Dynamika robotických systémů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dynamika robotických systémů"

Transkript

1 Dynamika robotických systémů prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. ČVUT v Praze Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1

2 Obsah Postup sestavování dynamického modelu Newton-Eulerovy pohybové rovnice Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Metody integrace pohybových rovnic Ekvivalence Newton-Eulerových a Lagrangeových rovnic smíšeného typu Rekurzivní metody sestavování pohybových rovnic Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 2

3 Postup modelování robotických systémů Model je základ návrhu a systému řízení robota Modelování = vývojový proces mechanického modelu Mechanický model je dále transformován na matematický a/nebo simualční model pro další zkoumání (analýza, simulace, syntéza, návrh řízení, systém řízení, kalibrace, diagnostika atd.) Model = konceptuální model = fyzikální (mechanický) model = matematický model = simulační model Proces modelování je velmi náročný, protože Užívá znalosti a zkušenosti mnoha vědních oborů Nelze ho popsat úplným systémem teorémů a pravidel a systematickým postupem Musí se naučit vykonáváním (learning by doing) 3

4 Postup modelování robotických systémů Ideální objekty Základ modelování je transformace reálných objektů (strojů, technických systémů, např. robotických systémů) na fiktivní abstraktní objekty s idealizovanými vlastnostmi = tzv. ideální objekty Ideální objekty hmotný bod, tuhé těleso, lineární pružina, pružné těleso, ideální plyn, elektrická kapacita Věda umí formulovat teorémy jen o ideálních objektech, věda přímo nepředpovídá nic o reálných objektech Vlastnosti reálných objektů jsou pouze do jistého rozsahu podobné vlastnostem ideálních objektů Věda (inženýrský výpočet) je platná pro reálné objekty podle stupně shody vlastností reálného a ideálního objektu (idealizovaný model) Proto je modelování absolutně základní pro každého inženýra. Modelování je základ každého řešení inženýrského problému. Důležitost modelování roste plynule s používáním počítačů 4

5 Postup modelování robotických systémů Životní cyklus vývoje simulačního modelu Reálný svět Konceptuální svět Modelový svět Simulační (matematický) svět Konceptualizace Modelování Implementace Řešení Objekt reálného světa Reálný systém Otázka Objekt konceptuálního světa Konceptuální model Model okolí Objekt modelového světa Fyzikální model Vstup modelu Objekt simulačního (matematického) světa Simulační (matematický) model Metoda řešení Testovací vstup Simulační (matematický) model s metodou řešení Vstup modelu Odpověď Cíl modelování Výstup modelu Testovací výstup Výstup modelu Interpretace řešení 5

6 Postup sestavování dynamického modelu Specifické otázky pro modelování dynamiky Jak modelovat těleso soustavy mnoha těles - jako tuhé nebo jako poddajné? Těleso je tuhé, pokud spektrum budicích frekvencí je mimo spektrum vlastních frekvencí tělesa. Jako modelovat poddajné těleso? Kolik a které vlastní vibrační a deformační tvary tělesa uvažovat. 6

7 Postup modelování robotických systémů Kroky vývoje simulačního modelu 1. krok analýza objektu reálného světa (reálný, hypotetický) v rámci jistého prostředí pro odpověď na nějakou otázku 2. krok konceptuální úkol (konceptualizace), kde objekt reálného světa je transformován na objekt konceptuálního světa uvažované komponenty jsou vybrány 3. krok fyzikální modelování, kde objekt konceptuálního světa je transformován na objekt fyzikálního světa každá komponenta je nahrazena jedním nebo více ideálními objekty 4. krok sestavení simulačního modelu, kde objekt fyzikálního světa je transformován na objekt simulačního světa implementace simulačního modelu a vlastní simulační experiment náhrada modelu posloupností počítačem vykonavatelných instrukcí od ideálních objektů do matematických rovnic (modelu) spolu s řešičem a do počítačového kódu 7

8 Postup modelování robotických systémů Příklad 8

9 Postup modelování robotických systémů Příklad 9

10 Postup modelování robotických systémů Prolog Robotické systémy Průmyslové roboty sériové struktury Průmyslové roboty paralelní struktury Mobilní roboty Antropomorfické, humanoidní roboty 10

11 Úlohy dynamiky robotů Úlohy přímé: dány síly, hledáme pohyb Úlohy nepřímé (inverzní): dán pohyb, hledáme síly Úlohy globální: dán rozsah sil, hledáme rozsah pohybů 11

12 Metody sestavování dynamického modelu Existuje mnoho postupů sestavování pohybových rovnic soustav mnoha těles, tzv. dynamických formalismů Nejdříve popíšeme základní metody Newton Eulerovy pohybové rovnice Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Rekurzivní metody Teprve potom popíšeme obecný přehled známých metod Metody mají vlastnosti z hlediska řady hledisek Minimální CPU čas řešení počítačem Snadnost sestavení modelu na straně člověka Systematičnost a univerzálnost postupu 12

13 Newton-Eulerovy pohybové rovnice Pohybové rovnice jednoho tělesa Vyjádřené ve středu hmotnosti S Vyjádřené v obecném bodě P kompozitní popis 13

14 Newton-Eulerovy pohybové rovnice Pohybové rovnice soustavy těles Popsané souřadnicemi s=[z,q] vázanými vazbami Pomocí nich vyjádříme zrychlení středů hmotnosti Sestavíme pohybové rovnice metodou uvolňování 14

15 Newton-Eulerovy pohybové rovnice Celkové pohybové rovnice soustavy těles Řešení začínáme z nezávislých souřadnic Dopočítáme závislé Určíme a integrujeme nezávislá zrychlení q(t i ), d/dt q(ti) 15

16 Newton-Eulerovy pohybové rovnice Soustava mnoha těles robotický systém má n stupňů volnosti Soustavu popsána jen nezávislými souřadnicemi Užijeme d Alembertův, Jourdainův nebo Gaussův princip 16

17 Newton-Eulerovy pohybové rovnice Soustava mnoha těles robotický systém má n stupňů volnosti Soustavu popsána i závislými souřadnicemi Užijeme d Alembertův, Jourdainův nebo Gaussův princip 17

18 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Soustava mnoha těles robotický systém má n stupňů volnosti Soustava mnoha těles je popsána m závislými (fyzikálními) souřadnicemi s j, j=1,, m, m>n Tyto souřadnice jsou podrobeny holonomním rheonomním vazbám f k (s j,t)=0, k=1,, r, r=m-n 18

19 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Je sestaven výraz pro kinetickou energii E k soustavy T= E k = E k (s j, d/dt s j, t) Lagrangeovy rovnice smíšeného typu kde Q j jsou zobecněné síly a λ k jsou Lagrangeovy multiplikátory odpovídající vazbovým podmínkám f k 19

20 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Výraz pro kinetickou energii E k je sestaven užitím Königovy věty z 1 z S ω r S S y S O 1 x S y 1 x 1 20

21 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Výrazy pro zobecněné síly Q j jsou sestaveny užitím 1) skalárních výrazů pro pracovní síly 2) vektorových výrazů z 1 ω M i i r i F i O 1 y 1 x 1 21

22 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Nelze integrovat úhlové rychlosti To lze jen pro konstatní osu rotace Obecně Eulerovy kinematické rovnice nelze integrovat 22

23 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu 3) potenciální energie a Raleighovy funkce Toto je velmi užitečné pro pružiny a tlumiče, neboť dostaneme snadno správná znaménka 23

24 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Struktura LEMT Druhá časová derivace vazbových podmínek 24

25 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Struktura LEMT 25

26 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Principiální schéma numerického řešení Principiální postup řešení je následující. Na začátku máme souřadnice s(t i ) a jejich rychlosti d/dt s(ti) v čase t i. Z nich vypočteme matici soustavy i její pravou stranu. Řešením této soustavy dostaneme zrychlení d 2 /dt 2 s(t i ) a Lagrangeovy multiplikátory λ. Integrací zrychlení v čase dostaneme polohy s(t i+1 ) a rychlosti d/dt s(t i+1 ) v čase t i+1 a celý postup můžeme opakovat. Tento postup však trpí numerickou nestabilitou. 26

27 Příklad rovinné lichoběžníkové zavěšení kola automobilu 27

28 Příklad rovinné lichoběžníkové zavěšení kola automobilu Souřadnice Počet stupňů volnosti, souřadnice, vazby Kinetická energie Vazby Zobecněné síly Síla pružiny a tlumiče na 28

29 Příklad rovinné lichoběžníkové zavěšení kola automobilu pohybové rovnice 29

30 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Fyzikální souřadnice Časté použití fyzikální souřadnice V prostoru kartézské souřadnice středu hmotnosti a Eulerovy/Cardanovy úhly nebo Eulerovy parametry V rovině kartézské souřadnice středu hmotnosti a úhel mezi lokálním a globálním souřadnicovým systémem 30

31 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Fyzikální souřadnice pro rovinné soustavy 31

32 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Fyzikální souřadnice Kinematické vazby 32

33 Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Fyzikální souřadnice Pohybové rovnice 33

34 Metody integrace pohybových rovnic Souřadnice NEZÁVISLÉ souřadnice: Počet souřadnic = počet stupňů volnosti (m=n) Pohybové rovnice = ODE Relativní souřadnice, zobecněné souřadnice ZÁVISLÉ souřadnice: Počet souřadnic > počet stupňů volnosti (m>n) Pohybové rovnice = DAE fyzikální souřadnice, přirozené souřadnice, jiné závislé souřadnice 34

35 Metody integrace pohybových rovnic Obecné numerické řešení DAE Index DAE = počet časových derivací algebraických rovnic +1, aby byla dosažena regulární systémová matice 35

36 Metody integrace pohybových rovnic Přímé numerické řešení DAE nebezpečí nestability f t 36

37 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Řešení ve fyzikálních souřadnicích Baugartova stabilizace Vazbové rovnice 1,2 =0 Proto jsou modifikovány mají charakteristické kořeny s charakterickými kořeny se zápornou reálnou částí Například a řešení vazeb je tlumeno 37

38 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Baumgartova stabilizace = =1, = =10, =10, =5 38

39 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Řešení v nezávislých souřadnicích 39

40 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Řešení v nezávislých souřadnicích 40

41 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Určení R Volba nezávislých souřadnic ze závislých konstantní maticí B Metoda projekce Inverzní kinematika 41

42 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Metoda projekce 42

43 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Rozklad Jacobiho matice vazeb 43

44 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Metoda inverzní kinematiky 44

45 Metody integrace pohybových rovnic Řešení numerické nestability DAE Historicky metoda rozdělených souřadnic 45

46 Ekvivalence N-E a LEMT Pohybové rovnice soustavy mnoha těles lze sestavit mnoha způsoby. Všechny musejí být ekvivalentní, protože výsledné pohybové rovnice popisují tentýž mechanický systém. Dva hlavní postupy jsou reprezentovány: Newton- Eulerovy pohybové rovnice (metoda uvolňování a N-E rovnice) a Lagrangeovy rovnice smíšeného typu Avšak, např. i pohybové rovnice jediného tělesa nejsou identické, tj. fyzikální souřadnice s Cardanovými úhly pomocí N-E a LEMT pohybových rovnic 46

47 Ekvivalence N-E a LEMT Rovnost levých stran pohybových rovnic Rovnost pravých stran pohybových rovnic Lze vysvětlit shodu většiny formalismů 47

48 Výpočtová složitost Přímé pohybové rovnice - D O(n 3 )+ O(n 2 )+ O(n 3 ) Kompozitní tuhá tělesa - C O(n 2 )+ O(n)+ O(n 3 ) Článkové matice setrvačnosti A O(n) Residuová metoda - R O(n 2 )+ O(n)+ O(n 3 ) Pro poddajná tělesa x větší rozdíly!!! 48

49 Rekurzivní metody sestavování pohybových rovnic Kompozitní tuhá tělesa Článkové matice setrvačnosti 49

50 Rekurzivní metody sestavování pohybových rovnic Rekurzivní popis kinematiky Pro kompozitní popis pohybových rovnic 50

51 Rekurzivní metody sestavování pohybových rovnic Kompozitní tuhá tělesa 51

52 Rekurzivní metody sestavování pohybových rovnic Článkové matice setrvačnosti 52

53 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů Většina metod pro sestavení pohybových rovnic Lagrangeovy multiplikátory/reakční síly buď eliminuje analyticky nebo je následně ignoruje. Jsou však případy, kdy to nelze např. systémy se třením. Pro vyjádření třecích sil potřebujeme znát reakční síly a to v rámci řešení pohybových rovnic, ne až po jejich vyřešení. Lagrangeovy multiplikátory sice mají vždy obecnou interpretaci reakčních sil, ale pro konkrétní použití potřebujeme jejich správnou fyzikální interpretaci jako tradičních reakčních sil. 53

54 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů L R 1 Kinematická smyčka rozdělena řezem na 2 části Popis rozdělen na levou a pravou stranu: Souřadnice Kinetická energie Obecné síly Vazby Kinematické vazby v řezu vyjádřeny 54

55 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů Levá strana soustavy je popsána Síly R l L působí na souřadnicích u l L z pravé na levou stranu Spojený systém je popsán 55

56 56

57 57

58 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů Obecné vyjádření reakčních sil Lagrangeovými multiplikátory Například pak Např. pro sférický kloub 58

59 Příklad rovinné lichoběžníkové zavěšení kola automobilu 59

60 Souřadnice Příklad rovinné lichoběžníkové zavěšení kola automobilu Kinetická energie Vazby Zobecněné síly Síla pružiny a tlumiče působí na souřadnici 60

61 Příklad rovinné lichoběžníkové zavěšení kola automobilu Lagrangeovy multiplikátory 1, 2 jsou rovny reakčním silám v rotační dvojici A Pokud je popis kinetické energie Pak Lagrangeovy multiplikátory 1, 2 jsou rovny reakčním silám v rotačním kloubu B Ale pokud popis kinetické energie je pak Lagrangeovy multiplikátory 1, 2 nemají ŽÁDNOU přímou jednoduchou interpretaci 61

62 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů Pro detailní odvození správných interpretací Lagrangeových multiplikátorů v komlexních případech jako reakční momenty je nutné užít ekvivalenci pravých stran N-E a LEMT 62

63 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů - holonomně 63

64 Fyzikální interpretace Lagrangeových multiplikátorů - neholonomně 64

65 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles Všechny mechanické systémy jsou v realitě podajné Proto sestavení modelu obsahujícího poddajnosti je nutné Existuje několik konkurenčních přístupů k sestavení pohybových rovnic soustavy poddajných těles 65

66 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles tradiční přístupy Metoda konečných prvků Poddajná tělesa Malé pohyby Statická & Modální analýza Metoda soustav mnoha těles Tuhá tělesa Velké pohyby Analýza přechodového děje Jak je spojit? 66

67 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles alternativní přístupy Modelování jako tuhá podtělesa spojená koncentrovanými poddajnostmi (tzv. Rigid Finite Elements) Metoda absolutních souřadnic uzlů MKP sítě (tzv. Absolute Nodal Coordinates) Metoda popisu poddajnosti jako superpozice malých pohybů frekvenčních a deformačních módů přičtených k velkému pohybu tuhého tělesa 67

68 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles Tuhá podtělesa spojená koncentrovanými poddajnostmi Intuitivní přístup -> systematický přístup jako RFE SDE RFE 68

69 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles Absolutní souřadnice uzlů MKP sítě Žádný rozdíl mezi tuhými a poddajnými tělesy 69

70 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles Tuhé + poddajné souřadnice y jd H =O =O j ji jd z ji y ji H u j,j x ji x jd H j * H l j,j P i * P u i,i y ij y id d ij,ij P =O =O i ij id z jd H j,j y j P l i,i P i,i z id z ij x id x ij r ij,0 z j P j =O j x j z i H i =O i y i P r 0i,0 P r 0j,0 x i H r 0i,0 y 0 z 0 O 0 x 0 70

71 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 71

72 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 72

73 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 73

74 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 74

75 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 75

76 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 76

77 Pohybové rovnice soustavy poddajných těles 77

78 Řešení inverzní dynamické úlohy Velký význam pro robotiku Iniciovalo vývoj efektivních formalismů Řešení zlepšeno 5x Standardně pro robotické systémy se sériovou strukturou Pro robotické systémy s paralelní strukturou je podstatně obtížnější a je stále předmětem výzkumu 78

79 Řešení inverzní dynamické úlohy Rekurzivní formalismus standardní 79

80 Řešení inverzní dynamické úlohy Rekurzivní formalismus z přímé dynamiky 80

81 Řešení inverzní dynamické úlohy Vývoj efektivity řešení Obecně sériový robot n kloubů (násobení): n 4, 412n-577 (LE), 150n-48 (N-E), 130n-68 (A), 97n-112 (C) Stanford arm: 646 (N-E), 298 (LE), 171 (C) 81

Dynamika robotických systémů

Dynamika robotických systémů INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Dynamika robotických systémů Učební texty k semináři Autoři: Prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. (ČVUT v Praze) Datum: 25.2.2011 Centrum pro rozvoj výzkumu pokročilých řídicích

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Kinematika robotických systémů

Kinematika robotických systémů Kinematika robotických systémů prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. ČVUT v Praze Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1 Obsah Postup modelování

Více

Kinematika robotických systémů

Kinematika robotických systémů INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Kinematika robotických systémů Učební texty k semináři Autoři: Prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. (ČVUT v Praze) Datum: 18.2.2011 Centrum pro rozvoj výzkumu pokročilých řídicích

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MECHANISMU TETRASPHERE Vypracoval: Jaroslav Štorkán Vedoucí práce: prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. CÍLE PRÁCE Sestavit programy pro kinematické, dynamické

Více

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA VÁZANÝCH MECHANICKÝCH SYSTÉMŮ

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA VÁZANÝCH MECHANICKÝCH SYSTÉMŮ ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 4 DYNAMIKA VÁZANÝCH MECHANICKÝCH SYSTÉMŮ Ing. Michal Hajžman, Ph.D. Harmonogram UMM Úvod do modelování v mechanice (UMM) 1) Úvodní přednáška (Dr. Hajžman) 2)

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Soustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip:

Soustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip: Obvody S - popis 1 Soustavy se spínanými kapacitory - S 1. Základní princip: Simulace rezistoru přepínaným kapacitorem viz známý obrázek! (a rovnice) Modifikace základního spínaného obvodu: Obr. 2.1: Zapojení

Více

Michael Valášek Vedoucí práce: doc. Ing. Václav Bauma, CSc.

Michael Valášek Vedoucí práce: doc. Ing. Václav Bauma, CSc. Michael Valášek Vedoucí práce: doc. Ing. Václav Bauma, CSc. Zadání bakalářské práce Mechanismus vztlakové klapky křídla 1. Proveďte rešerši možných konstrukčních řešení vztlakové klapky křídla 2. Seznamte

Více

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února 2009 1 Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat

Více

Mechanika

Mechanika Mechanika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Mechanika Kinematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren

Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren Projekt TA ČR č. TA01020457: Výzkum, vývoj a validace univerzální technologie pro potřeby moderních

Více

Obrábění robotem se zpětnovazební tuhostí

Obrábění robotem se zpětnovazební tuhostí Obrábění robotem se zpětnovazební tuhostí Odbor mechaniky a mechatroniky ČVUT v Praze, Fakulta strojní Student: Yaron Sela Vedoucí: Prof. Ing. Michael Valášek, DrSc Úvod Motivace Obráběcí stroj a důležitost

Více

III. MKP vlastní kmitání

III. MKP vlastní kmitání Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Tuhost mechanických částí. Předepnuté a nepředepnuté spojení. Celková tuhosti kinematické vazby motor-šroub-suport.

Tuhost mechanických částí. Předepnuté a nepředepnuté spojení. Celková tuhosti kinematické vazby motor-šroub-suport. Tuhost mechanických částí. Předepnuté a nepředepnuté spojení. Celková tuhosti kinematické vazby motor-šroub-suport. R. Mendřický, M. Lachman Elektrické pohony a servomechanismy 31.10.2014 Obsah prezentace

Více

MODELOVÁNí MECHATRONICKÝCH, o SYSTEMU

MODELOVÁNí MECHATRONICKÝCH, o SYSTEMU , Robert Grepl MODELOVÁNí MECHATRONICKÝCH, o SYSTEMU V MATLAB SIMMECHANICS Praha 2007 1ECHNICI(4,} (/1"ERATURP- @ I)I~~ ii I ,-- Obsah, 1 UvoII 7, 11 Motivace: dvojité kyvadlo 9 111 Odvození pohybové rovnice

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

ZÁKLADY ROBOTIKY Kinematika a topologie robotů

ZÁKLADY ROBOTIKY Kinematika a topologie robotů ZÁKLADY ROBOTIKY Kinematika a topologie Ing. Josef Černohorský, Ph.D. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva

Více

Modelování a simulace

Modelování a simulace Modelování a simulace Modelování mechanických systémů Doc. Ing. Pavel Václavek, Ph.D. Modelování a simulace Mechanické systémy - str. 1/14 přednášky Modelování a simulace Mechanické systémy - str. 2/14

Více

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

geometrická (trigonometrická, nebo goniometrická) metoda (podstata, vhodnost)

geometrická (trigonometrická, nebo goniometrická) metoda (podstata, vhodnost) 1. Nalezení pólu pohybu u mechanismu dle obrázku. 3 body 2. Mechanismy metoda řešení 2 body Vektorová metoda (podstata, vhodnost) - P:mech. se popíše vektor rovnicí suma.ri=0 a následně provede sestavení

Více

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,

Více

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017 Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Globální matice konstrukce

Globální matice konstrukce Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{

Více

U1, U2 vnější napětí dvojbranu I1, I2 vnější proudy dvojbranu

U1, U2 vnější napětí dvojbranu I1, I2 vnější proudy dvojbranu DVOJBRANY Definice a rozdělení dvojbranů Dvojbran libovolný obvod, který je s jinými částmi obvodu spojen dvěma páry svorek (vstupní a výstupní svorky). K analýze chování obvodu postačí popsat daný dvojbran

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Numerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu

Numerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu Numerické modelování interakce proudění a pružného tělesa v lidském vokálním traktu Vedoucí práce: doc. Ing. Petr Šidlof, Ph.D. Bc. Petra Tisovská 22. května 2018 Studentská 2 461 17 Liberec 2 petra.tisovska@tul.cz

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství Úloha KA03/č. 5: Měření kinematiky a dynamiky pohybu osoby v prostoru pomocí ultrazvukového radaru Ing. Patrik Kutílek, Ph.., Ing.

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 2

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 2 Obsah 1 Rozdělení mechaniky a její náplň 2 2 Kinematika hmotného bodu 6 2.1 Křivočarý pohyb bodu v rovině................. 7 2.2 Přímočarý pohyb hmotného bodu................ 9 2.2.1 Rovnoměrný pohyb....................

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 6 6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Mechanika s Inventorem

Mechanika s Inventorem Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky Základní pojmy Pojem hmota, základní formy existence (atributy) hmoty Čím se liší pojmy hmota a hmotnost Axiomy statiky Mechanický

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

U Úvod do modelování a simulace systémů

U Úvod do modelování a simulace systémů U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení

Více

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy

Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA NEROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA NEROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 2 DYNAMIKA NEROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. DYNAMIKA vyšetřuje pohyb hmotných útvarů vyvolaný silami Pohyb = proces změny fyzikálních veličin

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Mechanika 1. ročník, kvinta 2 hodiny Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky Úvod Žák vyjmenuje základní veličiny

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Vypracovat přehled paralelních kinematických struktur. Vytvořit model a provést analýzu zvolené PKS

Vypracovat přehled paralelních kinematických struktur. Vytvořit model a provést analýzu zvolené PKS Autor BP: Vedoucí práce: Tomáš Kozák Ing. Jan Zavřel, Ph.D. Vypracovat přehled paralelních kinematických struktur Vytvořit model a provést analýzu zvolené PKS Provést simulaci zvolené PKS Provést optimalizaci

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1 Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem

Více

Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny

Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ.1.07/2.3.00/45.0029 V

Více

Stanovení kritických otáček vačkového hřídele Frotoru

Stanovení kritických otáček vačkového hřídele Frotoru Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Stanovení ických otáček vačkového hřídele Frotoru Řešitel: oc. r. Ing. Jan upal Plzeň, březen 7 Úvod: Cílem předložené zprávy je

Více

Návod k použití programu pro výpočet dynamické odezvy spojitého nosníku

Návod k použití programu pro výpočet dynamické odezvy spojitého nosníku Návod k použití programu pro výpočet dynamické odezvy spojitého nosníku Obsah. Úvod.... Popis řešené problematiky..... Konstrukce... 3. Výpočet... 3.. Prohlížení výsledků... 4 4. Dodatky... 6 4.. Newmarkova

Více

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 3. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 3 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více