STATIKA TUHÉHO TĚLESA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATIKA TUHÉHO TĚLESA"

Transkript

1 STATIKA TUHÉHO TĚLESA Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíral Obsah Úvod 3 1 Soustavy sil působících na těleso Síla Momentsílyvzhledemkbodu Momentsílyvzhledemknehybnéose Rovinnásoustavasilsespolečnýmpůsobištěm a)grafickéřešení b)početnířešení c)varignonovavěta Obecnárovinnásoustavasil a)soustavadvourovnoběžnýchsil b)momentovávěta c)silovádvojiceajejímoment d)rovnoběžnéposunutísílydolibovolnéhoboduvtělese e)výsleniceobecnérovinnésoustavysil Grafickéurčenívýslednicerovinnýchsoustavsil Těžiště Těžištětuhéhotělesa Těžištěplochyačáry Grafickéurčenítěžiště Rovnováha a uložení tělesa v rovině Podmínkyrovnováhytělesa Některénutnépodmínkyrovnováhysil a)rovnováhadvousil b)rovnováhatřísilvrovině Uloženítělesavrovině Principuvolněnízvazby,určováníreakcí

2 4 Řešení rovinných prutových soustav 32 5 Úlohy 36 Výsledky úloh 42 Literatura 45

3 Úvod Skutečná tělesa pevného skupenství, neboli pevná tělesa, se vyznačují tím, že vzdálenosti mezi částicemi, z nichž jsou složena, nejsou stálé. Působením sil se tyto vzdálenosti mění, vzniká deformace pevného tělesa. Tyto změny vzdáleností jsou u řady úloh z mechaniky zanedbatelné, a pokud nedojde působením sil k porušení soudržnosti tělesa, není nutné k nim přihlížet. Proto zavádíme pojem tuhé těleso. Je to model skutečného pevného tělesa, u kterého se definuje, že vzdálenosti mezi jednotlivými body tělesa jsou neproměnné při libovolných působících silách. Dále se definuje, že tvar tuhého tělesa a rozložení hmotnosti v něm je stejné jako u skutečného tělesa, přičemž rozložení hmotnosti se předpokládá spojité. Tohoto modelu nelze použít v případech, kdy se např. uplatňují pružné vlastnosti skutečného tělesa. Uvažujme o třech bodech tuhého tělesa, které neleží na jedné přímce, půjde např.obody1,2,3naobr.1.upevníme-linynítuhétělesotak,žejedenjeho bod, např. 1, bude ve vztažné soustavě nepohyblivý, mohou ostatní body opisovat trajektorie, které budou ležet na kulových 2 plochách se středem v bodě 1. Budouli ve vztažné soustavě dva body nepohyblivé, např. 1, 2, budou ostatní body tělesa opisovat kruhové trajektorie, jejichž společnou osou je přímka, na níž leží body 1, Zamezíme-li v uvažované vztažné soustavě i pohybu bodu 3, bude těleso v této Obr.1 vztažné soustavě nepohyblivé. Z této úvahy vyplývá, že poloha tuhého tělesa v prostoru je jednoznačně určena polohou jeho tří bodů, které neleží na téže přímce. Protože tyto body můžeme považovat za vrchly rovinného trojúhelníka, je poloha tuhého tělesa rovněž jednoznačně určena polohou libovolného trojúhelníka spřaženého s tělesem. Polohakaždéhozuvažovanýchbodů1,2,3jevevztažnésoustavěurčena třemi souřadnicemi, takže pro určení polohy tělesa máme celkem devět čísel. Všech těchto devět čísel však nelze nezávisle měnit, protože tím bychom mohli tři body tuhého tělesa umístit kamkoli do prostoru, což není vzhledem k tuhosti tělesa možné. Protože tedy 12 =konst, 23 =konst, 31 =konst, lze při pohybu volitnanejvýš3 3 3=6nezávislýchsouřadnictuhéhotělesa.Říkáme,že volné tuhé těleso konající obecný prostorový pohyb má šest stupňů volnosti. Toto zjištění je rozhodující pro celou mechaniku tuhého tělesa. Např. k jednoznačnému řešení prostorového pohybu tuhého tělesa je třeba řešit šest skalárních pohybových rovnic a k určení rovnováhy tuhého tělesa v prostoru je 3

4 třeba řešit šest skalárních podmínek rovnováhy. V mechanice tuhých těles často řešíme tzv. rovinné úlohy. Patří sem například vyšetřování pohybu tělesa, jehož body opisují trajektorie, které jsou rovinnými křivkami. Nebo půjde o vyšetřování rovnováhy tělesa, kdy soustava sil působících na těleso je rovinná. Podmínky řešitelnosti rovinných úloh jsou podstatně jednodušší než u obecných prostorových úloh. Vyplývá to i z počtu stupňů volnosti volného tuhého tělesa vykonávajícího rovinný pohyb. Tento počet určíme opět z úvahy o pohybu tuhésoustavytříbodůzobr.1.obecněvolenébody1,2,3opisujípřirovinném pohybu trajektorie, které leží ve třech vzájemně rovnoběžných rovinách. Tyto tři body, které vymezují trojúhelník, můžeme bez újmy obecnosti volit tak,abyleželyjenvjednéztěchtorovnoběžnýchrovin.pakjeovšemzřejmé, že k jednoznačnosti určení polohy tělesa při rovinném pohybu stačí uvažovat jen o jedné ze stran tohoto trojúhelníka, například o úsečce 12. Její poloha v rovině je určena třemi nezávislými souřadnicemi, např. dvěma kartézskými souřadnicemibodu1aúhlem,kterýsvíráúsečka12slibovolnoupřímkouvtéto rovině. Tedy volné tuhé těleso konající rovinný pohyb má tři stupně volnosti. Podle druhů řešených úloh se mechanika tuhého tělesa člení na: 1. statiku řeší podmínky rovnováhy tělesa, 2. kinematiku zabývá se pohybem tělesa bez zřetele k jeho příčinám, 3. dynamiku vyšetřuje souvislost mezi pohybem tělesa a silami a jejich momenty působícími na teleso. Vnašemtextuseomezímejennastatikutuhéhotělesa. 4

5 1 Soustavy sil působících na těleso 1.1 Síla Ve statice vyšetřujeme soustavy sil, které sestávají z jednotlivých sil. Síla se ve fyzice zavádí jako veličina, která je mírou dynamických účinků na těleso(síla jako příčina změny pohybového stavu tělesa) anebo je mírou statických účinků F na těleso(např. tah na závěs, tlak na podložku, míra vzájemného působení mezi tělesy, síla jako příčina deformace pružných těles). Z experimentů je zřejmé, že síla je vektorová veličina. Při působení na skutečná tělesa je jednoznačně určena velikostí, směrem a působištěm. p Utuhýchtělesnenívazbasílynapůsobiště(A) nutná,neboťúčineksílynatuhétělesosejejím posunutím po přímce nositelce(p) nezmění v tuhémtělesejesílavázanánapřímku viz.obr.2. A Tuto vektorovou přímku síly budeme nazývat nositelka síly. Sílu graficky znázorňujeme orientovanou úsečkouapoužívámeproniznačkuf,případněve speciálních případech ještě značkyr,n,s. Důležitým případem síly pro statiku je tíhová sílafg. Obr.2 Je to výslednice tíhových sil působících na elementy tělesa v tíhovém poli. Má působiště v těžišti tělesa. Kromě toho zavádíme tíhug. Je to síla, kterou působí těleso v tíhovém poli na jiné těleso(např. podložku) v místě dotyku těchto těles. F Jednotkou síly je newton(n). y ir Fy Fx A Fz y A x z A z x A Obr.3 jok Při práci se silovými soustavami je velmi výhodné provést rozklad síly do kartézských složek(obr. 3): F=Fx+Fy+Fz= F xi+ F yj+ F zk, (1) kdei,j,kjsou jednotkové vektory ve směru os x, y, z kartézské soustavy souřadnic. Rozlišujeme vektoryfx,fy,fz jako kartézské složkysílyfaskaláry F x, F y, F z jakokartézské souřadnice sílyf. Vobr.3jepůsobištěAsílyurčenopolohovýmvektoremrosouřadnicích x A, y A, z A. Platí r= x Ai+ y Aj+ z Ak. (2) 5

6 F Vtomtotextuseažnavýjimkyomezímenarovinnousoustavusil.Pak F z =0, z A =0.Častopracujemeispolárnímisouřadnicemisíly: F= F, α Fy (obr. 4). Pak α F x = Fcosα, F y = Fsinα, A M Fx Obr.4 F= Fx 2+ F2 y,tg α= F y. (3) F x 1.2 Moment r F síly vzhledem k bodu Důležitým pojmem mechaniky je moment (M) síly vzhledem k bodu, který definujeme jako vektorový součin polohového vektoru(r) působiště síly od příslušného bodu(o) a vektoru(f) síly zde působící: ϕ O p A M=r F. (4) Je mírou otáčivých účinků sílyfna těleso, Obr.5 které je otáčivé kolem nehybného bodu O. Z vlastností vektorového součinu dvou vektorů vyplývá, žemje vektor, který má tyto vlastnosti(viz. obr. 5): a) Jekolmýkroviněproloženévektoryr,F. b) Jeho orientace je určena pravidlem pravé ruky pro vektorový součin(zde lze toto pravidlo specializovat tak, že orientace je určena palcem pravé ruky,kdyžprstyukazujísměrrotace,kteroubysílafvzhledemkboduo způsobila). c) Jeho velikost je určena plochou rovnoběžníka opsaného vektoryr,f: M =M= rfsinϕ=pf, (5) kde p=rsinϕjeramenosíly(obr.5). d) JevázánkboduO,kterýsenazývámomentovýbod. e) JenulovýbuďproF=0anebopror=0,tedykdyžnositelkasílyF procházímomentovýmbodemo.jenulovýrovněžpro ϕ=0,tedykdyž nositelkasílyjerovnoběžnáspolohovýmvektoremraje p=0. Kartézské složky vektorumurčíme obecným postupem pro vektorový součin. Omezíme-li se na rovinný případ, kdy vektoryr,fbudou ležet v rovině 6

7 i jk z=0,bude M=r F=(x Ai+ y Aj) (F xi+ F yj)= x A y A 0 F x F y 0 = =k(x A F y y A F x )=Mz. (6) VektorMmávtomtopřípadějedinousložku,kteráležívose zuvažované vztažné soustavy. Jednotkoumomentusílyjenewtonmetr(N m). 1.3 Moment síly vzhledem k nehybné ose Vedle momentu síly vzhledem k bodu se zavádí ještě moment síly vzhledem k nehybné ose. Je mírou otáčivých účinků sílyfna těleso, které je otáčivé kolem této o d A nehybnéosy.jetovektorm0,kterýležívoseotáčení a má velikost t M 0 = F 0 d, (7) Obr.6 M r kdef0 je průmět sílyfdo přímky t (obr.6),kterájetečnoukekružnici,jež o byopisovalbodapřiotáčenítělesakolem nehybnéosy oadjepoloměrtétokružnice. d Vztah mezi momentemmsíly vzhledem A kboduoamomentemm0téžesílyvzhledemkose o,kterábodemoprochází,je t M0 α zřejmýzobr.7.platí M 0 = Mcosα, (8) O kde αjeúhel,kterýtytodvavektorysvírají. Obr Rovinná soustava sil se společným působištěm F0 F F0 F Úlohou je najít jedinou výslednici soustavy sil, jejichž účinek na tuhé těleso je stejný, jaký má celá soustava jednotlivých sil. Uvažujme soustavu n sil, které ležívrovině z=0akterémajíspolečnépůsobištěa.pokudsílynemajíspolečné působiště, avšak jejich nositelky se protínají v jednom bodě, posuneme jednotlivé síly do tohoto bodu. 7

8 F a) Grafické řešení 8 Postupujme podle pravidla o geometrickém sčítání vektorů. Ke konci vektoru první síly připojíme vektor druhésílyatd.,ažkekoncipředposlední síly připojíme vektor po- F2 F3 F1 slední síly. VýsledniceFje pak určena orientovanou úsečkou vedenou zpočátkuakekonciposlednísíly. AF4 Výslednice tedy uzavírá tento silový Obr. n+1úhelník.řešenípro n=4je naobr.8. b) Početní řešení Jednotlivé síly rozložíme na kartézské složky a příslušné kartézské složky sečteme(jdeovektoryležícívesměruosy xay): Fv=F1+F2+...+Fn=(F 1x +F 2x +...+F nx )i+(f 1y +F 2y +...+F ny )j= = F xi+ F yj=fx+fy, (9) kdefx,fyjsoukartézskésložkyaf x, F y kartézskésouřadnicevýsledné sílyfv. Její polární souřadnice určíme pomocí vztahů(3). c) Varignonova věta Stanovme nyní moment výslednice soustavy n různoběžných sil, které leží vjednérovině,např. z=0(obr.9).výslednicepodlevztahu(9)je r n y Fv=. (10) Fv j=1fj Jednotlivé síly a jejich výslednice procházejí společným bodem A, jehož poloha vzhledem k počátku O vztažné Fn 1F2 F1 A soustavy je dána polohovým vektorem Fn r.oběstranyvztahu(10)nynízleva O x vektorově vynásobímera na pravé Obr.9 straně provedeme rozpis podle distribučního zákona. Tak dostaneme n n r Fv=, nebolimv=. (11) j=1r Fj j=1mj 8

9 Neboli moment výslednice soustavy sil protínajících se v jednom bodě(a) vzhledem k libovolnému bodu(o) je roven vektorovému součtu momentů složkových sil k témuž bodu(o). Tato věta se nazývá věta Varignonova podle Francouze Pierra Varignona ( ), který ji poprvé vyslovil. Je-li výsledná síla soustavy sil se společným působištěm nulová, je nulový i vektorový součet momentů složkových sil vzhledem k libovolnému bodu. Tato poučka obecně neplatí pro soustavu rovnoběžných sil, u níž je nulová výslednice silfv =0(viz odst. 1.5c). 1.5 Obecná rovinná soustava sil Pro nalezení postupu určení výslednice obecné rovinné soustavy sil, tedy soustavy sil, jejichž působiště nejsou totožná, budeme se nejprve zabývat zvláštním případem dvou rovnobežných sil a zavedeme pojem silové dvojice. a) Soustava dvou rovnoběžných Fsil S R2 R1 BF0 F0 A α C r 2 r 1 F2 R2 R1 F1 Fv Obr. 10 9

10 MějmedvěrovnoběžnésílyF1,F2podleobr.10.Úlohupřevedemenasoustavu dvou různoběžných sil tak, že k silám připojíme nulový vektorf0, F0. Tím dostaneme různoběžné sílyr1,r2, které procházejí bodem S. Jejich výslednice Fv=R1+R2=(F1 F0)+(F2+F0)=F1+F2 (12) mávelikost F v = F 1 + F 2,jejichnositelkajerovnoběžnásesilamiF1,F2a prochází bodem C, jehož poloha se určí z podobnosti příslušných trojúhelníků (obr.10): Odtud r 1 SC = F 0 F 1, r 1 r 2 SC = F 0 F 2. = F 2. r 2 F 1 Neboli F 1 r 1 = F 2 r 2,respektivepovynásobenísinαdostaneme F 1 r 1 sinα F 2 r 2 sinα=0, (13) kde r 1 sinα=p 1, r 2 sinα=p 2 jsouramenasilkmomentovémuboduc.bod Csenazývástředrovnoběžnýchsil. b) Momentová věta Podle vztahu(13) výslednice dvou rovnoběžných sil prochází bodem C, vzhledem k němuž je součet momentů jednotlivých složkových sil nulový. Je to zřejmě proto, že výslednice(12) má vzhledem k tomuto bodu nulové rameno. Tento poznatek lze zobecnit pro soustavu n různoběžných sil. Zvolíme-li momentový bod na nositelce jejich výslednice bude pro moment složkových sil platit n j=1mj=0. (14) Výsledek(14) se označuje jako momentová věta. Je-li výslednice soustavy rovnoběžných sil nulová, nemusí být nulový moment složkových sil, jak uvidíme v následujícím odstavci. S momentovou větou se setkáváme ještě v tomto znění: Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy se ruší, jestliže vektorový součet momentů všech sil vzhledemkosejenulovývektor. c) Silová dvojice a její moment Vraťme se nyní k soustavě dvou vzájemně rovnoběžných sil, avšak uvažujme síly opačného směru. Při hledání výslednice postupujeme analogicky jako u soustavy rovnoběžných sil stejného směru, tj. problém převedeme zavedením pomocných silf0, F0 na problém různoběžných sil. Výsledek řešení je zřejmý zobr

11 C F2 R2 F0 A B F0 αfv R1 F1 F0 F2 S F0 R2 AC =r 1 BC =r 2 AB =r= r 2 r 1 R1 F1 Obr. 11 Výslednice má velikost F v = F 1 F 2 (15) aležívboděcmimoúsečkuabnastraněvětšísíly.vzdálenost r 1 boduc od bodu A určíme z momentové věty(14), nebo z podobnosti trojúhelníků na obr. 11. Platí F 1 r 1 = F 2 r 2 = F 2 (r 1 + r), neboli r 1 = F 2 F 1 F 2 r= F 2 F v r. Po vynásobení sin α dostaneme vztah pro ramena sil p 1 = F 2 F v p. (16) Uvažujme nyní zvláštní případ dvou vzájemně rovnoběžných sil opačného směruastejnévelikosti(obr.12).jejívelikostpodle(15)je F v =0ajejípoloha podle(16)je p 1.Tatozvláštnísoustavasenazývásilovádvojice. 11

12 M Účinek silové dvojice se zřejmě projevuje pouze momentem síly. Vypočteme jeho velikost k libovolně umístěnému(momentovému) bodu O(obr. 12): xf F M= xf+(x+p)f= pf. (17) Nezávisí tedy na poloze boduo. Vektor momentumsilové dvojice je kolmý k rovině, A v níž dvojice leží a není vázánkžádnémubodu O p B jetovektorvolný.přizachování směru jej můžeme posunout do libovolného bodu v prostoru. Obr. 12 r F F =F d) Rovnoběžné posunutí síly do libovolného bodu v tělese M a) b) c) A A r0 A A F F F A r O Obr. 13 Působí-li sílafv bodě A tuhého tělesa(obr. 13a), můžeme ji posunout do libovolnéhobodua vtělesetak,ževtomtoboděpřipojímektělesunulový vektorf, F,přičemž F = F (obr.13b).vzájemnápolohabodůa,a je zřejměurčenavztahemr0=r r.přirovnoběžnémposunutísílyfdobodua musímetedypřipojitksílef=f doplňkovousilovoudvojicif, F = F. JejímomentklibovolnémuboduOje M=r F+r ( F )=(r r ) F=r0 F, (18) neboli je nezávislý na volbě momentového bodu O. Výsledek rovnoběžného posunutí bodu je znázorněn na obr. 13c. e) Výslednice obecné rovinné soustavy sil Mějme soustavu n sil, které nemají společné působiště. Pro jednoduchost zvolíme rovinnou soustavu a budeme početním způsobem hledat její výslednici. 12

13 Podstata řešení úlohy je v principu jednoduchá. Postupem uvedeným v předcházejícím odstavci ad d) úlohu převedeme na skládání různoběžných vektorů sil a momentů sil. Uvažujme např. obecnousílufj,kteráležívrovině yfv z=0vpůsobištia j.tatosílareprezentuje libovolnou sílu z n-tice Fv d Mv daných sil. Tyto síly přeneseme do určitého bodu roviny, např. do po- Fj Fj čátkuo(obr.14).kekaždépřene- sené síle musíme při pojit moment O A v x A j Mj příslušné silové dvojice. Fj Poté můžeme najít výslednici sil a momentů silových dvojic soustavy: Fv n n Fv=,Mv=. (19) Obr. 14 j=1fj j=1mj K tomu je třeba připomenout, že v případě rovinné soustavy mají všechny momentymjsměrkolmýkroviněsil(majívnašempřípaděsměrosy z)atudíž se skládají skalárně. Pro výsledný moment byl v obr. 14 použit pro jednoduchost symbol obloučku se šipkou, naznačuje směr rotace, kterou by moment síly vyvolal. Tento momentmv lze zcela eliminovat vhodným přemístěním výslednicefvtak,aby F v d=m v. Půjde-li naopak o rovinnou soustavu rovnoběžných sil, bude úloha snadno řešitelná. Při početním postupu lze jednak využít výše popsané metody s tím, že obě rovnice(19) budou skalární. Jednak lze využít momentové věty(14). Oba postupy uplatníme v následujícím příkladě. Příklad 1 UrčetevýslednicisilF1,F2,F3,kterépůsobínatuhýnosníkpodle(obr.15). Tíhovou sílu nosníku neuvažujte. 13

14 Mv O C F1=60N, F 2 =40N, F3 F 3 =30N, a=0,30m F1 Fv a a a Obr. 15 Řešení a) DanésílypřenesemedoboduOanajdemevýslednousíluavýslednýmoment silových dvojic: F v = F 1 + F 2 F 3 = 50N d F2 M v = F 1 a+f 2 2a F 3 3a= 21N m. Výsledný momentmv vyrušíme přemístěním výsledné sílyfv do vzdálenosti d,pronížplatí d= M v F v = m=0,42m. b) Polohu výslednice lze určit rovněž užitím momentové věty(14), podle níž součet momentů složkových sil vzhledem k bodu(c) ležícímu na výslednici je nulový: F 1 (d a)+f 2 (2a d) F 3 (3a d)=0 d= F 1 2F 2 +3F 3 F 1 F 2 + F 3 a=0,42m. 1.6 Grafické určení výslednice rovinných soustav sil Grafickéřešenípopsanévčlánku1.4a(obr.8)lzepoužítjenpropřípadrůznoběžných sil. Grafické řešení pro rovnoběžné síly(obr. 10, 11) aplikované na obecnější případy by bylo velmi pracné. Proto byla vypracována metoda vláknového a silového obrazce. Metodu si ukážeme na konkrétním jednoduchém případě dvou rovnoběžných sil(obr. 16a). 14

15 a) b) p v A F1p1 0 1 C 2 B p 2F2 FvF2F1 F F 21 F0 P(pól) Fv Fv obrazec vláknový F0 obrazec silový Obr. 16 K soustavě připojíme nulovou soustavu silf0, F0 na nositelce 0 směru podstatněodlišnéhoodsměrunositelek p 1, p 2.PracujemenejprvesesilouF0, kterousečtemesdanousilouf1adostanemedílčívýslednicif 1 =F0+F1 (obr.16b).nositelka1tétosílymusíprocházetprůsečíkemanositelek p 1 a 0 vizvláknovýobrazec(obr.16a).nynísevrátímedosilovéhoobrazcea ksílef 1 přičtemedanousíluf2adostanemedílčívýslednicif 2 =F 1 +F2, jejížnositelka2musíprocházetprůsečíkembnositelek1ap 2.Nakonecjetřeba odečíst vloženou síluf0, tedy připojit sílu F0. Tak dostaneme výslednou sílu Fv=F 2 F0,kterávevláknovémobrazcimusíprocházetprůsečíkemCnositelek 0,2.BodPjevýznačnýmbodemsilovéhoobrazce;nazývásepól.Celýpostup lze formálně zjednodušit jak ukážeme na dalším příkladě. Mějme soustavu čtyř sil v rovině podle obr. 17. Pomocné síly(vloženou nulovou soustavu silf0, F0 a dílčí výslednice) získáme spojením koncových bodů daných s vhodně voleným pólem P v silovém obrazci(označujeme je nyní již jen čísly) a směry těchto sil přenášíme do vláknového obrazce. Na konci postupu již nepřipojujeme sílu F0, nýbrž použijeme nositelky 0 sílyf0, která má stejný směr. SílaFv doplňuje příslušný n+1 úhelník. Její nositelka prochází průsečíkem nositelek 0, 4 ve vláknovém obrazci. 15

16 a) b) F1 F2 F3F4 F F2 2 P 0 4 F3 3 4 F4 Fv Fv Obr

17 2 Těžiště 2.1 Těžiště tuhého tělesa Na jednotlivé hmotné elementy m tělesa působí v homogenním tíhovém poli Země síly, které jsou vzájemně rovnoběžné. Předpokládáme-li, že těleso je homogenníohustotě g,budeelementtíhovésíly FG=g m=g V.Celková tíhovásílafg=gm=g V procházívýznamnýmbodem,kterýsenazývá těžiště(tentobodpřitomnemusíbýtsoučástítělesa,jakjetomunapř.ukruhového prstence). Polohu xt y, yt, zt těžištětělesana obr. 18 určíme podle pravidel pro skládání rovnoběžných sil, přičemž souřadnice x V T m T, z T určímetak,žetíhové polenechámepůsobitvesměruosy y asouřadnici y T tak,žetíhovépolenechámepůsobitvesměruosy x.uži- FG O jeme přitom Varignonovu větu, např. y T x FG z T prosouřadnici x T budeplatit z x T xg V= x T g V, Obr. 18 (V) přičemžsymbol značí, že součet provádíme přes celý objem tělesa. Po krácení g vypočteme x T (V).Takpostupnědostanemevšechnysouřadnicetěžiště x T = 1 V x V, (V) y T = 1 V y V, (V) z T = 1 V z V. (20) Výpočet podle těchto vzorců bude tím přesnější, čím menší elementy V, které vyplňujícelétělesooobjemu V,budemevolit.Vlimitě V 0vedevýpočet na integrování, což přesahuje rámec tohoto textu. Má-li homogenní těleso rovinu nebo osu souměrnosti, leží těžiště v této rovině nebo na této ose. Má-li homogenní těleso střed souměrnosti, je jeho těžiště totožné s tímto středem. Poloha těžiště od podstavy některých homogenních tělesnajejichosevzávislostinavýšce htěchtotělesjeuvedenavtab.i. Tab. I. (V) válec, hranol n boký jehlan kužel polokoule h h h h=3 8 r Je-li těleso sestaveno z několika dílčích těles, jejichž hmotnosti m = V a souřadnice jejich těžišť známe, určíme těžiště tělesa užitím vzorců(20). 17

18 v tělese dutina nebo otvor, připojíme do těžiště této chybějící části tíhovou sílu opačného směru. TS 1 Např. v hranolu na obr. 19 je asymetricky vytvořený S 2 válcovýotvor.dobodu S 2 tedypřipojímetíhovou sílufg2opačnéhosměrunežmátíhovásílafg1.síla FGFG1FG2 F G1 odpovídácelistvémuhranolu,fg=fg1 FG2 Obr. 19Je-li hranolu s otvorem. 2.2 Těžiště plochy a čáry Analogicky pojmu těžiště tělesa se zavádí pojem těžiště plochy a těžiště čáry. Pro výpočet souřadnic těžiště rovinné plochy si představme homogenní plochétělesooplošezákladny Sakonstantnítloušťce t.podosazenídoprvních Tab. II b Kruhový oblouk T r αα y T y T = r sinα α = rb s s Půlkruhový oblouk α=π/2, b=πr, s=2r y T = 2r π Trojúhelník h y T = h 3 T y T Kruhová výseč T 18 r αα y T y T = 2rsinα 3α Půlkruh α=π/2 y T = 4r 3π

19 dvouvztahů(20)za V= ts, V= t Sdostaneme x T = 1 x S, S (S) y T = 1 y S. (21) S (S) Podobně pro výpočet souřadnic těžiště rovinné čáry si představme drát konstantníhopříčnéhoprůřezu Svelmimalýchrozměrůoprotidélce l.pak V= Sl, V= S lapodle(20)dostaneme x T = 1 x l, y T = 1 y l. (22) l l (l) (l) Vlimitě S 0nebo l 0přecházejívýrazy(21)a(22)opětnaintegrály. Výsledky řešení pro některé důležité čáry a plochy jsou uvedeny v tab. II. Příklad Vypočtěte souřadnice těžiště plochy na obr Řešení: Nejprve vhodně zvolíme soustavu souřadnic(vizobr.21,22).plochajesymetrická podle osy x, proto počítáme jen 70 T souřadnici x T,neboť y T =0.Plochulze rozložit na obdélníky. Je několik možností, zvolíme dvě. 10 Obr.20 a) Plochu rozložíme na tři obdélníky(obr. 21). S 1 = S 3 =300mm 2, S 2 =900mm 2, S=2S 1 + S 2 =1500mm 2, x 1 = x 3 =15mm, x 2 =35mm, x T = 2S 1x 1 + S 2 x 2 S =27mm. b) Plochu rozložíme na dva obdélníky(obr. 22): od obdélníku ABCD plochy S 1 odečtemeobdélníkefghplochy S 2.Platí S 1 =3600mm2, S 2 =2100mm2, S= S 1 S 2 =1500mm2, x 1=20mm, x 2=15mm, x T = S 1 x 1 S 2 x 2 S =27mm. 19

20 y y x x 2 x 1 = x 3 T T x TS1 S3S O x S2 Obr.21 2 A B S 2 F E S O x H G D x C 1 x TS Obr Grafické určení těžiště Protože při hledání souřadnic těžiště jde v podstatě o úlohu nalezení působiště výslednice soustavy rovnoběžných sil v prostoru nebo v rovině, lze pro řešení této úlohy použít grafických metod vypracovaných pro řešení těchto soustav. Pro řešení těžiště osově symetrických těles, plochých těles, ploch a čar lze použítgrafickéhořešení,kteréjepopsánovčlánku1.5.ukážemesitonadvou příkladech. Příklad 3 Naleznětesouřadnici x T těžištěplochyzpříkladu2grafickoumetodou,ato propřípadyada),adb)rozkladuplochy. O Obr. 23 x T S1+S3 1 0 T S2 S2 S1+S3 S x T =27mm P 20

21 S x T 2 S S 0 T O 2 P 0 1 S S 1 S 1 Obr.24x T =27mm Řešení: Úlohu převedeme na skládání sil, jejichž velikost je úměrná velikosti příslušných ploch. a) Obr.23 b) Obr.24 Řešeníadb)jeméněpřesné,protožesezdeuplatňujerozdílsil.Protobylo zvoleno větší měřítko pro délky. Příklad 4 Určete grafickým řešením souřadnice těžiště lomené čáry podle obr. 25. l 4 l 3 α l 2 l1= l2= l4=25mm, α l 3 =40mm, l α=45 1 Obr. 25 Řešení: Nejprve zvolíme soustavu souřadnic(obr. 26). Velikost tíhových sil bude úměrná délkám úseček, jejich působiště bude ve středu úseček. Směr těchto sil budeprosouřadnici x T vzápornémsměruosy y,pro y T vesměruosy x.silové obrazce spojíme do jednoho obrazce se společným pólem P(viz obr. 26). 21

22 y l 2 T l 3 l x T =30mm y T =36mm y T l 1 x T O 3 x P 1 F2 2 0 F3 3 4 F4 Obr. 26 F1 F F F F

23 3 Rovnováha a uložení tělesa v rovině 3.1 Podmínky rovnováhy tělesa Věnujme nejprve pozornost případu tuhého tělesa, které se nachází v inerciální vztažné soustavě a na nějž působí obecná prostorová soustava sil(obecně sil vzájemně mimoběžných). Aby toto těleso bylo v rovnováze, aby tedy existovala vztažná soustava, v níž se nebude pohybovat ani posouvat, ani otáčet, musí být výslednice sil působících na těleso nulová a musí být nulová i výslednice momentůsil.musítedyplatit n j=1fj=0, (23) n j=1mj=0. (24) Tyto dvě vektorové rovnice reprezentují šest složkových rovnic. Volné těleso, jakvímezúvodu,mášeststupňůvolnostiasplněníkaždéztěchtosložkových rovnic odebírá tělesu jeden stupeň volnosti. Těleso, které se ve vztažné soustavě nepohybuje, má nula stupňů volnosti. Vtétostati,kterájejenúvodemdostatiky,budeúčelnézabývatsepouze řešením případu rovnováhy tuhého tělesa v rovině. Pak se v případě obecné soustavy sil v rovině redukuje rovnice(23) na dvě složkové rovnice a rovnice (24)najednusložkovourovnici.Budou-lisílypůsobitvrovině z=0,budou mít složkové rovnice rovnováhy tvar n F xj =0, j=1 n F yj =0, (25) j=1 n M zj =0. (26) j=1 Jdetedyotřirovnice,kteréodpovídajítomu,ževolnétělesomávrovinětři stupně volnosti. Splnění každé z rovnic(25),(26) odebírá tělesu jeden stupeň volnosti. Bude-li na těleso působit jen soustava různoběžných sil, tedy soustava sil se společným působištěm, bude rovnováhy tělesa dosaženo při splnění podmínek (23), resp.(25). Pro dosažení rovnováhy tělesa zde proto postačí, aby silový obrazec byl uzavřený, neboli, aby výslednice sil byla nulová. U obecné soustavy sil je to podmínka pouze nutná. 23

24 Bude-li na těleso působit jen soustava momentů sil, vyvolaných např. soustavou silových dvojic, pak postačí pro rovnováhu tělesa jen splnění podmínky (24), resp.(26). Pro obecnou soustavu sil je to opět jen podmínka nutná. Současné splnění obou podmínek(23),(24), resp.(25),(26), dává podmínku nutnou a postačující pro případ působení obecné soustavy sil na tuhé těleso. Rovnováhy tuhého tělesa bude dosaženo v těchto dvou případech: 1.Prodanésíly(častooznačovanéjako vtištěné síly)obecněpůsobícína těleso budou splněny podmínky(23),(24), neboli výslednice daných sil a jejich momentů bude nulová. 2. Nebudou-li výslednice daných sil a jejich momentů nulové, je nutné tuhé těleso vhodně uložit(viz. odst. 3.3). Pak vzniknou v uložení reakce, které doplní soustavu daných sil a momentů sil tak, že podmínky(23),(24) budou splněny. 3.2 Některé RG nutné podmínky rovnováhy sil a) Rovnováha dvou sil Dvě síly budou v rovnováze, jen když budou ležet natéženositelce.abytobylapodmínkanutnái postačující, musí být tyto síly také stejně velké a vzájemně opačného směru. Např. volná kulička v tíhovém poli nebude v rovnováze, působením tíhové síly bude padat. Abychom ji uvedli do rovnováhy při zachování působení dané sílyg, položíme ji na vodorovnou podložku. Ta začne na kuličku působit ve směru Obr. 27 svislicesilou reakcír= G,kterájiuvede do rovnováhy(obr. 27). b) Rovnováhatřísilvrovině Nutnou podmínkou pro rovnováhu tří různoběžných sil působících v rovině je, aby tyto síly procházely jedním bodem. Tato věta má velkou důležitost pro statiku rovinných soustav, jak uvidíme v dalších příkladech a úlohách. Příklad 5 Danou síluf, která leží na nositelce p, uveďte do rovnováhy dvěma silami, přičemžojednévíte,želežínapřímce p B,kterájerůznoběžnáspřímkou pa druháprocházíbodema,kterýležívroviněurčenépřímkami p, p B.Příkladje konkretizován na obr. 28a. 24

25 Řešení Užijemevětuotřechsilách sílymusíprocházetprůsečíkemopřímek p, p B (obr.28b).tímjedánsměrsíly F A přímka p A,kterájespojnicíbodůA, O.Zesilovéhoobrazcenaobr.28curčímevelikostsilFA,FB.Silovýobrazec jeuzavřen jdeosílyvrovnováze. F F a) p b) p c) p A O p A FAFB p B p B p B A F A Obr. 28Příklad 6 DanousíluF,kteráležínanositelce p,uveďtedorovnováhydvěmarovnoběžnýmisilamifa,fb,kterépůsobínadanýchrůznýchpřímkách p A, p B, přičemžpřímky p, p A, p B jsouvzájemněrovnoběžnéaležívtéžerovině.situace je konkretizována na obr. 29a. Řešení ProtožesílyF,FA,FBseprotínajívnekonečnu,nenímožnépřímopoužít větu o třech silách. SíluFuvedeme do rovnováhy dvěma pomocnými silami S0,S1 podstatně odlišného směru(vhodnou volbou pólu P). Situace je znázorněnanaobr.29b,cařešísepostupemreciprokýmpostupu,kterýbylpopsán včl.1.6.vevláknovémobrazci(obr.29b)nakreslímenositelky0,1sils0, S1 tak,abyseprotínalynanositelce p(sílys0,s1,fjsouvrovnováze procházejíbodemo F ). FBF S1 a) p A p A F b) p p p B F c) 1 O F p B 0 O A 2 O B FA S2S0 P Obr

26 Nositelka p A neznámésílyfamusíprocházetbodemo A,podobněnositelka p B neznámésílyfbmusíprocházetbodemo B.Vláknovýobrazecuzavřeme přímkou2,kterájespojnicíbodůo A,O B audávásměrtřetípomocnésílys2. Nynívesložkovémobrazci(obr.29c)rozložímesíluS0nasíluS2ahledanou sílufb. Výslednice pomocných sils1 as2 pak dává velikost druhé neznámé sílyfa. Tím je úloha vyřešena. Podobně budeme řešit i problém popsaný v příkladě 5, jestliže průsečík O přímek p, p B budemimolistpapíru. Příklad 7 Danou sílufna nositelce p uveďte do rovnováhy třemi silamifa,fb, FC, kteréležínadanýchrůznoběžkách p A, p B, p C bezspolečnéhoprůsečíku, přičemžvšechnypřímky p, p A, p B, p C ležívjednérovině.situacejekonkretizovánanaobr.30. F p p p C A pb Obr. 30 Řešení Fc pb a) p b) D E FBC F FC FA p A p C 26 Obr. 31

27 Jde o rovnováhu čtyř sil, kterou převedeme prostřednictvím pomocné Culmannovy síly na rovnováhu dvou trojic sil, tedy na řešení známého problému. Culmannova sílacmá směr Culmannovy přímky c, která je spojnicí průsečíků D, E(obr. 31a). Ve složkovém obrazci(obr. 31b) nejprve uvedeme do rovnováhy sílufsilamifa,capakrozložímesílucnahledanésílyfb,fc,kterémají společné působiště v bodě E. 3.3 Uložení tělesa v rovině Volnétělesovprostorumášeststupňůvolnosti,volnétělesovroviněmátři stupně volnosti. Poloha tělesa v rovině je jednoznačně určena polohou úsečky, kteráleží vtétorovině(např.polohouúsečkyabnaobr.32).ktomuje zapotřebí tří souřadnic, např. x, y, ϕ. B B ϕ ϕ A A(x,y) Obr. 32 Obr. 33 Pohyblivost volného tělesa můžeme snížit zavedením vazby. Zamezíme-li pohybu bodu A(obr. 33), odebereme tělesu v rovině dva stupně volnosti. Těleso bude mít jeden stupeň volnosti jeho pohyblivost bude popsána změnou jediné souřadnice ϕ. Pohybu bodu A zamezíme pevnou podporou(obr. 33). Zbývající jeden stupeň volnosti odebereme posuvnou podporou v bodě B(obr. 34), kterázamezírotacitělesakolembodua.pokudbychomvboděbpoužilipevnoupodporujakovboděa,bylabysoustavajižstatickyneurčitá(mělaby 3 2 2= 1stupňůvolnosti) vizobr.35.takovousoustavujižnelzeřešit jen užitím zákonů statiky. Pokud se tato podpora u skutečného tělesa použije, musí se řešení doplnit užitím zákonů pružnosti a pevnosti. Pokud bychom vložilimezibodya,bvobr.35ještěpodporuposuvnou,bylabysoustavajiž dvakrát staticky neurčitá. A B A B Obr. 34 Obr. 35 Pevnou podporu v rovině můžeme realizovat rovněž připojením dvou tu- hýchprutůdojednohobodutělesa,např.vboděanaobr.36.jedenpřipo- 27

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Petr Kopelec. Elektronická cvičebnice. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic

Petr Kopelec. Elektronická cvičebnice. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic Elektronická cvičebnice Petr Kopelec Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Základní úlohy statiky... 3 2 Určení síly v rovině...

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu Mechanika - síla Zápisy do sešitu Síla a její znázornění 1/3 Síla popisuje vzájemné působení těles (i prostřednictvím silových polí). Účinky síly: 1.Mění rychlost a směr pohybu 2.Deformační účinky Síla

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ..07/.5.00/4.080 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Statika 1. Úvod & Soustavy sil. Miroslav Vokáč 22. února ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč.

Statika 1. Úvod & Soustavy sil. Miroslav Vokáč 22. února ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. 1. přednáška Úvod & Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 22. února 2016 Konzultační hodiny Ing. Miroslav Vokáč, Ph.D. Kloknerův ústav, ČVUT v Praze Šolínova 7 166 08

Více

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECH Zpracoval: Ing. Jan Vimmr, Ph.D. Prutové soustavy Prutové soustavy představují speciální soustavy těles, které se uplatňují při navrhování velkorozměrových

Více

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá.

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá. TRIN_STT_P11.doc STTIK - SOUOR PŘNÁŠK 11. Prutové soustavy, základní pojmy, metody řešení. Teoreticky je PRUTOVÁ SOUSTV definována jako soustava složená z tuhých prutů, které jsou navzájem spojeny ideálními

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

FYZIKA I. Pohyb setrvačníku. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohyb setrvačníku. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohyb setrvačníku Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar

Více

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky.

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. 7. Prutové soustavy Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. s styčník (ruší 2 stupně volnosti) každý

Více

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL:

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: Obsah 11_Síla... 2 12_Znázornění síly... 5 13_Gravitační síla... 5 14_Gravitační síla - příklady... 6 15_Skládání sil... 7 16_PL: SKLÁDÁNÍ SIL... 8 17_Skládání různoběžných sil působících v jednom bodě...

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda

SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda Vzájemné působení těles Silové působení je vždy vzájemné! 1.Působení při dotyku 2.Působení na dálku prostřednictvím polí gravitační pole

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

TŘENÍ A PASIVNÍ ODPORY

TŘENÍ A PASIVNÍ ODPORY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 3. BŘEZNA 2013 Název zpracovaného celku: TŘENÍ A PASIVNÍ ODPORY A) TŘENÍ SMYKOVÉ PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ Pohyb po nakloněné rovině bez

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví 5. přednáška Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 5. května 2014 (prutové ) podle prostoru rozdělujeme na: Rovinné Prostorové Dále se budeme zabývat jen rovinnými

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_6_Mechanika tuhého tělesa Ing. Jakub Ulmann 6 Mechanika tuhého tělesa 6.1 Pohyb tuhého tělesa 6.2 Moment

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Statika tuhého tělesa Statika soustav těles

Statika tuhého tělesa Statika soustav těles Statika tuhého tělesa Statika soustav těles Petr Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 4. ŘÍJNA 202 Název zpracovaného celku: PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Příhradové konstrukce jsou sestaveny

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

STATIKA Fakulta strojní, prezenční forma, středisko Šumperk

STATIKA Fakulta strojní, prezenční forma, středisko Šumperk STATIKA 2013 Fakulta strojní, prezenční forma, středisko Šumperk Př. 1. Určete výslednici silové soustavy se společným působištěm (její velikost a směr). Př. 2. Určete výslednici silové soustavy se společným

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

BIOMECHANIKA. 2, Síly, vektory a skaláry. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.

BIOMECHANIKA. 2, Síly, vektory a skaláry. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. BIOMECHANIKA 2, Síly, vektory a skaláry Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. SÍLY Síla vzniká tahem, tlakem nebo prostřednictvím tíhového pole Země a vzniká

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21 Obsah 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace................................... 1. Moment síly k bodu a ose.............................. 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav........................ 1 TĚŽIŠTĚ

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3811 Název DUM: Skládání a rozkládání sil Číslo DUM: III/2/FY/2/1/17 Vzdělávací předmět: Fyzika Tematická oblast:

Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3811 Název DUM: Skládání a rozkládání sil Číslo DUM: III/2/FY/2/1/17 Vzdělávací předmět: Fyzika Tematická oblast: Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3811 Název DUM: Skládání a rozkládání sil Číslo DUM: III/2/FY/2/1/17 Vzdělávací předmět: Fyzika Tematická oblast: Fyzikální veličiny a jejich měření Autor: Mgr. Petra

Více

P řed m lu va 11. P o u žitá sym b o lik a 13. I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y

P řed m lu va 11. P o u žitá sym b o lik a 13. I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y 5 Obsah P řed m lu va 11 P o u žitá sym b o lik a 13 I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y 15 1. Úvodní č á s t 17 I. I. Vědní obor mechanika..... 17 1.2. Stavební mechanika a je

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

4.6.3 Příhradové konstrukce

4.6.3 Příhradové konstrukce 4.6.3 Příhradové konstrukce Forth Bridge (1890) 2529 m Akashi Kaikyō Bridge (1998) 3911 m "Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work. "The Forth Bridge seen

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 15. ZÁŘÍ 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY ) NOSNÍKY ZTÍŽENÉ OBECNOU SOUSTVOU SIL Obecný postup při matematickém řešení reakcí

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Cvičebnice stavební mechaniky

Cvičebnice stavební mechaniky Cvičebnice stavební mechaniky Ing. Karla Labudová. vydání Tato příručka vznikla za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky. Obsah Síly působící v jednom paprsku 7. Dvě síly

Více

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114 STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez

Více

Rozumíme dobře Archimedovu zákonu?

Rozumíme dobře Archimedovu zákonu? Rozumíme dobře Archimedovu zákonu? BOHUMIL VYBÍRAL Přírodovědecká fakulta Univerzity Hradec Králové K formulaci Archimedova zákona Archimedův zákon platí za podmínek, pro které byl odvozen, tj. že hydrostatické

Více

Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku

Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů a a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu mezi vektory.

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Moment síly Statická rovnováha

Moment síly Statická rovnováha Moment síly Statická rovnováha Kopírování a šíření tohoto materiálu lze pouze se souhlasem autorky PhDr. Evy Tlapákové, CSc. Jedná se o zatím pracovní verzi, rok 2009 ZKRÁCENÁ VERZE Síla může mít rozdílný

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika PRÁCE, VÝKON, ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Mechanická práce Závisí na velikosti síly, kterou působíme na těleso, a na dráze, po které těleso posuneme Pokud má síla stejný

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Dynamika Obor mechaniky, který se zabývá příčinami změn pohybového stavu těles, případně jejich deformací dynamis = síla

Více