ASYMPTOTICKÁ ANALÝZA STRATEGIÍ OBCHODOVÁNÍ S AKCIÍ PŘI EXISTENCI TRANSAKČNÍCH NÁKLADŮ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ASYMPTOTICKÁ ANALÝZA STRATEGIÍ OBCHODOVÁNÍ S AKCIÍ PŘI EXISTENCI TRANSAKČNÍCH NÁKLADŮ"

Transkript

1 ROBUST 24 c JČMF 24 ASYMPTOTICKÁ ANALÝZA STRATEGIÍ OBCHODOVÁNÍ S AKCIÍ PŘI EXISTENCI TRANSAKČNÍCH NÁKLADŮ Petr Dostál Klíčová slova: Obchodní strategie, transakční náklady, asymptotický užitek. Abstrakt: Uvažujeme investora, který obchoduje s jednou akcií, ale na rozdíl od[],[2] nic nespotřebovává. Jeho snaha je maximalizovat asymptotické chování očekávaného užitku měřeného užitkovou funkcí s hyperbolickou absolutníaverzívůčiriziku(hara) vetvaru U γ (x) = x γ /γ pro γ < a U (x)=lnx.předpokládáme,žetržnícenaakciejegeometrickýbrownův pohyb. Tato omezení nám umožňují odvodit optimální intervalové strategie v téměř explicitní podobě. Tyto strategie jsou optimální i mezi všemi rozumnými strategiemi. V případě logaritmické užitkové funkce jsou odvozené strategie optimální i v modelu, který dostaneme rozumnou časovou transformací původního modelu geometrického Brownova pohybu. V ostatních případech jsou odvozené strategie optimální pouze při deterministické změně času. Úvod Předpokládejme,žetržnícenaakcie X t jegeometrickýbrownůvpohyb dx t = µx t dt+σx t dw t, X = x >. () Nejprve budeme předpokládat, že depozitní část portfolia není úročena. Označme Y t tržnícenuportfoliaag t poziciinvestoranatrhuvčase t.dále budemeoznačovat H t početakciívportfoliu.nynímůžemevyjádřittržní cenuakciovéčástiportfoliavnásledujícíchdvoutvarech G t Y t = H t X t.dále budeme předpokládat, že platíme( + b)-násobek tržní ceny akcie, abychom tuto akcii obdrželi. Na druhou stranu obdržíme( c)-násobek tržní ceny akcie, kterou prodáme. Rozdíly v cenách interpretujeme jako transakční náklady. Snadno zjistíme, že následující hodnota Y t (+bg t )=Y t + bh t X t resp. Y t ( cg t )=Y t ch t X t (2) zůstává stejná před a po provedení nákupu resp. prodeje. Tyto vztahy můžeme zapsat v difereneciální podobě dlny t = ϑ + (G t )d + G t ϑ (G t )d G t, (3) kde ϑ + (x)= b +bx a ϑ (x)= c cx akde d+ G t a d G t jsoudiferenciálydvou neklesajících adaptovaných procesů reprezentující nárůst resp. pokles pozice způsobený nákupem či prodejem akcie. Pokud s akcií neobchodujeme, tak se

2 68 Petr Dostál poziceinvestora G t chovájakodifúzníprocessdriftem B(x)adifúzí S 2 (x), kde B(x)=x( x)[µ σ 2 x], S(x)=σx( x). (4) Pokudobchodujeme,je G t semimartingalsestochastickýmdiferenciálem dg t = B(G t )dt+s(g t )dw t + d + G t d G t. (5) Výkyvyvtržníceněportfolia Y t jsoujednakzpůsobenyzměnamitržníhodnotyakcie X t ajednaktržníhodnotaportfoliaklesáozaplacenétransakční náklady, tj. dy t = H t dx t Y t ϑ + (G t )d + G t Y t ϑ (G t )d G t (6) = Y t [G t (µ dt+σ dw t ) ϑ + (G t )d + G t ϑ (G t )d G t ]. (7) Tatorovnostmářešenívetvaru Y t = Y exp{l t },kde L t = G s µ 2 σ2 G 2 s ds+σ G s dw s ϑ + (G s )d + G s ϑ (G s )d G s. Mysedálevícezaměřímenastrategie,kteréneobchodují,pokudsepozice G t nacházívintervalu(α, β)akteréakciinakupujíneboprodávajítak,abytato poziceneopustilainterval[α, β].vtakovýchtopřípadechjediferenciál d + G t resp. d G t soustředěnnamnožině[g t = α]resp.[g t = β].můžemetedypsát ϑ + (G t )d + G t = ϑ α d + G t, resp. ϑ (G t )d G t = ϑ β d G t,kde ϑ α = ϑ + (α)= b +bα a ϑ β = ϑ (β)= c cβ.jakokritériumoptimalitybudemeuvažovat maximalizaci asymptotického vývoje očekávaného užitku při volbě užitkových funkcí U (x)=lnxau γ (x)= xγ γ,kde γ <,tj. max lim t t ElnY t 2 Logaritmická užitková funkce resp. minlim t t lney γ t. (8) Nachvílibudemeuvažovatnulovétransakčnínáklady,tj. b=c=.vtomto případěbychommělimaximalizovatlim t t E G sµ 2 σ2 G 2 s ds.funkce x xµ 2 σ2 x 2 nabývámaximavbodě θ:= µ/σ 2.Neexistujetedylepší strategie než[θ, θ]. Takováto strategie je neobchodující v případě, že θ {,}.Vtěchtodvoupřípadechjestrategie[θ, θ]optimálníivpřípaděnenulovýchtransakčníchnákladů.těmitopřípady θ=,sedáleužtedyzabývat nebudeme. Nyní existují dvě cesty, kterými se dá pokračovat. Mohli bychom použít ergodickou teorii. Místo toho využijeme teorii martingalů. Tato cesta jezaloženanatom,žejsmeschopninalézthladkoufunkci fakonstantu ν takovou, že následující proces je martingal lny t f(g t ) νt. (9)

3 Asymptotická analýza strategií obchodování s akcií 69 Z martingalové konvergence pak dostaneme, že lim t t ElnY t= ν+lim t t Ef(G t)=ν () je tou hodnotou, kterou bychom měli maximalizovat. Hladká funkce f splňuje martingalovou podmínku(9), pokud splňuje následující ODE s okrajovými podmínkami f (x)b(x)+ 2 f (x)s 2 (x)=µx 2 σ2 x 2 ν () f (α)= ϑ α = b +bα a f (β)=ϑ β = c cβ. (2) Označíme-li h:= f,dostanemeobyčejnoudiferenciálnírovniciprvníhořádu h(x)b(x)+ 2 h (x)s 2 (x)=µx 2 σ2 x 2 ν (3) sokrajovýmipodmínkami h(α)= b +bα a h(β)= c cβ.protože(3)je ODE prvního řádu, jsme schopni vyjádřit obecné řešení této rovnice pomocí metody variace konstant a zodpovědět otázku, kdy tato rovnice má řešení vyhovyjícím okrajovým podmínkám(2). Možná volba funkce f (splňující ()a(2))jejakákoliprimitivnífunkcekh.jednatakovámožnávolba fje 2ρ f(x)=2ρ a x + a ln x x +ln x (4) vpřípadě,že ρ:= θ 2, ν= ρσ2 a,kde ξ α = α +b +bα, ξ β= β c ξ β ξ α a = β 2ρ α 2ρ, a = 2ρ ξ β 2ρ β β β β Vpřípadě,že ρ=aν= σ2 2 a,můžemevolit f(x)=a ln x x + a 2 ln2 x x +ln a = ln α α ξ β ln β ln β β ln α α β ξ α α α α α cβ akde 2ρ ξ α 2ρ. (5), kde x (6) ξ β ξ α, a = ln β β ln. α α (7) Protožebychommělimaximalizovathodnotu ν=lim t t ElnY t,jenaším úkolem najít maximum funkce u(α, β)= β β 2ρ 2ρ ξ β [ β 2ρ β α α 2ρ ξ α α α 2ρ] resp. u(α, β)= ξ β ξ α ln β β ln α α

4 7 Petr Dostál podletoho,zda ρ či ρ=,atonajednézmnožin T= {(α, β), < α < β <}resp. T= {(α, β), < α < β </c}resp. T= {(α, β), /d < α < β <}podletoho,zda θ (,)resp. θ (, )resp. θ (,). Věta.Funkce u(α, β)máprávějedenstacionárníbodnamnožině T,který lze charakterizovat následujícími rovnostmi ξ α = θ ω, ξ β = θ+ ω, (8) kde ωje(pokud θ 2 )jedinéřešenírovnice ln +b [ ] c + θln θ+ω ρ θ ω +(θ )ln θ+ω θ ω = (9) na[, θ θ ).Pokud θ= 2,je ωjedinéřešenínásledujícírovnice ln +b c +2ln 2 + ω 2ω 2 ω= 4 (2) ω2 naintervalu[, 2 ).Funkce unabývásvéhomaximana T vtomtostacionárnímbodě.navíc,rozdílmezilevouapravoustranou(9)resp.(2)jena odpovídajícím intervalu ryze monotónní funkce v ω. Poznamenejme, že hodnoty α, β lze následně obdržet ze vzorců α = ξ α /(+b bξ α ), β= ξ β /( c+cξ β ).Nynípředpokládejme,žefunkce unabývá svéhomaximana Tvbodě(α, β).dáledefinujmef(x):= f(x)pro x [α, β], F(x):= C α ln(+bx)pro x ( /b, α),f(x):= C β ln( cx)pro x (β,/c),kde C α, C β jsoukonstantyzvolenétak,abyfunkcefbylaspojitá na intervalu( /b, /c). Věta2.Necht Y t označujetržnícenuportfoliaag t poziciinvestoranatrhu, pak lny t F(G t ) νt (2) je součet supermartingalu a neroustoucího procesu za přepokladu, že zvolenástrategieudržujepozici G t odraženouodextrémníchhodnot /ba/c, a předpokladu, že zvolená strategie nedovolí, aby tržní cena portfolia klesla na nuluvkonečnémčase.navíc,pokudje(2)martingal,paklzeříci,žebyla aplikována strategie[α, β]. Je to zřejmě martingal, pokud je použita strategie[α, β]. Z předchozí věty plyne, že neexistuje rozumná strategie s lepší asymptotikou střední hodnoty logaritmu tržní hodnoty portfolia než má strategie[α, β]. Tatovětanámumožňujedefinovatužitekvčase t nazákladětržníhodnotyportfolia Y t apozice G t pomocí(2).taktodefinovanýsystémužitkůje v čase konzistentní a jako optimální strategii geneuje právě strategii[α, β].

5 Asymptotická analýza strategií obchodování s akcií 7 3 Mocninná užitková funkce Pokudbytransakčnínákladybylynulové,tj. b=c=,pakby γ-nejlepší µ strategieudržovalapozici G t nahodnotě σ 2 ( γ) = θ γ,cožlzenahléhnout znásledujícíhovyjádření Y γ t = Y γ E t exp {γn t },kde N t = µg s 2 σ2 ( γ)g 2 s ds ϑ + (G s )d + G s ϑ (G s )d G s,(22) { t E t =exp γσ G s dw s } 2 γ2 σ 2 G 2 s ds. (23) Vpřípaděnulovýchtransakčníchnákladů ϑ + (G t )=ϑ (G t )=strategie θ [ γ, θ γ ]totiždává { EY γ t = EY γ γ exp µ 2 } { 2 σ 2 ( γ) t = EY γ σ 2 exp γθ 2 } t, (24) 2 γ cožjemenšíneborovnonežstředníhodnota(24)vpřípadě,žebychomuvažovalijakoukolijinouintervalovoustrategii,nebot funkce x µx 2 σ2 ( γ)x 2 µ 2 nabývámaxima 2 σ 2 ( γ) = σ2 θ 2 2 γ vbodě θ γ.tatostrategiejeneobchodující, pokud θ γ =nebo θ γ =,tj.pokud θ =nebo θ = γ. Tyto singulární případy budeme dále vynechávat a zaměříme se na strategie typu[α, β],kde<α<β <,pokud<θ< γ, < α < β </c, pokud γ < θanastrategietypu /d < α < β <,pokud θ <. Nyní máme opět dvě možnosti, jak pokračovat. První cesta vede přes teorie semigrup lineárních operátorů na spojitých funkcích na[α, β] a spočítá ve výpočtu maximální vlastní hodnoty příslušného infinitezimálního generátoru. Jak uvidíme tak i v druhé možnosti se tomuto infinitezimálnímu generátoru nevyhneme a jeho maximální vlastní hodnotu budeme počítat, i když to tak třeba nebude vypadat. Tou druhou možností je nalézt konstantu ν a hladkou funkci f takovou, že Y γ t g(g t )e λt =exp {γ[lny t f(g t ) νt]} (25) jemartingal,kde g(x)=exp{ γf(x)}akde ν= λ/γ.podleitôovyformule stačínajít νa ftak,abyplatilo 2 g (x)s 2 (x)+g (x) B(x)+γg(x) [µx+ 2 ] (γ )σ2 x 2 = λg(x), (26) g +(α)=γ b +bα g(α), c g (β)= γ g(β), (27) cβ kde B(x)=x( x)[µ ( γ)σ 2 x].levástrana(26)uvažovanájakofunkce proměnné x je hodnotou výše uvedeného infinitezimálního generátoru v bodě g semigrupy jejíž maximální vlastní hodnotu hledáme. Podmínka maximality mezi vlastními hodnotami odpovídá požadavku g(x) = exp{ γf(x)}, který zajišt uje, že funkce g nemění znaménko na[α, β].

6 72 Petr Dostál Tento problém je možné řešit více-méně explicitně, nebot máme k dispozici fundamentální systém v explicitním tvaru ρ g,2 (x)= x x γ,pokud λ= σ2 2 ( 2 ρ 2 ) σ2 2 ρ2, resp. g 2 (x)=g (x)ln x x, kde g (x)= x ρ x γ,pokud λ= σ2 2 ρ2. Vtomtopřípadětakjsmeschopniurčitasymptotiku λ=lim t t lney γ t jakoimplicitnífunkci.pokud ρ α = ρ β,kde ρ α := ρ+γξ α a ρ β := ρ+γξ β, platí λ= σ2 ( ρ 2 2 α ρ 2) = σ2 ( ρ 2 2 β ρ 2). (28) Vopačnémpřípadě λ= σ2 2 (D ρ2 ),kde Djejedinéřešenírovnice ln /α /β = ρα ρ β dx x 2 D (29) nar \co {ρ 2 α, ρ2 β },kder =R { }označujejednobodovoukompaktifikacireálnépřímkyaco {ρ 2 α, ρ2 β }označujekonvexníobalmnožiny {ρ2 α, ρ2 β }. Je-li D=,jepravástrana(29)tvaru/ρ β /ρ α.je-li D >,jepravá strana(29) rovna 2 ln +ρ β ρ β ρ α +ρ α, kde 2 = D. (3) Pokud D <,lzepravoustranu(29)zapsatvetvaru [ ( ρα ) ( ρβ )] arctg arctg, kde a 2 = D. (3) a a a Vevšechpřípadechlzepsát 2 = D,kde Rresp. i R.Pokud ρ α = ρ β =:,je g:= g hledanéřešení(26)a(27)kladnéna[α, β].pokud ρ α ρ β a(29)platípro D=,pakmámekladnéřešení(26)a(27)na[α, β] ve tvaru g(x)=g (x) /α +ln ρ α /x = g (x) /β +ln ρ β /x. (32) Pokud ρ α ρ β a(29)platípronějaké D= 2 >,pakjednozkladných řešení(26)a(27)na[α, β]jetvaru g(x)=g (x) ψ+ x 2,kde ψ= α = ρ α β 2 +ρ α 2 +ρ β ρ β. (33)

7 Asymptotická analýza strategií obchodování s akcií 73 Pokud ρ α ρ β a(29)platípronějaké D= a 2 <,mámekdispozici kladnéřešení(26)a(27)na[α, β]vetvaru ρ ( ) g(x)= x x γ 2sin ϕ aln x, kde (34) ϕ=aln α ( +arccotg ρα ) = aln a β ( +arccotg ρβ ). (35) a Věta3.Funkce λ(α, β)jespojitána T anatétomnožiněmáprávějeden stacionární bod, který lze charakterizovat následujícími rovnostmi ξ α = θ ω γ, ξ β= θ+ ω γ, (36) kde ωjejedinéřešenírovnice L(ω)=P(ω)na[, θ θ γ ),kde L(ω):=ln θ+ω θ γ+ ω θ ω θ γ ω +ln+d c, P(ω):= 2 +ω dx 2 ω x 2 D(ω), kde D(ω):= ρ 2 + γ γ (θ2 ω 2 ).Navíc,funkce λ=λ(α, β)nabýváminima v tomto stacionárním bodě. Dále rozdíl L(ω) P(ω) je ryze monotónní funkce na takových intervalech, na kterých je tato funkce spojitá. Pokud D(ω) >,lzefunkci P(ω)počítatpodlevzorce P(ω):= 2 D(ω) ln 2 ω+ D(ω) 2 + ω+ D(ω) P(ω):= D(ω) [arccotg 2 + ω D(ω) 2 ω D(ω), resp. ( 2 ω D(ω) ) arccotg vpřípadě,že D(ω) <,resp. P(ω)= 2ω 4 ω2,pokud D(ω)=. ( 2 + ω )] D(ω) Nynípředpokládejme,žefunkce λnabývásvéhominimana T vbodě (α, β).definujmedálef(x):= f(x)= γlng(x)pro x [α, β],f(x) := D α ln(+bx)pro x ( /b, α),f(x):= D β ln( cx)pro x (β,/c), kdekonstanty D α, D β jsouzvolenytak,abyfunkcefbylaspojitánaintervalu ( /b, /c). Konečně položme G(x):=exp{ γf(x)}. (37) Věta4.Necht Y t jetržnícenaportfoliaag t jepoziceinvestoranatrhu, pak Y γ t G(G t)e λt =exp {γ[lny t F(G t ) νt]}, (38) kde ν = λ/γ, je součet submartingalu a neklesajícího procesu za předpokladu, žestrategieobchodováníudržujepozici G t odraženouodkrajníchhodnot /b

8 74 Petr Dostál a/capokudzaručuje,žetržnícenaportfolia Y t neklesnenanuluvkonečném čase. Pokud je proces(38) martingal, lze říci, že byla aplikována strategie[α, β]. Proces(38) je zřejmě martingal, pokud je použita strategie[α, β]. Podobně jako v případě logaritmické užitkové funkce z této věty plyne, že neexistuje rozumná strategie s lepším asymptotickým chováním středního užitku než je strategie[α, β], měříme-li asymptotický užitek z tržní hodnoty portfoliapomocífunkce U γ (x).opětmůžemedefinovatužitekvčase tna základě Y t a G t pomocí γ (38)zapředpokladu,ženášcíljemaximalizovat asymptotikckéchování EU γ (Y t ).Mohlibychomtakéříci,žeužitekjeroven hodnotě lny t F(G t ) νt, (39) ale ne ve smyslu maximalizace očekávaného užitku, ale ve smyslu minimalizace střední hodnoty exponenciely z γ-násobku takovéhoto druhu užitku. 4 Nenulováúrokovámíraazměnačasu Necht Z t označujetržnícenuakcievčase t.označme X t diskontovanoutržní cenuakcie X t = e rt Z t,kde rjekonstantníúrokovámíra.předpokládejme dále,že dz t = κz t dt+z t σ dw t.pak dx t = µx t dt+σx t dw t, kde µ:= κ r.definujeme-li Y t jakodiskontovanoutržnícenuportfolia,můžemepoužít předchozí výsledky k tomu, abychom odvodili optimální strategie pro tento případ, nebot kritéria optimality jsou invariantní vzhledem k diskontování. Poznámka ke změně času Rozšířená optimalita odvozených strategií je založena na větách, které říkají, že nějaké procesy jsou martingaly, pokud použijeme odvozené strategie, zatímco jsou obecně jen super/sub-martingaly +/ nerostoucí proces, pokudseomezímenastrategieudržujícípoziciinvestora G t odraženouod extrémních hodnot /b a /c. Tento druh optimality je stabilní v případě logaritmické užitkové funkce vzhledem k jakékoli rozumné změně času, tj. vzhledem k takovým transformacím času, které neporuší(sub,super)-martingalovou vlastnost našich (sub,super)-martingalů. Zatímco v případě mocninných užitkových funkcí je tato optimalita stabilní vzhledem k deterministickým změnám času v modelu. Reference [] Janeček K., Shreve S.E.(24). Asymptotic analysis for optimal investment and consumption with transaction costs. Fin.&Stochas. 8, [2] Shreve S., Soner H.M.(994). Optimal investment and consumption with transaction costs. Ann. Applied Probab. 4, Poděkování: Účast na této konferenci byla umožněna na základě podpory z grantu GA ČR 2/3/27 a výzkumného záměru MSM 328. Adresa:P.Dostál,KPMS,MFFUK,Sokolovská83,Praha8-Karlín

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce

Teorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce 11. Aukce Příklady tržních mechanismů prodej s pevnou cenou cenové vyjednávání aukce Využití aukcí prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin,

Více

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x) NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních

Více