Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat."

Transkript

1 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci souču a součinu funkcí nám v kapiolách a umožnily naléz vzorce, resp meody pro výpoče někerých neurčiých inegrálů V éo kapiole pro výpoče využijeme věu o derivaci složené funkce Pomocí ní získáme věu, kerá nám poskyne jednu z nejdůležiějších a nejčasěji používaných meod inegrování subsiuční meodu Připomínáme, že neeisuje univerzální návod, kdy subsiuční meodu použí, ani jakou subsiuci zvoli Doporučujeme pečlivě prosudova uo kapiolu a propočía si řešené úlohy Důležié je získa zkušenosi se subsiuční meodou samosaným řešením věšího množsví příkladů Cíle Seznámíe se s principem inegrace subsiuční meodou a se základními ypy inegrálů, keré lze ouo meodou vypočía Předpokládané znalosi Předpokládáme, že znáe pojem primiivní funkce k dané funkci, znáe základní inegrály uvedené v abulce a umíe vypočía jednoduché inegrály úpravou inegrované funkce (inegrandu) Bude užíváno pravidlo pro výpoče derivace složené funkce, diferenciálu funkce jedné proměnné a inverzní funkce Výklad Velmi časo se vyskyují inegrály ypu ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d nebo inegrály, keré se dají na eno var upravi Teno var má například inegrál sin( + ) d V omo případě je f ( u) = sinu, = ϕ( ) = +, a edy u = ϕ ( ) = u Všimněe si, že inegrovaná funkce má yo vlasnosi: - Je součinem dvou funkcí f ( ( ) ) ϕ a ϕ ( ) - 9 -

2 4 Inegrace subsiucí - První z nich je složená funkce s vnější funkcí f a vniřní funkcí ϕ Druhá je derivací vniřní funkce Předpokládejme, že funkce f ( u ) je spojiá na inervalu ( α, β ) a funkce u = ϕ( ) má derivaci ϕ ( ) na inervalu ( ab, ), a nechť pro každé ( ab, ) plaí ϕ( ) ( αβ, ) (funkce ϕ ( ) zobrazuje inerval ( ab, ) do inervalu ( α, β ) ) Proože funkce f ( u ) je spojiá na inervalu ( α, β ), má na něm spojiou primiivní funkci Fu ( ), akže plaí f ( u) = F ( u) Funkce Fu ( ) je na uvedeném inervalu složenou funkcí F( ϕ ), edy pro derivaci složené funkce plaí: [ ] F( ϕ( )) = F ( u) ϕ ( ) = f( u) ϕ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) To znamená (podle definice ), že funkce F( ϕ ( )) je primiivní funkcí k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) a edy f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ ( )) = F( u) = f ( u) du Získaný výsledek zformulujeme ve věě: Věa 4 (Inegrování subsiuční meodou ϕ ( ) = u ) Nechť Fu ( ) je primiivní funkce ke spojié funkci f ( u ) na inervalu ( α, β ) Nechť má funkce u = ϕ( ) derivaci ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) a nechť pro každé ( ab, ) plaí ϕ( ) ( αβ, ) Poom je funkce F( ϕ ( )) primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) Tedy plaí f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du Poznámka Vzorec ve věě 4 si zapamaujeme velmi snadno V inegrálu f ( ϕ( )) ϕ ( ) d položíme u = ϕ( ) (provedeme subsiuci) Diferencováním dosaneme du = ϕ ( ) d Takže za výraz ϕ ( ) d v daném inegrálu můžeme formálně dosadi du - 0 -

3 Tvrzení věy 4 můžeme přehledně shrnou: Subsiuce ypu ϕ ( ) = u f ϕ( ) ϕ ( ) d Máme vypočía inegrál ypu ( ) Jsou-li splněny předpoklady věy 4, položíme (provedeme subsiuci) ϕ ( ) = u Diferencováním éo rovnice dosaneme ϕ ( ) d = du Daný inegrál edy převedeme na var f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) d u Posup bude úspěšný, pokud umíme vypočía inegrál f ( u) du 4 Inegrace subsiucí Řešené úlohy Příklad 4 Vypočěe inegrál sin( + ) d Je zřejmé, že pro všechna (, ) je d diferenciál funkce + Proo položíme u = + = ϕ( ), a edy du = d = ϕ ( ) d Funkce f ( u) = sin u je spojiá pro všechna u (, ) a má na omo inervalu primiivní funkci Fu ( ) = cosu Jsou splněny předpoklady věy 4, proo plaí: sin( + ) d = sin udu = cos u + C = cos( + ) + C Příklad 4 Vypočěe inegrál sin cos d Je zřejmé, že pro všechna (, ) je cos d diferenciál funkce sin Proo položíme u = sin, poom du = cos d 4 4 u sin sin cos d= u= sin = u du= + C = + C 4 4 du = cos d Příklad 4 Vypočěe inegrál f ( a + b) d pro a 0, (vzorec [6] v abulce ) - -

4 4 Inegrace subsiucí O planosi vzorce [6] v abulce jsme se mohli snadno přesvědči derivováním Ke sejnému výsledku můžeme dospě subsiucí Je-li funkce f ( u ) spojiá na inervalu ( α, β ), má na něm spojiou primiivní funkci Fu ( ) Vniřní funkce u = ϕ( ) = a+ b má na inervalu (, ) nenulovou derivaci ϕ ( ) = a pro a 0, a proo f ( a + b) d = f ( a + b) a d = u = a + b = f ( u) du = F( u) + C = F( a + b) + C a a a du = ad a Podle ohoo vzahu dosáváme: d = ln C ( a + b = + 7= u a + 5 f( u) = ), u 5 4 ( ) 5 ( ) d = + C = ( ) + C ( a + b = + = u a 5 0 e d= e + C ( a b u a + = = f ( u) = e ) u f ( u) 4 = u ), Příklad 44 Vypočěe inegrál 5+ d u 5+ d= u = 5+ = 5+ d= u du = + C = u + C du = d = ( ) = C Příklad 45 Vypočěe inegrál cog d cog cog cosu d = u = = d = cogu du = du = = sinu = sin u d = cosudu du = d = d = ln + C = ln sinu + C = ln sin + C - -

5 4 Inegrace subsiucí Míso druhé subsiuce bylo možno přímo použí vzorec [] v abulce Příklad 46 Vypočěe inegrál sin d Při výpoču inegrálu sin d se musíme omezi na nějaký inerval, v němž se sin nikdy nerovná nule (pro jednoduchos např na (0, π ) ) Pro úpravu inegrandu použijeme vzah sin α = sinαcosα d = d = u = = du = du sin sin cos sin u sin cos u u cos u cosu du = d = π = du pro u (0, ) gucos u Jelikož Dosaneme cos u je derivace funkce gu, provedeme subsiuci = gu (edy > 0 ) d = du = = g u = d = ln + C = ln + C = ln g u C sin gucos u du d = cos u + = = ln g + C Výklad Podle věy 4 jsme inegrál ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d subsiucí ϕ ( ) = u převedli na inegrál f ( u) du V někerých případech je vhodné zvoli opačný posup Máme vypočía inegrál f ( d ) Subsiucí = ϕ() (edy d = ϕ () d ) se snažíme eno inegrál převés na inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d, kerý může bý jednodušší Oázkou - -

6 4 Inegrace subsiucí je, zda po nalezení primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) dovedeme nají primiivní funkci k funkci f ( ) Je o možné, pokud vedle předpokladů věy 4 ješě plaí: - funkce ϕ ( ) je na inervalu ( α, β ) ryze monoónní, - pro každé ( α, β ) je ϕ () 0 Za uvedených předpokladů k funkci = ϕ( ), ( α, β ) eisuje inverzní funkce ϕ = ( ) = ψ( ) pro ( ab, ) a ao inverzní funkce má derivaci ψ ( ) = ϕ () Je-li G () primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( α, β ), pak plaí G () = f( ϕ()) ϕ () Složená funkce F( ) = G( ψ ( )) definovaná na inervalu ( ab), je na omo inervalu primiivní funkcí k funkci f ( ), proože podle věy o derivaci složené funkce plaí: F ( ) = G ( ) ψ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) = f( ϕ( )) = f( ) ϕ () Získaný výsledek zformulujeme ve věě: Věa 4 (Inegrování subsiuční meodou = ϕ( ) ) Nechť funkce = ϕ( ) zobrazující inerval ( α, β ) na inerval ( ab, ) je rosoucí, popř klesající, na inervalu ( α, β ) a má am spojiou derivaci ϕ ( ) 0 a nechť funkce = ψ ( ) je inverzní funkce k funkci = ϕ( ) na inervalu ( ab, ) Je-li f ( ) spojiá funkce na inervalu ( ab, ) a je-li G ( ) primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( α, β ), poom pro všechna ( ab, ) plaí f ( d ) = f( ϕ()) ϕ () d= G () + C= G( ψ( )) + C Tvrzení věy 4 můžeme přehledně shrnou: Subsiuce ypu = ϕ() d Máme vypočía inegrál ypu f ( ) Jsou-li splněny předpoklady věy 4, položíme (provedeme subsiuci) = ϕ() Diferencováním éo rovnice dosaneme d = ϕ () d Daný inegrál edy převedeme na var - 4 -

7 4 Inegrace subsiucí f ( d ) = f( ϕ ( )) ϕ ( ) d Posup bude úspěšný, pokud umíme vypočía inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Poznámka Při výpoču inegrálů subsiuční meodou obvykle počíáme podle vzorce z věy 4 nebo 4, dokud nenalezneme primiivní funkci Obvykle eprve poom zkonrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použié věy O správnosi výsledku se můžeme snadno přesvědči derivováním nalezené primiivní funkce Řešené úlohy Příklad 47 Vypočěe inegrál 4 d Funkce = je spojiá pro (,) Zavedeme subsiuci = sin, f ( ) 4 d = cos d Je však nuno omezi proměnnou ak, aby bylo možno naléz funkci inverzní π = arcsin Pro (0, ) bude (0,) a funkce ϕ ( ) = sin bude mí rosoucí nenulovou derivaci ϕ () = cos Dosaneme 4 d = = sin = 4 4sin cos d = 4 sin cos d = d = cos d + cos = 4 cos d= 4 d= (+ cos ) d = sin = + + C = + sin cos+ C = + sin sin + C = 4 = arcsin + + C = arcsin + + C Při výpoču jsme použili vzorce α + cosα cos = a sin α = sinαcosα - 5 -

8 4 Inegrace subsiucí π Analogický výsledek bychom dosali pro (,0), kdy (,0) Příklad 48 Vypočěe inegrál sin d Inegrovaná funkce je definována pro < 0, ) Provedeme subsiuci =, abychom odsranili odmocninu v inegrandu Ze subsiuce vyplývá, že = nebo = Zvolíme =, akže je z inervalu (0, ) Dosaneme sin d = = = sin d d = d Získaný inegrál řešíme meodu per pares podobně jako příklad : u = sin v= sin d = = ( cos+ cos d) = ( cos+ sin ) C u = cos v = + = = (sin cos ) + C Sami vyzkoušeje, že pro volbu = j (,0) dosaneme sejný výsledek Příklad 49 Vypočěe inegrál d + Funkce + je spojiá pro (, ) Položíme (0, π ) klesající a zobrazuje eno inerval na inerval (, ) = cog Funkce co g je pro d = = cog = d = = cog sin + sin cos sin + + d = d sin sin d sin = d = d sin sin, neboť pro (0, π ) je sin > 0 Dosali jsme inegrál, kerý jsme řešili v příkladu

9 4 Inegrace subsiucí d = ln g + C = ln g arccog C sin + Poznámka Pokud zadáme inegrál nějakému maemaickému programu (např Derive, Maple, Mahemaica), získáme výsledek + + Na první pohled se zdá, že se jedná o úplně ln( ) jinou funkci Derivováním se však snadno přesvědčíme, že výsledek je správný Znamená o, že programy použily jinou meodu výpoču, než jsme uvedli my V lierauře [9] lze naléz posup, jak převés jeden výsledek na druhý Druhé řešení můžeme dosa následujícím posupem: Provedeme subsiuci + = Po umocnění uvedené rovnice snadno vypočeme = a edy Dosazením do inegrálu dosaneme: d ( + ) = d = d = ln + C = ln + C d = d 4 Jelikož je výsledek + + > 0, dosaneme ln + + = ln( + + ), což je hledaný Poznámka Použiá subsiuce paří mezi Eulerovy subsiuce použielné při výpoču složiějších inegrálů z racionální funkce, kerá navíc obsahuje výraz ypu naleznee v lierauře [6], [9], [4], [7] a + b + c Podrobnější informace Příklad 40 Vypočěe inegrál d + Funkce + je definována pro < 0, ) Ve funkci se vyskyují mocniny, Zavedeme subsiuci k = ak, abychom odsranili všechny odmocniny ve výrazu - 7 -

10 4 Inegrace subsiucí V našem případě bude k nejmenší společný násobek čísel a Pro 6 = bude = a = Analogicky jako v příkladu 48 budeme voli = 6 pro < 0, ) d = = = 6 d = 6 d = 6 ( :( + ) ) d = d = 6 d = d = arcg + C = = arcg 6 + C 7 5 Konrolní oázky Uveďe princip subsiuční meody Kdy a za jakých podmínek použijeme subsiuci ypu ϕ ( ) = u? Kdy a za jakých podmínek použijeme subsiuci ypu = ϕ()? sin 4 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? cos 5 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu cos sin d? 6 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 7 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? d? a) Úlohy k samosanému řešení d) + d b) d e) d ( + 4) 6 4 d + 5 d f) 7 d 4 ln a) d b) cos sin d cos sin d) e sin d e) d + cos f) g d cos ln d ln - 8 -

11 4 Inegrace subsiucí a) d) g d b) arcg d + e) e d e arcg e d f) + e sin sin + d sin cos d 4 sin + cos 4 a) d) 4+ 9 d b) d e) ln ln d arccos d f) ( g ) ln d sin cos arcg d a) d) d 6 b) d e) d + cos d f) ( ) d d 9 + d Výsledky úloh k samosanému řešení 4 C a) ( ) ; b) ( ) C 9 8 C + C ; ; ( ) ; d) ( ) e) ln 5 + C ; f) ( ) 7 + C a) ln 5 + C ; b) g + C ; d) e cos +C ; e) + cos + C ; f) a) ln cos + C ; b) ( ) ln + arcg + C ; e) d) ( ) 4 a) arcg ln e) arccos cos 4 + C ; 4 ln ln + C e + C; ln ( sin + ) + C ; arcg + C ; b) ( ln ) C + C; f) b) 4 4ln( ) e + ; ( ) arcg 4 + C; f) ( ) cos + sin 4 + C ln g + +C; + C ; d) ln arcsin + C ; C 5 a) 6 + 6ln( + ) + C; + arcg + C ; - 9 -

12 4 Inegrace subsiucí d) 9 9 arcsin + + C ; e) ( sin ) cos sin + + C; f) ln g arccog + C Konrolní es Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu d? ln a) =, b) ln =, ln =, d) ln = Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) cos =, b) sin =, cos =, d) sin = Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) =, b) =, 4 =, d) 4 = 4 Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) e =, b) e =, sin cos d? d + 4? e? e + e =, d) e + = 5 Vypočěe neurčiý inegrál ( + ) e d C ) a) e, b) ( + e e + C, e C, d) e 4 5 C

13 4 Inegrace subsiucí 6 Vypočěe neurčiý inegrál d 9 a) arcs in + C, b) ln arcsin + C, arcsin + C, d) 9 ln 7 Vypočěe neurčiý inegrál d cos g a) g + C, b) g + g + C, ln g + C, d) g + C 8 Čemu se rovná neurčiý inegrál d? + a) ( ) + + C, b) ( ) C, ( ) ln C, d) 9 Čemu se rovná neurčiý inegrál a) sin sin + C, b) ( ) C cos d? sin + sin + C, sin + C, d) sin + + C 0 Čemu se rovná neurčiý inegrál e a) ln ( e + 4) +C, b) arcg e d? e + 4 e e e arcg + C, d) arcg + C, + C Výsledky esu b); a); d); 4 b); 5 d); 6 ; 7 a); 8 b); 9 a); 0 d) - 4 -

14 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Pokud jse správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračuje další kapiolou V opačném případě je řeba prosudova kapiolu 4 znovu a propočía další úlohy k samosanému řešení Shrnuí lekce Při výpoču inegrálů je časo používána subsiuční meoda Subsiuční meodou lze řeši dva ypy úloh V prvním ypu inegrálů se snažíme inegrand upravi na dva činiele, z nichž jeden je složenou funkcí proměnné s vniřní funkcí ϕ ( ) a druhý je derivací éo funkce ϕ ( ) Tedy se snažíme inegrál upravi na var f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Jesliže nyní položíme ϕ ( ) = u, je ϕ ( ) d = du a daný inegrál převedeme na inegrál f ( u) du Méně časo používáme druhý yp subsiuce Inegrál f ( ) d lze někdy subsiucí = ϕ(), a edy d = ϕ () d, převés na jednodušší inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Uvedené meody budou úspěšné, pokud umíme vypočía nové inegrály Teno posup lze realizova, pokud jsou splněny podmínky uvedené ve věách v éo kapiole Při výpoču inegrálů subsiuční meodou obvykle počíáme formálně podle uvedených vzahů, dokud nenalezneme primiivní funkci Obvykle eprve poom zkonrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použié věy O správnosi výsledku se můžeme snadno přesvědči derivováním nalezené primiivní funkce Úspěch při inegrování subsiuční meodou závisí na obranosi a zkušenosi, abychom dopředu viděli, na jaký inegrál určiou subsiucí upravíme původní inegrál, případně jak inegrál upravi, abychom v inegrované funkci viděli var f ( ϕ( )) ϕ ( ) V někerých případech můžeme inegrál řeši pomocí různých subsiucí - 4 -

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()

Více

Diferenciální rovnice 1. řádu

Diferenciální rovnice 1. řádu Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

x udává hodnotu směrnice tečny grafu

x udává hodnotu směrnice tečny grafu Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y

DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y Předmě: Ročník: Vvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr Tomáš MAŇÁK 5 srpna Název zpracovaného celku: DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE je monoónní na celém svém deiničním oboru D

Více

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle Obyčejné diferenciální rovnice Jiří Fišer LS 2014 1 Úvodní moivační příklad Po prosudování éo kapioly zjisíe, k čemu mohou bý diferenciální rovnice užiečné. Jak se pomocí nich dá modelova prakický problém,

Více

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů: . Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.

Více

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované. finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie

Více

1.6. Integrace goniometrických funkcí

1.6. Integrace goniometrických funkcí Maemaika II.6. Inegrace goniomerických funkcí.6. Inegrace goniomerických funkcí Průvodce sudiem V éo kapiole se budeme podrobněji zabýva inegrací funkcí, keré jsou složené z goniomerických funkcí. Takové

Více

Využijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je.

Využijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

Pasivní tvarovací obvody RC

Pasivní tvarovací obvody RC Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav

5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav 5. Využií elekroanalogie při analýze a modelování dynamických vlasnosí mechanických sousav Analogie mezi mechanickými, elekrickými či hydraulickými sysémy je známá a lze ji účelně využíva při analýze dynamických

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

14. Soustava lineárních rovnic s parametrem

14. Soustava lineárních rovnic s parametrem @66 4. Sousava lineárních rovnic s aramerem Hned úvodem uozorňuji, že je velký rozdíl mezi sousavou rovnic řešenou aramerizováním, roože má nekonečně mnoho řešení zadaná sousava rovnic obsahuje jen číselné

Více

Schéma modelu důchodového systému

Schéma modelu důchodového systému Schéma modelu důchodového sysému Cílem následujícího exu je názorně popsa srukuru modelu, kerý slouží pro kvanifikaci příjmové i výdajové srany důchodového sysému v ČR, a o jak ve varianách paramerických,

Více

2.2.2 Měrná tepelná kapacita

2.2.2 Měrná tepelná kapacita .. Měrná epelná kapacia Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud necháe sudeny počía příklady samosaně, nesihnee hodinu za 45 minu. Můžee využí oho, že následující hodina je aké objemnější a použí pro

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK Vzhledem ke skuečnosi, že způsob modelování elasomerových ložisek přímo ovlivňuje průběh vniřních sil v oblasi uložení, rozebereme v éo kapiole jednolivé možné

Více

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY 5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ UNVERZTA V LBERC Fakula mecharoniky, informaiky a mezioborových sudií Cvičení č3 k ředměu ELMO Přírava ke cvičení ng Jiří Primas, ng Michal Malík Liberec Maeriál vznikl v rámci rojeku ESF (CZ7//747)

Více

Vliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace

Vliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace XXVI. ASR '2 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, April 26-27, 2 Paper 2 Vliv funkce příslušnosi na průběh fuzzy regulace DAVIDOVÁ, Olga Ing., Vysoké učení Technické v Brně, Fakula srojního inženýrsví,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

4. Gomory-Hu Trees. r(x, z) min(r(x, y), r(y, z)). Důkaz: Buď W minimální xz-řez.

4. Gomory-Hu Trees. r(x, z) min(r(x, y), r(y, z)). Důkaz: Buď W minimální xz-řez. 4. Gomory-Hu Tree Cílem éo kapioly je popa daovou rukuru, kerá velice kompakně popiuje minimální -řezy pro všechny dvojice vrcholů, v daném neorienovaném grafu. Tuo rukuru poprvé popali Gomory a Hu v článku[1].

Více

Analogový komparátor

Analogový komparátor Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací

Více

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují

Více

Úloha VI.3... pracovní pohovor

Úloha VI.3... pracovní pohovor Úloha VI.3... pracovní pohovor 4 body; průměr,39; řešilo 36 sudenů Jedna z pracoven lorda Veinariho má kruhový půdorys o poloměru R a je umísěna na ložiscích, díky nimž se může oáče kolem své osy. Pro

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ K ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC

SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ K ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ..0/.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RNĚ RNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE PRUŽNÉ SPOJKY NA PRINCIPU TEKUTIN FLEXILE COUPLINGS

Více

Hydrostatické váhy. HANA MALINOVÁ Katedra didaktiky fyziky, MFF UK. Princip hydrostatického vážení. Veletrh nápadů učitelů fyziky 14

Hydrostatické váhy. HANA MALINOVÁ Katedra didaktiky fyziky, MFF UK. Princip hydrostatického vážení. Veletrh nápadů učitelů fyziky 14 Velerh nápadů učielů fyziky 4 Hydrosaické váhy HANA MALINOVÁ Kaedra didakiky fyziky, MFF UK V příspěvku bude prezenována eoda hydrosaického vážení, kerá se používá na určování husoy různých aeriálů. Žáci

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI

2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI 2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšném a akivním absolvování éo KAPITOLY Budee umě: orienova se v základním maemaickém aparáu pro eorii spolehlivosi, j. v poču pravděpodobnosi a maemaické saisice,

Více

PLL. Filtr smyčky (analogový) Dělič kmitočtu 1:N

PLL. Filtr smyčky (analogový) Dělič kmitočtu 1:N PLL Fázový deekor Filr smyčky (analogový) Napěím řízený osciláor F g Dělič kmioču 1:N Číače s velkým modulem V současné době k návrhu samoného číače přisupujeme jen ve výjimečných případech. Daleko časěni

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Úloha V.E... Vypař se!

Úloha V.E... Vypař se! Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

1.5.3 Výkon, účinnost

1.5.3 Výkon, účinnost 1.5. Výkon, účinnos ředpoklady: 151 ř. 1: ři výběru zahradního čerpadla mohl er vybíra ze ří čerpadel. rvní čerpadlo vyčerpá za 1 sekundu,5 l vody, druhé čerpadlo vyčerpá za minuu lirů vody a řeí vyčerpá

Více

Tlumené kmity. Obr

Tlumené kmity. Obr 1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující

Více

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi,

Více

Nevlastní integrál. Úvod. Dosud jsme se zabývali Riemannovým integrálem, který je denován pro ohrani enou funkci

Nevlastní integrál. Úvod. Dosud jsme se zabývali Riemannovým integrálem, který je denován pro ohrani enou funkci Nevlsní inegrál Dosud jsme se zbývli Riemnnovým inegrálem, kerý je denován pro ohrni enou funki f() n uzv eném inervlu, b. Teno ur iý inegrál jsme zpisovli ve vru V omo lánku pon kud roz²í íme pojem Riemnnov

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEI VUT BRNO

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEI VUT BRNO FYZIKÁLNÍ PRAKIKUM Úsav fyziky FEI VU BRNO Spolupracoval Příprava Šuranský Radek Opravy méno Ročník 1 Škovran an Předn. skup. B Měřeno dne 5.4. Učiel Sud. skupina 1 Kód 17 Odevzdáno dne 16.5. Hodnocení

Více

Práce a výkon při rekuperaci

Práce a výkon při rekuperaci Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

( ) Základní transformace časových řad. C t. C t t = Μ. Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1

( ) Základní transformace časových řad. C t. C t t = Μ. Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1 Základní ransformace časových řad Veškeré násroje základní korelační analýzy, kam paří i lineární regresní (ekonomerické) modely

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Reologické modely měkkých tkání

Reologické modely měkkých tkání Reologické modely měkkých kání Tomas Mares 1. Úvod Výchozím principem mechaniky měkkých kání (j. kůže, cév, pojivových kání, kání vniřních orgánů, šlach, vazů, chrupavek, sinoviální ekuiny) je reologie.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Kvadratické rovnice a jejich užití

Kvadratické rovnice a jejich užití Kvadraické rovnice a jejich užií Určeno udenům ředního vzdělávání mauriní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní li vyvořil: Mgr. Helena Korejková Období vyvoření VM: proinec 2012 Klíčová

Více

FYZIKA I. Pohyb těles po podložce

FYZIKA I. Pohyb těles po podložce VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJÍ FYZIKA I Pohyb ěles po podložce Prof. RDr. Vilé Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Ar. Dagar Mádrová

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4. ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semesrální práce z předměu KMA/MAB Téma: Schopnos úrokového rhu předvída sazby v době krize Daum: 7..009 Bc. Jan Hegeď, A08N095P Úvod Jako éma pro

Více

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově Skupinová obnova Při skupinové obnově se obnovují všechny prvky základního souboru nebo určiá skupina akových prvků najednou. Posup při skupinové obnově prvky, jež selžou v určiém období, je nuno obnovi

Více

1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x

1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x .cvičení 0..009 Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje lim h 0 f(a + h) f(a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f f(a + h) f(a) (a) := lim. h 0 h

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Popis regulátoru pro řízení směšovacích ventilů a TUV

Popis regulátoru pro řízení směšovacích ventilů a TUV Popis reguláoru pro řízení směšovacích venilů a TUV Reguláor je určen pro ekviermní řízení opení jak v rodinných domcích, ak i pro věší koelny. Umožňuje regulaci jednoho směšovacího okruhu, přípravu TUV

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Maěj Kadavý Lokální gaussovské časy Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Daniel Hlubinka,

Více

Nakloněná rovina I

Nakloněná rovina I 1.2.14 Nakloněná rovina I Předoklady: 1213 Pomůcky: kulička, sada na měření řecí síly. Až dosud jsme se u všech říkladů uvažovali ouze vodorovné lochy. Př. 1: Vysvěli, roč jsme u všech dosavadních říkladů

Více

Spektrum 1. Spektrum 2. Výsledné Spektrum. Jan Malinský

Spektrum 1. Spektrum 2. Výsledné Spektrum. Jan Malinský Jan Malinsý V omo doumenu bude odvozeno sperum vysenuého sinusového signálu pomocí onvoluce ve frevenční oblasi. V časové oblasi e možno eno vysenuý signál vyvoři násobením obdélníového ( V a sinusového

Více

Teorie obnovy. Obnova

Teorie obnovy. Obnova Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi

Více

1.1.9 Rovnoměrný pohyb IV

1.1.9 Rovnoměrný pohyb IV 1.1.9 Rovnoměrný pohyb IV ředpoklady: 118 V jedné z minulých hodin jme odvodili vzah pro dráhu (nebo polohu) rovnoměrného pohybu = v (dráha je přímo úměrná rychloi a čau). ř. 1: Karel a onza e účaní dálkového

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV 3 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6-7 září 2006 Porovnání způsobů hodnocení invesičních projeků na bázi kriéria Dana Dluhošová

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Stochastické modelování úrokových sazeb

Stochastické modelování úrokových sazeb Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo

Více

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Indexy základní, řeězové a empo přírůsku Aleš Drobník srana 1 7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU V kapiole Indexy při časovém srovnání jsme si řekli: Časové srovnání vzniká, srovnáme-li jednu

Více

1.5.1 Mechanická práce I

1.5.1 Mechanická práce I .5. Mechanická ráce I Předoklady: Práce je velmi vděčné éma k rozhovoru: někdo se nadře a ráce za ním není žádná, jiný se ani nezaoí a udělá oho sousu, a všichni se cíí nedocenění. Fyzika je řírodní věda

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

XI-1 Nestacionární elektromagnetické pole...2 XI-1 Rovinná harmonická elektromagnetická vlna...3 XI-2 Vlastnosti rovinné elektromagnetické vlny...

XI-1 Nestacionární elektromagnetické pole...2 XI-1 Rovinná harmonická elektromagnetická vlna...3 XI-2 Vlastnosti rovinné elektromagnetické vlny... XI- Nesacionární elekromagneické pole... XI- Rovinná harmonická elekromagneická vlna...3 XI- Vlasnosi rovinné elekromagneické vlny...5 XI-3 obrazení rovinné elekromagneické vlny v prosoru...7 XI-4 Fázová

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více