5. Světlo jako elektromagnetické vlnění

Transkript

1 Tivium z optiky 9 5 Světlo jako elektomagnetické vlnění Ve třetí kapitole jsme se dozvěděli že na světlo můžeme nahlížet jako na elektomagnetické vlnění Dříve než tak učiníme si ale musíme alespoň v základech pobat teoii kteá nám to umožní Poto v této kapitole shnujeme stučně závěy Maxwellovy teoie elektomagnetického pole Nejdříve připomeneme tva MaxweLlových a mateiálových ovnic po elektomagnetické pole v homogenním a izotopním postředí a ukážeme že je z nich možno odvodit ovnici vlnovou Dále se budeme zabývat ovinnými a kulovými monochomatickými vlnami a podmínkami za nichž tyto vlny Maxwellovy ovnice splňují Na závě se zmíníme o polaizaci enegii a hybnosti elektomagnetického vlnění 5 Maxwellovy ovnice elektomagnetického pole 5 lektomagnetické vlnění 53 Rovinná monochomatická vlna 54 Kulová monochomatická vlna 55 Polaizace světla 56 Přenos enegie elektomagnetickým vlněním 57 Hybnost elektomagnetického vlnění 58 Tlak světla 5 Maxwellovy ovnice elektomagnetického pole Maxwellovy ovnice obvykle zapisujeme v difeenciálním tvau ot = D oth = j + divd = ρ div = kde a H jsou intenzity elektického a magnetického pole D a elektická a magnetická indukce ρ hustota volného náboje a j poudová hustota po volný elektický náboj Obecně mohou být všechny veličiny vyskytující se v Maxwellových ovnicích závislé na poloze i na čase např = ( t) Za nepřítomnosti volných elektických nábojů a poudů (jen tímto případem se budeme v tomto kuzu zabývat) přecházejí Maxwellovy ovnice na tva ot = D oth = divd = div = Intenzity a indukce nejsou navzájem nezávislé veličiny Jejich vzájemný vztah je dán elektickými a magnetickými vlastnostmi postředí v němž se zkoumané elektomagnetické pole nachází Rovnice popisující tento vztah matematicky nazýváme poto mateiálovými vztahy (ovnicemi) Obecně platí D = D( ) a = ( H) O vektoových opeátoech ot a div viz např v R Kalus D Hivňák eviář vyšší matematiky vyd kap 6

2 3 Světlo jako elektomagnetické vlnění V homogenním izotopním postředí tyto obecné mateiálové vztahy přecházejí na D = ε a = µ H kde ε a µ jsou elektická pemitivita a magnetická pemeabilita postředí Speciálně ve vakuu je ε= ε 885 F/m a 7 4 H/m µ=µ π 5 lektomagnetické vlnění Maxwellovy ovnice je možno převést za předpokladu nulovosti volných nábojů a poudů na vlnové ovnice po elektickou a magnetickou intenzitu V homogenním a izotopním postředí platí např A εµ = H εµ H = To že elektomagnetické intenzity splňují vlnovou ovnici je neklamným pojevem existence elektomagnetického vlnění Již z 3 kapitoly víme že Maxwell toto vlnění (alespoň po někteé vlnové délky) ztotožnil se světlem Jedním z agumentů na podpou své hypotézy uváděl totožnost ychlosti světla a elektomagnetických vln ve vakuu Poovnáním vlnových ovnic po elektickou a magnetickou intenzitu s obecným tvaem vlnové ovnice totiž okamžitě získáváme po fázovou ychlost elektomagnetických vln v f = / εµ Dosazením číselných hodnot po elektickou pemitivitu a magnetickou pemeabilitu vakua 8 obdžíme v 3 m/s f S přihlédnutím k definici indexu lomu dále snadno nahlédneme že i tuto optickou veličinu můžeme uvést do vztahu s elektomagnetickými vlastnostmi postředí Platí totiž n = ε µ kde ε ε/ ε a µ = µ / µ jsou elativní elektická pemitivita a elativní magnetická pemeabilita studovaného postředí Po dielektika ( µ = ) pak speciálně máme n = ε 53 Rovinná monochomatická vlna Speciálním řešením vlnové ovnice jsou jak víme z kapitoly ovinné monochomatické vlny Potože v dalších kapitolách budeme v zájmu jednoduchosti mnoho úvah povádět pávě po ně je jistě na místě pozkoumat podobně za jakých okolností ovinné monochomatické vlny vyhovují Maxwellovým ovnicím V této kapitole se omezíme na elektomagnetické vlny v homogenních a izotopních postředích Rovinnou monochomatickou elektomagnetickou vlnu popisujeme vztahy Fázi jedné ze složek zde elektické můžeme vždy anulovat vhodnou volbou počátku odečtu času

3 Tivium z optiky 3 ( t) = cos( k ωt) H ( t) = H cos( k ω t+ ϕ ) H H H Vzhledem k homogenitě a izotopii postředí platí zřejmě též D ( t) = ε ( t) = ε cos( k ωt) ( t) = µ H ( t) = µ H cos( k ω t+ ϕ ) Z Maxwellových ovnic vyplývá především k = k ω H ωh H H H = a ϕ = lektická a magnetická složka mají tedy stejné vlnové vektoy (vlnové délky) i fekvence a nejsou vůči sobě fázově posunuty Po vlnový vekto a po úhlovou fekvenci budeme tedy používat jednotné označení k a ω Vzhledem ke speciální závislosti elektické a magnetické intenzity v ovinné monochomatické vlně na poloze a čase a speciálním mateiálovým ovnicím přecházejí jednotlivé Maxwellovy ovnice na lineání algebaické ovnice po vektoové amplitudy a H : divd = k = div = H k = ot = t k = µωh D oth = k H = εω Dále sloučením duhé a třetí ovnice získáme H Odtud tedy vidíme že i) vektoy elektické i magnetické intenzity jsou kolmé k vlnovému vektou (směu šíření vlny) elektomagnetické vlnění je tedy v izotopních postředích (speciálně ve vakuu) příčné 3 ii) vektoy elektické a magnetické intenzity jsou kolmé i navzájem a spolu s vlnovým vektoem tvoří v pořadí k a H pavotočivý otogonální systém iii) jednak ω / k = / εµ čili fázová ychlost ovinné monochomatické elektomagnetické vlny je dána výazem / εµ což je v souladu s tvzením uvedeným v 5 iv) ale též ε = H µ Nejen tedy směy ale i velikosti vektoových amplitud magnetické a elektické intenzity jsou vzájemně závislé 54 Kulová monochomatická vlna Kulové elektomagnetické vlny popisujeme nejlépe v kulových souřadnicích 4 ( θϕ ) ( θ ϕ) = cos( k ωt) 3 I toto byl jeden z agumentů kteé Maxwell uváděl na podpou své hypotézy o elektomagnetické povaze světla 4 Viz např R Kalus D Hivňák eviář vyšší matematiky vyd st 8

4 3 Světlo jako elektomagnetické vlnění H( θϕ ) H ( θϕ) = cos( k ωt) kde jsme již zohlednili ovnost vlnových vektoů fekvencí i fází elektické a magnetické složky Po úplnost připomínáme že znaménko odpovídá ozbíhavé a znaménko + sbíhavé vlně Všimněte si též možných úhlových závislostí vektoových amplitud a H Podobně jako po ovinné monochomatické elektomagnetické vlny bychom i po vlny kulové zjistili že i) vektoy k =± k (smě šíření vlny) a H jsou navzájem kolmé a tvoří pavotočivý otogonální systém (viz obázek) ii) ω / k = / εµ tedy výaz / εµ udává jejich fázovou ychlost iii) ε = H µ 55 Polaizace světla Polaizaci příčného vlnění posuzujeme obecně podle chování vektoové vlnové funkce v zadaném místě postou V předmaxwellovské optice se této vektoové vlnové funkci říkalo světelný vekto Polaizaci světla tedy posuzujeme podle chování světelného vektou V Maxwellově elektomagnetické teoii světla máme ale přinejmenším dvě možnosti s čím můžeme světelný vekto ztotožnit - elektickou a magnetickou intenzitu Ukazuje se že po použití v oli světelného vektou je vhodnější intenzita elektická Polaizaci světla posuzujeme podle chování vektou elektické intenzity odpovídající elektomagnetické vlny Klasifikace typů polaizace světla je shodná s klasifikací po obecné příčné vlnění Podobnosti nalezne čtenář v kapitole 56 Přenos enegie elektomagnetickým vlněním Z Maxwellových ovnic je možno odvodit několik zajímavých důsledků Řada z nich má tva ovnice kontinuity 5 a vyjadřuje někteý ze základních zákonů zachování Jedním z těchto zákonů je zákon zachování enegie kteý po elektomagnetické pole v nepřítomnosti volných nábojů a poudů nabývá tvau div H + ( D + H) = Člen v pvní hanaté závoce H odpovídá hustotě toku enegie přenášené elektomagnetickým polem označuje se zpavidla symbolem S a používá se po něj název Poyntingův vekto Výaz ve duhé hanaté závoce ( D+ H) pak epezentuje objemovou hustotu enegie zkoumaného elektomagnetického pole 5 Rovnice kontinuity se vyskytuje v ůzných oboech fyziky a má vždy tentýž tva div j + ρ= I její fyzikální význam je vždy stejný - jedná se o zákon zachování veličiny s objemovou hustotou ρ a hustotou toku j Pod hustotou toku veličiny ozumíme vekto kteý míří do směu v němž dochází k poudění této veličiny a jehož velikost udává kolik této veličiny pojde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou k tomuto směu

5 Tivium z optiky 33 lektomagnetické pole (vlnění a tudíž i světlo) přenáší enegii jejíž tok je dán Poyntingovým vektoem Po ovinnou monochomatickou elektomagnetickou vlnu (viz 53) je Poyntingův vekto dán výazem S = ( H) cos ( k ωt) Jeho smě je tedy totožný se směem vektoového součinu H a podle odstavce 53 i se směem vlnového vektou k Po jeho amplitudu S H můžeme v případě ovinné monochomatické vlny psát S = / ε µ Na postoových souřadnicích a na čase závisí Poyntingův vekto postřednictvím duhé mocniny hamonické funkce (zde kosinus) a je tedy funkcí peiodickou Jeho postoová peioda je ovna polovině vlnové délky monochomatické vlny jeho časová peioda odpovídá polovině časové peiody této vlny V závislosti na čase i na poloze se tedy po světlo mění Poyntingův vekto velmi ychle Makoskopickou sondou jejíž ozmě významně přesahuje vlnovou délku studovaného záření a jejíž elaxační doba je mnohem delší než jeho peioda měříme poto efektivní (střední) hodnotu Poyntingova vektou Velikost této efektivní hodnoty je definována vztahem τ 3 S lim dt d S( t) τ + V + kteý po ovinnou monochomatickou vlnu nabývá po vyčíslení uvedených integálů jednoduchého tvau S = S Po kulovou monochomatickou vlnu (viz 54) získáme obdobně S = ( H) cos ( k ωt) / a S = S / kde opět S H 6 V 57 Hybnost elektomagnetického vlnění Podobně jako ovnici kontinuity po enegii je možno z Maxwellových ovnic odvodit i obdobnou byť mnohem komplikovanější ovnici kontinuity po hybnost Ta má význam zákona zachování hybnosti elektomagnetického pole lektomagnetické pole (vlnění a tudíž i světlo) tedy nese nenulovou hybnost! 7 Po hustotu hybnosti elektomagnetického pole vyplývá z Maxwellových ovnic vztah 8 π = D 6 V kulové vlně tedy klesá hustota toku enegie (intenzita záření) s duhou mocninou vzdálenosti od zdoje (jejího středu) 7 To ovšem nepřekvapuje připomeneme-li si jeho silové účinky na látku 8 Podle uvedeného vzoce je hybnost elektomagnetického pole (elektomagnetického vlnění tudíž i světla) 3 v oblasti postou V ovna pv ( ) = ( D )d V

6 34 Světlo jako elektomagnetické vlnění Velikost hybnosti p elektomagnetického pole ve vakuu souvisí s jeho enegií postřednictvím jednoduché leč velmi významné insteinovy fomule 9 = p c kteá vyplývá ze vztahu mezi Poyntingovým vektoem a hustotou hybnosti elektomagnetického pole ve vakuu π= S 58 Tlak světla c Nese-li elektomagnetické záření nenulovou hybnost musí ji při absopci látkou předat tělesu kteé je pohltí To se ovšem pojeví silovými účinky záření na absobující těleso elektomagnetické záření tedy působí na jeho povch nenulovým tlakem Teoeticky byl tento jev znám již Maxwellovi expeimentálně jej v citlivém tozním expeimentu (viz obázek) pokázal v létech 9-9 uský fyzik Lebeděv Matematické doplňky A Uveďme odvození pouze po elektickou intenzitu Po intenzitu magnetickou se postupuje obdobně Tak tedy z pvní Maxwellovy ovnice ot = a z mateiálové ovnice = µ H máme H ot = µ Aplikací opeátou otace na obě stany posledního vztahu získáme (opeáto otace není nic jiného než paciální deivování podle souřadnic můžeme poto na pavé staně zaměnit pořadí opeátou ot a deivace podle času) oth ot ot = µ Vzpomeneme-li si však na známou identitu z vektoové analýzy ot ot = gad div a využijeme-li duhé Maxwellovy ovnice v níž položíme poudovou hustotu ovnu nule oth = D obdžíme dále D gad div = µ Nyní již jen zbývá uvědomit si že postředí je izotopní a homogenní i co do elektických vlastností D = ε a že platí třetí Maxwellova ovnice (volné náboje jsou dle předpokladu nulové!) divd = div( ε) = εdiv = tedy že div i gad div jsou nulové Po dosazení uvedeného do poslední ovnice a po snadných úpavách již obdžíme vlnovou ovnici po elektickou intenzitu v obvyklém tvau 9 Vzhledem k nenulové hybnosti můžeme jistě předpokládat že elektomagnetické záření má i nenulovou hmotnost (vždyť p = mv po elektomagnetické záření ve vakuu ovšem p = mc) Vezmeme-li současně v úvahu i vztah mezi enegií a hybností elektomagnetického záření dostaneme snadno slavnou insteinovu ovnici (zde ovšem odvozenou jen po světlo!) = mc Zákon zachování hybnosti! Platí i po částečnou absopci či odaz Změna hybnosti za jednotku času je ovna působící síle

7 Tivium z optiky 35 Polaizaci světla učujeme expeimentálně postřednictvím inteakce světelné vlny s látkou používané sondy (např polaizátou) Tuto inteakci popisujeme pomocí Loentzovy síly F = F + FM v níž se kombinují silové účinky elektického pole F = Q a účinky pole magnetického F = Q v M ( ) Po ovinnou monochomatickou vlnu ve vakuu jsou obě síly elektická i magnetická hamonickými funkcemi polohy a času a jejich amplitudy jsou dány vztahy F = Q FM Q H Q H Q ε v = µ v µ v = µ v µ = Q c Veličinami bez šipek označujeme velikosti odpovídajících vektoů Pomě velikostí magnetické a elektické síly je tedy FM = v F c Po slabá elektomagnetická pole v nichž nemohou náboje sondy dosáhnout vysokých ychlostí je tento pomě blízký nule V takovém případě elektická síla zcela převažuje nad silou magnetickou a inteakce látky s elektomagnetickým polem je téměř bezezbytku elektické povahy Učuje ji intenzita elektického pole