MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ SPOTŘEBY PALIVA VOZIDLA

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ SPOTŘEBY PALIVA VOZIDLA MATHEMATICAL MODELLING OF VEHICLE FUEL CONSUMPTION BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR JAN DRAŽKA RNDr. PAVEL POPELA, Ph.D. BRNO 2011

2 Vysoké učení echnické v Brně, Fakula srojního inženýrsví Úsav maemaiky Akademický rok: 2010/2011 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE suden(ka): Jan Dražka kerý/kerá suduje v bakalářském sudijním programu obor: Maemaické inženýrsví (3901R021) Řediel úsavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Sudijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující éma bakalářské práce: v anglickém jazyce: Maemaické modelování spořeby paliva vozidla Mahemaical Modelling of Vehicle Fuel Consumpion Sručná charakerisika problemaiky úkolu: Suden provede rešerši používaného maemaického popisu spořeby paliva vozidel. Následně vypracuje zjednodušený maemaický model pohybu vozidla a maemaický popis jeho dráhy. S využiím výše uvedených kroků sesaví simulační model spořeby paliva pro režimy jízdy vozidla po zadané rajekorii. Odborní konzulani: Ing. Per Poreš, Dr., Ing. Pavel Ramík, Ing. Lubomír Drápal. Cíle bakalářské práce: S využiím simulačních výpočů sanove opimální jízdní režim z hlediska spořeby paliva.

3 Seznam odborné lieraury: Vlk, F: Dynamika moorových vozidel, Nakladaelsví a vydavaelsví Vlk, Brno 2006 Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Termín odevzdání bakalářské práce je sanoven časovým plánem akademického roku 2010/2011. V Brně, dne L.S. prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. Řediel úsavu prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc. Děkan fakuly

4 ABSTRAKT: Práce se zabývá modelováním pohybu a spořeby paliva auomobilu s využiím reálných da. Práce obsahuje jak přípravu vsupních da do vhodné maemaické formy, ak sesavení celkového maemaického simulačního modelu. Hlavním cílem práce je porovnání vybraných jízdních režimů auomobilu z hlediska spořeby paliva a jejich opimalizace. Simulační model je naprogramován v prosředí MATLAB a v programu GAMS, ve kerém jsou využiy vybrané opimalizační algorimy. ABSTRACT: This bachelor s hesis deals wih a model building of vehlicle s model based on real daa and wih a modelling of i s movemen and i s fuel consumpion. The hesis includes a preparaion of inpu daa as well as model building. The main aim of he hesis is he comparison among seleced driving modes from he poin of fuel consumpion and i s opimizaion. This comparison is simulaed in MATLAB environemen and GAMS wih he use of seleced opimizaion algorihms. KLÍČOVÁ SLOVA: Spořeba paliva, auomobil, modelování, opimalizace. KEY WORDS: Fuel consumpion, vehicle, model building, opimizaion. DRAŽKA, Jan: Maemaické modelování spořeby paliva vozidla: Bakalářská práce, Brno, Vysoké učení echnické v Brně, Fakula srojního inženýrsví, Úsav maemaiky, 2011, 60 s. Vedoucí práce RNDr. Pavel Popela, Ph.D.

5

6 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Maemaické modelování spořeby paliva vozidla vypracoval samosaně pod vedením RNDr. Pavla Popely, Ph.D. s použiím maeriálů uvedených v seznamu lieraury. Jan Dražka

7

8 Na omo mísě bych velmi rád poděkoval všem, keří mi pomáhali s mou bakalářskou prací. Můj dík paří především vedoucímu mé práce RNDr. Pavlu Popelovi, Ph.D. a aké hlavnímu konzulanovi Ing. Pavlu Ramíkovi za jejich čas a laskavé i odborné vedení. Dále bych chěl poděkova Ing. Peru Porešovi, Dr., Ing. Lubomíru Drápalovi a doc. RNDr. Liboru Čermákovi, CSc., neboť i oni mi nemalým způsobem a ochoně pomohli. Janek Dražka

9

10 OBSAH ÚVOD 1. SESTAVENÍ MODELU AUTOMOBILU A JEHO POHYBU 1.1 Úvod do problemaiky, maemaické nadefinování veličin Definice hmonosní spořeby paliva Definice požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva Definice zařazeného rychlosního supně 1.2 Rozbor sil působících na auomobil Zavedení krouícího momenu a hnací síly Zavedení vnějších odporových sil Zavedení vniřních odporových sil Zavedení součiniele roačních čásí Výsledná síla působící na auomobil 1.3 Rozbor a aproximace diagramu dráhových spořeby paliva Oázka vhodné aproximace diagramu Prvoní aproximace diagramu Zlepšení aproximace diagramu 1.4 Zavedení celkových spořeb pomocí funkcionálu Zavedení časové spořeby paliva Vzah mezi časovou spořebou paliva S a dráhovou spořebou S Zavedení celkové časové a dráhové spořeby paliva 1.5 Shrnuí a maemaická formulace úlohy 2. SIMULACE V PROSTŘEDÍ MATLAB A GAMS 2.1 Formulace úlohy v maemaickém sofwaru GAMS Sručná formulace Podrobná formulace Předepsání konsan a předem známých veličin Předepsání počáeční podmínky Výpoče veličin v kroku Výpoče veličin v kroku k Předepsání omezení Definice účelové funkce Výpoče účelové funkce

11 2.2 Formulace úlohy v maemaickém sofwaru MATLAB Rozbor úlohy Řešení úlohy Zobrazení výsledku úlohy a závěr 3. POROVNÁNÍ VYBRANÝCH MODELOVÝCH JÍZDNÍCH REŽIMŮ 3.1 Opimální jízdní režim po rovině 3.2 Opimální jízdní režim pro rozjíždění 3.3 Opimální jízdní režim při jízdě do kopce ZÁVĚR PŘÍLOHY LITERATURA

12 ÚVOD Důležiou součásí živoa obyvael v dnešní době je doprava osobním auomobilem. V současné době se snižuje pořizovací cena auomobilů, ale jejich provoz a cena pohonných hmo neusále narůsá. Mnoho řidičů se snaží sníži náklady na provoz snížením spořeby paliva auomobilu. Věšina řidičů jezdí denně pravidelně nějakou zaběhnuo rasu (cesa do práce, služební cesa ). Někeří z nich si kladou oázku, jak sníži výdaje za benzín ím, že vhodným jízdním režimem sníží průměrnou spořebu paliva. Při jízdě po dálnici někeří řidiči radí je co nejpomaleji na co nejvyšší rychlosní supeň a uo rychlos si sále udržova. Jiní radí auomobil sřídavě rozjíždě a sřídavě vyřazova. Při jízdě po měsě, kde se auomobil časo rozjíždí a opěovně brzdí, se vynořuje oázka jak sníži spořebu paliva při rozjezdu. Je vhodné plynový pedál lecha nebo naopak se rozje prudce a co nejdříve dosáhnou rychlosi, kdy lze zařadi nejvyšší rychlosní supeň? Při jízdě mezi obcemi v členiém erénu je vhodné auomobil před kopcem dosaečně rozje a vyje kopec na nejvyšší rychlosní supeň? Nebo spíše auomobil nerozjíždě zbyečně moc za cenu oho, že v kopci bude řeba i nuno podřadi? A jesliže jeden jízdní režim je výhodnější než druhý, jak velkého rozdílu v průměrné spořebě se dá dosáhnou? Tao práce má za cíl dá odpověď na podobné oázky na základě maemaického rozboru problému spořeby paliva auomobilu a jeho opimalizace. Práce je rozčleněna do ří kapiol. V první kapiole je maemaicky popsán auomobil, jeho pohyb po kinemaické i dynamické sránce a spořebu paliva. V jejím závěru je nasíněna obecná maemaická formulace problému jako minimalizace funkcionálu. V druhé kapiole je úloha formulována o něco přesněji a je vyloženo, jakým způsobem byla maemaická úloha minimalizace funkcionálu implemenována od prosředí MATLAB a GAMS. V řeí kapiole práce maemaicky formuluje výše zmíněné oázky a prosřednicvím simulace a opimalizace v programu GAMS se na ně snaží podloženým způsobem odpovědě

13 KAPITOLA 1 SESTAVENÍ MODELU AUTOMOBILU A JEHO POHYBU V éo kapiole budou zavedeny a přesně nadefinovány veškeré pojmy pořebné k sesavení modelu pohybu vozidla související jak s kinemaickým a s dynamickým pohledem na pohyb vozidla ak se spořebou paliva. Bude uvedeno, z jakých da a fyzikálních konsan bude model vycháze. V případě, že někerá daa nebudou k dispozici, bude uvedeno, jakým způsobem budou nahrazena či aproximována a jak budou v modelu zahrnua. V závěru kapioly bude nasíněna obecná maemaická formulace úlohy. V dalších dvou kapiolách bude pojednáno o implemenaci modelu do prosředí MATLAB a GAMS a porovnání vybraných jízdních režimů z hlediska spořeby paliva. 1.1 ÚVOD DO PROBLEMATIKY, MATEMATICKÉ NADEFINOVÁNÍ VELIČIN V éo podkapiole si uvedeme základní definice a pojmy související s pohybem vozidla a spořebou paliva Definice hmonosní spořeby paliva Do mooru auomobilu je v průběhu jízdy přiváděno palivo. Definujme hmonosní spořebu paliva α jako množsví paliva dm dodaného do mooru za jednoku času d. Tedy: dm α = (1.1) d Pro daný moor v naší práci uvažujme, že hmonosní spořeba paliva nabývá hodno α α MIN = 0; α MAX, kde α MAX je maximální možná hodnoa hmonosní spořeby paliva, kerá je dána konsrukcí mooru. Moor ak dává maximální možný hnací momen, kerý odpovídá momenové charakerisice mooru. Mezi mírou sešlápnuí plynového pedálu řidičem a hmonosní spořebou paliva dodávaného do mooru je složiý vzah, neboť vsřikování paliva je řízeno řídící jednokou mooru, kerá vyhodnocuje i mnoho dalších veličin např. eplou chladící kapaliny mooru, eplou a průok nasávaného vzduchu, eplou oleje, složení výfukových plynů, ad. Mezi ěmio informacemi hraje důležiou ale nikoli jedinou roli právě míra sešlápnuí plynového pedálu. V naší práci se nebudeme deailně zabýva vzahem mezi mírou sešlápnuí plynového pedálu a hmonosní spořebou paliva, neboť o by překračovalo rámec éo práce, ale omezíme se na obecný předpoklad, že zde eno vzah exisuje Definice požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva Dopusíme se aké zjednodušení, že všechny veličiny (kromě míry sešlápnuí plynového pedálu), keré mají vliv na hmonosní spořebu paliva (eploa mooru, sav oleje ad.), shrneme a budeme předpokláda, že hmonosní spořeba paliva je funkcí pouze jedné

14 veličiny, vyjadřující požadavek řidiče na jízdní režim a jemu odpovídající spořebu paliva, kerou označíme jako ϕ a nazveme požadavek řidiče na okamžiou dodávku paliva. Teno předpoklad můžeme symbolicky vyjádři jako: α = f (ϕ) (1.2) α Proože požadavek řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ bude v naší práci hrá důležiou roli, definujme ho v následujících bodech ako: 1) Požadavek řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ může bý funkcí času nebo funkcí dráhy s, po keré se auomobil pohybuje. Obě dvě vyjádření se nám budou hodi v různých případech. Symbolicky můžeme vyjádři ϕ = () nebo ϕ = (s) f ϕ f ϕs 2) ϕ nabývá hodno: ϕ 0; 1 paliva.. Tedy ϕ je normovaným přepočem hmonosní spořeby 3) α = f (0) (1.3) MIN 0 = α 4) α MAX f α (1) (1.4) 5) α = kons > 0 pro ϕ 0; 1 ; (1.5) ( α = f (ϕ ) je vlasně přímou úměrou) α Obr. 1.1: Závislos α = f (ϕ ) α Definice zařazeného rychlosního supně Definujme zařazený rychlosní supeň i následovně: 1) Zařazený rychlosní supeň i může bý funkcí času nebo funkcí dráhy s, po keré se auomobil pohybuje. Obě dvě vyjádření budou vhodná v různých případech. Symbolicky můžeme vyjádři: i = f () nebo i = f (s) (1.6) i is

15 2) i nabývá hodno i { 2;3;4 }, čemuž odpovídá zařazený rychlosní supeň (pozn.: Do oboru hodno jsme nezařadili jedničku, jelikož se při jízdě krom rozjezdu z klidu nepoužívá. Auo má pouze 4-supňovou převodovku.) Zařazený rychlosní supeň i bude důležiým argumenem funkcí, kerými se budeme v práci zabýva ROZBOR SIL PŮSOBÍCÍCH NA AUTOMOBIL V následující kapiole uvedeme deailní rozbor všech sil, keré na auomobil působí. Auomobil nahradíme hmoným bodem a zavedeme dvourozměrný karézský souřadný sysém x,y, jehož počáek je pevně spojený s ímo hmoným bodem. Osa x je rovnoběžná s vekorem rychlosi auomobilu (pozn. v práci nebudeme nikdy uvažova nulovou rychlos auomobilu) a akéž s podélnou osou vozidla. Osa y je kolmá na osu x. Síly působící na auomobil jsou obecně vekory. Z povahy problému, kerý v naší práci řešíme, víme, že všechny vekory, kerými se budeme zabýva, nabývají pouze dvou směrů buďo směru pohybu auomobilu nebo směru opačného. Síly (popř. i jiné vekorové veličiny) proo v práci nebudeme znači jako vekory, ale jako skaláry (vyjadřující velikos vekoru). Za výslednou sílu působící na auomobil budeme považova souče (resp. rozdíl) všech sil, keré působí ve směru (resp. proi směru) pohybu auomobilu. Kladná hodnoa éo výsledné síly bude znamena, že výsledná síla působí ve směru pohybu auomobilu, a záporná hodnoa bude znači, že výsledná síla působí proi pohybu auomobilu Zavedení hnacího momenu a hnací síly Na základě charakerisiky mooru a převodových poměrů převodovky (viz obr. 1.4) lze získa expliciní vyjádření hnacího momenu M na hnací nápravě auomobilu, kerý je vyvozen z činnosi mooru a převeden převodovkou na hnací nápravu. Expliciní vyjádření hnacího momenu M jako funkce požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ, zařazeného rychlosního supně i a rychlosi auomobilu v lze symbolicky zapsa: ( ϕ, i v) M = f M, (1.7) Hnací momen M je z nápravy diskem kola a pneumaikami přenesen na vozovku jako hnací síla F. Velikos hnací síly F lze vyjádři vzahem: M F = (1.8) r d kde r d je dynamický poloměr kola auomobilu (podrobněji o dynamickém poloměru kola v [1], sr. 19). Hnací síla F a její výpoče bude v modelu hrá významnou roli

16 1.2.2 Zavedení vnějších odporových sil Na jedoucí auomobil působí odporová síla F r, kerá je dána součem odporu vzduchu F w, valivého odporu F v, průměu F g íhové síly G do rajekorie auomobilu při jízdě do/se svahu a dále jinými odpory, keré nemají už ak veliký význam. Proo se v naší práci dopusíme zjednodušení a yo další odpory už nebudeme uvažova. Velikos výsledné odporové síly F je edy dána vzahem: r w r F = F + F + F (1.9) viz [1], sr. 19 (rov. 1.13) v g Odpor vzduchu F w je dán empirickým vzahem: F w 2 = C 1 v (1.10) viz [1], sr. 26 (rov. 2.6) kde v je velikos rychlosi vozidla a C 1 konsana zjišěná měřením buďo v aerodynamickém unelu nebo jiným vhodným způsobem. Valivý odpor F v je dán vzahem, akéž empirickým: F v = C 2 (1.11) viz [1], sr. 23 (rov. 2.5) kde C 2 je konsana určená opě měřením. Obr. 1.2: Rozklad íhové síly Síla F g je průmě íhové síly G auomobilu do rajekorie, po keré se auomobil pohybuje. Označme θ úhel soupání. Je o úhel, kerý svírá osa y s íhovou silou G. Jede-li auomobil do kopce, považujeme úhel soupání θ za kladný, jede-li s kopce, považujeme jej za záporný. Úhel soupání θ je funkcí dráhy s. Tuo skuečnos můžeme symbolicky vyjádři vzahem: θ = f θ (s) (1.12)

17 Pak lze vyjádři průmě íhové síly F g jako: F g = G sinθ = m g sinθ (1.13) viz [1], sr. 31 (rov. 2.9) kde m je hmonos auomobilu a g je íhové zrychlení. Obecně ak lze konsaova, že F g je funkcí dráhy s. Jelikož odporová síla F r působí proi směru pohybu auomobilu a hnací síla ve směru pohybu, můžeme označi výslednou sílu F působící na auomobil jako: F působí F = F F r (1.14) Je-li F >0, pak výsledná síla F působí ve směru pohybu aua, v opačném případě proi pohybu Zavedení vniřních odporových sil Při každém přenosu energie dochází ke zráám. Sejně ak je omu i u auomobilu, kde ke zráám mechanické energie dochází v mooru i v hnacím úsrojí. Je-li moor auomobilu v činnosi, pak proi pohybu auomobilu působí ješě pasivní odpory hnacího úsrojí a pasivní odpory mooru, keré je nuno do modelu zahrnou. a) pasivní odpory hnacího úsrojí: Tyo odpory je možné v prvním přiblížení považova za konsanní nebo závislé pouze na momenu, kerý je úsrojím přenášen, a za nezávislé na rychlosi vozidla. Vyjdeme z odborného doporučení konzulana práce, že pro účely práce je možné použí předpokladu, že velikos momenu pasivních odporů v hnacím úsrojí činí při režimu brzdění moorem (zařazený rychlosní supeň a uvolněný plynový pedál) 10% zráového momenu mooru. b) pasivní odpory mooru: Tyo odpory jsou obvykle vyjádřeny zv. mechanickou účinnosí mooru, kerá je závislá především na oáčkách mooru a může mí složiější průběh. Teno průběh byl pro účely práce nahrazen lineární závislosí (přímkou). Pomocí mechanické účinnosi je možné urči zráový výkon a zráový momen mooru. Pokud jsou ve výpočech určovány momeny a síly na hnacích kolech vozidla, je nuno zráový momen mooru přepočís vynásobením převodového poměru v převodovce a diferenciálu. Konzulan práce přepočíal závislos, kerá popisuje velikos brzdného momenu na kolech auomobilu v závislosi na rychlosi v auomobilu vyvozeného pasivními odpory mooru. Pro získání celkového brzdného momenu M C vyvozeného z pasivních odporů jednak mooru a jednak hnacího úsrojí jsme uo závislos (přímku) přenásobili koeficienem k = 1,1. Tak jsme dosali novou přímku, kerá vyjadřuje velikos celkového brzdného

18 momenu jak mooru ak hnacího úsrojí při 4. zařazeném rychlosním supni (v naší práci budeme uvažova při brzdění moorem zařazený pouze nejvyšší rychlosní supeň, edy i = 4 ), jejíž přibližná rovnice je ao: M C = , 05v (1.15) kde M C je celkový brzdný momen na kolech vyvozený pasivními odpory vyjádřený v Nm a v je rychlos auomobilu. jednokách [ ] Zavedení součiniele roačních čásí Při změně rychlosi auomobilu působí proi směru zrychlení auomobilu servačná síla, kerá se skládá jednak z odporu zrychlení posuvných hmo auomobilu - ao odporová síla F se dle druhého Newonova zákona vyjádří pomocí hmonosi m auomobilu a jeho zrychlení a jako: F = m a (1.16) a jednak z odporu zrychlení roujících čásí auomobilu (moor, převodovka, kola). Pro prakické výpočy lze zavés bezrozměrný paramer součiniel roačních čásí ψ, kerý vyjadřuje, kolikrá se servačná síla zvýší oproi servačné síle dané jen posuvným zrychlením, uvážíme-li vliv roačních součásí auomobilu. Součiniel roačních čásí ψ je funkcí pouze zařazeného rychlosního supně i (resp. celkového převodu závislého na zařazeném rychlosním supni i ). Exisují vzahy pro přibližné určení ohoo parameru. Pro osobní auomobily plaí přibližně následující vzorec: 2 ψ = 1+ 0,04 + 0,0025 n (1.17) viz [2] kde n je celkový převod závislý na zařazeném rychlosním supni i. Tako vypočený koeficien, kerý přibližně nabývá hodno 1 <ψ < 2 lze srovna s abulkou uvedenou v [1] - sr. 34 (obr. 2.18) Výslednou servačnou sílu pak můžeme vyjádři pomocí součiniel roačních čásí ψ : F =ψ m a (1.18) Výraz ψ m můžeme považova za ekvivalenní hmonos vozidla Výsledná síla působící na auomobil Nyní si souhrnně uvedeme, na jakých veličinách je závislá výsledná síla F působící na auomobil a zrychlení auomobilu a, jehož směr je oožný se směrem výsledné síly F : F = f F ( ϕ, i, v, s) (1.19)

19 a = f a ( ϕ, i, v, s) (1.20) neboť, jak plyne z rovnic 1.7 až 1.18: M ( ϕ, i, v) F = F Fr = rd F( ϕ, i, v, s) a = (1.22) m ψ ( i) ( F ( v) + F F ( s) ) w v + g (1.21) 1.3 ROZBOR A APROXIMACE DIAGRAMU DRÁHOVÝCH SPOTŘEBY PALIVA V echnické praxi se při určování spořeby časo vychází z diagramů, nazývaných úplná rychlosní charakerisika mooru (obr. 1.3) viz [1] - sr. 96 (obr. 4.40), keré popisují vazbu mezi hnacím momenem M, oáčkami mooru a zv. měrnou spořebou paliva g vyjádřenou v jednokách kwh. Tyo digramy v sobě zohledňují pasivní odpory mooru, ale nikoli vnější pasivní odpory ani pasivní odpory úsrojí. Tyo diagramy ak musí bý ěmio údaji doplněny. Navíc se yo diagramy musí přepočíáva. Obr. 1.3: Úplná rychlosní charakerisika mooru Pro daný yp mooru exisují diagramy dráhových spořeb (obr. 1.4) - viz [1] - sr. 100 (obr. 4.42), keré jsou přepočené z úplných rychlosních charakerisik mooru a doplněné pařičnými údaji. Tyo diagramy popisují velikos hnacího momenu M mooru v závislosi na rychlosi v auomobilu s paramerem zařazeného rychlosního supně i a s paramerem dráhové spořeby paliva S

20 Obr. 1.4: Diagram dráhových spořeb Diagram v sobě zahrnuje vnější odporové síly a pasivní odpory mooru i úsrojí. Ale je určen pouze pro usálené jízdní režimy, zn. režimy, kdy se oáčky mooru v závislosi na čase prakicky nemění. Teno předpoklad však v naší práci splněn není, neboť budeme ve výpočech připoušě zrychlení vozidla a s ním i změnu oáček v čase. Ovšem eno problém dosaečně přesně řeší zavedení součiniele roačních čásí ψ, jak je uvedeno v kapiole Proo budeme v naší práci vycháze z právě uvedeného diagramu Oázka vhodné aproximace diagramu Popsa přesně křivky, keré jsou v diagramu znázorněny, by bylo echnicky zdlouhavé a navíc by vyžadovalo uplanění saisických meod, jelikož křivky byly konsruovány z naměřených (edy ne naproso přesných hodno). Pro výpoče hnacího momenu M z diagramu je ale řeba křivky nějakým vhodným způsobem popsa

21 Jednou z možných ces by mohlo bý proložení dosaečného množsví vybraných bodů dané křivky kubickým splajnem o éo problemaice se lze dočís v [3]. Teno posup pak aplikova pro všechny křivky. To by vedlo jisě k poměrně přesné inerpolaci, kde pro každou čás každé z mnoha křivek bychom získali expliciní vyjádření hnacího momenu M v závislosi na rychlosi v jako polynom. Avšak ao cesa by ve svém důsledku vedla k velkému poču dílčích vzorců. A navíc by vzorce plaily pro výpoče momenu M pouze podél křivek v diagramu. V oblasi diagramu mezi křivkami bychom nemohli momen M z ěcho vzorců počía Prvoní aproximace diagramu Druhá možnos, kerá byla doporučena vedoucím práce, je předsavi si křivky jako řezy plochy v prosoru poskládané za sebou do dvojrozměrného obrázku. 2 Plocha Γ je spojié zobrazení z neprázdné množiny A, kerá je podmnožinou R do m R. Symbolicky psáno dle [4]: Plocha Γ je spojié zobrazení: m Γ : A R kde 2 A R. Obr. 1.5: Vizualizace originálního diagramu z obr. 1.4 V diagramu (obr. 1.4) jsou obsaženy celkem 3 plochy pro druhý, řeí a čvrý rychlosní supeň (edy i { 2,3,4} ). Na obr. 1.5 lze vidě vizualizaci jedné z ěcho ploch. Abychom dobře objasnili podsau věci, budeme se pro jednoduchos nadále zabýva pouze plochou pro 4. rychlosní supeň ( i = 4 ). Pro zbývající dvě plochy budou plai analogické úvahy

22 Pro 4. rychlosní supeň lze z diagramu (obr. 1.4) rekonsruova rojrozměrnou plochu Γ. Tedy: 4 Γ : A R kde A 2 4 Σ 4 4 R 4 = 5; υ 4 = = υ a kde Σ 15 a 40; 210 (pozn. určení horních a dolních mezí inervalů vyplývá z obr. 1.4) Plocha 4 S, v, M 1 kde S Σ 4, v υ 4, M R. Plocha je obrázkem dána ak, že neexisují 2 body, keré by měly sejné souřadnice ( S, v) a přiom jiné souřadnice ( M ). Tuo skuečnos lze vyjádři následující implikací: Γ je vořena množinou bodů, keré jsou dány svými souřadnicemi ( ) Pro všechny body X plochy Γ 4 plaí: X ( X = X 1 S1, v1, M 1); X 2 ( S1, v1, M 2 ) 1 2 Z éo skuečnosi vyplývá, že exisuje zobrazení f 4 : A 4 R edy f : Σ 4 υ 4 R Když víme, že oo zobrazení exisuje, nahradili jsme jej nejprve polynomem 2. supně (v proměnné v υ4 ) a 1. supně v proměnné S Σ 4 (pro jednoduchos jsme koeficieny odhadli, nepoužili jsme žádnou speciální meodu). Na základě ohoo zobrazení jsme zpěně zrekonsruovali náhradní plochu Σ. * 4 Obdobně jsme posupovali i pro druhý a řeí rychlosní supeň. Tako vzniklé * * * náhradní plochy Σ 2, Σ3, Σ 4 jsou pro srovnání s diagramem vyneseny ve svých řezech v grafu (obr. 1.7). Tao náhrada plochy je sice velmi jednoduchá a její jednoznačnou výhodou je jediné expliciní vyjádření momenu M jako funkce v, S a o nejen podél všech křivek v diagramu ale i mezi nimi. Velkou nevýhodou je ovšem nepřesnos, kerá v simulačním programu (uvedeném v kap ) způsobovala chybné výsledky, keré se od očekávaných hodno zásadně lišily. Tuo nepřesnos samozřejmě šlo pozorova už i při srovnání grafu (obr. 1.7) s originálním diagramem (obr. 1.4) Zlepšení aproximace diagramu Jako jednoduchá, ale zároveň, co se přesnosi ýče, vyhovující variana, je náhrada plochy akéž polynomem (ale vyššího supně - 4. supně v proměnné v υ a 2. nebo 4. supně v proměnné S Σ ), kerá je znázorněna na obr Polynom 2 proměnných ak vykresluje plochu, kerou si označíme Σ (viz obr. 1.6). **

23 Obr. 1.6: Nahrazení plochy diagramu plochou ** Σ 4 Tuo plochu jsme nahrazovali ak, že vybranými body z diagramu jsme ve smyslu meody nejmenších čverců pomocí sofwaru MATLAB prokládali jeden ze 2 právě uvedených polynomů, keré jsme posupně zlepšovali ak, aby křivky byly co nejpřesněji aproximovány zejména v é oblasi diagramu, o keré jsme předpokládali, že hledaný průběh požadavku řidiče na okamžiou dodávku palivaϕ v ní bude leže nejspíše (jedná se o oblas dráhová spořeby 5-10l/100km při rychlosech do 100km/hod pro 4. rychlosní supeň). Body kerými jsme křivku prokládali jsme vybírali následujícím způsobem: z každé křivky, kerá je znázorněna na obr jsme vybrali všechny y body, keré voří lokální maximum či minimum křivky, dále krajní body křivky a případně i jiné vniřní body křivky, aby případné maximální vzdálenosi mezi vybranými body nebyly příliš veliké, aby všechny vybrané body vořili aspoň přibližně rovnoměrnou síť dané křivky. Posupného zlepšovaní ěcho polynomů jsme docílili ak, že bodům, kerými jsme prokládali polynomy, jsem přikládali různé váhy. Teno posup jsme aplikovali na všechny ři zařazené rychlosní supně. Na obr. 1.8 jsou dobře vidě řezy ěmio řemi plochami. Řezy jsou voleny ak, aby jednolivé křivky na obrázku odpovídaly křivkám v diagramu (obr. 1.4) a aké křivkám v obr

24 Obr. 1.7: Nahrazení diagramu jednodušším diagramem řezy plochami Σ, Σ * * 2 Σ3, * 4 Obr. 1.8: Nahrazení diagramu jednoduchým ale lepším diagramem řezy plochami ** ** ** Σ, Σ Σ 2 3, 4 Srovnáním obrázku 1.7 a obrázku 1.8 lze na první pohled vidě zlepšení přesnosi. Deailní grafické porovnání křivek diagramu (obr. 1.4) s křivkami z řezu na obr. 1.8 (polynom 4. supně v proměnné v υ a 2. nebo 4. supně v proměnné S Σ ) lze nají v příloze B

25 1.4 ZAVEDENÍ CELKOVÝCH SPOTŘEB POMOCÍ FUNKCIONÁLU Hnací momen M = f M ( ϕ, i, v) je funkcí ří veličin, jak jsme jej zavedli v kapiole (rovnice 1.7). Dle diagramu (obr. 1.4), respekive dle jeho aproximace (kapiola 1.3), je ale hnací momen funkcí M = f i ( S, i, v). Teno rozpor vyplývá pouze z oho, jak byl hnací momen definován pro pořeby naší práce v kapiole na základě požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva. Vyjádření hnacího momenu sjednoíme v následující podkapiole Zavedení časové spořeby paliva V kapiole byla definována hmonosní spořeba paliva α rovnicí 1.1 jako dm množsví paliva dm dodaného do mooru za jednoku času d. Tedyα =. Uvažovali d jsme, že hmonosní spořeba paliva α je funkcí pouze požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ. Jenže z diagramu dráhových spořeb (obr. 1.4) vyplývá, že nejen požadavek řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ má vliv na hmonosní spořebu paliva α. V omo diagramu exisují body (charakerizované rychlosí v auomobilu a hnacím momenem M ), kerými prochází dvě křivky dráhové spořeby paliva S. Jedna křivka náleží jednomu zařazenému rychlosnímu supni a druhá křivka náleží druhému zařazenému rychlosnímu supni, přičemž dráhová spořeba S má pro obě křivky různou hodnou. Proo i hmonosní spořebu paliva α má pro různé zařazené rychlosní supně jinou hodnou. Z oho důvodu je řeba zavés veličinu podobnou hmonosní spořebě paliva, kerá v sobě zohlední vliv zařazeného rychlosního supně. Definujme nyní časovou spořebu paliva jednoku času: S jako objemové množsví paliva za dv ρ dm S = k = k = k ρ α (1.23) d d kde ρ je husoa paliva, k je nějaká konsana úměrnosi závislá na zařazeném rychlosním supni i a α je hmonosní spořeba paliva závislá na míře sešlápnuí plynového pedálu ϕ. Časová spořeba paliva S je edy funkcí jednak požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ a jednak zařazeného rychlosního supně i. S je vyjádřena v jednokách ml s. Lze symbolicky psá: S = f ( ϕ, i) (1.24) S

26 1.4.2 Vzah mezi časovou spořebou paliva S a dráhovou spořebou S Podle definice požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ v kapiole 1.1 je z diagramu parné, že pro např. ϕ = 1 (edy hmonosní spořeba paliva je nejvyšší možná a edy i dráhová spořeba paliva S je nejvyšší možná) a pro i = 2 je výsupní momen M funkcí pouze rychlosi v a je dán křivkou, kerá je v diagramu znázorněna úplně nahoře a hodnoa dráhové spořeby paliva bude S = 36l / 100km. Pro jinou volbu, např. ϕ = 0, 5 a i = 2 bude dráhová spořeba paliva S = 18l / 100km a výsupní momen M se bude řídi odpovídající křivkou položenou níže. l Dráhová spořeba S je vyjádřena v jednokách km. Vzah mezi dráhovou 100 ml spořebou S a časovou spořebou paliva S, vyjádřenou v jednokách s lze snadno odvodi či nají v lierauře ([1] - sr rov. 4.87). Vzah je dán rovnicí: S S = 360 (1.25) v Tedy: S = f S ( ϕ, i, v) (1.26) Konsana úměrnosi je přepočíána ak, aby rovnice respekovala jednokové vyjádření obou veličin Zavedení celkové časové a dráhové spořeby paliva Po inegraci okamžié časové spořeby celkovou časovou spořebu paliva 2 Φ jako: Φ ( ϕ, i) = S ( ϕ, i) d (1.27) 1 vyjádřenou v jednokách [ ] S od času 1 do času 2 ak definujme ml. Přičemž ϕ a i jsou funkcí času. Rychlos v, ačkoliv není v inegrálu explicině vyjádřena, je nuno uvažova, neboť úloha může bý omezena například podmínkou, že auomobil musí v čase 2 dosáhnou určié rychlosi. Rychlos v je v čase < 1,2 > závislá na hodnoě sama sebe v čase 1 (uo hodnou budeme znači v 0 ), na průběhu ϕ a i v časovém inervalu < 1, > a aké ješě na hodnoách průměu íhové síly F g, kerý je ovšem závislý na dráze s, nikoli na čase. Vzah (1.27) lze pokláda za funkcionál s paramery 1,2 a v 0, kerý se nalezením vhodného průběhu veličin ϕ() a i() na časovém inervalu < 1,2 > budeme v práci snaži minimalizova. Teno funkcionál je výhodné použí pouze v případě, kdy F g je konsanní, jelikož pak F g nemusíme uvažova jako funkci dráhy s

27 V práci ale budeme uvažova i siuace, kdy ϕ a i jsou funkcí dráhy s. Proo je vhodné definova i celkovou dráhovou spořebu paliva Φ s jako: s2 Φ ( ϕ, v, i) = S( ϕ, i, v) ds (1.28) s s1 l. Analogicky ϕ a i jsou funkcí dráhy s. Rychlos v je v bodě dráhy s < s 1, s2 > závislá na hodnoě sama sebe v bodě s 1 (uo hodnou budeme znači v 0 ), na průběhu ϕ a i v dráhovém inervalu < s 1, s > a na hodnoách průměu íhové síly F g v dráhovém inervalu < s 1, s2 >. Podobně i eno vzah budeme pokláda za funkcionál enokrá s paramery s1, s2 a v 0, kerý se nalezením vhodného průběhu veličin ϕ(s) a i(s) na dráhovém inervalu s < s 1, s2 > budeme v práci opě snaži minimalizova. Teno funkcionál je vhodné použí v případech, kdy F g není konsanní (edy kdy je funkci dráhy s ). vyjádřenou v jednokách [ ] 1.5 SHRNUTÍ A MATEMATICKÁ FORMULACE ÚLOHY Cílem naší práce je naléz k zadané počáeční podmínce v 0 a zadané rajekorii, kerá je dle rovnice (1.12) definována úhlem soupání θ na dráze s vzahem θ = f θ (s), akový průběh požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ a zařazeného rychlosního supně i (v závislosi na čase nebo na dráze s ), aby vozidlo mělo při projeí zadané rajekorie co nejmenší celkovou časovou spořebu Φ respekive celkovou dráhovou spořebu Φ s. Úlohu ak lze z maemaického hlediska považova za minimalizaci jednoho ze dvou uvedených funkcionálů. To je schémaicky naznačeno na obrázku obr

28 Hledáme opimální průběh ěcho funkcí, aby účelové funkce byly minimální. ϕ ( s) resp. ϕ( ) 0;1 i ( s) resp. i( ) { 2;3;4 } Počáeční podmínka v 0 Průběh úhlu soupání θ = (s) f θ Tyo funkce mají různá omezení. M = M ( ϕ, i, v ) F = F( ϕ, i, v, s) a = a( ϕ, i, v, s) v = v( ϕ, i, v, s) S ( ϕ, i, v ) S( ϕ, i, v ) [ ml / s] [ l /100km] Φ 2 = S ) 1 2 [ ϕ( ), i( ] d [ ml] [ ϕ( s), i( s), v( s ] ds [ l] Φ s = S ) 1 Účelové funkce, keré minimalizujeme. Obr. 1.9: Schémaický náznak formulace úlohy

29 KAPITOLA 2 SIMULACE V PROSTŘEDÍ MATLAB A GAMS V minulé kapiole byl sesaven model auomobilu a jeho pohybu. V éo kapiole bude pojednáno o om, jak model přenés do prosředí MATLAB a do programu GAMS, abychom mohli počía různé simulace. Too simulování jízdních režimů a jejich vzájemné porovnání z hlediska spořeby paliva bude uvedeno až v následující řeí kapiole. 2.1 FORMULACE ÚLOHY V MATEMATICKÉM SOFTWARU GAMS Úlohu minimalizova funkcionál Φ = S[ ϕ( s), i( s), v( s ]ds (jak byla podrobně 2 s ) definována v minulé kapiole vzah 1.28) lze formulova a úspěšně vyřeši v různých maemaických sofwarech. Pro účely naší práce jsme se rozhodli použí GAMS (General Algebraic Modeling Sysem). V éo kapiole naznačíme, jak by se úloha řešila, kdybychom měli k dispozici velice výkonný počíač a mohli úlohu řeši zv. hrubou silou zn. spočíáním všech možnosí, kerých je při vhodné diskreizaci problému vždy jen konečně mnoho. Z ěcho konečně mnoha pomocných výsledků bychom vybrali nejmenší výsledek (globální minimum), keré bychom prohlásili za výsledek naší úlohy. Volbou diskreizačního kroku lze na úkor přesnosi snižova poče pomocných výsledků. Moderní maemaické sofwarové řešiče mají v sobě zabudováno velké množsví algorimů a posupů, z nichž si na základě různých kriérií vyberou nejvhodnější algorimus (resp. sadu algorimů) pro řešení dané úlohy. Tyo algorimy časo radikálně snižují poče operací, keré je nuno provés, abychom obdrželi výsledek, kerý po jisém poču ierací spočíají s požadovanou přesnosí Sručná formulace Nyní si popíšeme posup, jak by se úloha řešila zv. hrubou silou, neboť velmi podobně, jak je uvedeno v následující formulaci, se úloha zformuluje i pro námi vybraný maemaický řešič GAMS: 1) nadefinujeme veličiny, nadefinujeme fyzikální konsany, určíme diskreizační konsany 2) předepíšeme počáeční podmínku v 0 3) v kroku 0 si zvolíme ϕ (0) a i (0) a pomocí nich a počáeční podmínky spočíáme podle jisý vzahů osaní veličiny vzahující se ke kroku 0: M (0), F (0), a (0), a Φ (0). S ěmio hodnoami se vozidlo dosane z bodu s(0) do bodu s (1). Průběh veličin mezi jednolivými body uvažujeme konsanní

30 4) V bodu s (1) spočíáme hodnou rychlosi v (1) a zvolíme ϕ (1) a i (1). Pomocí ěcho hodno opě spočíáme všechny osaní veličiny M (1), F (1), a (1), a Φ s (1). Průběh všech ěcho 7 veličin považujeme mezi body 1 a 2 za konsanní. Tedy že se v bodě 1 skokově změnil a až do bodu 2 je konsanní. Výpočy opakujeme až do bodu n. 5) předepíšeme všechna omezení pro každou z veličin 6) definujeme účelovou funkci Φ s = Φ n k= 1 s ( k) (2.1) 7) spočíáme hodnou účelové funkce (pomocný výsledek) a celý výpoče provádíme znovu akovým způsobem, že volíme dvojici ϕ (k) a i(k) pro k 0;n ak, aby aspoň v jednom bodě 0 až n byla odlišná od již proběhlých výpočů Podrobná formulace Nyní si podrobněji rozebereme všech 7 bodů, uvedeme, jaké veličiny používáme, jaké vzorce použijeme k výpoču veličin, jakým způsobem organizujeme výpoče ad Předepsání konsan a předem známých veličin Určíme poče kroků n - zn. celkovou dráhu s, kerou má vozidlo proje, rozdělíme do n sejných čásí o délce s ds = (2.2) n kerou nazveme délka diskreizačního kroku). Sanovíme konsany charakerizující vozidlo: - hmonos vozidla ( m ) - časová spořeba benzínu při vyřazeném rychlosním supni ( β ) - dynamický poloměr kola ( r d ) - součiniel roačních čásí ψ pro různé zařazené rychlosní supně i Při sanovování ěcho konsan jsme vyšli z odborného doporučení konzulana práce, že diagram, ze kerého vycházíme, je pravděpodobně naměřen pro osobní auomobil sřední řídy. Proo jsme dle doporučení konzulana konsany doplnili ak, aby co nejpřesněji korespondovaly s naším diagramem. Získání diagramu dráhových spořeb je velmi obížné, neboť yo diagramy jsou ajemsvím každé auomobilky. Volně k dispozici jsou ak diagramy pouze neúplné a spíše jen pro vozidla, keré se už delší dobu nevyrábí. Pro přehlednos práce nyní neuvádíme číselné hodnoy veškerých konsan a paramerů, keré pro náš model použijeme. To je uvedeno v příloze C v rámci ukázky zdrojového kódu GAMS

31 Sanovíme konsany a paramery popisující diagram dráhových spořeb: Jedná se především o konsany k polynomům 2 proměnných, o kerých jsme se zmínili v kapiole 1.3. a dále o paramery k parabole jízdních odporů (jízdní odpory rozebrány v kapiole 1.2), kerá je v diagramu znázorněna. Sanovíme konsany charakerizující soupání či klesání vozovky: Paramer charakerizující soupání či klesání dráhy mezi body k až k + 1, kde k +1 n, je sin( θ ( k)). Teno paramer byl zaveden v kapiole Zadáme fyzikální konsany: - graviační zrychlení ( g ) Předepsání počáeční podmínky Předepíšeme počáeční podmínku v Výpoče veličin v kroku 0 Nejprve diskreizujme nespočenou množinu (inerval) možných hodno požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ. Je definováno, že: ϕ 0 ;1, i I = 0;2;3;4 (pozn., i = 0 rozumíme, že je vyřazen rychlosní supeň). { } Inerval 0 ; 1 rozdělíme do několika vzájemně disjunkních inervalů, ak aby pokryly celý inerval 0 ; 1. Z každého inervalu pak vybereme jednoho zásupce a množinou ěcho zásupců (označme P ) nahradíme inerval 0 ; 1. Pak ϕ může nabýva pouze konečně mnoha hodno. Píšeme ϕ P, i I. V kroku 0 zvolíme ϕ(0) P a i( 0) I. Rychlos v (0) je z počáeční podmínky v ( 0) = v. Z ěcho hodno spočíáme spořebu Φ (0) ako: 0 Φ ( 0) = 36 ϕ(0) pro i ( 0) = 2 (2.3) Φ ( 0) = 21 ϕ(0) pro i ( 0) = 3 (2.4) Φ ( 0) = 15 ϕ(0) pro i ( 0) = 4 (2.5) β Φ (0) = v(0) pro i ( 0) = 0 (2.6) Z hodno Φ (0), i (0) a v (0) určíme hodnou hnacího momenu M (0) následujícím způsobem: ze zařazeného rychlosního supně i (0) určíme, podle kerého vzahu budeme M (0) počía

32 Pro i ( 0) = 0 klademe: M ( 0) = 0 (2.7) Pro i ( 0) 0 počíáme: M ( 0) = f ( v(0), Φ(0)) (2.8) kde funkce f ( v, Φ) je polynom 4. supně v proměnné v a 2. nebo 4. supně v proměnné Φ aproximující křivky diagramu pro daný zařazený rychlosní supeň i (viz kapiola 1.3). Nyní ze znalosi (0) F (0) auomobilu: M (0) F ( 0) = (2.9) r d M a v(0) a dynamického poloměru kola r d určíme hnací sílu a dále určíme odporovou sílu F (0) : r 2 Fr ( 0) = Fw (0) + Fv (0) + Fg (0) = C1 v(0) + C2 + m g sin( θ ) (2.10) kde C 1 a C 2 jsou konsany přepočíané z diagramu a sin(θ ) je paramer charakerizující danou čás dráhy. Celkovou sílu F (0) působící na vozidlo spočíáme (viz kapiola 1.2.) jako: F 0) = F (0) F (0) (2.11) ( r Dále ze znalosi celkové síly F (0) spočíáme zrychlení auomobilu a (0), keré pro účely naší práce nezavedeme v klasických jednokách F(0) a( 0) = 3,6 (2.12) m m km 2 s ale v hod s : Výpoče veličin v kroku k Podle délky zvoleného diskreizačního kroku ds spočíáme rychlos v (1), kerou vozidlo dosáhne v bodě 1. Přiom předpokládáme, že všechny veličiny včeně rychlosi v a zrychlení a byly mezi body 0 a 1. konsanní. Rychlos v(1) získáme jako řešení známé nelineární sousavy 2 rovnic o 2 neznámých (rychlos v (1) a čas pořebný k projeí dráhy ds ). Tyo rovnice jsou odvozeny v [5]

33 v(1) = v(0) + a(0) ds = 1 2 (2.13) 2 a(0) + v(0) Řešením éo sousavy dosáváme pro čas dvě řešení ( 1 a 2 ), ovšem fyzikální význam čas 2 nemá, neboť je vždy záporný, proo uvažujeme pouze nezáporné řešení 1 a k němu odpovídající rychlos v (1), kerá se z času 1 spočíá ímo vzahem, ve kerém je už za 1 dosazeno: v( 1) = v(0) + 2 a(0) ds (2.14) Teno vzah je ovšem nuno přepočía, aby byl jednokově v pořádku: rychlos v km km vyjádřená v jednokách hod a zrychlení a (0) vyjádřeno v jednokách hod s : v( 1) = v(0) a(0) ds (2.15) Nyní jsme se dosali do bodu 1, proože známe v (1). Analogicky (jako u výpoču v bodě 0) zvolíme nějaké ϕ (1) P a i( 1) I a dopočíáme všechny osaní veličiny M (1), F (1), a (1), a Φ (1). Poé analogicky spočíáme rychlos v bodě 2. Tako posupujeme až do bodu n Předepsání omezení Nyní programu předepíšeme všechna omezení, kerá musí při výše uvedeném výpoču dodrže. 1. omezení (minimální rychlos): Rychlos v ( k) 20 (2.16) pro 0 k n, jinak by se vozidlo dosalo do režimu, kde není definován výpoče hnacího momenu M pro žádný zařazený rychlosní supeň. 2. omezení (minimální oáčky): Oáčky mooru, keré závisí na zařazeném rychlosním supni i a jsou přímo úměrné rychlosi v auomobilu, nesmí klesnou pod kriickou hodnou. Tuo podmínku dosaečně dobře zformulujeme ako: i( k) v( k) 1 10 (2.17) pro 0 k n

34 3. omezení (minimální požadavek řidiče na okamžiou dodávku paliva): Hnací momen je v diagramu bohužel popsán jen pro jisé hodnoy spořeb Φ, čemuž odpovídá omezení i pro požadavek řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ : ϕ ( k) 0,3 (2.18) pro 0 k n. 4. omezení (maximální zrychlení): Aby nedocházelo k prokluzu kola na vozovce, nesmí bý zrychlení a auomobilu příliš veliké. Jesliže se vozidlo pohybuje po suché asfalové vozovce, může zrychlení a auomobilu nabýva až poloviční hodnoy graviačního zrychlení g. Jelikož zrychlení vyjadřujeme v jednokách a ( k) 18 (2.19) km hod s, podmínku předepíšeme následovně: pro 0 k n. (5. omezení maximální rychlos:) Too omezení vyplývá z dráhy, kerou auomobil projíždí. Např. v jisé čási se auomobil pohybuje ve vesnici, kde je povolena maximální rychlos 50km/hod. Nebo můžeme požadova, aby v jisém úseku (např. na dálnici) jel minimální rychlosí např. 80km/hod. Také můžeme požadova, aby auomobil vjel do cíle nějako minimální rychlosí. Tao omezení můžeme zformulova ako: v ( k) 50 (2.20) pro a k b, kde volíme paramery 0 a, b n v ( k) 80 (2.21) pro a k b, kde volíme paramery 0 a, b n v ( n) = v (2.22) min Podobných omezení lze do programu vloži samozřejmě více, a o nejen omezení na rychlos v ale i na všechny osaní veličiny. Je řeba pouze dbá na o, aby omezení nebyla navzájem v rozporu Definice účelové funkce Definujeme účelovou funkci v souladu s definicí v kapiole 1.4 (rovnice 1.28) následujícím způsobem:

35 s2 Φ ( ϕ, v, i) = S( ϕ, v, i) ds (2.23) s s1 Do programu uo účelovou funkci kvůli diskreizaci zapíšeme formou sumy jako: Z = n 3 10 ( ) (2.24) k = 0 S k ds Výpoče účelové funkce Míso oho, aby program zkoušel všechny možnosi (meoda hrubé síly ), používá program sadu algorimů pro rychlé nalezení opimálního průběhu dvojice ϕ (k) a i (k) pro k 0;n ak, aby hodnoa účelové funkce Z byla minimální. V omo bodě lze programu zada příkaz, z jakých sad algorimů má vybíra a jaké meody pro nalezení výsledku přednosně použí. Výsledek (průběh všech veličin ve všech krocích) lze vypsa do exového souboru. Navíc lze nadefinova výpoče závěrečných saisik jako například výpoče průměrné rychlosi apod. Veškeré výpočy jsou založeny na různých opimalizačních modelech, numerických meodách a jejich programové implemenaci, o nichž se lze dočís v uživaelské příručce (manuálu) programu GAMS. [6] a o nichž se velmi sručně zmíníme v následující podkapiole Klasifikace úlohy z hlediska opimalizace Úloha byla pro program GAMS v předcházející podkapiole diskreizována a formulována ak, že je z pohledu opimalizace klasifikována jako úloha nelineárního programování, kde někeré proměnné jsou diskréní (konečný obor hodno) a někeré proměnné spojié (omezené), přičemž podmínky a vazby mezi proměnnými jsou i nelineární. V příloze práce je uvedena čás zdrojového kódu, kerá obsahuje popis modelu auomobilu a popis výpoču jeho pohybu a spořeby. Ze zdrojového kódu je parné, keré proměnné jsou diskréní a keré jsou spojié. Dále lze v omo kódu nají rovnice zachycující nelineární vazby mezi jednolivými proměnnými. Účelová funkce má formu sumy. Účelovou funkci se v programu snažíme minimalizova pomocí řešiče BARON, kerý je implemenován v programu GAMS. Řešič BARON v sobě implemenuje speciálně upravené algorimy, zv. algorimy věví a mezí ( branch-and-bound ). Výkladem ěcho algorimů se práce nezabývá (neboť auor práce ješě neabsolvoval kurz opimalizace), ale lze jej nají např. v [7]. Podrobnosi o řešiči BARON lze naléz v [8]

36 2.2 FORMULACE ÚLOHY V MATEMATICKÉM SOFTWARU MATLAB Pomocí programu GAMS jsme řešili úlohu minimalizace funkcionálu celkové dráhové 2 spořeby Φ = S[ ϕ( s), i( s), v( s ]ds. V programu MATLAB se v éo kapiole pokusíme s ) 1 vyřeši úlohu minimalizace druhého funkcionálu celkové časové spořeby (rovnice 1.27) 2 Φ = S [ ϕ( ), i( ) ]d. 1 Tao úloha je podsaně jednodušší, není k ní pořeba sofwarového řešiče specializovaného na opimalizaci, kerý používáme proo, aby výpoče nerval příliš dlouho. Tuo úloha lze rychle vyřeši i meodou zv. hrubé síly, neboť je pořeba provés nevelké množsví výpočů. Úlohu bychom samozřejmě mohli úspěšně řeši i v programu GAMS, ale byl zvolen program MATLAB Rozbor úlohy V éo kapiole sručně rozebereme myšlenku úlohy minimalizace celkové časové 2 spořeby Φ = S [ ϕ( ), i( ) ]d, kerou budeme řeši v MATLABu. Formulace je velmi 1 podobná formulaci předcházející úlohy, kerá je popsána v kapiole Především zdůrazníme rozdíl, v čem se ao úloha liší od úlohy předcházející a proč je o poznání jednodušší. V případě, že neřešíme oázku minimální spořeby na zadané dráze, ale řešíme úlohu minimální spořeby při rozjezdu z nějaké rychlosi v MIN na nějakou jinou rychlos v MAX, lze úlohu vyřeši právě jako minimalizaci celkové časové spořeby. Řešme edy následující úlohu: Auomobil se má po rovné vozovce (nulový úhel soupání) rozje z rychlosi v MIN na rychlos v MAX, přičemž může urazi libovolnou vzdálenos. Spořeba paliva má bý co nejmenší. Definujme posloupnos: v = v v,..., v = v MIN 1, 2 n MAX pro kerou plaí: v < v < v <... < v = v MIN 1 2 n MAX Je řeba si uvědomi, že aby se auomobil rozjel na rychlos, musí se nejprve rozje na rychlos v 1, poé na rychlos v 2 ad. Tao myšlenka vede k úvaze, že úlohu hledání průběhu dvojice ϕ (k) a i (k) ak, aby celková časová spořeba Φ byla minimální, lze vyřeši akovým způsobem, že posupně vyřešíme podúlohy minimalizace celkové časové spořeby Φ při rozjezdu z rychlosi v MIN na rychlos v 1, poé z rychlosi v 1 na rychlos v 2 ad. v MAX

37 Výpoče éo úlohy se provede rychle, neboť spočívá v provedení malého poču operací pro n nezávislých podúloh. Podúlohy jsou nezávislé, proože výsledek výpoču průběhu dvojice ϕ (k) a i (k) při rozjezdu obecně z rychlosi v n na rychlos v n+ 1 nijak neovlivní výsledek výpoču pro jiné n. Myšlenku lze shrnou ako: Díky základní úvaze jsme rozdělili úlohu na n nezávislých podúloh. Jednolivé podúlohy lze vyřeši velmi rychle. A složením řešení ěcho jednolivých úloh dosaneme řešení celkové Řešení úlohy V éo kapiole se nebudeme formulací úlohy a jejím řešením zabýva ak deailně jako při rozboru minulé úlohy v kapiolách a Nejprve jako v GAMSu nadefinujeme všechny konsany a paramery, předepíšeme počáeční podmínku v 0 = vmin, požadavek ( v MAX ) a různá omezení (především omezení na zrychlení auomobilu, aby nedocházelo k prokluzu kol a vozovky). Obvyklým způsobem zavedeme diskreizaci nespočené množiny (inervalu) možných hodno požadavku řidiče na okamžiou dodávku paliva ϕ sejně jako v GAMSu a sanovíme obor hodno pro zařazený rychlosní supeň i. Označíme ϕ P, i I. Dále zvolíme celé číslo n, čímž nadefinujeme ekvidisanní posloupnos rychlosí: v MIN < v1 < v2 <... < vn = vmax. Výpoče je ím přesnější, čím je n vyšší. Rychlos výpoču je přímo úměrná číslu n. Průběh všech veličin mezi kroky k a k + 1 pro k < n uvažujeme opě konsanní. Pro všechny kombinace dvojice ϕ ( k) P, i( k) I provedeme výpoče zrychlení z rychlosi v k na rychlos v k + 1 následujícím způsobem: Pro zvolenou dvojici ϕ ( k) P, i( k) I a rychlos v k sanovíme hnací momen M (k) a odporovou sílu F r (k). Z nich spočíáme výslednou sílu F (k) a zrychlení a (k). Dále sanovíme okamžiou časovou spořebu S (k), kerá je funkcí veličin: ϕ ( k ), i( k), vk. Nyní spočíáme čas (k), pořebný k rozjezdu z rychlosi v k na rychlos v k + 1 pomocí ohoo vzahu: v ( k) = k + 1 v a( k) k (2.25) Ze znalosi času (k) a okamžié časové spořeby (k) spořebu Φ (k) jako: Φ ( k) = S ( k) ( k) (2.26) S sanovíme celkovou časovou

38 Výpoče rozjezdu z rychlosi v k na rychlos v k + 1 provedeme pro všechny kombinace dvojic ϕ ( k) P, i( k) I. Z ěcho dvojic vybereme u, pro niž je celková časová spořeba Φ (k) minimální. Průběh dvojic ϕ ( k) P, i( k) I uvedeným způsobem vybereme a zaznamenáme pro k = 1,..., n 1. Tímo je výpoče hoov a celková časová spořeba rychlos v MAX ) je dána součem: Φ = Φ ( k ) (2.27) k= 1 n Zobrazení výsledku úlohy a závěr Φ (při rozjezdu z rychlosi v MIN na Na obr. 2.1 je deailně znázorněn opimální průběh ϕ v závislosi na rychlosi v pro rozjezd na rychlos v MAX = 55km / hod. Na obr 2.2 je znázorněn průběh ϕ v závislosi na rychlosi v pro rozjezd na rychlos v MAX = 150km / hod. Na obrázcích znamená červená barva zařazený 2. rychlosní supeň a zelené barva značí 3. rychlosní supeň. ( i = 2 resp. i = 3). Obr. 2.1: Rozjezd na rychlos v MAX = 55km / hod

39 Obr. 2.2: Rozjezd na rychlos v MAX = 150km / hod Ukazuje se, že je vhodné se rozjíždě éměř na plný plyn, jsou-li podmínky rozjezdu definovány ak, jak je uvedeno. Ovšem je řeba si uvědomi, že ako definované podmínky rozjezdu se v praxi neuplaní, a proo není výsledek éo simulace nikerak důležiý. Závěrem lze shrnou, že v prosředí MATLAB šlo úspěšně vyřeši uo úlohu. Avšak ao úloha nemá v praxi valný význam. Z důvodu ukázky oho, že i poměrně jednoduchým algorimem lze řeši někeré úlohy, je v éo kapiole implemenace modelu do MATLABu uvedena. Osaní úlohy jsou v následující kapiole řešeny výhradně v prosředí GAMS

40 KAPITOLA 3 POROVNÁNÍ VYBRANÝCH MODELOVÝCH JÍZDNÍCH REŽIMŮ V éo kapiole se budeme snaži porovna různé režimy jízdy, ak jak je známe z prakického živoa. Cílem porovnání bude rozhodnou, kerý jízdní režim, resp. kerá jízdní sraegie řidiče je z hlediska spořeby paliva nejlepší možná (vede k nejnižší spořebě paliva) a o kolik se spořeba paliva bude liši v porovnání s jiným režimem jízdy. V následujících kapiolách budeme porovnáva různé jízdní režimy. Pozn.: V éo kapiole budeme veličinu S - dráhovou spořeba paliva nazýva zkráceně jen spořeba. 3.1 OPTIMÁLNÍ JÍZDNÍ REŽIM PO ROVINĚ ZADANÝ PROBLÉM: Režim I: Jede-li auomobil po dlouhé rovině (např. dálnice), jaký je opimální jízdní režim? Udržova konsanní rychlos? Jesliže ano, jaká je ao rychlos? Jaký je rozdíl ve spořebě paliva, zvýší-li se ao rychlos? Režim II: Kombinace neusálého zrychlování (na zařazený rychlosní supeň) a vyřazování (jízdy na volnoběh)? FORMULACE: Uvažujme siuaci, kdy auomobil jede po rovince mezi obcemi nebo po dálnici. Zvolme délku rai 4km. Na éo silnici je povolena maximální rychlos v MAX = 90km/hod resp. v MAX = 130km / hod. Rychlos omezíme i požadavkem minimální rychlosi v MIN = 70km / hod, aby se nebrzdil provoz. Úhel soupání θ bude podél celé rajekorie konsanní θ = 0. Rychlos na začáku a na konci rajekorie volme v0 = v = v = 70km hod. MIN f / Model - režim I: Předpokládejme, že může bý zařazen pouze rychlosní supeň { 2,3,4} vyřazen rychlosní supeň ( i 0 ). i a nesmí bý

41 Diskreizační krok volme ds = 100m pro rychlosi do 100 km / hod. Pro rychlosi vyšší volíme ds = 150m. Siuace modelujme pro rychlosi v 0 = v MIN = v f od 70 km / hod do 130 km / hod. Výsledky modelování jsou zaznamenány v ab Model - režim II: Model režimu II volíme zhoovíme podobně jako pro režim I. Úhel soupání θ bude podél celé rajekorie konsanní θ = 0. Rychlos na začáku a na konci rajekorie volme v0 = vmin = v f = 70km / hod a poé posupně zvyšujeme až do rychlosi 130 km / hod. Diskreizační krok volíme sejně jako pro režim I. Ovšem v našem modelu připusíme i 0,2,3,4 hodnou zařazeného rychlosního supně { } VÝSLEDKY: Hodnoy modelování spořeby S v závislosi na průměrné rychlosi jsou pro oba jízdní režimy vyneseny v ab. 3.1 a graficky znázorněny na obr režim I - pouze nejvyšší zařazený rychlosní supeň režim II- kombinováno s volnoběhem (vyřazování) S[l/100km] v MIN [km/hod] v AVG [km/hod] S[l/100km] v MIN [km/hod] v AVG [km/hod] 4, ,0 3, ,0 4, ,0 4, ,2 5, ,0 4, ,0 5, ,0 5, ,4 6, ,0 6, ,6 7, ,0 6, ,4 7, ,0 7, ,3 Tab. 3.1: Závislos spořeby S na usálené rychlosi v Hodnoy spořeby pro režim I by měly odpovída hodnoám v diagramu dráhových spořeb (obr. 1.4). Tyo hodnoy lze odečís z diagramu dráhových spořeb následujícím způsobem: Pro konkréní rychlos v najdeme v diagramu bod ležící na parabole jízdních odporů. Teno bod je charakerizován ím, že hnací a odporové síly jsou v rovnováze, jedná se edy o usálený jízdní režim. Najdeme křivku spořeby, kerá pro daný zařazený rychlosní supeň ímo bodem prochází nebo je mu nejblíže. Číselné označení éo křivky pak odpovídá spořebě paliva. Srovnáním hodno spořeb odečených z ohoo diagramu a namodelovaných hodno v ab. 3.1 pro režim I je vidě, že hodnoy si odpovídají. Pozn.1: Nuno podoknou, že usálený jízdní režim I ani nebylo nuno modelova, neboť hodnoy spořeb pro usálenou rychlos jsme výše uvedeným způsobem mohli odečís přímo z diagramu. V naší práci má modelování režimu I spíše význam zpěné konroly, že model byl sesaven správně