Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat."

Transkript

1 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci souču a součinu funkcí nám v kapiolách a umožnily naléz vzorce, resp meody pro výpoče někerých neurčiých inegrálů V éo kapiole pro výpoče využijeme věu o derivaci složené funkce Pomocí ní získáme věu, kerá nám poskyne jednu z nejdůležiějších a nejčasěji používaných meod inegrování subsiuční meodu Připomínáme, že neeisuje univerzální návod, kdy subsiuční meodu použí, ani jakou subsiuci zvoli Doporučujeme pečlivě prosudova uo kapiolu a propočía si řešené úlohy Důležié je získa zkušenosi se subsiuční meodou samosaným řešením věšího množsví příkladů Cíle Seznámíe se s principem inegrace subsiuční meodou a se základními ypy inegrálů, keré lze ouo meodou vypočía Předpokládané znalosi Předpokládáme, že znáe pojem primiivní funkce k dané funkci, znáe základní inegrály uvedené v abulce a umíe vypočía jednoduché inegrály úpravou inegrované funkce (inegrandu) Bude užíváno pravidlo pro výpoče derivace složené funkce, diferenciálu funkce jedné proměnné a inverzní funkce Výklad Velmi časo se vyskyují inegrály ypu ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d nebo inegrály, keré se dají na eno var upravi Teno var má například inegrál sin( + ) d V omo případě je f ( u) = sinu, = ϕ( ) = +, a edy u = ϕ ( ) = u Všimněe si, že inegrovaná funkce má yo vlasnosi: - Je součinem dvou funkcí f ( ( ) ) ϕ a ϕ ( ) - 9 -

2 4 Inegrace subsiucí - První z nich je složená funkce s vnější funkcí f a vniřní funkcí ϕ Druhá je derivací vniřní funkce Předpokládejme, že funkce f ( u ) je spojiá na inervalu ( α, β ) a funkce u = ϕ( ) má derivaci ϕ ( ) na inervalu ( ab, ), a nechť pro každé ( ab, ) plaí ϕ( ) ( αβ, ) (funkce ϕ ( ) zobrazuje inerval ( ab, ) do inervalu ( α, β ) ) Proože funkce f ( u ) je spojiá na inervalu ( α, β ), má na něm spojiou primiivní funkci Fu ( ), akže plaí f ( u) = F ( u) Funkce Fu ( ) je na uvedeném inervalu složenou funkcí F( ϕ ), edy pro derivaci složené funkce plaí: [ ] F( ϕ( )) = F ( u) ϕ ( ) = f( u) ϕ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) To znamená (podle definice ), že funkce F( ϕ ( )) je primiivní funkcí k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) a edy f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ ( )) = F( u) = f ( u) du Získaný výsledek zformulujeme ve věě: Věa 4 (Inegrování subsiuční meodou ϕ ( ) = u ) Nechť Fu ( ) je primiivní funkce ke spojié funkci f ( u ) na inervalu ( α, β ) Nechť má funkce u = ϕ( ) derivaci ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) a nechť pro každé ( ab, ) plaí ϕ( ) ( αβ, ) Poom je funkce F( ϕ ( )) primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) Tedy plaí f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du Poznámka Vzorec ve věě 4 si zapamaujeme velmi snadno V inegrálu f ( ϕ( )) ϕ ( ) d položíme u = ϕ( ) (provedeme subsiuci) Diferencováním dosaneme du = ϕ ( ) d Takže za výraz ϕ ( ) d v daném inegrálu můžeme formálně dosadi du - 0 -

3 Tvrzení věy 4 můžeme přehledně shrnou: Subsiuce ypu ϕ ( ) = u f ϕ( ) ϕ ( ) d Máme vypočía inegrál ypu ( ) Jsou-li splněny předpoklady věy 4, položíme (provedeme subsiuci) ϕ ( ) = u Diferencováním éo rovnice dosaneme ϕ ( ) d = du Daný inegrál edy převedeme na var f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) d u Posup bude úspěšný, pokud umíme vypočía inegrál f ( u) du 4 Inegrace subsiucí Řešené úlohy Příklad 4 Vypočěe inegrál sin( + ) d Je zřejmé, že pro všechna (, ) je d diferenciál funkce + Proo položíme u = + = ϕ( ), a edy du = d = ϕ ( ) d Funkce f ( u) = sin u je spojiá pro všechna u (, ) a má na omo inervalu primiivní funkci Fu ( ) = cosu Jsou splněny předpoklady věy 4, proo plaí: sin( + ) d = sin udu = cos u + C = cos( + ) + C Příklad 4 Vypočěe inegrál sin cos d Je zřejmé, že pro všechna (, ) je cos d diferenciál funkce sin Proo položíme u = sin, poom du = cos d 4 4 u sin sin cos d= u= sin = u du= + C = + C 4 4 du = cos d Příklad 4 Vypočěe inegrál f ( a + b) d pro a 0, (vzorec [6] v abulce ) - -

4 4 Inegrace subsiucí O planosi vzorce [6] v abulce jsme se mohli snadno přesvědči derivováním Ke sejnému výsledku můžeme dospě subsiucí Je-li funkce f ( u ) spojiá na inervalu ( α, β ), má na něm spojiou primiivní funkci Fu ( ) Vniřní funkce u = ϕ( ) = a+ b má na inervalu (, ) nenulovou derivaci ϕ ( ) = a pro a 0, a proo f ( a + b) d = f ( a + b) a d = u = a + b = f ( u) du = F( u) + C = F( a + b) + C a a a du = ad a Podle ohoo vzahu dosáváme: d = ln C ( a + b = + 7= u a + 5 f( u) = ), u 5 4 ( ) 5 ( ) d = + C = ( ) + C ( a + b = + = u a 5 0 e d= e + C ( a b u a + = = f ( u) = e ) u f ( u) 4 = u ), Příklad 44 Vypočěe inegrál 5+ d u 5+ d= u = 5+ = 5+ d= u du = + C = u + C du = d = ( ) = C Příklad 45 Vypočěe inegrál cog d cog cog cosu d = u = = d = cogu du = du = = sinu = sin u d = cosudu du = d = d = ln + C = ln sinu + C = ln sin + C - -

5 4 Inegrace subsiucí Míso druhé subsiuce bylo možno přímo použí vzorec [] v abulce Příklad 46 Vypočěe inegrál sin d Při výpoču inegrálu sin d se musíme omezi na nějaký inerval, v němž se sin nikdy nerovná nule (pro jednoduchos např na (0, π ) ) Pro úpravu inegrandu použijeme vzah sin α = sinαcosα d = d = u = = du = du sin sin cos sin u sin cos u u cos u cosu du = d = π = du pro u (0, ) gucos u Jelikož Dosaneme cos u je derivace funkce gu, provedeme subsiuci = gu (edy > 0 ) d = du = = g u = d = ln + C = ln + C = ln g u C sin gucos u du d = cos u + = = ln g + C Výklad Podle věy 4 jsme inegrál ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d subsiucí ϕ ( ) = u převedli na inegrál f ( u) du V někerých případech je vhodné zvoli opačný posup Máme vypočía inegrál f ( d ) Subsiucí = ϕ() (edy d = ϕ () d ) se snažíme eno inegrál převés na inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d, kerý může bý jednodušší Oázkou - -

6 4 Inegrace subsiucí je, zda po nalezení primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) dovedeme nají primiivní funkci k funkci f ( ) Je o možné, pokud vedle předpokladů věy 4 ješě plaí: - funkce ϕ ( ) je na inervalu ( α, β ) ryze monoónní, - pro každé ( α, β ) je ϕ () 0 Za uvedených předpokladů k funkci = ϕ( ), ( α, β ) eisuje inverzní funkce ϕ = ( ) = ψ( ) pro ( ab, ) a ao inverzní funkce má derivaci ψ ( ) = ϕ () Je-li G () primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( α, β ), pak plaí G () = f( ϕ()) ϕ () Složená funkce F( ) = G( ψ ( )) definovaná na inervalu ( ab), je na omo inervalu primiivní funkcí k funkci f ( ), proože podle věy o derivaci složené funkce plaí: F ( ) = G ( ) ψ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) = f( ϕ( )) = f( ) ϕ () Získaný výsledek zformulujeme ve věě: Věa 4 (Inegrování subsiuční meodou = ϕ( ) ) Nechť funkce = ϕ( ) zobrazující inerval ( α, β ) na inerval ( ab, ) je rosoucí, popř klesající, na inervalu ( α, β ) a má am spojiou derivaci ϕ ( ) 0 a nechť funkce = ψ ( ) je inverzní funkce k funkci = ϕ( ) na inervalu ( ab, ) Je-li f ( ) spojiá funkce na inervalu ( ab, ) a je-li G ( ) primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( α, β ), poom pro všechna ( ab, ) plaí f ( d ) = f( ϕ()) ϕ () d= G () + C= G( ψ( )) + C Tvrzení věy 4 můžeme přehledně shrnou: Subsiuce ypu = ϕ() d Máme vypočía inegrál ypu f ( ) Jsou-li splněny předpoklady věy 4, položíme (provedeme subsiuci) = ϕ() Diferencováním éo rovnice dosaneme d = ϕ () d Daný inegrál edy převedeme na var - 4 -

7 4 Inegrace subsiucí f ( d ) = f( ϕ ( )) ϕ ( ) d Posup bude úspěšný, pokud umíme vypočía inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Poznámka Při výpoču inegrálů subsiuční meodou obvykle počíáme podle vzorce z věy 4 nebo 4, dokud nenalezneme primiivní funkci Obvykle eprve poom zkonrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použié věy O správnosi výsledku se můžeme snadno přesvědči derivováním nalezené primiivní funkce Řešené úlohy Příklad 47 Vypočěe inegrál 4 d Funkce = je spojiá pro (,) Zavedeme subsiuci = sin, f ( ) 4 d = cos d Je však nuno omezi proměnnou ak, aby bylo možno naléz funkci inverzní π = arcsin Pro (0, ) bude (0,) a funkce ϕ ( ) = sin bude mí rosoucí nenulovou derivaci ϕ () = cos Dosaneme 4 d = = sin = 4 4sin cos d = 4 sin cos d = d = cos d + cos = 4 cos d= 4 d= (+ cos ) d = sin = + + C = + sin cos+ C = + sin sin + C = 4 = arcsin + + C = arcsin + + C Při výpoču jsme použili vzorce α + cosα cos = a sin α = sinαcosα - 5 -

8 4 Inegrace subsiucí π Analogický výsledek bychom dosali pro (,0), kdy (,0) Příklad 48 Vypočěe inegrál sin d Inegrovaná funkce je definována pro < 0, ) Provedeme subsiuci =, abychom odsranili odmocninu v inegrandu Ze subsiuce vyplývá, že = nebo = Zvolíme =, akže je z inervalu (0, ) Dosaneme sin d = = = sin d d = d Získaný inegrál řešíme meodu per pares podobně jako příklad : u = sin v= sin d = = ( cos+ cos d) = ( cos+ sin ) C u = cos v = + = = (sin cos ) + C Sami vyzkoušeje, že pro volbu = j (,0) dosaneme sejný výsledek Příklad 49 Vypočěe inegrál d + Funkce + je spojiá pro (, ) Položíme (0, π ) klesající a zobrazuje eno inerval na inerval (, ) = cog Funkce co g je pro d = = cog = d = = cog sin + sin cos sin + + d = d sin sin d sin = d = d sin sin, neboť pro (0, π ) je sin > 0 Dosali jsme inegrál, kerý jsme řešili v příkladu

9 4 Inegrace subsiucí d = ln g + C = ln g arccog C sin + Poznámka Pokud zadáme inegrál nějakému maemaickému programu (např Derive, Maple, Mahemaica), získáme výsledek + + Na první pohled se zdá, že se jedná o úplně ln( ) jinou funkci Derivováním se však snadno přesvědčíme, že výsledek je správný Znamená o, že programy použily jinou meodu výpoču, než jsme uvedli my V lierauře [9] lze naléz posup, jak převés jeden výsledek na druhý Druhé řešení můžeme dosa následujícím posupem: Provedeme subsiuci + = Po umocnění uvedené rovnice snadno vypočeme = a edy Dosazením do inegrálu dosaneme: d ( + ) = d = d = ln + C = ln + C d = d 4 Jelikož je výsledek + + > 0, dosaneme ln + + = ln( + + ), což je hledaný Poznámka Použiá subsiuce paří mezi Eulerovy subsiuce použielné při výpoču složiějších inegrálů z racionální funkce, kerá navíc obsahuje výraz ypu naleznee v lierauře [6], [9], [4], [7] a + b + c Podrobnější informace Příklad 40 Vypočěe inegrál d + Funkce + je definována pro < 0, ) Ve funkci se vyskyují mocniny, Zavedeme subsiuci k = ak, abychom odsranili všechny odmocniny ve výrazu - 7 -

10 4 Inegrace subsiucí V našem případě bude k nejmenší společný násobek čísel a Pro 6 = bude = a = Analogicky jako v příkladu 48 budeme voli = 6 pro < 0, ) d = = = 6 d = 6 d = 6 ( :( + ) ) d = d = 6 d = d = arcg + C = = arcg 6 + C 7 5 Konrolní oázky Uveďe princip subsiuční meody Kdy a za jakých podmínek použijeme subsiuci ypu ϕ ( ) = u? Kdy a za jakých podmínek použijeme subsiuci ypu = ϕ()? sin 4 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? cos 5 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu cos sin d? 6 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 7 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? d? a) Úlohy k samosanému řešení d) + d b) d e) d ( + 4) 6 4 d + 5 d f) 7 d 4 ln a) d b) cos sin d cos sin d) e sin d e) d + cos f) g d cos ln d ln - 8 -

11 4 Inegrace subsiucí a) d) g d b) arcg d + e) e d e arcg e d f) + e sin sin + d sin cos d 4 sin + cos 4 a) d) 4+ 9 d b) d e) ln ln d arccos d f) ( g ) ln d sin cos arcg d a) d) d 6 b) d e) d + cos d f) ( ) d d 9 + d Výsledky úloh k samosanému řešení 4 C a) ( ) ; b) ( ) C 9 8 C + C ; ; ( ) ; d) ( ) e) ln 5 + C ; f) ( ) 7 + C a) ln 5 + C ; b) g + C ; d) e cos +C ; e) + cos + C ; f) a) ln cos + C ; b) ( ) ln + arcg + C ; e) d) ( ) 4 a) arcg ln e) arccos cos 4 + C ; 4 ln ln + C e + C; ln ( sin + ) + C ; arcg + C ; b) ( ln ) C + C; f) b) 4 4ln( ) e + ; ( ) arcg 4 + C; f) ( ) cos + sin 4 + C ln g + +C; + C ; d) ln arcsin + C ; C 5 a) 6 + 6ln( + ) + C; + arcg + C ; - 9 -

12 4 Inegrace subsiucí d) 9 9 arcsin + + C ; e) ( sin ) cos sin + + C; f) ln g arccog + C Konrolní es Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu d? ln a) =, b) ln =, ln =, d) ln = Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) cos =, b) sin =, cos =, d) sin = Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) =, b) =, 4 =, d) 4 = 4 Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) e =, b) e =, sin cos d? d + 4? e? e + e =, d) e + = 5 Vypočěe neurčiý inegrál ( + ) e d C ) a) e, b) ( + e e + C, e C, d) e 4 5 C

13 4 Inegrace subsiucí 6 Vypočěe neurčiý inegrál d 9 a) arcs in + C, b) ln arcsin + C, arcsin + C, d) 9 ln 7 Vypočěe neurčiý inegrál d cos g a) g + C, b) g + g + C, ln g + C, d) g + C 8 Čemu se rovná neurčiý inegrál d? + a) ( ) + + C, b) ( ) C, ( ) ln C, d) 9 Čemu se rovná neurčiý inegrál a) sin sin + C, b) ( ) C cos d? sin + sin + C, sin + C, d) sin + + C 0 Čemu se rovná neurčiý inegrál e a) ln ( e + 4) +C, b) arcg e d? e + 4 e e e arcg + C, d) arcg + C, + C Výsledky esu b); a); d); 4 b); 5 d); 6 ; 7 a); 8 b); 9 a); 0 d) - 4 -

14 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Pokud jse správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračuje další kapiolou V opačném případě je řeba prosudova kapiolu 4 znovu a propočía další úlohy k samosanému řešení Shrnuí lekce Při výpoču inegrálů je časo používána subsiuční meoda Subsiuční meodou lze řeši dva ypy úloh V prvním ypu inegrálů se snažíme inegrand upravi na dva činiele, z nichž jeden je složenou funkcí proměnné s vniřní funkcí ϕ ( ) a druhý je derivací éo funkce ϕ ( ) Tedy se snažíme inegrál upravi na var f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Jesliže nyní položíme ϕ ( ) = u, je ϕ ( ) d = du a daný inegrál převedeme na inegrál f ( u) du Méně časo používáme druhý yp subsiuce Inegrál f ( ) d lze někdy subsiucí = ϕ(), a edy d = ϕ () d, převés na jednodušší inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Uvedené meody budou úspěšné, pokud umíme vypočía nové inegrály Teno posup lze realizova, pokud jsou splněny podmínky uvedené ve věách v éo kapiole Při výpoču inegrálů subsiuční meodou obvykle počíáme formálně podle uvedených vzahů, dokud nenalezneme primiivní funkci Obvykle eprve poom zkonrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použié věy O správnosi výsledku se můžeme snadno přesvědči derivováním nalezené primiivní funkce Úspěch při inegrování subsiuční meodou závisí na obranosi a zkušenosi, abychom dopředu viděli, na jaký inegrál určiou subsiucí upravíme původní inegrál, případně jak inegrál upravi, abychom v inegrované funkci viděli var f ( ϕ( )) ϕ ( ) V někerých případech můžeme inegrál řeši pomocí různých subsiucí - 4 -

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

Schéma modelu důchodového systému

Schéma modelu důchodového systému Schéma modelu důchodového sysému Cílem následujícího exu je názorně popsa srukuru modelu, kerý slouží pro kvanifikaci příjmové i výdajové srany důchodového sysému v ČR, a o jak ve varianách paramerických,

Více

2.2.2 Měrná tepelná kapacita

2.2.2 Měrná tepelná kapacita .. Měrná epelná kapacia Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud necháe sudeny počía příklady samosaně, nesihnee hodinu za 45 minu. Můžee využí oho, že následující hodina je aké objemnější a použí pro

Více

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY 5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos

Více

Analogový komparátor

Analogový komparátor Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací

Více

Úloha VI.3... pracovní pohovor

Úloha VI.3... pracovní pohovor Úloha VI.3... pracovní pohovor 4 body; průměr,39; řešilo 36 sudenů Jedna z pracoven lorda Veinariho má kruhový půdorys o poloměru R a je umísěna na ložiscích, díky nimž se může oáče kolem své osy. Pro

Více

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují

Více

4. Gomory-Hu Trees. r(x, z) min(r(x, y), r(y, z)). Důkaz: Buď W minimální xz-řez.

4. Gomory-Hu Trees. r(x, z) min(r(x, y), r(y, z)). Důkaz: Buď W minimální xz-řez. 4. Gomory-Hu Tree Cílem éo kapioly je popa daovou rukuru, kerá velice kompakně popiuje minimální -řezy pro všechny dvojice vrcholů, v daném neorienovaném grafu. Tuo rukuru poprvé popali Gomory a Hu v článku[1].

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RNĚ RNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE PRUŽNÉ SPOJKY NA PRINCIPU TEKUTIN FLEXILE COUPLINGS

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Úloha V.E... Vypař se!

Úloha V.E... Vypař se! Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace

Více

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi,

Více

Hydrostatické váhy. HANA MALINOVÁ Katedra didaktiky fyziky, MFF UK. Princip hydrostatického vážení. Veletrh nápadů učitelů fyziky 14

Hydrostatické váhy. HANA MALINOVÁ Katedra didaktiky fyziky, MFF UK. Princip hydrostatického vážení. Veletrh nápadů učitelů fyziky 14 Velerh nápadů učielů fyziky 4 Hydrosaické váhy HANA MALINOVÁ Kaedra didakiky fyziky, MFF UK V příspěvku bude prezenována eoda hydrosaického vážení, kerá se používá na určování husoy různých aeriálů. Žáci

Více

1.5.3 Výkon, účinnost

1.5.3 Výkon, účinnost 1.5. Výkon, účinnos ředpoklady: 151 ř. 1: ři výběru zahradního čerpadla mohl er vybíra ze ří čerpadel. rvní čerpadlo vyčerpá za 1 sekundu,5 l vody, druhé čerpadlo vyčerpá za minuu lirů vody a řeí vyčerpá

Více

Práce a výkon při rekuperaci

Práce a výkon při rekuperaci Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava

Více

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semesrální práce z předměu KMA/MAB Téma: Schopnos úrokového rhu předvída sazby v době krize Daum: 7..009 Bc. Jan Hegeď, A08N095P Úvod Jako éma pro

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

Teorie obnovy. Obnova

Teorie obnovy. Obnova Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi

Více

Popis regulátoru pro řízení směšovacích ventilů a TUV

Popis regulátoru pro řízení směšovacích ventilů a TUV Popis reguláoru pro řízení směšovacích venilů a TUV Reguláor je určen pro ekviermní řízení opení jak v rodinných domcích, ak i pro věší koelny. Umožňuje regulaci jednoho směšovacího okruhu, přípravu TUV

Více

Stochastické modelování úrokových sazeb

Stochastické modelování úrokových sazeb Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo

Více

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV 3 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6-7 září 2006 Porovnání způsobů hodnocení invesičních projeků na bázi kriéria Dana Dluhošová

Více

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Indexy základní, řeězové a empo přírůsku Aleš Drobník srana 1 7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU V kapiole Indexy při časovém srovnání jsme si řekli: Časové srovnání vzniká, srovnáme-li jednu

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA

SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA ROBUST 000, 47 56 c JČMF 001 SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA MARTIN ROTKOVSKÝ Absrak. One of he main erms of he risk heory is so called individual model, which describes for example oal aggregae

Více

1.5.1 Mechanická práce I

1.5.1 Mechanická práce I .5. Mechanická ráce I Předoklady: Práce je velmi vděčné éma k rozhovoru: někdo se nadře a ráce za ním není žádná, jiný se ani nezaoí a udělá oho sousu, a všichni se cíí nedocenění. Fyzika je řírodní věda

Více

Návod k obsluze. Vnitřní jednotka pro systém tepelných čerpadel vzduch-voda s příslušenstvím EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1

Návod k obsluze. Vnitřní jednotka pro systém tepelných čerpadel vzduch-voda s příslušenstvím EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 Vniřní jednoka pro sysém epelných čerpadel vzduch-voda EKHBRD011ABV1 EKHBRD014ABV1 EKHBRD016ABV1 EKHBRD011ABY1 EKHBRD014ABY1 EKHBRD016ABY1 EKHBRD011ACV1 EKHBRD014ACV1 EKHBRD016ACV1 EKHBRD011ACY1 EKHBRD014ACY1

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Laboratorní práce č. 1: Pozorování tepelné výměny

Laboratorní práce č. 1: Pozorování tepelné výměny Přírodní vědy moderně a inerakivně FYZIKA 1. ročník šesileého sudia Laboraorní práce č. 1: Pozorování epelné výměny Přírodní vědy moderně a inerakivně FYZIKA 1. ročník šesileého sudia Tes k laboraorní

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ

2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ 2 P ÌmoËar pohyb V roce 1977 vyvo ila Kiy OíNeilov rekord v z vodech dragser. Dos hla ehdy rychlosi 628,85 km/h za pouh ch 3,72 s. Jin rekord ohoo ypu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. p i jìzdï na

Více

Přednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1

Přednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1 Přednáška kurzu MPOV Klasifikáory, srojové učení, auomaické řídění 1 P. Peyovský (email: peyovsky@feec.vubr.cz), kancelář E530, Inegrovaný objek - 1/25 - Přednáška kurzu MPOV... 1 Pojmy... 3 Klasifikáor...

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Unverza Tomáše Ba ve Zlíně ABOATONÍ VIČENÍ EEKTOTEHNIKY A PŮMYSOVÉ EEKTONIKY Název úlohy: Zpracoval: Měření čnného výkonu sřídavého proudu v jednofázové sí wamerem Per uzar, Josef Skupna: IT II/ Moravčík,

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Protipožární obklad ocelových konstrukcí

Protipožární obklad ocelových konstrukcí Technický průvoce Proipožární obkla ocelových konsrukcí Úvo Ocel je anorganický maeriál a lze jí ey bez zvlášních zkoušek zařai mezi nehořlavé maeriály. Při přímém působení ohně vlivem vysokých eplo (nárůs

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů

Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů Proceedings of Inernaional Scienific Conference of FME Session 4: Auomaion Conrol and Applied Informaics Paper 26 Klasifikace, idenifikace a saisická analýza nesacionárních náhodných procesů MORÁVKA, Jan

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací

Více

4.5.8 Elektromagnetická indukce

4.5.8 Elektromagnetická indukce 4.5.8 Elekromagneická indukce Předpoklady: 4502, 4504 důležiý jev sojící v samých základech moderní civilizace všude kolem je spousa elekrických spořebičů, ale zaím jsme neprobrali žádný ekonomicky možný

Více

Metodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržitelnost projektů

Metodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržitelnost projektů OPERAČNÍ PROGRAM ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ EVROPSKÁ UNIE Fond soudržnosi Evropský fond pro regionální rozvoj Pro vodu, vzduch a přírodu Meodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržielnos projeků PŘÍLOHA

Více

2.6.4 Kapalnění, sublimace, desublimace

2.6.4 Kapalnění, sublimace, desublimace 264 Kapalnění, sublimace, desublimace Předpoklady: 2603 Kapalnění (kondenzace) Snižování eploy páry pára se mění v kapalinu Kde dochází ke kondenzaci? na povrchu kapaliny, na povrchu pevné láky (orosení

Více

10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI

10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI 0. Měření rozpylového magneického pole ransformáoru, měření ampliudové permeabiliy A3B38SME Úkol měření 0a. Měření rozpylového magneického pole ransformáoru s oroidním jádrem a jádrem EI. Změře indukci

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE VYTVÁŘENÍ TRŽNÍ ROVNOVÁHY VYBRANÝCH ZEMĚDĚLSKO-POTRAVINÁŘSKÝCH PRODUKTŮ Ing. Michal Malý Školiel: Prof. Ing. Jiří

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

POKUSY S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI Studijní text pro řešitele FO Přemysl Šedivý, gymnázium J. K. Tyla, Hradec Králové. Úvod

POKUSY S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI Studijní text pro řešitele FO Přemysl Šedivý, gymnázium J. K. Tyla, Hradec Králové. Úvod POKUSY S OPEAČNÍMI ZESILOVAČI Sdijní ex pro řešiele FO Přemysl Šedivý, gymnázim J K Tyla, Hradec Králové Úvod Operační zesilovače (OZ) původně vznikly jako složié elekronické obvody pro náročné požií při

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

V EKONOMETRICKÉM MODELU

V EKONOMETRICKÉM MODELU J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

10. ANALOGOVĚ ČÍSLICOVÉ PŘEVODNÍKY

10. ANALOGOVĚ ČÍSLICOVÉ PŘEVODNÍKY - 54-10. ANALOGOVĚ ČÍSLICOVÉ PŘEVODNÍKY (V.LYSENKO) Základní princip analogově - číslicového převodu Analogové (spojié) y se v nich ransformují (převádí) do číslicové formy. Vsupní spojiý (analogový) doby

Více

Hlavní body. Úvod do nauky o kmitech Harmonické kmity

Hlavní body. Úvod do nauky o kmitech Harmonické kmity Harmonické kmiy Úvod do nauky o kmiech Harmonické kmiy Hlavní body Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosi výchylky, rychlosi, zrychlení, Poenciální, kineická a celková energie Princip superpozice

Více

Návrh číslicově řízeného regulátoru osvětlení s tranzistorem IGBT

Návrh číslicově řízeného regulátoru osvětlení s tranzistorem IGBT Návrh číslicově řízeného reguláoru osvělení s ranzisorem IGB Michal Brejcha ČESKÉ VYSOKÉ ČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faula eleroechnicá Kaedra eleroechnologie OBSAH: 0. Úvod... 3. Analýza... 4.. Rozbor sávajícího

Více

Příjmově typizovaný jedinec (PTJ)

Příjmově typizovaný jedinec (PTJ) Příjmově ypizovaný jeinec (PTJ) V éo čási jsou popsány charakerisiky zv. příjmově ypizovaného jeince (PTJ), j. jeince, kerý je určiým konkréním způsobem efinován. Slouží jako násroj k posouzení opaů ůchoových

Více

POPIS OBVODŮ U2402B, U2405B

POPIS OBVODŮ U2402B, U2405B Novodvorská 994, 142 21 Praha 4 Tel. 239 043 478, Fax: 241 492 691, E-mail: info@asicenrum.cz ========== ========= ======== ======= ====== ===== ==== === == = POPIS OBVODŮ U2402B, U2405B Oba dva obvody

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA Přednáška 7 MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA A INTERAKCE S MĚNOVÝM KURZEM (navazující přednáška na přednášku na éma inflace, měnová eorie a měnová poliika) Měnová poliika

Více

(2) Řešení. 4. Platí: ω = 2π (3) (3) Řešení

(2) Řešení. 4. Platí: ω = 2π (3) (3) Řešení (). Načrněe slepý graf závislosi dráhy sojícího člověka na b 2. Na abuli je graf A závislosi rychlosi pohybu rabanu kombi na Vypočěe dráhu, kerou raban urazil v čase od 2,9 s do 6,5 s. 3. Jakou rychlosí

Více

FUNKCE VE FYZICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf

FUNKCE VE FYZICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf FUNKCE VE FYZICE Sudijní ex pro řešiele FO a oaní zájemce o fyziku Mirolava Jarešová Ivo Volf Obah Elemenární funkce na CD ROMu 2 1 Základní pojmy 4 1.1 Pojemfunkce............................ 4 1.2 Graffunkce.............................

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Věstník ČNB částka 16/2004 ze dne 25. srpna 2004

Věstník ČNB částka 16/2004 ze dne 25. srpna 2004 Třídící znak 1 0 6 0 4 6 1 0 ŘEDITEL SEKCE BANKOVNÍCH OBCHODŮ VYHLAŠUJE Ú P L N É Z N Ě N Í OPATŘENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY Č. 2/2003 VĚST. ČNB, KTERÝM SE STANOVÍ MINIMÁLNÍ VÝŠE LIKVIDNÍCH PROSTŘEDKŮ A PODMÍNKY

Více

INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY

INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY Jana Soukopová Anoace Příspěvek obsahuje dílčí výsledky provedené analýzy výdajů na ochranu živoního prosředí z

Více

Studie proveditelnosti (Osnova)

Studie proveditelnosti (Osnova) Sudie provedielnosi (Osnova) 1 Idenifikační údaje žadaele o podporu 1.1 Obchodní jméno Sídlo IČ/DIČ 1.2 Konakní osoba 1.3 Definice a popis projeku (max. 100 slov) 1.4 Sručná charakerisika předkladaele

Více

CZ Štěpán Vimr, student učitelství Zpráva z pracovní návštěvy Sucy-en-Brie, Francie 15.12.-19.12.2008

CZ Štěpán Vimr, student učitelství Zpráva z pracovní návštěvy Sucy-en-Brie, Francie 15.12.-19.12.2008 CZ Šěpán Vimr suden učielsví Zpráva z pracovní návšěvy Sucy-en-Brie Francie 15.12.-19.12.2008 Konaku s učielem-hosielem První (emailové) konaky jsem navazoval se sejnými lidmi což můj poby velmi zjednodušilo

Více

1.1.18 Rovnoměrně zrychlený pohyb v příkladech IV

1.1.18 Rovnoměrně zrychlený pohyb v příkladech IV 8 Rovnoměně ychlený pohyb v příkladech IV Předpoklady: 7 Pedagogická ponámka: Česká škola v současné době budí ve sudenech předsavu, že poblémy se řeší ásadně najednou Sudeni ak mají obovské poblémy v

Více

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU PŘÍKLAD INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních le jsme vložili do abulky 7.1. a) Jaké plodiny paří mezi obiloviny?

Více

SBÍRKA PŘEDPISŮ ČESKÉ REPUBLIKY

SBÍRKA PŘEDPISŮ ČESKÉ REPUBLIKY Ročník 2004 SBÍRKA PŘEDPISŮ ČESKÉ REPUBLIKY PROFIL PŘEDPISU: Tiul předpisu: Nařízení vlády o sanovení podmínek pro zařazení skupin výrobců, zajišťujících společný odby vybraných zemědělských komodi, do

Více

Věstník ČNB částka 25/2007 ze dne 16. listopadu 2007

Věstník ČNB částka 25/2007 ze dne 16. listopadu 2007 Třídící znak 1 0 7 0 7 6 1 0 ŘEDITEL SEKCE BANKOVNÍCH OBCHODŮ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY VYHLAŠUJE ÚPLNÉ ZNĚNÍ OPATŘENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY Č. 2/2003 VĚST. ČNB, KTERÝM SE STANOVÍ PODMÍNKY TVORBY POVINNÝCH MINIMÁLNÍCH

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

ZÁKLADY TEORIE SIGNÁLŮ A SOUSTAV

ZÁKLADY TEORIE SIGNÁLŮ A SOUSTAV VŠB TU Osrava, Fakula elekroechniky a informaiky, Kaedra měřící a řídící echniky ZÁKLADY TEORIE SIGNÁLŮ A SOUSTAV Pavel Nevřiva 007 PŘEDMLUVA Too skripum je věnováno základním meodám, používaným při analýze

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Úloha II.E... je mi to šumák

Úloha II.E... je mi to šumák Úloha II.E... je mi o šumák 8 bodů; (chybí saisiky) Kupe si v lékárně šumivý celaskon nebo cokoliv, co se podává v ableách určených k rozpušění ve vodě. Změře, jak dlouho rvá rozpušění jedné abley v závislosi

Více

Měření výkonnosti údržby prostřednictvím ukazatelů efektivnosti

Měření výkonnosti údržby prostřednictvím ukazatelů efektivnosti Měření výkonnosi údržby prosřednicvím ukazaelů efekivnosi Zdeněk Aleš, Václav Legá, Vladimír Jurča 1. Sledování efekiviy ve výrobní organizaci S rozvojem vědy a echniky je spojena řada požadavků kladených

Více

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s.

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s. PENZIJNÍ PLÁN Allianz ransforovaný fond, Allianz penzijní společnos, a. s. Preabule Penzijní plán Allianz ransforovaného fondu, Allianz penzijní společnos, a. s. (dále jen Allianz ransforovaný fond, obsahuje

Více

KIV/PD. Sdělovací prostředí

KIV/PD. Sdělovací prostředí KIV/PD Sdělovací prosředí Přenos da Marin Šime Orienační přehled obsahu předměu 2 principy přenosu da mezi 2 propojenými zařízeními předměem sudia je přímá cesa, ne omuniační síť ja se přenáší signály

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

Úloha IV.E... už to bublá!

Úloha IV.E... už to bublá! Úloha IV.E... už o bublá! 8 bodů; průměr 5,55; řešilo 42 udenů Změře účinno rychlovarné konvice. Údaj o příkonu naleznee obvykle na amolepce zepodu konvice. Výkon určíe ak, že zjiíe, o kolik upňů Celia

Více

Popis obvodu U2407B. Funkce integrovaného obvodu U2407B

Popis obvodu U2407B. Funkce integrovaného obvodu U2407B ASICenrum s.r.o. Novodvorská 994, 142 21 Praha 4 Tel. (02) 4404 3478, Fax: (02) 472 2164, E-mail: info@asicenrum.cz ========== ========= ======== ======= ====== ===== ==== === == = Popis obvodu U2407B

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

14. Exponenciální a logaritmické rovnice

14. Exponenciální a logaritmické rovnice @148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s.

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s. PEZIJÍ PLÁ Allianz ransformovaný fond, Allianz penzijní společnos, a. s. Preambule Penzijní plán Allianz ransformovaného fondu, Allianz penzijní společnos, a. s. (dále jen Allianz ransformovaný fond ),

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Měrné teplo je definováno jako množství tepla, kterým se teplota definované hmoty zvýší o 1 K

Měrné teplo je definováno jako množství tepla, kterým se teplota definované hmoty zvýší o 1 K 1. KAPITOLA TEPELNÉ VLASTNOSTI Tepelné vlasnosi maeriálů jsou charakerizovány pomocí epelných konsan jako měrné eplo, eploní a epelná vodivos, lineární a objemová rozažnos. U polymerních maeriálů má eploa

Více

Zobrazování černobílých snímků v nepravých barvách

Zobrazování černobílých snímků v nepravých barvách VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

10. Charakteristiky pohonů ve vlastní spotřebě elektrárny

10. Charakteristiky pohonů ve vlastní spotřebě elektrárny 0. Charakeriiky pohonů ve vlaní pořebě elekrárny pořebiče ve V.. ají yo charakeriické vlanoi: Příkon Záběrný oen Doba rvání rozběhu Hlavní okruhy pořebičů klaické konvenční epelné elekrárny jou:. Zauhlování

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více