Numerická matematika Banka řešených příkladů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerická matematika Banka řešených příkladů"

Transkript

1 Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G

2 ISBN

3 OBSAH Řešení nelineárních rovnic 5 Soustavy lineárních rovnic: přímé metody 9 Soustavy lineárních rovnic: iterační metody 0 4 Interpolace a aproximace funkcí 4 5 Numerické integrování a derivování 59 6 Obyčejné diferenciální rovnice: počáteční úlohy 68 Literatura 79

4 Předmluva Studijní materiály tvořící tato skripta jsou určeny převážně pro studenty kombinované i prezenční formy fakulty strojní Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava navštěvující předmět Numerická matematika. Naše skripta obsahují řešené příklady a jsou přirozený doplněk skript Radka Kučery Numerické metody, která jsou zaměřená na teoretický výklad základních partií numerické matematiky. Rádi bychom upozornili na webovou stránku kde je u- místěn nejen tento text, ale také řada dalších souvisejících studijních materiálů. Tento studijní text vznikl za finanční podpory projektu IRP-FRVŠ 58/05 Inovace předmětu Numerická matematika na Fakultě strojní Vysoké školy báňské - Technické univerzitě Ostrava a Katedry matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TUO. Příjemně strávený čas s numerickou matematikou přeje kolektiv autorů. 4

5 KAPITOLA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad.: Metodou půlení intervalu určete všechny kořeny rovnice s přesností ε = 0. x = ln0 x) 70 fx)=x ln0 x) Z grafu vidíme, že kořen průsečík s osou x) leží v intervalu,. Vytabelujeme si na tomto 5

6 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC intervalu hodnotu funkce f x) = x ln0 x) a zjistíme, že znaménko funkčních hodnot se mění mezi. a.. Funkce je spojitá na daném intervalu. Rovnice má jeden kořen na intervalu.,.. x f x) Počítáme kořen na intervalu.,., tedy a 0 =., b 0 =.. Spočítáme první aproximaci x : x = b0 + a 0 =. +. =.5. Spočítáme funkční hodnoty funkce f x) = x ln0 x) v bodech a 0, x, b 0 : a určíme interval a, b : f a 0 ) = 0.446, f x ) = 0.59, f b 0 ) = 0.07 f a 0 ) f x ) < 0 a = x 0 =.5, b = b 0 =.. Určíme chybu aproximace b0 a 0 = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x = a + b =.5 +. =.75 a určíme interval a, b : f a ) = 0.59, f x ) = 0.095, f b ) = 0.07, f a ) f x ) < 0 a = x =.75 b = b =.. Určíme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x = a + b = =.875 a určíme interval a, b : f a ) = 0.095, f x ) = 0.005, f b ) = 0.07, f a ) f x ) < 0 a = x =.875, b = b =.. Určíme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 = a + b = =.98 6

7 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a určíme interval a 4, b 4 : f a ) = 0.005, f x ) = 0.004, f b ) = 0.07, f a ) f x ) < 0 a 4 = a =.875, b 4 = x =.98 Určíme chybu aproximace b a = < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = a4 + b 4 = =.906 Určíme interval a 5, b 5 : f a 4 ) = f x 4 ) = f b 4 ) = f a 4 ) f x 4 ) < 0 a 5 = x 4 =.906, b 5 = b 4 =.98 Určíme chybu aproximace b4 a 4 = 0.00 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 5 : x 5 = a5 + b 5 = =.9 Určíme interval a 6, b 6 : f a 5 ) = f x 5 ) = f b 5 ) = f a 5 ) f x 5 ) > 0 a 6 = x 5 =.906, b 6 = b 5 =.98 Určíme chybu aproximace b4 a 4 = < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 6 = a6 + b 6 = =.9 Určíme chybu aproximace b6 a 6 = < ε = 0. Je dosaženo zadané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: i a i f a i ) x i f x i ) b i f b i ) b i a i / Kořen rovnice je x =.9 ±

8 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad.: Metodou půlení intervalu určete všechny kořeny rovnice: s přesností ε = 0. x + sinx) = 0 fx)=x+sinx) Z grafu vidíme, že kořen průsečík s osou x) leží v intervalu,. Vytabelujeme si na tomto intervalu hodnotu funkce f x) = x + sinx) a zjistíme, že znaménko funkčních hodnot se mění mezi. a.. Funkce je spojitá na daném intervalu. Rovnice má jeden kořen na intervalu.,.. x f x) Počítáme kořen na intervalu.,. a tedy a 0 =., b 0 =.,. Spočítáme počáteční aproximaci x 0 : x 0 = b 0 + a 0 =. +. =.5 Spočítáme funkční hodnoty funkce f x) = x + sinx) v bodech a 0, x 0, b 0. A určíme interval a, b : f a 0 ) = f x 0 ) = f b 0 ) = 0.0 f a 0 ) f x 0 ) < 0 a = a 0 =., b = x 0 =.5 8

9 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Spočítáme chybu aproximace b 0 a 0 = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = a + b =. +.5 =.5 Určíme interval a, b : f a ) = f x ) = 0.07 f b ) = f a ) f x ) < 0 a = a =. b = x =.5 Spočítáme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Spočítáme další aproximaci x : x = a + b =. +.5 =.5 Určíme interval a, b : f a ) = f x ) = f b ) = 0.07 f a ) f x ) < 0 a = a =., b = x =.5 Spočítáme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Spočítáme další aproximaci x : x = a + b =. +.5 =.06 Určíme interval a 4, b 4 : f a ) = f x ) = f b ) = f a ) f x ) < 0 a 4 = a =., b 4 = x =.06 Spočítáme chybu aproximace b a = < ε = 0. Je dosaženo zadané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: i a i f a i ) x i f x i ) b i f b i ) b i a i / Kořen rovnice je: x =. ±

10 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad.: Newtonovou metodou určete všechny kořeny rovnice: s přesností ε = 0 6. x = ln0 x) 70 fx)=x ln0 x) Z grafu vidíme, že kořen průsečík s osou x) leží v intervalu,. Vytabelujeme si na tomto intervalu hodnotu funkce f x) = x ln0 x) a zjistíme, že znaménko funkčních hodnot se mění mezi. a.. Funkce je spojitá na daném intervalu. Rovnice má jeden kořen na intervalu.,.. x f x) Spocítáme první a druhou derivaci: f x) = x ln0 x), f x) = x + 0 x, f x) = 6 x + 0 x), Ověříme předpoklady metody: f a) f a) = = < 0. = b a a vidíme, že podmínka není splněna. Musíme zmenšit interval, na kterém hledáme kořen. 0

11 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 0.6 fx)=x ln0 x) Z grafu vidíme, ze kořen leží v intervalu.5,.. A opět začneme ověřovat předpoklady metody, tentokrát na intervalu.5,. : f a) f a) = = < 0.05 = b a f b) f b) = = < 0.05 = b a x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu.5,. můžeme usoudit, že: f x) > 0 na.5,. f x) > 0 na.5,.. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = b =.. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = =

12 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 6. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = = a chybu aproximace x x = < ε = 0 6. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = = a chybu aproximace x x 0 = = < ε = 0 6. Je dosaženo zadané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: i x i x i x i Kořen rovnice je: x =.947 ± 0 6 Příklad.4: Newtonovou metodou určete všechny kořeny rovnice: s přesností ε = 0 8. x 4 cos x) = 0 Nejprve separujeme kořeny rovnice. K tomu si nakreslíme graf funkce na intervalu 0, 5. Tento interval jsme zvolili proto, protože jsou na něm videt všechny kořeny rovnice.

13 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 5 fx)=x 4cos x) Z grafu vidíme, že naše rovnice má tři kořeny x,, x,, x, 4. Všechny tři kořeny aproximujeme Newtonovou metodou tak, jak jsme to už učinili v příkladu.. Nejdříve se tedy budeme zabývat prvním kořenem x. Nejdříve ho separujeme na menší interval o délce jední desetiny. Vytabelujeme si na intervalu, hodnoty funkce f x) = x 4 cos x) a zjistíme, že náš kořen x leží v intervalu,.. Spocítáme první a druhou derivaci: f x) = x 4 cos x), f x) = + 8 sinx) cosx) = + 4 sinx), f x) = 8 cosx) Ověříme předpoklady metody na intervalu,. : f a) f a) = 4 cos ) + 4 sin ) = 0.04 < 0. = b a f b) f b) =. 4 cos.) + 4 sin.) = 0.07 < 0. = b a

14 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu,. můžeme usoudit, že: f x) > 0 na,. f x) < 0 na,.. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody, že první ani druhá derivace nemění na tomto intervalu znaménko. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = a =. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = 4 cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x 4 x = < ε = 0 8. Je dosaženo žádané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: 4

15 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Kořen rovnice je: i x i x i x i x = ± 0 8 Podobně to uděláme se zbývajícími kořeny. Tabelací funkce f x) = x 4 cos x) na intervalech,,, 4 zjistíme, že kořen x.4,.5 a kořen x.5,.6. Stejný postup jako výše provedeme nejdříve pro kořen x. Ověříme předpoklady metody na intervalu.4,.5 : f a) f a) =.4 4 cos.4) + 4 sin.4) = 0.08 < 0. = b a f b) f b) = 4 cos.) + 4 sin.) = 0.0 < 0. = b a x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu,. můžeme usoudit, že: f x) < 0 na.4,.5 f x) > 0 na.4,.5. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody, že první ani druhá derivace nemění na tomto intervalu znaménko. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = a =.4. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = cos.4) + 4 sin.4) = a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. 5

16 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x 4 x = < ε = 0 8. Je dosaženo žádané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: Kořen rovnice je: i x i x i x i x = ± 0 8 Nyní ještě provedeme stejný postup pro kořen x. Ověříme předpoklady metody na intervalu.5,.6 : f a) f a) =.5 4 cos.5) + 4 sin.5) = 0.00 < 0. = b a f b) f b) =.6 4 cos.6) + 4 sin.6) = 0.09 < 0. = b a 6

17 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu,. můžeme usoudit, že: f x) > 0 na.5,.6 f x) > 0 na.5,.6. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody, že první ani druhá derivace nemění na tomto intervalu znaménko. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = a =.6. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = cos.6) + 4 sin.6) = a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x 4 x = < ε = 0 8. Je dosaženo žádané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: 7

18 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC i x i x i x i Kořen rovnice je: x = ± 0 8 Kořeny rovnice jsou: x = ± 0 8 x = ± 0 8 x = ± 0 8 8

19 KAPITOLA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Příklad.: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 9, 59, 8), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: 0 0 L = 6 0, U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 9 9 6y +y = 59 y = 5, y +y = 8 9

20 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY x x +x = 9 x x = 5 x = x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a ). Všechny tři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = 0 0 6y +y = 0 0 y +y = 0 0 x x +x = 0 0 x x = 6 0 x = 0 Y = A = , Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) ) ) ) =.. Příklad.: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 9,, 4), inverzní matice A a determinantu det A.. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = , U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 9 y = y y +y = 4 y = 9 7., 0

21 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY x +4x +x = 9 x +x = x = 7 x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a ). Všechny tři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = 0 0 y = 0 0 y y +y = 0 0 x +4x +x = 0 0 x +x = 0 0 x = Y = A = , 6 6 Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) ) ) ) = 6.. Příklad.: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 0, 8, 8), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: = Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = 0 0 0, U = Nezapomínejte, že při výpočtu matice L Gaussovou eliminační metodou nesmíte měnit pořadí řádků, ani násobit řádky konstantou. Není proto možné vyhnout se práci se zlomky. V dalších úlohách se seznámite s LU-rozkladem s permutační maticí, který můžete použít v případech, kdy je prohození řádků nutné..

22 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 0 0 y +y = 8 y y y = 8, +y = 8 4 6x +x = 0 +x +4x = 8 x = 4 x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a ). Všechny tři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = 0 0 y +y = 0 0 y y +y = 0 0 6x +x = 0 0 +x +4x = 6 0 x = 0 Y = A = 4 Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) 6 )) = , 4. Příklad.4: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 4,, 9, ), inverzní matice A a determinantu det A. Práce s čtvercovou maticí se čtyřmi řádky je o něco náročnější než v případě matic s menšími rozměry, postup je nicméně totožný. Gaussovou eliminační metodou dostáváme:

23 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = , U = Opět mějte stále na paměti, že tento algoritmus hledání LU-rozkladu zapovídá prohazování řádků a násobení řádků konstantou. Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 4 y +y = y +y = 9 y y + 5 y +y 4 = x 4x +x = 4 x +4x x 4 = 8 +5x +5x 4 = 0 x 4 = 5 y = x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, 4, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e, e 4 ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a, a 4 ). Všechny čtyři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = y +y = y Y = +y = y y + 5 y 0, +y 4 = x 4x +x = x +4x x 4 = x +5x 4 = A = x 4 = Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: 5,. det A = det L det U = ) ) ) 5 )) = 60. Příklad.5: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic

24 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Ax = b, kde b = 6,, 5, ), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = 0 0 0, U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 6 6 y +y = y = y y +y = 5 6, y y +y +y 4 = 4x x +x 4 = 6 x +x 4 = x +x 4 = 6 x 4 = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, 4, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e, e 4 ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a, a 4 ). Všechny čtyři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = y +y = Y = 0 0 y y +y = , y y +y +y 4 = x x +x 4 = x +x 4 = 0 0 x +x 4 = 0 x 4 = x = A = Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) 4 ) ) )) = 8.. 4

25 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Příklad.6: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 5,,, 9), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = 0 0 0, U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 5 5 y +y = y = 4 y +y +y = 6, y +y y +y 4 = 9 4x +x +x x 4 = 5 x +x x 4 = 4 x x 4 = 6 x 4 = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, 4, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e, e 4 ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a, a 4 ). Všechny čtyři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = y +y = Y = 0 0 y +y +y = , y +y y +y 4 = x =. +

26 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY 4x +x +x x 4 = x +x x 4 = 0 0 x x 4 = 0 x 4 = 4 5 A = Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) 4) )) =. 4. Příklad.7: Je dána matice 7 A = 8. 5 Vypočtěte LU-rozklad s permutační maticí, tj. rozklad PA = LU, pomocí Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku. Při výpočtu LU-rozkladu s permutační maticí budeme postupovat takto: vytvoříme pomocné matice Ũ = A, P = I a L = I = jednotková matice); v matici Ũ provádíme dopředný chod Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku; v matici P přehazujeme řádky stejně jako v matici Ũ; do matice L zapíšeme v každé fázi multiplikátory s opačnými znaménky) a při přehození řádků v Ũ přehodíme v L řádky i sloupce; nakonec dostáváme P = P, L = L a U = Ũ. Výpočet tedy zahájíme tím, že definujeme pomocné matice Ũ, P a L Ũ = 8, P = 0 0, L = Po výběru hlavního prvku v první fázi tj. v absolutní hodnoty největšího prvku v prvním sloupci): 8 Ũ = , P = , L = Po eliminaci v první fázi s multiplikátory m = a m = : Ũ = 0 0, P = 0 0, L =

27 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Po výběru hlavního prvku ve druhé fázi bez prohození druhého a třetího řádku bychom v eliminaci vůbec nemohli pokračovat!): 8 Ũ = , P = 0 0, L = Eliminace ve druhé fázi je multiplikátorem m = 0, čili veskrze symbolická: Výsledkem jsou matice Ũ = 0 4, P = 0 0, L = P = P, L = L, U = Ũ. Můžete si vyzkoušet, že skutečně platí PA = LU. Poznámka. Mohli byste považovat za nevýhodu, že získaný tvar ve skutečnosti není rozkladem matice A. Ten byste dostali jeho vynásobením obou stran rovnosti zleva maticí P. Výpočet inverzní matice k permutační matici je naštěstí velice snadný, platí totiž P = P. Matici A proto můžeme rozložit na součin takto: A = P LU = P LU, neboli = Příklad.8: Je dána matice 8 A = Vypočtěte LU-rozklad s permutační maticí, tj. rozklad PA = LU, pomocí Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku. Při výpočtu LU-rozkladu s permutační maticí budeme postupovat takto: vytvoříme pomocné matice Ũ = A, P = I a L = I = jednotková matice); v matici Ũ provádíme dopředný chod Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku; v matici P přehazujeme řádky stejně jako v matici Ũ; do matice L zapíšeme v každé fázi multiplikátory s opačnými znaménky) a při přehození řádků v Ũ přehodíme v L řádky i sloupce; nakonec dostáváme P = P, L = L a U = Ũ. 7

28 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Výpočet tedy zahájíme tím, že definujeme pomocné matice Ũ, P a L. 8 Ũ = , P = , L = Po výběru hlavního prvku v první fázi tj. v absolutní hodnoty největšího prvku v prvním sloupci): 6 Ũ = , P = , L = Po eliminaci v první fázi s multiplikátory m =, m = a m 4 = : Ũ = , P = , L = Po výběru hlavního prvku ve druhé fázi toho docílíme prohozením druhého a čtvrtého řádku): Ũ = , P = , 0 0 L = Při eliminaci ve druhé fázi jsme použili multiplikátory m = 5 9 a m = 0 9 : Ũ = , P = , L = Po výběru hlavního prvku ve třetím kroku prohozením třetího a čtvrtého řádku): Ũ = Nakonec provedeme eliminaci koeficientem m 4 = 0 59 : , P = , 0 0 L =

29 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Ũ = , P = , 0 0 L = Výsledkem jsou matice P = P, L = L, U = Ũ. Můžete si vyzkoušet, že skutečně platí PA = LU. 9

30 KAPITOLA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Příklad.: Vyřešte soustavu lineárních rovnic x +x +x = 0, x +x x = 9, x +x +x = 0, pomocí Jacobiho iterační metody s přesností ɛ = 0. Než aplikujeme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu, musíme zajistit, aby posloupnost vektorů, kterou metoda vytváří, konvergovala ke správnému výsledku. Z teorie víme, že konvergence je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro tento účel stačí přehodit první a třetí rovnici a následně přičíst první rovnici ke druhé rovnici. Dostaneme pak: Matice soustavy x +x +x = 0, x +x = 9, x +x +x = 0. 0 je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. > +, > + 0 a > +. 0

31 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 0 x x ), x = 9 x ), x = x x ) a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu x k+) = 0 xk) x k) x k+) = 9 xk) ), x k+) = xk) x k) ). Poznamenejme, že rekurentní vzorce můžeme zapsat také v maticovém tvaru, který je obzláště výhodný při řešení úlohy pomocí počítačového softwaru. x k+) x k+) x k+) 0 = x k) x k) x k) ), + Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) =,, ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x ) =.6667, , 0 ). x ) =.4444, , ), x ) =.48, 5.704,.070 ), atd. x k) x k ) R 0,., x0), x0) ), x ) x 0) R = max{.6667, , 0 } = , x ) x ) R = max{ , , 0 } =., atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: k x k) x k) x k) x k) x k ) R

32 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Ukončili jsem po jedenácté iteraci, protože x 0) x 9) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledek zapíšeme jako x =.00 ± 0, x = 5.00 ± 0, x =.00 ± 0. Příklad.: Vyřešte soustavu lineárních rovnic x +x +5x = 6, 5x +x +x = 8, 7x +7x +7x = 4, pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody s přesností ε = 0. Z teorie víme, že konvergence Gaussovy-Seidelovy metody je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro dosažení takové matice můžeme například nejprve umístit druhou rovnici na první pozici, třetí rovnici na druhou pozici a první rovnici na třetí pozici: 5x +x +x = 8, 7x +7x +7x = 4, x +x +5x = 6, Pak již jen stačí odečíst první a třetí rovnici od druhé rovnice: Matice soustavy 5x +x +x = 8, x +5x +x = 0, x +x +5x = je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 5 > +, 5 > + a 5 > +. Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 5 8 x x ), x = 5 0 x x ), x = 5 6 x x ) a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Gaussovu-Seidelovu metodu x k+) = 5 8 xk) x k) ), x k+) = 5 0 xk+) x k) ), x k+) = 5 6 xk+) x k+) ).

33 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) =,, ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x ) = 4,.6, 0.9 ). x ) =.96,.97,.007 ), x ) =.998,,.004 ), atd. x k) x k ) R 0, x ) x 0) R = max{ 4,.6, 0.9 } = 5,, x0), x0) ), x ) x ) R = max{ ,.97.6, } = 0.7, x ) x ) R = , atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: k x k) x k) x k) x k) x k ) R Ukončili jsem po jedenácté iteraci, protože x 4) x ) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledek zapíšeme jako x = 4.00 ± 0, x =.00 ± 0, x =.00 ± 0. Příklad.: Vyřešte soustavu lineárních rovnic x +x +x =, 5x x 4x =, x +4x x =, jak pomocí Jacobiho, tak pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody s přesností ε = 0. Všímejte si odlišností obou metod.

34 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Aby metody konvergovaly, je třeba převést soustavu rovnic do ekvivalentního tvaru, jehož matice soustavy je ostře diagonálně dominantní. Zdůrazněme, že tato postačující podmínka konvergence je pro obě metody společná! Všimněte si, že v matici soustavy nenajdeme na žádném řádku ostře dominantní prvek ve smyslu, že by byl v absolutní hodnotě ostře) větší než součet absolutních hodnot prvků zbylých. Vhodné ekvivalentní úpravy se nám proto budou hledat obtížněji, protože však je matice soustavy regulární má nenulový determinant - ověřte si!), takové úpravy nutně existují. Se soustavou budeme pracovat v maticovém tvaru, protože je to přehlednější. Po krátkém experimentování ovšem s vědomím toho, co chceme získat) dostáváme následující úpravy: V tuto chvíli jsme získali ostrou diagonální dominanci na prvním a druhém řádku. Na třetím řádku bychom měli rádi dominantní třetí prvek tj. 4), přičemž nám vadí první prvek tj. 5). Nabízí se odečíst od třetího řádku první na první pozici pak bude místo 5 menší ), jenže tím dominance nedosáhneme. Ukázalo se, že odečtení celého prvního řádku bylo příliš hrubou operací. Zkusme tedy být jemnější a od třetího řádku odečíst 5 8 prvního řádku. Po provedení závěrečné kosmetické úpravy dostaneme: Zapsáno opět v rovnicovém tvaru tedy: Matice soustavy 8x x =, x +5x = 4, 8x +x = je samozřejmě ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 8 > 0 +, 5 > + 0 a >

35 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Upravenou soustavu převedeme do iteračního tvaru x = 8 + x ), x = 5 4 x ), x = 9 8x ). V tuto chvíli je třeba napsat rekurentní vzorce a ty jsou u Jacobiho i Gaussovy-Seidelovy metody odlišné. Nejprve rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu: x k+) = 8 + xk) x k+) = 5 4 xk) x k+) = ), ), 9 8xk) ). A dále rekurentní vzorce pro Gaussovu-Seidelovu metodu: x k+) = 8 + xk) ), x k+) = 5 4 xk+) x k+) = ), 9 8xk+) ). Výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) metod tedy zvolíme pro například x 0) =,, )., x0), x0) ), u obou Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme první prvky. V případě Jacobiho metody dostaneme x ) = 8, 5, 85 ). Po prvním kroku je hodnota chyby x ) x 0) R = max{ 8, 5 V případě Gaussovy-Seidelovy metody to bude 85 6, } = > 0. a chyba bude mít hodnotu x ) = 8, 09 40, ) x ) x 0) R = max{ 8, 09 40, } = 55 > 0. Výpočet opakujeme, dokud není chyba menší nebo rovna 0. Výpočty zapíšeme do tabulek. Jacobiho metoda: Gaussova-Seidelova metoda: k x k) x k) x k) x k) x k ) R

36 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY k x k) x k) x k) x k) x k ) R Jacobiho metodu jsme ukončili po šesté iteraci a Gaussovu-Seidelovu po čtvrté iteraci. Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledky obou metod jsou totožné všimněte si však, že na dalších desetinných místech se liší) a zapíšeme je jako x = 0.94 ± 0, x =.6 ± 0, x =.8 ± 0. Příklad.4: Vyřešte soustavu lineárních rovnic 6x +x +x +x 4 = 7, x +5x +x 4 = 9, x +6x +5x =, x +x x +5x 4 =. pomocí Jacobiho iterační metody s přesností ε = 0. Než aplikujeme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu, musíme zajistit, aby posloupnost vektorů, kterou metoda vytváří, konvergovala ke správnému výsledku. Z teorie víme, že konvergence je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro tento účel stačí od třetí rovnice odečíst rovnici druhou a dostaneme: Matice soustavy 6x +x +x +x 4 = 7, x +5x +x 4 = 9, x +x +5x x 4 =, x +x x +5x 4 = je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 6 > + +, 5 > + 0 +, 5 > + + a 5 >

37 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 6 7 x x x 4 ), x = 5 9 x x 4 ), x = 5 + x x + x 4 ), x 4 = 5 x x + x ) a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu x k+) = xk) + x k) + x k) 9 xk) x k) 4 ), x k+) = 5 x k+) = 5 x k+) 4 = 5 4 ), + xk) x k) + x k) 4 ), xk) x k) + x k) ). Poznamenejme, že rekurentní vzorce můžeme zapsat také v maticovém tvaru, který je obzláště výhodný při řešení úlohy pomocí počítačového softwaru. x k+) x k+) x k+) x k+) = x k) x k) x k) x k) Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) = 0, 0, 0, 0 ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme x ) = 7 6, 9 5, 5, 5 ). x ) =.,.4, 0.99,.467 ),. x ) =.7,.97,.04,.9907 ), atd. Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x ) x 0) R = max{ 7 6., 9 5 =.8, x ) x ) R =.6, x ) x ) R = , atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: x k) x k ) R 0, 7 +.4, 5, x0), x0), x0) 4 ), , }

38 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY k x k) x k) x k) x k) 4 x k) x k ) R Ukončili jsem po osmé iteraci, protože x 8) x 7) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledek zapíšeme jako x =.00 ± 0, x =.00 ± 0, x =.00 ± 0, x 4 =.00 ± 0. Příklad.5: Vyřešte soustavu lineárních rovnic 6x +x +x +x 4 = 6, x 5x x +x 4 =, x x 5x +x 4 =, 5x 6x +7x 4 = 54. pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody s přesností ε = 0. Z teorie víme, že konvergence Gaussovy-Seidelovy metody je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro dosažení takové matice soustavy stačí od čtvrté rovnice odečíst rovnici třetí a dostaneme: 6x +x +x +x 4 = 6, x 5x x +x 4 =, x x 5x +x 4 =, x +x x +6x 4 =. Matice soustavy je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 6 > + +, 5 > + +, 5 > + + a 6 > + +. Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 6 6 x x x 4 ), x = 5 x + x x 4 ), x = 5 x + x x 4 ), x 4 = 6 x x + x ) 8

39 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Gaussovu-Seidelovu metodu x k+) = 6 6 xk) x k) x k) 4 ), x k+) = 5 xk+) + x k) x k) 4 ), x k+) = 5 xk+) + x k+) x k) 4 ), x k+) 4 = 6 xk+) x k+) + x k+) ) Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) =,,, ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme x ) =.8, , 4.58, 5.78 ). Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme x ) =.7585,.767, 4.05, ), x ) = 0.847,.99,.95, ), atd. Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x k) x k ) R 0,, x0), x0), x0) 4 ), x ) x 0) R = max{.8, , 4.58, 5.78 } = 5.58, x ) x ) R =.044, x ) x ) R = 0.968, atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: k x k) x k) x k) x k) 4 x k) x k ) R Ukončili jsem po sedmé iteraci, protože x 7) x 6) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. 9

40 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Výsledek zapíšeme jako x =.00 ± 0, x =.00 ± 0, x = 4.00 ± 0, x 4 = 5.00 ± 0. 40

41 KAPITOLA 4 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Příklad 4.: Pro uzly x i a funkční hodnoty y i dané následující tabulkou i= i= i= i=4 i=5 x i 0 y i 0 0 sestavte interpolační polynom v Lagrangeově tvaru. Interpolační polynom v Lagrangeově tvaru je určen předpisem px) = y 0 ϕ 0 x) + y ϕ x) + y ϕ x) + y ϕ x) + y 4 ϕ 4 x), kde ϕ 0 x), ϕ x), ϕ x), ϕ x), ϕ 4 x) jsou polynomy Lagrangeovy báze dané úlohy: ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = Dohromady pak dostáváme x + )x 0)x )x ) + ) 0) ) ) = xx + )x )x ), 80 x + )x 0)x )x ) + ) 0) ) ) = xx + )x )x ), 4 x + )x + )x )x ) 0 + )0 + )0 )0 ) = x + )x + )x )x ), 8 x + )x + )x 0)x ) + ) + ) 0) ) = xx + )x + )x ), 0 x + )x + )x 0)x ) + ) + ) 0) ) = xx + )x + )x ), 7 4

42 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ px) = xx + )x )x ) x + )x + )x )x ) 80 8 xx + )x + )x ). 4 Příklad 4.: Pro uzly x i a funkční hodnoty y i dané následující tabulkou i= i= i= i=4 x i 0 y i 0 0 sestavte interpolační polynom v Newtonově tvaru. Interpolační polynom v Newtonově tvaru je určen předpisem px) = y 0 + f [x, x 0 ]x x 0 ) + f [x, x, x 0 ]x x 0 )x x ) + + f [x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x ) + + f [x 4, x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x )x x ), kde f [x, x 0 ], f [x, x, x 0 ], f [x, x, x, x 0 ] a f [x 4, x, x, x, x 0 ] jsou poměrné diference.,.,. a 4. řádu. Poměrné diference prvního řádu. Spočítáme všechny poměrného diference prvního řádu podle vzorce: f [x i+, x i ] = f i+ f i x i+ x i pro i = 0,,..., n V tomto příkladě je počet uzlů n = 5, budou tedy čtyři poměrné diference prvního řádu: pro i = 0 f [x, x 0 ] = f f 0 x x 0 = 0 ) = pro i = f [x, x ] = f f x x = 0 0 ) = pro i = f [x, x ] = f f = 0 ) = x x 0 pro i = f [x 4, x ] = f 4 f = 0 x 4 x = Poměrné diference druhého řádu. Spočítáme všechny poměrného diference druhého řádu podle vzorce: f [x i+, x i+, x i ] = f [x i+, x i+ ] f [x i+, x i ] x i+ x i pro i = 0,,..., n 4

43 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Poměrné diference druhého řádu budou tři: pro i = 0 f [x, x, x 0 ] = f [x, x ] f [x, x 0 ] = x x 0 0 ) = 6 pro i = f [x, x, x ] = f [x, x ] f [x, x ] x x = ) ) = pro i = f [x 4, x, x ] = f [x 4, x ] f [x, x ] x 4 x = ) ) = 7 6 Poměrné diference třetího řádu. Spočítáme všechny poměrného diference třetího řádu podle vzorce: f [x i+, x i+, x i+, x i ] = f [x i+, x i+, x i+ ] f [x i+, x i+, x i ] x i+ x i pro i = 0,,..., n Poměrné diference třetího řádu budou dvě: pro i = 0 f [x, x, x, x 0 ] = f [x, x, x ] f [x, x, x 0 ] x x 0 = 6 ) ) = 5 pro i = f [x 4, x, x, x ] = f [x 4, x, x ] f [x, x, x ] x 4 x = 7 6 ) = 5 Poměrné diference čtvrtého řádu. Spočítáme poměrnou diference čtvrtého řádu podle vzorce: f [x i+4, x i+, x i+, x i+, x i ] = f [x i+4, x i+, x i+, x i+ ] f [x i+, x i+, x i+, x i ] x i+4 x i pro i = 0,,..., n 4 Poměrná diference čtvrého řádu bude jedna: pro i = 0 f [x 4, x, x, x, x 0 ] = f [x 4, x, x, x ] f [x, x, x, x 0 ] x 4 x 0 = 5 5 ) = 0 Poměrných diference lze zapsat do tabulky: i x i y i.řád.řád.řád 4.řád

44 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Interpolační polynom v Newtonově tvaru je určen předpisem: px) = f 0 + f [x, x 0 ]x x 0 ) + f [x, x, x 0 ]x x 0 )x x ) + + f [x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x ) + + f [x 4, x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x )x x ), Pomocí hodnot vypočtených v prvním řádku tabulky sestavíme interpolační polynom: px) = x + ) 6 x + )x + ) + xx + )x + ) xx )x + )x + ). 5 0 Příklad 4.: Pro uzly x i a funkční hodnoty y i dané následující tabulkou sestavte interpolační polynom: a) v základním tvaru, b) v Lagrangeově tvaru, c) v Newtonově tvaru. i= i= i= x i y i a) Interpolační polynom hledáme ve tvaru px) = a 0 + a x + a x. Dosazením do interpolačních požadavků px i ) = y i, i = 0,, dostaneme p ) = = a 0 a + 9a =, p ) = = a 0 a + a =, p) = = a 0 + a + a =. Tyto rovnosti představují soustavu lineárních rovnic, kterou je možno zapsat také ve tvaru 9 a 0 a =. a Vyřešením dostaneme a 0 = 8, a =, a = 5 8, takže hledaným interpolační polynom má tvar px) = 8 + x x. b) Interpolační polynom v Lagrangeově tvaru je určen předpisem px) = y 0 ϕ 0 x) + y ϕ x) + y ϕ x), kde ϕ 0 x), ϕ x), ϕ x) jsou polynomy Lagrangeovy báze dané úlohy: ϕ 0 x) = ϕ x) = ϕ x) = x + )x ) + ) ) = x + )x ), 8 x + )x ) + ) ) = x + )x ), 4 x + )x + ) + ) + ) = x + )x + ). 8 44

45 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Dohromady pak dostáváme px) = 8 x + )x ) + 4 x + )x ) + x + )x + ). 4 c) Interpolační polynom v Newtonově tvaru je určen předpisem px) = y 0 + f [x, x 0 ]x x 0 ) + f [x, x, x 0 ]x x 0 )x x ), kde f [x, x 0 ] a f [x, x, x 0 ] jsou poměrné diference. a. řádu. Výpočet poměrných diferencí je proveden v následující tabulce: i x i y i.řád.řád Pomocí hodnot vypočtených v prvním řádku tabulky sestavíme interpolační polynom: px) = x + ) + 5 x + )x + ). 8 px) = 8 + x x px) = 8 x + )x ) + 4 x + )x ) + x + )x + ) 4 px) = x + ) + 5 x + )x + ) 8 Příklad 4.4: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 x i y i přímkou ϕx) = c x + c metodou nejmenších čtverců. Pro nalezení nejlepší aproximace ve smyslu nejmenších čtverců je třeba nejprve sestavit normální rovnice. Pokud hledáme aproximaci ve tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c R jsou vhodné koeficienty, a v bodech x i máme předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= n n c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) = i= i= n i= y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= 45

46 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ V našem případě je ϕ x) = x a ϕ x) = jedná se o konstantní funkci, která má v každém bodě hodnotu ). Nyní již soustavu normálních rovnic pro neznámé koeficienty c, c snadno zapíšeme. 5 c x 5 i + c x i = i= i= 5 5 c x i + c = i= i= 5 y i x i i= 5 y i i= Vypočítáme jednotlivé součty: 5 xi = = 90.5 i= 5 x i = = 8.5 i= 5 y i x i = = 57 i= 5 y i = = 8.5 i= A dosadíme do soustavy lineárních rovnic: 90.5c + 8.5c = c + 5c = 8.5 Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty c =.647, c =.049. Nalezená funkce má rovnici ϕx) =.647x

47 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ 5 zadana data nalezena funkce Příklad 4.5: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9 i=0 x i y i funkcí ϕx) = c sin x + c ln x metodou nejmenších čtverců. Pro nalezení nejlepší aproximace ve smyslu nejmenších čtverců je třeba nejprve sestavit normální rovnice. Pokud hledáme aproximaci ve tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c R jsou vhodné koeficienty, a v bodech x i máme předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= n n c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) = i= i= n i= y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= V našem případě je ϕ x) = sin x a ϕ x) = ln x. Nyní již soustavu normálních rovnic pro neznámé koeficienty c, c snadno zapíšeme. 0 c sin 0 x i + c sin x i ln x i = i= i= 0 0 c ln x i sin x i + c ln x i = i= i= 0 y i sin x i i= 0 y i ln x i i= 47

48 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Vypočítáme jednotlivé součty: 0 sin x i = sin 0.) + sin 0.8) + sin 4.6) + sin 6.) + sin 6.6) + sin.5) + i= + sin.8) + sin.) + sin 4.6) + sin 4.9) = sin x i ln x i = sin0.) ln0.) + sin0.8) ln0.8) + sin4.6) ln4.6) + i= + sin6.) ln6.) + sin6.6) ln6.6) + sin.5) ln.5) + + sin.8) ln.8) + sin.) ln.) + sin4.6) ln4.6) + + sin4.9) ln4.9) = ln x i = ln 0.) + ln 0.8) + ln 4.6) + ln 6.) + ln 6.6) + ln.5) + i= + ln.8) + ln.) + ln 4.6) + ln 4.9) = y i sin x i = 9 sin0.) + sin0.8) 4 sin4.6) 6 sin6.) i= 5 sin6.6) 59 sin.5) 55 sin.8) 46 sin.) 47 sin4.6) 46 sin4.9) = y i ln x i = 9 ln0.) + ln0.8) 4 ln4.6) 6 ln6.) 5 ln6.6) i= 59 ln.5) 55 ln.8) 46 ln.) 47 ln4.6) 46 ln4.9) = A dosadíme do soustavy lineárních rovnic: c c = c c = Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty c = 9.7, c = Nalezená funkce má rovnici ϕx) = 9.7 sin x ln x. 48

49 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ 0 zadana data nalezena funkce Příklad 4.6: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 x i y i pomocí metody nejmenších čtverců nejprve přímkou ϕx) = c x + c a posléze funkcí ψx) = d sin x + d cos x. Určete, která ze získaných funkcí aproximuje zadaná data lépe. Nejprve je třeba sestavit normální rovnice. V obou případech jde o aproximaci tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c R jsou vhodné koeficienty. Pokud máme v bodech x i předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= n n c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) = i= i= n i= y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= Po zkušenostech získaných v předchozích úlohách jsme s normálními rovnicemi obeznámeni natolik, že se můžeme podívat, jak vypadá přepis do maticového tvaru: i= n ϕ x i )) i= n ϕ ) ) x i ) ϕ x i ) c i= n i= n ϕ x i ) ϕ x i ) i= n ϕ x i )) = y ) i ϕ x i ) c i= n y i ϕ x i ) 49

50 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ V prvním případě je ϕ x) = x, ϕ x) = a ve druhém ϕ x) = sin x, ϕ x) = cos x. Nyní již obě soustavy normálních rovnic snadno zapíšeme. Aproximace funkcí tvaru ϕx) = c x + c : 5 i= x i 5 i= x ) ) i c i= n 5 i= x i 5 i= = y ) ix i c i= n y i Po dosazení hodnot ze zadání dostaneme soustavu rovnic: ) ) ) 99 c. = 5.4 c Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty zaokrouhleno na desetinná místa) c = 0.0, c =.6. Nalezená funkce má rovnici ϕx) = 0.0 x +.6. Aproximace funkcí tvaru ψx) = d sin x + d cos x: 5 i= sin x i 5 i= sin x ) i cos x i 5 i= cos x i sin x i 5 i= cos x i d d ) i= n = y ) i sin x i i= n y i cos x i Po dosazení hodnot ze zadání dostaneme soustavu rovnic zaokrouhleno na desetinná místa): ) ) ).4 0. d 0.87 = Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty zaokrouhleno na desetinná místa) c =.55, c =.7. Nalezená funkce má rovnici ψx) =.55 sin x.7 cos x. d Jak určit, která z aproximací je lepší? Někdy se to zdá být zjevné z obrázku, ale rádi bychom uměli dobrost aproximace měřit exaktně. Principem metody nejmenších čtverců je nalézt takovou funkci určitého tvaru, jejíž součet druhých mocnin tj. čtverců) rozdílů funkčních hodnot a zadaných hodnot v předepsaných bodech je co nejmenší. Pro měření dobrosti aproximace proto využijeme právě těchto součtů. Čím menší součet dostaneme, tím lepší je aproximace. V případě, že dostaneme soušet nulový, je aproximace ideální a předepsaných bodech nabývá předepsaných hodnot. Pro aproximaci ϕx) dat x i, y i, kde i =,..., n, definujeme chybu jako n i= ϕx i) y i ). Chyba aproximace ϕx) = 0.0x +.6 je proto 5 0.0x i +.6 y i ) = 8.9 i= Chyba aproximace ψx) =.55 sin x.7 cos x je proto 5.55 sin x i.7 cos x i y i ) =.5 i= 50

51 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Protože.5 < 8.9, je lepší aproximací dat funkce ψx). 8 6 zadana data. nalezena funkce. nalezena funkce Příklad 4.7: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 i=6 i=7 x i y i funkcí ϕx) = c x + c x + c metodou nejmenších čtverců. Pro nalezení nejlepší aproximace ve smyslu nejmenších čtverců je třeba nejprve sestavit normální rovnice. Pokud hledáme aproximaci ve tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c, c R jsou vhodné koeficienty, a v bodech x i máme předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n n + c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= i= c n i= n ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= c n i= n ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) n + c ϕ x i )) = i= i= n i= n i= y i ϕ x i ) y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= V našem případě je ϕ x) = x, ϕ x) = x a ϕ x) = tj. funkce, která má v každém bodě hodnotu ). Nyní již soustavu normálních rovnic pro neznámé koeficienty c, c, c snadno zapíšeme. 5

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA NUMERICKÉ METODY Radek Kučera Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijní opory s převažujícími

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR POČÁTEČNÍ ÚLOHY Numerické metody 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Numerické metody. Vratislava Mošová

Numerické metody. Vratislava Mošová Numerické metody Vratislava Mošová 1 Předmluva S rozvojem počítačů vzrostl význam numerických metod. Řada výpočetních postupů, které sem řadíme, vznikla sice už dávno předtím, ale teprve nástup výpočetní

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA IV NUMERICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více