Hydrodynamická stabilita. atmosféry a nelineární. problémy geofyzikální. hydrodynamiky

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Hydrodynamická stabilita. atmosféry a nelineární. problémy geofyzikální. hydrodynamiky"

Transkript

1

2 Anotace Kniha e určena záemcům o mechaniku tekutin a nelineární dynamiku v geofyzikální hydrodynamice. Publikace e mimo iné zamýšlena ako pokročilý studiní text doplňuící studiní materiál k přednáškám Vybrané partie geofyzikální hydrodynamiky a Vlnové pohyby a energetika atmosféry konané na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Některé partie monografie však istě nadou uplatnění i v kurzu Dynamické meteorologie nebo hydrodynamiky obecně. Kniha seznamue čtenáře s technikami vyšetření stability hydrodynamického proudění ak v lineárním, tak nelineárním přiblížení (část I.). Druhá část knihy poednává o obecněších problémech nelineární geofyzikální hydrodynamiky a netradičních postupech při studiu proudění tekutin. Dodeme, že právě nelineární analýza e perspektivním oborem moderní matematiky, což dobře dokumentue předkládaná monografie. Publikace e určena pracovníkům se zaměřením na dynamiku tekutin na univerzitách i ve výzkumných ústavech. Dobře však poslouží i studentům a doktorandům na vysokých školách univerzitního i technického směru, a to i takových oborů ako e fyzika atmosféry nebo matematické a počítačové modelování.

3

4 Hydrodynamická stabilita atmosféry a nelineární problémy geofyzikální hydrodynamiky Jiří Horák *), Aleš Raidl +) *) Ústav fyziky atmosféry AV ČR +) Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, katedra meteorologie a ochrany prostředí

5 OBSAH Předmluva...9 ČÁST I... ÚVOD... PERTURBAČNÍ TEORIE...6. Perturbační pohybové rovnice...7 NORMÁLNÍ MODY... 4 KELVINOVA-HELMHOLTZOVA INSTABILITA, INSTABILITA TAYLOROVA A HELMHOLTZOVA TYPU PERTURBAČNÍ STAVOVÁ A TERMODYNAMICKÁ ROVNICE STABILITA VNITŘNÍCH GRAVITAČNÍCH (VZTLAKOVÝCH) VLN NELINEÁRNÍ ZOBECNĚNÍ METODY ČÁSTICE KRITICKÉ RICHARDSONOVO ČÍSLO Klasické odvození Milesova-Howardova teorému Odvození Milesova-Howardova teorému na základě energetických úvah a metody částic STABILITA RAYLEIGHOVY-BÉNARDOVY KONVEKCE...57 STABILITNÍ KRITÉRIA VYPLÝVAJÍCÍ Z RAYLEIGHOVY ROVNICE...7 STABILITA FRONTÁLNÍCH VLN...8 INERČNÍ INSTABILITA Základní mechanismus inerční instability Nelineární zobecnění podmínek inerční instability... SYMETRICKÁ INSTABILITA BAROTROPNÍ A BAROKLINNÍ INSTABILITA Z HLEDISKA PŘEMĚNY ENERGIE... 5 FORMULACE ROVNIC PRO STUDIUM STABILITY KVAZIGEOSTROFICKÝCH ATMOSFÉRICKÝCH POHYBŮ NUTNÁ PODMÍNKA BAROTROPNÍ INSTABILITY Příklady možných barotropně instabilních profilů proudění Zobecnění Kuovy nutné podmínky barotropní instability...9 5

6 7 BAROKLINNÍ INSTABILITA Základní mechanismus baroklinní instability Baroklinní instabilita spoitého modelu na f rovině Baroklinní instabilita v diskrétním dvovrstevnatém modelu...54 LITERATURA K ČÁSTI I... 7 ČÁST II...7 ÚVOD...75 O SYSTÉMECH HYDRODYNAMICKÉHO TYPU K definici systémů hydrodynamického typu Ekvivalence tripletu (neednoduššího netriviálního systému hydrodynamického typu) a Eulerových diferenciálních rovnic rotace...9. Strukturální vlastnosti kvadraticky nelineárních systémů. Afinní invarianty a kriterium existence kvadratického integrálu v systémech. řádu Strukturální vlastnosti kvadraticky nelineárních systémů. Afinní invarianty a kriterium existence kvadratického integrálu v systémech. řádu Integrace pohybových rovnic tripletu....6 Asymptotické tvary řešení a kvadratické formy dynamického tripletu vyádřené pomocí elementárních funkcí K statistickému popisu systémů hydrodynamického typu....8 Komplexifikace systémů hydrodynamického typu. Komplexní triplet v geofyzikální hydrodynamice...4 O SYMETRIZOVANÝCH NELINEÁRNÍCH SYSTÉMECH.... Symetrizované systémy a eich obecné vlastnosti.... Symetrizované komplexní systémy... 4 SYSTÉMY S DVĚMA KVADRATICKÝMI INTEGRÁLY KVADRATICKY NELINEÁRNÍ SYSTÉMY SE DVĚMA INTEGRÁLY POHYBOVÉ ROVNICE n-dimenzionálního TUHÉHO TĚLESA A SYMETRIZOVANÉ SYSTÉMY PRVNÍ INTEGRÁLY SYSTÉMU EULEROVÝCH ROVNIC SIMPLEKTICKÁ STRUKTURA NA ORBITÁCH, INVOLUCE INTEGRÁLŮ A ÚPLNÁ INTEGRABILITA SYSTÉMU EULEROVÝCH ROVNIC POHYBOVÉ ROVNICE ZOBECNĚNÉHO TUHÉHO TĚLESA A JEJICH VZTAH S ROVNICEMI HYDRODYNAMIKY...56 POHYBOVÉ ROVNICE n-dimenzionálního TĚŽKÉHO SETRVAČNÍKU...64 INTEGRACE KOMPLEXNÍ ANALOGIE POHYBOVÝCH ROVNIC n-dimenzionálního TĚŽKÉHO TĚLESA...67 GEODETIKY NA RIEMANNOVÝCH VARIETÁCH...74 SOUVISLOSTI S NELINEÁRNÍMI SYSTÉMY MECHANIKY TEKUTIN Adungované rovnice systémů hydrodynamického typu K problému uzavírání řetězce rovnic pro momenty trodimenzionálního systému Navierových-Stokesových rovnic při velkých Reynoldsových číslech Arnoldova konstrukce zobecněného tuhého tělesa Kelvinův (Thomsonův) teorém a Moffatův hydrodynamický invariant Zobecněné tuhé těleso a dynamika globálních barotropních a baroklinních toků v geofyzikální hydrodynamice Diferenciální formy...7 6

7 .7 Teorém Noetherové....8 Simplektická struktura na orbitách koadungované reprezentace a levoinvariantní metriky Liouvilleův teorém a Hamiltonovy systémy...6. Hamiltonův formalismus na Lieových grupách...8. Matematické úlohy dynamiky stratifikované tekutiny...4. Tichonovovy systémy. Pomalá a rychlá dynamika...7 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY...74 LITERATURA K ČÁSTI II

8 PŘEDMLUVA Kniha e určena především posluchačům meteorologie a klimatologie na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Publikace e mimo iné zamýšlena ako pokročilý studiní materiál k přednášce Vybrané partie geofyzikální hydrodynamiky určené pro poslední ročník magisterského studia, popřípadě doktorského studia meteorologie a klimatologie. Některé partie monografie však istě nadou uplatnění i v kurzu Dynamické meteorologie nebo hydrodynamiky obecně. Záměrem autorů e seznámit studenty uvedené specializace a případné další záemce s lineární analýzou stability atmosférických procesů, s obecněšími problémy nelineární geofyzikální hydrodynamiky a s netradičními postupy při studiu proudění tekutin, s nimiž se záemci mohou setkat v soudobé literatuře. Těmito postupy rozumíme matematické struktury respektuící současný stav lineární a nelineární analýzy, ve druhém případě velkou měrou přihlížeící k algebraickým metodám. Právě nelineární analýza reprezentue eden z perspektivních oborů matematiky a eí zaměření na fyzikální disciplíny se výrazně proevue v poslední době i při matematickém modelování v dynamice tekutin. To však neznamená, že některé eich problémy nelze řešit lineární analýzou. Svědčí o tom prvá část předkládané monografie, která ako celek tématicky navazue na díla o deterministickém chaosu, vydaná nakladatelstvím Academia v letech 99, 996 a. S tím souvisí ak výběr látky, tak i metody výkladu. Další informace o celkovém zaměření monografie nalezne záemce v úvodních kapitolách. Z matematických prostředků předpokládáme u čtenáře znalost základů diferenciálního a integrálního počtu, diferenciální geometrie a vektorové analýzy. S použitím náročněších partií matematiky se čtenář setká v částech zaměřených na nelineární systémy hydrodynamiky, reprezentovanými konečnědimenzionálními aproximacemi výchozích parciálních diferenciálních rovnic evolučních rovnic dynamiky atmosféry. Jeich součástí e i teorie 9

9 grup a eí speciální oblast, teorie reprezentací. Snažili sme se, aby kniha, pokud e to možné, tvořila uzavřený celek a nenutila čtenáře sáhnout k doplňuící matematické literatuře. Záemcům, kteří chtěí hlouběi proniknout do matematického modelování atmosférických pohybů kvadraticky nelineárními systémy hydrodynamického typu, doporučueme ke studiu kapitoly 7 a 8 z knihy J. Horáka, L. Krlína a A. Raidla Deterministický chaos a eho fyzikální aplikace (Academia, Praha ), zaměřené na matematické modely klimatu a na nelineární analýzu chaotických časových řad. Samotné matematice klimatu e věnováno dílo Matematické modelování v problémech klimatu, které vyšla tamtéž v roce 6. O autorství knihy se autoři podělili takto: Jiří Horák sepsal druhou část (II.) a Aleš Raidl e autorem první části (I.). Ještě e třeba učinit poznámku o odkazování na rovnice. Protože se prakticky v části I. neodkazueme na rovnice z části II. a obráceně, sou rovnice v obou částech (pro zkrácení) číslovány odděleně. Autoři vyadřuí vděčnost prof. RNDr. Janu Bednářovi, CSc. za péči a úsilí, které věnoval tomu, aby publikace spatřila světlo světa. Za nakreslení některých obrázků z první části knihy a všech obrázků z eí druhé části autoři děkuí kolegovi RNDr. Jiřímu Mikšovskému, Ph.D. Dík patří rovněž manželce druhého z autorů (A. R.) PhDr. Marině Raidlové za pečlivé přepsání a převedení do elektronické podoby celé druhé části knihy. Speciální poděkování patří doc. RNDr. Otakaru Zikmundovi, CSc. eho podrobné přečtení rukopisu a navržené úpravy přispěly k odbornému i azykovému zpřesnění textu. Autoři

10 ČÁST I

11

12 ÚVOD První část knihy poednává o hydrodynamické stabilitě, respektive instabilitě, neboť právě instabilní proudění se bude těšit našemu zvýšenému zámu. Výběr látky byl uspořádán tak, aby podával určitý přehled o stabilitě atmosférického proudění různých měřítek. Výklad začínáme kapitolou o perturbační metodě a poruchách vlnového charakteru, které hraí ústřední roli v celé první polovině monografie. Další význačnou úlohu při výkladu představue různým způsobem modifikovaná metoda vzduchové částice, kterou vychylueme z eí rovnovážné polohy několika způsoby, a to vertikálně, horizontálně nebo šikmo. Ačkoliv stabilitu atmosféry zkoumáme povětšinou na základě linearizovaných rovnic, v některých případech provádíme i zobecnění na nelineární situace. Výklad postupue od zkoumání stability atmosférických pohybů menších měřítek, aké představue například Kelvinova-Helmholtzova instabilita, přes popis Rayleighovy-Bénardovy konvekce následovaný rozborem instability mezoměřítka (symetrická a částečně inerční instabilita), až po problematiku stability kvazigeostrofických pohybů synoptického měřítka konkrétně výkladem o barotropní a zeména baroklinní instabilitě. Do publikace sme zařadili také některé části, které tvoří dnes iž klasické partie teorie hydrodynamické stability, například Milesův-Howardův teorém, polokruhový teorém a Rayleighův, popřípadě Førtoftův teorém. U čtenáře první části knihy se všeobecně předpokládá znalost základů hydrodynamiky, které lze získat z výborných monografií Batchelora [] a Landaua, Lifsitze [], a dále vědomostí z oblasti proudění vzduchu v atmosféře, tzn. z dynamické meteorologie. V tomto směru ako zdro informací dobře poslouží Holtonova kniha [], Duttonova monografie [4], z česky psané odborné literatury také příručka Pechaly a Bednáře [5]. Omezený prostor, který pro výklad problematiky máme, nám neumožnil zařadit řadu zaímavých statí o hydrodynamické stabilitě. Máme zde na

13 mysli zeména kapitoly o nelineárních interakcích mezi základním stavem a perturbacemi. Rovněž, až na výimku představovanou Rayleighovou- Bénardovou konvekcí, neuvažueme disipaci. Samostatnou kapitolu by si istě vyžádálo i studium barotropní stability Rossbyho vln. Potřebné informace v tomto směru istě čtenář nalezne v monografiích (seřazeno chronologicky) Lina [6], Chandrasekhara [7], Drazina a Reida [8], popřípadě Gonrèche a Mannevilla [9]. Z hlediska geofyzikální hydrodynamiky lze záemcům doporučit vynikaící knihu Pedloskeho []. Co e vlastně předmětem zámu teorie hydrodynamické stability? Tato teorie studue stabilitu určitého základního, chcete-li výchozího stavu, vůči poruchám různého charakteru, které na tento základní stav působí. Poruchy nebo-li perturbace mohou díky stabilitě základního stavu zanikat, nebo naopak v instabilním případě s časem sílit. Velmi často uvažueme, že perturbace maí na počátku infinitezimální charakter. Jeich případné zvětšování však může představovat spouštěcí mechanismus, kdy kupříkladu ustálené laminární proudění přede v neuspořádané, chaotické proudění turbulenci. Poněkud zednodušeně a s istou dávkou nadsázky lze říci, že proevy počasí spočívaí v nestabilitě atmosférické cirkulace například podle moderních představ soudobé dynamické meteorologie vznikaí synoptické poruchy ve středních zeměpisných šířkách díky baroklinní instabilitě původně zonálního západního proudění. Prostřednictvím baroklinní instability tak může doít k přestavbě zonální atmosférické cirkulace v cyklonální. Studium vzáemného působení fluktuací a základního stavu se rozpadá na dva zásadní problémy. Na určení základního stavu osvobozeného od fluktuací a na popis evoluce poruch (fluktuací). Druhým úkolem se budeme vesměs zabývat v následuících kapitolách, kdy odvodíme rovnice pro perturbace a tyto poruchy budeme povětšinou uvažovat ve tvaru vln. Proto se nyní zastavme u problematiky stanovení základního stavu. To není při studiu pohybů v atmosféře tak ednoduché, ak by se na první pohled mohlo zdát. Mohlo by nás napadnout, že takový základní stav by bylo možné získat časovým průměrováním proudění přes dostatečně dlouhý časový interval; podobný postup se vskutku používá například při studiu turbulence. Je užitečné si však uvědomit, že takto získaný akýsi střední základní stav iž obsahue a e ovlivněn fluktuacemi, od kterých bychom e chtěli oprostit. Fluktuace totiž mohou vést ke vznikům toků tepla a hybnosti s obecně nenulovými časovými průměry. Časově vystředované proudění tak zahrnue i existuící fluktuace. Jak v této souvislosti poznamenává Pedlosky [], časově průměrované proudění se obvykle eví stabilněší než skutečný stav bez fluktuací. Neznalost základního stavu nás tedy nutí k eho definování. Musí to být však definice dostatečně smysluplná. V atmosféře obvy- 4

14 kle předpokládáme, že základní stav e tvořen zonálním geostrofickým prouděním. To dobře odpovídá podmínkám, když studueme stabilitu pohybů velkého měřítka. V práci se snažíme nalézt istý kompromis mezi tím, aby na edné straně byl základní stav atmosféry dostatečně ednoduchý a mohli sme získané rovnice řešit bez použití metod numerické matematiky, a na druhé straně dosti složitý na to, aby výsledný model popisoval vlastnosti atmosféry dostatečně věrně. Naštěstí se ukazue, ak uvidíme z dalšího výkladu, že i poměrně ednoduchá konfigurace základního stavu, například při studiu baroklinní instability, uspokoivě postihue řadu skutečných rysů zemské atmosféry. 5

15 PERTURBAČNÍ TEORIE Úlohy dynamické meteorologie a geofyzikální hydrodynamiky vůbec sou spoeny s nutností řešit soustavu hydrodynamických rovnic, t. tří pohybových rovnici, rovnice kontinuity, stavové rovnice a první hlavní věty termodynamické. Zmíněnou soustavu lze psát v mnoha tvarech, z nichž edním z možných e tento: v + ( v ) v = α p Ω v + g + f r, (.a) t dα α = + v α = α v, (.b) dt t pα = RT, (.c) dq dt cp dt = α dt d p d t. (.d) Souřadnicovou soustavu O(x,y,z) volíme pravotočivou, obvykle pevně spoenou s rotuící Zemí tak, že osa x míří k východu, osa y na sever a osa z kolmo vzhůru. Čas značíme t, v se složkami (u, v, w) představue rychlost proudění, p e tlak, Ω (, Ω cosϕ, Ω sinϕ) e úhlová rychlost rotace Země, kterou v dostatečně přesném přiblížení považueme za konstantní (Ω = 7,9 5 s, ϕ e zeměpisná šířka). Tíhové zrychlení Země e reprezentováno vektorem g (,, g) a f r značí sílu tření. Veličina α představue měrný obem, souviseící s hustotou ρ vztahem α = /ρ, R e měrná plynová konstanta, T teplota a q e teplo vztažené na ednotku hmoty dodané, nebo odebrané studované soustavě. Na tomto místě poznameneme, že v případě nutnosti, pracueme-li například s oceánem, e nutné soustavu hydrodynamických rovnic obohatit o další rovnice, typicky o rovnici salinity (slanosti) a vhodným způsobem upravit i stavovou rovnici; viz např. []. 6

16 Analytické řešení soustavy (.) není v obecném případě známo, zeména díky existenci nelineárních členů. Jeí řešení tedy musíme hledat buď pomocí numerické integrace, nebo přistoupit k zavedení zednodušuících předpokladů. Vhodnou metodou, která zednodušue výchozí rovnice, e perturbační teorie. Spočívá v tom, že studované proudění považueme za součet dvou toků (proudění): základního stavu osvobozeného od fluktuací, a malých poruch (perturbací). Přitom předpokládáme, že ) základní stav splňue soustavu rovnic (.), ) výsledné proudění (základní stav + perturbace) splňue soustavu rovnic (.). Předpokládáme-li navíc, že ) poruchové (perturbační) veličiny sou řádově menší než im odpovídaící veličiny popisuící základní stav, hovoříme o lineární perturbační metodě. Hydrodynamické rovnice napsané pro výsledný stav zednodušíme pomocí rovnic (.), napsaných pro základní proudění, eich vzáemným odečtením. Předpoklad ) nám pak navíc umožňue zanedbat v rovnicích členy, které sou nelineární vzhledem k poruchám. Získáme tak rovnice popisuící chování poruch. Tyto rovnice pak nazýváme perturbačními rovnicemi.. Perturbační pohybové rovnice Pro ilustraci nyní odvodíme perturbační pohybové rovnice. Veličiny vztahuící se k základnímu stavu označíme pruhem, tzn. v, α, p. Poruchové veličiny označíme svislou čárkou, tzn. v, α, p reprezentuí postupně perturbace v poli rychlosti proudění, měrného obemu a tlaku. Zopakume znovu pro přehlednost, že základní stav e dán veličinami v, α, p, výsledný stav e dán veličinami v + v, α + α, p + p. Pochopitelně vezmeme-li v úvahu i rovnice (.c) a (.d), sme nuceni uvažovat i případné poruchy v poli teploty atd., ale v tomto ilustrativním případě, kdy používáme pouze pohybové rovnice, vystačíme s poruchami v poli rychlosti, měrného obemu a tlaku. Podle předpokladu ) platí pohybová rovnice pro základní stav, tedy v + ( v ) v = α p Ω v + g, t 7

17 kde sme pro ednoduchost zanedbali tření. Podle předpokladu ) platí pohybová rovnice (.a) i pro výsledný stav, tzn. ( v + v ) + (( v + v ) )( v + v ) = ( α + α ) ( p+ p ) Ω ( v + v ) + g. t Odečteme-li od poslední rovnice rovnici předposlední, získáme v + ( v v ) + ( v ) v + ( v ) v = α p α p α p Ω v. t Uvážíme-li i předpoklad ), můžeme členy, které sou nelineární vzhledem k poruchám zanedbat, protože sou co do velikosti alespoň o řád menší než členy zbývaící. V takovém případě dostáváme v + ( v ) v + ( v ) v = α p α p Ω v, t což e hledaná lineární perturbační pohybová rovnice. Analogicky postupueme i při odvozování perturbační rovnice kontinuity, stavové rovnice i první hlavní věty termodynamické. Ještě poznameneme, že místo měrného obemu α bývá obvykleší používat v pohybových rovnicích hustotu ρ =/α tak, ak to budeme činit pozděi. Lineární perturbační metoda představue isté omezení v tom smyslu, že umožňue studium stability základního proudění, které e vystaveno pouze malým (v podstatě nekonečně malým) poruchám. Selhává však v případě, kdy amplitudy poruch narostou po určité době v důsledku instability do takových velikostí, že iž není možno nelineární členy v rovnicích opomenout. Podobně, e-li základní proudění stabilní vzhledem k nekonečně malým poruchám, nedává lineární perturbační metoda žádné informace o tom, e-li toto proudění stabilní i vzhledem k poruchám dostatečně velkým. Přesto e možné, ak uvidíme pozděi, pomocí lineární teorie popsat některé vlastnosti fluktuací v reálné atmosféře, například délku dominantní vlnové poruchy nebo eí vertikální strukturu. Poznameneme eště, že lineární perturbační metoda e v dynamické meteorologii spoena zeména s Berknesovým ménem (viz například []). Aplikume nyní výše popsanou lineární perturbační metodu na proudění ve vertikální rovině (x, z). Pro ednoduchost neuvažume rotaci Země a atmosféru považume za nestlačitelnou tekutinu. Není-li dále explicitně uvedeno inak, neuvažueme ani síly tření. Základní stav definume následovně: u( z ), w =, p( z ), ρ ( z). Pro takové základní proudění maí pohybové rovnice v rovině (x, z) tvar 8

18 p x =, (.a) p z = ρ g. (.b) Rovnice kontinuity pro základní stav e splněna identicky. Poruchy v poli rychlosti ve směru osy x a z nechť sou u ( x, z, t), w ( x, z, t), v poli tlaku p ( xzt,, ) a poli v hustoty ρ ( x, zt, ). Výsledný stav má tedy tvar u( z ) + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ( z) + ρ ( x, z, t). Podle předpokladu ) perturbační metody můžeme psát ( u + u ) ( u + u ) ( u + u ) ( p+ p ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w = t x z, (.a) x w w w ( p+ p ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w = g( ρ + ) t x z ρ, (.b) z ( ρ + ρ ) ( ρ + ρ ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w =. (.c) t x z V této soustavě rovnic zanedbáme nelineární členy vzhledem k poruchám a odečteme od každé z rovnic (.) odpovídaící rovnici (.). Tímto postupem dostáváme následuící perturbační rovnice u u d u p + u + w =, (.4a) t x dz ρ x w w p ρ + u = g, (.4b) t x ρ z ρ ρ d u ρ + + w ρ =. (.4c) t x dz Není obtížné se přesvědčit, že rovnici kontinuity pro perturbace e možné rovněž psát ve tvaru: u w + =. (.4d) x z 9

19 Zaveďme dále proudovou funkci ψ vztahy Tím rovnice (.4a) až (.4c) předou na tvar ψ ψ u =, w = z x. (.5) ψ du u ψ ψ p + =, (.6a) t z x z x dz ρ x ψ ψ ρ + = g, (.6b) ρ ρ p u t x x z ρ d u ρ + + ψ ρ =. (.6c) t x x dz Rovnici (.6b) parciálně derivume podle x a odečtěme i od rovnice (.6a) parciálně derivované podle z. Tím dostaneme dρ ψ du dρ du ψ g ρ ψ ρ ρ + u =. (.7) t x dz z dz dz dz x ρ x Derivume rovnici (.6c) parciálně podle x, dělme i ρ a vyádřeme z ní (/ ρ)( ρ / x). Výsledek pak dosaďme do rovnice (.7). Poté dostáváme d u du ψ δ δ g u ψ ψ + + = ψ δ, (.8) t x z dz dz x x kde sme označili dρ δ. ρ dz Tím sme převedli řešení soustavy perturbačních rovnic (.4) pro neznámé u, w, ρ a p na řešení edné diferenciální rovnice pro proudovou funkci ψ. K rovnici (.8) (steně ako k soustavě (.) resp. (.4)) e třeba přidat vhodné okraové, popřípadě počáteční podmínky, ak provedeme pozděi.

20 NORMÁLNÍ MODY Vhodnou metodou řešení rovnice (.8) e metoda normálních modů. Protože koeficienty v rovnici (.8) nezávisí ani na čase t ani na souřadnici x, eí řešení hledáme ve tvaru i ( ) { ψˆ z } ψ ( xzt,, ) =R ( )e k x ct, (.) kde R značí reálnou část výrazu, před kterým stoí. Vlnové číslo k ve směru osy x musí být reálné, aby amplituda vlny (modu) byla při velkých x konečná. Amplitudová funkce ψˆ a růstový faktor (rychlost růstu) kc i mohou být komplexní (c i značí imaginární část fázové rychlosti c). Zapíšeme-li fázovou rychlost c ako součet reálné a imaginární části a dosadíme-li toto vyádření do (.), máme c= c + ic (.) r i kc i ( ) { ˆ } i t k x c r t ψ z ψ ( xzt,, ) =R ( )e e. (.) Je-li kc i =, pak se amplituda poruchy s časem nemění, tzn. e stabilní. Jeli kc i <, pak porucha s časem slábne. Naopak, e-li kc i >, pak porucha s časem zesilue. V posledních dvou případech říkáme, že e porucha instabilní. Na tomto místě e však třeba poznamenat, že někteří autoři, například [], zavádí poem stability (instability) poněkud odlišně, a to: kc i = neutrální porucha, kc i < stabilní porucha, kc i > instabilní porucha. My se budeme vždy snažit o explicitní rozlišení, aby bylo zřemé, o aký časový vývo poruchu se edná. V dalším textu budeme písmeno R vynechávat a budeme mít na paměti, že fyzikální význam maí en reálné části výrazů (.), (.), respektive eich analogie.

21 Všimněme si, že při kc i > se může porucha stát po uplynutí dostatečně dlouhé doby natolik velká, že se nelineární efekty stanou natolik významnými, že lineární přístup pozbyde platnosti. Proto e vhodné metodu normálních modů používat, v souladu s lineární perturbační teorií, en na počáteční stadia vývoe poruch. Dosazením (.) do rovnice (.8) dostáváme dψˆ dψˆ d u du ( u c) k ψˆ δ ( u c) ˆ g ˆ δ ψ = δψ, (.4) dz dz dz dz což e iž en obyčená diferenciální rovnice pro amplitudovou funkci ψ ˆ. Rovnice (.4) e velmi důležitá neen proto, že í budeme studovat v dalším textu, ale i pro to, že z ní vyplývaí další vztahy, které hraí důležitou úlohu v teorii hydrodynamické stability. Předně, uvážíme-li, že se hustota ρ ( z) mění s výškou obvykle mnohem pomalei než rychlost proudění u( z ), a že δ <<, můžeme v poslední rovnici zanedbat ty členy obsahuící δ, které se nacházeí na eí levé straně, a ponechat pouze ten člen s δ, který stoí na pravé straně rovnice (.4). Fyzikálně to znamená, že zanedbáváme změny hustoty u členů postihuících setrvačnost, ale ponecháváme u členu, který popisue archimédovský vztlak. Taková situace se velmi podobá Boussinesquově aproximaci [8]. Po naznačené úpravě přede (.4) na tvar dψˆ d u gδ ( u c) k ψˆ ˆ ˆ ψ + ψ =, (.5) dz d z ( u c) který nazýváme Taylorova-Goldsteinova rovnice. Půdeme-li eště dále a nebudeme-li uvažovat změny hustoty vůbec (budeme pracovat například s homogenní tekutinou), redukue se rovnice (.4), popřípadě (.5), na rovnici dψˆ d u ( u c) k ψˆ ψˆ =, (.6) dz dz o které hovoříme ako o Rayleighově rovnici. Pro dvě posledně menované rovnice byla odvozena řada teorémů, které se váží ke stabilitě různých typů proudění. Některé si v následuícím textu uvedeme. Závěrem tohoto oddílu si eště povšimněme, že sme poruchy (.) popřípadě (.) uvažovali dvourozměrné, nezávislé na souřadnici y. K tomu nás vede tvrzení Squireova teorému, podle kterého v homogenní tekutině

22 existue ke každé instabilní trorozměrné vlně vždy vlna dvorozměrná, která e instabilněší a která se pohybue rovnoběžně se směrem proudění. Na případ stratifikované tekutiny Squireův teorém zobecnil Yih (bližší podrobnosti viz [4]). Předmětem našeho prioritního zámu sou právě mody (vlny) co možná neinstabilněší, nehledě na to, že uvažování dvorozměrných namísto trorozměrných poruch výpočty poněkud zednoduší.

23 4 KELVINOVA-HELMHOLTZOVA INSTABILITA, INSTABILITA TAYLOROVA A HELMHOLTZOVA TYPU V této kapitole se budeme zabývat řešením rovnice (.4) za istých zednodušuících předpokladů. Ukážeme aký vliv má na stabilitu proudění rozložení hustoty, vertikální střih větru (vertikální gradient rychlosti proudění) a tloušťka vrstvy, ve které tekutina proudí. Uvažume dvě nad sebou ležící vrstvy dvou nestlačitelných tekutin, které se navzáem nemísí, s hustotami ρ, ρ a konstantními rychlostmi základního proudění u, u. Zanedbáme-li zemskou rotaci, e plocha odděluící obě tekutiny v klidovém stavu horizontální. Umístěme do této roviny počátek pravoúhlé souřadnicové soustavy. Osa x nechť e orientována ve směru proudění obou tekutin a osa z nechť míří kolmo vzhůru. Dále označme všechny veličiny vztahuící se k horní tekutině indexem, k dolní tekutině indexem. Nechť e horní tekutina omezena neprostupnou horizontální rovinou ve výšce z = h a podobně dolní tekutina nechť e ohraničena rovinou ve výšce z = h. Na základní stav charakterizovaný veličinami u, u, p ( z ), p ( z ), ρ, ρ nechť sou superponovány poruchy v poli rychlosti proudění a tlaku: u ( x, z, t), u ( x, z, t), w ( x, z, t), w ( x, z, t), p ( xzt,, ), p ( xzt,, ). Výsledný stav tedy můžeme charakterizovat takto: horní tekutina: u + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ, spodní tekutina: u + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ. Perturbace v poli rychlosti proudění můžeme nahradit perturbačními proudovými funkcemi ψ, ψ podle vztahu (.5). Namísto pohybových rovnic a rovnice kontinuity e pak možno použít rovnice typu (.4). To znamená, že 4 d ψˆ i k( x ct) ( u ˆ ˆ c) k ψ =, ψ = ψ e, (4.a) dz

24 d ψˆ i k( x ct) ( u ˆ ˆ c) k ψ =, ψ = ψ e. (4.b) dz Předpokládáme-li, že u c, u c, můžeme řešení rovnic (4.) psát ve tvaru kz ψˆ = Ae + Be, (4.a) kz kz ψˆ = Ae + B e, (4.b) kz Kde A, A, B, B sou integrační konstanty, které určíme z okraových podmínek. Kinematická okraová podmínka na horní hranici vrchní tekutiny vyžadue, aby normálová složka rychlosti k neprostupné hranici byla rovna nule, to znamená Označme tedy ψˆ ( z = h) = Ae + Be =. (4.a) kh kh A e e =, C kh kh B kde C e nová konstanta. Dosazením poslední rovnice do (4.a) máme [ ] ψ ˆ () z = Csinh k( z h ). (4.4a) Zcela analogicky aplikueme kinematickou okraovou podmínku na dolní hranici spodní vrstvy tekutiny, tedy Označme ˆ ( ) e kh kh ψ z = h = A + B e =. (4.b) A e kh e C B kh =, kde C e konstanta. Dosazením poslední rovnice do (4.b) máme [ ] ψ ˆ ( z) = Csinh k( z+ h ). (4.4b) Abychom mohli formulovat dynamické okraové podmínky na rozhraní obou tekutin, určíme poruchy p, p v tlakovém poli. Z rovnice (.6a) vyplývá po dosazení pomocí (.5), že 5

25 i ( p ) ρ i k ( u c) Ccosh k( z h ) e k x ct =, (4.5a) x i ( ) cosh ( ) e i k( x p k ρ u c C k z+ h ct) =. (4.5b) x Podobně z rovnice (.6b) máme ( ) sinh ( ) e i k( x p ρ ct) k u c C k z h =, (4.6a) z ( ) sinh ( ) e i k( x p k ρ u c C k z+ h ct) =. (4.6b) z Integrume rovnice (4.6) podle souřadnice z: i k( x ct) p = kρ( u c)cosh k( z h) e + f( x), (4.7a) i k( x ct) p = kρ( u c)cosh k( z+ h) e + f( x), (4.7b) kde f (x) a f (x) sou integrační funkce. Parciálním derivováním rovnic (4.7) podle x a následným porovnáním s rovnicemi (4.5) zistíme, že f ( x) = D, f ( x) = D a D a D sou integrační konstanty. Pro ednoduchost e volme rovny nule, tedy p k u c k z h i ( ) ( )cosh ( ) e k x = ρ ct, (4.8a) i ( ) ( )cosh ( ) e k x = ρ + ct. (4.8b) p k u c k z h Pro přehlednost eště uveďme tvar poruch v poli rychlosti proudění: ψ i ( ) u kccosh k( z h) e k x = = ct z, (4.9a) ψ i ( ) u kccosh k( z h) e k x = = + ct z, (4.9b) ψ i ( ) w ikcsinh k( z h) e k x = = ct x, (4.a) ψ i ( ) w ikcsinh k( z h) e k x = = + ct x. (4.b) Dynamická okraová podmínka na rozhraní mezi tekutinami vyžadue spoitost tlaku při přechodu přes toto rozhraní. Předpokládáme-li, že částice, 6

26 které spočívaí na tomto rozhraní, na něm budou setrvávat, e možné psát zmíněnou dynamickou okraovou podmínku následovně d [ ( p p ) + ( p ) p ] =. (4.) rozhraní dt Podmínka e sice definována pro rozhraní, ale uvážíme-li, že se zabýváme lineární teorií, ve které považueme poruchy za daleko menší než veličiny základního stavu, lze předpokládat, že odchylka rozhraní od eho klidové polohy e nevelká. Podmínku (4.) proto můžeme vztáhnout k rozhraní v poloze z =. Tedy d [ ( p p ) ( ) + p p ] =. (4.) z= dt Poslední výraz představue dvě rovnice (pro dolní a horní tekutinu), které po aaaaaaaaaa d provedení Eulerova rozvoe = + v a zanedbání nelineárních členů, maí tvar dt t ( p p ) ( p p ) + u + wg ( ρ ρ ) t x, (4.a) z= ( p p ) ( p p ) + u + w g( ρ ρ ) t x, (4.b) z= kde sme využili rovnice hydrostatické rovnováhy. Dosadíme-li nyní do rovnic (4.) pomocí (4.8) a (4.) obdržíme C kρ( u c) cosh( kh) g( ρ ρ)sinh( kh) = = C[ kρ( u c)( u c)cosh( kh) ] [ ρ ( )( ) cosh( )] = C k u c u c kh, (4.4a) = C kρ( u c) cosh( kh) g( ρ ρ)sinh( kh). (4.4b) Vyádříme-li z obou posledních rovnic poměr C /C a porovnáme e navzáem, získáme kvadratickou rovnici pro fázovou rychlost c: ( ρa + ρa) c ( ρua + ρua) c+ g( ρ ρ ) aa + ρu a + ρ u a kde sme označili k =, (4.5) 7

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Hydromechanické procesy Obtékání těles

Hydromechanické procesy Obtékání těles Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Proč funguje Clemův motor

Proč funguje Clemův motor - 1 - Proč funguje Clemův motor Princip - výpočet - konstrukce (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2004 Tento článek si klade za cíl odhalit podstatu funkce Clemova motoru, provést základní výpočty a navrhnout

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Proč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15

Proč studovat hvězdy? 9. 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 Proč studovat hvězdy? 9 1 Úvod 11 1.1 Energetické úvahy 11 1.2 Zjednodušení použitá při konstrukci sférických modelů.... 13 1.3 Model našeho Slunce 15 2 Záření a spektrum 21 2.1 Elektromagnetické záření

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Jednotlivé historické modely neuronových sítí

Jednotlivé historické modely neuronových sítí Jednotlivé historické modely neuronových sítí Tomáš Janík Vícevrstevná perceptronová síť opakování Teoretický model obsahue tři vrstvy perceptronů; každý neuron první vrstvy e spoen s každým neuronem z

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21 Příklad 1 Soutěž o nelepší akost výrobků obeslali čtyři výrobci A, B, C, D celkem 26 výrobky. Porota sestavila toto pořadí (uveden pouze původ výrobku od nelepšího k nehoršímu): Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8

Více

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 NUMERICKÉ SIMULACE ING. KATEŘINA

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu,

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika Ročník: I.ročník - kvinta Fyzikální veličiny a jejich měření Fyzikální veličiny a jejich měření Soustava fyzikálních veličin a jednotek

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda oddělených elementů (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Maturitní témata fyzika

Maturitní témata fyzika Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

PROUDĚNÍ KAPALIN A PLYNŮ, BERNOULLIHO ROVNICE, REÁLNÁ TEKUTINA

PROUDĚNÍ KAPALIN A PLYNŮ, BERNOULLIHO ROVNICE, REÁLNÁ TEKUTINA Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Vladislav Válek MGV_F_SS_1S2_D16_Z_MECH_Proudeni_kapalin_bernoulliho_ rovnice_realna_kapalina_aerodynamika_kridlo_pl

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Základní pojmy a jednotky

Základní pojmy a jednotky Základní pojmy a jednotky Tlak: p = F S [N. m 2 ] [kg. m. s 2. m 2 ] [kg. m 1. s 2 ] [Pa] (1) Hydrostatický tlak: p = h. ρ. g [m. kg. m 3. m. s 2 ] [kg. m 1. s 2 ] [Pa] (2) Převody jednotek tlaku: Bar

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

2.1 Empirická teplota

2.1 Empirická teplota Přednáška 2 Teplota a její měření Termika zkoumá tepelné vlastnosti látek a soustav těles, jevy spojené s tepelnou výměnou, chování soustav při tepelné výměně, změny skupenství látek, atd. 2.1 Empirická

Více

Gymnázium, Český Krumlov

Gymnázium, Český Krumlov Gymnázium, Český Krumlov Vyučovací předmět Fyzika Třída: 6.A - Prima (ročník 1.O) Úvod do předmětu FYZIKA Jan Kučera, 2011 1 Organizační záležitosti výuky Pomůcky související s výukou: Pracovní sešit (formát

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

1 Měření paralelní kompenzace v zapojení do trojúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže

1 Měření paralelní kompenzace v zapojení do trojúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže 1 Měření paralelní kompenzace v zapoení do troúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže íle úlohy: Trofázová paralelní kompenzace e v praxi honě využívaná. Úloha studenty seznámí s vlivem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Molekulová fyzika, termika 2. ročník, sexta 2 hodiny týdně Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Semestrální práce RLC obvody

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Semestrální práce RLC obvody Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Semestrální práce RLC obvody Michaela Šebestová 28.6.2009 Obsah 1 Úvod 2 Teorie elektrotechniky 2.1 Použité teorémy fyziky 2.1.1

Více

Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky:

Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky: Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky: 1. Kinematika 2. Dynamika 3. Práce, výkon, energie 4. Gravitační pole 5. Mechanika tuhého tělesa 6. Mechanika kapalin a plynů 7. Vnitřní energie, práce,

Více

Modelování montážní linky

Modelování montážní linky Modelování montážní linky Geza Dohnal 1. Montážní linka S rozvoem hromadné výroby e velice těsně spoen rozvo a automatizace výrobních a montážních linek. Tyto linky se od sebe obecně liší ednak topologií

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více