Hydrodynamická stabilita. atmosféry a nelineární. problémy geofyzikální. hydrodynamiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Hydrodynamická stabilita. atmosféry a nelineární. problémy geofyzikální. hydrodynamiky"

Transkript

1

2 Anotace Kniha e určena záemcům o mechaniku tekutin a nelineární dynamiku v geofyzikální hydrodynamice. Publikace e mimo iné zamýšlena ako pokročilý studiní text doplňuící studiní materiál k přednáškám Vybrané partie geofyzikální hydrodynamiky a Vlnové pohyby a energetika atmosféry konané na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Některé partie monografie však istě nadou uplatnění i v kurzu Dynamické meteorologie nebo hydrodynamiky obecně. Kniha seznamue čtenáře s technikami vyšetření stability hydrodynamického proudění ak v lineárním, tak nelineárním přiblížení (část I.). Druhá část knihy poednává o obecněších problémech nelineární geofyzikální hydrodynamiky a netradičních postupech při studiu proudění tekutin. Dodeme, že právě nelineární analýza e perspektivním oborem moderní matematiky, což dobře dokumentue předkládaná monografie. Publikace e určena pracovníkům se zaměřením na dynamiku tekutin na univerzitách i ve výzkumných ústavech. Dobře však poslouží i studentům a doktorandům na vysokých školách univerzitního i technického směru, a to i takových oborů ako e fyzika atmosféry nebo matematické a počítačové modelování.

3

4 Hydrodynamická stabilita atmosféry a nelineární problémy geofyzikální hydrodynamiky Jiří Horák *), Aleš Raidl +) *) Ústav fyziky atmosféry AV ČR +) Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, katedra meteorologie a ochrany prostředí

5 OBSAH Předmluva...9 ČÁST I... ÚVOD... PERTURBAČNÍ TEORIE...6. Perturbační pohybové rovnice...7 NORMÁLNÍ MODY... 4 KELVINOVA-HELMHOLTZOVA INSTABILITA, INSTABILITA TAYLOROVA A HELMHOLTZOVA TYPU PERTURBAČNÍ STAVOVÁ A TERMODYNAMICKÁ ROVNICE STABILITA VNITŘNÍCH GRAVITAČNÍCH (VZTLAKOVÝCH) VLN NELINEÁRNÍ ZOBECNĚNÍ METODY ČÁSTICE KRITICKÉ RICHARDSONOVO ČÍSLO Klasické odvození Milesova-Howardova teorému Odvození Milesova-Howardova teorému na základě energetických úvah a metody částic STABILITA RAYLEIGHOVY-BÉNARDOVY KONVEKCE...57 STABILITNÍ KRITÉRIA VYPLÝVAJÍCÍ Z RAYLEIGHOVY ROVNICE...7 STABILITA FRONTÁLNÍCH VLN...8 INERČNÍ INSTABILITA Základní mechanismus inerční instability Nelineární zobecnění podmínek inerční instability... SYMETRICKÁ INSTABILITA BAROTROPNÍ A BAROKLINNÍ INSTABILITA Z HLEDISKA PŘEMĚNY ENERGIE... 5 FORMULACE ROVNIC PRO STUDIUM STABILITY KVAZIGEOSTROFICKÝCH ATMOSFÉRICKÝCH POHYBŮ NUTNÁ PODMÍNKA BAROTROPNÍ INSTABILITY Příklady možných barotropně instabilních profilů proudění Zobecnění Kuovy nutné podmínky barotropní instability...9 5

6 7 BAROKLINNÍ INSTABILITA Základní mechanismus baroklinní instability Baroklinní instabilita spoitého modelu na f rovině Baroklinní instabilita v diskrétním dvovrstevnatém modelu...54 LITERATURA K ČÁSTI I... 7 ČÁST II...7 ÚVOD...75 O SYSTÉMECH HYDRODYNAMICKÉHO TYPU K definici systémů hydrodynamického typu Ekvivalence tripletu (neednoduššího netriviálního systému hydrodynamického typu) a Eulerových diferenciálních rovnic rotace...9. Strukturální vlastnosti kvadraticky nelineárních systémů. Afinní invarianty a kriterium existence kvadratického integrálu v systémech. řádu Strukturální vlastnosti kvadraticky nelineárních systémů. Afinní invarianty a kriterium existence kvadratického integrálu v systémech. řádu Integrace pohybových rovnic tripletu....6 Asymptotické tvary řešení a kvadratické formy dynamického tripletu vyádřené pomocí elementárních funkcí K statistickému popisu systémů hydrodynamického typu....8 Komplexifikace systémů hydrodynamického typu. Komplexní triplet v geofyzikální hydrodynamice...4 O SYMETRIZOVANÝCH NELINEÁRNÍCH SYSTÉMECH.... Symetrizované systémy a eich obecné vlastnosti.... Symetrizované komplexní systémy... 4 SYSTÉMY S DVĚMA KVADRATICKÝMI INTEGRÁLY KVADRATICKY NELINEÁRNÍ SYSTÉMY SE DVĚMA INTEGRÁLY POHYBOVÉ ROVNICE n-dimenzionálního TUHÉHO TĚLESA A SYMETRIZOVANÉ SYSTÉMY PRVNÍ INTEGRÁLY SYSTÉMU EULEROVÝCH ROVNIC SIMPLEKTICKÁ STRUKTURA NA ORBITÁCH, INVOLUCE INTEGRÁLŮ A ÚPLNÁ INTEGRABILITA SYSTÉMU EULEROVÝCH ROVNIC POHYBOVÉ ROVNICE ZOBECNĚNÉHO TUHÉHO TĚLESA A JEJICH VZTAH S ROVNICEMI HYDRODYNAMIKY...56 POHYBOVÉ ROVNICE n-dimenzionálního TĚŽKÉHO SETRVAČNÍKU...64 INTEGRACE KOMPLEXNÍ ANALOGIE POHYBOVÝCH ROVNIC n-dimenzionálního TĚŽKÉHO TĚLESA...67 GEODETIKY NA RIEMANNOVÝCH VARIETÁCH...74 SOUVISLOSTI S NELINEÁRNÍMI SYSTÉMY MECHANIKY TEKUTIN Adungované rovnice systémů hydrodynamického typu K problému uzavírání řetězce rovnic pro momenty trodimenzionálního systému Navierových-Stokesových rovnic při velkých Reynoldsových číslech Arnoldova konstrukce zobecněného tuhého tělesa Kelvinův (Thomsonův) teorém a Moffatův hydrodynamický invariant Zobecněné tuhé těleso a dynamika globálních barotropních a baroklinních toků v geofyzikální hydrodynamice Diferenciální formy...7 6

7 .7 Teorém Noetherové....8 Simplektická struktura na orbitách koadungované reprezentace a levoinvariantní metriky Liouvilleův teorém a Hamiltonovy systémy...6. Hamiltonův formalismus na Lieových grupách...8. Matematické úlohy dynamiky stratifikované tekutiny...4. Tichonovovy systémy. Pomalá a rychlá dynamika...7 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY...74 LITERATURA K ČÁSTI II

8 PŘEDMLUVA Kniha e určena především posluchačům meteorologie a klimatologie na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Publikace e mimo iné zamýšlena ako pokročilý studiní materiál k přednášce Vybrané partie geofyzikální hydrodynamiky určené pro poslední ročník magisterského studia, popřípadě doktorského studia meteorologie a klimatologie. Některé partie monografie však istě nadou uplatnění i v kurzu Dynamické meteorologie nebo hydrodynamiky obecně. Záměrem autorů e seznámit studenty uvedené specializace a případné další záemce s lineární analýzou stability atmosférických procesů, s obecněšími problémy nelineární geofyzikální hydrodynamiky a s netradičními postupy při studiu proudění tekutin, s nimiž se záemci mohou setkat v soudobé literatuře. Těmito postupy rozumíme matematické struktury respektuící současný stav lineární a nelineární analýzy, ve druhém případě velkou měrou přihlížeící k algebraickým metodám. Právě nelineární analýza reprezentue eden z perspektivních oborů matematiky a eí zaměření na fyzikální disciplíny se výrazně proevue v poslední době i při matematickém modelování v dynamice tekutin. To však neznamená, že některé eich problémy nelze řešit lineární analýzou. Svědčí o tom prvá část předkládané monografie, která ako celek tématicky navazue na díla o deterministickém chaosu, vydaná nakladatelstvím Academia v letech 99, 996 a. S tím souvisí ak výběr látky, tak i metody výkladu. Další informace o celkovém zaměření monografie nalezne záemce v úvodních kapitolách. Z matematických prostředků předpokládáme u čtenáře znalost základů diferenciálního a integrálního počtu, diferenciální geometrie a vektorové analýzy. S použitím náročněších partií matematiky se čtenář setká v částech zaměřených na nelineární systémy hydrodynamiky, reprezentovanými konečnědimenzionálními aproximacemi výchozích parciálních diferenciálních rovnic evolučních rovnic dynamiky atmosféry. Jeich součástí e i teorie 9

9 grup a eí speciální oblast, teorie reprezentací. Snažili sme se, aby kniha, pokud e to možné, tvořila uzavřený celek a nenutila čtenáře sáhnout k doplňuící matematické literatuře. Záemcům, kteří chtěí hlouběi proniknout do matematického modelování atmosférických pohybů kvadraticky nelineárními systémy hydrodynamického typu, doporučueme ke studiu kapitoly 7 a 8 z knihy J. Horáka, L. Krlína a A. Raidla Deterministický chaos a eho fyzikální aplikace (Academia, Praha ), zaměřené na matematické modely klimatu a na nelineární analýzu chaotických časových řad. Samotné matematice klimatu e věnováno dílo Matematické modelování v problémech klimatu, které vyšla tamtéž v roce 6. O autorství knihy se autoři podělili takto: Jiří Horák sepsal druhou část (II.) a Aleš Raidl e autorem první části (I.). Ještě e třeba učinit poznámku o odkazování na rovnice. Protože se prakticky v části I. neodkazueme na rovnice z části II. a obráceně, sou rovnice v obou částech (pro zkrácení) číslovány odděleně. Autoři vyadřuí vděčnost prof. RNDr. Janu Bednářovi, CSc. za péči a úsilí, které věnoval tomu, aby publikace spatřila světlo světa. Za nakreslení některých obrázků z první části knihy a všech obrázků z eí druhé části autoři děkuí kolegovi RNDr. Jiřímu Mikšovskému, Ph.D. Dík patří rovněž manželce druhého z autorů (A. R.) PhDr. Marině Raidlové za pečlivé přepsání a převedení do elektronické podoby celé druhé části knihy. Speciální poděkování patří doc. RNDr. Otakaru Zikmundovi, CSc. eho podrobné přečtení rukopisu a navržené úpravy přispěly k odbornému i azykovému zpřesnění textu. Autoři

10 ČÁST I

11

12 ÚVOD První část knihy poednává o hydrodynamické stabilitě, respektive instabilitě, neboť právě instabilní proudění se bude těšit našemu zvýšenému zámu. Výběr látky byl uspořádán tak, aby podával určitý přehled o stabilitě atmosférického proudění různých měřítek. Výklad začínáme kapitolou o perturbační metodě a poruchách vlnového charakteru, které hraí ústřední roli v celé první polovině monografie. Další význačnou úlohu při výkladu představue různým způsobem modifikovaná metoda vzduchové částice, kterou vychylueme z eí rovnovážné polohy několika způsoby, a to vertikálně, horizontálně nebo šikmo. Ačkoliv stabilitu atmosféry zkoumáme povětšinou na základě linearizovaných rovnic, v některých případech provádíme i zobecnění na nelineární situace. Výklad postupue od zkoumání stability atmosférických pohybů menších měřítek, aké představue například Kelvinova-Helmholtzova instabilita, přes popis Rayleighovy-Bénardovy konvekce následovaný rozborem instability mezoměřítka (symetrická a částečně inerční instabilita), až po problematiku stability kvazigeostrofických pohybů synoptického měřítka konkrétně výkladem o barotropní a zeména baroklinní instabilitě. Do publikace sme zařadili také některé části, které tvoří dnes iž klasické partie teorie hydrodynamické stability, například Milesův-Howardův teorém, polokruhový teorém a Rayleighův, popřípadě Førtoftův teorém. U čtenáře první části knihy se všeobecně předpokládá znalost základů hydrodynamiky, které lze získat z výborných monografií Batchelora [] a Landaua, Lifsitze [], a dále vědomostí z oblasti proudění vzduchu v atmosféře, tzn. z dynamické meteorologie. V tomto směru ako zdro informací dobře poslouží Holtonova kniha [], Duttonova monografie [4], z česky psané odborné literatury také příručka Pechaly a Bednáře [5]. Omezený prostor, který pro výklad problematiky máme, nám neumožnil zařadit řadu zaímavých statí o hydrodynamické stabilitě. Máme zde na

13 mysli zeména kapitoly o nelineárních interakcích mezi základním stavem a perturbacemi. Rovněž, až na výimku představovanou Rayleighovou- Bénardovou konvekcí, neuvažueme disipaci. Samostatnou kapitolu by si istě vyžádálo i studium barotropní stability Rossbyho vln. Potřebné informace v tomto směru istě čtenář nalezne v monografiích (seřazeno chronologicky) Lina [6], Chandrasekhara [7], Drazina a Reida [8], popřípadě Gonrèche a Mannevilla [9]. Z hlediska geofyzikální hydrodynamiky lze záemcům doporučit vynikaící knihu Pedloskeho []. Co e vlastně předmětem zámu teorie hydrodynamické stability? Tato teorie studue stabilitu určitého základního, chcete-li výchozího stavu, vůči poruchám různého charakteru, které na tento základní stav působí. Poruchy nebo-li perturbace mohou díky stabilitě základního stavu zanikat, nebo naopak v instabilním případě s časem sílit. Velmi často uvažueme, že perturbace maí na počátku infinitezimální charakter. Jeich případné zvětšování však může představovat spouštěcí mechanismus, kdy kupříkladu ustálené laminární proudění přede v neuspořádané, chaotické proudění turbulenci. Poněkud zednodušeně a s istou dávkou nadsázky lze říci, že proevy počasí spočívaí v nestabilitě atmosférické cirkulace například podle moderních představ soudobé dynamické meteorologie vznikaí synoptické poruchy ve středních zeměpisných šířkách díky baroklinní instabilitě původně zonálního západního proudění. Prostřednictvím baroklinní instability tak může doít k přestavbě zonální atmosférické cirkulace v cyklonální. Studium vzáemného působení fluktuací a základního stavu se rozpadá na dva zásadní problémy. Na určení základního stavu osvobozeného od fluktuací a na popis evoluce poruch (fluktuací). Druhým úkolem se budeme vesměs zabývat v následuících kapitolách, kdy odvodíme rovnice pro perturbace a tyto poruchy budeme povětšinou uvažovat ve tvaru vln. Proto se nyní zastavme u problematiky stanovení základního stavu. To není při studiu pohybů v atmosféře tak ednoduché, ak by se na první pohled mohlo zdát. Mohlo by nás napadnout, že takový základní stav by bylo možné získat časovým průměrováním proudění přes dostatečně dlouhý časový interval; podobný postup se vskutku používá například při studiu turbulence. Je užitečné si však uvědomit, že takto získaný akýsi střední základní stav iž obsahue a e ovlivněn fluktuacemi, od kterých bychom e chtěli oprostit. Fluktuace totiž mohou vést ke vznikům toků tepla a hybnosti s obecně nenulovými časovými průměry. Časově vystředované proudění tak zahrnue i existuící fluktuace. Jak v této souvislosti poznamenává Pedlosky [], časově průměrované proudění se obvykle eví stabilněší než skutečný stav bez fluktuací. Neznalost základního stavu nás tedy nutí k eho definování. Musí to být však definice dostatečně smysluplná. V atmosféře obvy- 4

14 kle předpokládáme, že základní stav e tvořen zonálním geostrofickým prouděním. To dobře odpovídá podmínkám, když studueme stabilitu pohybů velkého měřítka. V práci se snažíme nalézt istý kompromis mezi tím, aby na edné straně byl základní stav atmosféry dostatečně ednoduchý a mohli sme získané rovnice řešit bez použití metod numerické matematiky, a na druhé straně dosti složitý na to, aby výsledný model popisoval vlastnosti atmosféry dostatečně věrně. Naštěstí se ukazue, ak uvidíme z dalšího výkladu, že i poměrně ednoduchá konfigurace základního stavu, například při studiu baroklinní instability, uspokoivě postihue řadu skutečných rysů zemské atmosféry. 5

15 PERTURBAČNÍ TEORIE Úlohy dynamické meteorologie a geofyzikální hydrodynamiky vůbec sou spoeny s nutností řešit soustavu hydrodynamických rovnic, t. tří pohybových rovnici, rovnice kontinuity, stavové rovnice a první hlavní věty termodynamické. Zmíněnou soustavu lze psát v mnoha tvarech, z nichž edním z možných e tento: v + ( v ) v = α p Ω v + g + f r, (.a) t dα α = + v α = α v, (.b) dt t pα = RT, (.c) dq dt cp dt = α dt d p d t. (.d) Souřadnicovou soustavu O(x,y,z) volíme pravotočivou, obvykle pevně spoenou s rotuící Zemí tak, že osa x míří k východu, osa y na sever a osa z kolmo vzhůru. Čas značíme t, v se složkami (u, v, w) představue rychlost proudění, p e tlak, Ω (, Ω cosϕ, Ω sinϕ) e úhlová rychlost rotace Země, kterou v dostatečně přesném přiblížení považueme za konstantní (Ω = 7,9 5 s, ϕ e zeměpisná šířka). Tíhové zrychlení Země e reprezentováno vektorem g (,, g) a f r značí sílu tření. Veličina α představue měrný obem, souviseící s hustotou ρ vztahem α = /ρ, R e měrná plynová konstanta, T teplota a q e teplo vztažené na ednotku hmoty dodané, nebo odebrané studované soustavě. Na tomto místě poznameneme, že v případě nutnosti, pracueme-li například s oceánem, e nutné soustavu hydrodynamických rovnic obohatit o další rovnice, typicky o rovnici salinity (slanosti) a vhodným způsobem upravit i stavovou rovnici; viz např. []. 6

16 Analytické řešení soustavy (.) není v obecném případě známo, zeména díky existenci nelineárních členů. Jeí řešení tedy musíme hledat buď pomocí numerické integrace, nebo přistoupit k zavedení zednodušuících předpokladů. Vhodnou metodou, která zednodušue výchozí rovnice, e perturbační teorie. Spočívá v tom, že studované proudění považueme za součet dvou toků (proudění): základního stavu osvobozeného od fluktuací, a malých poruch (perturbací). Přitom předpokládáme, že ) základní stav splňue soustavu rovnic (.), ) výsledné proudění (základní stav + perturbace) splňue soustavu rovnic (.). Předpokládáme-li navíc, že ) poruchové (perturbační) veličiny sou řádově menší než im odpovídaící veličiny popisuící základní stav, hovoříme o lineární perturbační metodě. Hydrodynamické rovnice napsané pro výsledný stav zednodušíme pomocí rovnic (.), napsaných pro základní proudění, eich vzáemným odečtením. Předpoklad ) nám pak navíc umožňue zanedbat v rovnicích členy, které sou nelineární vzhledem k poruchám. Získáme tak rovnice popisuící chování poruch. Tyto rovnice pak nazýváme perturbačními rovnicemi.. Perturbační pohybové rovnice Pro ilustraci nyní odvodíme perturbační pohybové rovnice. Veličiny vztahuící se k základnímu stavu označíme pruhem, tzn. v, α, p. Poruchové veličiny označíme svislou čárkou, tzn. v, α, p reprezentuí postupně perturbace v poli rychlosti proudění, měrného obemu a tlaku. Zopakume znovu pro přehlednost, že základní stav e dán veličinami v, α, p, výsledný stav e dán veličinami v + v, α + α, p + p. Pochopitelně vezmeme-li v úvahu i rovnice (.c) a (.d), sme nuceni uvažovat i případné poruchy v poli teploty atd., ale v tomto ilustrativním případě, kdy používáme pouze pohybové rovnice, vystačíme s poruchami v poli rychlosti, měrného obemu a tlaku. Podle předpokladu ) platí pohybová rovnice pro základní stav, tedy v + ( v ) v = α p Ω v + g, t 7

17 kde sme pro ednoduchost zanedbali tření. Podle předpokladu ) platí pohybová rovnice (.a) i pro výsledný stav, tzn. ( v + v ) + (( v + v ) )( v + v ) = ( α + α ) ( p+ p ) Ω ( v + v ) + g. t Odečteme-li od poslední rovnice rovnici předposlední, získáme v + ( v v ) + ( v ) v + ( v ) v = α p α p α p Ω v. t Uvážíme-li i předpoklad ), můžeme členy, které sou nelineární vzhledem k poruchám zanedbat, protože sou co do velikosti alespoň o řád menší než členy zbývaící. V takovém případě dostáváme v + ( v ) v + ( v ) v = α p α p Ω v, t což e hledaná lineární perturbační pohybová rovnice. Analogicky postupueme i při odvozování perturbační rovnice kontinuity, stavové rovnice i první hlavní věty termodynamické. Ještě poznameneme, že místo měrného obemu α bývá obvykleší používat v pohybových rovnicích hustotu ρ =/α tak, ak to budeme činit pozděi. Lineární perturbační metoda představue isté omezení v tom smyslu, že umožňue studium stability základního proudění, které e vystaveno pouze malým (v podstatě nekonečně malým) poruchám. Selhává však v případě, kdy amplitudy poruch narostou po určité době v důsledku instability do takových velikostí, že iž není možno nelineární členy v rovnicích opomenout. Podobně, e-li základní proudění stabilní vzhledem k nekonečně malým poruchám, nedává lineární perturbační metoda žádné informace o tom, e-li toto proudění stabilní i vzhledem k poruchám dostatečně velkým. Přesto e možné, ak uvidíme pozděi, pomocí lineární teorie popsat některé vlastnosti fluktuací v reálné atmosféře, například délku dominantní vlnové poruchy nebo eí vertikální strukturu. Poznameneme eště, že lineární perturbační metoda e v dynamické meteorologii spoena zeména s Berknesovým ménem (viz například []). Aplikume nyní výše popsanou lineární perturbační metodu na proudění ve vertikální rovině (x, z). Pro ednoduchost neuvažume rotaci Země a atmosféru považume za nestlačitelnou tekutinu. Není-li dále explicitně uvedeno inak, neuvažueme ani síly tření. Základní stav definume následovně: u( z ), w =, p( z ), ρ ( z). Pro takové základní proudění maí pohybové rovnice v rovině (x, z) tvar 8

18 p x =, (.a) p z = ρ g. (.b) Rovnice kontinuity pro základní stav e splněna identicky. Poruchy v poli rychlosti ve směru osy x a z nechť sou u ( x, z, t), w ( x, z, t), v poli tlaku p ( xzt,, ) a poli v hustoty ρ ( x, zt, ). Výsledný stav má tedy tvar u( z ) + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ( z) + ρ ( x, z, t). Podle předpokladu ) perturbační metody můžeme psát ( u + u ) ( u + u ) ( u + u ) ( p+ p ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w = t x z, (.a) x w w w ( p+ p ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w = g( ρ + ) t x z ρ, (.b) z ( ρ + ρ ) ( ρ + ρ ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w =. (.c) t x z V této soustavě rovnic zanedbáme nelineární členy vzhledem k poruchám a odečteme od každé z rovnic (.) odpovídaící rovnici (.). Tímto postupem dostáváme následuící perturbační rovnice u u d u p + u + w =, (.4a) t x dz ρ x w w p ρ + u = g, (.4b) t x ρ z ρ ρ d u ρ + + w ρ =. (.4c) t x dz Není obtížné se přesvědčit, že rovnici kontinuity pro perturbace e možné rovněž psát ve tvaru: u w + =. (.4d) x z 9

19 Zaveďme dále proudovou funkci ψ vztahy Tím rovnice (.4a) až (.4c) předou na tvar ψ ψ u =, w = z x. (.5) ψ du u ψ ψ p + =, (.6a) t z x z x dz ρ x ψ ψ ρ + = g, (.6b) ρ ρ p u t x x z ρ d u ρ + + ψ ρ =. (.6c) t x x dz Rovnici (.6b) parciálně derivume podle x a odečtěme i od rovnice (.6a) parciálně derivované podle z. Tím dostaneme dρ ψ du dρ du ψ g ρ ψ ρ ρ + u =. (.7) t x dz z dz dz dz x ρ x Derivume rovnici (.6c) parciálně podle x, dělme i ρ a vyádřeme z ní (/ ρ)( ρ / x). Výsledek pak dosaďme do rovnice (.7). Poté dostáváme d u du ψ δ δ g u ψ ψ + + = ψ δ, (.8) t x z dz dz x x kde sme označili dρ δ. ρ dz Tím sme převedli řešení soustavy perturbačních rovnic (.4) pro neznámé u, w, ρ a p na řešení edné diferenciální rovnice pro proudovou funkci ψ. K rovnici (.8) (steně ako k soustavě (.) resp. (.4)) e třeba přidat vhodné okraové, popřípadě počáteční podmínky, ak provedeme pozděi.

20 NORMÁLNÍ MODY Vhodnou metodou řešení rovnice (.8) e metoda normálních modů. Protože koeficienty v rovnici (.8) nezávisí ani na čase t ani na souřadnici x, eí řešení hledáme ve tvaru i ( ) { ψˆ z } ψ ( xzt,, ) =R ( )e k x ct, (.) kde R značí reálnou část výrazu, před kterým stoí. Vlnové číslo k ve směru osy x musí být reálné, aby amplituda vlny (modu) byla při velkých x konečná. Amplitudová funkce ψˆ a růstový faktor (rychlost růstu) kc i mohou být komplexní (c i značí imaginární část fázové rychlosti c). Zapíšeme-li fázovou rychlost c ako součet reálné a imaginární části a dosadíme-li toto vyádření do (.), máme c= c + ic (.) r i kc i ( ) { ˆ } i t k x c r t ψ z ψ ( xzt,, ) =R ( )e e. (.) Je-li kc i =, pak se amplituda poruchy s časem nemění, tzn. e stabilní. Jeli kc i <, pak porucha s časem slábne. Naopak, e-li kc i >, pak porucha s časem zesilue. V posledních dvou případech říkáme, že e porucha instabilní. Na tomto místě e však třeba poznamenat, že někteří autoři, například [], zavádí poem stability (instability) poněkud odlišně, a to: kc i = neutrální porucha, kc i < stabilní porucha, kc i > instabilní porucha. My se budeme vždy snažit o explicitní rozlišení, aby bylo zřemé, o aký časový vývo poruchu se edná. V dalším textu budeme písmeno R vynechávat a budeme mít na paměti, že fyzikální význam maí en reálné části výrazů (.), (.), respektive eich analogie.

21 Všimněme si, že při kc i > se může porucha stát po uplynutí dostatečně dlouhé doby natolik velká, že se nelineární efekty stanou natolik významnými, že lineární přístup pozbyde platnosti. Proto e vhodné metodu normálních modů používat, v souladu s lineární perturbační teorií, en na počáteční stadia vývoe poruch. Dosazením (.) do rovnice (.8) dostáváme dψˆ dψˆ d u du ( u c) k ψˆ δ ( u c) ˆ g ˆ δ ψ = δψ, (.4) dz dz dz dz což e iž en obyčená diferenciální rovnice pro amplitudovou funkci ψ ˆ. Rovnice (.4) e velmi důležitá neen proto, že í budeme studovat v dalším textu, ale i pro to, že z ní vyplývaí další vztahy, které hraí důležitou úlohu v teorii hydrodynamické stability. Předně, uvážíme-li, že se hustota ρ ( z) mění s výškou obvykle mnohem pomalei než rychlost proudění u( z ), a že δ <<, můžeme v poslední rovnici zanedbat ty členy obsahuící δ, které se nacházeí na eí levé straně, a ponechat pouze ten člen s δ, který stoí na pravé straně rovnice (.4). Fyzikálně to znamená, že zanedbáváme změny hustoty u členů postihuících setrvačnost, ale ponecháváme u členu, který popisue archimédovský vztlak. Taková situace se velmi podobá Boussinesquově aproximaci [8]. Po naznačené úpravě přede (.4) na tvar dψˆ d u gδ ( u c) k ψˆ ˆ ˆ ψ + ψ =, (.5) dz d z ( u c) který nazýváme Taylorova-Goldsteinova rovnice. Půdeme-li eště dále a nebudeme-li uvažovat změny hustoty vůbec (budeme pracovat například s homogenní tekutinou), redukue se rovnice (.4), popřípadě (.5), na rovnici dψˆ d u ( u c) k ψˆ ψˆ =, (.6) dz dz o které hovoříme ako o Rayleighově rovnici. Pro dvě posledně menované rovnice byla odvozena řada teorémů, které se váží ke stabilitě různých typů proudění. Některé si v následuícím textu uvedeme. Závěrem tohoto oddílu si eště povšimněme, že sme poruchy (.) popřípadě (.) uvažovali dvourozměrné, nezávislé na souřadnici y. K tomu nás vede tvrzení Squireova teorému, podle kterého v homogenní tekutině

22 existue ke každé instabilní trorozměrné vlně vždy vlna dvorozměrná, která e instabilněší a která se pohybue rovnoběžně se směrem proudění. Na případ stratifikované tekutiny Squireův teorém zobecnil Yih (bližší podrobnosti viz [4]). Předmětem našeho prioritního zámu sou právě mody (vlny) co možná neinstabilněší, nehledě na to, že uvažování dvorozměrných namísto trorozměrných poruch výpočty poněkud zednoduší.

23 4 KELVINOVA-HELMHOLTZOVA INSTABILITA, INSTABILITA TAYLOROVA A HELMHOLTZOVA TYPU V této kapitole se budeme zabývat řešením rovnice (.4) za istých zednodušuících předpokladů. Ukážeme aký vliv má na stabilitu proudění rozložení hustoty, vertikální střih větru (vertikální gradient rychlosti proudění) a tloušťka vrstvy, ve které tekutina proudí. Uvažume dvě nad sebou ležící vrstvy dvou nestlačitelných tekutin, které se navzáem nemísí, s hustotami ρ, ρ a konstantními rychlostmi základního proudění u, u. Zanedbáme-li zemskou rotaci, e plocha odděluící obě tekutiny v klidovém stavu horizontální. Umístěme do této roviny počátek pravoúhlé souřadnicové soustavy. Osa x nechť e orientována ve směru proudění obou tekutin a osa z nechť míří kolmo vzhůru. Dále označme všechny veličiny vztahuící se k horní tekutině indexem, k dolní tekutině indexem. Nechť e horní tekutina omezena neprostupnou horizontální rovinou ve výšce z = h a podobně dolní tekutina nechť e ohraničena rovinou ve výšce z = h. Na základní stav charakterizovaný veličinami u, u, p ( z ), p ( z ), ρ, ρ nechť sou superponovány poruchy v poli rychlosti proudění a tlaku: u ( x, z, t), u ( x, z, t), w ( x, z, t), w ( x, z, t), p ( xzt,, ), p ( xzt,, ). Výsledný stav tedy můžeme charakterizovat takto: horní tekutina: u + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ, spodní tekutina: u + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ. Perturbace v poli rychlosti proudění můžeme nahradit perturbačními proudovými funkcemi ψ, ψ podle vztahu (.5). Namísto pohybových rovnic a rovnice kontinuity e pak možno použít rovnice typu (.4). To znamená, že 4 d ψˆ i k( x ct) ( u ˆ ˆ c) k ψ =, ψ = ψ e, (4.a) dz

24 d ψˆ i k( x ct) ( u ˆ ˆ c) k ψ =, ψ = ψ e. (4.b) dz Předpokládáme-li, že u c, u c, můžeme řešení rovnic (4.) psát ve tvaru kz ψˆ = Ae + Be, (4.a) kz kz ψˆ = Ae + B e, (4.b) kz Kde A, A, B, B sou integrační konstanty, které určíme z okraových podmínek. Kinematická okraová podmínka na horní hranici vrchní tekutiny vyžadue, aby normálová složka rychlosti k neprostupné hranici byla rovna nule, to znamená Označme tedy ψˆ ( z = h) = Ae + Be =. (4.a) kh kh A e e =, C kh kh B kde C e nová konstanta. Dosazením poslední rovnice do (4.a) máme [ ] ψ ˆ () z = Csinh k( z h ). (4.4a) Zcela analogicky aplikueme kinematickou okraovou podmínku na dolní hranici spodní vrstvy tekutiny, tedy Označme ˆ ( ) e kh kh ψ z = h = A + B e =. (4.b) A e kh e C B kh =, kde C e konstanta. Dosazením poslední rovnice do (4.b) máme [ ] ψ ˆ ( z) = Csinh k( z+ h ). (4.4b) Abychom mohli formulovat dynamické okraové podmínky na rozhraní obou tekutin, určíme poruchy p, p v tlakovém poli. Z rovnice (.6a) vyplývá po dosazení pomocí (.5), že 5

25 i ( p ) ρ i k ( u c) Ccosh k( z h ) e k x ct =, (4.5a) x i ( ) cosh ( ) e i k( x p k ρ u c C k z+ h ct) =. (4.5b) x Podobně z rovnice (.6b) máme ( ) sinh ( ) e i k( x p ρ ct) k u c C k z h =, (4.6a) z ( ) sinh ( ) e i k( x p k ρ u c C k z+ h ct) =. (4.6b) z Integrume rovnice (4.6) podle souřadnice z: i k( x ct) p = kρ( u c)cosh k( z h) e + f( x), (4.7a) i k( x ct) p = kρ( u c)cosh k( z+ h) e + f( x), (4.7b) kde f (x) a f (x) sou integrační funkce. Parciálním derivováním rovnic (4.7) podle x a následným porovnáním s rovnicemi (4.5) zistíme, že f ( x) = D, f ( x) = D a D a D sou integrační konstanty. Pro ednoduchost e volme rovny nule, tedy p k u c k z h i ( ) ( )cosh ( ) e k x = ρ ct, (4.8a) i ( ) ( )cosh ( ) e k x = ρ + ct. (4.8b) p k u c k z h Pro přehlednost eště uveďme tvar poruch v poli rychlosti proudění: ψ i ( ) u kccosh k( z h) e k x = = ct z, (4.9a) ψ i ( ) u kccosh k( z h) e k x = = + ct z, (4.9b) ψ i ( ) w ikcsinh k( z h) e k x = = ct x, (4.a) ψ i ( ) w ikcsinh k( z h) e k x = = + ct x. (4.b) Dynamická okraová podmínka na rozhraní mezi tekutinami vyžadue spoitost tlaku při přechodu přes toto rozhraní. Předpokládáme-li, že částice, 6

26 které spočívaí na tomto rozhraní, na něm budou setrvávat, e možné psát zmíněnou dynamickou okraovou podmínku následovně d [ ( p p ) + ( p ) p ] =. (4.) rozhraní dt Podmínka e sice definována pro rozhraní, ale uvážíme-li, že se zabýváme lineární teorií, ve které považueme poruchy za daleko menší než veličiny základního stavu, lze předpokládat, že odchylka rozhraní od eho klidové polohy e nevelká. Podmínku (4.) proto můžeme vztáhnout k rozhraní v poloze z =. Tedy d [ ( p p ) ( ) + p p ] =. (4.) z= dt Poslední výraz představue dvě rovnice (pro dolní a horní tekutinu), které po aaaaaaaaaa d provedení Eulerova rozvoe = + v a zanedbání nelineárních členů, maí tvar dt t ( p p ) ( p p ) + u + wg ( ρ ρ ) t x, (4.a) z= ( p p ) ( p p ) + u + w g( ρ ρ ) t x, (4.b) z= kde sme využili rovnice hydrostatické rovnováhy. Dosadíme-li nyní do rovnic (4.) pomocí (4.8) a (4.) obdržíme C kρ( u c) cosh( kh) g( ρ ρ)sinh( kh) = = C[ kρ( u c)( u c)cosh( kh) ] [ ρ ( )( ) cosh( )] = C k u c u c kh, (4.4a) = C kρ( u c) cosh( kh) g( ρ ρ)sinh( kh). (4.4b) Vyádříme-li z obou posledních rovnic poměr C /C a porovnáme e navzáem, získáme kvadratickou rovnici pro fázovou rychlost c: ( ρa + ρa) c ( ρua + ρua) c+ g( ρ ρ ) aa + ρu a + ρ u a kde sme označili k =, (4.5) 7

ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)

ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů) Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Hydromechanické procesy Obtékání těles

Hydromechanické procesy Obtékání těles Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS

Více

Teplota jedna ze základních jednotek soustavy SI, vyjadřována je v Kelvinech (značka K) další používané stupnice: Celsiova, Fahrenheitova

Teplota jedna ze základních jednotek soustavy SI, vyjadřována je v Kelvinech (značka K) další používané stupnice: Celsiova, Fahrenheitova 1 Rozložení, distribuce tepla Teplota je charakteristika tepelného stavu hmoty je to stavová veličina, charakterizující termodynamickou rovnováhu systému. Teplo vyjadřuje kinetickou energii částic. Teplota

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Václav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF

Václav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 13.10.2014 Mechanika tekutin 1/13 1 Mechanika tekutin - přednášky 1. Úvod, pojmy,

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D.

ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov Modelování termohydraulických jevů 3.hodina Hydraulika Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. Letní semestr 008/009 Pracovní materiály pro výuku předmětu.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15

Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15 Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší

Více

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Makroekonomická analýza přednáška 4 1 Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Předpoklady Úspory (resp.spotřeba) a investice (resp.kapitál), kterými jsme se zabývali v minulých lekcích, jsou spolu s technologickým

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Mechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny

Mechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny Vlastnosti kapalin Kapaliny mění tvar, ale zachovávají objem jsou velmi málo stlačitelné Ideální kapalina: bez vnitřního tření je zcela nestlačitelná Viskozita

Více

Proč funguje Clemův motor

Proč funguje Clemův motor - 1 - Proč funguje Clemův motor Princip - výpočet - konstrukce (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2004 Tento článek si klade za cíl odhalit podstatu funkce Clemova motoru, provést základní výpočty a navrhnout

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

1141 HYA (Hydraulika)

1141 HYA (Hydraulika) ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Mechanika kapalin a plynů Hydrostatika - studuje podmínky rovnováhy kapalin. Aerostatika - studuje podmínky rovnováhy

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

PROCESY V TECHNICE BUDOV 11

PROCESY V TECHNICE BUDOV 11 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY PROCESY V TECHNICE BUDOV 11 Dagmar Janáčová, Hana Charvátová, Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

Transportní jevy v plynech Reálné plyny Fázové přechody Kapaliny

Transportní jevy v plynech Reálné plyny Fázové přechody Kapaliny Transportní jevy v plynech Reálné plyny Fázové přechody Kapaliny Hustota toku Zatím jsme studovali pouze soustavy, které byly v rovnovážném stavu není-li soustava v silovém poli, je hustota částic stejná

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1 NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více