Matematický model zálohování a obnovy dat

Transkript

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: aemacký model zálohování a obnovy da ahemacal model of daa backup and recovery Karel Burda burda@feec.vubr.cz Fakula elekroechnky a komunkačních echnologí VUT v Brně Absrak: V článku e odvozen maemacký model zálohování a obnovy da. Pomocí ohoo modelu lze zšťova obemy da ednolvých záloh, kvanavně hodno vlasnos různých ypů zálohovacích sraegí a aké kalkulova pořebné kapacy zálohovacích úložšť. V článku e rovněž upřesněna ermnologe problemaky zálohování a e navržena sysemacká klasfkace ypů zálohování. Absrac: In he paper, he mahemacal model of daa backup and recovery s derved. Usng hs model, we can esablsh he amoun of daa of ndvdual backups, quanavely evaluae he properes of dfferen ypes of backup sraeges and calculae he requred capaces of backup reposores oo. In he paper, he ermnology n he feld of backng up s specfed and a sysemac classfcaon of backup ypes s proposed.

2 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 aemacký model zálohování a obnovy da Karel Burda Fakula elekroechnky a komunkačních echnologí VUT v Brně Emal: burda@feec.vubr.cz Absrak V článku e odvozen maemacký model zálohování a obnovy da. Pomocí ohoo modelu lze zšťova obemy da ednolvých záloh, kvanavně hodno vlasnos různých ypů zálohovacích sraegí a aké kalkulova pořebné kapacy zálohovacích úložšť. V článku e rovněž upřesněna ermnologe problemaky zálohování a e navržena sysemacká klasfkace ypů zálohování. Úvod Daa sou edním z necenněších akv osob organzací. V důsledku poruch echnckých zařízení nebo chyb obsluhy však může doí k ech znčení. Z ohoo důvodu se daa průběžně kopíruí do záložního daového úložšě (zv. zálohování), aby se v případě pořeby dala ao daa rekonsruova (zv. obnova da). Kope da byly vyvářeny ž od samoných počáků vývoe počíačů, přčemž se k ech ukládání používala paměťová méda, kerá v dané době byla běžně používána. Podle [] se od 50. le 20. soleí neprve vyvářely kope děrných šíků a od 60. le se k zálohování da začaly používa magnecké pásky. Přblžně od polovny 80. le se začaly používa aké pevné dsky a pozdě celá pole pevných dsků ("Redundan Array of Independen Dsks" RAID) [2]. Pro menší obemy da se od 70. le používaly k zálohování da především dskey, keré však byly v polovně 90. le vylačeny opckým dsky. V současné době se pro malé obemy da používaí USB flash dsky. S rozvoem počíačových síí v 80. leech se obevla možnos zálohova daa neen lokálně, ale aké vzdáleně. Vznkala vysokokapacní úložšě da, na kerá bylo možno zasíla kope da prosředncvím počíačových síí (zv. echnka onlne zálohování). Příslušná úložšě se nazývaí buď síťově přpoená úložšě ("Nework Aached Sorage" NAS) nebo síť lokálních úložšť ("Sorage Area Nework" SAN) [2]. V prvém případě se edná o edné paměťové úložšě dosupné prosředncvím síťového přpoení a ve druhém případě se edná o několk paměťových úložšť dosupných prosředncvím vysokorychlosní lokální síě. I přes velký význam zálohování v současné době neesue dosaečně obecný maemacký model zálohování a obnovy da, přčemž publkované modely sou vesměs orenovány na určování míry rzka zráy da [3]. Předkládaný článek uvádí maemacký model popsu zálohování, kerý dovolue kvanavní porovnání různých způsobů zálohování. V následuící kapole sou formulovány základní pomy a formalzován proces zálohování a obnovy da. Třeí kapola e věnována popsu modelu zálohování a obnovy da, ve čvré kapole e eno model aplkován na různé způsoby zálohování da a získané výsledky sou dskuovány. 2 Formalzace zálohování Termnologe používaná v souvslos se zálohováním není usálená, a proo s v éo kapole neprve upřesníme základní pomy. Prvním důležým pomem e paměťové médum, což e určé fyzkální ěleso, ehož elemenární prosorové oblas (zv. domény) se mohou nacháze v ednom z více možných savů. Příkladem paměťového méda e deska pevného dsku pokryá magnecky měkkým maerálem. V akovémo případě sou doménam elemenární plošky na povrchu desky, keré mohou mí ednu ze dvou různých magneckých orenací. Savy domén se označuí absrakním značkam, keré se nazývaí symboly. V našem příkladu s pevným dskem všechny domény s určým směrem magnecké orenace reprezenuí symboly 0 a domény s opačným směrem magnecké orenace pak reprezenuí symboly. Symbolům a ech posloupnosem lze pomocí vhodného kódování přřad nformac a ímo způsobem ak můžeme do paměťových médí ukláda nformace. Zařízení s paměťovým médem, keré e určeno k zapsování a ke čení posloupnosí symbolů, nazveme paměťové úložšě a ukládané posloupnos symbolů budeme nazýva daa D. Daa sou v paměťovém úložš srukurována do určých elemenárních (. dále nedělelných) posloupnosí symbolů, ako sou například sekory pevného dsku. Elemenární posloupnos symbolů d budeme nazýva daovou ednokou, přčemž -ou daovou ednoku budeme znač d. Daová ednoka d může v průběhu času reprezenova odlšné posloupnos symbolů, keré budeme nazýva verzem daové ednoky d. Prázdnou daovou ednoku,. ednoku d, kerá neobsahue žádná daa, budeme formálně zapsova ako d = 0. Obem režních da (zv. meada) daových ednoek (např. čas zápsu da) nebudeme v modelu uvažova. Jak ž bylo uvedeno, daové ednoky daa se v průběhu času mění. Z hledska zálohování sou významným událosm změna daové ednoky a vzeí zálohy. Ke zednodušení popsu předpokládáme, že uvedené událos nemohou nasáva současně a aké předpokládáme, že změna daové ednoky vzeí zálohy maí nulovou dobu rvání,. sou provedeny okamžě. Pokud v čase došlo ke změně daové ednoky d, ak uo verz daové ednoky budeme znač d ( ), přčemž ao verze e akuální v časovém nervalu, ), kde e okamžk následuící změny daové ednoky d. Pokud došlo v okamžku ke vzeí zálohy, ak d ( ) bude reprezenova verz daové ednoky, kerá e v okamžku vzeí zálohy akuální. Nyní můžeme defnova obnovu da ("Daa Recovery") ako proces rekonsrukce da do savu, ve kerém se nacházela 0

3 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 v určém časovém okamžku. K éo rekonsrukc sou zapořebí záznamy o původních daech, keré se nazývaí zálohy da ("Daa Backup"). Daa v okamžku budeme znač D( ) a budeme předpokláda, že sesávaí celkově z n daových ednoek d ( ) až d n ( ). Daa poom můžeme formálně vyadřova ako vekor daových ednoek: n ) = d ( ), d ( ), K, d ( ) = d ( ) () [ ] [ ]. D ( 2 n = Základem akéhokolv ypu zálohování e úplná záloha. Úplná záloha F( ) e záznam veškerých da, kerá esovala v okamžku,. plaí, že: F( ) = D( ). (2) Úplné zálohy sou značně obemné, neboť obsahuí aké daa, kerá se od poslední zálohy nezměnla. Proo se yo zálohy časo kombnuí s dílčím záloham, keré obsahuí en daa změněná od někeré z předchozích záloh. Dílčí zálohu P(, ) budeme defnova ako záznam všech da, kerá se změnla v nervalu (,. Pokud změnu daové ednoky d v uvedeném nervalu budeme označova b (, ), ak pro uo změnu plaí: 0, když d ( ) = d ( ), b (, ) = d, když d byla vymazána, (3) d ( ), nak. První řádek vyadřue suac, kdy v daném nervalu nedošlo k žádné změně daové ednoky d, druhý řádek reprezenue suac, kdy daová ednoka d byla v nervalu (, vymazána a řeí řádek odpovídá suac, kdy daová ednoka d byla v daném nervalu buď vyvořena, nebo modfkována. Dílčí zálohu P(, ) poom můžeme formálně zapsa: n, ) = b (, ) (4) [ ]. P ( = Pokud nebude zapořebí rozlšova úplnou zálohu F( ) a dílčí zálohu P(, ), ak budeme zálohu obecně označova ako B( ). Dílčí zálohy budeme klasfkova na nervalové a aomcké. Inervalová záloha I(, ) e dílčí záloha, kerá obsahue poslední verze ěch daových ednoek, u nchž v nervalu (, došlo ke změně. To znamená, že pokud se v nervalu mez a změní daová ednoka vícekrá, ak daná nervalová záloha bude obsahova pouze u verz daové ednoky, kerá byla akuální v čase. Důsledkem e skuečnos, že v případě nervalového zálohování lze obnov sav da pouze k okamžkům vzeí zálohy. Příkladem sou denní zálohy, kdy lze daa obnov do savu, kerý měla například o půlnoc každého dne. Teno yp zálohování e hsorcky nesarší a vyvořené zálohy maí menší obem. Aomcké zálohování e moderní meoda, kerou umožnla echnka zv. snímkování (např. [4]). Uvedená echnka fungue ak, že př zápsu nových da se v úložš ponechávaí původní daa (zv. snímek, anglcky "snapsho"). V případě aomckého zálohování se zálohuí veškeré snímky a ak lze daa obnov do savu z lbovolného časového okamžku. Nevýhodou ohoo ypu zálohování sou velké obemy záloh. Než s aomcké zálohy vysvělíme podrobně, ak neprve prodskuueme schémaa obnovy da. Schéma obnovy da defnue posup rekonsrukce da z pořízených záloh. V omo článku budeme schémaa obnovy vyadřova pomocí grafu. Uzly grafu označené a reprezenuí zálohy B( ) a B( ) a orenovaná hrana (, ) vyadřue, že př obnově da e nuné neprve obnov daa ze zálohy B( ) a následně e akualzova day ze zálohy B( ). Teno vzah mez záloham nazveme návaznos záloh. Zálohu B( ) budeme v akovémo případě nazýva referenční zálohou a zálohu B( ) budeme nazýva navazuící zálohou. Na obr. e uveden příklad schémau obnovy pro pě po sobě doucích záloh B( ) až B( 5 ). Záloha B( ),. uzel, e úplná záloha, kerá obsahue veškerá daa z okamžku. Zároveň e ao záloha referenční zálohou pro zálohy B( 2 ) a B( 4 ) a y sou referenčním záloham pro dílčí zálohy B( 3 ) a B( 5 ). Inervalové zálohy B( 2 ), B( 3 ) a B( 5 ) obsahuí záznamy da, kerá se změnla od neblžší předchozí zálohy a nervalová záloha B( 4 ) obsahue záznamy da, kerá se změnla v nervalu (, 4. Obrázek : Příklad schémau obnovy. Z obr. e zřemé, že k obnově da například z okamžku 3 e zapořebí do hlavního paměťového úložšě zapsa úplnou zálohu B( ), ao daa akualzova zálohou B( 2 ) a následně ešě akualzova zálohou B( 3 ). Operac, ve keré sou daa D( ) obnovena z da D( ) pomocí navazuící dílčí zálohy P(, ), budeme nazýva akualzací da a zapsova: D( ) P(, ) = D( ), (5) přčemž akualzac každé ednolvé daové ednoky formálně vyádříme: d ( ) = d ( ) b (, ) = d ( ), pro b (, ) = 0, (6) = 0, pro b (, ) = d, d ( ), nak. První řádek vyadřue suac, kdy e v záloze uvedeno, že v průběhu daného nervalu nedošlo k žádné změně daové ednoky d, druhý řádek reprezenue suac, kdy e v záloze uvedeno, že daová ednoka d byla vymazána a řeí řádek odpovídá suac, kdy záloha obsahue daovou ednoku d ( ),. suac, kdy uvedená ednoka e opro okamžku buď vyvořena, nebo modfkována. Pro operac akualzace da plaí, že není komuavní,. eí výsledek závsí na pořadí operandů. Rovněž e zapořebí s uvědom, že každá záloha sou v podsaě určá daa a ak v operac akualzace da může bý day D lbovolná záloha B. Nyní můžeme přeí k podrobněšímu popsu schéma obnovy. Významné posavení mez schémay obnovy maí mlníkové, rozdílové a nkremenální schéma obnovy. V soudobé

4 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 lerauře se aké časo označuí ako úplná, rozdílová a nkremenální zálohovací sraege [5]. Pro náš příklad pě záloh sou uvedená schémaa lusrována na obr. 2 až 4. Obrázek 2 zobrazue mlníkové schéma obnovy. Too schéma se vyznačue ím, že sesává výhradně z úplných záloh (mlníků),. B( ) = F( ). Nevýhodou ohoo schémau obnovy e značný obem záloh (. na kapacu zálohovacích úložšť sou kladeny vysoké požadavky), ale výhodou e ednoduchá obnova. Daa D( ) obnovíme ednoduše ak, že do hlavního úložšě zapíšeme zálohu F( ),.: D( ) = F( ). (7) Obrázek 4: Příklad nkremenálního schémau obnovy. Obrázek 2: Příklad mlníkového schémau obnovy. Rozdílové schéma obnovy lusrue obr. 3. Uvedené schéma e založeno na om, že první záloha B( ) e úplnou zálohou a všechny osaní zálohy sou nervalové, přčemž e pro ně referenční zálohou první záloha. Formálně oo schéma můžeme zapsa, že B( ) = F( ) a B( ) = I(, ), kde = 2 až 5. Výhodou opro předchozímu schémau e celkově menší obem záloh, avšak obnova da D( ) pro > e poněkud složěší. Posup e akový, že do úložšě neprve zapíšeme daa ze zálohy F( ) a a následně akualzueme zálohou I(, ). Pro obnovu da v rozdílovém schémau obnovy edy plaí, že: F( ), pro =, D ( ) = F( ) I(, ), nak. Obrázek 3: Příklad rozdílového schémau obnovy. Obr. 4 lusrue nkremenální schéma obnovy. Uvedené schéma e založeno na om, že první záloha B( ) e úplnou zálohou a všechny osaní zálohy sou nervalové, přčemž pro všechny e referenční zálohou neblžší předchozí záloha. Formálně oo schéma můžeme zapsa, že B( ) = F( ) a B() = I(, ), kde = 2 až 5. Výhodou opro všem předešlým schémaům e celkově nemenší obem záloh, avšak obnova da D( ) pro > e v průměru nesložěší. Je o dáno ím, že daa ze zálohy B( ) musí bý posupně akualzována všem záloham B( 2 ) až B( ). Pro obnovu da v nkremenálním schémau obnovy edy můžeme psá, že: (8) F( ), pro =, D ( ) = (9) F( ) I(, ), nak. = 2 Nyní se můžeme vrá k popsu aomckého zálohování. V úložších, kerá využívaí echnku snímkování, se př zápsu nové daové ednoky ponechává původní verze daové ednoky, zv. snímek. Zálohovací program po svém spušění vyhledává v úložš akuální daa snímky, keré doposud nebyly zálohovány. Pomocí časových údaů vedených o daových ednokách lze výsky verzí daových ednoek v úložš uspořáda v čase, přčemž uvedená posloupnos dovolue obnov daa v úložš do savu z lbovolného časového okamžku. Z hledska zálohování můžeme posloupnos výskyu ednolvých daových ednoek d ( ) v čase chápa ako posloupnos záloh A(, ), keré sou uspořádány v nkremenálním schémau obnovy da. Aomcké zálohy A(, ) sou sce formálně dílčí zálohou v nervalu (,, ale na rozdíl od nervalových záloh se vyznačuí ím, že obsahuí vždy pouze ednou nenulovou daovou ednoku. Pro aomckou zálohu, kerá popsue změnu daové ednoky d y v okamžku,. pro aomckou zálohu s nenulovou daovou ednokou d y ( ) plaí: n, ) = b (, ) (0) přčemž [ ], A ( = d y ( ), pro = y, b (, ) = () 0, nak. Operace akualzace da plaí samozřemě pro aomckou zálohu. Aomcké zálohování budeme lusrova na scénář, kerý e dán abulkou Tab.. V omo scénář daa sesávaí ze ří daových ednoek d, kde {, 2, 3}. V čase byly do úložšě nahrány daové ednoky d ( ), d 2 ( ) a d 3 ( ) a z ěcho verzí daových ednoek byla současně vyvořena úplná záloha F( ). V okamžku 2 došlo ke změně daové ednoky d 2 ( ) na verz d 2 ( 2 ), v čase 3 pak došlo ke změně daové ednoky d 3 ( ) na verz d 3 ( 3 ) a nakonec v okamžku 4 došlo ke změně daové ednoky d 2 ( 2 ) na verz d 2 ( 4 ). Pokud e v okamžku 5 spušěno další zálohování, ak akuálním day budou daové ednoky d ( ), d 2 ( 4 ) a d 3 ( 3 ). V úložš se dále nacházeí snímky d 2 ( ), d 2 ( 2 ) a d 3 ( ). Zálohovací program podle časových údaů u ednolvých daových ednoek a snímků zsí, že opro úplné záloze B( ) = F( ) = [d ( ), d 2 ( ), d 3 ( )] se nedříve změnla druhá daová ednoka na verz d 2 ( 2 ) a u zapíše ako aomckou zálohu B( 2 ) = A(, 2 ) = [0, d 2 ( 2 ), 0]. Analogcky vyvoří dvě zbývaící zálohy B( 3 ) = A( 2, 3 ) = [0, 0, d 3 ( 3 )] a B( 4 ) = A( 3, 4 ) = [0, d 2 ( 4 ), 0]. Snímky sarých verzí daových ednoek pak mohou bý z hlavního úložšě vymazány a vyvořené zálohy e možné podle nkre- 2

5 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 menálního schémau obnovy (vz obr. 5) využí k obnově da do lbovolné podoby, v níž se nacházela v časovém nervalu, 5. K poslednímu řádku Tab. poznamenáváme, že v okamžku 5 nedošlo k žádné změně da a ak aomcká záloha pro eno okamžk neesue. Tabulka : Scénář pro lusrac aomckého zálohování. d ( ) d 2 ( ) d 3 ( ) Zálohy B d ( ) d 2 ( ) d 3 ( ) B( ) = F( ) = [d ( ), d 2 ( ), d 3 ( )] 2 d ( ) d 2 ( 2 ) d 3 ( ) B( 2 ) = A(, 2 ) = [0, d 2 ( 2 ), 0] 3 d ( ) d 2 ( 2 ) d 3 ( 3 ) B( 3 ) = A( 2, 3 ) = [0, 0, d 3 ( 3 )] 4 d ( ) d 2 ( 4 ) d 3 ( 3 ) B( 4 ) = A( 3, 4 ) = [0, d 2 ( 4 ), 0] 5 d ( ) d 2 ( 4 ) d 3 ( 3 ) Obrázek 5: Příklad aomckého zálohování. Pokud by souhrn aomckých záloh byl přílš obemný, ak e možné aomcké zálohy převés na vhodné nervalové zálohy. Omezí se ak sce poče časových okamžků, ke kerým lze daa obnov, ale na druhou sranu může doí k redukc celkového obemu záloh, proože se z každé změněné daové ednoky ponechává vždy en eí poslední verze. Z aomckých záloh lze pomocí operace akualzace da odvod nervalovou zálohu následovně: I (, ) = k= A( k, k+ ). (2) Pro náš příklad pak můžeme psá, že I(, 4 ) = A(, 2 ) A( 2, 3 ) A( 3, 4 ) = [0, d 2 ( 2 ), 0] [0, 0, d 3 ( 3 )] [0, d 2 ( 4 ), 0] = [0 0 0, d 2 ( 2 ) 0 d 2 ( 4 ), 0 d 3 ( 3 ) 0] = [0, d 2 ( 4 ), d 3 ( 3 )]. Vdíme, že naše aomcké zálohy celkově obsahovaly ř nenulové daové ednoky, ale vyvořená nervalová záloha už obsahue pouze dvě nenulové daové ednoky. Došlo edy k redukc obemu záloh, ale nyní sme schopn obnov pouze sav da z okamžku 4. Další echnkou, kerá ovlvnla způsoby zálohování da e echnka zrcadlení ("rrorng", např. [2]). Technka zrcadlení spočívá v om, že každá změna da v hlavním úložš e prakcky okamžě provedena v záložním úložš. Daa v obou úložších sou poom oožná a záložní úložšě e možné v případě haváre hlavního úložšě použí ako plnohodnonou náhradu vyřazeného úložšě. Nevýhodou popsané echnky e skuečnos, že nelze obnov sav da v někerém okamžku z mnulos. Pokud vyžadueme možnos obnov daa z mnulos, ak můžeme využí kombnace echnky zrcadlení a snímkování. Prncp uvedené kombnace spočívá v om, že v případě změny daové ednoky v hlavním úložš z verze d ( ) na verz d ( ) se ao změna provede aké na záložním úložš, avšak původní verze daové ednoky d ( ) e uložena ako aomcká záloha A(, ). Povšmněme s, že u ohoo ypu zálohování plaí, že > a že ao aomcká záloha pokrývá nerval, ). Aomcké zálohy uspořádané podle času dovoluí podle nkremenálního schémau obnovy návra do savu v lbovolném okamžku mnulos. Pokud e například zapořebí obnov daa D( ), ak uo obnovu provedeme ako: D ( ) = D( ) + k = A( k, k ). (3) V omo vzahu s povšmněme, že vzhledem k nekomuavnos operace akualzace da musíme daa akualzova od nemladší zálohy až po u nesarší. Na obr. 6 a v Tab. 2 e uveden příklad schémau obnovy pro zálohování založené na výše uvedené kombnac echnky zrcadlení a snímkování pro scénář událosí z obr. 5. Základem sou akuální daa D( ) záložního úložšě, což e prakcky úplná záloha F( ) akuálního savu hlavního paměťového úložšě. V okamžku 5 plaí, že F( 5 ) = [d ( ), d 2 ( 4 ), d 3 ( 3 )]. Teno akuální sav e zároveň roven savu z okamžku poslední změny da,. z okamžku 4. ůžeme edy psá, že F( 5 ) = D( 5 ) = D( 4 ). Na eno sav da podle nkremenálního schémau navazuí aomcké zálohy A( 4, 3 ) = [0, d 2 ( 3 ) = d 2 ( 2 ), 0], A( 3, 2 ) = [0, 0, d 3 ( 2 ) = d 3 ( )] a nakonec A( 2, ) = [0, d 2 ( ), 0]. Tabulka 2: Scénář pro lusrac regresvního aomckého zálohování. d ( ) d 2 ( ) d 3 ( ) Zálohy B d ( ) d 2 ( ) d 3 ( ) 2 d ( ) d 2 ( 2 ) d 3 ( ) B( ) = A( 2, ) = [0, d 2 ( ), 0] 3 d ( ) d 2 ( 2 ) d 3 ( 3 ) B( 2 ) = A( 3, 2 ) = [0, 0, d 3 ( )] 4 d ( ) d 2 ( 4 ) d 3 ( 3 ) B( 3 ) = A( 4, 3 ) = [0, d 2 ( 2 ), 0] 5 d ( ) d 2 ( 4 ) d 3 ( 3 ) D( 5 ) = B( 4 ) = [d ( ), d 2 ( 4 ), d 3 ( 3 )] Obrázek 6: Příklad regresvního schémau obnovy. Povšmněme s, že oo schéma e analogcké aomckému nkremenálnímu schémau z obr. 5. Rozdíl mez ěmo sché- 3

6 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 may spočívá pouze v om, že u schémau podle obr. 5 se obnovuí savy, keré následovaly po pořízení úplné zálohy B( ) a ve schémau podle obr. 6 se obnovuí savy, keré předcházely úplné záloze (a současně akuálním daům záložního úložšě),. B( 4 ) = D( 5 ). Schémaa obnovy, kde se obnovuí savy, keré následovaly po vzeí úplné zálohy, budeme nazýva progresvní schémaa. Schémaa pro obnovu savů, keré předcházely okamžku vzeí úplné zálohy, budeme nazýva regresvní schémaa obnovy. Regresvní progresvní schémaa obnovy s ekvvalenním grafy obnovy, ako sou y na obr. 5 a 6, maí z hledska celkového obemu záloh doby obnovy sené paramery, proože odrážeí sený proces změn daových ednoek. V éo souvslos e ešě vhodné poznamena, že regresvní schémaa obnovy nemusí bý pouze ypu nkremenální aomcké zálohy. Jak ž bylo uvedeno, z aomckých záloh lze odvod pomocí vzahu (2) lbovolné nervalové zálohy. To dovolue konsruova regresvní nervalová schémaa lbovolného ypu. Nyní s výše zavedené pomy zrekapulueme. Zálohy budeme klasfkova následovně: úplná, dílčí - nervalová, - aomcká. Schémaa obnovy budeme říd na: mlníkové, referenční - progresvní, - regresvní a referenční schémaa obnovy budeme klasfkova na: rozdílové, nkremenální, kombnované. V další kapole ukážeme, ak můžeme zálohy a schémaa obnovy kvanavně hodno. 3 aemacký model Obsahem éo kapoly e maemacký model, kerý umožňue kvanfkova obemy různých záloh a ak hodno vlasnos různých schéma obnovy. V našem modelu předpokládáme, že všechny daové ednoky d sesávaí ze seného poču symbolů. Poče symbolů daové ednoky budeme nazýva obem daové ednoky a znač d. Pesmscky předpokládáme, že se v hlavním úložš nevyskyuí žádné prázdné ednoky,. všechny daové ednoky obsahuí ve kerémkolv okamžku něaká daa. Pro celkový obem da v paměťovém úložš poom evdenně plaí, že D = n d. Tenýž vzah samozřemě plaí pro obem úplné zálohy vzaé v lbovolném okamžku, akže pro obem úplné zálohy můžeme psá: F( ) = D = d n. (4) Nyní řešme obem dílčích záloh. Předpokládeme, že k ( )-ní změně daové ednoky d došlo v čase a k -é změně daové ednoky došlo v čase. Označme dobu mez po sobě následuícím změnam daové ednoky u = ( ). Doby u sou v modelu reprezenovány náhodnou velčnou U se sřední hodnoou, přčemž předpokládáme, že sřední doba mez po sobě následuícím změnam daové ednoky e pro všechny daové ednoky sená. Velčna λ = / poom vyadřue nenzu změn daové ednoky v čase. Dále v našem modelu předpokládáme, že pravděpodobnosní rozdělení dob mez změnam daové ednoky se řídí eponencálním rozdělením,. pro dsrbuční funkc G náhodné velčny U plaí: λu G( u) = P( U u) = e. (5) Nyní s maemacky popíšeme nervalové zálohy, k čemuž použeme velčny uvedené na obr. 7. Podle ohoo obrázku došlo v okamžcích a 4 ke změně daové ednoky a v okamžcích 2 a 3 bylo provedeno zálohování da. Velčna T = ( 3 2 ) e doba mez ěmo záloham, proměnná u = ( 4 ) e realzací náhodné velčny U, což e doba mez změnam daové ednoky a velčna r = ( 2 ) e doba mez změnou daové ednoky a následuící zálohou. Změna daové ednoky, kerá se uskuečnla v čase, e pochopelně zaznamenána v záloze z okamžku 2. Nás nyní zaímá pravděpodobnos q, že pokud se daová ednoka do první zálohy (. do 2 ) nezmění, ak se nezmění an do okamžku 3,. do okamžku další zálohy. Formálně uo pravděpodobnos můžeme vyádř ako podmíněnou pravděpodobnos: q = P(U > r + T U > r). (6) Obrázek 7: Velčny pro pops maemackého modelu nervalové zálohy. Eponencální rozdělení e zv. rozdělením bez pamě, což formálně vyadřue vzah (např. [6], s. 40): P(U > r + T U > r) = P(U > T). (7) Pro náš případ z éo vlasnos vyplývá, že pokud za dobu r nedošlo ke změně daové ednoky (podmínka U > r), ak pravděpodobnos, že ke změně nedode za dobu (r + T) e sená ako pravděpodobnos, že ke změně nedode za dobu T. Z oho plyne, že: q = P( U > r + T U > r) = P( U > T ) = (8) = P( U T ) = G( T ). Z uvedené rovnce pak pro pravděpodobnos q plyne: λt q = G( T ) = e. (9) Velčna q vyadřue pravděpodobnos, že v době T mez po sobě doucím záloham nedode ke změně daové ednoky. Pro komplemenární pravděpodobnos p,. pravděpodobnos, že v době T mez po sobě doucím záloham dode alespoň k edné změně sledované daové ednoky, pak plyne: λ p = q = e T = G( T ). (20) Pokud daa sesávaí z n daových ednoek a pokud e pravděpodobnos změny daové ednoky v čase od ( T) po rovna hodnoě p, ak nervalová záloha I( T, ) bude v průměru obsahova n p změněných daových ednoek. Pro obem I( T, ) akovéo zálohy poom můžeme psá: 4

7 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 λ T I( T, ) = d n ( e ) = (2) λt = D ( e ) = D p. Uvedený vzah nám umožňue zs obem každé navazuící nervalové zálohy, kerá e vykonána po uplynuí doby T od příslušné referenční zálohy. V éo souvslos přpomínáme, že pokud mez oběma záloham došlo u daové ednoky k více změnám, ak v případě nervalového zálohování se zaznamenává pouze poslední verze změněné ednoky. Nyní vyřešme celkový obem S aomckých záloh za dobu T. Jak sme ž uvedl, ak nenza změn daové ednoky e rovna hodnoě λ. Za dobu T ak dode u n daových ednoek celkem k N = n λ T změnám daových ednoek. Každá ao změna e zaznamenána v edné aomcké záloze o obemu d symbolů. Za dobu T edy vznkne N aomckých záloh, echž celkový obem S( T, ) formálně vyádříme následovně: S( T, ) = d n λ T = (22) = D λ T = D ln, p přčemž k poslednímu vyádření celkového obemu aomckých záloh sme využl nverz vzahu (20). Získané vzahy nám dovoluí zs celkový obem aomckých záloh vyvořených za dobu T. Tímo sme dokončl kvanfkac obemu různých ypů záloh a nyní můžeme přsoup ke kvanavní analýze různých schéma obnovy. 4 Dskuse Využí výše uvedeného modelu budeme lusrova na schémaech obnovy z obr. až 4. Na obr. 2 e mlníkové schéma, na obr. 3 rozdílové schéma, na obr. 4 nkremenální a na obr. kombnované schéma obnovy. Poznamenáváme, že uvedená schémaa sou srovnaelná, neboť všechna sesávaí z = 5 záloh. V éo čás se omezíme en na referenční progresvní schémaa, proože získané výsledky zcela samozřemě plaí aké pro ekvvalenní regresvní schémaa obnovy. U všech schéma obnovy předpokládáme, že zálohy se prováděí pravdelně po nervalech o délce T. K porovnání schéma použeme dva paramery. Prvním paramerem e celkový obem záloh C, kerý ednoduše určíme ako souče obemů všech záloh v daném schémau,. C = B( ). (23) = Uvedený paramer prakcky reprezenue paměťové nároky daného schémau obnovy, přčemž uslueme o eho mnmální hodnou. Důvodem e skuečnos, že vyšší hodnoa celkového obemu záloh znamená pořebu záložního úložšě s vyšší paměťovou kapacou a udíž vyšší cenou. Dalším hledskem pro hodnocení schémau obnovy e doba obnovy. Pokud předpokládáme konsanní rychlos zápsu da ze záložního do hlavního úložšě, ak doba obnovy bude závse na obemu záloh, keré musíme k obnovení da D( ) do hlavního úložšě zapsa. K obnově da D( ) až D( ) e však nuné do úložšě pokaždé zapsa různé zálohy o různých obemech. Například pro schéma z obr. pořebueme k obnově da D( ) zapsa pouze úplnou zálohu B( ), avšak na druhou sranu k obnově da D( 5 ) pořebueme do hlavního úložšě zapsa zálohy B( ), B( 4 ) a B( 5 ). Zálohy pořebné k obnově da D( ) nazveme obnovovací zálohy a ech celkový obem budeme znač R. Pro formální pops éo velčny s označme množnu uzlů na cesě z uzlu úplné zálohy do uzlu ako množnu U. Například pro D( ) e uvedená cesa vořena pouze uzlem a ak U = {} a v případě da D( 5 ) e zmňovaná cesa vořena posloupnosí uzlů -4-5 a edy U 5 = {, 4, 5}. Pro R poom plaí: R = B( ), (24) k k U. například pro D( 5 ) e pak R 5 = B( ) + B( 4 ) + B( 5 ). Sřední hodnou ze všech hodno R až R nazveme sřední obem obnovovacích záloh a budeme znač symbolem R. Formálně můžeme psá: R = R. (25) = Jak ž bylo uvedeno, velčna R úměrně souvsí se sřední dobu obnovy da, a proo uslueme o eí nemenší možnou hodnou. Obnova da pak bude v průměru nerychleší. Nyní s odvodíme hodnoy obou krérí pro všechna zkoumaná schémaa, přčemž začneme s mlníkovým schémaem obnovy. V omo případě z obr. 2 vdíme, že celkový obem záloh e roven souču všech = 5 úplných záloh,. plaí: C = = F( ) = D. (26) Obemy obnovovacích záloh R sou u všech da D( ) sená, přčemž R = D. Pro sřední obem záloh R proo ednoduše plaí: R= D. (27) U rozdílového schémau obnovy (vz obr. 3) pro ednolvé zálohy plaí, že: D, =, B( ) = (28) λ ( ) T D ( e ), = 2,3,.... Ze vzahu (9) víme, že velčna e λ T e rovna pravděpodobnos q. Poom pro obemy záloh rozdílového schémau záloh můžeme psá: D, =, B( ) = (29) D ( q ), = 2,3,.... Po dosazení ěcho hodno do defnčních vzahů pro paramery C a R a po ednoduchých úpravách nakonec získáváme: q q C = D (30) q a D q q R = 2. (3) q U nkremenálního schémau obnovy (vz obr. 4) pro ednolvé zálohy plaí, že: D, =, B( ) = (32) λ T D ( e ), = 2,3,.... Po subsuc e λ T = q můžeme pro obemy záloh nkremenálního schémau záloh psá: 5

8 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 D, =, B( ) = (33) D ( q), = 2,3,.... Po dosazení ěcho hodno do defnčních vzahů pro paramery C a R a po ednoduchých úpravách nakonec získáváme: C = D q (34) [ ( ) ] a D R = [ ( + ) ( ) q]. (35) 2 Pro porovnání s výše uvedeným schémay ešě odvodíme hodnoy paramerů C a R pro kombnované schéma obnovy z obr.. První záloha e úplná,. B( ) = D. Druhá, řeí a páá záloha sou od m příslušné referenční zálohy vzdáleny dobu T a ak můžeme psá, že B( 2 ) = B( 3 ) = B( 5 ) = D ( q). Čvrá záloha e od své referenční zálohy vzdálena dobu 3 T a ak plaí, že B( 4 ) = D ( q 3 ). Dosazením výše uvedených hodno záloh do defnčních vzahů paramerů C a R a po ednoduchých úpravách získáme: 3 C = D 5 3 q q (36) ( ) a D 3 R = ( 4 q 2 q ). (37) 5 Závslos paramerů C a R s pro zkoumaná schémaa obnovy zobrazíme pro proměnnou p = ( q), což e pravděpodobnos, že u daové ednoky dode mez po sobě následuícím záloham (. za dobu T) ke změně. Závslos celkového obemu záloh C v násobcích velčny D na hodnoě p pro různá schémaa obnovy lusrue obr. 8. Z obrázku vdíme, že u mlníkového zálohování e hodnoa parameru C konsanní a rovna hodnoě 5 D nebo obecně D. U referenčních schéma obnovy plaí, že pro hodnou p = 0, e celkový obem záloh u všech schéma roven mnmu,. hodnoě D. Tao hodnoa e dána day první úplné zálohy. Osaní zálohy sou ož v případě p = 0 prázdné, proože nedochází k žádným změnám da. Druhým erémem všech referenčních schéma e hodnoa C pro případ, kdy nenza změn daové ednoky λ. V omo případě e pravděpodobnos p =,. za dobu T se změní všechna daa. V akovémo případě e celkový obem záloh C roven hodnoě D,. paměťové nároky referenčních schéma sou sené ako u mlníkového schémau. Z průběhu parameru C pro hodnoy p 0, vdíme, že erémy pro schémaa obnovy sou mlníkové schéma a nkremenální schéma. lníkové schéma má nevyšší nároky na paměťové kapacy pro zálohování Cma = D (38) a naopak nkremenální schéma má paměťové nároky nenžší: C = D [ ( ) p ]. (39) mn + Paměťové nároky osaních schéma se pohybuí mez hrancem, keré sou vymezeny mlníkovým a nkremenálním schémaem obnovy. Z obrázku dále vdíme, že specálně pro referenční schémaa sou hrančním případy rozdílové a nkremenální schéma. Závslos celkového obemu záloh C pro lbovolné kombnované schéma se ož vždy nachází mez odpovídaícím závslosm rozdílového a nkremenálního schémau. Je o dáno ím, že kombnované schéma e vždy něakou kombnací obou výše uvedených hrančních schéma obnovy. Obrázek 8: Celkový obem záloh C pro různá schémaa obnovy. Obr. 9 lusrue závslos sředního obemu R záloh pořebných k obnově konkréního savu da v závslos na proměnné p. Z obrázku e zřemé, že mnmální hodnou parameru R,. R mn = D (40) poskyue mlníkové schéma obnovy. Naopak nkremenální schéma voří horní hranc hodnoy parameru R, kerou můžeme vyádř lneární závslosí: R ma = D p +. 2 (4) Obrázek 9: Sřední obem záloh R pořebných k obnově da pro různá schémaa. Z obou výše uvedených obrázků vdíme, že mlníkové a nkremenální schéma sou hrančním erémy ak pro paramer C, ak pro paramer R. lníkové schéma e z hledska parameru C nehorší ze všech schéma a nkremenální e nelepší. V případě parameru R e omu přesně naopak. Rozdílové schéma a kombnovaná schémaa poom lze chápa ako kompromsy, keré se nacházeí mez oběma uvedeným erémy. Nyní nám zbývá ešě porovna obem zálohy pro nervalové a aomcké zálohování. V případě nervalové zálohy sme odvodl, že pro eí obem za dobu T plaí: λ T I( T, ) = D ( e ) = D p, (42) 6

9 VOL.6, NO., FEBRUARY 204 kde p e pravděpodobnos, že za dobu T dode alespoň k edné změně daové ednoky. Dále sme s odvodl, že pro celkový obem aomckých záloh za dobu T plaí: S( T, ) = D λ T = D ln. (43) p Na obr. 0 sou uvedeny závslos obemu nervalové a celkové aomcké zálohy na velčně p. Z obrázku e zřemé, že obecně vždy plaí S(, T) I(, T),. obem nervalové zálohy za dobu T není nkdy věší než souhrn všech aomckých záloh za uéž dobu. Tao skuečnos e dána ím, že celková aomcká záloha seně ako nervalová záloha vždy obsahue všechny poslední verze změněných daových ednoek, ale navíc obsahue případné sarší verze ěcho daových ednoek. Z grafu vdíme, že pro malé hodnoy pravděpodobnos p nesou rozdíly mez obemy obou záloh velké, ale pro věší hodnoy pravděpodobnos p sou uvedené rozdíly značné. Přednos aomckých záloh, kerou e možnos obnovy savu da z lbovolného okamžku, e ak vykoupena značným požadavky na paměťovou kapacu záložního úložšě. em lbovolného ypu zálohy. To dovolue urč celkový obem záloh lbovolného schémau obnovy a aké sřední obem záloh pořebných k obnově konkréního savu da. Uvedené paramery umožňuí porovnáva různá schémaa obnovy da a umožňuí kalkulova pořebné kapacy zálohovacích úložšť. Popsaný model vychází z předpokladů, že pravděpodobnos p e pro všechny daové ednoky sená a že změna daové ednoky e událos, kerá nemá vlv na změnu osaních daových ednoek,. edná se o navzáem nezávslé událos. Dalším předpoklady sou, že celkový obem da e konsanní a žádná daová ednoka není prázdná. Uvedené předpoklady nesou obecné a ak e žádoucí vyvoř obecněší modely. V každém případě e však popsaný model vhodný pro eorecký pops různých schéma obnovy da a z hledska prae e využelný alespoň pro hrubé kalkulace kapac zařízení pořebných pro zálohování. Leraura [] YURIN, am. SOFTLOGICA. The hsory of backup [onlne]. [c ]. Dosupné z: hp:// [2] LIOTINE, ahew. sson-crcal Nework Plannng. London: Arech House, ISBN X. [3] FRISCH, Æleen. Handbook of Nework and Sysem Admnsraon: Sysem Backup: ehodologes, Algorhms and Effcency odels. Amserdam: Elsever, ISBN Obrázek 0: Obem nkremenální ( I ) a celkové aomcké ( S ) zálohy za dobu T. 5 Závěr Závěrem lze konsaova, že v článku e upřesněna ermnologe a klasfkace zálohování. Jádrem článku e maemacký model, kerý umožňue na základě hodnoy pravděpodobnos p, že za dobu T se daová ednoka změní, zs celkový ob- [4] NELSON, Seven. Pro Daa Backup and Recovery. New York Cy: Apress, 20. ISBN [5] DE GUISE, Preson. Enerprse Sysems Backup and Recovery. Boca Raon: CRC Press, ISBN [6] LAKATOS, Laszlo, Laszlo SZEIDL a klos TELEK. Inroducon o Queueng Sysems wh Telecommuncaon Applcaons. New York: Sprnger, 203. ISBN X. 7