Hydrodynamická stabilita. atmosféry a nelineární. problémy geofyzikální. hydrodynamiky
|
|
- Naděžda Nela Kučerová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1
2 Anotace Kniha e určena záemcům o mechaniku tekutin a nelineární dynamiku v geofyzikální hydrodynamice. Publikace e mimo iné zamýšlena ako pokročilý studiní text doplňuící studiní materiál k přednáškám Vybrané partie geofyzikální hydrodynamiky a Vlnové pohyby a energetika atmosféry konané na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Některé partie monografie však istě nadou uplatnění i v kurzu Dynamické meteorologie nebo hydrodynamiky obecně. Kniha seznamue čtenáře s technikami vyšetření stability hydrodynamického proudění ak v lineárním, tak nelineárním přiblížení (část I.). Druhá část knihy poednává o obecněších problémech nelineární geofyzikální hydrodynamiky a netradičních postupech při studiu proudění tekutin. Dodeme, že právě nelineární analýza e perspektivním oborem moderní matematiky, což dobře dokumentue předkládaná monografie. Publikace e určena pracovníkům se zaměřením na dynamiku tekutin na univerzitách i ve výzkumných ústavech. Dobře však poslouží i studentům a doktorandům na vysokých školách univerzitního i technického směru, a to i takových oborů ako e fyzika atmosféry nebo matematické a počítačové modelování.
3
4 Hydrodynamická stabilita atmosféry a nelineární problémy geofyzikální hydrodynamiky Jiří Horák *), Aleš Raidl +) *) Ústav fyziky atmosféry AV ČR +) Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, katedra meteorologie a ochrany prostředí
5 OBSAH Předmluva...9 ČÁST I... ÚVOD... PERTURBAČNÍ TEORIE...6. Perturbační pohybové rovnice...7 NORMÁLNÍ MODY... 4 KELVINOVA-HELMHOLTZOVA INSTABILITA, INSTABILITA TAYLOROVA A HELMHOLTZOVA TYPU PERTURBAČNÍ STAVOVÁ A TERMODYNAMICKÁ ROVNICE STABILITA VNITŘNÍCH GRAVITAČNÍCH (VZTLAKOVÝCH) VLN NELINEÁRNÍ ZOBECNĚNÍ METODY ČÁSTICE KRITICKÉ RICHARDSONOVO ČÍSLO Klasické odvození Milesova-Howardova teorému Odvození Milesova-Howardova teorému na základě energetických úvah a metody částic STABILITA RAYLEIGHOVY-BÉNARDOVY KONVEKCE...57 STABILITNÍ KRITÉRIA VYPLÝVAJÍCÍ Z RAYLEIGHOVY ROVNICE...7 STABILITA FRONTÁLNÍCH VLN...8 INERČNÍ INSTABILITA Základní mechanismus inerční instability Nelineární zobecnění podmínek inerční instability... SYMETRICKÁ INSTABILITA BAROTROPNÍ A BAROKLINNÍ INSTABILITA Z HLEDISKA PŘEMĚNY ENERGIE... 5 FORMULACE ROVNIC PRO STUDIUM STABILITY KVAZIGEOSTROFICKÝCH ATMOSFÉRICKÝCH POHYBŮ NUTNÁ PODMÍNKA BAROTROPNÍ INSTABILITY Příklady možných barotropně instabilních profilů proudění Zobecnění Kuovy nutné podmínky barotropní instability...9 5
6 7 BAROKLINNÍ INSTABILITA Základní mechanismus baroklinní instability Baroklinní instabilita spoitého modelu na f rovině Baroklinní instabilita v diskrétním dvovrstevnatém modelu...54 LITERATURA K ČÁSTI I... 7 ČÁST II...7 ÚVOD...75 O SYSTÉMECH HYDRODYNAMICKÉHO TYPU K definici systémů hydrodynamického typu Ekvivalence tripletu (neednoduššího netriviálního systému hydrodynamického typu) a Eulerových diferenciálních rovnic rotace...9. Strukturální vlastnosti kvadraticky nelineárních systémů. Afinní invarianty a kriterium existence kvadratického integrálu v systémech. řádu Strukturální vlastnosti kvadraticky nelineárních systémů. Afinní invarianty a kriterium existence kvadratického integrálu v systémech. řádu Integrace pohybových rovnic tripletu....6 Asymptotické tvary řešení a kvadratické formy dynamického tripletu vyádřené pomocí elementárních funkcí K statistickému popisu systémů hydrodynamického typu....8 Komplexifikace systémů hydrodynamického typu. Komplexní triplet v geofyzikální hydrodynamice...4 O SYMETRIZOVANÝCH NELINEÁRNÍCH SYSTÉMECH.... Symetrizované systémy a eich obecné vlastnosti.... Symetrizované komplexní systémy... 4 SYSTÉMY S DVĚMA KVADRATICKÝMI INTEGRÁLY KVADRATICKY NELINEÁRNÍ SYSTÉMY SE DVĚMA INTEGRÁLY POHYBOVÉ ROVNICE n-dimenzionálního TUHÉHO TĚLESA A SYMETRIZOVANÉ SYSTÉMY PRVNÍ INTEGRÁLY SYSTÉMU EULEROVÝCH ROVNIC SIMPLEKTICKÁ STRUKTURA NA ORBITÁCH, INVOLUCE INTEGRÁLŮ A ÚPLNÁ INTEGRABILITA SYSTÉMU EULEROVÝCH ROVNIC POHYBOVÉ ROVNICE ZOBECNĚNÉHO TUHÉHO TĚLESA A JEJICH VZTAH S ROVNICEMI HYDRODYNAMIKY...56 POHYBOVÉ ROVNICE n-dimenzionálního TĚŽKÉHO SETRVAČNÍKU...64 INTEGRACE KOMPLEXNÍ ANALOGIE POHYBOVÝCH ROVNIC n-dimenzionálního TĚŽKÉHO TĚLESA...67 GEODETIKY NA RIEMANNOVÝCH VARIETÁCH...74 SOUVISLOSTI S NELINEÁRNÍMI SYSTÉMY MECHANIKY TEKUTIN Adungované rovnice systémů hydrodynamického typu K problému uzavírání řetězce rovnic pro momenty trodimenzionálního systému Navierových-Stokesových rovnic při velkých Reynoldsových číslech Arnoldova konstrukce zobecněného tuhého tělesa Kelvinův (Thomsonův) teorém a Moffatův hydrodynamický invariant Zobecněné tuhé těleso a dynamika globálních barotropních a baroklinních toků v geofyzikální hydrodynamice Diferenciální formy...7 6
7 .7 Teorém Noetherové....8 Simplektická struktura na orbitách koadungované reprezentace a levoinvariantní metriky Liouvilleův teorém a Hamiltonovy systémy...6. Hamiltonův formalismus na Lieových grupách...8. Matematické úlohy dynamiky stratifikované tekutiny...4. Tichonovovy systémy. Pomalá a rychlá dynamika...7 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY...74 LITERATURA K ČÁSTI II
8 PŘEDMLUVA Kniha e určena především posluchačům meteorologie a klimatologie na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Publikace e mimo iné zamýšlena ako pokročilý studiní materiál k přednášce Vybrané partie geofyzikální hydrodynamiky určené pro poslední ročník magisterského studia, popřípadě doktorského studia meteorologie a klimatologie. Některé partie monografie však istě nadou uplatnění i v kurzu Dynamické meteorologie nebo hydrodynamiky obecně. Záměrem autorů e seznámit studenty uvedené specializace a případné další záemce s lineární analýzou stability atmosférických procesů, s obecněšími problémy nelineární geofyzikální hydrodynamiky a s netradičními postupy při studiu proudění tekutin, s nimiž se záemci mohou setkat v soudobé literatuře. Těmito postupy rozumíme matematické struktury respektuící současný stav lineární a nelineární analýzy, ve druhém případě velkou měrou přihlížeící k algebraickým metodám. Právě nelineární analýza reprezentue eden z perspektivních oborů matematiky a eí zaměření na fyzikální disciplíny se výrazně proevue v poslední době i při matematickém modelování v dynamice tekutin. To však neznamená, že některé eich problémy nelze řešit lineární analýzou. Svědčí o tom prvá část předkládané monografie, která ako celek tématicky navazue na díla o deterministickém chaosu, vydaná nakladatelstvím Academia v letech 99, 996 a. S tím souvisí ak výběr látky, tak i metody výkladu. Další informace o celkovém zaměření monografie nalezne záemce v úvodních kapitolách. Z matematických prostředků předpokládáme u čtenáře znalost základů diferenciálního a integrálního počtu, diferenciální geometrie a vektorové analýzy. S použitím náročněších partií matematiky se čtenář setká v částech zaměřených na nelineární systémy hydrodynamiky, reprezentovanými konečnědimenzionálními aproximacemi výchozích parciálních diferenciálních rovnic evolučních rovnic dynamiky atmosféry. Jeich součástí e i teorie 9
9 grup a eí speciální oblast, teorie reprezentací. Snažili sme se, aby kniha, pokud e to možné, tvořila uzavřený celek a nenutila čtenáře sáhnout k doplňuící matematické literatuře. Záemcům, kteří chtěí hlouběi proniknout do matematického modelování atmosférických pohybů kvadraticky nelineárními systémy hydrodynamického typu, doporučueme ke studiu kapitoly 7 a 8 z knihy J. Horáka, L. Krlína a A. Raidla Deterministický chaos a eho fyzikální aplikace (Academia, Praha ), zaměřené na matematické modely klimatu a na nelineární analýzu chaotických časových řad. Samotné matematice klimatu e věnováno dílo Matematické modelování v problémech klimatu, které vyšla tamtéž v roce 6. O autorství knihy se autoři podělili takto: Jiří Horák sepsal druhou část (II.) a Aleš Raidl e autorem první části (I.). Ještě e třeba učinit poznámku o odkazování na rovnice. Protože se prakticky v části I. neodkazueme na rovnice z části II. a obráceně, sou rovnice v obou částech (pro zkrácení) číslovány odděleně. Autoři vyadřuí vděčnost prof. RNDr. Janu Bednářovi, CSc. za péči a úsilí, které věnoval tomu, aby publikace spatřila světlo světa. Za nakreslení některých obrázků z první části knihy a všech obrázků z eí druhé části autoři děkuí kolegovi RNDr. Jiřímu Mikšovskému, Ph.D. Dík patří rovněž manželce druhého z autorů (A. R.) PhDr. Marině Raidlové za pečlivé přepsání a převedení do elektronické podoby celé druhé části knihy. Speciální poděkování patří doc. RNDr. Otakaru Zikmundovi, CSc. eho podrobné přečtení rukopisu a navržené úpravy přispěly k odbornému i azykovému zpřesnění textu. Autoři
10 ČÁST I
11
12 ÚVOD První část knihy poednává o hydrodynamické stabilitě, respektive instabilitě, neboť právě instabilní proudění se bude těšit našemu zvýšenému zámu. Výběr látky byl uspořádán tak, aby podával určitý přehled o stabilitě atmosférického proudění různých měřítek. Výklad začínáme kapitolou o perturbační metodě a poruchách vlnového charakteru, které hraí ústřední roli v celé první polovině monografie. Další význačnou úlohu při výkladu představue různým způsobem modifikovaná metoda vzduchové částice, kterou vychylueme z eí rovnovážné polohy několika způsoby, a to vertikálně, horizontálně nebo šikmo. Ačkoliv stabilitu atmosféry zkoumáme povětšinou na základě linearizovaných rovnic, v některých případech provádíme i zobecnění na nelineární situace. Výklad postupue od zkoumání stability atmosférických pohybů menších měřítek, aké představue například Kelvinova-Helmholtzova instabilita, přes popis Rayleighovy-Bénardovy konvekce následovaný rozborem instability mezoměřítka (symetrická a částečně inerční instabilita), až po problematiku stability kvazigeostrofických pohybů synoptického měřítka konkrétně výkladem o barotropní a zeména baroklinní instabilitě. Do publikace sme zařadili také některé části, které tvoří dnes iž klasické partie teorie hydrodynamické stability, například Milesův-Howardův teorém, polokruhový teorém a Rayleighův, popřípadě Førtoftův teorém. U čtenáře první části knihy se všeobecně předpokládá znalost základů hydrodynamiky, které lze získat z výborných monografií Batchelora [] a Landaua, Lifsitze [], a dále vědomostí z oblasti proudění vzduchu v atmosféře, tzn. z dynamické meteorologie. V tomto směru ako zdro informací dobře poslouží Holtonova kniha [], Duttonova monografie [4], z česky psané odborné literatury také příručka Pechaly a Bednáře [5]. Omezený prostor, který pro výklad problematiky máme, nám neumožnil zařadit řadu zaímavých statí o hydrodynamické stabilitě. Máme zde na
13 mysli zeména kapitoly o nelineárních interakcích mezi základním stavem a perturbacemi. Rovněž, až na výimku představovanou Rayleighovou- Bénardovou konvekcí, neuvažueme disipaci. Samostatnou kapitolu by si istě vyžádálo i studium barotropní stability Rossbyho vln. Potřebné informace v tomto směru istě čtenář nalezne v monografiích (seřazeno chronologicky) Lina [6], Chandrasekhara [7], Drazina a Reida [8], popřípadě Gonrèche a Mannevilla [9]. Z hlediska geofyzikální hydrodynamiky lze záemcům doporučit vynikaící knihu Pedloskeho []. Co e vlastně předmětem zámu teorie hydrodynamické stability? Tato teorie studue stabilitu určitého základního, chcete-li výchozího stavu, vůči poruchám různého charakteru, které na tento základní stav působí. Poruchy nebo-li perturbace mohou díky stabilitě základního stavu zanikat, nebo naopak v instabilním případě s časem sílit. Velmi často uvažueme, že perturbace maí na počátku infinitezimální charakter. Jeich případné zvětšování však může představovat spouštěcí mechanismus, kdy kupříkladu ustálené laminární proudění přede v neuspořádané, chaotické proudění turbulenci. Poněkud zednodušeně a s istou dávkou nadsázky lze říci, že proevy počasí spočívaí v nestabilitě atmosférické cirkulace například podle moderních představ soudobé dynamické meteorologie vznikaí synoptické poruchy ve středních zeměpisných šířkách díky baroklinní instabilitě původně zonálního západního proudění. Prostřednictvím baroklinní instability tak může doít k přestavbě zonální atmosférické cirkulace v cyklonální. Studium vzáemného působení fluktuací a základního stavu se rozpadá na dva zásadní problémy. Na určení základního stavu osvobozeného od fluktuací a na popis evoluce poruch (fluktuací). Druhým úkolem se budeme vesměs zabývat v následuících kapitolách, kdy odvodíme rovnice pro perturbace a tyto poruchy budeme povětšinou uvažovat ve tvaru vln. Proto se nyní zastavme u problematiky stanovení základního stavu. To není při studiu pohybů v atmosféře tak ednoduché, ak by se na první pohled mohlo zdát. Mohlo by nás napadnout, že takový základní stav by bylo možné získat časovým průměrováním proudění přes dostatečně dlouhý časový interval; podobný postup se vskutku používá například při studiu turbulence. Je užitečné si však uvědomit, že takto získaný akýsi střední základní stav iž obsahue a e ovlivněn fluktuacemi, od kterých bychom e chtěli oprostit. Fluktuace totiž mohou vést ke vznikům toků tepla a hybnosti s obecně nenulovými časovými průměry. Časově vystředované proudění tak zahrnue i existuící fluktuace. Jak v této souvislosti poznamenává Pedlosky [], časově průměrované proudění se obvykle eví stabilněší než skutečný stav bez fluktuací. Neznalost základního stavu nás tedy nutí k eho definování. Musí to být však definice dostatečně smysluplná. V atmosféře obvy- 4
14 kle předpokládáme, že základní stav e tvořen zonálním geostrofickým prouděním. To dobře odpovídá podmínkám, když studueme stabilitu pohybů velkého měřítka. V práci se snažíme nalézt istý kompromis mezi tím, aby na edné straně byl základní stav atmosféry dostatečně ednoduchý a mohli sme získané rovnice řešit bez použití metod numerické matematiky, a na druhé straně dosti složitý na to, aby výsledný model popisoval vlastnosti atmosféry dostatečně věrně. Naštěstí se ukazue, ak uvidíme z dalšího výkladu, že i poměrně ednoduchá konfigurace základního stavu, například při studiu baroklinní instability, uspokoivě postihue řadu skutečných rysů zemské atmosféry. 5
15 PERTURBAČNÍ TEORIE Úlohy dynamické meteorologie a geofyzikální hydrodynamiky vůbec sou spoeny s nutností řešit soustavu hydrodynamických rovnic, t. tří pohybových rovnici, rovnice kontinuity, stavové rovnice a první hlavní věty termodynamické. Zmíněnou soustavu lze psát v mnoha tvarech, z nichž edním z možných e tento: v + ( v ) v = α p Ω v + g + f r, (.a) t dα α = + v α = α v, (.b) dt t pα = RT, (.c) dq dt cp dt = α dt d p d t. (.d) Souřadnicovou soustavu O(x,y,z) volíme pravotočivou, obvykle pevně spoenou s rotuící Zemí tak, že osa x míří k východu, osa y na sever a osa z kolmo vzhůru. Čas značíme t, v se složkami (u, v, w) představue rychlost proudění, p e tlak, Ω (, Ω cosϕ, Ω sinϕ) e úhlová rychlost rotace Země, kterou v dostatečně přesném přiblížení považueme za konstantní (Ω = 7,9 5 s, ϕ e zeměpisná šířka). Tíhové zrychlení Země e reprezentováno vektorem g (,, g) a f r značí sílu tření. Veličina α představue měrný obem, souviseící s hustotou ρ vztahem α = /ρ, R e měrná plynová konstanta, T teplota a q e teplo vztažené na ednotku hmoty dodané, nebo odebrané studované soustavě. Na tomto místě poznameneme, že v případě nutnosti, pracueme-li například s oceánem, e nutné soustavu hydrodynamických rovnic obohatit o další rovnice, typicky o rovnici salinity (slanosti) a vhodným způsobem upravit i stavovou rovnici; viz např. []. 6
16 Analytické řešení soustavy (.) není v obecném případě známo, zeména díky existenci nelineárních členů. Jeí řešení tedy musíme hledat buď pomocí numerické integrace, nebo přistoupit k zavedení zednodušuících předpokladů. Vhodnou metodou, která zednodušue výchozí rovnice, e perturbační teorie. Spočívá v tom, že studované proudění považueme za součet dvou toků (proudění): základního stavu osvobozeného od fluktuací, a malých poruch (perturbací). Přitom předpokládáme, že ) základní stav splňue soustavu rovnic (.), ) výsledné proudění (základní stav + perturbace) splňue soustavu rovnic (.). Předpokládáme-li navíc, že ) poruchové (perturbační) veličiny sou řádově menší než im odpovídaící veličiny popisuící základní stav, hovoříme o lineární perturbační metodě. Hydrodynamické rovnice napsané pro výsledný stav zednodušíme pomocí rovnic (.), napsaných pro základní proudění, eich vzáemným odečtením. Předpoklad ) nám pak navíc umožňue zanedbat v rovnicích členy, které sou nelineární vzhledem k poruchám. Získáme tak rovnice popisuící chování poruch. Tyto rovnice pak nazýváme perturbačními rovnicemi.. Perturbační pohybové rovnice Pro ilustraci nyní odvodíme perturbační pohybové rovnice. Veličiny vztahuící se k základnímu stavu označíme pruhem, tzn. v, α, p. Poruchové veličiny označíme svislou čárkou, tzn. v, α, p reprezentuí postupně perturbace v poli rychlosti proudění, měrného obemu a tlaku. Zopakume znovu pro přehlednost, že základní stav e dán veličinami v, α, p, výsledný stav e dán veličinami v + v, α + α, p + p. Pochopitelně vezmeme-li v úvahu i rovnice (.c) a (.d), sme nuceni uvažovat i případné poruchy v poli teploty atd., ale v tomto ilustrativním případě, kdy používáme pouze pohybové rovnice, vystačíme s poruchami v poli rychlosti, měrného obemu a tlaku. Podle předpokladu ) platí pohybová rovnice pro základní stav, tedy v + ( v ) v = α p Ω v + g, t 7
17 kde sme pro ednoduchost zanedbali tření. Podle předpokladu ) platí pohybová rovnice (.a) i pro výsledný stav, tzn. ( v + v ) + (( v + v ) )( v + v ) = ( α + α ) ( p+ p ) Ω ( v + v ) + g. t Odečteme-li od poslední rovnice rovnici předposlední, získáme v + ( v v ) + ( v ) v + ( v ) v = α p α p α p Ω v. t Uvážíme-li i předpoklad ), můžeme členy, které sou nelineární vzhledem k poruchám zanedbat, protože sou co do velikosti alespoň o řád menší než členy zbývaící. V takovém případě dostáváme v + ( v ) v + ( v ) v = α p α p Ω v, t což e hledaná lineární perturbační pohybová rovnice. Analogicky postupueme i při odvozování perturbační rovnice kontinuity, stavové rovnice i první hlavní věty termodynamické. Ještě poznameneme, že místo měrného obemu α bývá obvykleší používat v pohybových rovnicích hustotu ρ =/α tak, ak to budeme činit pozděi. Lineární perturbační metoda představue isté omezení v tom smyslu, že umožňue studium stability základního proudění, které e vystaveno pouze malým (v podstatě nekonečně malým) poruchám. Selhává však v případě, kdy amplitudy poruch narostou po určité době v důsledku instability do takových velikostí, že iž není možno nelineární členy v rovnicích opomenout. Podobně, e-li základní proudění stabilní vzhledem k nekonečně malým poruchám, nedává lineární perturbační metoda žádné informace o tom, e-li toto proudění stabilní i vzhledem k poruchám dostatečně velkým. Přesto e možné, ak uvidíme pozděi, pomocí lineární teorie popsat některé vlastnosti fluktuací v reálné atmosféře, například délku dominantní vlnové poruchy nebo eí vertikální strukturu. Poznameneme eště, že lineární perturbační metoda e v dynamické meteorologii spoena zeména s Berknesovým ménem (viz například []). Aplikume nyní výše popsanou lineární perturbační metodu na proudění ve vertikální rovině (x, z). Pro ednoduchost neuvažume rotaci Země a atmosféru považume za nestlačitelnou tekutinu. Není-li dále explicitně uvedeno inak, neuvažueme ani síly tření. Základní stav definume následovně: u( z ), w =, p( z ), ρ ( z). Pro takové základní proudění maí pohybové rovnice v rovině (x, z) tvar 8
18 p x =, (.a) p z = ρ g. (.b) Rovnice kontinuity pro základní stav e splněna identicky. Poruchy v poli rychlosti ve směru osy x a z nechť sou u ( x, z, t), w ( x, z, t), v poli tlaku p ( xzt,, ) a poli v hustoty ρ ( x, zt, ). Výsledný stav má tedy tvar u( z ) + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ( z) + ρ ( x, z, t). Podle předpokladu ) perturbační metody můžeme psát ( u + u ) ( u + u ) ( u + u ) ( p+ p ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w = t x z, (.a) x w w w ( p+ p ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w = g( ρ + ) t x z ρ, (.b) z ( ρ + ρ ) ( ρ + ρ ) ( ρ + ρ ) + ( u + u ) + w =. (.c) t x z V této soustavě rovnic zanedbáme nelineární členy vzhledem k poruchám a odečteme od každé z rovnic (.) odpovídaící rovnici (.). Tímto postupem dostáváme následuící perturbační rovnice u u d u p + u + w =, (.4a) t x dz ρ x w w p ρ + u = g, (.4b) t x ρ z ρ ρ d u ρ + + w ρ =. (.4c) t x dz Není obtížné se přesvědčit, že rovnici kontinuity pro perturbace e možné rovněž psát ve tvaru: u w + =. (.4d) x z 9
19 Zaveďme dále proudovou funkci ψ vztahy Tím rovnice (.4a) až (.4c) předou na tvar ψ ψ u =, w = z x. (.5) ψ du u ψ ψ p + =, (.6a) t z x z x dz ρ x ψ ψ ρ + = g, (.6b) ρ ρ p u t x x z ρ d u ρ + + ψ ρ =. (.6c) t x x dz Rovnici (.6b) parciálně derivume podle x a odečtěme i od rovnice (.6a) parciálně derivované podle z. Tím dostaneme dρ ψ du dρ du ψ g ρ ψ ρ ρ + u =. (.7) t x dz z dz dz dz x ρ x Derivume rovnici (.6c) parciálně podle x, dělme i ρ a vyádřeme z ní (/ ρ)( ρ / x). Výsledek pak dosaďme do rovnice (.7). Poté dostáváme d u du ψ δ δ g u ψ ψ + + = ψ δ, (.8) t x z dz dz x x kde sme označili dρ δ. ρ dz Tím sme převedli řešení soustavy perturbačních rovnic (.4) pro neznámé u, w, ρ a p na řešení edné diferenciální rovnice pro proudovou funkci ψ. K rovnici (.8) (steně ako k soustavě (.) resp. (.4)) e třeba přidat vhodné okraové, popřípadě počáteční podmínky, ak provedeme pozděi.
20 NORMÁLNÍ MODY Vhodnou metodou řešení rovnice (.8) e metoda normálních modů. Protože koeficienty v rovnici (.8) nezávisí ani na čase t ani na souřadnici x, eí řešení hledáme ve tvaru i ( ) { ψˆ z } ψ ( xzt,, ) =R ( )e k x ct, (.) kde R značí reálnou část výrazu, před kterým stoí. Vlnové číslo k ve směru osy x musí být reálné, aby amplituda vlny (modu) byla při velkých x konečná. Amplitudová funkce ψˆ a růstový faktor (rychlost růstu) kc i mohou být komplexní (c i značí imaginární část fázové rychlosti c). Zapíšeme-li fázovou rychlost c ako součet reálné a imaginární části a dosadíme-li toto vyádření do (.), máme c= c + ic (.) r i kc i ( ) { ˆ } i t k x c r t ψ z ψ ( xzt,, ) =R ( )e e. (.) Je-li kc i =, pak se amplituda poruchy s časem nemění, tzn. e stabilní. Jeli kc i <, pak porucha s časem slábne. Naopak, e-li kc i >, pak porucha s časem zesilue. V posledních dvou případech říkáme, že e porucha instabilní. Na tomto místě e však třeba poznamenat, že někteří autoři, například [], zavádí poem stability (instability) poněkud odlišně, a to: kc i = neutrální porucha, kc i < stabilní porucha, kc i > instabilní porucha. My se budeme vždy snažit o explicitní rozlišení, aby bylo zřemé, o aký časový vývo poruchu se edná. V dalším textu budeme písmeno R vynechávat a budeme mít na paměti, že fyzikální význam maí en reálné části výrazů (.), (.), respektive eich analogie.
21 Všimněme si, že při kc i > se může porucha stát po uplynutí dostatečně dlouhé doby natolik velká, že se nelineární efekty stanou natolik významnými, že lineární přístup pozbyde platnosti. Proto e vhodné metodu normálních modů používat, v souladu s lineární perturbační teorií, en na počáteční stadia vývoe poruch. Dosazením (.) do rovnice (.8) dostáváme dψˆ dψˆ d u du ( u c) k ψˆ δ ( u c) ˆ g ˆ δ ψ = δψ, (.4) dz dz dz dz což e iž en obyčená diferenciální rovnice pro amplitudovou funkci ψ ˆ. Rovnice (.4) e velmi důležitá neen proto, že í budeme studovat v dalším textu, ale i pro to, že z ní vyplývaí další vztahy, které hraí důležitou úlohu v teorii hydrodynamické stability. Předně, uvážíme-li, že se hustota ρ ( z) mění s výškou obvykle mnohem pomalei než rychlost proudění u( z ), a že δ <<, můžeme v poslední rovnici zanedbat ty členy obsahuící δ, které se nacházeí na eí levé straně, a ponechat pouze ten člen s δ, který stoí na pravé straně rovnice (.4). Fyzikálně to znamená, že zanedbáváme změny hustoty u členů postihuících setrvačnost, ale ponecháváme u členu, který popisue archimédovský vztlak. Taková situace se velmi podobá Boussinesquově aproximaci [8]. Po naznačené úpravě přede (.4) na tvar dψˆ d u gδ ( u c) k ψˆ ˆ ˆ ψ + ψ =, (.5) dz d z ( u c) který nazýváme Taylorova-Goldsteinova rovnice. Půdeme-li eště dále a nebudeme-li uvažovat změny hustoty vůbec (budeme pracovat například s homogenní tekutinou), redukue se rovnice (.4), popřípadě (.5), na rovnici dψˆ d u ( u c) k ψˆ ψˆ =, (.6) dz dz o které hovoříme ako o Rayleighově rovnici. Pro dvě posledně menované rovnice byla odvozena řada teorémů, které se váží ke stabilitě různých typů proudění. Některé si v následuícím textu uvedeme. Závěrem tohoto oddílu si eště povšimněme, že sme poruchy (.) popřípadě (.) uvažovali dvourozměrné, nezávislé na souřadnici y. K tomu nás vede tvrzení Squireova teorému, podle kterého v homogenní tekutině
22 existue ke každé instabilní trorozměrné vlně vždy vlna dvorozměrná, která e instabilněší a která se pohybue rovnoběžně se směrem proudění. Na případ stratifikované tekutiny Squireův teorém zobecnil Yih (bližší podrobnosti viz [4]). Předmětem našeho prioritního zámu sou právě mody (vlny) co možná neinstabilněší, nehledě na to, že uvažování dvorozměrných namísto trorozměrných poruch výpočty poněkud zednoduší.
23 4 KELVINOVA-HELMHOLTZOVA INSTABILITA, INSTABILITA TAYLOROVA A HELMHOLTZOVA TYPU V této kapitole se budeme zabývat řešením rovnice (.4) za istých zednodušuících předpokladů. Ukážeme aký vliv má na stabilitu proudění rozložení hustoty, vertikální střih větru (vertikální gradient rychlosti proudění) a tloušťka vrstvy, ve které tekutina proudí. Uvažume dvě nad sebou ležící vrstvy dvou nestlačitelných tekutin, které se navzáem nemísí, s hustotami ρ, ρ a konstantními rychlostmi základního proudění u, u. Zanedbáme-li zemskou rotaci, e plocha odděluící obě tekutiny v klidovém stavu horizontální. Umístěme do této roviny počátek pravoúhlé souřadnicové soustavy. Osa x nechť e orientována ve směru proudění obou tekutin a osa z nechť míří kolmo vzhůru. Dále označme všechny veličiny vztahuící se k horní tekutině indexem, k dolní tekutině indexem. Nechť e horní tekutina omezena neprostupnou horizontální rovinou ve výšce z = h a podobně dolní tekutina nechť e ohraničena rovinou ve výšce z = h. Na základní stav charakterizovaný veličinami u, u, p ( z ), p ( z ), ρ, ρ nechť sou superponovány poruchy v poli rychlosti proudění a tlaku: u ( x, z, t), u ( x, z, t), w ( x, z, t), w ( x, z, t), p ( xzt,, ), p ( xzt,, ). Výsledný stav tedy můžeme charakterizovat takto: horní tekutina: u + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ, spodní tekutina: u + u ( x, z, t), w ( x, z, t), p( z) + p ( x, z, t), ρ. Perturbace v poli rychlosti proudění můžeme nahradit perturbačními proudovými funkcemi ψ, ψ podle vztahu (.5). Namísto pohybových rovnic a rovnice kontinuity e pak možno použít rovnice typu (.4). To znamená, že 4 d ψˆ i k( x ct) ( u ˆ ˆ c) k ψ =, ψ = ψ e, (4.a) dz
24 d ψˆ i k( x ct) ( u ˆ ˆ c) k ψ =, ψ = ψ e. (4.b) dz Předpokládáme-li, že u c, u c, můžeme řešení rovnic (4.) psát ve tvaru kz ψˆ = Ae + Be, (4.a) kz kz ψˆ = Ae + B e, (4.b) kz Kde A, A, B, B sou integrační konstanty, které určíme z okraových podmínek. Kinematická okraová podmínka na horní hranici vrchní tekutiny vyžadue, aby normálová složka rychlosti k neprostupné hranici byla rovna nule, to znamená Označme tedy ψˆ ( z = h) = Ae + Be =. (4.a) kh kh A e e =, C kh kh B kde C e nová konstanta. Dosazením poslední rovnice do (4.a) máme [ ] ψ ˆ () z = Csinh k( z h ). (4.4a) Zcela analogicky aplikueme kinematickou okraovou podmínku na dolní hranici spodní vrstvy tekutiny, tedy Označme ˆ ( ) e kh kh ψ z = h = A + B e =. (4.b) A e kh e C B kh =, kde C e konstanta. Dosazením poslední rovnice do (4.b) máme [ ] ψ ˆ ( z) = Csinh k( z+ h ). (4.4b) Abychom mohli formulovat dynamické okraové podmínky na rozhraní obou tekutin, určíme poruchy p, p v tlakovém poli. Z rovnice (.6a) vyplývá po dosazení pomocí (.5), že 5
25 i ( p ) ρ i k ( u c) Ccosh k( z h ) e k x ct =, (4.5a) x i ( ) cosh ( ) e i k( x p k ρ u c C k z+ h ct) =. (4.5b) x Podobně z rovnice (.6b) máme ( ) sinh ( ) e i k( x p ρ ct) k u c C k z h =, (4.6a) z ( ) sinh ( ) e i k( x p k ρ u c C k z+ h ct) =. (4.6b) z Integrume rovnice (4.6) podle souřadnice z: i k( x ct) p = kρ( u c)cosh k( z h) e + f( x), (4.7a) i k( x ct) p = kρ( u c)cosh k( z+ h) e + f( x), (4.7b) kde f (x) a f (x) sou integrační funkce. Parciálním derivováním rovnic (4.7) podle x a následným porovnáním s rovnicemi (4.5) zistíme, že f ( x) = D, f ( x) = D a D a D sou integrační konstanty. Pro ednoduchost e volme rovny nule, tedy p k u c k z h i ( ) ( )cosh ( ) e k x = ρ ct, (4.8a) i ( ) ( )cosh ( ) e k x = ρ + ct. (4.8b) p k u c k z h Pro přehlednost eště uveďme tvar poruch v poli rychlosti proudění: ψ i ( ) u kccosh k( z h) e k x = = ct z, (4.9a) ψ i ( ) u kccosh k( z h) e k x = = + ct z, (4.9b) ψ i ( ) w ikcsinh k( z h) e k x = = ct x, (4.a) ψ i ( ) w ikcsinh k( z h) e k x = = + ct x. (4.b) Dynamická okraová podmínka na rozhraní mezi tekutinami vyžadue spoitost tlaku při přechodu přes toto rozhraní. Předpokládáme-li, že částice, 6
26 které spočívaí na tomto rozhraní, na něm budou setrvávat, e možné psát zmíněnou dynamickou okraovou podmínku následovně d [ ( p p ) + ( p ) p ] =. (4.) rozhraní dt Podmínka e sice definována pro rozhraní, ale uvážíme-li, že se zabýváme lineární teorií, ve které považueme poruchy za daleko menší než veličiny základního stavu, lze předpokládat, že odchylka rozhraní od eho klidové polohy e nevelká. Podmínku (4.) proto můžeme vztáhnout k rozhraní v poloze z =. Tedy d [ ( p p ) ( ) + p p ] =. (4.) z= dt Poslední výraz představue dvě rovnice (pro dolní a horní tekutinu), které po aaaaaaaaaa d provedení Eulerova rozvoe = + v a zanedbání nelineárních členů, maí tvar dt t ( p p ) ( p p ) + u + wg ( ρ ρ ) t x, (4.a) z= ( p p ) ( p p ) + u + w g( ρ ρ ) t x, (4.b) z= kde sme využili rovnice hydrostatické rovnováhy. Dosadíme-li nyní do rovnic (4.) pomocí (4.8) a (4.) obdržíme C kρ( u c) cosh( kh) g( ρ ρ)sinh( kh) = = C[ kρ( u c)( u c)cosh( kh) ] [ ρ ( )( ) cosh( )] = C k u c u c kh, (4.4a) = C kρ( u c) cosh( kh) g( ρ ρ)sinh( kh). (4.4b) Vyádříme-li z obou posledních rovnic poměr C /C a porovnáme e navzáem, získáme kvadratickou rovnici pro fázovou rychlost c: ( ρa + ρa) c ( ρua + ρua) c+ g( ρ ρ ) aa + ρu a + ρ u a kde sme označili k =, (4.5) 7
ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)
Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VícePráce, energie a další mechanické veličiny
Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceBIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY
BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceHydromechanické procesy Obtékání těles
Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak
VíceMechanika tekutin. Hydrostatika Hydrodynamika
Mechanika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Hydrostatika Kapalinu považujeme za kontinuum, můžeme využít předchozí úvahy Studujeme kapalinu, která je v klidu hydrostatika Objem kapaliny bude v klidu,
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceKinetická teorie ideálního plynu
Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceTeplota jedna ze základních jednotek soustavy SI, vyjadřována je v Kelvinech (značka K) další používané stupnice: Celsiova, Fahrenheitova
1 Rozložení, distribuce tepla Teplota je charakteristika tepelného stavu hmoty je to stavová veličina, charakterizující termodynamickou rovnováhu systému. Teplo vyjadřuje kinetickou energii částic. Teplota
VíceMODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS
MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS
VíceMechanika - kinematika
Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 13.10.2014 Mechanika tekutin 1/13 1 Mechanika tekutin - přednášky 1. Úvod, pojmy,
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceDynamika vázaných soustav těles
Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
Více3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2
3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku
VíceOddělení pohybu elektronů a jader
Oddělení pohybu elektronů a ader Adiabatická aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Důležité vztahy sou 4, 5, 7, 0,,, udělal sem to zbytečně podrobně, e to samostatný okruh Separace translačního pohybu:
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceÚVOD DO TERMODYNAMIKY
ÚVOD DO TERMODYNAMIKY Termodynamika: Nauka o obecných zákonitostech, kterými se se řídí transformace CELKOVÉ energie makroskopických systémů v její různé formy. Je založena na výsledcích experimentílních
Více6. Mechanika kapalin a plynů
6. Mechanika kapalin a plynů 1. Definice tekutin 2. Tlak 3. Pascalův zákon 4. Archimedův zákon 5. Rovnice spojitosti (kontinuity) 6. Bernoulliho rovnice 7. Fyzika letu Tekutiny: jejich rozdělení, jejich
Více15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny
125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceMechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin
Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D.
ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov Modelování termohydraulických jevů 3.hodina Hydraulika Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. Letní semestr 008/009 Pracovní materiály pro výuku předmětu.
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více1141 HYA (Hydraulika)
ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
VíceRoztřeseným pohledem na jinak obyčejnou hvězdu za humny
Roztřeseným pohledem na jinak obyčejnou hvězdu za humny Michal Švanda Astronomický ústav AV ČR Ondřejov Astronomický ústav UK Praha Hvězda zvaná Slunce GV M=1,99 1030 kg Tef=5778 K R=695 000 km L=3,85
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
Vícey 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy
36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem
VíceMěření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem
Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceTermomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím
VíceVšeobecná rovnováha 1 Statistický pohled
Makroekonomická analýza přednáška 4 1 Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Předpoklady Úspory (resp.spotřeba) a investice (resp.kapitál), kterými jsme se zabývali v minulých lekcích, jsou spolu s technologickým
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno JAMES WATT 19.1.1736-19.8.1819 Termodynamika principy, které vládnou přírodě Obsah přednášky Vysvětlení základních
VíceDynamika proudících plynů
Dynamika proudících plynů Při výpočtech se budeme zabývat prouděním ideálních plynů. Jejich vlastnosti již byly popsány na předchozích přednáškách/cvičeních. Při proudění ideálního plynu si zavedeme ještě
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
VíceParametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceTermodynamika materiálů. Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn
Termodynamika materiálů Vztahy a přeměny různých druhů energie při termodynamických dějích podmínky nutné pro uskutečnění fázových přeměn Důležité konstanty Standartní podmínky Avogadrovo číslo N A = 6,023.10
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceMECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Mechanika kapalin a plynů Hydrostatika - studuje podmínky rovnováhy kapalin. Aerostatika - studuje podmínky rovnováhy
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
VícePřetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.
OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceMechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny
Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny Vlastnosti kapalin Kapaliny mění tvar, ale zachovávají objem jsou velmi málo stlačitelné Ideální kapalina: bez vnitřního tření je zcela nestlačitelná Viskozita
VíceMECHANIKA TUHÉHO TĚLESA
MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny
VíceNecht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí
Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceRekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce
Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Evoluce křivek princip evoluce použití evoluce křivky ve
Více