce. stochastcé alespoň edna proměnná, onstanta nebo fnce v model e náhodná velčna nebo náhodná fnce, tzn., že bď sám zomaný problém, nebo metoda řešení maí náhodný charater. Tohoto postp požíváme tehdy, dyž nesme schopn odvodt determnstcý model, nebo př aplac něterých specálních algortmů atomatcého číslcového řízení. 37

38 B. Hledsa podobnost (podobnost mez orgnálem a modelem): Modelování slévárensých procesů fyzální fyzálně matematcé matematcé C. Účel model: poznávací řídící D. Hledsa vněšího působení: Obr.7. Dělení modelů podle různých rtérí neřízené řízené E. Zpracování modelové nformace: analogové číslcové 38

39 Modelování slévárensých procesů hybrdní Dále exste dělení modelů z hledsa vyádření prostor a čas, ao so modely: prostorově spoté prostorově nespoté nestálené, časové spoté nestálené, časově nespoté stálené Nebo dělení modelů z hledsa zachování podobnost model: úplné úplná podobnost model v prostor a čase neúplné částečná podobnost přblžné něteré závslost se model vyadří přblžně 39

40 Fyzální modelování slévárensých procesů 4. Fyzální modelování slévárensých procesů Během ltí, thntí a chladntí odlt probíhaí ve formě velm složté procesy, př nchž se vyžívá mnoha fyzálních a chemcých záonů. Na úrovn dnešního poznání není ovšem možné vytvořt exatní model těchto procesů. Msíme proto vycházet z model, terý e možné fyzálně matematcy popsat, ale zároveň e řeštelný. Přčemž záladní podmíno e stená fyzální podstata model díla. Klíčový význam v model maí termofyzální data, nezbytná pro výpočet přenos tepla během slévárensého proces. Teore fyzálního modelování rozeznává a vyžívá různé drhy podobnost systémů, edna geometrco, ta né, teré charaterzí různé fyzální děe (oblast termodynamy, oblast sdílení tepla atd). Podobnost dvo systémů pa vyžade podobnost všech podstatných velčn v celém obem a model, ta díla. 4.. Podobnost systémů V případě tvarové podobnost dvo systémů, hovoříme o geometrcé podobnost. Systémy so s geometrcy podobné, dyž poměr odpovídaících lneárních systémů na model a díle e stený, tento poměr e označován ao onstanta podobnost (Obr.8). Geometrcá podobnost e eden ze záladních parametrů, teré e nezbytně ntné dodržet. V případě, dy není možné úplné dodržení geometrcé podobnost, e ntné alespoň dodržet geometrco podobnost model a díla v rtcých a nedůležtěších rozměrech. Obr.8. Geometrcá podobnost Slévárensé procesy odlévání, thntí a chladntí odltů se řídí záony hydrodynamy a přenos tepla. Z tohoto důvod př fyzálním modelování sehrává důležto rol nematcá, dynamcá a tepelná podobnost. Knematcá podobnost vyadře podobnost rychlostních polí a polí zrychlení. V podstatě se edná o rovnováh pozorovano mez dvěma geometrcy podobným systémy, ve terých e poměr rychlost stálý v navzáem s odpovídaících místech model a díla, přčemž v obo systémech e totožný směr rychlost nebo zrychlení (Obr. 9).. 40

41 Fyzální modelování slévárensých procesů Obr.9. Knematcá podobnost Podobnost sl mez dvěma geometrcy podobným systémy, ve terých e poměr sl navzáem odpovídaících místech a časech stálý a směr ech působení totožný, se označe ao dynamcá podobnost (Obr. 0). U dynamcé podobnost se předpoládá geometrcá nematcá podobnost. Obr.0. Dynamcá podobnost Podobnost teplot, teplotních gradentů tepelných toů v odpovídaících časech proces a odpovídaících místech geometrcy podobných systémů charaterze tepelná podobnost (Obr..). Tepelno podobnost e ntno zastt př modelování nezotermcých procesů. Obr.. Tepelná podobnost 4

42 Fyzální modelování slévárensých procesů Ve fáz odlévání a thntí dochází hlavně přenos tepla a hmoty. Př chladntí e přenos hmoty omezen z důvodů postpného thntí odlt a eho zanedbání ve fyzálním model nemá zásadní důsledy pro výsledy smlace ao ve fáz ltí. Př rystalzac se přenos tepla v sostavě rystal - tavenna stečňe vedením (onvecí), v tavenně navíc přrozeným a vyncením proděním. K přenos hmoty v tavenně dochází dfzí a proděním tavenny. U rystalzace čstého ov e tento proces ovlvňován poze transportem tepla, terý se v pevné fáz realze vedením. Pod se needná o čstý ov, e rystalzace ovlvňována dále atomy příměs. V roztaveném ov e vhodné zohlednt dále vlv prodění tavenny vyvolané důsledem teplotního rozdíl. Ve formovací směs e přenos tepla stečněn vedením v místě sty dvo sosedních zrn. V prostorách mez zrny e pa realzován sáláním. Proces řešení těchto fyzálních pochodů e založen na složtém řešení rovnc mechany tetn a termodynamy. Podmíno pro výpočet e, že počet rovnc se msí rovnat počt neznámých. Taovo sostav potom můžeme nazývat sostavo blančních rovnc. Velčny těchto rovnc so obvyle hmotnost, hybnost, energe. 4.. Rovnce Fyzálního model Přenos hmoty Prodění roztavených ovů až do nástp thntí se řídí záladním prncpy mechany tetn. Přenos hmoty e defnován záonem zachování hmotnost, terý e všeobecně znám ao rovnce ontnty. Rovnce ontnty rče vztah mez střední rychlostí stáleného prod nestlačtelné apalny a proměnným průřezem prod S. V prostředí se přenos hmoty stečňe především různým drhy dfze (tlaová, oncentrační, termcá a ncená). Dalším způsobem přenos hmoty e přenos přrozeno nebo nceno onvecí, nebo přenos hmoty může nastat taé trblentním víry. V obecném případě probíhá přenos hmoty př nestaconárním hromaděním nebo úbyt hmoty, a taé př přeměnách ednotlvých látových slože daného prostředí. Blanc hmoty př přenos -té láty dává rovnost dm dmdf, dmonv, dmprem, de dm d dv představe změn hmotnost tetny v elementárním obem Této rovnc můžeme rozmět ta, že změna hmoty -té láty v obem V e rovna sočt příto hmoty -té láty dfzí a onvecí a příto nebo úbyt způsobeného různým (např. chemcým) přeměnam za čas dτ. Po úpravách lze napsat rovnc přenos -té láty daného prostředí ve tvar: V dv q df, dv q 4 onv, dv q prem, 0

43 43 Fyzální modelování slévárensých procesů Jednotlvé členy této rovnce označí změn a přenosy -té reagící láty tohoto prostředí př važování eho přeměn v ednotovém obem za ednot čas. Záladní proměnno velčno v této rovnc e parcální hstota ρ. Jelož celová hstota prostředí v ednotlvých místech važovaného obem e rovna sočt parcálních hstot ech ednotlvých slože ρ = Σ ρ, msí se celový výsledný dfzní přenos všech parcálních hstot rovnat nle. Pro podmín zachování celové hmoty v ednotovém obem e ntné, aby byla splněna rovnce: dv ( v ) 0 Kde ρ e celová hstota prostředí. Tto rovnc nazýváme rovncí ontnty prodícího prostředí a platí za podmíny, že se nevysytí nespotost prodících hmot tohoto prostředí. Rovnce vyadře stečnost, že změna hmoty rčtého obem v čase e defnována rozdílem mez množstvím vtéaící a vytéaící hmoty z obem ( vetor rychlost). Často e třeba tto rovnc modfovat, elož platí, že x y z ( vx vy vz Pa lze rozepsat rovnc ontnty do tvar: v x x v y y v z z x y ( vx vy vz Levá strana rovnce představe sbstanconální dervace hstoty, t. dervace podle čas pro dráh sledící pohyb tetny, v solad s rovncí defnící sbstanconální dervac: D v Dt x x v y y v z Pa lze defnovat rovnc ontnty ve zednodšeném tvar: D dv( v) Dt Rovnc ontnty v tomto tvar popse rychlost změny hstoty, a vdí pozorovatel nášený prodící tetno. Velm důležtý specální tvar rovnce ontnty e tvar rovnce pro nestlačtelno tetn s onstantní hstoto: dvv 0 V reálných řešeních není žádná tetna absoltně nestlačtelná, ale v prax se velm často dosáhne podstatného zednodšení, dyž se předpoládá onstantní hstota a nezávádí se pratcy žádná chyba. z ) z )

44 Dfúzní rovnce (drhý Fcův záon dfze) Fyzální modelování slévárensých procesů Jde-l o nestlačtelno tetn, dy hstota e onstantní, rovnce ontnty se zednodší a nabývá tvar: x v x y v y Tato rovnce platí pro nestlačtelné tetny př nestáleném prodění. Pro časovo změn oncentrace láte v rčtém místě lze taé defnovat závslost, de D e sočntel dfúzního přenos hmoty. Dfzní sočntel e obecně fncí teploty, tla a složení směs, především velost a pohyblvost částc. Pro odhad dfzního sočntele D v ednotlvých onrétních aplacích exste řada emprcých a sememprcých vztahů. Napřílad pro dfz ve zředěných roztocích olodních částc nebo polymerů se požívá Stoesovy- Enstenovy rovnce z T D 6 r de e Boltzmannova onstanta, T e termodynamcá teplota, e vsozta dsperzního prostředí, r e poloměr dsperzní částce. Pa časová změna oncentrace láte v daném místě e defnována závslostí: v, z 0 v D Je-l rychlost nlová, dostáváme rovnc D Tato rovnce se označe, ao drhý Fcův záon, terý vyadře změn gradent oncentrace s časem.drhý Fcův záon možňe rčt rozložení oncentrace v závslost na čase a na vzdálenost x od dané vztažné rovny a rče časovo změn hmotnostní oncentrace. Tato rovnce se obvyle požívá pro rčení dfze v nehybných látách nebo thých apalnách. Je velm podobná rovncí vedení tepla. Této podobnost se vyžívá př analogcém zpracování problémů vedení tepla a dfze v thých látách. Pohybová rovnce vazé tetny Př prodění pohybová (Elerova) rovnce vyadře na záladě d Alembertova prncp rovnováh sl hmotnostních, tlaových a setrvačných: df m df p df s Př prodění doonalých tetn neexste vntřní tření an přenos tepla. Ovšem převážná většna procesů př pohyb reálných apaln se tímto způsobem popsat nedá. 44

45 Fyzální modelování slévárensých procesů Dochází dspac mechancé energe vzáemným ovlvňováním částc tetny, teré se pohybí různo rychlostí. Ja e vdět z exstence vntřního tření a z přenos tepla, de o nevratné děe. Pod bdeme brát v potaz sočet všech sl působících v elementárním obem dv a změn hybnost, lze sestavt pohybovo rovnc vazé apalny. Zde se mmo sl vněších, setrvačných a tlaových, teré so spoeny s vlastním pohybem částc tetny, bero v potaz taé síly třecí, teré so způsobeny vzáemným pohybem částc. Rovnováha e dána vetorovým sočtem Pod bdeme zomat prodění v gravtačním pol za působení tlaové síly a se zohledněním síly vntřního tření, dospěeme rovnc, terá nám vyadře zachování sočt sl nebo hybností. Ve vetorovém tvar lze psát tto slovo rovnc V sořadných osách x, y, z, e možno napsat Naver-Stoesov pohybovo rovnc vazého prostředí ve tvar Tato sostava rovnc se dá vyádřt slovy, že změna hybné síly (tlaové, gravtační) e spotřebována na změn rychlost prodění v daném obem a porytí ztrát třením. Př onstantních velčnách ρ a η se rovnce praví do tvar Pro deální tetn (η=0) se dále zednodší na Elerov rovnc, terá se požívá ops pohyb prostředí, v prodící tetně maí velý význam vsózní vlvy: Integrací Elerových pohybových rovnc můžeme odvodt záon zachování energe, tzv. rovnc Bernollho, terá má velm šroé požtí v prax a lze napsat ve tvar. 45

46 Fyzální modelování slévárensých procesů Tato rovnce vyadře fat, že za stáleného pohyb nevazé nestlačtelné tetny e sočet potenconální, tlaové a netcé energe v lbovolném bodě gravtačního pole onstantní. Př trblentním prodění se tla, rychlost a další velčny mění nepravdelně. Pohyb má stochastcý, náhodný charater. Trblentní prodění e ta složté, že se nedá přesně matematcy popsat an těch neednodšších apaln. Vzhledem nepravdelnost a e omplexnost trblentního pohyb se zaváděí střední časově vyhlazené hodnoty oamžtých rychlostí a tlaů. Oamžtá rychlost trblentního prodění w se ta rozládá na střední rychlost a na fltační rychlost w podle rovnce. Kde Obdobné výrazy se zavádí pro tla, teplot a ostatní požté velčny Rovnce ontnty pohybové rovnce, vedené pro lamnární prodění stečné tetny, platí tay pro trblentní prodění. Tyto rovnce př trblentním prodění nelze řešt, a proto e ntné rovnce pravt ta, aby popsovaly časově vyhlazené rozdělení rychlostí a tla. e: Časově vyhlazená rovnce ontnty pro nestlačtelno tetn ve složovém tvar A časově vyhlazená rovnce pohyb ve směr osy x Rovnce pohyb tetny ve směr os y a z so analogcé. Časově vyhlazené rychlost a tlay nahradly oamžté složy. V rovnc pohyb se navíc obevly nové členy, teré sovseí s fltacem trblentní rychlost. Výrazy typ se daí považovat za dodatečná napětí způsobená trblencí přdána navíc 46

47 Fyzální modelování slévárensých procesů vazým napětím a nazýváme e Reynoldsova napětí. Pod bychom chtěl dostat pops rychlostí, msíme za ně dosadt něaý výraz. K ech vyádření se požívaí různé polo-emprcé vztahy (trblentní vsozta, Prantlova směšovací déla, a ) Určování požtých parametrů a ech ovlvňování v různých oblastech prod patří ta hlavním úlohám expermentálního výzm trblentního prodění. Přenos energe Přenos energe může probíhat v různých podmínách. V pevných tělesech se stečňe přenos energe vedením tepla. V pohyblvých prostředích se energe romě vedení tepla přenáší proděním hmoty prostředí v prostor. Tento způsob přenos se nazývá onvece. Mmo vedení a onvece se může energe přenášet zářením a dalším formam energe. Všechny zmňované drhy se často vysytí sočasně. Př nterac formy s tetým ovem odvádí forma z ov teplo, teplota formy stopá a teplota ov se snže. Klesne-l teplota ov na teplot thntí, nastává přechod ov z apalného spenství do thého stav. Tento proces se děe postpně od stěny formy č ádra směrem teplené ose odlt. Čím rychle odvádí forma z ov teplo, tím e rychleší rystalzační pochod. Tyto zmňované aspety maí vlv na celový charater rystalzace a tím potažmo na vlastnost odlt. Jelož rychlost odvod tepla z ov formo e přímo závslá na tepelně fyzálních vlastnostech formy, lze z toho vyvodt, že rychlost thntí odlt e závslá na fyzálních a geometrcých vlastnostech odlt a formy. Podmíny přestp tepla z ov do formy během fáze odlévání, thntí a chladntí se mění nestále. V průběh plnění formy se realze přechod tepla z ov do formy bezprostředně nterací teocího ov se stěnam formy. Po odltí e eště rčto dob tetý ov v bezprostředním sty se stěnam formy. Po vytvoření vrstvčy zthlého ov stěny formy se mění podmíny pro přestp tepla z odlt do formy, elož stěna formy e ve sty s vrstvo zthlého ov. Odvod tepla z tetého ov do formy tedy probíhá přes tto zthlo vrstv ov, eíž tlošťa se s časem roste. Po vytvoření vrstvčy zthlého ov se v důsled smršťování tvoří mezera mez odltem a stěnam formy. Od této chvíle se odvod tepla z tavenny do formy stečňe edna přes vrstv ž zthlého ov, ale zároveň přes vznlo mezer. Tepelná vodvost mezery e menší než tepelná vodvost formy a zthlého ov. Tato stečnost má za následe snížení ntenzty odvod tepla z tavenny. Vznlá mezera roste v závslost na smršťování odlt a eí tlošťa e závslá na smrštění ov a rozměrech odlt. Odvod tepla ov formo e nestaconární tepelný pochod. Teplota ednotlvých bodů sostavy odlte-forma e s časem proměnná. Pro řešení těchto nestaconárních dě e ntno naít závslost teploty a množství sdíleného tepla dle čas pro lbovolno část tělesa. Př plnění formy, thntí a chladntí odlt probíhaí v sostavě odlte-forma tyto tepelné pochody: Vedení tepla tetým ovem Vedení tepla thým ovem Přestp tepla z tavenny do formy Přestp tepla z thého ov do formy 47

48 Fyzální modelování slévárensých procesů Přestp tepla z tavenny do thého ov Přestp tepla z thého ov do formy přes mezer Vedení tepla formo Sálání tepla vtoovo sostavo a otevřeným nálty Blanc energe e možné v obecném případě vyádřt rovncí Změna celové vntřní energe v obem V za čas dτ e rovna přívod entalpe dfúzí, onvecí, zářením a celovo energí ze zdroů. Změna celové vntřní energe se sládá ze změny vntřní energe prostředí v obem V, změny eho netcé energe, změny potenconální energe možných přeměn prostředí a změny zářvé energe U zář v obem V: Energe zdroů e možno vyádřt ntegrálem: de q zdro (V) e měrný výon všech vntřních zdroů energe v daném obem V. Zísaný vztah se dá pravt do tvar parcální dferencální rovnce, ež popse sdílení energe v homogenní tetně a thé látce. Ve většně aplací se vša neřeší ve své omplexní podobě, ale zednodše se podle drh řešeného proces. Tyto pravené tvary rovnce šíření energe so pa výchozím rovncem pro řešení různých onrétních úloh ze sdílení tepla. Napřílad rovnce nestaconárního ombnovaného přenos tepla onvecí a vedením s vntřním zdro tepla má tvar: V případě, dy e prostředí v ld (w= 0), dostaneme rovnc šíření tepla vedením A pro ednotlvé sořadnce x, y, z má tvar 48

49 Fyzální modelování slévárensých procesů Uvedený tvar dferencální rovnce vedení tepla představe matematcý pops časové změny teploty v lbovolném místě tělesa vyvolané přenosem tepla a působením zdroů energe. Pod e tepelná vodvost onstantní a neso defnovány tepelné zdroe, ta má rovnce tvar: Respetve Napatost a deformace Obecně můžeme říc, že působením vněších slových č teplotních účnů vznaí v tělese vntřní síly. Intenzt vntřních sl nazýváme napětí, ehož složy lze spořádat do tensor napětí. Vztahy vyadřící složové a momentové rovnce rovnováhy, teré e na povrch S podrobeno slovým účnům, a v obem tělesa obemovým slám so: Dále pro řešení úloh pržnost e ntno rčt změn tvar tělesa pomocí slože deformace, teré v obecněším případě moho zahrnovat geometrco změn tvar tělesa. Vazba mez napatostí a popsem deformace rče chování tělesa př působení vněších sl 4..3 Bezrozměrové parametry Vyádření podobnost dvo systémů pomocí onstant podobnost e z pratcého hledsa nepřílš rozšířený. Obvyleší způsob e vyžtí bezrozměrových parametrů za účelem vyádření podobnost dvo systémů. Bezrozměrový parametr má v homologcých bodech podobných systémů steno hodnot, tzn. že se nemění (I. Věta podobnost), ncméně nemá ve všech bodech těchto systémů stálo hodnot. V oblast aplace teore podobnost a modelování so bezrozměrové parametry nazývány rtér podobnost a obvyle má své specfcé označení. Většn těchto rtérí lze vyádřt pomocí vhodně zvoleného poměr vybraných sl působících v systém. Většn fyzálních systémů lze popsat úplno fyzální rovncí, terá se vyznače tím, že bere v úvah všechny relevantní velčny, tzn. velčny, teré maí v daném systém význam. Sednocením úplné fyzální rovnce s podmínam ednoznačnost se zísá záladní rovnce, echž řešení pops fyzálního ev e obvyle časově náročné, potažmo těžo řeštelné. Z tohoto důvod se požívaí rterální rovnce, de relevantní velčny so nahrazeny rtér podobnost, teré so z těchto relevantních velčn odvozeny (II. Věta podobnost). Vzáemné fnční závslost mez bezrozměrovým parametry se rčí expermentálně na daném model měřením. 49

50 Fyzální modelování slévárensých procesů Obecný tvar rterální rovnce lze odvodt pomocí rozměrové analýzy nebo pomocí analýzy dferencálních rovnc popsících daný dě Stanovení rtérí podobnost pomocí rozměrové analýzy Rozměrová analýza se požívá v případě, dy není znám matematcý pops děe a exste poze předpolad, že stdovaný dě e fncí relevantních fyzálních velčn. Podstata rozměrové analýzy e založena na Bcnghamově teorém ( teorém). Jeho podstato e, že aždo rozměrově homogenní rovnc lze transformovat do podoby navzáem nezávslých bezrozměrových parametrů, vznlých vhodným sespením daných velčn. Vzáemná nezávslost znamená, že terýolv bezrozměrový parametr nelze vyádřt sočnem různě mocněných parametrů. Prncp této metody s ážeme na ednodchém přílad. Na defnované těleso ponořené v prodící apalně působí síla F, terá závsí na rychlost prodění tetny w, eí hstotě, dynamcé vsoztě a charaterstcém rozměr l. Je patrné, že vyádření těchto pět relevantních velčn potřebeme poze tř záladní velčny, a to dél [m], čas t [s] a hmotnost m [g]. Z rozdíl relevantních a záladních velčn vyplývá, že pops děe potřebeme dvě bezrozměrová rtéra, terá označíme K a K a vyádříme e v obecné formě: K K K K a a F w w b b l l a3 b3 Obě rovnce vyádříme s vyžtím záladních velčn v rozměrovém tvar: a 3 a gms ( ms ) ( gm ) m b 3 b gm s ( ms ) ( gm ) a3 m b3 Aby byly oba parametry bezrozměrové, msí platt, že sočet rozměrových exponentů pro aždo záladní velčn se msí rovnat nle. Vytvoříme tedy systém rovnc s požtím rozměrových exponentů: Pro m: 0 = +a3a+a3 Pro s: 0 = - a Pro g: 0 = +a Řešením těchto rovnc zísáme: a = -; a = -; a3 = - Bezrozměrové rtérm K pa nabývá tvar: K F w F w l p w l 50

51 Fyzální modelování slévárensých procesů 5 Toto bezrozměrové rtérm e známo ao ao Elerovo rtérm E. Analogcy lze postpovat pro drhé rtérm, pro něž pa dostáváme tvar: w l l w l w K Což e převrácená hodnota Reynoldsova rtéra /Re Uvedeným postpem lze původní fnc, terá se sestává z pět záladních velčn, transformovat do ombnace dvo bezrozměrových rtérí K, K ve tvar: 0 ), ( ), ( w l w p f K K f S ohledem na stdovano síl F pa platí: ) ( w l f l w F nebo-l, ným slovy tato rovnce vyadře fat, že Elerovo rtérm e fncí rtéra Reynoldsova. Tento přílad poaze na výhody nevýhody metody stanovení bezrozměrových parametrů pomocí rozměrové analýzy. Spoovat relevantní velčny do známých a osvědčených bezrozměrových rtérí e velm žtečné, ncméně tento postp nemožňe nalézt tvar vztah mez ednotlvým velčnam Stanovení rtérí podobnost metodo podobnostní transformace Pod lze popsat daný rčto formo záladní rovncí, lze pro odvození bezrozměrových rtérí požt metod, teré vychází ze tvar těchto rovnc. V podstatě se edná o dva postpy př analýze těchto rovnc a stanovení bezrozměrových rtérí. Metoda podobnostní transformace Podstat této metody ážeme na analýze dferencální rovnce to stečné vsózní apalny: ) ( ) ( z w y w x w x p g w z w w y w x w w x x x x z x y x x x Pro lbovolný podobný systém systém záladním lze tto rovnc vyádřt pomocí onstant podobnost, dy se provede podobnostní transformace rovnce, terá nabývá tvar: ) ( ) ( z w y w x w M M M x p M M g M M w z w w y w x w M M M w M M M x x x l w l p x g z x y x x w x w

52 Fyzální modelování slévárensých procesů Kde q M q q q - hodnota velčny q na model q - hodnota velčny q na díle Obě výše vedené rovnce bdo dentcé, tzn., aby byla zachována podobnost děů, dyž vznlé omplexy onstant podobnost aždého členů rovnce bdo shodné, t: M M M w M M M w M M g M M p l M w l M M Po úpravě nabývá tato rovnce tvar: M l M M w M M M M g l p w M M w M M l M w Tyto bezrozměrové omplexy sládáící se z onstant podobnost ednotlvých velčn se označí ao ndátory podobnost. U podobných evů so pa tyto ndátory rovny edné. (první věta podobnost). Tvar bezrozměrových parametrů výše řešeného přílad to vsózní apalny lze zísat úpravo ednotlvých ndátorů z podobnostní rovnce: l M l l w w pa platí Ho M wm w l l w Tento bezrozměrový parametr e znám ao rtérm honochronsm. Obdobným způsobem lze odvodt další parametry: w Fr g l tvar: p E w wl wl Re tedy Frodeho (Fr), Elerovo (E) a Reynoldsovo (Re) rtérm. Celá rovnce to vsózní apalny lze vyádřt vyžtím bezrozměrových rtérí do ( Ho; Fr; E;Re) Stanovení rtérí podobnost metodo rozměrové analýzy rovnc V předešlém případě řešeno rovnc to vsózní apalny lze vyžít př stanovení bezrozměrových parametrů ným způsobem. Je patrné, že všechny členy této rozměrově homogenní rovnce maí shodný rozměr, v tomto případě g.m -.s -. Podělíme - l tto rovnc edním ze sčítanců, přede rovnce do bezrozměrového tvar, ze teré lze snadno stanovt tvar bezrozměrových parametrů. Celá rovnce může být vyádřena pomocí fyzálních velčn: 5 M

53 Fyzální modelování slévárensých procesů 53 ) ( l w l p g w w Vydělením drhým členem převedeme tto rovnce na bezrozměrový tvar, čímž zísáme rovnc, eíž ednotlvé členy představí ednotlvá rtéra, terá so vedená výše v text: l w w p w l g w l ) ( 4..7 Přehled nerozšířeněších bezrozměrových rtérí Reynoldsovo rtérm Na záladě Reynoldsova čísla se posze charater prodění tetn. Toto rtérm, teré vyadře poměr sl setrvačných a vazých, má zásadní význam př výpočtech prodění tetn (tření v potrbích a armatrních prvcích, míchání atd.). Ja vyplývá z defnce, lze rtérm Re stanovt dle rovnce: l w l w Re Hodnota Re rozděle prodění tetn na lamnární a trblentní, přčemž nízé hodnoty Re dentfí lamnární prodění tetny. Krtcá hodnota Re rtéra (Re ), př terém dochází přechod lamnárního prodění na trblentní e závslá na tvar prostředí, ve terém prodění probíhá a rovněž na charaterstcém rozměr l. Frodeho rtérm Toto rtérm vyadře poměr setrvačných a tíhových sl. Zašťe přblžno dynamco podobnost prodění, v nchž domní setrvačné a gravtační síly. Frodeho rtérm e defnováno vztahem: l g w Fr Elerovo rtérm Elerovo rtérm vyadře podíl charaterstcé hodnoty síly tlaové a síly setrvačné (to hybnost proděním), t. poměr toů hybnost tlaovým slam a marosopcým proděním. Lze e defnovat vztahem: w p E Hodnota tohoto rtéra e velm často hledána, elož obsahe hledano velčn tlaové ztráty, a e v podstatě vyadřována ao závslost na ostatních rtérích, např.:

54 Fyzální modelování slévárensých procesů E (Re) E (Re; Fr) E (Re; Ma) Strohalovo rtérm (rtérm Homochronsm) Toto rtérm e bráno ao azatel časově stálené rychlost pohyb element systém. Krtérm homochronsm lze požívat pro vyádření bezrozměrového (relatvního) čas pohyb daného element nebo pro vyádření bezrozměrové (relatvní) dráhy. Krtérm Ho e defnováno dle vztah: Ho w l Stoesovo rtérm Stoesovo rtérm lze defnovat ao sočn rtérí E a Re. V případě velm pomalého lamnárního prodění so setrvačné síly a v rtér Re, ta v E zanedbatelné ve srovnání se slam vazým vyvolaným rozdílem tla a tím pádem příslšná rtéra Re a E ztrací smysl. V taovém případě e vhodné setrvačné síly elmnovat. Stoesovo rtérm e defnováno ao: St w d l p l w Weberovo rtérm Weberovým rtérem e defnován poměr setrvačných sl a sl aplárních, teré so vyvolané povrchovým napětím. Př modelování metalrgcých systémů v prax e v něterých případech ntno zastt soběžné plnění tohoto rtéra a rtéra Fr. Weberovo rtérm e defnováno ao: We w l Prandtlovo rtérm Prandtlovo rtérm zahrne vlastnost tetny, teré so důležté př molelárním sdílení hybnost a tepla. Lze e vypočíst ao podíl rtéra Pécletova, teré defne vedení tepla v mezní vrstvě, a Reynoldsova. Prandtlovo rtérm e defnováno vztahem: Pr Pe Re v l a v l a c p 54

55 Nsseltovo rtérm Fyzální modelování slévárensých procesů Nsseltovo rtérm defne sdílení tepla onvecí. V podstatě se edná o bezrozměrový sočntel přestp tepla a eho závslost na podmínách sdílení tepla se vyadře ao fnce dalších rtérí: N C( Gr Pr) Kde C, n so onstanty; Gr - Grashofofo rtérm defnící přrozeno onvec vazé tetny, Pr - Prandtlovo rtérm. Intenzt přestp tepla pa vyadře oefcent přestp tepla, ehož velost závsí na vlastnostech méda, rychlost a charater prodění a geometrí obtéaného povrch. Hodnot lze rčt pomocí Nsseltova rtéra: L N de L C - e charaterstcý rozměr (defnován geometrí obtéaného tělesa) C n 55

56 Matematcé modelování slévárensých procesů 4.3 Matematcé modelování slévárensých procesů Matematcý model e tvořen abstratním systémem matematcých vztahů, teré popsí podstatné vlastnost zomaného obet, a ta posytí srozmtelný pops všech relevantních fatorů dané stace a možňí odhalt podstatné vztahy mez prvy stdovaného systém. Pro matematcý pops vlastností a chování obet e ntné stanovt velčny, teré vysthí, a oolí ovlvňe systémy (vstpy) a velčny, terým se systém proeve vůč svém oolí (výstpy). Matematcý model pa vyadře závslost výstpů na vstpech popsano matematcým vztahy. Tyto vztahy se stávaí matematcým modelem teprve tehdy, dyž so ednoznačně přřazeny e onrétním proces nebo ev. Proces zšťování matematcého pops systém nazýváme dentfací systém. Př dentfac se snažíme model zísat v taovém tvar, v aém bde požtelný v oblast, ve teré ho chceme vyžívat. Proces (systém), terý chceme matematcy popsat, se řídí podle rčtých fyzálních, fyzálně-chemcých a chemcých záonů, teré maí své matematcé vyádření. Z tohoto vyádření záonů př sestavování determnstcých modelů vycházíme. Nědy tato můžeme popsat všechny zadané podmíny a vztahy modelovaného proces úplně a zísat ta přesný matematcý model. Taový matematcý model ale bývá ta složtý, že eho řešení e pratcy neprovedtelné. Navíc většno an úplný pops zísat nemůžeme, protože průběh děe do potřebných podrobností neznáme. V prax ale obvyle nepotřebeme naprosto přesné výsledy, stačí, dyž model vysthe podstatné vlastnost a chování proces. Můžeme s tedy dovolt něteré méně podstatné vlvy a vztahy zanedbat nebo zednodšt. Konečným rtérem valty a požtelnost model e vždy eho sohlas s realto v solad s účelem, e terém byl vytvořen. Na Obr. so schematcy znázorněny ednotlvé fáze vytváření determnstcého model. Obr.. Postp vytváření matematcého model 56

57 Př sestavování matematcého model e ntná: Matematcé modelování slévárensých procesů důladná analýza systém a rozhodntí o podstatnost následících prvů a tím ech zařazení do model nebo ne: specface děů, teré v proces probíhaí a rčení ech podstaty vymezení vlvů působících na proces a eho průběh rčení velčn popsících proces Tímto roem se zísává teoretcý model, ten sce nepopse zcela přesně stečnost, ale eho výhoda spočívá v ednodchost, přehlednost a následně ve snazším řešení výsledných rovnc. Na záladě teoretcého model následe matematcý pops proces. Tento ro zahrne výběr matematcého pops záontostí požtých v teoretcém model, vytvoření modelových rovnc, t. doplnění vybraných vztahů o zednodšící předpolady a potřebné matematcé úpravy a na závěr podmíne řešení (obvyle počáteční a oraové podmíny pro řešení dferencálních rovnc). V této fáz se obvyle vyžívaí matematcé rovnc vyadřících známé záony a vztahy z fyzy, fyzální cheme, cheme atd. Výsledem tohoto postp e obecný matematcý model proces. Třetí fází celého postp e řešení model, to znamená vytvoření smlačního program, dy se volí metoda řešení modelových rovnc, následe ech zpracování za účelem nalezení vhodného algortm řešení. Čtvrto fází e vytvoření tzv. smlačního model. Jeím výsledem e počítačový program vhodný pro požívání v prax. Tato fáze zahrne následící roy: dentface model, t. nalezení neznámých hodnot parametrů model (např. porovnáním zísaných výsledů řešení s úda z lteratry, s expermentálním hodnotam apod.), verface model, t. řešení ontrolních úloh a analýza ech výsledů za účelem ověření správnost model v celé předpoládané oblast požtí, posození přesnost a vhodnost model pro daný účel. Záladem strtry matematcého pops procesů v metalrg tetých ovů e výběr vhodného hydrodynamcého model proces. Dále následe pops fyzálních, fyzálně chemcých, tepelných a dalších děů daného proces v podobě sostavy dferencálních rovnc, teré obsahí emprcé rovnce. Výpočet těchto rovnc e většno realzován nmercým ntegracem. Matematcý model složtého systém e schopen obsahovat až 05 proměnných a tom odpovídaící počet rovnc. U velm složtých systémů nelze vůbec sestavt odpovídaící model anebo nelze sestavený model matematcy vyřešt. Pro řešení matematcého model lze požít dva způsoby řešení: Analytcé (explctní) řešení spočívá v nalezení přesného řešení pomocí analytcých matematcých metod (řešení sostav rovnc, řešení úlohy na vázaný extrém atd.). Nmercé (přblžné) řešení se požívá pří řešení modelů, terých nelze problém řešt analytcy nebo v případech, dy e analytcé řešení obtížné a 57

58 Matematcé modelování slévárensých procesů složté. Př nmercém řešení e ntné važovat eho nmerco stablt, onvergenc a chyb, terá řešením vznne Analytcé modely so sestroeny na záladě pops vntřní strtry systém, tzn. znalost přírodních záontostí procesů a onstrce zařízení, ve terých dané děe probíhaí. Výhodo těchto modelů e ech možnost aplace na šrší oblast požtí. Nevýhoda e dost složté sestavování model, výpočtového program a vysoé nároy na čas pro modelování. Analytcé modely so převážně požívány pro menší a ednodšší systémy. 58

59 Matematcé modelování slévárensých procesů Analytcé metody 4.3. Analytcé metody Analytcé metody možňí zísat řešení dané úlohy ve tvar matematcého výraz pro hledano proměnno ao fnc prostorových sořadnc a čas. Řešení msí odpovídat rčté rovnc a podmínám ednoznačnost. Ve většně techncých úloh e obvyle ntno zednodšt matematcý model proces ta, aby úloha byla řeštelná. Správně rčt stpeň zednodšení matematcého model př zachování eho věrohodnost e stěžením problémem př požívání analytcých metod. Mez lascé analytcé metody patří metoda separace proměnných, nazývaná taé Forerovo metodo. Jno spn analytcých metod tvoří metody ntegrálních transformací, založené na prncp matematcé transformace proměnných. Neběžněší so Laplaceova a Forerova transformace. Pro metody ntegrálních transformací steně ao pro lascé analytcé metody platí omezení ech požtí na lneární úlohy s oraovým podmínam a ednodšší oblast. Obr.3. Obecný postp př matematcém modelování Dalším z žívaných metod so metody varační. Ty so na rozdíl od předchozích vhodné pro přblžné řešení nelneárních úloh. Jech prncp spočívá v tom, že se místo řešení dferencálního matematcého model fyzálního pole řeší varační úloha o extrém něterého fnconál v ntegrálním tvar, charaterzící daný proces. Obvyle de o mnmm fnconál energe. Z řady varačních metod patří neznáměším Rtzova metoda. Další analytcé metody převáděí úlohy s oraovým podmínam na né typy rovnc a úloh, např. vyžtím Besselových fncí apod. 59

60 Matematcé modelování slévárensých procesů Analytcé metody Obr.4. Postp př modelování onrétního případ Pro řešení techncých úloh maí analytcé metody omezené požtí. Přesné metody složí především pro ontrolní řešení obvyle ednorozměrných úloh s ednodšším oraovým podmínam, přblžné pro složtěší oraové podmíny. Přblžné analytcé metody požívaí ntegrální transformace Laplaceovy a varačních metod. Řešení se dostává ve tvar poměrně ednodché závslost, napřílad něola členů řady. Přesnost výsledů e obvyle postačící Počáteční a oraové podmíny U modelů popsaných dferencálním rovncem msíme pops doplnt příslšným počtem oraových a počátečních podmíne (podmíny ednoznačnost). Pro aždo nezávsle proměnno potřebeme tol vzáemně nezávslých podmíne, aý e nevyšší v rovncích se vysytící řád dervace podle této proměnné. Formlace počátečních a oraových podmíne e nedílno sočástí vytváření matematcého model. Něteré podmíny vyplývaí zcela ednodše ze zadání úlohy (např. na počát e teplota ve všech bodech stená a rovná rčté hodnotě), né msíme odvodt steným postpy ao matematcý model (např. na záladě blance). Jao ontrola správnost ech odvození nám může složt stečnost, že obecně co do matematcého tvar exste en něol drhů podmíne, a tedy v onrétním případě msíme dosáhnot shody s edním z nch. Pro pops obecného matematcého tvar drhů počátečních a oraových podmíne požeme následící označení velčn: závsle proměnná; t teplota; t p teplota na povrch tělesa čas, x, y, z sořadnce, f fnční předps, ehož tvar e znám a hodnota fnce lze dyolv vypočíst. 60

61 tepla Matematcé modelování slévárensých procesů Analytcé metody Pro přehlednost bdo zde vedeny přílady podmíne ednoznačnost pro vedení Počáteční podmína e obvyle edna a defne stac na počát řešení. Obecně lze zapsat ve tvar pro = 0 : = f (x,y,z) Pro vedení tepla: pro = o = 0 t = f(x, y, z) ným slovy na počát proces, tzn. v čase t 0 e závsle proměnná známo fncí sořadnc x, y, z. Oraové podmíny se vysytí v případech, de ao nezávsle proměnné vystpí sořadnce. Rozeznáváme tř záladní typy oraových podmíne : a) oraová podmína.drh (Drchletova): pro x = x 0 : Pro vedení tepla: t p = f(x, y, z, ) = f (x,y,z,) t. hodnota závsle proměnné v místě x 0 e známo fncí ostatních sořadnc a čas. b) oraová podmína.drh (Nemannova) : a čas pro x = x 0 : f ( y, z, ) x xx 0 Pro vedení tepla: se defne rozložení hstoty tepelného to q na povrch tělesa ao fnc sořadnc q = f(x,y,z,), tdíž t q = - gradt = - n de n e normála povrch tělesa p. Forerův záon čl hodnota dervace závsle proměnné podle edné sořadnce (např. podle x v bodě x 0 ) e známo fncí ostatních sořadnc a čas. Často se setáváme s oraovo podmíno. drh ve tvar pro x = x0 : 0 n t. dervace závsle proměnné podle normály něaé ploše e nlová. c) oraová podmína 3.drh (Newtonova) : pro x = x 0 : a ( x, y, z, ) b f y,, 0 z x xx 0 6

62 Matematcé modelování slévárensých procesů Analytcé metody Pro vedení tepla se požívá tehdy, e-l zadaná teplota oolního prostředí t o a sočntel přestp tepla do oolí c : pa platí: c q t p t o t n p t. hodnota lneární ombnace hodnoty závsle proměnné v bodě x 0 a eí dervace podle x v místě x 0 e známo fncí ostatních sořadnc a čas; onstanty a, b so oefcenty lneární ombnace 6

63 Nmercé metody Nmercé metody Př techncých výpočtech e ntná znalost neen počátečních a oraových podmíne, ale taé znalost materálových charaterst všech materálů řešené sostavy. V mnoha článcích o matematcém modelování ve slévárenství můžeme nalézt vět, že znalost termofyzálních dat e alfo omego přesnost obdržených výsledů. A zcela bezpochyby tedy platí a přesná vstpní data požeme, ta přesný můžeme očeávat výslede. Mez záladní vstpní materálová data patří vsozta, tepelná vodvost, entalpe, hstota a podíl thé fáze. Př výpočtech napětí a deformací nm navíc přstpí znalost modlů pržnost, teplotních roztažností a další. Je ntné podotnot, že tato data so pro výpočet žtečná poze v případě, so-l fncí teploty. Data lze zísat: z materálové databáze smlačního program z odborné lteratry, de so vša váděna především pro čsté prvy, nebo pro záladní drhy materál a většno poze pro pooové teploty přímým expermentálním měřením (fnančně náročné) nverzním modelováním (ombnace experment a nmercých výpočtů). Jech podstata spočívá v dsretzac proměnných, a proto maí právě značný potencál platnění v počítačovém modelování. Je pro ně charaterstcá opaovatelnost ednodchých algebracých operací rčtého typ, což odpovídá operačním vlastnostem číslcových počítačů. Nmercé metody možňí zísat řešení úloh v onečném počt dsrétních míst (zlů) zvolené dferenční sítě nebo sítě onečných prvů, a to v celé oblast č v eí povrchové část. Nmercé metody se rozdělí: metody onečných dferencí (Fnte Dfference Method - FDM) metody onečných obemů (Fnte Volme Method - FVM) metody onečných prvů (Fnte Element Method - FEM) metody oraových (hrančních) prvů (Bondary Element Method BEM) V smlačních programech slévárensých procesů se nečastě vysytí výpočtové modly požívaící metod onečných dferencí a metod onečných prvů. Z toho důvod se zaměříme poze na rátý pops poze těchto dvo zmíněných metod. Metoda onečných dferencí (FDM) Metoda sítí se stává edno z nežívaněších přblžných metod nmercého řešení parcálních rovnc. Je ednodchá, nversální a dá se žít velm rozmantým typům hrančních úloh včetně nelneárních. Velá část nedůležtěších techncých problémů vedocích parcálním dferencálním rovncím se proto řeší toto metodo. 63

64 Nmercé metody Podstata metody onečných dferencí, tero nědy taé nazýváme metodo sítí, spočívá v aproxmac záladní dferencální rovnce s příslšným oraovým podmínam odpovídaící rovnc dferenční, ež má tvar sostavy algebracých rovnc. To znamená, že se parcální dervace v dferencálních rovncích popsících chování model nahrazí dferencem, t. lneárním ombnacem fnčních hodnot hledané fnce v oolních bodech: f ( a) lm h0 f ( a h) h f ( a) f (a) - dervace fnční hodnoty v bodě a, f(a) - fnční hodnota v bodě a, h - déla ro Kro h bývá často nahrazován časovo změno, Tomto tvar se říá dopředná dference. Fnční hodnot dervace lze vyádřt ao: f ( a h) f ( a) R( a) f ( a) h h de R(a) rče chyb měření, tero do výpočt nezahrneme. Tto nerovnost označeme ao chyb dsredtační. Celová nepřesnost výpočt e pa sočtem právě této odchyly a zaorohlovací chyby. Aproxmace e tím doonaleší, čím přesněším výrazy nahraze dervace. Zmíněná dferenční aproxmace se nazývá explctní dferenční schéma. Náhrada se provádí v dsrétních místech tvořeným zly sítě porývaící zomano oblast. Konečným výsledem algebracých operací e rčení hledané hodnoty v daném zl. Odvození přílad řešení provedeme na obecné úloze ve dvo prostorových dmenzích: t f x y x y, t f x, y, t, de a pro t x, y a, bxa, ) 0, T, b Počáteční podmín (v podstavě) x, y,0 gx, y, x y, Oraové podmíny (v bočních stěnách) x, y, t x, y, t, t 0, T x, y na hranc se odvodí síťové rovnce, de: N, r - so přrozená čísla, h = (b-a)/n; T r 64

65 Nmercé metody 65 V oblast pa važeme síť tvořeno zly (x, y, t ) Pro pevné bdeme množn bodů (x, z, t ) nazývat - to časovo vrstvo Dervací podle čas t nahradíme dopředno dferenc Kde ) (, e přblžné řešení úlohy v zl (x, z, t ) Dervací podle proměnných x a y pa nahradíme následovně: Dervac podle x pomocí hodnot Dervac podle y pomocí hodnot Na -té časově vrstvě pa platí: A následné dervace nabývaí tvar: N h a x,...,, 0 N h a y,...,, 0 r t,...,, 0, ),,,,,,,,,,, h x,, h y,, h h h x,,,,,,, h h h y,,,,,,,

66 Nmercé metody 66 Celem lze tedy rovnc přepsat pomocí dferencí tato: Obr.5. Vzalzace explctní metody Z hodnot na -té časové vrstvě se počítá nová hodnota, na (+)-ní vrstvě. Tento způsob se nazývá explctní metoda, pomocí teré dostáváme přímo rerentní vztah a není potřeba řešt sostav rovnc. Pod chceme zísat onvergentní a nmercy stablní metod, požívá se mplctní metoda, terá vyžívá zpětno dferenc a zároveň dferenc drhého řád. Př náhradě dervace podle čas t dopředno dferencí, analogcé dervac podle proměnných x a y a náhradě pomocí hodnot na (+) časové vrstvě: se zísá analogcý vztah Tím se zísá sostava rovnc (mplctní metoda). Tato metoda e početně náročněší. Tento nedostate lze ompenzovat vyžtím velých časových roů. Obr.6. Vzalzace mplctní metody h y x,,,,, 4,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 f h

67 Nmercé metody 67 Kombnac mplctní a explctní metody (lneární ombnace) představe Cran- Ncolsonova metoda, terá vyžívá dferenc v čase n+/ a opět centrální dferenc drhého řád. Tato metoda e vždy onvergentní a nmercy stablní. Vellost odchyly roste v závslost na vzdálenost bod od orae, a proto e ntné požít časově emno mříž. Obr.7. Cran - Ncolsonova metoda Výsledný tvar řešení modelové rovnce nabývá tvar: Obecný postp metody FDM pa probíhá v následících rocích: Výběr vhodné množny zlů (výběr sítě) - metoda onečných dferencí se požívá poze pro zavřené oblast, se známým oraovým podmínam na hrancích oblast. Vytvoření hstší sítě představe přesněší výpočet, ovšem zabírá více pamět v počítač a výpočet e delší. Můžeme taé zvolt proměnlvo hstot sítě. Tam de, se hodnota sledované fnce více mění, nadefneme hstší síť a na zbyte geometre zvolíme síť méně emno. Obr.8. Přílad sítí s různým zly f f h h,,,,,,,,,,,,,, 4 4

68 Nmercé metody Aproxmace dferencálního operátor dferenčním Představe ž zmíněno záměn dferencální rovnce za dferenční. Následné řešení e vypočítáváno poze v zlech defnované sítě. Sestavení sostavy rovnc (oraové podmíny) Dále se tyto rovnce sestaví do výpočtové matce a přdělí se ednotlvým zlům sořadnce. Řešení sostavy rovnc Př řešení rovnc požíváme Gassov elmnac, vlastní čísla-vetory č terační metody. Metody onečných dferencí lze podle drh zvoleného dferenčního výraz rozdělt na explctní, mplctní a ombnované, přčemž moho být realzovány ao ednovrstvé, vícevrstvé nebo vícenásobné. Snaha zmenšt rozsah výpočetních operací př řešení různě složtých a vcerozměrových úloh vede vytváření stále eonomčtěších dferenčních výrazů, vhodných pro výonné číslcové počítače. K záladním charaterstcým vlastnostem př vzáemném poszování metod patří onvergence, přesnost a stablta řešení. Požívané sítě můžeme rozdělt na čtvercové, obdélníové a to pravdelné č nepravdelné a specální ao např. šestúhelníové, polární apod. Dnes pratcy nepožívaněší drhy so pravoúhlé sítě. Nepravdelné se požívaí snadnění formlace oraových podmíne a zhšťování, resp. zřeďování sítě, protože přesnost aproxmace závsí na hstotě sítě. Př zahšťování vša roste nmercá pracnost výpočt a e proto výhodné zhšťovat síť en v těch místech, de nás zaímá zvýšená přesnost. Výhodo metod FDM e ednodchost př programování a nmercé realzac a relatvní ednodchost v nelneárních matematcých modelech. Naprot nevýhod e problém s aproxmací oraových podmíne na ednotlvých částech hranc, teré neso vhodně požtelné na rozdílné hsté sítě, a dále zhoršení přesnost aproxmovaného řešení pro síť s různým odstpem zlů. Obr.9. Síť generovaná metodo FDM 68

69 Nmercé metody Z vedeného e vdět, že metoda sítí e v podstatě požtelná pro lbovolný typ parcální dferencální rovnce. U něterých typů úloh e vša často ntné omezt se na specální tvar sítě, de časové dělení e závslé na prostorovém dělení. Metoda onečných prvů (FEM) Metoda onečných prvů patří mez varační metody. Tyto metody vznly na záladě obev Drchletova prncp řešení dferencálních rovnc. Záladem těchto metod e výběr řešení problém z celé třídy možných řešení. Př varačních metodách hledáme řešení dané úlohy pomocí posného řešení. Spotá oblast se rozdělí na onečné prvy vhodného tvar, vzáemně spol vázané v zlech. Spotost fnconál rozložení hodnot v prvcích e provázena nespotostí na ech hrancích. Proto e vhodné požít rčení hledané závslost ntegrálního fnconál. Je představován ntegrálem po celé oblast a část hrance, na níž neso známy příslšné fnce teploty nebo ech dervací Postpeme ta, že daný fnconál vyádříme ao fnc předpoládaného posného řešení. Ze všech možných řešení, splňící oraové podmíny, pa vybereme to, teré ční daný fnconál stablní - zastí eho mnmm. Máme-l parcální dferencální rovnc: 0 x y Která e defnovaná v omezené oblast G se známo oraovo podmíno na hranc ve tvar: =g(s) I lze sestavt následící Drchletův ntegrál: x y G dxdy Nalezením fnce, terá mnmalze tento fnconál, e nalezeno řešení dané dferencální rovnce Je-l dán fnconál napřílad ve tvar: x x F ( x, y, y, y ) dx defnovaný v zavřeném nterval <x,x > s předepsaným fnčním hodnotam v raních bodech: y = y a y = y, potom fnce y na obr. 30 představe přesné řešení úlohy. Varační metoda hledá něm blízé řešení. Dvě taováto řešení so na obráz označená ao y a y. Jaéolv taové posné řešení lze vyádřt pomocí fnce popsící přesné řešení a eí varace y. Potom platí rovnost: y y y 69

70 Nmercé metody Varace fnce y = y(x) e potom defnována ao lbovolná neonečná malá změna fnce pro dano hodnot nezávsle proměnné x. Obr.30. Varační metoda řešení hodnoty fnce Metoda onečný prvů spočívá pa v tom, že se těleso rozdělí na tzv. onečné prvy. Konečným prvem, terý e záladem této metody, rozmíme zvolený element (obem, plochy, dély) defnovaný zly v rozích, popř. na hranách. Tato převedeme ndsrétní těleso na těleso dsrétní, složené z prvů, teré so navzáem spoeny v zlech - v onečném počt bodů. Řešení dferencální rovnce se na elementárních oblastech aproxme ednodchým fncem lneárním č vadratcým polynomy. Výchozí parcální dferencální rovnce se převádí na sostav lneárních algebracých rovnc pro hledané hodnoty potencál v zlových bodech. Obecný postp metody FEM lze rozdělt do následící roů: Dsretzace analyzované oblast Rozdělení analyzované oblast na podoblast (onečné prvy elementy), teré maí vlastnost: vzáemně se nepřerývaí ech sednocení zahrne celo analyzovano oblast v aždém prv sítě onstantní parametry analyzované strtr Moho mít tvar: o úsečy (D) o troúhelníy (D) o obdélníy (D) o čtyřstěny ( 3D) 70

71 Nmercé metody Neednodšším prvem pro rovnné úlohy e troúhelníový prve se třem zlovým body, terý hledano fnc aproxme lneárním polynomem s parametry a, a, a 3 ve tvar: a ax a3 y Aproxmace hledané fnce Fyzální vlastnost tělesa, posntí, napětí, teplota atd. lze nahradt fncí prostorových sořadnc. Tato fnce se nazývá aproxmační fncí nebo taé fncí tvar. Sestavení matcové rovnce Vyřešení matcové rovnce (pomocí nverzní matce, Gassovo elmnací) Požtí metody FEM (metody onečných prvů) možňe řešt obrovsé sostavy až o mlónech rovnc a mlonech neznámých na počítačích s paralelní archtetro. Obr.3. Síť generovaná metodo FEM Porovnání metod FDM a FEM Odpověď na otáz, terá z vedených metod e výhodněší, není ednoznačná. Obecně platí, že FDM možňe snadno dsretzac, což představe menší nároy na hardware počítače ratší dob výpočt. Na drho stran proložení sítě geometrcým modelem deforme oblé č sosené část model (zeména př větších roztečích ednotlvých bodů sítě), což se proeví v přesnost výpočt, pod se neprovede loální orece. Něteré metody řešení maí zabdován algortms, terý atomatcy během výpočt provádí oprav obem a ploch elementů v závslost na stečné geometr a požtých materálech model. Výhoda metody FEM spočívá v tom, že lépe opíre geometrcý tvar povrch model, možňe loální zahštění, t. navolení větší hstoty sítě v rčtých problémových místech. Na rozdíl od FDM lze řešt deformace odlt př vzáemné nterac s formo, neboť zavedení nelneart typ velé deformace a ontatní podmíny (teplotní deformační) e FEM poměrně ednodché. Nevýhodo pa so větší nároy na hardware počítače a delší doba výpočt. Obě metody se ale daí ombnovat. Napřílad vlastní proces ltí t. výpočty prodění a přenos tepla řešt FDM s následným řešením pevnostní a deformační problematy pomocí FEM. Je vša ntný přenos hodnot z zlů sítě FDM do zlů sítě FEM. 7

72 Nmercé metody Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Fyzálního modelování Matematcé modelování Podobnost Geometrcá, nematcá a dynamcá podobnost Krtéra podobnost Analytcé řešení Nmercé řešení Podmíny ednoznačnost Metoda onečných dferencí (Fnte Dfference Method - FDM) Metoda onečných prvů (Fnte Element Method - FEM) Otázy probraném čv. Co lze řešt pomocí modelování na příslšném průmyslovém zařízení?:. Ja dělíme modelování procesů? 3. Jaé so hlavní rozdíly mez fyzálním a matematcým modelováním? 4. Co e to geometrcá podobnost? 5. Co e to nematcá podobnost? 6. Jaá další podobnost mez modelem a modelovaným systémem msí být splněna, aby platla nematcá podobnost? 7. Co e to dynamcá podobnost? 8. Jaá další podobnost mez modelem a modelovaným systémem se předpoládaí, aby platla dynamcá podobnost? 9. Které záladní rovnce so řešeny př fyzálním modelování slévárensých procesů? 0. Co e to bezrozměrový parametr (rtérm podobnost)?. Co říá I. Věta podobnost?. Co e to záladní rovnce? 3. Co říá II. Věta podobnost? 4. Co má líčový význam v model pro výpočet přenos tepla během slévárensého proces? 5. Jaé způsoby řešení matematcého model lze požít, aé so mez nm rozdíly? 6. Co so to podmíny ednoznačnost? 7. Kol drhů oraových podmíne známe a aé? 7

73 Nmercé metody 8. Jaé nmercé metody se nečastě požívaí pro smlac slévárensých prvů? 9. Co se rozmí pomem dsretzace analyzované oblast? Požtá lteratra, tero lze čerpat dalším std KŘIVÝ, I., KINDLER, E.: Smlace a modelování, Stdní opora. Ostravsá nverzta, 00, BONOLLO,F., ODORIZZI, S. Nmercal Smlaton of Fondry Processes. st ed. Padova: S.G.E., 00, 64 p. ISBN VAŽAN, P., SCHREIBER, P., TANUŠKA, P., The opportntes and problems of smlaton optmzaton, In Proceedngs of 40th Sprng Internatonal Conference Modellng and Smlaton od Systems, Ostrava, 006, ISBN , s RÁBOVÁ, Z. et.al. Modelování a smlace, VUT Brno, 99 PELÁNEK, R. Modelování a smlace omplexních systémů, MnPress, Brno 0, 33s. ISBN NOSKIEVIČ, P. Modelování a dentface systémů, Montanex Ostrava999,76 s., ISBN BONOLLO,F., ODORIZZI, S. Nmercal Smlaton of Fondry Processes. st ed. Padova: S.G.E., 00, 64 p. ISBN HERMAN, A., et.al.: Počítačové smlace ve slévárenství, ČVUT, Praha, 000, ISBN X. VLADÍK, R.: Smlace prodění ov ve slévárensé formě z hledsa eho reoxdace Dsertační práce, 0, VŠB-TU Ostrava RÉDR, M, PŘÍHODA, M.: Zálady tepelné techny, Praha SNTL, 99 PŘÍHODA, M., RÉDR, M.: Sdílení tepla a prodění, Ostrava998, 80s. TRBIŽAN, M., et. al.: Castng Smlaton Bacgrond and Examples from Erope and USA. World Fondrymen organzaton, Lblana, ISBN , 00, CHARVÁT, O.: Novny v oblast nmercé smlace slévárensých procesů: FOND-EX 008, Slévárenství, 5-6, 008, s MICHÁLEK, K.: Vyžtí fyzálního a nmercého modelování pro optmalzace metalrgcých procesů, Ostrava, VŠB TU Ostrava, 00, ISBN BURBELKO, A., KAPTURKIEWICZ, W.: Methods of Castng Soldfcaton Modellng, XI Medzynarodowa onferenca odlewnow Polsch, Czesch Slowacch, In Spolpráca, Zaopane,

74 Nmercé metody PASTIRCAK, R., SLADEK, A.: Zlevarense procesy a poctacova smlaca, Materalove Inžnerstvo, č. 3, 003, s KOSOUR, V., HORÁČEK, M.: Smlaton of fondry processes, In Proceedngs of 0th Internatonal Fondrymen Conference, Unverzty of Zagreb, Chorvatso, 00, s , ISBN KOZUBKOVÁ, M.: Modelování prodění tetn FLUENT, CFX, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 003, ISBN DRÁBKOVÁ, S. a ol.: Mechana tetn, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, s. ISBN FELCMAN, J.: Matematcé metody v mechance tetn, Praha, KNM Press, s. FOŘT, J.: Nmercá smlace prodění, Praha, ČVUT, 005, ISBN CWUDZINSKI, A.: Nmercal smlaton of lqd steel flow and behavor of non-metalc nclson n one-strand slab tndsh wth sbflx trblence controller and gas permeable barrer, Ironmang & Steelmang, vol. 37, č.3, 00, s PLACHÝ, J., NĚMEC, M., BEDNÁŘ, B.: Teore slévání, Praha, ČVUT, 00, ISBN HAVLÍČEK, F.: Teore Slévárenství, Ostrava, VŠB-TU, 99, 30 s RUSÍN, K.: Teore Slévárensých procesů, Praha, SNTL, 987, 4 s. NOVÁ, I.: Teore slévání Díl., Lberec, Techncá nverzta, 006, ISBN X. BARKHUDAROV, M. R.: Advanced Smlaton of the Flow and Heat Transfer Processes n Smltaneos Engneerng, Flow Scence, Inc. techncal note #4, FSI-95-TN4, 995 MOLNAR, D., KAROLY, B., JENO, D., Investgaton and smlaton of resdal stress at cast ron castngs, Sborní meznárodní onference - Výzm a vývo ve slévárenství, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 005, ISBN , s. 6- DITTEL, D., FOJTÍK, P., VELIČKA, M.: Nmercé smlování tepelných procesů př plynlém odlévání ocel, In sborní XXIX. Setání ateder mechany tetn a termomechany, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 00, s , ISBN ŠPANIEL, M., HORÁK, Z.: Úvod do metody onečných prvů, Praha, ČVUT, 0, ISBN

75 Nmercé smlování 5 Nmercé smlování 5. Archtetra smlačních programů Čas e std: hodny Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat závslost dynamy proces přenos tepla defnovat ednotlvé roy smlačního výpočt popsat archtetr smlačních programů... Výlad Nmercá smlace slévárensých procesů s v posledních letech vyboovala pevné místo mez nástro požívaným pro optmalzac navrhovaných technologí výroby odltů. Ačol vlastní zšenost technologa so stále nezastptelné, smlační software může být v eho rách mocným nástroem, terý m možní optmalzovat procesy, zvýšt vyžtí ov č snížt procento neshodných výrobů a tím zefetvnt výrob. Cílem matematcého modelování e doladění navrhované technologe ve fáz přípravy výroby ta, abychom se vyhnl náladném expermentálním zošení. Všechny dostpné smlační programy se na první pohled lší grafco úpravo žvatelsého prostředí, ale ech archtetra s e navzáem velm podobná a nezáleží na operačním systém, pod nímž prací (Obr 3.) 75

76 Nmercé smlování Obr.3. Hlavní etapy smlačních výpočtů Krystalzace odltů ve formách e řízena způsobem přenos tepla v systém odlte forma oolní prostředí. Z odltého ov e v průběh thntí ntno odvést teplo přehřátí z tetého ov a rystalzační teplo, přčemž platí: Q ov Dynama proces přenos tepla e závslá na: Q formy Q oolí Geometrcém spořádání a hmotnostech ednotlvých omponent m ov; m forma Způsob plnění formy tetým ovem Počátečních teplotách všech prvů systém a ech prostorovém rozložení Interval rystalzace T L a T S a rystalzačním tepl ov Q rystal. Sočntel vedení tepla ov ; forma Měrné tepelné apactě c ov;c forma hstotách ov ; forma Podmínách přenos tepla z ov do formy defnovaných sočntelem přestp tepla -f 76

77 Nmercé smlování Podmínách ochlazování na vněším povrch formy většno vyádřené teploto oolního méda a T OK a sočntelem přestp tepla do f-o Z tohoto důvod před samotným operacem smlačních výpočtů obvyle bývá předřazena databáze ovových a formovacích materálů. Záladem správných a v prax požtelných výsledů smlací e znalost tepelně-fyzálních vlastností onrétních materálů formy a odlt. Požtí neodpovídaících hodnot potřebných velčn bývá nečastě příčno rozdílů mez výsledy zísaných smlací a expermentálním měřením př srovnatelných podmínách. Pod databáze neobsahe stečně požívaný materál pro onrétní případ pa se msí doplnt, např. expermentálně, a doladt na dané podmíny. Záladní tepelné vlastnost α, c, λ, ρ a. by měly být defnovány v závslost na teplotě. 5.. Preprocessng Obr.33. Hlavní etapy smlačních výpočtů Tento ro představe vytvoření geometrcých dat odlt. Geometrcá data se vnášeí do program dvěma způsoby. Bď so data přenášena z externích CAD systémů v různých exportních formátech (.stl,.ogs,.dxf,.ges, a.), nebo e vytvoření ompletní geometre odlt v rámc smlačního program Geometrcé fnce sí tového generátor, terý pomáhá CAD systém zpracovávat onstrc pro prostorovo smlac thntí příslšného odlt. V něterých smlačních programech e ntné geometr vytvořeno v CAD aplac převést v generátor FEM, a teprve poté tento formát načíst v smlačním software. Jedná se hlavně o nadefnování ploch, ontrol vygenerované sítě a eí oprav. Nědy v tomto CAD program msíme dodefnovat tvar formy s eí návazností na vygenerovano síť odlt 77

78 Nmercé smlování Obr.34. Model odlt mportovaný do smlačního program Pam-QCAST Dále se v tomto ro přřazí materály ednotlvým položám (ov, forma, ádro, chladíta, oblady náltů, fltry a další). Preprocesor taé složí defnování velost formy a poloze odlt v ní, zadání materálů odlévaného ov včetně lcí teploty z databáze, materál formy případně ádra a ech výchozí teploty apod. Zomaná oblast se rozdělí na podoblast, v terých potom probíhá vlastní výpočet. S emností dělení sovsí přesnost výpočt, ale tay doba výpočt a nároy na hardware počítače (operační paměť) a stanoví se po aých rocích a aá data se maí ládat na ds. Nadefní se oraové a počáteční podmíny (teploty, rychlost, tlay atd.) a probíhá zde potřebné rozšřování povrch /obem tělesa pro nětero z metod dsretzace řešení (FDM, FEM a.). Nastavení oraových a počátečních podmíne e pro správno smlac to nedůležtěší. Vždy vycházíme ze stanoveného technologcého postp a dodržíme zde všechny parametry, teré so v postp vymenovány. Těmto parametry může být myšlena lcí teplota, teplota formy, lcí výša, správné nadefnování podmíne přestp a odvod tepla, nadefnování tlošťy formy, prodyšnost formy, drsnost povrch (průměrná tlošťa ostřva) a další. Zde záleží na typ smlačního software. Něterý software má velce ednodché zadání počátečních podmíne (toto může být poze nadefnování odvod tepla poze na vněší stěny formy) a ný velce omplované (moh s ve fáz přípravě geometre nadefnovat x ploch a na aždo ploch moh zadat něol počátečních a oraových podmíne - nědy časově proměnných). Následným důležtým roem e nastavení bod, plochy, de vstpe ov do vtoové sostavy, a přřazení počátečních podmíne rčtém obem. Pro zštění průběh teplot v ednotlvých částech odlt a formy můžeme nadefnovat místění pomyslných termočlánů. 5.. Manprocessng Tento ro představe hlavní ro celého smlačního výpočt. Jedná se o vlastní výpočtový modl, terý po zvolených rocích ládá zvolená data nmercého řešení defnovaného smlačního model na ds. Program vypočte změny teplot během smlovaného slévárensého proces, popřípadě se provede analýza napětí nebo mrostrtry. 78

79 5..3 Postprocessng Nmercé smlování Složí vyvolání vypočtených datových soborů, ech prohlížení, vzalzac a std vypočtených a ložených datových soborů. Sledeme a analyzeme na nch rychlostní, teplotní a tlaová pole během plnění dtny formy, postp thntí odlt, tvorb staženn, lze zde zísat dob thntí a vyspěleších SW lze pozorovat vntřní pntí (tahová a tlaová napětí), zbytové deformace a predovat strtr a mrostrtr odlt. Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Archtetra smlačního program Preprocessng Manprocessng Postprocessng Požtá lteratra, tero lze čerpat dalším std ČECH, J., et.al.: Výroba odltů s požtím počítačových smlac a programů ve frmě ŽĎAS a.s., Slévárenství, č. 0, 004, s KOVAŘÍK J., et.al.: Optmalzace technologe pomocí program ProCast., Slévárenství, č. 0, 004, s HERMAN, A., et. al.: Počítačové smlace ve slévárenství, Vydavatelství ČVUT, Praha, 000, ISBN X. WARIJA, U., BROWNE M., BROWNE D., J.: As-cast gran sze dstrbton predcton for gran refned castngs va smlatng free eqaxed dendrte transport drng soldfcaton, Internatonal Fondry Research, 63, 0, č., s. 8-3 ČECH, J., et. al.: Predce pórovtost a mrostrtry tlaově ltého odlt z Al sltny pomocí smlace a experment, Slévárenství, č. 3-4, 00, s KOTAS, P., TIEDJE, N., S.: Ověření přesnost nmercé smlace pro gravtační ltí do písových forem, Slévárenství, č. 7-8, 009, s VLADÍK, R.: Smlace prodění ov ve slévárensé formě z hledsa eho reoxdace Dsertační práce, 0, VŠB-TU Ostrava 79

80 Metody ltí - gravtační ltí 6 Vyžtí smlačních programů pro různé metody ltí 6. Gravtační ltí Čas e std: hodna Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat záladní prncp metody gravtačního ltí defnovat oblast, teré se př smlacích gravtačního ltí převážně sledí Výlad Technologe výroby odltů metodo gravtačního ltí patří mez záladní technologe výroby odltů. Forma e plněna vlvem vlastní tíhy roztaveného ov. Gravtační způsob odlévání lze rozdělt na dva způsoby. Prvním způsobem e gravtační ltí odltů do písových (netrvalých) forem, dy lze vyrobt aýolv odlte bez ohled na složtost, tvar, rozměry, hmotnost materál. Ncméně tento způsob e spoen s nžší rozměrovo přesností, nžším vyžtím ov atd. Drho možností e potom gravtační ltí do ol. Jedná se o poměrně ednodcho technolog. Formy obvyle bývaí zhotoveny odléváním z ltny s lčovým graftem. Dělící rovna, pínací výstpy a vyhazovací otvory so obrobeny, fnční plocha dtny formy zůstává často v ltém stav. Výhodo této technologe e rychleší thntí odltů než v písových formách. Tato vyrobené odlty maí emnozrněší strtr, lepší povrchovo aost atd. Na straně drhé, nálady na formy so výrazně vyšší, tato technologe e rčena en pro rčtý drh sltn. řeší: Z hledsa vyžtí smlačních programů, se v technolog gravtačního ltí nečastě Charater plnění dtny formy s ohledem na drh sltny, geometre navržené vtoové sostavy, Způsob thntí odltů, místění tepelných os a zlů a tím spoených vad typ staženny a ředny, Umístění a účnnost technologcých přídavů (dmenzování a účnnost náltů) 80

81 Metody ltí - gravtační ltí Výpočet thntí, případně chladntí odlt, aá zbytová pntí moho zůstat v odlt, aá e náchylnost e vzn trhln a prasln a a se odlte bde deformovat Obecně se plnění formy tetým ovem řídí záony hydromechany, řeší se rychlost plnění dtny formy, způsob prodění, zda e dtna formy plněna poldně, t. lamnárně nebo zda e rychlost plnění přílš vysoá a prod tetého ov má trblentní charater a dochází následné oxdac ov. Obr.35. Vzalzace plnění formy tetým ovem Př návrh nové technologe, se snažíme zabránt vzn slévárensých vad typ staženn a ředn, případně ech mnmalzace nebo přemístění ta, aby byly aceptovatelné. Tento typ vad se vysyte většny techncých sltn a ech podstata e spoena s úbytem obem tzv. stahováním, e terém dochází v průběh ochlazování tavenny a thntí. Nemá-l v odlt vznnot staženna, e ntno tento obemový defct doplnt z dostatečně dmenzovaných náltů, teré lze na záladě opaované smlace dále. Na tyto otázy nám může pomoc odpovědět nmercá smlace. První výpočet thntí samotného odlt (bez náltů, vtoové sostavy) napoví, aým způsobem odlte thne, de dochází e vzn tepelných zlů a de so poslední místa thntí. Tato analýza napomůže př návrh rozmístění náltů, případně dalších prvů ovlvňících tepelné poměry během thntí a chladntí (chladíta, zolace). Následe opětovná fáze tzv. preprocesng, př teré technolog přpraví návrh velost a místění ednotlvých náltů, případně dalších částí. Abychom obdržel přesněší představ o tepelné blanc řešené sostavy, e vhodné modelovat plnění formy 8

82 Metody ltí - gravtační ltí Obr.36. Zobrazení thntí odlt Na výsledy provedených analýz plnění navaze výpočet thntí, případně chladntí odlt (napětí a deformace). Z charater teplotního pole během thntí lze sledovat, zda dochází směrněném thntí a zda nálty so tepelně obemově dostatečné. Z postp fronty thntí s případným požtím specálních rterálních fncí lze rčt dosazovací vzdálenost náltů. Přímo tedy vdíme, zda nedochází samostatném thntí něterých částí odlt, teré so odděleny od dosazování tetého ov z náltů Obr.37. Zobrazení thntí a vzn pórozty v odlt: predce vzn staženn v odlt V případě, že zvolená technologe řeší spoově problémy spoené s thntím, můžeme dále optmalzovat napřílad velost a typ požtých náltů. V dnešní době e běžno praxí požívání zolačních nebo exotermcých obladů. I tyto moderní technologcé pomůcy moho být zahrnty do výpočt. U složtých odltů, teré maí omplované přechody stěn, nás často zaímá, aá zbytová pntí moho zůstat v odlt, aá e náchylnost e vzn trhln a prasln a a se odlte bde deformovat. Materálové modely zahrní elastcé, elasto-plastcé nebo elastovsózní vlastnost odlt nebo formy. Během výpočt se važe s odtržením zthlého povrch odlt od formy a tedy s formováním vzdchových mezer. Koefcent přestp tepla e atomatcy přepočítáván, což možní přesné výpočty přenos tepla během thntí a chladntí. U nepoddaných forem můžeme sledovat vlv brzděného smrštění na vzn napětí v 8

83 Metody ltí - gravtační ltí odlt, případně následné deformace po vymtí z formy. Tyto výpočty specfí příčny vzn nežádocích evů a podněcí úvahy o změně tepelné blance proces, případně so argmentem zásah do geometre sočást Shrntí pomů aptoly (podaptoly). Režm plnění dtny formy Thntí odltů Staženny a ředny Porozta 83

84 Metody ltí - ltí do sořepnových forem 6. Ltí do sořepnových forem Čas e std: hodn Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat záladní prncp metody ltí do sořepnových forem defnovat oblast, teré se př smlacích přesného ltí převážně sledí defnovat rozdílné podmíny a pochody př ltí do sořepnových forem od ostatních běžných metod ltí odltů Výlad Obecně lze říc, že, v průběh thntí e nezbytně ntné odvést teplo přehřátí z tetého ov a rystalzační teplo z odltého ov. V případě sořepnových forem e toto teplo částečně amlováno ve sořepnové formě a částečně odvedené do oolí. Tím se lší tepelné pochody př ltí do sořepnových forem od ných slévárensých technologí. Na rozdíl od běžně požívaných forem z dsperzních materálů (písových forem) se př ltí do žíhaných relatvně tenostěnných forem e rozhodící podíl tepla odvedeného do oolí. Teplotní režm formy vzná v něola po sobě docích rocích: žíhání sořepny transport z žíhací pece na lcí pole prodleva na lcím pol až do počát ltí odvod tepla z formy po odltí tetého ov Počáteční teplotní profl vzná v oamž vymtí formy z žíhací pece, dy ve formě exste homogenní teplotní pole a dochází ochlazování. Odvod tepla probíhá v této fáz převážně radací a onvecí do oolního prostředí, což představe relatvně těžo defnovatelné podmíny, v nchž sehrává svo rol ncené ochlazování v důsled pohyb formy a vzdch. Př stání formy na lcím pol do oamž ltí probíhá odvod tepla proděním a sáláním do oolního prostředí. Z tohoto důvod e nezbytně ntné řešt průběh chladntí a rystalzace ov omplexně ve všech výše vedených etapách. Množství amlovaného tepla závsí na poměr hmotnost ov a formy a na počáteční teplotě formy. Př odlévání do forem s vysoo počáteční teploto (po žíhání) e význam amlace tepla eště snže. Tepelně 84

85 Metody ltí - ltí do sořepnových forem amlační schopnost sořepnových forem e významná tenostěnných a tvarově rozlehlých odltů s ráto dobo thntí. U slnostěnných odltů ompatního tvar e významněší podíl tepla, odvedeného během thntí z formy do oolí. Celová ntenzta tepelného to z formy do oolí závsí na rozdíl teplot vněšího povrch formy T f a teploty oolí T OK, ochlazované ploše S a na celovém efetvním sočntel tepla cel, terý e tvořen složo radační a složo onvetvní: dq cel f o cel T ( on rad) Amlace tepla z ov ve sořepně e defnována na záladě přestp tepla mez odltem a formo vedením na rozhraní obo prostředí. Tepelný to v aždém oamž e úměrný sočntel přestp tepla mez ovem a formo a rozdíl teplot T (ov) a T f (formy). Část tohoto tepla e ve formě amlováno v solad se vztahem: f T o Sdt. q f a m f c f T Kde T e změna teploty, m f e hmotnost element formy a c f představe měrné teplo formy. Odvod tepla onvecí, terý představeš neednodšší část výpočt, se řídí Newtonovým ochlazovacím záonem defnící závslost hstoty tepelného to na sočntel přestp tepla. Intenzt přestp tepla pa vyadře oefcent přestp tepla, ehož velost závsí na vlastnostech méda, rychlost a charater prodění a geometrí obtéaného povrch. Hodnot lze rčt pomocí Nsseltova rtéra: L N de L C - e charaterstcý rozměr (defnován geometrí obtéaného tělesa) - sočntel tepelné vodvost tetny Intenzta tepelného vyzařování tělesa závsí na teplotě a vyzařovací schopnost eho povrch. Reálná tělesa vyzaří podobně ao těleso šedé, což e těleso, terého předpoládáme, že poměrná spetrální zářvost e v celém rozsah vlnových déle onstantní. Pod nebde docházet přílš velým změnám ech teplot, pa se reálná tělesa chovaí ao těleso šedé. Reálné hodnoty spetrální celové emsvty závsí především na materál a povaze (např. valtě opracování) povrch. Emsvta eramcých materálů se pohybe mez 0,4 a 0,8. Emsvt lze expermentálně zšťovat pomocí termoamery snímaící povrch sořepny s termočlánem, terým se zaznamenává povrchová teplota, potřebná pro výpočet emsvty. Tto tepelno stac lze řešt pro reálné onfgrace sořepn poze nmerco smlací. Pro výpočet e ntno s dostatečno přesností analyzovat oraové podmíny a vlv geometrcého spořádání celé sostavy. Nmercé řešení problém transport tepla z tetého ov a z formy do oolního prostředí vyžade zadání počátečních a oraových podmíne a tepelně - fyzálních parametrů všech slože. C 85

86 Metody ltí - ltí do sořepnových forem Obráze 38 znázorňe schéma žíhání sořepny, odlévání a thntí ov. Toto schéma zednodšeně aze materálová tepelně-fyzální data, počáteční a oraové podmíny, teré so ntné pro výpočet přestp tepel. Ncméně řada z těchto parametrů není zavedena v databázích smlačních programů nebo neso dostatečně verfována, a ta msí být stanovena ndvdálně pro daný proces expermentem. Obr.38. Schéma přestp tepla př proces přesného ltí a termofyzální data ntná pro nmercý výpočet Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Sořepnová forma Newtonův ochlazovací záon Nsseltovo rtérm 86

87 Metody ltí - tlaové ltí 6.3 Tlaové ltí Čas e std: hodna Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat zálady technologe ltí odltů pod tlaem defnovat oblast, teré se př smlacích tlaového ltí převážně sledí Výlad Ltí pod tlaem představe edn z nerozšířeněších technologí pro výrob odltů Tlaové ltí e nedůležtěší technologí výroby hlníových odltů. Prncpem výroby e vstřování roztavené sltny do dtny ovové formy vysoo rychlostí 40-60m/s a thntí pod vysoým tlaem až 50 MPa. Za těchto podmíne e možné vyrábět tvarově velm omplované odlty s tlošťo stěn od přblžně - mm, za rčtých podmíne a něterých sltn méně, než mm. Rozměry odltů so velm přesné menších rozměrů lze dosáhnot přesnost až 0,3-0,5 %. Nmercá smlace možňe sledovat tlaovém ltí ve všech eho fázích: cylování pohyb píst v omoře plnění dtny formy ovem odvzdšnění chladntí odlt dotla Znalost rozložení teplotních polí v průběh celého cyl ltí e velm důležtá, neen z hledsa zatížení formy, ale steně pro navrhování účnného systém chladících nebo temperačních análů. Dalším výstpem z cylování e taé stanovení přesné teploty formy na počát cyl pro výpočet plnění formy. Jaost odlt během výrobního cyl e výrazně ovlvněna první fází lsování. Pohyb píst a chování ov v omoře může predovat množství zavřeného vzdch v této fáz proces, což se může proevt množstvím a drhem vznlých vad. Navíc smlace pohyb píst lze vyžít rčení rychlost ov v nařízntí, terá patří mez líčové parametry 87

88 Metody ltí - tlaové ltí z pohled fnální aost odlt Dále e možné velce snadno odhalt místa s trblentním plněním a zhodnott správnost místění přetoů Změno geometrcých parametrů nebo procenta zaplnění omory e pa možné elmnovat nepříznvé stace, teré so příčno vzn různých vad (např. porezty). Snížení porezty lze dosáhnot řízením parametrů proces ao e rychlost plnění, ntenzta chlazení, množství a typ postř formy nebo odvzdšnění formy.. Obr.39. Průběh teplotního pole tlaově ltého odlt Znalost pohyb ov ve formě napomáhá defnc rtcých míst onstrce odlt, teré se během reálných expermentů proeví ao vady odltů. Pomocí smlace lze defnovat optmální poloh vto a přetoů, odvzdšnění volb optmální rychlost plnění dtny formy a ověření lcí teploty ov. Porezta, a ž bylo vedeno, patří mez nerozšířeněší vady odltů vyráběných vysootlaým ltím. Vzn porezty, ať ž e vyvolána smršťováním vlvem nedostatečného doplňování tetého ov mez teplotam lvd a sold nebo zamícháním vzdch do rychle prodící tavenny př plnění formy, lze predovat pomocí smlačních programů (Obr. 38) a následně pravt parametry, teré vzn porezty významně ovlvňí. Jedná se především o pracovní tla, terý e vyvozený pístem a doplňe ov př smrštění. Dále doba plnění a rychlost v zářez. Nemalý vlv má způsob a drh požtého nástř na ochran formy. Smrštění materál e ve všech místech stené, ale porezta vyvolána smrštěním se vysyte poze tlstých stěn odlt, t. v místech, terá thno ao poslední. Tento efet lze ovlvnt řízeným chlazením a ontrolo formy. 88

89 Metody ltí - tlaové ltí Obr.40. Rychlost plnění modelového odlt Obr.4. Hodnocení mroporezty HPDC technologe 89

90 Metody ltí - tlaové ltí Shrntí pomů aptoly (podaptoly) Nařízntí Cylování Staženna a porezta Dotla Požtá lteratra, tero lze čerpat dalším std MICHNA, Š., et. al.: Encylopede hlní, ADIN, Prešov, 005, s.700, ISBN LICHÝ, P., ELBEL, T.: Specální metody výroby odltů. Stdní opora VŠB-TU Ostrava, 008 KRUTIŠ, V., KUZMA, Z. Nmercá smlace ve slévárensé technolog. MM spetrm, dostpné z < KOVÁČ, M.,et. al. Přenos tepla př odlévání do sořepnových forem. Sborní vědecých prací VŠB-TUO, řada htncá, 50,, s ROUČKA, J. et.al. Teplotní procesy př odlévání do samonosných sořepnových forem a ech nmercá smlace, In Proceedng Metal 008, , Hradec nad Moravcí HERMAN, A.: Přesné ltí na vytavtelný model. Stdní opora, ČVUT Praha HERMAN, A., et. al. Počítačové smlace ve slévárenství, ČVUT, Praha, 000 NOVÁ, I. Smlační výpočty thntí a chladntí odltů ao účnný nástro výroby aostních odltů. Slévárenství, 50, 8-9, 00, 3-35 KÁBOVÁ, H.: Počítačová smlace ao prostřede rychlení předvýrobních etap. Slévárenství, 50, 8-9, 00, KALPAKIAN, S., SCHMID, S.R., Pearson Edcaton, 006 ANGLADA, E., et.al.: Adstment of Nmercal Smlaton Model to the Investment Castng Process. In. Proceedngs of the 5th Manfactrng Engneerng Socety. Internatonal Conference Zaragoza, Jne 03 90

91 Smlační programy ve slévárenství 7 Smlační programy ve slévárenství Čas e std: 3 hodn Cíl Po prostdování tohoto odstavce bdete mět defnovat... popsat... vyřešt... Výlad 7. Hstorcý vývo Obecně lze počítačovo smlac označt ao vysoce účnný nástro optmalzace procesů a děů s vyžtím vysoce výonných počítačů. V 60. letech se př řešení něterých úloh nestaconárního sdílení tepla a hmoty začaly platňovat analogové počítače, dy plnění forem a thntí se řešlo nmerco smlací na velých počítačích, teré tehdy vlastnly velé podny nebo výzmné ústavy. V 80. letech, dy se podařlo zapot do tohoto proces významné evropsé vysoošolsé nsttce specalzované na slévárenství, se obevly první slévárensé smlační softwary zaměřené na thntí odltů. V Japons byly známé pod označením Ishawama Harma, Kawasa Steel, Kawasa Heavy Indstry, Komat Sesasho, Kobe Steel, Toyota; v USA se ednalo o Cast Anasys, Marc, Mtas II. V Evropě vznly první smlační programy na Slévárensém nsttt RWTH Aachen v Němec (software neměl označení) a v Angl smlační program Dct. Před roem 990 něteré programy něteré programy zpracovávaly poze přestp tepla, příladem byl SOLSTAR od Foseca. Uázaly slévačům, že smlace není záležtostí vědců a že posytí cenné onrétní výsledy v prax Od výstavy GIFA v roce 989 se obevly na trh první ompletní programy, teré řešly otázy plnění forem. To byl přílad MAGMA-soft, ProCast, Flow3D a SIMULOR Dnes nacházíme na evropsém trh celo řad slévárensých omplexních smlačních programů, teré dávaí žvatel možnost řešení různých úloh, stále se noví a doplňí. 9

92 7. Přehled smlačních programů Smlační programy ve slévárenství Modelování thntí, terým se ve většně případů př návrh nebo úpravě technologe zaobíráme, spočívá v řešení rovnce přestp tepla entalpco metodo spoeno s modely adaptovaným na rčté spny sltn. Pomocí termomechancých modelů se počítaí deformace odltů. K tom všem přstpe vzalzace zoterm, zthlých částí, vad typ staženn a deformací vznlých během thntí a ochlazování odltů. Přídavné modly předvídaí mrostrtr LKG, emnost zrna, výsyt bbln sltn Al atd. Pro tyto účely smlační programy obsahí matematcé rozpracování nerůzněších rovnc a fyzálních záonů: Naver Stoesův záon zachování hybnost Forerov dferencální rovnc nestaconárního přestp tepla Záony mechany thého tělesa př plastcé a elastcé deformac Rovnce pro stanovení napětí a deformace Transformační a strtrní dagramy Implementace smlačních programů do technologcého postp výroby odltů zobraze schéma na Obr.4. Obr.4. Zapoení smlačních programů př tvorbě technologcého postp výroby 9

93 Smlační programy ve slévárenství Přehled nerozšířeněších smlačních programů vyžívaných pro smlac slévárensých programů zachyce Obr..43. V smlačních programech slévárensých procesů se nečastě vysytí výpočtové modly požívaící metod onečných dferencí (FDM) a metod onečných prvů (FEM). Smlační programy prodělávaí nestálý vývo, dochází vývo, přesňování a ladění různých modlů rčených pro dano problemat (predce mrostrtry apod.). Výpočty se zrátly z něola dnů na něol hodn. Tím se z nmercé smlace stal nástro dalog mez účastníy vývoe odltů a byl možněn nástp smltánního nženýrství a metod RAPID PROTOTYPING ve slévárenství. Zvýšla se ta schopnost onrence sléváren, teré přestaly být obyčeným sbdodavatelem polotovarů, ale staly se přímým účastníem tvorby výrobů. Obr.43. Přehled neběžněších smlačních programů požívaných ve slévárenství. 93

94 Smlační programy ve slévárenství 7.3 MAGMASOFT Software MAGMASOFT představe nerozšířeněší smlační systém - zhrba 750 nstalací z toho v ČR., ehož vývo a dstrbc zabezpeče němecá frma MAGM GmbH. Jedná se omplexní modlární smlační program, terý byl vyvnt na Techncé nverztě v Aachen ve spolprác s frmo MAGMAsoft GmbH Aachen a Techncé nverztě v Kodan. Sládá se z ednotlvých modlů, e to vysoce propracovaný program smlace 3D, pomocí terého lze zobrazt dynam tečení tavenny, thntí a popřípadě chladntí odltů ve slévárensé formě, prodění apaln, přestp tepla a zbytových pntí pro všechny hlavní slévárensé procesy. Další možností program e výpočet eroze formy, a to a písových forem, ta ol pro vysootlaé ltí. Př výpočt se vychází z referenčních hodnot, po echž přeročení dochází eroz. Velm efetvní fnc e výpočet přetla vzdch, terý vzná př plnění dtny formy. Přtéaící tavenna stlače vzdch, terý se nachází vntř, a ten má možnost nat pres samotno form nebo odvzdšňovací anály. Ta se dostává slévárensým technologům do ro nástro, terý podstatně zednodše návrh a následno optmalzac vtoové a odvzdšňovací sostavy.má vlastní CAD nterface pro tvorb geometre a příprav výpočetní sítě. Smlační program prace na záladě metody onečných dferencí. Tento proces generování sítě e prováděn plně atomatcy a doba trvání síťování se pohybe oolo mnty. Do tohoto atomatcého proces mže žvatel vstopt pro rčení velost ednotlvých element a ech vzáemného poměr. Předností FDM metody e eí rychlost, atomatzace a přesnost bez ntnost podrobných znalostí o generování sítí. Vygenerování sítě netvoří síť poze pro odlte, ale taé pro vtoovo a náltovo sostav, form, ádro a chladící anály. Pomocí dferenční metody se úloha převede dle dferencálního operátora (nečastě pomocí Taylorova rozvoe) na dferencální rovnce, podle níž se různá tělesa moho řešt za rčtých omezení oraové podmíny pro řešení dferencálních rovnc. V program MAGMASOFT -5 so všechny roy proces smlace prováděny paralelně: e možné nteratvní zobrazení a defnce proces ltí, manplace s geometrí nebo smltánní vyhodnocování výsled. Lze e aplovat procesů : ocel, ltny, sltny Al a neželezných ovů, pro ltí do písových a ovových forem, př ltí gravtačním, nízotlaém a tlaovém, přesné ltí do sořepnových forem. 94

95 Smlační programy ve slévárenství. Obr.44. Pops záladních modlů software MAGMASOFT V následícím text s rozebereme něteré záladní modly smlačního program MAGMASOFT a vysvětlíme s ech fnc. MAGMASOFTfll e modl, terý smle vyplnování dtny formy tetým ovem. Reší plnení vtoové sostavy, odhade možnost vzn eroze formy, provádí výpocet plnících cas a výpocet rzných rtérí. Dále slede prbeh prodení a vzn trblentních oblastí, slede tlay a teploty v tavenne, aož rychlost prodení ov v ednotlvých cástech technologe. Na obráz 4 e zobrazena áza smlace průběh plnění vysootlaého ltí (úprava tvar nařízntí). Vlevo e vdět špatné zaústění vtoové sostavy. V důsled přítomnost vzdch, terý e z počát zavřen v této oblast a následně e vehnán do prostor odlt, lze předpoládat zvýšeno porezt. Steno stac zobraze obráze napravo, ncméně e zobrazen pomocí tzv. trasovacích částc, pomocí terých lze rozpoznat trblentní charater plnění dtny formy. 95