ASYMPTOTICKÁ ANALÝZA STRATEGIÍ OBCHODOVÁNÍ S AKCIÍ PŘI EXISTENCI TRANSAKČNÍCH NÁKLADŮ
|
|
- Danuše Holubová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ROBUST 24 c JČMF 24 ASYMPTOTICKÁ ANALÝZA STRATEGIÍ OBCHODOVÁNÍ S AKCIÍ PŘI EXISTENCI TRANSAKČNÍCH NÁKLADŮ Petr Dostál Klíčová slova: Obchodní strategie, transakční náklady, asymptotický užitek. Abstrakt: Uvažujeme investora, který obchoduje s jednou akcií, ale na rozdíl od[],[2] nic nespotřebovává. Jeho snaha je maximalizovat asymptotické chování očekávaného užitku měřeného užitkovou funkcí s hyperbolickou absolutníaverzívůčiriziku(hara) vetvaru U γ (x) = x γ /γ pro γ < a U (x)=lnx.předpokládáme,žetržnícenaakciejegeometrickýbrownův pohyb. Tato omezení nám umožňují odvodit optimální intervalové strategie v téměř explicitní podobě. Tyto strategie jsou optimální i mezi všemi rozumnými strategiemi. V případě logaritmické užitkové funkce jsou odvozené strategie optimální i v modelu, který dostaneme rozumnou časovou transformací původního modelu geometrického Brownova pohybu. V ostatních případech jsou odvozené strategie optimální pouze při deterministické změně času. Úvod Předpokládejme,žetržnícenaakcie X t jegeometrickýbrownůvpohyb dx t = µx t dt+σx t dw t, X = x >. () Nejprve budeme předpokládat, že depozitní část portfolia není úročena. Označme Y t tržnícenuportfoliaag t poziciinvestoranatrhuvčase t.dále budemeoznačovat H t početakciívportfoliu.nynímůžemevyjádřittržní cenuakciovéčástiportfoliavnásledujícíchdvoutvarech G t Y t = H t X t.dále budeme předpokládat, že platíme( + b)-násobek tržní ceny akcie, abychom tuto akcii obdrželi. Na druhou stranu obdržíme( c)-násobek tržní ceny akcie, kterou prodáme. Rozdíly v cenách interpretujeme jako transakční náklady. Snadno zjistíme, že následující hodnota Y t (+bg t )=Y t + bh t X t resp. Y t ( cg t )=Y t ch t X t (2) zůstává stejná před a po provedení nákupu resp. prodeje. Tyto vztahy můžeme zapsat v difereneciální podobě dlny t = ϑ + (G t )d + G t ϑ (G t )d G t, (3) kde ϑ + (x)= b +bx a ϑ (x)= c cx akde d+ G t a d G t jsoudiferenciálydvou neklesajících adaptovaných procesů reprezentující nárůst resp. pokles pozice způsobený nákupem či prodejem akcie. Pokud s akcií neobchodujeme, tak se
2 68 Petr Dostál poziceinvestora G t chovájakodifúzníprocessdriftem B(x)adifúzí S 2 (x), kde B(x)=x( x)[µ σ 2 x], S(x)=σx( x). (4) Pokudobchodujeme,je G t semimartingalsestochastickýmdiferenciálem dg t = B(G t )dt+s(g t )dw t + d + G t d G t. (5) Výkyvyvtržníceněportfolia Y t jsoujednakzpůsobenyzměnamitržníhodnotyakcie X t ajednaktržníhodnotaportfoliaklesáozaplacenétransakční náklady, tj. dy t = H t dx t Y t ϑ + (G t )d + G t Y t ϑ (G t )d G t (6) = Y t [G t (µ dt+σ dw t ) ϑ + (G t )d + G t ϑ (G t )d G t ]. (7) Tatorovnostmářešenívetvaru Y t = Y exp{l t },kde L t = G s µ 2 σ2 G 2 s ds+σ G s dw s ϑ + (G s )d + G s ϑ (G s )d G s. Mysedálevícezaměřímenastrategie,kteréneobchodují,pokudsepozice G t nacházívintervalu(α, β)akteréakciinakupujíneboprodávajítak,abytato poziceneopustilainterval[α, β].vtakovýchtopřípadechjediferenciál d + G t resp. d G t soustředěnnamnožině[g t = α]resp.[g t = β].můžemetedypsát ϑ + (G t )d + G t = ϑ α d + G t, resp. ϑ (G t )d G t = ϑ β d G t,kde ϑ α = ϑ + (α)= b +bα a ϑ β = ϑ (β)= c cβ.jakokritériumoptimalitybudemeuvažovat maximalizaci asymptotického vývoje očekávaného užitku při volbě užitkových funkcí U (x)=lnxau γ (x)= xγ γ,kde γ <,tj. max lim t t ElnY t 2 Logaritmická užitková funkce resp. minlim t t lney γ t. (8) Nachvílibudemeuvažovatnulovétransakčnínáklady,tj. b=c=.vtomto případěbychommělimaximalizovatlim t t E G sµ 2 σ2 G 2 s ds.funkce x xµ 2 σ2 x 2 nabývámaximavbodě θ:= µ/σ 2.Neexistujetedylepší strategie než[θ, θ]. Takováto strategie je neobchodující v případě, že θ {,}.Vtěchtodvoupřípadechjestrategie[θ, θ]optimálníivpřípaděnenulovýchtransakčníchnákladů.těmitopřípady θ=,sedáleužtedyzabývat nebudeme. Nyní existují dvě cesty, kterými se dá pokračovat. Mohli bychom použít ergodickou teorii. Místo toho využijeme teorii martingalů. Tato cesta jezaloženanatom,žejsmeschopninalézthladkoufunkci fakonstantu ν takovou, že následující proces je martingal lny t f(g t ) νt. (9)
3 Asymptotická analýza strategií obchodování s akcií 69 Z martingalové konvergence pak dostaneme, že lim t t ElnY t= ν+lim t t Ef(G t)=ν () je tou hodnotou, kterou bychom měli maximalizovat. Hladká funkce f splňuje martingalovou podmínku(9), pokud splňuje následující ODE s okrajovými podmínkami f (x)b(x)+ 2 f (x)s 2 (x)=µx 2 σ2 x 2 ν () f (α)= ϑ α = b +bα a f (β)=ϑ β = c cβ. (2) Označíme-li h:= f,dostanemeobyčejnoudiferenciálnírovniciprvníhořádu h(x)b(x)+ 2 h (x)s 2 (x)=µx 2 σ2 x 2 ν (3) sokrajovýmipodmínkami h(α)= b +bα a h(β)= c cβ.protože(3)je ODE prvního řádu, jsme schopni vyjádřit obecné řešení této rovnice pomocí metody variace konstant a zodpovědět otázku, kdy tato rovnice má řešení vyhovyjícím okrajovým podmínkám(2). Možná volba funkce f (splňující ()a(2))jejakákoliprimitivnífunkcekh.jednatakovámožnávolba fje 2ρ f(x)=2ρ a x + a ln x x +ln x (4) vpřípadě,že ρ:= θ 2, ν= ρσ2 a,kde ξ α = α +b +bα, ξ β= β c ξ β ξ α a = β 2ρ α 2ρ, a = 2ρ ξ β 2ρ β β β β Vpřípadě,že ρ=aν= σ2 2 a,můžemevolit f(x)=a ln x x + a 2 ln2 x x +ln a = ln α α ξ β ln β ln β β ln α α β ξ α α α α α cβ akde 2ρ ξ α 2ρ. (5), kde x (6) ξ β ξ α, a = ln β β ln. α α (7) Protožebychommělimaximalizovathodnotu ν=lim t t ElnY t,jenaším úkolem najít maximum funkce u(α, β)= β β 2ρ 2ρ ξ β [ β 2ρ β α α 2ρ ξ α α α 2ρ] resp. u(α, β)= ξ β ξ α ln β β ln α α
4 7 Petr Dostál podletoho,zda ρ či ρ=,atonajednézmnožin T= {(α, β), < α < β <}resp. T= {(α, β), < α < β </c}resp. T= {(α, β), /d < α < β <}podletoho,zda θ (,)resp. θ (, )resp. θ (,). Věta.Funkce u(α, β)máprávějedenstacionárníbodnamnožině T,který lze charakterizovat následujícími rovnostmi ξ α = θ ω, ξ β = θ+ ω, (8) kde ωje(pokud θ 2 )jedinéřešenírovnice ln +b [ ] c + θln θ+ω ρ θ ω +(θ )ln θ+ω θ ω = (9) na[, θ θ ).Pokud θ= 2,je ωjedinéřešenínásledujícírovnice ln +b c +2ln 2 + ω 2ω 2 ω= 4 (2) ω2 naintervalu[, 2 ).Funkce unabývásvéhomaximana T vtomtostacionárnímbodě.navíc,rozdílmezilevouapravoustranou(9)resp.(2)jena odpovídajícím intervalu ryze monotónní funkce v ω. Poznamenejme, že hodnoty α, β lze následně obdržet ze vzorců α = ξ α /(+b bξ α ), β= ξ β /( c+cξ β ).Nynípředpokládejme,žefunkce unabývá svéhomaximana Tvbodě(α, β).dáledefinujmef(x):= f(x)pro x [α, β], F(x):= C α ln(+bx)pro x ( /b, α),f(x):= C β ln( cx)pro x (β,/c),kde C α, C β jsoukonstantyzvolenétak,abyfunkcefbylaspojitá na intervalu( /b, /c). Věta2.Necht Y t označujetržnícenuportfoliaag t poziciinvestoranatrhu, pak lny t F(G t ) νt (2) je součet supermartingalu a neroustoucího procesu za přepokladu, že zvolenástrategieudržujepozici G t odraženouodextrémníchhodnot /ba/c, a předpokladu, že zvolená strategie nedovolí, aby tržní cena portfolia klesla na nuluvkonečnémčase.navíc,pokudje(2)martingal,paklzeříci,žebyla aplikována strategie[α, β]. Je to zřejmě martingal, pokud je použita strategie[α, β]. Z předchozí věty plyne, že neexistuje rozumná strategie s lepší asymptotikou střední hodnoty logaritmu tržní hodnoty portfolia než má strategie[α, β]. Tatovětanámumožňujedefinovatužitekvčase t nazákladětržníhodnotyportfolia Y t apozice G t pomocí(2).taktodefinovanýsystémužitkůje v čase konzistentní a jako optimální strategii geneuje právě strategii[α, β].
5 Asymptotická analýza strategií obchodování s akcií 7 3 Mocninná užitková funkce Pokudbytransakčnínákladybylynulové,tj. b=c=,pakby γ-nejlepší µ strategieudržovalapozici G t nahodnotě σ 2 ( γ) = θ γ,cožlzenahléhnout znásledujícíhovyjádření Y γ t = Y γ E t exp {γn t },kde N t = µg s 2 σ2 ( γ)g 2 s ds ϑ + (G s )d + G s ϑ (G s )d G s,(22) { t E t =exp γσ G s dw s } 2 γ2 σ 2 G 2 s ds. (23) Vpřípaděnulovýchtransakčníchnákladů ϑ + (G t )=ϑ (G t )=strategie θ [ γ, θ γ ]totiždává { EY γ t = EY γ γ exp µ 2 } { 2 σ 2 ( γ) t = EY γ σ 2 exp γθ 2 } t, (24) 2 γ cožjemenšíneborovnonežstředníhodnota(24)vpřípadě,žebychomuvažovalijakoukolijinouintervalovoustrategii,nebot funkce x µx 2 σ2 ( γ)x 2 µ 2 nabývámaxima 2 σ 2 ( γ) = σ2 θ 2 2 γ vbodě θ γ.tatostrategiejeneobchodující, pokud θ γ =nebo θ γ =,tj.pokud θ =nebo θ = γ. Tyto singulární případy budeme dále vynechávat a zaměříme se na strategie typu[α, β],kde<α<β <,pokud<θ< γ, < α < β </c, pokud γ < θanastrategietypu /d < α < β <,pokud θ <. Nyní máme opět dvě možnosti, jak pokračovat. První cesta vede přes teorie semigrup lineárních operátorů na spojitých funkcích na[α, β] a spočítá ve výpočtu maximální vlastní hodnoty příslušného infinitezimálního generátoru. Jak uvidíme tak i v druhé možnosti se tomuto infinitezimálnímu generátoru nevyhneme a jeho maximální vlastní hodnotu budeme počítat, i když to tak třeba nebude vypadat. Tou druhou možností je nalézt konstantu ν a hladkou funkci f takovou, že Y γ t g(g t )e λt =exp {γ[lny t f(g t ) νt]} (25) jemartingal,kde g(x)=exp{ γf(x)}akde ν= λ/γ.podleitôovyformule stačínajít νa ftak,abyplatilo 2 g (x)s 2 (x)+g (x) B(x)+γg(x) [µx+ 2 ] (γ )σ2 x 2 = λg(x), (26) g +(α)=γ b +bα g(α), c g (β)= γ g(β), (27) cβ kde B(x)=x( x)[µ ( γ)σ 2 x].levástrana(26)uvažovanájakofunkce proměnné x je hodnotou výše uvedeného infinitezimálního generátoru v bodě g semigrupy jejíž maximální vlastní hodnotu hledáme. Podmínka maximality mezi vlastními hodnotami odpovídá požadavku g(x) = exp{ γf(x)}, který zajišt uje, že funkce g nemění znaménko na[α, β].
6 72 Petr Dostál Tento problém je možné řešit více-méně explicitně, nebot máme k dispozici fundamentální systém v explicitním tvaru ρ g,2 (x)= x x γ,pokud λ= σ2 2 ( 2 ρ 2 ) σ2 2 ρ2, resp. g 2 (x)=g (x)ln x x, kde g (x)= x ρ x γ,pokud λ= σ2 2 ρ2. Vtomtopřípadětakjsmeschopniurčitasymptotiku λ=lim t t lney γ t jakoimplicitnífunkci.pokud ρ α = ρ β,kde ρ α := ρ+γξ α a ρ β := ρ+γξ β, platí λ= σ2 ( ρ 2 2 α ρ 2) = σ2 ( ρ 2 2 β ρ 2). (28) Vopačnémpřípadě λ= σ2 2 (D ρ2 ),kde Djejedinéřešenírovnice ln /α /β = ρα ρ β dx x 2 D (29) nar \co {ρ 2 α, ρ2 β },kder =R { }označujejednobodovoukompaktifikacireálnépřímkyaco {ρ 2 α, ρ2 β }označujekonvexníobalmnožiny {ρ2 α, ρ2 β }. Je-li D=,jepravástrana(29)tvaru/ρ β /ρ α.je-li D >,jepravá strana(29) rovna 2 ln +ρ β ρ β ρ α +ρ α, kde 2 = D. (3) Pokud D <,lzepravoustranu(29)zapsatvetvaru [ ( ρα ) ( ρβ )] arctg arctg, kde a 2 = D. (3) a a a Vevšechpřípadechlzepsát 2 = D,kde Rresp. i R.Pokud ρ α = ρ β =:,je g:= g hledanéřešení(26)a(27)kladnéna[α, β].pokud ρ α ρ β a(29)platípro D=,pakmámekladnéřešení(26)a(27)na[α, β] ve tvaru g(x)=g (x) /α +ln ρ α /x = g (x) /β +ln ρ β /x. (32) Pokud ρ α ρ β a(29)platípronějaké D= 2 >,pakjednozkladných řešení(26)a(27)na[α, β]jetvaru g(x)=g (x) ψ+ x 2,kde ψ= α = ρ α β 2 +ρ α 2 +ρ β ρ β. (33)
7 Asymptotická analýza strategií obchodování s akcií 73 Pokud ρ α ρ β a(29)platípronějaké D= a 2 <,mámekdispozici kladnéřešení(26)a(27)na[α, β]vetvaru ρ ( ) g(x)= x x γ 2sin ϕ aln x, kde (34) ϕ=aln α ( +arccotg ρα ) = aln a β ( +arccotg ρβ ). (35) a Věta3.Funkce λ(α, β)jespojitána T anatétomnožiněmáprávějeden stacionární bod, který lze charakterizovat následujícími rovnostmi ξ α = θ ω γ, ξ β= θ+ ω γ, (36) kde ωjejedinéřešenírovnice L(ω)=P(ω)na[, θ θ γ ),kde L(ω):=ln θ+ω θ γ+ ω θ ω θ γ ω +ln+d c, P(ω):= 2 +ω dx 2 ω x 2 D(ω), kde D(ω):= ρ 2 + γ γ (θ2 ω 2 ).Navíc,funkce λ=λ(α, β)nabýváminima v tomto stacionárním bodě. Dále rozdíl L(ω) P(ω) je ryze monotónní funkce na takových intervalech, na kterých je tato funkce spojitá. Pokud D(ω) >,lzefunkci P(ω)počítatpodlevzorce P(ω):= 2 D(ω) ln 2 ω+ D(ω) 2 + ω+ D(ω) P(ω):= D(ω) [arccotg 2 + ω D(ω) 2 ω D(ω), resp. ( 2 ω D(ω) ) arccotg vpřípadě,že D(ω) <,resp. P(ω)= 2ω 4 ω2,pokud D(ω)=. ( 2 + ω )] D(ω) Nynípředpokládejme,žefunkce λnabývásvéhominimana T vbodě (α, β).definujmedálef(x):= f(x)= γlng(x)pro x [α, β],f(x) := D α ln(+bx)pro x ( /b, α),f(x):= D β ln( cx)pro x (β,/c), kdekonstanty D α, D β jsouzvolenytak,abyfunkcefbylaspojitánaintervalu ( /b, /c). Konečně položme G(x):=exp{ γf(x)}. (37) Věta4.Necht Y t jetržnícenaportfoliaag t jepoziceinvestoranatrhu, pak Y γ t G(G t)e λt =exp {γ[lny t F(G t ) νt]}, (38) kde ν = λ/γ, je součet submartingalu a neklesajícího procesu za předpokladu, žestrategieobchodováníudržujepozici G t odraženouodkrajníchhodnot /b
8 74 Petr Dostál a/capokudzaručuje,žetržnícenaportfolia Y t neklesnenanuluvkonečném čase. Pokud je proces(38) martingal, lze říci, že byla aplikována strategie[α, β]. Proces(38) je zřejmě martingal, pokud je použita strategie[α, β]. Podobně jako v případě logaritmické užitkové funkce z této věty plyne, že neexistuje rozumná strategie s lepším asymptotickým chováním středního užitku než je strategie[α, β], měříme-li asymptotický užitek z tržní hodnoty portfoliapomocífunkce U γ (x).opětmůžemedefinovatužitekvčase tna základě Y t a G t pomocí γ (38)zapředpokladu,ženášcíljemaximalizovat asymptotikckéchování EU γ (Y t ).Mohlibychomtakéříci,žeužitekjeroven hodnotě lny t F(G t ) νt, (39) ale ne ve smyslu maximalizace očekávaného užitku, ale ve smyslu minimalizace střední hodnoty exponenciely z γ-násobku takovéhoto druhu užitku. 4 Nenulováúrokovámíraazměnačasu Necht Z t označujetržnícenuakcievčase t.označme X t diskontovanoutržní cenuakcie X t = e rt Z t,kde rjekonstantníúrokovámíra.předpokládejme dále,že dz t = κz t dt+z t σ dw t.pak dx t = µx t dt+σx t dw t, kde µ:= κ r.definujeme-li Y t jakodiskontovanoutržnícenuportfolia,můžemepoužít předchozí výsledky k tomu, abychom odvodili optimální strategie pro tento případ, nebot kritéria optimality jsou invariantní vzhledem k diskontování. Poznámka ke změně času Rozšířená optimalita odvozených strategií je založena na větách, které říkají, že nějaké procesy jsou martingaly, pokud použijeme odvozené strategie, zatímco jsou obecně jen super/sub-martingaly +/ nerostoucí proces, pokudseomezímenastrategieudržujícípoziciinvestora G t odraženouod extrémních hodnot /b a /c. Tento druh optimality je stabilní v případě logaritmické užitkové funkce vzhledem k jakékoli rozumné změně času, tj. vzhledem k takovým transformacím času, které neporuší(sub,super)-martingalovou vlastnost našich (sub,super)-martingalů. Zatímco v případě mocninných užitkových funkcí je tato optimalita stabilní vzhledem k deterministickým změnám času v modelu. Reference [] Janeček K., Shreve S.E.(24). Asymptotic analysis for optimal investment and consumption with transaction costs. Fin.&Stochas. 8, [2] Shreve S., Soner H.M.(994). Optimal investment and consumption with transaction costs. Ann. Applied Probab. 4, Poděkování: Účast na této konferenci byla umožněna na základě podpory z grantu GA ČR 2/3/27 a výzkumného záměru MSM 328. Adresa:P.Dostál,KPMS,MFFUK,Sokolovská83,Praha8-Karlín dostal@karlin.mff.cuni.cz
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceOptimální řízení pro geometrický Brownův pohyb
1/39 Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb Lenka Slámová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Stochastické modelování v ekonomii a
VíceMatematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Vícex 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceOhraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je. Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů):
Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je matice 2. parc. derivací L vzhledem k λ λ r x x n v tomto pořadí: g 0 0 g x n g 0 0 2 g 2 x n g 0 0 r g x HB = r x n g g r 2 L 2 L. x 2 x x n g g x 2 r
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceDerivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceStochastické diferenciální rovnice
KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto
VíceLorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice
Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice Zadání 1. Určete infinitezimální generátor Lorentzovy transformace X = ξ x x, t) + ξt x, t) 1). Řešením systému obyčejných diferenciálních rovnic
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceMartin Chudoba. Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK. dluhopisů pomocí. Black-Scholesova modelu. M.Chudoba.
Martin Chudoba s Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK 18.10.2010 Uvažujeme bezkupónový dluhopis vyplácející jednotku v čase T Za předpokladu konstantní úrokové míry r pro
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019
Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceImplicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?
Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceOBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více