STATIKA TUHÉHO TĚLESA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATIKA TUHÉHO TĚLESA"

Transkript

1 STATIKA TUHÉHO TĚLESA Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíral Obsah Úvod 3 1 Soustavy sil působících na těleso Síla Momentsílyvzhledemkbodu Momentsílyvzhledemknehybnéose Rovinnásoustavasilsespolečnýmpůsobištěm a)grafickéřešení b)početnířešení c)varignonovavěta Obecnárovinnásoustavasil a)soustavadvourovnoběžnýchsil b)momentovávěta c)silovádvojiceajejímoment d)rovnoběžnéposunutísílydolibovolnéhoboduvtělese e)výsleniceobecnérovinnésoustavysil Grafickéurčenívýslednicerovinnýchsoustavsil Těžiště Těžištětuhéhotělesa Těžištěplochyačáry Grafickéurčenítěžiště Rovnováha a uložení tělesa v rovině Podmínkyrovnováhytělesa Některénutnépodmínkyrovnováhysil a)rovnováhadvousil b)rovnováhatřísilvrovině Uloženítělesavrovině Principuvolněnízvazby,určováníreakcí

2 4 Řešení rovinných prutových soustav 32 5 Úlohy 36 Výsledky úloh 42 Literatura 45

3 Úvod Skutečná tělesa pevného skupenství, neboli pevná tělesa, se vyznačují tím, že vzdálenosti mezi částicemi, z nichž jsou složena, nejsou stálé. Působením sil se tyto vzdálenosti mění, vzniká deformace pevného tělesa. Tyto změny vzdáleností jsou u řady úloh z mechaniky zanedbatelné, a pokud nedojde působením sil k porušení soudržnosti tělesa, není nutné k nim přihlížet. Proto zavádíme pojem tuhé těleso. Je to model skutečného pevného tělesa, u kterého se definuje, že vzdálenosti mezi jednotlivými body tělesa jsou neproměnné při libovolných působících silách. Dále se definuje, že tvar tuhého tělesa a rozložení hmotnosti v něm je stejné jako u skutečného tělesa, přičemž rozložení hmotnosti se předpokládá spojité. Tohoto modelu nelze použít v případech, kdy se např. uplatňují pružné vlastnosti skutečného tělesa. Uvažujme o třech bodech tuhého tělesa, které neleží na jedné přímce, půjde např.obody1,2,3naobr.1.upevníme-linynítuhétělesotak,žejedenjeho bod, např. 1, bude ve vztažné soustavě nepohyblivý, mohou ostatní body opisovat trajektorie, které budou ležet na kulových 2 plochách se středem v bodě 1. Budouli ve vztažné soustavě dva body nepohyblivé, např. 1, 2, budou ostatní body tělesa opisovat kruhové trajektorie, jejichž společnou osou je přímka, na níž leží body 1, Zamezíme-li v uvažované vztažné soustavě i pohybu bodu 3, bude těleso v této Obr.1 vztažné soustavě nepohyblivé. Z této úvahy vyplývá, že poloha tuhého tělesa v prostoru je jednoznačně určena polohou jeho tří bodů, které neleží na téže přímce. Protože tyto body můžeme považovat za vrchly rovinného trojúhelníka, je poloha tuhého tělesa rovněž jednoznačně určena polohou libovolného trojúhelníka spřaženého s tělesem. Polohakaždéhozuvažovanýchbodů1,2,3jevevztažnésoustavěurčena třemi souřadnicemi, takže pro určení polohy tělesa máme celkem devět čísel. Všech těchto devět čísel však nelze nezávisle měnit, protože tím bychom mohli tři body tuhého tělesa umístit kamkoli do prostoru, což není vzhledem k tuhosti tělesa možné. Protože tedy 12 =konst, 23 =konst, 31 =konst, lze při pohybu volitnanejvýš3 3 3=6nezávislýchsouřadnictuhéhotělesa.Říkáme,že volné tuhé těleso konající obecný prostorový pohyb má šest stupňů volnosti. Toto zjištění je rozhodující pro celou mechaniku tuhého tělesa. Např. k jednoznačnému řešení prostorového pohybu tuhého tělesa je třeba řešit šest skalárních pohybových rovnic a k určení rovnováhy tuhého tělesa v prostoru je 3

4 třeba řešit šest skalárních podmínek rovnováhy. V mechanice tuhých těles často řešíme tzv. rovinné úlohy. Patří sem například vyšetřování pohybu tělesa, jehož body opisují trajektorie, které jsou rovinnými křivkami. Nebo půjde o vyšetřování rovnováhy tělesa, kdy soustava sil působících na těleso je rovinná. Podmínky řešitelnosti rovinných úloh jsou podstatně jednodušší než u obecných prostorových úloh. Vyplývá to i z počtu stupňů volnosti volného tuhého tělesa vykonávajícího rovinný pohyb. Tento počet určíme opět z úvahy o pohybu tuhésoustavytříbodůzobr.1.obecněvolenébody1,2,3opisujípřirovinném pohybu trajektorie, které leží ve třech vzájemně rovnoběžných rovinách. Tyto tři body, které vymezují trojúhelník, můžeme bez újmy obecnosti volit tak,abyleželyjenvjednéztěchtorovnoběžnýchrovin.pakjeovšemzřejmé, že k jednoznačnosti určení polohy tělesa při rovinném pohybu stačí uvažovat jen o jedné ze stran tohoto trojúhelníka, například o úsečce 12. Její poloha v rovině je určena třemi nezávislými souřadnicemi, např. dvěma kartézskými souřadnicemibodu1aúhlem,kterýsvíráúsečka12slibovolnoupřímkouvtéto rovině. Tedy volné tuhé těleso konající rovinný pohyb má tři stupně volnosti. Podle druhů řešených úloh se mechanika tuhého tělesa člení na: 1. statiku řeší podmínky rovnováhy tělesa, 2. kinematiku zabývá se pohybem tělesa bez zřetele k jeho příčinám, 3. dynamiku vyšetřuje souvislost mezi pohybem tělesa a silami a jejich momenty působícími na teleso. Vnašemtextuseomezímejennastatikutuhéhotělesa. 4

5 1 Soustavy sil působících na těleso 1.1 Síla Ve statice vyšetřujeme soustavy sil, které sestávají z jednotlivých sil. Síla se ve fyzice zavádí jako veličina, která je mírou dynamických účinků na těleso(síla jako příčina změny pohybového stavu tělesa) anebo je mírou statických účinků F na těleso(např. tah na závěs, tlak na podložku, míra vzájemného působení mezi tělesy, síla jako příčina deformace pružných těles). Z experimentů je zřejmé, že síla je vektorová veličina. Při působení na skutečná tělesa je jednoznačně určena velikostí, směrem a působištěm. p Utuhýchtělesnenívazbasílynapůsobiště(A) nutná,neboťúčineksílynatuhétělesosejejím posunutím po přímce nositelce(p) nezmění v tuhémtělesejesílavázanánapřímku viz.obr.2. A Tuto vektorovou přímku síly budeme nazývat nositelka síly. Sílu graficky znázorňujeme orientovanou úsečkouapoužívámeproniznačkuf,případněve speciálních případech ještě značkyr,n,s. Důležitým případem síly pro statiku je tíhová sílafg. Obr.2 Je to výslednice tíhových sil působících na elementy tělesa v tíhovém poli. Má působiště v těžišti tělesa. Kromě toho zavádíme tíhug. Je to síla, kterou působí těleso v tíhovém poli na jiné těleso(např. podložku) v místě dotyku těchto těles. F Jednotkou síly je newton(n). y ir Fy Fx A Fz y A x z A z x A Obr.3 jok Při práci se silovými soustavami je velmi výhodné provést rozklad síly do kartézských složek(obr. 3): F=Fx+Fy+Fz= F xi+ F yj+ F zk, (1) kdei,j,kjsou jednotkové vektory ve směru os x, y, z kartézské soustavy souřadnic. Rozlišujeme vektoryfx,fy,fz jako kartézské složkysílyfaskaláry F x, F y, F z jakokartézské souřadnice sílyf. Vobr.3jepůsobištěAsílyurčenopolohovýmvektoremrosouřadnicích x A, y A, z A. Platí r= x Ai+ y Aj+ z Ak. (2) 5

6 F Vtomtotextuseažnavýjimkyomezímenarovinnousoustavusil.Pak F z =0, z A =0.Častopracujemeispolárnímisouřadnicemisíly: F= F, α Fy (obr. 4). Pak α F x = Fcosα, F y = Fsinα, A M Fx Obr.4 F= Fx 2+ F2 y,tg α= F y. (3) F x 1.2 Moment r F síly vzhledem k bodu Důležitým pojmem mechaniky je moment (M) síly vzhledem k bodu, který definujeme jako vektorový součin polohového vektoru(r) působiště síly od příslušného bodu(o) a vektoru(f) síly zde působící: ϕ O p A M=r F. (4) Je mírou otáčivých účinků sílyfna těleso, Obr.5 které je otáčivé kolem nehybného bodu O. Z vlastností vektorového součinu dvou vektorů vyplývá, žemje vektor, který má tyto vlastnosti(viz. obr. 5): a) Jekolmýkroviněproloženévektoryr,F. b) Jeho orientace je určena pravidlem pravé ruky pro vektorový součin(zde lze toto pravidlo specializovat tak, že orientace je určena palcem pravé ruky,kdyžprstyukazujísměrrotace,kteroubysílafvzhledemkboduo způsobila). c) Jeho velikost je určena plochou rovnoběžníka opsaného vektoryr,f: M =M= rfsinϕ=pf, (5) kde p=rsinϕjeramenosíly(obr.5). d) JevázánkboduO,kterýsenazývámomentovýbod. e) JenulovýbuďproF=0anebopror=0,tedykdyžnositelkasílyF procházímomentovýmbodemo.jenulovýrovněžpro ϕ=0,tedykdyž nositelkasílyjerovnoběžnáspolohovýmvektoremraje p=0. Kartézské složky vektorumurčíme obecným postupem pro vektorový součin. Omezíme-li se na rovinný případ, kdy vektoryr,fbudou ležet v rovině 6

7 i jk z=0,bude M=r F=(x Ai+ y Aj) (F xi+ F yj)= x A y A 0 F x F y 0 = =k(x A F y y A F x )=Mz. (6) VektorMmávtomtopřípadějedinousložku,kteráležívose zuvažované vztažné soustavy. Jednotkoumomentusílyjenewtonmetr(N m). 1.3 Moment síly vzhledem k nehybné ose Vedle momentu síly vzhledem k bodu se zavádí ještě moment síly vzhledem k nehybné ose. Je mírou otáčivých účinků sílyfna těleso, které je otáčivé kolem této o d A nehybnéosy.jetovektorm0,kterýležívoseotáčení a má velikost t M 0 = F 0 d, (7) Obr.6 M r kdef0 je průmět sílyfdo přímky t (obr.6),kterájetečnoukekružnici,jež o byopisovalbodapřiotáčenítělesakolem nehybnéosy oadjepoloměrtétokružnice. d Vztah mezi momentemmsíly vzhledem A kboduoamomentemm0téžesílyvzhledemkose o,kterábodemoprochází,je t M0 α zřejmýzobr.7.platí M 0 = Mcosα, (8) O kde αjeúhel,kterýtytodvavektorysvírají. Obr Rovinná soustava sil se společným působištěm F0 F F0 F Úlohou je najít jedinou výslednici soustavy sil, jejichž účinek na tuhé těleso je stejný, jaký má celá soustava jednotlivých sil. Uvažujme soustavu n sil, které ležívrovině z=0akterémajíspolečnépůsobištěa.pokudsílynemajíspolečné působiště, avšak jejich nositelky se protínají v jednom bodě, posuneme jednotlivé síly do tohoto bodu. 7

8 F a) Grafické řešení 8 Postupujme podle pravidla o geometrickém sčítání vektorů. Ke konci vektoru první síly připojíme vektor druhésílyatd.,ažkekoncipředposlední síly připojíme vektor po- F2 F3 F1 slední síly. VýsledniceFje pak určena orientovanou úsečkou vedenou zpočátkuakekonciposlednísíly. AF4 Výslednice tedy uzavírá tento silový Obr. n+1úhelník.řešenípro n=4je naobr.8. b) Početní řešení Jednotlivé síly rozložíme na kartézské složky a příslušné kartézské složky sečteme(jdeovektoryležícívesměruosy xay): Fv=F1+F2+...+Fn=(F 1x +F 2x +...+F nx )i+(f 1y +F 2y +...+F ny )j= = F xi+ F yj=fx+fy, (9) kdefx,fyjsoukartézskésložkyaf x, F y kartézskésouřadnicevýsledné sílyfv. Její polární souřadnice určíme pomocí vztahů(3). c) Varignonova věta Stanovme nyní moment výslednice soustavy n různoběžných sil, které leží vjednérovině,např. z=0(obr.9).výslednicepodlevztahu(9)je r n y Fv=. (10) Fv j=1fj Jednotlivé síly a jejich výslednice procházejí společným bodem A, jehož poloha vzhledem k počátku O vztažné Fn 1F2 F1 A soustavy je dána polohovým vektorem Fn r.oběstranyvztahu(10)nynízleva O x vektorově vynásobímera na pravé Obr.9 straně provedeme rozpis podle distribučního zákona. Tak dostaneme n n r Fv=, nebolimv=. (11) j=1r Fj j=1mj 8

9 Neboli moment výslednice soustavy sil protínajících se v jednom bodě(a) vzhledem k libovolnému bodu(o) je roven vektorovému součtu momentů složkových sil k témuž bodu(o). Tato věta se nazývá věta Varignonova podle Francouze Pierra Varignona ( ), který ji poprvé vyslovil. Je-li výsledná síla soustavy sil se společným působištěm nulová, je nulový i vektorový součet momentů složkových sil vzhledem k libovolnému bodu. Tato poučka obecně neplatí pro soustavu rovnoběžných sil, u níž je nulová výslednice silfv =0(viz odst. 1.5c). 1.5 Obecná rovinná soustava sil Pro nalezení postupu určení výslednice obecné rovinné soustavy sil, tedy soustavy sil, jejichž působiště nejsou totožná, budeme se nejprve zabývat zvláštním případem dvou rovnobežných sil a zavedeme pojem silové dvojice. a) Soustava dvou rovnoběžných Fsil S R2 R1 BF0 F0 A α C r 2 r 1 F2 R2 R1 F1 Fv Obr. 10 9

10 MějmedvěrovnoběžnésílyF1,F2podleobr.10.Úlohupřevedemenasoustavu dvou různoběžných sil tak, že k silám připojíme nulový vektorf0, F0. Tím dostaneme různoběžné sílyr1,r2, které procházejí bodem S. Jejich výslednice Fv=R1+R2=(F1 F0)+(F2+F0)=F1+F2 (12) mávelikost F v = F 1 + F 2,jejichnositelkajerovnoběžnásesilamiF1,F2a prochází bodem C, jehož poloha se určí z podobnosti příslušných trojúhelníků (obr.10): Odtud r 1 SC = F 0 F 1, r 1 r 2 SC = F 0 F 2. = F 2. r 2 F 1 Neboli F 1 r 1 = F 2 r 2,respektivepovynásobenísinαdostaneme F 1 r 1 sinα F 2 r 2 sinα=0, (13) kde r 1 sinα=p 1, r 2 sinα=p 2 jsouramenasilkmomentovémuboduc.bod Csenazývástředrovnoběžnýchsil. b) Momentová věta Podle vztahu(13) výslednice dvou rovnoběžných sil prochází bodem C, vzhledem k němuž je součet momentů jednotlivých složkových sil nulový. Je to zřejmě proto, že výslednice(12) má vzhledem k tomuto bodu nulové rameno. Tento poznatek lze zobecnit pro soustavu n různoběžných sil. Zvolíme-li momentový bod na nositelce jejich výslednice bude pro moment složkových sil platit n j=1mj=0. (14) Výsledek(14) se označuje jako momentová věta. Je-li výslednice soustavy rovnoběžných sil nulová, nemusí být nulový moment složkových sil, jak uvidíme v následujícím odstavci. S momentovou větou se setkáváme ještě v tomto znění: Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy se ruší, jestliže vektorový součet momentů všech sil vzhledemkosejenulovývektor. c) Silová dvojice a její moment Vraťme se nyní k soustavě dvou vzájemně rovnoběžných sil, avšak uvažujme síly opačného směru. Při hledání výslednice postupujeme analogicky jako u soustavy rovnoběžných sil stejného směru, tj. problém převedeme zavedením pomocných silf0, F0 na problém různoběžných sil. Výsledek řešení je zřejmý zobr

11 C F2 R2 F0 A B F0 αfv R1 F1 F0 F2 S F0 R2 AC =r 1 BC =r 2 AB =r= r 2 r 1 R1 F1 Obr. 11 Výslednice má velikost F v = F 1 F 2 (15) aležívboděcmimoúsečkuabnastraněvětšísíly.vzdálenost r 1 boduc od bodu A určíme z momentové věty(14), nebo z podobnosti trojúhelníků na obr. 11. Platí F 1 r 1 = F 2 r 2 = F 2 (r 1 + r), neboli r 1 = F 2 F 1 F 2 r= F 2 F v r. Po vynásobení sin α dostaneme vztah pro ramena sil p 1 = F 2 F v p. (16) Uvažujme nyní zvláštní případ dvou vzájemně rovnoběžných sil opačného směruastejnévelikosti(obr.12).jejívelikostpodle(15)je F v =0ajejípoloha podle(16)je p 1.Tatozvláštnísoustavasenazývásilovádvojice. 11

12 M Účinek silové dvojice se zřejmě projevuje pouze momentem síly. Vypočteme jeho velikost k libovolně umístěnému(momentovému) bodu O(obr. 12): xf F M= xf+(x+p)f= pf. (17) Nezávisí tedy na poloze boduo. Vektor momentumsilové dvojice je kolmý k rovině, A v níž dvojice leží a není vázánkžádnémubodu O p B jetovektorvolný.přizachování směru jej můžeme posunout do libovolného bodu v prostoru. Obr. 12 r F F =F d) Rovnoběžné posunutí síly do libovolného bodu v tělese M a) b) c) A A r0 A A F F F A r O Obr. 13 Působí-li sílafv bodě A tuhého tělesa(obr. 13a), můžeme ji posunout do libovolnéhobodua vtělesetak,ževtomtoboděpřipojímektělesunulový vektorf, F,přičemž F = F (obr.13b).vzájemnápolohabodůa,a je zřejměurčenavztahemr0=r r.přirovnoběžnémposunutísílyfdobodua musímetedypřipojitksílef=f doplňkovousilovoudvojicif, F = F. JejímomentklibovolnémuboduOje M=r F+r ( F )=(r r ) F=r0 F, (18) neboli je nezávislý na volbě momentového bodu O. Výsledek rovnoběžného posunutí bodu je znázorněn na obr. 13c. e) Výslednice obecné rovinné soustavy sil Mějme soustavu n sil, které nemají společné působiště. Pro jednoduchost zvolíme rovinnou soustavu a budeme početním způsobem hledat její výslednici. 12

13 Podstata řešení úlohy je v principu jednoduchá. Postupem uvedeným v předcházejícím odstavci ad d) úlohu převedeme na skládání různoběžných vektorů sil a momentů sil. Uvažujme např. obecnousílufj,kteráležívrovině yfv z=0vpůsobištia j.tatosílareprezentuje libovolnou sílu z n-tice Fv d Mv daných sil. Tyto síly přeneseme do určitého bodu roviny, např. do po- Fj Fj čátkuo(obr.14).kekaždépřene- sené síle musíme při pojit moment O A v x A j Mj příslušné silové dvojice. Fj Poté můžeme najít výslednici sil a momentů silových dvojic soustavy: Fv n n Fv=,Mv=. (19) Obr. 14 j=1fj j=1mj K tomu je třeba připomenout, že v případě rovinné soustavy mají všechny momentymjsměrkolmýkroviněsil(majívnašempřípaděsměrosy z)atudíž se skládají skalárně. Pro výsledný moment byl v obr. 14 použit pro jednoduchost symbol obloučku se šipkou, naznačuje směr rotace, kterou by moment síly vyvolal. Tento momentmv lze zcela eliminovat vhodným přemístěním výslednicefvtak,aby F v d=m v. Půjde-li naopak o rovinnou soustavu rovnoběžných sil, bude úloha snadno řešitelná. Při početním postupu lze jednak využít výše popsané metody s tím, že obě rovnice(19) budou skalární. Jednak lze využít momentové věty(14). Oba postupy uplatníme v následujícím příkladě. Příklad 1 UrčetevýslednicisilF1,F2,F3,kterépůsobínatuhýnosníkpodle(obr.15). Tíhovou sílu nosníku neuvažujte. 13

14 Mv O C F1=60N, F 2 =40N, F3 F 3 =30N, a=0,30m F1 Fv a a a Obr. 15 Řešení a) DanésílypřenesemedoboduOanajdemevýslednousíluavýslednýmoment silových dvojic: F v = F 1 + F 2 F 3 = 50N d F2 M v = F 1 a+f 2 2a F 3 3a= 21N m. Výsledný momentmv vyrušíme přemístěním výsledné sílyfv do vzdálenosti d,pronížplatí d= M v F v = m=0,42m. b) Polohu výslednice lze určit rovněž užitím momentové věty(14), podle níž součet momentů složkových sil vzhledem k bodu(c) ležícímu na výslednici je nulový: F 1 (d a)+f 2 (2a d) F 3 (3a d)=0 d= F 1 2F 2 +3F 3 F 1 F 2 + F 3 a=0,42m. 1.6 Grafické určení výslednice rovinných soustav sil Grafickéřešenípopsanévčlánku1.4a(obr.8)lzepoužítjenpropřípadrůznoběžných sil. Grafické řešení pro rovnoběžné síly(obr. 10, 11) aplikované na obecnější případy by bylo velmi pracné. Proto byla vypracována metoda vláknového a silového obrazce. Metodu si ukážeme na konkrétním jednoduchém případě dvou rovnoběžných sil(obr. 16a). 14

15 a) b) p v A F1p1 0 1 C 2 B p 2F2 FvF2F1 F F 21 F0 P(pól) Fv Fv obrazec vláknový F0 obrazec silový Obr. 16 K soustavě připojíme nulovou soustavu silf0, F0 na nositelce 0 směru podstatněodlišnéhoodsměrunositelek p 1, p 2.PracujemenejprvesesilouF0, kterousečtemesdanousilouf1adostanemedílčívýslednicif 1 =F0+F1 (obr.16b).nositelka1tétosílymusíprocházetprůsečíkemanositelek p 1 a 0 vizvláknovýobrazec(obr.16a).nynísevrátímedosilovéhoobrazcea ksílef 1 přičtemedanousíluf2adostanemedílčívýslednicif 2 =F 1 +F2, jejížnositelka2musíprocházetprůsečíkembnositelek1ap 2.Nakonecjetřeba odečíst vloženou síluf0, tedy připojit sílu F0. Tak dostaneme výslednou sílu Fv=F 2 F0,kterávevláknovémobrazcimusíprocházetprůsečíkemCnositelek 0,2.BodPjevýznačnýmbodemsilovéhoobrazce;nazývásepól.Celýpostup lze formálně zjednodušit jak ukážeme na dalším příkladě. Mějme soustavu čtyř sil v rovině podle obr. 17. Pomocné síly(vloženou nulovou soustavu silf0, F0 a dílčí výslednice) získáme spojením koncových bodů daných s vhodně voleným pólem P v silovém obrazci(označujeme je nyní již jen čísly) a směry těchto sil přenášíme do vláknového obrazce. Na konci postupu již nepřipojujeme sílu F0, nýbrž použijeme nositelky 0 sílyf0, která má stejný směr. SílaFv doplňuje příslušný n+1 úhelník. Její nositelka prochází průsečíkem nositelek 0, 4 ve vláknovém obrazci. 15

16 a) b) F1 F2 F3F4 F F2 2 P 0 4 F3 3 4 F4 Fv Fv Obr

17 2 Těžiště 2.1 Těžiště tuhého tělesa Na jednotlivé hmotné elementy m tělesa působí v homogenním tíhovém poli Země síly, které jsou vzájemně rovnoběžné. Předpokládáme-li, že těleso je homogenníohustotě g,budeelementtíhovésíly FG=g m=g V.Celková tíhovásílafg=gm=g V procházívýznamnýmbodem,kterýsenazývá těžiště(tentobodpřitomnemusíbýtsoučástítělesa,jakjetomunapř.ukruhového prstence). Polohu xt y, yt, zt těžištětělesana obr. 18 určíme podle pravidel pro skládání rovnoběžných sil, přičemž souřadnice x V T m T, z T určímetak,žetíhové polenechámepůsobitvesměruosy y asouřadnici y T tak,žetíhovépolenechámepůsobitvesměruosy x.uži- FG O jeme přitom Varignonovu větu, např. y T x FG z T prosouřadnici x T budeplatit z x T xg V= x T g V, Obr. 18 (V) přičemžsymbol značí, že součet provádíme přes celý objem tělesa. Po krácení g vypočteme x T (V).Takpostupnědostanemevšechnysouřadnicetěžiště x T = 1 V x V, (V) y T = 1 V y V, (V) z T = 1 V z V. (20) Výpočet podle těchto vzorců bude tím přesnější, čím menší elementy V, které vyplňujícelétělesooobjemu V,budemevolit.Vlimitě V 0vedevýpočet na integrování, což přesahuje rámec tohoto textu. Má-li homogenní těleso rovinu nebo osu souměrnosti, leží těžiště v této rovině nebo na této ose. Má-li homogenní těleso střed souměrnosti, je jeho těžiště totožné s tímto středem. Poloha těžiště od podstavy některých homogenních tělesnajejichosevzávislostinavýšce htěchtotělesjeuvedenavtab.i. Tab. I. (V) válec, hranol n boký jehlan kužel polokoule h h h h=3 8 r Je-li těleso sestaveno z několika dílčích těles, jejichž hmotnosti m = V a souřadnice jejich těžišť známe, určíme těžiště tělesa užitím vzorců(20). 17

18 v tělese dutina nebo otvor, připojíme do těžiště této chybějící části tíhovou sílu opačného směru. TS 1 Např. v hranolu na obr. 19 je asymetricky vytvořený S 2 válcovýotvor.dobodu S 2 tedypřipojímetíhovou sílufg2opačnéhosměrunežmátíhovásílafg1.síla FGFG1FG2 F G1 odpovídácelistvémuhranolu,fg=fg1 FG2 Obr. 19Je-li hranolu s otvorem. 2.2 Těžiště plochy a čáry Analogicky pojmu těžiště tělesa se zavádí pojem těžiště plochy a těžiště čáry. Pro výpočet souřadnic těžiště rovinné plochy si představme homogenní plochétělesooplošezákladny Sakonstantnítloušťce t.podosazenídoprvních Tab. II b Kruhový oblouk T r αα y T y T = r sinα α = rb s s Půlkruhový oblouk α=π/2, b=πr, s=2r y T = 2r π Trojúhelník h y T = h 3 T y T Kruhová výseč T 18 r αα y T y T = 2rsinα 3α Půlkruh α=π/2 y T = 4r 3π

19 dvouvztahů(20)za V= ts, V= t Sdostaneme x T = 1 x S, S (S) y T = 1 y S. (21) S (S) Podobně pro výpočet souřadnic těžiště rovinné čáry si představme drát konstantníhopříčnéhoprůřezu Svelmimalýchrozměrůoprotidélce l.pak V= Sl, V= S lapodle(20)dostaneme x T = 1 x l, y T = 1 y l. (22) l l (l) (l) Vlimitě S 0nebo l 0přecházejívýrazy(21)a(22)opětnaintegrály. Výsledky řešení pro některé důležité čáry a plochy jsou uvedeny v tab. II. Příklad Vypočtěte souřadnice těžiště plochy na obr Řešení: Nejprve vhodně zvolíme soustavu souřadnic(vizobr.21,22).plochajesymetrická podle osy x, proto počítáme jen 70 T souřadnici x T,neboť y T =0.Plochulze rozložit na obdélníky. Je několik možností, zvolíme dvě. 10 Obr.20 a) Plochu rozložíme na tři obdélníky(obr. 21). S 1 = S 3 =300mm 2, S 2 =900mm 2, S=2S 1 + S 2 =1500mm 2, x 1 = x 3 =15mm, x 2 =35mm, x T = 2S 1x 1 + S 2 x 2 S =27mm. b) Plochu rozložíme na dva obdélníky(obr. 22): od obdélníku ABCD plochy S 1 odečtemeobdélníkefghplochy S 2.Platí S 1 =3600mm2, S 2 =2100mm2, S= S 1 S 2 =1500mm2, x 1=20mm, x 2=15mm, x T = S 1 x 1 S 2 x 2 S =27mm. 19

20 y y x x 2 x 1 = x 3 T T x TS1 S3S O x S2 Obr.21 2 A B S 2 F E S O x H G D x C 1 x TS Obr Grafické určení těžiště Protože při hledání souřadnic těžiště jde v podstatě o úlohu nalezení působiště výslednice soustavy rovnoběžných sil v prostoru nebo v rovině, lze pro řešení této úlohy použít grafických metod vypracovaných pro řešení těchto soustav. Pro řešení těžiště osově symetrických těles, plochých těles, ploch a čar lze použítgrafickéhořešení,kteréjepopsánovčlánku1.5.ukážemesitonadvou příkladech. Příklad 3 Naleznětesouřadnici x T těžištěplochyzpříkladu2grafickoumetodou,ato propřípadyada),adb)rozkladuplochy. O Obr. 23 x T S1+S3 1 0 T S2 S2 S1+S3 S x T =27mm P 20

21 S x T 2 S S 0 T O 2 P 0 1 S S 1 S 1 Obr.24x T =27mm Řešení: Úlohu převedeme na skládání sil, jejichž velikost je úměrná velikosti příslušných ploch. a) Obr.23 b) Obr.24 Řešeníadb)jeméněpřesné,protožesezdeuplatňujerozdílsil.Protobylo zvoleno větší měřítko pro délky. Příklad 4 Určete grafickým řešením souřadnice těžiště lomené čáry podle obr. 25. l 4 l 3 α l 2 l1= l2= l4=25mm, α l 3 =40mm, l α=45 1 Obr. 25 Řešení: Nejprve zvolíme soustavu souřadnic(obr. 26). Velikost tíhových sil bude úměrná délkám úseček, jejich působiště bude ve středu úseček. Směr těchto sil budeprosouřadnici x T vzápornémsměruosy y,pro y T vesměruosy x.silové obrazce spojíme do jednoho obrazce se společným pólem P(viz obr. 26). 21

22 y l 2 T l 3 l x T =30mm y T =36mm y T l 1 x T O 3 x P 1 F2 2 0 F3 3 4 F4 Obr. 26 F1 F F F F

23 3 Rovnováha a uložení tělesa v rovině 3.1 Podmínky rovnováhy tělesa Věnujme nejprve pozornost případu tuhého tělesa, které se nachází v inerciální vztažné soustavě a na nějž působí obecná prostorová soustava sil(obecně sil vzájemně mimoběžných). Aby toto těleso bylo v rovnováze, aby tedy existovala vztažná soustava, v níž se nebude pohybovat ani posouvat, ani otáčet, musí být výslednice sil působících na těleso nulová a musí být nulová i výslednice momentůsil.musítedyplatit n j=1fj=0, (23) n j=1mj=0. (24) Tyto dvě vektorové rovnice reprezentují šest složkových rovnic. Volné těleso, jakvímezúvodu,mášeststupňůvolnostiasplněníkaždéztěchtosložkových rovnic odebírá tělesu jeden stupeň volnosti. Těleso, které se ve vztažné soustavě nepohybuje, má nula stupňů volnosti. Vtétostati,kterájejenúvodemdostatiky,budeúčelnézabývatsepouze řešením případu rovnováhy tuhého tělesa v rovině. Pak se v případě obecné soustavy sil v rovině redukuje rovnice(23) na dvě složkové rovnice a rovnice (24)najednusložkovourovnici.Budou-lisílypůsobitvrovině z=0,budou mít složkové rovnice rovnováhy tvar n F xj =0, j=1 n F yj =0, (25) j=1 n M zj =0. (26) j=1 Jdetedyotřirovnice,kteréodpovídajítomu,ževolnétělesomávrovinětři stupně volnosti. Splnění každé z rovnic(25),(26) odebírá tělesu jeden stupeň volnosti. Bude-li na těleso působit jen soustava různoběžných sil, tedy soustava sil se společným působištěm, bude rovnováhy tělesa dosaženo při splnění podmínek (23), resp.(25). Pro dosažení rovnováhy tělesa zde proto postačí, aby silový obrazec byl uzavřený, neboli, aby výslednice sil byla nulová. U obecné soustavy sil je to podmínka pouze nutná. 23

24 Bude-li na těleso působit jen soustava momentů sil, vyvolaných např. soustavou silových dvojic, pak postačí pro rovnováhu tělesa jen splnění podmínky (24), resp.(26). Pro obecnou soustavu sil je to opět jen podmínka nutná. Současné splnění obou podmínek(23),(24), resp.(25),(26), dává podmínku nutnou a postačující pro případ působení obecné soustavy sil na tuhé těleso. Rovnováhy tuhého tělesa bude dosaženo v těchto dvou případech: 1.Prodanésíly(častooznačovanéjako vtištěné síly)obecněpůsobícína těleso budou splněny podmínky(23),(24), neboli výslednice daných sil a jejich momentů bude nulová. 2. Nebudou-li výslednice daných sil a jejich momentů nulové, je nutné tuhé těleso vhodně uložit(viz. odst. 3.3). Pak vzniknou v uložení reakce, které doplní soustavu daných sil a momentů sil tak, že podmínky(23),(24) budou splněny. 3.2 Některé RG nutné podmínky rovnováhy sil a) Rovnováha dvou sil Dvě síly budou v rovnováze, jen když budou ležet natéženositelce.abytobylapodmínkanutnái postačující, musí být tyto síly také stejně velké a vzájemně opačného směru. Např. volná kulička v tíhovém poli nebude v rovnováze, působením tíhové síly bude padat. Abychom ji uvedli do rovnováhy při zachování působení dané sílyg, položíme ji na vodorovnou podložku. Ta začne na kuličku působit ve směru Obr. 27 svislicesilou reakcír= G,kterájiuvede do rovnováhy(obr. 27). b) Rovnováhatřísilvrovině Nutnou podmínkou pro rovnováhu tří různoběžných sil působících v rovině je, aby tyto síly procházely jedním bodem. Tato věta má velkou důležitost pro statiku rovinných soustav, jak uvidíme v dalších příkladech a úlohách. Příklad 5 Danou síluf, která leží na nositelce p, uveďte do rovnováhy dvěma silami, přičemžojednévíte,želežínapřímce p B,kterájerůznoběžnáspřímkou pa druháprocházíbodema,kterýležívroviněurčenépřímkami p, p B.Příkladje konkretizován na obr. 28a. 24

25 Řešení Užijemevětuotřechsilách sílymusíprocházetprůsečíkemopřímek p, p B (obr.28b).tímjedánsměrsíly F A přímka p A,kterájespojnicíbodůA, O.Zesilovéhoobrazcenaobr.28curčímevelikostsilFA,FB.Silovýobrazec jeuzavřen jdeosílyvrovnováze. F F a) p b) p c) p A O p A FAFB p B p B p B A F A Obr. 28Příklad 6 DanousíluF,kteráležínanositelce p,uveďtedorovnováhydvěmarovnoběžnýmisilamifa,fb,kterépůsobínadanýchrůznýchpřímkách p A, p B, přičemžpřímky p, p A, p B jsouvzájemněrovnoběžnéaležívtéžerovině.situace je konkretizována na obr. 29a. Řešení ProtožesílyF,FA,FBseprotínajívnekonečnu,nenímožnépřímopoužít větu o třech silách. SíluFuvedeme do rovnováhy dvěma pomocnými silami S0,S1 podstatně odlišného směru(vhodnou volbou pólu P). Situace je znázorněnanaobr.29b,cařešísepostupemreciprokýmpostupu,kterýbylpopsán včl.1.6.vevláknovémobrazci(obr.29b)nakreslímenositelky0,1sils0, S1 tak,abyseprotínalynanositelce p(sílys0,s1,fjsouvrovnováze procházejíbodemo F ). FBF S1 a) p A p A F b) p p p B F c) 1 O F p B 0 O A 2 O B FA S2S0 P Obr

26 Nositelka p A neznámésílyfamusíprocházetbodemo A,podobněnositelka p B neznámésílyfbmusíprocházetbodemo B.Vláknovýobrazecuzavřeme přímkou2,kterájespojnicíbodůo A,O B audávásměrtřetípomocnésílys2. Nynívesložkovémobrazci(obr.29c)rozložímesíluS0nasíluS2ahledanou sílufb. Výslednice pomocných sils1 as2 pak dává velikost druhé neznámé sílyfa. Tím je úloha vyřešena. Podobně budeme řešit i problém popsaný v příkladě 5, jestliže průsečík O přímek p, p B budemimolistpapíru. Příklad 7 Danou sílufna nositelce p uveďte do rovnováhy třemi silamifa,fb, FC, kteréležínadanýchrůznoběžkách p A, p B, p C bezspolečnéhoprůsečíku, přičemžvšechnypřímky p, p A, p B, p C ležívjednérovině.situacejekonkretizovánanaobr.30. F p p p C A pb Obr. 30 Řešení Fc pb a) p b) D E FBC F FC FA p A p C 26 Obr. 31

27 Jde o rovnováhu čtyř sil, kterou převedeme prostřednictvím pomocné Culmannovy síly na rovnováhu dvou trojic sil, tedy na řešení známého problému. Culmannova sílacmá směr Culmannovy přímky c, která je spojnicí průsečíků D, E(obr. 31a). Ve složkovém obrazci(obr. 31b) nejprve uvedeme do rovnováhy sílufsilamifa,capakrozložímesílucnahledanésílyfb,fc,kterémají společné působiště v bodě E. 3.3 Uložení tělesa v rovině Volnétělesovprostorumášeststupňůvolnosti,volnétělesovroviněmátři stupně volnosti. Poloha tělesa v rovině je jednoznačně určena polohou úsečky, kteráleží vtétorovině(např.polohouúsečkyabnaobr.32).ktomuje zapotřebí tří souřadnic, např. x, y, ϕ. B B ϕ ϕ A A(x,y) Obr. 32 Obr. 33 Pohyblivost volného tělesa můžeme snížit zavedením vazby. Zamezíme-li pohybu bodu A(obr. 33), odebereme tělesu v rovině dva stupně volnosti. Těleso bude mít jeden stupeň volnosti jeho pohyblivost bude popsána změnou jediné souřadnice ϕ. Pohybu bodu A zamezíme pevnou podporou(obr. 33). Zbývající jeden stupeň volnosti odebereme posuvnou podporou v bodě B(obr. 34), kterázamezírotacitělesakolembodua.pokudbychomvboděbpoužilipevnoupodporujakovboděa,bylabysoustavajižstatickyneurčitá(mělaby 3 2 2= 1stupňůvolnosti) vizobr.35.takovousoustavujižnelzeřešit jen užitím zákonů statiky. Pokud se tato podpora u skutečného tělesa použije, musí se řešení doplnit užitím zákonů pružnosti a pevnosti. Pokud bychom vložilimezibodya,bvobr.35ještěpodporuposuvnou,bylabysoustavajiž dvakrát staticky neurčitá. A B A B Obr. 34 Obr. 35 Pevnou podporu v rovině můžeme realizovat rovněž připojením dvou tu- hýchprutůdojednohobodutělesa,např.vboděanaobr.36.jedenpřipo- 27

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Cvičebnice stavební mechaniky

Cvičebnice stavební mechaniky Cvičebnice stavební mechaniky Ing. Karla Labudová. vydání Tato příručka vznikla za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky. Obsah Síly působící v jednom paprsku 7. Dvě síly

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21

Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21 Obsah 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace................................... 1. Moment síly k bodu a ose.............................. 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav........................ 1 TĚŽIŠTĚ

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 15. ZÁŘÍ 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY ) NOSNÍKY ZTÍŽENÉ OBECNOU SOUSTVOU SIL Obecný postup při matematickém řešení reakcí

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 3. Newtonovy zákony 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Základní informace o výuce předmětu SSK II Metody řešení staticky neurčitých konstrukcí

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP SKETCHUP SketchUp je program pro tvorbu trojrozměrných modelů. Je to jednoduchý, intuitivní a silný nástroj pro modelování. Není žádný problém

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1 Prut: konstrukční prvek,

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0632 1

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0632 1 Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Nosníky

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

4 Halové objekty a zastřešení na velká rozpětí

4 Halové objekty a zastřešení na velká rozpětí 4 Halové objekty a zastřešení na velká rozpětí 4.1 Statické systémy Tab. 4.1 Statické systémy podle namáhání Namáhání hlavního nosného systému Prostorové uspořádání Statický systém Schéma Charakteristické

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

F-1 Fyzika hravě. (Anotace k sadě 20 materiálů) ROVNOVÁŽNÁ POLOHA ZAPOJENÍ REZISTORŮ JEDNODUCHÝ ELEKTRICKÝ OBVOD

F-1 Fyzika hravě. (Anotace k sadě 20 materiálů) ROVNOVÁŽNÁ POLOHA ZAPOJENÍ REZISTORŮ JEDNODUCHÝ ELEKTRICKÝ OBVOD F-1 Fyzika hravě ( k sadě 20 materiálů) Poř. 1. F-1_01 KLID a POHYB 2. F-1_02 ROVNOVÁŽNÁ POLOHA Prezentace obsahuje látku 1 vyučovací hodiny. materiál slouží k opakování látky na téma relativnost klidu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Fyzika pokus 11. 11.1 Zjištění těžiště tuhého tělesa 11.2 funkce těžiště na stabilitu tuhého tělesa

Fyzika pokus 11. 11.1 Zjištění těžiště tuhého tělesa 11.2 funkce těžiště na stabilitu tuhého tělesa Fyzika pokus 11 11.1 Zjištění těžiště tuhého tělesa 11.2 funkce těžiště na stabilitu tuhého tělesa Projekt TROJLÍSTEK podpora výuky přírodopisu, biologie, fyziky a chemie žáků ve věku 11 až 15 let reg.

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety

Obr. 11.1: Rozdělení dipólu na dva náboje. Obr. 11.2: Rozdělení magnetu na dva magnety Magnetické pole Ve starověké Malé Asii si Řekové všimli, že kámen magnetovec přitahuje podobné kameny nebo železné předměty. Číňané kolem 3. století n.l. objevili kompas. Tyčový magnet (z magnetovce nebo

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

STATIKA TUHÝCH TĚLES

STATIKA TUHÝCH TĚLES VOŠ a SOŠ Roudnice nad Labem STATIKA TUHÝCH TĚLES Studijní obor: Dopravní prostředky Ing. Jan JINDRA 1.9.2011 Pro vnitřní potřebu školy 1 Tělesa volná: Určení síly: působiště, velikost, směr a smysl Přeložení

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení PROBLÉMY STABILITY 9. cvičení S pojmem ztráty stability tvaru prvku se posluchač zřejmě již setkal v teorii pružnosti při studiu prutů namáhaných osovým tlakem (viz obr.). Problematika je však obecnější

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

VY_32_INOVACE_FY.03 JEDNODUCHÉ STROJE

VY_32_INOVACE_FY.03 JEDNODUCHÉ STROJE VY_32_INOVACE_FY.03 JEDNODUCHÉ STROJE Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Jednoduchý stroj je jeden z druhů mechanických

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více