Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
|
|
|
- Milena Beránková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace na adrese která umožní výpočet integrálu, včetně automatických návrhů, jakou metodu zvolit. c Robert Mařík, 0
2 Obsah Definice neurčitého integrálu 5 Základní vzorce 7 6 (x x + x sinx 3 +ex ) dx tgx dx x + dx x + 4x + 5 x + 5 dx x + 4 dx (x + 6) 3 f (ax+b) dx x + 5 dx x 4x Integrace per-partés 57 c Robert Mařík, 0
3 (x+) lnx dx x sinx dx (x ) sin(x) dx (x + ) sinx dx (x + )e x dx x arctgx dx lnx dx ln x dx x 3 sinx dx (x 3 + x)e x dx c Robert Mařík, 0
4 4 Integrace pomocí substituce. 5 sin(lnx) dx x xe x dx x dx x x+ e dx x + tg 3 x dx x + dx x + + x dx x 5 Další... 9 arcsinx dx c Robert Mařík, 0
5 Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F (x) = f (x) pro všechna x I, () nazývá se funkce F primitivní funkcí k funkci f, nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme f (x) dx = F (x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F (x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. Definice neurčitého integrálu c Robert Mařík, 0
6 Věta (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F (x)+c, kde c R je libovolná konstanta nezávislá na x. Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalui nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c R takové, že F (x) = G(x)+c pro všechna x I. Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e x je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. Definice neurčitého integrálu c Robert Mařík, 0
7 Základní vzorce Věta 3. Nechť f, g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí f (x)+g(x) dx = f (x) dx+ g(x) dx, cf (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Pak f (ax+b) dx = F (ax +b), kde F je funkce primitivní k funkci f na in- a tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax +b I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom f (x) na tomto intervalu platí dx = ln f (x). f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
8 Najděte (x x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
9 Najděte (x x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C Integrál ze součtu je součet integrálů. Integrál násobku funkce je násobek integrálu. Některé funkce je možno přepsat na mocninné funkce. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
10 Najděte (x x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C x n dx = xn+ n+ sinx dx = cosx e x dx = e x Základní vzorce c Robert Mařík, 0
11 Najděte (x x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
12 Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
13 Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Použijeme definici funkce tangens. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
14 Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Platí (cosx) = sinx.čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
15 Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Formálně použijeme vztah (cosx) = sinx, abychom viděli vzorec f (x) dx = ln f (x) +C. f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
16 Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C f (x) dx = ln f (x) +C f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
17 Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
18 Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C Platí (x + 4x+ 5) = x+4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
19 Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C Přepíšeme do tvaru f (x) f (x) dx. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
20 Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C f (x) dx = ln f (x) +C f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
21 Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
22 Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C Derivace jmenovatele je x, v čitateli však není násobek této funkce. f (x) Vzorec dx nelze přímo použít. f (x) Rozdělíme zlomek na dva. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
23 Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
24 Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C f (x) = ln f (x) +C f (x) A +x dx = A arctg x A Základní vzorce c Robert Mařík, 0
25 Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
26 Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C Jedná se o mocninnou funkci. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
27 Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C f (ax +b) dx = F (ax+b), kde F je integrál z f. a V našem případě je f (x) = x 3, F (x) = x a a =. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
28 Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C Upravíme. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
29 Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
30 Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C dx = ln x x f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem případě a =. a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
31 Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 Přepíšeme na mocninnou funkci. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
32 Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C x n dx = n+ xn+ f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem případě a =. a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
33 Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
34 Najděte následující integrály. e x dx = e x x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem případě a =. a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
35 Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C e x dx = e x ( x) dx = ( x) 5 dx 5 = ( x) 4 f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem 4případě a = 3. a = 4( x) +C 4 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
36 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
37 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Upravíme podle vzorce (a+b) : (e x +e x ) = e x + e x e x +e x = e x + +e x Základní vzorce c Robert Mařík, 0
38 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C Integrujemepodle vzorců x x x + dx = + dx = x + x + x + dx e x dx = e x, = x x + ln x + +C dx = x, f (ax+b) dx = a F (ax +b), kde f (x) dx = F (x). Základní vzorce c Robert Mařík, 0
39 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Použijeme vzorec sin(x) = sinx cosx Základní vzorce c Robert Mařík, 0
40 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + Integrujeme podle vzorců x + x + dx = x x + ln x + +C sinx dx = cosx a f (ax+b) dx = a F (ax +b), kde f (x) dx = F (x). Základní vzorce c Robert Mařík, 0
41 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Vzorec sin x = cos(x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
42 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C cosx dx = sinx f (ax+b) = a F (ax+b) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
43 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Potřebujeme vydělit. K tomu je možno převést čitatel na tvar, který později umožní zkrátit. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
44 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C x + x + = x x + + x + = x + x + Základní vzorce c Robert Mařík, 0
45 Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C x n dx = n+ xn+, dx = ln x, x f (ax+b) dx = a f (ax+b) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
46 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
47 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 Zašifrujeme derivaci jmenovatele, tj. výraz (x 4), do čitatele. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
48 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 Musíme upravit zlomek ln x 4x tak, + aby 9 + se zlomky (x ) v prvním + 5 dx a druhém integrálu rovnaly. = ln x 4x arctg x K těmto úpravám použijeme jenom multiplikativní 5 5 aaditivní konstanty (nenadělají moc = velkou neplechu při integraci). ln x 4x arctg x +C 5 5 Přidáním násobku máme ve druhém zlomku v čitateli výraz (x 4) = x. Koeficient u x je v pořádku. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
49 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 (x 4) = x = ln x 4x arctg x +C 5 5 (x 4)+ = x Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
50 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 (x 4) = x ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x (x 4)+ = x = ln x 4x (x 4)++5 = x arctg x 5 arctg x +C 5 5 První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
51 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 Rozdělíme zlomek na dva. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
52 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 f (x) = ln f (x) +C f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
53 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku. x 4x + 9 = x x = (x ) + 5 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
54 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 A +x dx = A arctg x A, kde v našem případě A = 5 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
55 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 f (ax+b) dx = F (ax +b), v našem případě a = a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
56 Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x (x ) + 5 dx = ln x 4x arctg x 5 5 = ln x 4x arctg x +C 5 5 Upravíme. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
57 3 Integrace per-partés Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx, () pokud integrál na pravé straně existuje. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
58 Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx, (3) pokud integrál na pravé straně existuje. Důkaz: (uv) = u v +uv (uv) dx = u v dx + uv dx uv = u v dx + uv dx uv u v dx = uv dx derivace součinu zintegrování a linearita integrálu integrál odstraní derivaci algebraická úprava Integrály typické pro výpočet metodou per-partés. P (x) je polynom. P (x)e αx dx, P (x) sin(αx) dx, P (x) cos(αx) dx, P (x)arctgx dx, P (x)ln m x dx. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
59 Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce per-partés. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 ) dx
60 Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = u = lnx v = x + ( x u = x v = x +x ) ( x x = lnx +x +x dx ( ) x ( ) = +x lnx x + dx ( ) ( ) Integrujeme per-partés pomocí vzorce x = +x lnx x +x u v ( dx = u v ) u v x = +x lnx dx 4 x x +C při u = lnx a v = x +. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 )
61 Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = u = lnx v = x + ( x u = x v = x +x ) ( x x = lnx +x +x dx ( ) x ( ) = +x lnx x + dx ( ) ( ) Integrujeme per-partés pomocí vzorce x = +x lnx x +x u v ( dx = u v ) u v x = +x lnx dx 4 x x +C při u = lnx a v = x +. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 )
62 Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = u = lnx v = x + ( x u = x v = x +x ) ( x x = lnx +x +x dx ( ) x ( ) = +x lnx x + dx ( ) ( ) Integrujeme per-partés pomocí vzorce x = +x lnx x +x u v ( dx = u v ) u v x = +x lnx dx 4 x x +C při u = lnx a v = x +. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 )
63 Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = Roznásobíme závorku. = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + ) = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 dx
64 Vypočtěte (x+) lnx dx Dokončíme integraci. (x+) lnx dx = = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + ) = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 dx
65 Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + ) = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
66 Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
67 Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v při u = x a v = sinx. u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
68 Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v při u = x a v = sinx. u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
69 Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v při u = x a v = sinx. u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
70 Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
71 Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integruje druhou část: cosx dx = sinx Hotovo. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
72 Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c Funkce je součinem polynomu a sinu per-partés. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
73 Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c Integrujeme per-partés pomocí = (x vzorce ) cos(x)+ 4 sin(x)+c u v dx = u v u v dx při u = x a v = sin(x). Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
74 Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx Platí protože = (x ) cos(x)+ sin(x)+c v = v (x) = dx = sin(x) dx = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c cos(x), sinx dx = cosx a f (ax+b) = a F (ax+b). Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
75 Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
76 Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c Vytkneme konstantu ( ) z integrálu. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
77 Vypočtěte (x ) sin(x) dx Platí (x )sin(x) dx = cos(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ sin(x), protože 4 sin(x)+c cosx dx = sinx a f (ax +b) = F (ax +b). a Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
78 Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
79 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
80 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = Funkce je součinem polynomu v = cosx a funkce v = sinus. sinx ( ) Budeme integrovat per-partés = (x + podle ) cosx vzorce + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) u v dx = u v u v dx = ( x ) cosx + x sinx +C při volbě u = (x + ) a v = sinx. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
81 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x ) cosx + x sinx ( cosx) (x + ) = x = ( x ) cosx + x sinx +C sinx dx = cosx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
82 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) u v = ( x dx = ) u v cosx + u x v sinx dx +C Konstantní násobek a znaménko minus dáme před integrál. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
83 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C Ještě jednou integrujeme per-partés. Nyní u = x a v = cosx. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
84 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) x = = ( x ) cosx + x sinx +C cosx dx = sinx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
85 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
86 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) Integrujeme sinus: = ( x ) cosx + x sinx +C sinx dx = cosx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
87 Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = Upravíme. v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
88 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
89 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Integruje součin polynomu a exponenciální funkce. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
90 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x Integrujeme per-partés. ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat. v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Nezapomeňme, že e x dx = e x. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
91 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x Vzorec je. = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
92 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x Opět polynom = (x krát + )e exponenciální x + ( xe x funkce. e x ) = e x (x + x + 3)+C, Opět integrujeme per-partés. Opět derivujeme polynom. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
93 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Vzorec pro červenou část je uv dx = uv u v dx, zbytek zůstane. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
94 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x e x dx = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
95 Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Vytkneme ( e x ). Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
96 Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
97 Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
98 Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. Budeme integrovat metodou per-partés. Budeme integrovat polynom a derivovat arkustangens. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
99 Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x v = x = x arctgx v = x +x dx = x arctgx x +x dx uv dx = uv = x arctgx u v dx ( ) x arctgx +C. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
100 Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x v = x = x arctgx v = x +x dx = x arctgx Musíme integrovat racionální funkci. = x arctgx ( Nejprve provedeme ) dělení: x arctgx +C. x x + = (x + ) = x + x + x + x + = x + x +x dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
101 Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden zlomek. To provedeme pomocí příslušných vzorců. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
102 Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
103 Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C Ve funkci je zašifrovaný součin polynomu a logaritmické funkce: lnx dx. Integrujeme per-partés při volbě u = lnx a v =. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
104 Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C (lnx) = x dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
105 Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C u v dx = u v u v dx Užijeme vztah x x =. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
106 Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
107 Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C Hotovo. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
108 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
109 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x Je zde zašifrován součin = x ln polynomu a druhé mocniny logaritmu. x x lnx + x +C Upravíme funkci ln x na součin () (ln x) a integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v = Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
110 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x (ln = x ln x) = lnx(lnx) = lnx x x lnx + x +C x dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
111 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
112 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Tento trik již známe: Napíšeme funkci lnx jako součin () lnx a integrujeme per-partés při volbě u = lnx a v =. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
113 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln (lnx) = x x lnx + x x +C dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
114 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
115 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Dopočítáme integrál z jedničky. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
116 Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Upravíme. Hotovo. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
117 Najděte x 3 sinx dx. x 3 sinx dx = u = x 3 3x 6x 6 0 v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
118 Najděte x 3 sinx dx. derivace derivace derivace derivace u = x 3 3x 6x 6 0 x 3 sinx dx = integrace integrace integrace integrace v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu. Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. Červená šipka reprezentuje integrování. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
119 Najděte x 3 sinx dx. x 3 sinx dx = u = x 3 3x 6x 6 0 součin součin součin součin v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
120 Najděte x 3 sinx dx. x 3 sinx dx = u = x 3 3x 6x 6 0 v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
121 Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 = v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
122 Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx derivace derivace derivace derivace u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 = integrace integrace integrace integrace v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu. Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. Červená šipka reprezentuje integrování. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
123 Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx = u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 součin součin součin součin v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
124 Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 = v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
125 4 Integrace pomocí substituce. Věta 7. Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(x) má derivaci na intervalu J a platí ϕ(j) = I. Potom na intervalu J platí f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (t) dt, (4) dosadíme-li napravo t = ϕ(x). Schematicky: ϕ(x) = t ϕ (x) dx = dt Věta 8. Nechť f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(t) má nenulovou derivaci na intervalu J a platí ϕ(j) = I. Potom na intervalu I platí f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt, (5) dosadíme-li napravo t = ϕ (x), kde ϕ (x) je funkce inverzní k funkci ϕ(x). Schematicky: x = ϕ(t) dx = ϕ (t) dt Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
126 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
127 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Vnitřní složka je lnx. Derivace funkce lnx je x. Tato derivace,, je v součinu s integrovanou funkcí. x Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
128 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Zavedeme substituci lnx = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
129 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Nalezneme vztah mezi dx a dt. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
130 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Dosadíme substituci. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
131 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Integrujeme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
132 sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Použijeme substituci k návratu k proměnné x a přidáme integrační konstantu. Hotovo. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
133 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
134 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e x. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
135 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Hledáme vztah mezi diferenciály. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
136 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Derivujeme obě strany substituce. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
137 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
138 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
139 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Vypočtěte integrál pomocí vzorce. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
140 Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
141 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
142 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Substituce x 4 +6 = t, nebo x 4 = t, nejsou úplně šikovné, protože vztah mezi diferenciály při této substituci je 4x 3 dx = dt, avšak člen x 3 dx nikde v integrálu není. Člen x dx napovídá, použít substituci x = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
143 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Hledáme vztah mezi diferenciály a vyjádříme z něj výraz x dx. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
144 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Substituce x = t vede k relaci x 4 = (x ) = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
145 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
146 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Užijeme vzorec x +A dx = A arctg x A při A = 4. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
147 Vypočtěte x x dx x x dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Užijeme zpětnou substituci t = x. Hotovo. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
148 Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
149 Vypočtěte x+ e dx x + Vnitřní složka je Výskyt této člene x+ e dx = x + tuto substituci bude snadné. e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x +. Derivace této vnitřní složky je x + = t dx = dt x + dx = dt x + ( x + ) = (x + ) / =. x + x + uvnitř integrálu (a v součinu) napovídá, že provést Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
150 Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Použijeme navrženou substituci. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
151 Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Najdeme vztah mezi diferenciály dx a dt. Dostáváme dx = dt x + a tuto relaci vynásobíme číslem. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
152 Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
153 Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Zintegrujeme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
154 Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Užijeme substituci t = x + k návratu k původní proměnné. Hotovo. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
155 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
156 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Rozepíšeme funkci tgx pomocí funkcí sinx a cosx. Lichá mocnina je i v čitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v čitateli. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
157 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Vytáhneme jednu mocninu funkce sin x z čitatele. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
158 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Sudou mocninu převedeme na funkci cos x. Užijeme identitu sin x + cos x =. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
159 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Dosadíme cosx = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
160 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Nalezneme vztah mezi diferenciály dx a dt. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
161 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Přepíšeme výraz sin x dx do nových proměnných. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
162 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
163 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Upravíme Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
164 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Protože je jmenovatel jednočlenný, stačí vydělit čitatele výrazem t 3. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
165 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Nyní integrujeme pomocí vzorců. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
166 Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Po integraci provedeme návrat k původní proměnné a přidáme integrační konstantu. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
167 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
168 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t = t + ( t + dt = t ) ln t + arctgt +C Člen 3x + je pod odmocninou. Užijeme substituci, která umožní tuto = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C odmocninu odstranit. Budeme dosazovat 3x + = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
169 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Nalezneme vztah mezi dx a dt. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
170 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Vyjádříme dx. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
171 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Vyjádříme proměnnou x. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
172 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Přichystáme si zpětnou substituci. Vyjádříme t pomocí x. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
173 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Provedeme substituci. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
174 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Upravíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
175 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Převedeme na jeden zlomek. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
176 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t = t + ( t + dt = t ln t + arctgt Vydělíme= 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C + )+( t ) t t t + = (t t + = + t t + ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
177 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt 3x + +C ) +C 3x + ln 3x + 3 arctg Získaná funkce je zlomek, který před integrováním rozdělíme na součet zlomku, který má v čitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, který má v čitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
178 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = = = 3x + ln 3x + 3 arctg Integrace je již snadná. Užijeme vztah t t + dt = t t + dt = ln(t + ). t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt 3x + +C ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
179 3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C Roznásobíme závorku a provedeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
180 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Funkce obsahuje odmocninu z lineárního výrazu zavedeme substituci na odstranění odmocniny. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
181 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Výraz pod odmocninou je druhá mocnina nové proměnné. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
182 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = +t t + tdt = t +t t + dt = = + t t + t + dt [ = t+ ] ln t + arctgt Nalezneme vztah mezi diferenciály [ x dx ] = + ln x arctg a dt x +C (x ) = (derivace podle x) (t ) = t (derivace podle t) + t t + dt Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
183 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Nalezneme x a x ze substitučního vztahu. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
184 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Dosadíme podle substituce. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
185 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Odmocníme t a vytkneme konstantu před integrál. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
186 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Převedeme na jeden zlomek násobíme čitatele. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
187 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Vydělíme čitatel jmenovatelem. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
188 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Rozdělíme zlomek na dva jednodušší. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
189 + x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Vytvoříme v čitateli derivaci jmenovatele pomocí multiplikativní konstanty. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL
1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL V předchozím semestru jsme se seznámili s derivováním funkcí. Nyní se přesuneme k integrování funkce, což je vlastně zpětný proces k derivaci. Ukážeme si, jakým
II. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.
Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
![7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]](/thumbs/93/112780546.jpg "7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]")
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
![1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu](/thumbs/102/155926571.jpg "1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu")
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY 2 (kombinované studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D.
MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY (kombinované studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D. Hradec Králové 8 Obsah Komplexní čísla 5. Algebraický, goniometrický a exponenciální tvar komplexního čísla 5. Moivreova věta,
JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT8
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT8. Určete v kolika z následujících čtyřech případů se jedná o dvojici funkce f(x) a její primitivní
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Integrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam,
y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Blok 1. KMA/MA2M Matematická. Primitivní funkce. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/..00/8.0141 KMA/MAM Matematická analýza Primitivní funkce Blok 1 1 Definice a základní vlastnosti Definice 1.1
MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu Z..07/..00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím IT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím IT
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
Definiční obor funkce
Vlastnosti funkcí Definiční obor funkce Konstantní funkce D f = R Lineární funkce D f = R Kvadratická funkce D f = R Exponenciální funkce D f = R Logaritmická funkce D f = 0, + Nepřímá úměrnost D f = R
Cyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Matematika II: Pracovní listy do cvičení
Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí
15. Goniometrické funkce
@157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:
Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Derivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
Limita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Obyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
ln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x
6. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ ktaristka@gmail.com Příklad. a) b) c) ln + 3x) x x ln 3 ) x x x e 2 e 2x arccos x d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen z logaritmu lnx 2 x + ) lnx 0 +
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Matematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme