11 Analytická geometrie v rovině
|
|
- Bohuslav Kolář
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Analytiá geometrie v rovině V této části se udeme zaývat pouze rovinou. Využijeme něterýh vlastností teré v prostoru neplatí.. Poznáma: Opaování u = (u u ) v = (v v ) u = (u + u ) u.v = u v + u v vetory veliost vetoru salární součin vetorů A = [a a ] B = [ ] ody AB = ( a a ) vetor AB = (( a ) + ( a ) ) parametrié rovnie přímy vzdálenost dvou odů p = {A u} u směrový vetor p: x = a + tu y = a + tu t R. Přílad: Doažte že ABC A=[] B=[7] C=[56] je pravoúhlý a) pomoí salárního součinu ) pomoí Pythagorovy věty a) AB = (05) AC = () BC = (-) AC.BC = = 0 pravý úhel je při vrholu C ) = AB =5 = AC = ( + )= 0 a= BC = 5 a + = = 5 = 5 =. Přílad: Určete y ta ay ABC yl pravoúhlý s pravým úhlem při vrholu B A=[] B=[-] C=[y] BA = (7-) BC = (y-) BA.BC = 8 y + = 0 => y = 0. Přílad: Uažte že ody A=[-] B=[] C=[6] jsou olineární ody ABC jsou olineární <=> AB je násoem AC AB = (6-) AC = (9-) => AB = / AC
2 .5 Poznáma: Oená rovnie přímy V rovině platí že příme existuje jednoznačně (až na násoe) olmý vetor. přímu můžeme určit odem a směrovým vetorem přímu můžeme určit odem a normálovým vetorem X p AX u AX.u = 0 A = [a a ] X = [x y] u = (a ) AX.u = 0 (x a )a + (y a ) = 0 ax + y + ( - aa a ) = 0 ax + y + = 0 oefiienty u x a y jsou souřadnie normálového vetoru Napište oenou rovnii přímy určenou A = [] u = (5-5) 5x 5y 5 = = 0 => = -5 počítat zpaměti!!! u = (5-5) ~ ( -) lepší vzít vetor s menšími čísly souřadni ale stejného směru x y 7 = 0 /5 5x 5y 5 = 0 Oená rovnie přímy je dána jednoznačně až na násoe..6a Poznáma: oená -> parametrié Přehod mezi rovnií oenou a rovniemi parametriými. protože (a).(-a)=-a+a=0 u =(a) a zároveň u.u = 0 <=> u = (-a) z oené rovnie na parametrié p: x y + = 0 => u =(-) => u = () souřadnie mezi seou prohodit a u jedné změnit znaméno A = [0] jednu souřadnii volím a druhou dopočtu vhodná vola něo = 0 => p: x = t y = + t
3 .6 Poznáma: parametrié -> oená z parametriýh na oenou q: x = t y = - t => u = (--) => u =(-) souřadnie mezi seou prohodit a u jedné změnit znaméno A = [-] q: x y 7 = 0.7 Poznáma: směrnie Směrniový a úseový tvar přímy ax + y + = 0 0 y=(-a/)x + (-/) přeznačení y = x + q - směrniový tvar - směrnie q úse na ose y Nejdou ta napsat rovnoěžy s osou y!!! a ax x a y y x y přeznačení A B směrniový tvar A úse na ose x B úse na ose y Nejdou ta napsat žádné rovnoěžy s osou x ani s osou y ani žádná příma proházejíí počátem - využívá se při rýsování
4 .8 Přílady: na převod S přímami a jejími částmi se v geometrii prauje neustále. V analytié geometrii pomoí příme počítáme dély vzdálenosti úhly společné ody apod. Ke aždé úloze je výhodnější jiné vyjádření téže přímy: parametriy oenou rovnií či pomoí směrnie a úseu. Pro je třea umět ryhle převádět rovnii přímy z jednoho typu vyjádření na druhý. Pod označením Cvičení na převod najdete v menu taulu ve teré jsou přílady na napsání rovnie přímy ve všeh typeh při různém výhozím zadání (informaíh o příme). Napsat potřený tvar rovni přímy musí ýt ryhlý ayste se mohli zaývat podstatou zadaného příladu a netopili se na taovém záladu (napsat rovnii přímy). Proto yste měli v průměru dosáhnout vyplnění jednoho řádu tauly zhrua za jednu minutu. Kontrolu správnosti můžete provést v textu Výsledy převodu. Něoli vzorů je postupovat: dány dva ody přímy A = [-] B = [06] směrový vetor u B-A () => normálový vetor u = (-) přehodit parametrié x = - + t y = + t směrový vetor a od A oená x y + 6 = 0 normálový vetor a od A směrniový y = x + 6 výpočet y z oené dán jeden od A a jeden z vetorů (směrový či normálový) druhý vetor zísáme přehozením souřadni a změnou znaména u jedné z nih a dál je to jao v předhozím případě dán od A = [-] a směrnie = směrniový tvar přímy y = x +q dosadím od A - = 6 + q => q = -8 y = x 8 oená rovnie x y 8 = 0 jen převedeno na jednu stranu => normálový u = (-) a směrový u = () parametrié x = + t y = - + t dány parametrié rovnie x = t y = + t vyčteme od A = [] a u = (-) a tedy u = () oená rovnie x + y 5 = 0 normálový vetor a od A směrniový tvar y = -½ x + 5/ vyjádřit y z oené rovnie dána oená rovnie x y + = 0 normálový vetor u = (-) tedy směrový u = () potřeujeme ještě jeden od: volím např. y = 0 a z rovnie vypočtu x = - A =[-0] parametriý tvar x = - + t y = t směrniový tvar y = ½ x + / dán směrniový tvar y = x oená rovnie x y = 0 vše převedeno na jednu stranu normálový vetor u = (-) tedy směrový u = () potřeujeme ještě jeden od: volím např. x = 0 a z rovnie vypočtu y = - A =[0-] parametriý tvar x = t y = - + t
5 .9 Přílad: Určete oenou rovnii přímy určenou ody A = [] B = [-]. Výslede porovnejte x y s rovnií z determinantu 0 u = AB = (--) => u =(-) => x y + 0 = 0 x y = 6 +x y y x + = x y + 0 = 0.0 Poznáma: Oenou rovnii přímy určenou dvěma různými ody A = [a a ] B = [ ] zísáme sestavením determinantu x y. Přílad: Určete oené rovnie příme určenýh dvojií odů pomoí determinantu. a) A = [0] B = [0] ) A = [] B = [5] ) A = [-5] B = [00] Výsledy: a) A = [0] B = [0] x + y = 0 ) A = [] B = [5] x = 0 ) A = [-5] B = [00] 5x +y = 0. Přílad: Rozhodněte zda jsou následujíí trojie odů olineární a) A = [05] B = [] C[-7] ) A = [-] B = [0] C[] ) A = [] B = [5] C[7] d) A = [-5] B = [] C[] e) A = [-] B = [] C[6] a Kolineární ody leží na jedné příme. Když napíšeme rovnii přímy určenou dvěma ody a souřadnie třetího odu mu udou vyhovovat pa jsou olineární. S výhodou lze použít determinant. a 0
6 a) = = 0 => ody jsou olineární ) nejsou ) jsou d) nejsou e) jsou. Věta: osah Jsou dány tři ody v rovině A = [a a ] B = [ ] C = [ ]. Označme D determinant a a D. Body ABC jsou olineární právě dyž D = 0. Jsou-li ody ABC neolineární pa osah ABC je roven ½ D (jedné polovině asolutní hodnoty determinantu D.. Přílad: Určete osah ABC de A = [-] B = [] C = [-0-] P 9.5 Přílad: Vypočtěte souřadnie vrholů osočtvere jsou-li známy rovnie jeho stran AB: x + y = 0 CD: x + y 0 = 0 a rovnie jedné jeho úhlopříčy DB: y = x + průsečí AB DB je od B x + y = 0 - x - y + = D x D y D B = [0] průsečí CD DB je od D S = (B + D)/ = [] x + y 0 = 0-0 x - y + = D = [] příma AC je určena odem S a normálovým vetorem BD průsečí AC AB je od A x + y = 0 x + y 8 = 0 => x + y = 0
7 x + y = 0 0 A = [0] průsečí AC DB je od C x + y = 0 x + y 0 = 0-6 C = [-6].6 Přílad: Jsou dány vrholy ABC A = [-] B = [] a průsečí výše (ortoentrum) V = []. Určete souřadnie třetího vrholu a osah trojúhelnía. C je průsečí příme AC a BC příma AC je určena odem A a normálovým vetorem BV příma BC je určena odem B a normálovým vetorem AV AC: -x + y 0 = 0 -x + y 0 = 0 BC: 7x - 8 = 0 x - = 0 C = [7] osah ABC = 8/ =.7 Přílad: Jsou dány ody A = [-] B = [-7]. Na ose y najděte od N ta ay AN BN. Na ose y mají všehny ody souřadnie N = [0 y]. AN BN <=> AN.BN = 0 <=> (y-)(-y+7) = (y-)(y+7) = 0 y + 6y 6 = 0 => N = [0] N = [0-8].8 Přílad: Určete střed a poloměr ružnie opsané ABC de A = [5] B = [-] C = [-]. nutno postupně vyřešit ) rovnii osy úsečy AB: p = {S AB AB } ) rovnii osy úsečy AC: q = {S AC AC } ) průsečí S = p q ) poloměr r = AS ad ) S AB = [7//] AB = (--7) ~ (7) p: x + 7y = 0 ad ) S AC = [5//] AC = (--9) ~ () q: x + y = 0 ad ) x + 7y = 0 x + y = 0
8 -0 - S = [-7/ 5/] ad ) r = AS = ( + 7/) + (5 5/) = 50/ => r Přílad: Na ose x nalezněte od terý je stejně vzdálen od počátu souřadni jao od odu A = [8] ) osu úsečy AP: p = {S AP AP } ) hledaný průsečí X = p o x ad ) S AP = [] PA = (8) ~ () p: x + y 0 = 0 ad ) o x : y = 0 => X = [50].0 Přílad: Je dán ABC de A = [--] B = [] C = [0]. Určete veliost jeho úhlů. úhel α svírají vetory AB AC CZ AB = () AB = os ' BC = (-) BC = 5 os ' AC = (5) AC = 6 os '. Poznáma: Odhyla dvou příme
9 . poznáma: Kritéria olmosti a rovnoěžnosti příme p q <=> p. q = 0 p. q = 0 =
10 p q <=> p. q = 0 p. q = 0. = - D: α = α + 90 o = tg α = = tg (α + 90 o ) = - otg α = - /tg α = - /. Přílad: Napište rovnii přímy terá prohází odem A = [--] a svírá s přímou a: x y + = 0 úhel 5 o. Taovouhle úlohu je nejlepší řešit přes směrnie a: y = (/)x + (/) : y = x + q hledaná příma tg => dvě řešení = dvě přímy : y = x/7 6/7 : y = Přílad: Uažte že ody K=[8] L=[-] M=[-8-] jsou vrholy rovnoramenného trojúhelnía. pomoí úhlů. pomoí déle stran
11 KL = (5) LM = (-5) KM = (0) KL = LM = KM = ad doázáno norma vetoru je rovna veliosti úsečy KL = KM os os os ( )( ) ( 5) Poznáma: Svazy příme Vysytuje-li se v rovnii přímy nějaý parametr jde o systém neonečně mnoha příme terý nazýváme svazem příme..6 Přílad: Pro terou hodnotu parametru a R dostaneme rovnii přímy ze svazu (a + )x + ( a)y + a 9 = 0 terá je (řešte sami jen v rajním případě se inspirujte návodem): a rovnoěžná s osou x -/ rovnoěžná s osou y svírá s osou x orientovaný úhel +5 o - prohází odem A = [0] neexistuje prohází počátem 9 prohází odem B = [7/0 /0] a R rovnoěžná s přímou p: x y + = 0-7/ rovnoěžná s přímou q: x = + t y = - t -6/7 olmá na přímu p / olmá na přímu q -8
12 návod rovnoěžná s osou x normálový vetor osy x je (0) rovnoěžná s osou y normálový vetor osy y je (0) svírá s osou x orientovaný úhel +5 o směrnie musí ýt tg5 o = => souřadnie normálového vetoru přímy jsou stejné prohází odem A = [0] dosadíme do rovnie => rovnie pro a nemá řešení prohází počátem dosadíme počáte P = [00] prohází odem B = [7/0 /0] dosadíme a zjistíme že na a nezáleží rovnoěžná s přímou p: x y + = 0 směrový vetor přímy p a normálový svazu musí dát salárně 0 (ritérium ) rovnoěžná s přímou q: x = + t y = - t dtto olmá na přímu p normálový vetor přímy p a normálový svazu musí dát salárně 0 (ritérium ) olmá na přímu q dtto.7 Poznáma: Vzdálenost odu od přímy AX.p = 0 <=> p: ax +y + = 0 p =(a) X = [X 0 Y 0 ] ax0 y0 d a.8 Přílad: Určete délu olmie spuštěné z odu S = [-] na přímu p: x 5y 7 = 0 Sp. 5.( ) 7 ( 5) 6
13 .9 Přílad: Napište rovnie příme rovnoěžnýh s přímou p: x-y-=0 jejihž vzdálenost od odu [] je rovna 5. hledané přímy musí mít stejný normálový vetor tedy q: x y + = 0 a vzore pro vzdálenost představuje rovnii pro q : x y + 6 = 0 q : x y = 0.0 Poznáma: Osa úhlu. Osa úhlu ABC je určena odem B a směrovým vetorem u Musíme dostat jednotové vetory ve směreh BA BC. To jsou vetory BA BA BC BC je jednotový protože (norma je číslo ta lze vytnout) BA BA BA BA Tedy BA BA BC u. BC. Přílad: Napište rovnii osy BAC de A=[-] B=[] C=[05]. ) vetory AB AC a jejih veliost ) vetor u směrový osy úhlu ) rovnii osy úhlu BAC AB = () AB = 8 = AC = (-7) AC = 50=5
14 AB AB ( ) AC AC ( 5 7) u 0 0 ( ) 0 ( ) u = (-) a od B o: x - y - 5 = 0. Přílad: Určete souřadnie středů ružni teré se dotýají příme t : x + y + = 0 t : 7x y + = 0 víte-li že leží na příme p: x + y = 0. Určete poloměr těhto ružni.. průsečí T. osa o. S = p o r = S t. osa o o 5. S = p o r = S t ad x + y + = 0 7x y + = T = [--] ad a = (-) = (7) a = =5 ad ad ad 5 u u = (-) o : x y 8 = x y + 8 = 0 S = [-] x + y = 0 r = + / = o: x + y + 6 = 0 x + y + 6 = 0 S = [-6] x + y = 0 r = / = ~ (). Poznáma: Střed ružnie vepsané a) Střed najdeme jao průsečí os dvou vnitřníh úhlů - postup viz.0 ) Využitím výsledů úlohy.7
15 PO apa PB PC a P je liovolný od ABC jsou vrholy a jsou dély stran Označme tedy P = [00] A = [a a ] B = [ ] C = [ ] S = [s s ] a.a i.i. i Pa platí si i a. Přílad: Je dán ABC A=[5] B=[5] C=[-]. Určete:. jeho osah. veliost stran. veliost vnitřníh úhlů. veliost výše 5. střed ružnie vepsané a její poloměr 5 ad ) P 5 / AB AB 5 ad ) BC a BC 5 AC 7 AC 5 8 ad ) os os os ad ) Vzhledem tomu že je to pravoúhlý trojúhelní rovnoramenný => v a = v = a = = 5 v = = 5 / ad 5) střed ružnie vepsané s s Poloměr je vzdálenost středu od přímy AB: x + y = 0
16 r Přílad: Je dán ABC A=[0] B=[05] C=[00]. Určete střed O ružnie opsané a V střed ružnie vepsané a jejih poloměry. Výsledy: O = [6; 5] R = AB / = / V = [ ] r =.6 Přílad: Je dán ABC A=[86] B=[8] C=[].. Určete osah ABC.. Napište rovnii přímy PT de P je počáte souřadni a T je těžiště ABC.. Napište rovnie příme AB BC AC po řadě ve tvaru parametriém oeném a směrniovém.. Doažte že AB BC. 5. Rovnii přímy AC v oeném tvaru vynásote číslem p a přičtěte tomu oenou rovnii přímy AB. Vznilý svaze příme označte t. 6. Doažte že všehny přímy svazu t proházejí odem A. 7. Pro terou hodnotu parametru dostanete přímu proházejíí počátem souřadni? 8. Pro terou hodnotu parametru dostanete přímu rovnoěžnou s přímou BC? 9. Pro terou hodnotu parametru dostanete přímu olmou příme BC? Výsledy: ad ) osah = 0 ad ) T = [/6] p: 8x - y = 0 ad ) AB = (-) x=8-t y=6+t x+y-0=0 y=(-/)x+0 BC = (--) x=-t y=8-t x-y =0 y=x CA = (6) x=+t y=+t x-y+0=0 y=(/)x+0/ ad ) AB.BC=0 ad 5) t: (+p)x + (-p)y + (0p-0) = 0 ad 6) (+p)8 + (-p)6 + (0p-0) = 0 ad 7) 0p 0 = 0 p = ad 8) t BC BC.t =0 -(+p)-(-p)=0 p=5/ ad 9) t BC BC.t =0 -(-p)+(+p)=0 p=0
17 .7 Přílad: V pravoúhlém ABC ve standardním značení platí: v = a/ Zavedeme si soustavu souřadni podle orázu. Pa příma v níž leží strana má rovnii ax + y a = 0 AB = ( -a) je směrový vetor v = C = 0.a 0. a a a..8 Přílad: V ABC ve standardním značení označme R poloměr ružnie opsané a r poloměr ružnie vepsané. Doažte že platí: je-li ABC pravoúhlý pa R+r = (a+)/. Zavedeme souřadný systém podle orázu. Mějme na paměti že v pravoúhlém platí Pythagorova věta tedy a + = R = / střed ružnie vepsané S a.. 0 a. 0 a. 0.a. 0 a a a a r = vzdálenost středu S např. od strany tj. y-ová souřadnie a A tedy R r a a ( a ( a ) a ) a ( a a ) ( a ) ( a a ) a ( a ) ( a ( a ) ) ( a ( a )( a ) ) a q.e.d.
18 .9 Poznáma: Poloroviny příma p dělí rovinu na dvě poloroviny p: ax + y + = 0 - p(x) = ax + y + p(a).p(b) > 0 ody AB jsou ve stejné polorovině p(a).p(b) < 0 ody AB jsou v různýh polorovináh.0 Přílad: Je dána příma q: x y + = 0. Zjistěte teré z následujííh odů jsou ve stejné polorovině jao od M = [0]. A = [] B = [-] C = [-] D = [5] E = [--] P = [00] q(m) > 0 q(a) > 0 ano q(b) < ne q(c) > 0 ano q(d) < 0 ne q(e) > 0 ano q(p) > 0 ano KONEC
( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.
76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0
Více3.6.3 Prvky trojúhelníků
3.6.3 Prvy trojúhelníů Předpolady: 030602 Př. 1: Narýsuj trojúhelní, je-li dáno: = 5m, β = 110, a = 6m. Změř veliosti vnitřníh úhlů a strany b. Zontroluj, zda platí vzore pro součet úhlů v trojúhelníu.
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
54. roční Matematicé olympiády Úlohy domácího ola ategorie 1. Určete všechny dvojice (a, b) reálných čísel, pro teré má aždá rovnic x + ax + b 0, x + (a + 1)x + b + 1 0 dva růné reálné ořeny, přičemž ořeny
Více7 Analytická geometrie
7 Anlytiká geometrie 7. Poznámk: Když geometriké prolémy převedeme pomoí modelu M systému souřdni n lgeriké ritmetiké prolémy pk mluvíme o nlytiké geometrii neo též o metodě souřdni užité v geometrii.
Více4. Model M1 syntetická geometrie
4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).
Víceβ 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:
GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceGeometrická zobrazení
Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších
VícePODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK
PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji
VíceMocnost bodu ke kružnici
3.. ocnost bodu e ružnici Předpolady: 03009 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p s ružnicí označ A, B. Průsečíy sečny p s ružnicí označ
Více. Najdi parametrické vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadnic a najdi její další vyjádření.
7.3.5 Obená rovnie přímky Předpoklady: 7303 Př. 1: Jsou dány body A[ 1; 1] a B [ 1;3]. Najdi parametriké vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadni a najdi její další vyjádření.
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Více. Najdi parametrické vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadnic a najdi její další vyjádření.
735 Obená rovnie přímky I Předpoklady: 070304 Pedagogiká poznámka: Úvodní příklad se nesmí příliš prodlužovat Nemá enu ztráet čas tím, že si většina žáků nepamatuje lineární funke Raději ryhle napíši řešení
VíceMocnost bodu ke kružnici
3..0 ocnost bodu e ružnici Předpolady: 309 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p,. Průsečíy sečny p,. Změř potřebné vzdálenosti a spočti
Více3.3.4 Thaletova věta. Předpoklady:
3.3.4 Thaletova věta Předpolady: 030303 Př. : Narýsuj ružnici ( ;5cm) a její průměr. Na ružnici narýsuj libovolný bod různý od bodů, (bod zvol jina než soused v lavici). Narýsuj trojúhelní. Má nějaou speciální
VícePLANIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE
Předmět: Roční: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr Tomáš MŇÁK 17 větna 2012 Název zpracovaného celu: PLNIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE Kružnice je množina všech bodů X v rovině, teré mají od daného
Více3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu
3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více3.4.8 Konstrukce trojúhelníků IV
348 Konstrue trojúhelníů IV Předpoldy: 346 Př : estroj trojúhelní, je-li dáno t = 5m, t b = 6m, t = 4m t t t b Úloh je nepolohová Problém: tejný problém jo v minulé hodině - známe tři vzdálenosti, teré
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Více4.4.3 Další trigonometrické věty
443 Další trigonometriké věty Předpoklady: 440 Věty, které ojevíme v této hodině, mohou usnadnit některé výpočty, ale je možné se ez nih (na rozdíl od kosinové a sinové věty) oejít Pedagogiká poznámka:
Více5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):
5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
Více( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)
3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
Více7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Vícec) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice
Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více7.3.2 Parametrické vyjádření přímky II
7 Paraetriké vyjádření příky II Předpoklady 07001 Pedagogiká poznáka V podstatě pro elou hodinu platí že příklady by neěly působit žáků větší probléy Pokud se probléy objeví (stává se to často) je třeba
VíceŘešení 5. série kategorie Student
Řešení 5 série kategorie Student Řešení S-I-5-1 Aby byl daný trojúhelník (ozn trojúhelník A) pravoúhlý, musí podle rozšířené Pythagorovy věty (pravidelné 9-úhelníky jsou podobné obrazce) platit, že obsah
VíceKonstrukce trojúhelníků II
.7.0 Konstruce trojúhelníů II Předpolady: 00709 Minulá hodina: Tři věty o shodnosti (odpovídají jednoznačným postupům pro onstruci trojúhelníu): Věta sss: Shodují-li se dva trojúhelníy ve všech třech stranách,
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceM - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. STR 2 <
8.. Otáza číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: b. b Opaování maturitě matematia. roč. STR :.) Zjednodušte:.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Umocněte: 7 7.. Otáza číslo Lineární a vadraticé rovnice.)
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceEuklidovský prostor. Parametrické rovnice roviny. Obecná rovnice roviny. . p.1/25
n 3 GeometrievÊ zvláštěvê Euklidovský prostor n Ê Norma, úhel vektorů, skalární a vektorový součin Parametrické rovnice přímky Parametrické rovnice roviny Obecná rovnice roviny. p.1/25 Euklidovskýprostor
VíceUrci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
Více3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu
3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly
Víceg) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?
Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
Více3.4.7 Konstrukce trojúhelníků III (doplňování)
3.4.7 Konstrue trojúhelníů III (dolňování) Předoldy: 3406 Shrnutí dvou ředešlýh hodin: oážeme sestrojit trojúhelníy, u terýh známe tři strny, dvě strny úhel neo strnu dv úhly. Poud zdání neumožňuje tímto
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceUrčení počátku šikmého pole řetězovky
2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceSOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceGeometrie v rovině 1
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1Přímkaajejíčásti 7 Klíčováslova...
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
VíceMĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU
Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více62. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Jihlava, března 2013
6. ročník matematiké olympiády III. kolo kategorie A Jihlava, 17. 0. března 013 MO 1. Najděte všehny dvojie elýh čísel a, b, pro něž platí rovnost a + 1 b 3 a 1 b 1. Řešení. Zřejmě a 1, proto můžeme danou
VíceP. Rozhodni, zda bod P leží uvnitř, vně nebo na kružnici k. Pokud existují, najdi tečny kružnice procházející bodem P.
756 Tečny ružnic II Předpolady: 45, 454 Pedagogicá poznáma: Tato hodina patří na gymnázium mezi početně nejnáročnější Ačoliv jsou přílady optimalizované na co nejmenší početní obtížnost, všichni studenti
VíceVýukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceMATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! MA1ACZMZ07DT. Pokyny pro vyplňování záznamového archu
MAACZMZ07DT MATURITA NANEČISTO 007 MATEMATIKA didaticý test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do záznamového archu. Používejte rýsovací
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceGeometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny
VíceCVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceKVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
VíceFunkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
Víces p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
Více