TRANSFORMACE BLOKOVÉHO SCHÉMATU NA CELKOVÝ PŘENOS

Transkript

1 TRANSFORMACE BLOKOVÉHO SCHÉMATU NA CELKOVÝ PŘENOS Vladimír Hanta Vsoká škola chemicko technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí technik Abstrakt Algebra blokových schémat a požití Masonova pravidla na řešení odpovídajícího graf signálových toků jso srovnán s aplikací fnkcí matlabovského toolbo smbolické matematik. Tato cesta se zdá být vhodná a požitelná i pro každého méně zkšeného živatele Matlab. Metoda spočívá v jednodché aplikaci fnkce solve. Při jejím požití je možné pracovat s přenos zadanými v obecné formě nebo ve formě racionální lomené fnkce s číselnými nebo smbolickými koeficient. Úvod Lineární řídicí sstém lze obvkle reprezentovat pomocí blokových schémat (obr. ) nebo grafů signálových toků. Obě tto reprezentace je často zapotřebí zjednodšovat a transformovat do tvar výsledného přenos (obr. ). Při zjednodšování blokového schémat se obvkle požívá algebra blokových schémat. H H H Obr. : Původní blokové schéma Další možný způsob zjednodšování blokového schémat je převod na graf toků signálů a jeho řešení pomocí Masonova pravidla. Blokové schéma vedené na obr. lze jednodše převést na odpovídající graf signálových toků (viz obr. ). Masonovo pravidlo vžadje nalezení všech speciálních podgrafů řešeného graf signálových toků cklů a přímých cest. Pro požití Masonova pravidla (např. fnkce mason vtvořená Waltonem []) msí být graf signálových toků dán pomocí seznam jeho hran nebo nějako jino reprezentací (např. matice sosednosti). H H H H Obr. : Blokové schéma transformované na graf signálových toků

2 Bloková schémata Bloková schémata lze zjednodšovat požitím algebr blokových schémat. Je to množina pravidel, které se v proces transformace postpně aplikjí pomocí heristického postp. Tento postp spočívá v několika postpně se střídajících a opakjících krocích: zjednodšování sbschémat a přesn prvků různých i stejných tpů v blokovém schémat. H ( ) H + H + Obr. : Blokové schéma transformované na celkový přenos Formlace pravidel algebr blokových schémat je založena na převod pravidel pro řešení nebo úprav rovnic některého podsstém matematického model sstém do grafické podob spočívající v transformaci a výměně prvků blokového schémat. Matematický model sstém se získá převodem blokově orientovaného model na rovnicově orientovaný. Většina formlací algebr je založena na následjících operacích mezi blok a dalšími prvk blokového schémat (sočtové zl a bod rozvětvení):. eliminace sériových bloků,. eliminace paralelních bloků,. eliminace bloků ve zpětné vazbě, 4. přesn blok za sočtový zel, 5. přesn blok před sočtový zel, 6. přesn blok za bod rozvětvení, 7. přesn blok před bod rozvětvení, 8. odstranění blok z přímé cest, 9. vložení blok do přímé cest, 0. odstranění blok ze zpětné vazb,. vložení blok do zpětné vazb,. přeskpení sočtových zlů,. záměna sočtových zlů, 4. přesn bod rozvětvení za nebo před sočtový zel. Princip tvorb grafických pravidel algebr blokových schémat lze kázat na dvo tpických příkladech: eliminace bloků ve zpětné vazbě a odstranění blok z přímé cest. V prvním případě se po přechod na rovnicově orientovaný model ze sostav dvo rovnic o třech proměnných eliminje vnitřní proměnná (viz Tab. ). Tablka : ODVOZENÍ PRAVIDLA PRO ODSTRANĚNÍ BLOKU VE ZPĚTNÉ VAZBĚ Blokové schéma Matematický model Původní spořádání = = Výsledné spořádání + = + Ve drhém případě se požijí jednodché algebraické úprav podle asociativního, komtativního a distribtivního zákona pro sočet proměnných a násobení proměnných přenosem (viz Tab. ).

3 Tablka : ODVOZENÍ PRAVIDLA PRO ODSTRANĚNÍ BLOKU Z PŘÍMÉ CESTY Blokové schéma Matematický model Původní spořádání = = = + Výsledné spořádání = + raf signálových toků Další grafický způsob reprezentace lineárních řídicích sstémů jso graf signálových toků. Jejich předností je eistence Masonova pravidla algoritm pro výpočet celkových přenosů, proti blokovým schématům jso však méně názorné. Eistje řada implementací Masonova pravidla pro graf zadaný nějakým vhodným způsobem. Jedn z nich představje matlabovská fnkce mason (Walton []). Vžadje zadání graf signálových toků pomocí seznam hran včetně jejich ohodnocení (přenos). Seznam hran se zadává pomocí tetového sobor (jeden ze vstpních parametrů), každá hrana je zadaná čtveřicí: pořadové číslo hran, počáteční zel, koncový zel, přenos. Pro graf signálových toků zobrazený na obr. má seznam hran tento tvar: H (-H) 8 6 (-H) (-H) Složitější přenos je ntné zadávat v závorkách. Pro vedený seznam hran fnkce mason posktne tto výsledk: Net File : gst.net Start Node : Stop Node : Paths P : Order Loops - L : L : 4 6 L : L4 : 4 7 Nmerator = *****(-0) Denominator = -(****(-H)+**H+**(-H)+*(-H))

4 Výsledný přenos je zobrazen pomocí výrazů v čitateli a ve jmenovateli ve tvar tetového řetězce, nejso proveden ani elementární úprav těchto výrazů. Ator doporčje transformovat výraz do smbolické form a pro úprav požít fnkce MATLAB Smbolic Math Toolbo. 4 Přímá aplikace MATLAB Smbolic Toolbo Přímé požití fnkcí MATLAB Smbolic Toolbo při zjednodšování složitých blokových schémat se zdá být pro běžného živatele nejvhodnější postp. Není zapotřebí zjednodšovat blokové schéma pomocí relativně složitých grafických pravidel nebo převádět blokové schéma na graf signálových toků a řešit jej vhodno implementací Masonova pravidla. Postačje požít takovýto postp (předpokládá se, že všechn potřebné smbolické proměnné jso definován):. každé vnitřní veličině vstpjící ze sočtových zlů blokové schémat (případně i výstpním veličinám bloků) se přiřadí vhodné označení, např. při přirozeném očíslování těchto zlů i, kde i je přirozené číslo (viz obr. 4),. pro všechn výstpní veličin se zapíše jednodchá smbolická lineární rovnice ve tvar: výstpní veličina = sočet vstpních veličin (znaménka vstpních veličin se respektjí),. tto rovnice se ve vnlovaném tvar přiřadí vhodné smbolické proměnné, např. eq i kde i je odpovídající přirozené číslo, 4. vtvořená sostava smbolických rovnic se vřeší pro výstpní a všechn vnitřní proměnné, 5. výsledný přenos se rčí jako podíl výstpní a vstpní veličin. Tento postp lze pro dané blokové schéma zformlovat do jednodchého m-sobor nebo do poslopnosti příkazů zadávaných v konverzačním režim postpně v příkazovém okně: % Jednodchý m-sobor pro rčení výsledného přenos % lineárního řídicího sstém daného blokovým schématem % definice vstpní a výstpní veličin sms % definice vnitřních veličin sms 4 % definice přenosů sms H H H % vtvoření sostav smbolických rovnic eq=-h*- eq=+h*4- eq=*-h*4-h*- eq4=*-4 eq5=*4- % řešení sostav smbolických rovnic [s,s,s,4s,s]=solve(eq,eq,eq,eq4,eq5,',,,4,') %výpočet výsledného přenos =simple(s/) H 4 H H Obr. 4: Blokové schéma doplněné o vnitřní veličin

5 Tento jednodchý postp zapsaný ve formě výše vedeného m-sobor posktne tto výsledk (bl formálně praven kvůli úspoře místa): eq=-h*- eq=+h*4- eq=*-h*4-h*- eq4=*-4 eq5=*4- s=-*(*h*-h*-h**-)/(*h**- *H*+H*+H**+) s=*(h*+h**+)/(*h**-*h*+h*+h**+) s=*/(*h**-*h*+h*+h**+) 4s=**/(*H**-*H*+H*+H**+) s=***/(*h**-*h*+h*+h**+) =**/((-*+)*H+*H**+H**+) Výsledný přenos až na formální odlišnosti je totožný s výsledk získanými pomocí algebr blokových schémat i řešením graf signálových toků. Velká výhoda toto postp spočívá v tom, je přenos nemsí být zadán poze formálně pomocí názv, ale i zcela konkrétně jako smbolické racionální lomené fnkce se smbolickými i nmerickými koeficient. Formální úprav výsledk do tvar racionální lomené fnkce provede atomatick fnkce solve, případně lze požít ještě další fnkce toolbo smbolické matematik pro zjednodšování výrazů. 5 Závěr Při srovnání tří postpů zjednodšování blokového schémat a výpočt celkové přenosové fnkce se požití fnkce solve zdá být pro méně zkšeného živatele nejvhodnější. Aplikace algebr blokových schémat je složitý grafický zjednodšovací postp s důrazem na heristické objevování postp vhodného pro strktr daného blokového schémat. Při požití metod grafů signálových toků je zapotřebí provést transformaci blokového schémat na graf signálových toků a vtvořit vhodný popis graf. Při požití toolbo smbolické matematik postačje vtvořit sostav jednodchých rovnic tp výstp = sočet vstpů a zapsat ji ve formě vhodné pro požití fnkce solve. Lze samozřejmě vtvořit sofistikovanější plně algoritmizovaný postp, ale to vede k problém najít vhodný popis blokového schémat a výhoda jednodchosti se ztrácí. Literatra [] P. C. Cha: Process Control. A First Corse with MATLAB. Cambridge Universit Press, Cambridge, 00 [] Y. Chow, E. Cassignol: Linear Signal-flow raphs and Applications. Wile, New York, 96. [] S. Kbík, Z. Kotek, V. Strejc, J. Štecha: Teorie atomatického řízení I. Lineární a nelineární sstém. SNTL, Praha, 98 [4] B. C. Ko: Atomatic Control Sstems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 99. [5] R. Walton: Mason Rle Solver Program. Ing. Vladimír Hanta, CSc. Vsoká škola chemicko technologická v Praze Ústav počítačové a řídicí technik Technická 5, 66 8 Praha 6 tel.: , fa.: , hantav@vscht.cz