M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO

Transkript

1 M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Číselné obory Číselné obory Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z 0 +.) - tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla - označujeme Q (Opět můžeme vytvářet např. Q +, Q -, či Q 0 +.) - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla p, Ö2, Ö3, apod. Reálná čísla - označujeme je R (Opět můžeme vytvářet např. R +, R -, či R 0 +.) - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose Komplexní čísla - označujeme je C - jsou to čísla, která už nelze zobrazit na jedné číselné ose, ale potřebujeme k tomu dvě na sebe kolmé osy (podobně jako pro zobrazení bodů v rovině). Rovinu, v níž čísla zobrazujeme, nazýváme Gaussovou rovinou. ± Dělitelnost Dělitelnost čísel Dělitel daného čísla je takové číslo, kterým můžeme dané číslo beze zbytku dělit. Prvočísla jsou taková čísla, která mají za dělitele pouze číslo jedna a sama sebe. Čísla, která mají kromě jedničky a sama sebe ještě alespoň jednoho dělitele, se nazývají čísla složená. Příklady: 12 - je číslo složené (dělitelem je 1, 2, 3, 4, 6, 12) 7 - prvočíslo (dělitem je pouze 1, 7) Postup pro určení nejmenšího společného násobku dvou nebo více čísel: Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 20 a 24: 20 = = = = = čísla, která se opakují v obou rozkladech (nebo alespoň ve dvou rozkladech při více číslech), píšeme pouze jednou, dále do součinu doplníme i zbylá čísla: = 120 Závěr: n(20, 24) = 120 Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 10, 18, 27: 10 = = = n(10, 18, 27) = = z 23

3 Pozn.: Nejmenší společný násobek můžeme určit také pokusem, a to tak, že vezmeme největší ze zadaných čísel a zkoumáme, zda je dělitelné zbývajícími čísly. Pokud ano, jsme hotovi. Pokud ne, bereme postupně dvojnásobek, trojnásobek, atd. největšího čísla a vždy zkoumáme, zda je dělitelný zbývajícími čísly. Jakmile je tato podmínka splněna, jsme hotovi. Postup pro určení největšího společného dělitele dvou nebo více čísel: Příklad: Určete největší společný dělitel čísel 24 a 30: 24 = = čísla, která se opět v rozkladech opakují, píšeme do součinu pouze jednou; další zbylá čísla ale už nepíšeme: 2. 3 = 6 Závěr: D(24, 30) = 6 Pokud máme zadáno více čísel, do výsledného součinu píšeme pouze ta čísla, která se opakují v rozkladech všech čísel. Dělitelnost přirozených čísel (znaky dělitelnosti): Dělitelnost číslem 0: "Číslem nula nelze nikdy dělit". Dělitelnost číslem 1: "Číslo je dělitelné číslem jedna vždy" Dělitelnost číslem 2: "Číslo je dělitelné číslem 2, je-li sudé (tj. je-li zakončeno sudou číslicí)". Dělitelnost číslem 3: "Číslo je dělitelné číslem 3, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi". Dělitelnost číslem 4: "Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné číslem 4". Dělitelnost číslem 5: "Číslo je dělitelné pěti, končí-li číslicí 5 nebo 0". Dělitelnost číslem 6: "Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné současně dvěma i třemi". Dělitelnost číslem 7: - znak dělitelnosti existuje, ale je natolik složitý, že je rychlejší se o dělitelnosti čísla sedmičkou přesvědčit pouhým vydělením sedmi. Znak se tedy moc nepoužívá. Dělitelnost číslem 8: "Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi". Dělitelnost číslem 9: 2 z 23

4 "Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti". Dělitelnost číslem 10: "Číslo je dělitelné deseti, končí-li číslicí nula". Dělitelnost číslem 11: "Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu čslic na sudých pozicích a součtu číslic na lichých pozicích čísla dělitelný jedenácti" Čísla, která mají kromě jedničky ještě alespoň jednoho společného dělitele, se nazývají čísla soudělná. Příklady: 2, 40 15, 60, 36 Čísla, která nemají kromě jedničky žádného společného dělitele, se nazývají čísla nesoudělná. Příklady: 5, 13 11, 15, Znaky dělitelnosti pro vyšší čísla: Lze-li libovolné číslo rozdělit na součin dvou nesoudělných čísel, pak platí, že původní číslo je dělitelné součinem, je-li dělitelné každým činitelem. Příklad: Určete, zda čísla 330 a 240 jsou dělitelná patnácti. Číslo 330 je dělitelné třemi i pěti, proto je dělitelné i patnácti. Číslo 240 je dělitelné třemi i pěti, proto je též dělitelné patnácti. ± Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla: Je dáno číslo a, jako libovolné celé číslo. Absolutní hodnotou čísla a nazýváme číslo označené a, které se při a ³ 0 rovná číslu a, při a < 0 rovná číslu -a. Absolutní hodnota a - b představuje vzdálenost bodů a, b, které jsou obrazy celých (reálných) čísel, na ose celých (reálných) čísel. Platí: a. b = a. b a : b = a : b Pozor! a + b # a + b a - b # a - b Závěr: 1. Absolutní hodnota součinu se rovná součinu absolutních hodnot. 2. Absolutní hodnota zlomku se rovná absolutní hodnotě čitatele lomené absolutní hodnotou jmenovatele. 3 z 23

5 Poznámka: Absolutní hodnota nuly je nula. Zobecnění: Absolutní hodnota libovolného reálného čísla x je definována podobně jako absolutní hodnota celého čísla: x = +x pro x>0 x = 0 pro x = 0 x = -x pro x< Procvičovací příklady: = ,325 = 0,325-21,56 = 21,56 0 = 0 ± Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î <a; b> Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body. 2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b) Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x Î (- ; + ) nebo jinak x Î R 4 z 23

6 3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b> Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4. Další typy intervalů x < a x Î (- ; a) Analogicky by byl interval pro x > a x a x Î (- ; a> Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a Průnik a sjednocení intervalů S průnikem a sjednocením intervalů se setkáme v praxi například při řešení soustav nerovnic, ale i u některých funkcí - například u funkcí s absolutní hodnotou. Průnik dvou intervalů obsahuje tu část číselné osy, jejíž obsah patří do obou intervalů současně. Příklad: Určete průnik intervalů <-3; 5> a <2; 7) Při průniku hledáme to, co je oběma intervalům společné, tedy řešením je uzavřený interval <2; 5>. Příklad: Určete průnik intervalů (- ; 3) a <0; + ) 5 z 23

7 Společnou částí je v tomto případě zleva uzavřený interval <0; 3). Příklad: Určete sjednocení intervalů (-4; 2) a <1; 5) Při sjednocení hledáme to, co patří alespoň do jednoho z intervalů. Řešením je tedy otevřený interval (-4; 5). Příklad: Určete sjednocení intervalů (-4; 1) a (2; 4). Řešením je v tomto případě sjednocení (-4; 1) È (2; 4). ± Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na 6 z 23

8 odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele 2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel 3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už ho nelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek. 4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do z 23

9 5. Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu) Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1: Příklad 2: Vypočtěte: 8 z 23

10 Příklad 3: Vypočtěte: Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus. ± Číselné výrazy - procvičovací příklady 1. Vypočti Vypočti Vypočti z 23

11 4. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky Vypočti z 23

12 9. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti Vypočtěte bez použití kalkulátoru: é æ ö ù ( 3) + 6,4 : ( - 0,8) - ê : ç - - (1,8-2,9) ú ë 4 è 2 ø û -7, z 23

13 14. Vypočti Vypočti bez zaokrouhlování Vypočti Vypočti: ,8 18. Vypočti Vypočtěte z 23

14 Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu z 23

15 25. Vypočti Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny , Vypočti Vypočti z 23

16 29. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti z 23

17 34. Zjednoduš: Vypočtěte: 15,1 - (-2) ,3: (-0,7) -[(2,5-3,7) : ,1] Vypočti Vypočti Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa ,43 16 z 23

18 39. Vypočti Vypočti Vypočti ,1 42. Vypočti Vypočti z 23

19 44. Vypočti , Vypočti Vypočti Vypočti ,23 ± Poměr, trojčlenka Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení. Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti) Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jsou-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. 2,4 : 7,2 /* : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3 Příklad 2: 18 z 23

20 Následující poměr uveďte do základního tvaru: 2 1 : : 3 8 /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : = = 87,5 2 2 Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení Rozdělení čísla v poměru: Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak, že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : = 9... počet dílů 81 : 9 = 9... hodnota jednoho dílu 2. 9 = hodnota odpovídající prvnímu členu poměru 7. 9 = hodnota odpovídající druhému členu poměru Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : Změna postupného poměru na jednoduché poměry: Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých. 19 z 23

21 Příklad 5: Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché. Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7 Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 6: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek. Příklad 7: Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů? 3 kg pomerančů... 66,- Kč 5 kg pomerančů... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru) x = 66. = x = 110,- Kč Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč. Příklad 8: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být 20 z 23

22 hotova už za 4 dny? 5 zaměstnanců... 7 dní x zaměstnanců... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů) x = 5. = 8,75 4 x = 8,75 zaměstnance 8,75-5 = 3,75 Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance Složená trojčlenka Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou. Příklad 9: Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu? 6 dělníků... 5 směn součástek 10 dělníků... x směn součástek Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru x = 5.. = 5, x = 5,9 směny (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny. ± Poměr, trojčlenka - procvičovací příklady 1. 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? 45 Kč 2. Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly? 27 minut 3. Jestliže la'b'l : labl = 2 : 3 a délka úsečky AB je 24 cm, kolik pak bude velikost úsečky A'B'? 16 cm z 23

23 4. Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? 8 hodin 6. Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5 : 7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí Kč. První vydělal Kč, druhý vydělal Kč. 7. Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5 : 8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? 20 % 8. Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? 2 dělníky 9. K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 160 g tuku, 240 g mouky, 200 g cukru. Kolik g tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec? 120 g tuku, 180 g mouky, 150 g cukru 10. Směs s bodem tuhnutí -32 C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? 12,9 litru vody, 12,6 litru lihu 11. Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2. Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli? 30 ha ovsa, 42 ha ječmene, 54 ha žita, 66 ha pšenice 12. Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7 : 4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem? 44 narcisů 13. Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? 200 kusům kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6 : 9. Určete hmotnosti obou částí. 50 kg a 70 kg 15. Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2 : 7. a) Kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96? b) Kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo)? Ve škole je 432 žáků, dojíždí jich 22,2 % z 23

24 16. Číslo 40 rozdělte v poměru 3 : díl... 15; 2. díl Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? m Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři? 24 hodin 19. Plán má měřítko 1 : Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? 17 cm a 9,6 cm 20. Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? 62,5 minuty 21. Na plánu v měřítku 1 : je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole. 0,5 ha 22. Barva se míchá s ředidlem v poměru 5 : 2. Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru? 1 litr barvy a 0,4 litru ředidla 23. Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F 1, F 2, které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky. F = 20 N 24. Dva stroje vyrobí za 50 hodin výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili výrobků? 23 strojů 25. Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů? 11,25 směny dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? 3 dělníci 27. Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely m z 23

25 Obsah Číselné obory 1 Dělitelnost 1 Absolutní hodnota reálného čísla 3 Intervaly 4 Číselné výrazy 6 Číselné výrazy - procvičovací příklady 9 Poměr, trojčlenka 18 Poměr, trojčlenka - procvičovací příklady :28:59 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (