[f 1 ] (b)= 1 f (a) = 1. f (f 1 (b)). Věta. Jestližejefunkce fdiferencovatelnávbodě a,pakje fspojitáva.

Transkript

1 (inverzní funkce Nechťjefunkce fspojitáaryzemonotonnínanějakémokolíbodu a,nechť b=f(a.jestližeje f diferencovatelnávaaf (a 0,pakjeipříslušnáinverznífunkce f 1 diferencovatelnávba [f 1 ] (b= 1 f (a = 1 f (f 1 (b. Jestližejefunkce fdiferencovatelnávbodě a,pakje fspojitáva. Jestližeexistuje f (a,pakje fspojitávazleva. Jestližeexistuje f +(a,pakje fspojitávazprava. (Rolleova věta Nechť fjespojitánaintervalu a,b adiferencovatelnánajehovnitřku(a,b. Jestliže f(a=f(b,pakexistuje c (a,b: f (c=0. 1

2 (Věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta Nechť fjespojitánaintervalu a,b adiferencovatelnánajehovnitřku(a,b. Pakexistuje c (a,b: f f(b f(a (c=. b a Důsledek. Nechť fjespojitánaintervalu a,b adiferencovatelnánajehovnitřku(a,b. Jestliže f =0na(a,b,pakje fkonstantnína a,b. Důsledek. Nechť f,gjsouspojiténaintervalu a,b adiferencovatelnénajehovnitřku(a,b. Jestliže f = g na(a,baexistuje c a,b : f(c=g(c, pak f= gna a,b. 2

3 (i Nechť f je spojitá v a zleva a diferencovatelná na nějakém levém prstencovém okolí a. Pak f (a= lim x a ( f (x,pokudlimitakonverguje. (ii Nechť f je spojitá v a zprava a diferencovatelná na nějakém pravém prstencovém okolí a. Pak f +(a= lim x a + ( f (x,pokudlimitakonverguje. (l Hôpitalovo pravidlo, l Hospitalovo pravidlo Nechť f,gjsoudiferencovatelnénanějakémprstencovémokolíbodu ( ( ( a IR. Předpokládejme, že buď lim f(x =lim g(x =0nebolim g(x =. x a x a x a Jestliže lim x a ( f (x g (x existuje,pak lim x a ( f(x g(x ( f (x =lim x a g. (x (Cauchyova věta Nechť fa gjsouspojiténaintervalu a,b adiferencovatelnénajehovnitřku(a,b. f (c f(b f(a Jestliže g(a g(bpakexistuje c (a,b: g = (c g(b g(a. 3

4 Fakt. (škála mocnin v nekonečnu Prolibovolná a,b >0: ( e ax ( x a lim x b =, lim ln b =. (x Značení: a x x a ln b (x. Použití l Hospitala na další typy: 10 :převodnapodíl: 0 = 0 1 = 0 0 nebo 0 = 1 0 =. 21,0 0, 0 :převodnasoučinpomocítrikuproobecnoumocninu: 1 = e ln(1 = e 0, 0 0 = e 0ln(0 = e 0, 0 = e 0ln( = e 0. 3 :převodnasoučin,častovytknutím. 4

5 Definice. Nechť f je funkce definovaná na nějakém intervalu I. Řekneme,že fjerostoucína I,jestliže x < y I: f(x < f(y. Řekneme, že f je neklesající na I, jestliže x < y I: f(x f(y. Řekneme,že fjeklesajícína I,jestliže x < y I: f(x > f(y. Řekneme,že fjenerostoucína I,jestliže x < y I: f(x f(y. Řekneme,že fjemonotonnína I,jestliže fsplňujena Ijednuztěchtočtyřvlastností. Řekneme,že fjeryzemonotonnína I,jestliže fjerostoucína Inebo fjeklesající I. Fakt. Nechť f je funkce definovaná na intervalu I. (ijestližeje frostoucína I,pakjeneklesajícína I. (iijestližeje fklesajícína I,pakjenerostoucína I. (iiijestližeje frostoucína I,paknemůžebýtklesajícína I. Jestližeje fklesajícína I,paknemůžebýtrostoucína I. (ivjestližeje fzároveňnerostoucíaneklesajícína I,pakjena Ikonstantní. Jestližeje fryzemonotonnínanějakémintervalu I,pakjetamiprostáatedyinvertibilní. Příslušná inverzní funkce je pak stejně monotonní. Nechť fjefunkcespojitánaintervalu I. fjena Iprostátehdyajentehdy,kdyžje fna Iryzemonotonní. Pakjeipříslušnáinverznífunkce f 1 spojitá. 5

6 Nechť fjefunkcedefinovanánanějakémlevémprstencovémokolí Pbodu a IR. (ijestližeje fna Pmonotonní,paklimita fv azlevaexistuje. (iijestližeje fna Pmonotonníaomezená,paklimita fv azlevakonverguje. Jestliže je funkce f monotonní na nějakém intervalu I, pak její jednostranné limity ve všech vnitřních bodech tohoto intervalu konvergují. 6

7 Nechť fjefunkcespojitánaintervalu Iadiferencovatelnánajehovnitřku I O. (1aJestližeje f >0na I O,pakje frostoucína I. (1bJestližeje f 0na I O,pakje fneklesajícína I. (2aJestližeje f <0na I O,pakje fklesajícína I. (2bJestližeje f 0na I O,pakje fnerostoucína I. (ijestližeje fneklesajícína I,pakje f 0na I O. (iijestližeje fnerostoucína I,pakje f 0na I O. 7

8 Nechťjefunkce fdefinovánananějakémokolíbodu a. Jestliže je f klesající na nějakém levém(prstencovém okolí a a rostoucí na nějakém pravém (prstencovém okolí a, nebo je f rostoucí na nějakém levém(prstencovém okolí a a klesající na nějakémpravém(prstencovémokolí a,pak f (a=0nebo f (aneexistuje. Neformálně: Jestliže fměnívbodě amonotonii,pak f (a=0nebo f (aneexistuje. Definice. Nechť fjefunkcedefinovanánaokolíbodu c. cjekritickýbod,jestliže f (c=0nebo f (cneexistuje. Algoritmus pro hledání intervalů monotonie: 1 Základ: intervaly D(f. 2 Najít kritické body; základní intervaly se tak rozdělí na intervaly monotonie. 3Zjistitznaménko f naintervalechz2. 4 Dle znamének usoudit na monotonii, zamyslet se nad možností spojit intervaly. Závěr. 8

9 Definice. (lokální extrémy Nechť fjefunkcedefinovanánanějakémokolíbodu a. Řekneme,že fmávbodě alokálnímaximum,popř.že f(a=bjelokálnímaximum,jestliže okolí U= U(aaby x Uplatilo f(x f(a. Řekneme,že fmávbodě alokálníminimum,popř.že f(a=bjelokálníminimum,jestliže okolí U= U(aaby x Uplatilo f(x f(a. Má-lifunkce fvbodě alokálníextrém,pak ajekritickýbod. Nechť c je kritický bod. Jestliže f (c >0,pak f(cjelokálníminimum. Jestliže f (c <0,pak f(cjelokálnímaximum. Úloha: Určete maximální intervaly monotonie funkce a její lokální extrémy. Algoritmus: 1 Základ: intervaly D(f. 2 Najít kritické body; základní intervaly se tak rozdělí na intervaly monotonie. 3Zjistitznaménko f naintervalechz2. 4 Dle znamének usoudit na monotonii, zamyslet se nad možností spojit intervaly. Závěr. 5 Dle tvaru funkce usoudit na lokální extrémy, najít jejich hodnoty. 9

10 Má-li fvbodě cglobálníextrémnaintervalu I,pakjebuď clokálníextrémnebokrajníbod I. Úloha: Najít maxima/minima f na uzavřeném intervalu I. Algoritmus: 1Najítkritickébodyfunkce f. 2Sestavitmnožinukandidátůnaextrém:kritickébodyležícívIakrajníbody I. 3 Dosadit kandidáty do f, porovnat hodnoty; závěr. Definice. Nechť f je funkce definovaná na intervalu I. Řekneme, že f je na intervalu I konvexní, jestliže x < y < z I: f(y f(x y x f(z f(y. z y Řekneme, že f je na intervalu I konkávní, jestliže f(y f(x f(z f(y x < y < z I:. y x z y Řekneme,že a D(fjeinflexníbod,jestliževněm fpřechází z konvexní na konkávní nebo naopak a je tam dvakrát diferencovatelná. 10

11 Nechť fjefunkcedvakrátdiferencovatelnánavnitřku I O intervalu I.Pokudinterval Iobsahuje i některý krajní bod, pak dále předpokládejme, že tam má f příslušnou jednostrannou derivaci a žetaktodefinovanáfunkce f jespojitána I. (ijestliže f 0na I O,pakje fkonvexnína I. (iijestliže f 0na I O,pakje fkonkávnína I. Jestliže fvbodě apřecházízkonvexnínakonkávníčinaopak,pakmusíbýt f (a=0nebo f (a neexistuje. Algoritmus pro hledání intervalů konvexity: 1 Základ: intervaly D(f. 2Najítbody D(f,kde f (a=0nebo f (aneexistuje; základní intervaly se tak rozdělí na intervaly konvexity. 3Zjistitznaménko f naintervalechz2. 4 Dle znamének usoudit na konvexitu, inflexní body. Závěr. Definice. Nechť f je funkce definovaná na nějakém jednostranném prstencovém okolí bodu a IR. Řekneme,žepřímka x=ajesvisláasymptota f,nebože fmásvislouasymptotuva,jestliže ( lim f(x = ± x a + nebo lim x a ( f(x = ±. Definice. Nechť fjefunkcedefinovanánaokolí. Řekneme,žepřímka ( y= Bjevodorovnáasymptota fv, jestliže lim f(x = B. Nechť fjefunkcedefinovanánaokolí. Řekneme,žepřímka ( y= Bjevodorovnáasymptota fv, jestliže lim f(x = B. x 11

12 Definice. Nechť fjefunkcedefinovanánaokolí. Řekneme,žepřímka ( y= Ax+Bješikmáasymptota fv, jestliže lim f(x (Ax+B =0. Nechť fjefunkcedefinovanánaokolí. Řekneme,žepřímka ( y= Ax+Bješikmáasymptota fv, jestliže lim f(x (Ax+B =0. x Nechť fjefunkcedefinovanánaokolí. Přímka y= Ax+Bjeasymptota fv tehdyajentehdy,když A= lim ( f(x x a B= lim ( f(x Ax. Nechť fjefunkcedefinovanánaokolí. Přímka y= Ax+Bjeasymptota fv tehdyajentehdy,když ( f(x ( A= lim a B= lim f(x Ax. x x x Algoritmus pro hledání asymptot: Svislé:Pro a ( IR,kteréjsoubodynespojitosti ( fnebokrajníbodyintervalů D(f: Spočítáme lim f(x a lim f(x. Pokudjealespoňjednaznichnevlastní, má f svislou x a + x a asymptotu v a. Vodorovné, šikmé: ( Je-li f definována na okolí : 1 Najdeme lim f(x. Pokudjetatolimitavlastní,označmeji B.Přímka y= B jevodorovnáasymptota fv. Pokud tato limita neexistuje, není v asymptota. Pokud je tato limita nevlastní, jdeme dále, může být šikmá asymptota. ( 2Spočítáme A= lim f(x. Pokud není A vlastní, šikmá asymptota v není. Jinak jdeme dál, může být ( šikmá asymptota. 3 Spočítáme B = lim f(x Ax. x Pokudje Bvlastní,jev šikmáasymptota y= Ax+B. Jinak tam už definitivně žádná asymptota není. Je-li fdefinovánanaokolí :Stejnýpostup,alev. 12

13 Algoritmus pro průběh funkce: 1 D(f, spojitost, průsečíky s osami, symetrie a periodicita; limity v krajních bodech intervalů D(f, asymptoty. 2 f,monotoniealokálníextrémy. 3 f,konvexitaainflexníbody. 4 Obrázek. 13