Numerická matematika Banka řešených příkladů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerická matematika Banka řešených příkladů"

Transkript

1 Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G

2 ISBN

3 OBSAH Řešení nelineárních rovnic 5 Soustavy lineárních rovnic: přímé metody 9 Soustavy lineárních rovnic: iterační metody 0 4 Interpolace a aproximace funkcí 4 5 Numerické integrování a derivování 59 6 Obyčejné diferenciální rovnice: počáteční úlohy 68 Literatura 79

4 Předmluva Studijní materiály tvořící tato skripta jsou určeny převážně pro studenty kombinované i prezenční formy fakulty strojní Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava navštěvující předmět Numerická matematika. Naše skripta obsahují řešené příklady a jsou přirozený doplněk skript Radka Kučery Numerické metody, která jsou zaměřená na teoretický výklad základních partií numerické matematiky. Rádi bychom upozornili na webovou stránku kde je u- místěn nejen tento text, ale také řada dalších souvisejících studijních materiálů. Tento studijní text vznikl za finanční podpory projektu IRP-FRVŠ 58/05 Inovace předmětu Numerická matematika na Fakultě strojní Vysoké školy báňské - Technické univerzitě Ostrava a Katedry matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TUO. Příjemně strávený čas s numerickou matematikou přeje kolektiv autorů. 4

5 KAPITOLA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad.: Metodou půlení intervalu určete všechny kořeny rovnice s přesností ε = 0. x = ln0 x) 70 fx)=x ln0 x) Z grafu vidíme, že kořen průsečík s osou x) leží v intervalu,. Vytabelujeme si na tomto 5

6 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC intervalu hodnotu funkce f x) = x ln0 x) a zjistíme, že znaménko funkčních hodnot se mění mezi. a.. Funkce je spojitá na daném intervalu. Rovnice má jeden kořen na intervalu.,.. x f x) Počítáme kořen na intervalu.,., tedy a 0 =., b 0 =.. Spočítáme první aproximaci x : x = b0 + a 0 =. +. =.5. Spočítáme funkční hodnoty funkce f x) = x ln0 x) v bodech a 0, x, b 0 : a určíme interval a, b : f a 0 ) = 0.446, f x ) = 0.59, f b 0 ) = 0.07 f a 0 ) f x ) < 0 a = x 0 =.5, b = b 0 =.. Určíme chybu aproximace b0 a 0 = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x = a + b =.5 +. =.75 a určíme interval a, b : f a ) = 0.59, f x ) = 0.095, f b ) = 0.07, f a ) f x ) < 0 a = x =.75 b = b =.. Určíme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x = a + b = =.875 a určíme interval a, b : f a ) = 0.095, f x ) = 0.005, f b ) = 0.07, f a ) f x ) < 0 a = x =.875, b = b =.. Určíme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 = a + b = =.98 6

7 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a určíme interval a 4, b 4 : f a ) = 0.005, f x ) = 0.004, f b ) = 0.07, f a ) f x ) < 0 a 4 = a =.875, b 4 = x =.98 Určíme chybu aproximace b a = < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = a4 + b 4 = =.906 Určíme interval a 5, b 5 : f a 4 ) = f x 4 ) = f b 4 ) = f a 4 ) f x 4 ) < 0 a 5 = x 4 =.906, b 5 = b 4 =.98 Určíme chybu aproximace b4 a 4 = 0.00 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 5 : x 5 = a5 + b 5 = =.9 Určíme interval a 6, b 6 : f a 5 ) = f x 5 ) = f b 5 ) = f a 5 ) f x 5 ) > 0 a 6 = x 5 =.906, b 6 = b 5 =.98 Určíme chybu aproximace b4 a 4 = < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 6 = a6 + b 6 = =.9 Určíme chybu aproximace b6 a 6 = < ε = 0. Je dosaženo zadané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: i a i f a i ) x i f x i ) b i f b i ) b i a i / Kořen rovnice je x =.9 ±

8 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad.: Metodou půlení intervalu určete všechny kořeny rovnice: s přesností ε = 0. x + sinx) = 0 fx)=x+sinx) Z grafu vidíme, že kořen průsečík s osou x) leží v intervalu,. Vytabelujeme si na tomto intervalu hodnotu funkce f x) = x + sinx) a zjistíme, že znaménko funkčních hodnot se mění mezi. a.. Funkce je spojitá na daném intervalu. Rovnice má jeden kořen na intervalu.,.. x f x) Počítáme kořen na intervalu.,. a tedy a 0 =., b 0 =.,. Spočítáme počáteční aproximaci x 0 : x 0 = b 0 + a 0 =. +. =.5 Spočítáme funkční hodnoty funkce f x) = x + sinx) v bodech a 0, x 0, b 0. A určíme interval a, b : f a 0 ) = f x 0 ) = f b 0 ) = 0.0 f a 0 ) f x 0 ) < 0 a = a 0 =., b = x 0 =.5 8

9 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Spočítáme chybu aproximace b 0 a 0 = 0.05 < ε = 0. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = a + b =. +.5 =.5 Určíme interval a, b : f a ) = f x ) = 0.07 f b ) = f a ) f x ) < 0 a = a =. b = x =.5 Spočítáme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Spočítáme další aproximaci x : x = a + b =. +.5 =.5 Určíme interval a, b : f a ) = f x ) = f b ) = 0.07 f a ) f x ) < 0 a = a =., b = x =.5 Spočítáme chybu aproximace b a = 0.05 < ε = 0. Spočítáme další aproximaci x : x = a + b =. +.5 =.06 Určíme interval a 4, b 4 : f a ) = f x ) = f b ) = f a ) f x ) < 0 a 4 = a =., b 4 = x =.06 Spočítáme chybu aproximace b a = < ε = 0. Je dosaženo zadané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: i a i f a i ) x i f x i ) b i f b i ) b i a i / Kořen rovnice je: x =. ±

10 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad.: Newtonovou metodou určete všechny kořeny rovnice: s přesností ε = 0 6. x = ln0 x) 70 fx)=x ln0 x) Z grafu vidíme, že kořen průsečík s osou x) leží v intervalu,. Vytabelujeme si na tomto intervalu hodnotu funkce f x) = x ln0 x) a zjistíme, že znaménko funkčních hodnot se mění mezi. a.. Funkce je spojitá na daném intervalu. Rovnice má jeden kořen na intervalu.,.. x f x) Spocítáme první a druhou derivaci: f x) = x ln0 x), f x) = x + 0 x, f x) = 6 x + 0 x), Ověříme předpoklady metody: f a) f a) = = < 0. = b a a vidíme, že podmínka není splněna. Musíme zmenšit interval, na kterém hledáme kořen. 0

11 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 0.6 fx)=x ln0 x) Z grafu vidíme, ze kořen leží v intervalu.5,.. A opět začneme ověřovat předpoklady metody, tentokrát na intervalu.5,. : f a) f a) = = < 0.05 = b a f b) f b) = = < 0.05 = b a x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu.5,. můžeme usoudit, že: f x) > 0 na.5,. f x) > 0 na.5,.. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = b =.. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = =

12 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 6. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = = a chybu aproximace x x = < ε = 0 6. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = = a chybu aproximace x x 0 = = < ε = 0 6. Je dosaženo zadané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: i x i x i x i Kořen rovnice je: x =.947 ± 0 6 Příklad.4: Newtonovou metodou určete všechny kořeny rovnice: s přesností ε = 0 8. x 4 cos x) = 0 Nejprve separujeme kořeny rovnice. K tomu si nakreslíme graf funkce na intervalu 0, 5. Tento interval jsme zvolili proto, protože jsou na něm videt všechny kořeny rovnice.

13 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 5 fx)=x 4cos x) Z grafu vidíme, že naše rovnice má tři kořeny x,, x,, x, 4. Všechny tři kořeny aproximujeme Newtonovou metodou tak, jak jsme to už učinili v příkladu.. Nejdříve se tedy budeme zabývat prvním kořenem x. Nejdříve ho separujeme na menší interval o délce jední desetiny. Vytabelujeme si na intervalu, hodnoty funkce f x) = x 4 cos x) a zjistíme, že náš kořen x leží v intervalu,.. Spocítáme první a druhou derivaci: f x) = x 4 cos x), f x) = + 8 sinx) cosx) = + 4 sinx), f x) = 8 cosx) Ověříme předpoklady metody na intervalu,. : f a) f a) = 4 cos ) + 4 sin ) = 0.04 < 0. = b a f b) f b) =. 4 cos.) + 4 sin.) = 0.07 < 0. = b a

14 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu,. můžeme usoudit, že: f x) > 0 na,. f x) < 0 na,.. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody, že první ani druhá derivace nemění na tomto intervalu znaménko. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = a =. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = 4 cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x 4 x = < ε = 0 8. Je dosaženo žádané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: 4

15 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Kořen rovnice je: i x i x i x i x = ± 0 8 Podobně to uděláme se zbývajícími kořeny. Tabelací funkce f x) = x 4 cos x) na intervalech,,, 4 zjistíme, že kořen x.4,.5 a kořen x.5,.6. Stejný postup jako výše provedeme nejdříve pro kořen x. Ověříme předpoklady metody na intervalu.4,.5 : f a) f a) =.4 4 cos.4) + 4 sin.4) = 0.08 < 0. = b a f b) f b) = 4 cos.) + 4 sin.) = 0.0 < 0. = b a x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu,. můžeme usoudit, že: f x) < 0 na.4,.5 f x) > 0 na.4,.5. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody, že první ani druhá derivace nemění na tomto intervalu znaménko. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = a =.4. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = cos.4) + 4 sin.4) = a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. 5

16 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x 4 x = < ε = 0 8. Je dosaženo žádané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: Kořen rovnice je: i x i x i x i x = ± 0 8 Nyní ještě provedeme stejný postup pro kořen x. Ověříme předpoklady metody na intervalu.5,.6 : f a) f a) =.5 4 cos.5) + 4 sin.5) = 0.00 < 0. = b a f b) f b) =.6 4 cos.6) + 4 sin.6) = 0.09 < 0. = b a 6

17 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x i f x i ) f x i ) Z tabelace první a druhé derivace na intervalu,. můžeme usoudit, že: f x) > 0 na.5,.6 f x) > 0 na.5,.6. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody, že první ani druhá derivace nemění na tomto intervalu znaménko. Zvolíme počáteční aproximaci x 0 = a =.6. Spočítáme další aproximaci x : x = x 0 f x 0) f x 0 ) = cos.6) + 4 sin.6) = a chybu aproximace x x 0 = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x : x = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x x = < ε = 0 8. Ve výpočtu pokračujeme dál. Spočítáme další aproximaci x 4 : x 4 = x f x ) f x ) = cos ) + 4 sin ) = a chybu aproximace x 4 x = < ε = 0 8. Je dosaženo žádané přesnosti. Vše si zapíšeme do tabulky: 7

18 KAPITOLA. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC i x i x i x i Kořen rovnice je: x = ± 0 8 Kořeny rovnice jsou: x = ± 0 8 x = ± 0 8 x = ± 0 8 8

19 KAPITOLA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Příklad.: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 9, 59, 8), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: 0 0 L = 6 0, U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 9 9 6y +y = 59 y = 5, y +y = 8 9

20 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY x x +x = 9 x x = 5 x = x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a ). Všechny tři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = 0 0 6y +y = 0 0 y +y = 0 0 x x +x = 0 0 x x = 6 0 x = 0 Y = A = , Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) ) ) ) =.. Příklad.: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 9,, 4), inverzní matice A a determinantu det A.. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = , U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 9 y = y y +y = 4 y = 9 7., 0

21 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY x +4x +x = 9 x +x = x = 7 x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a ). Všechny tři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = 0 0 y = 0 0 y y +y = 0 0 x +4x +x = 0 0 x +x = 0 0 x = Y = A = , 6 6 Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) ) ) ) = 6.. Příklad.: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 0, 8, 8), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: = Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = 0 0 0, U = Nezapomínejte, že při výpočtu matice L Gaussovou eliminační metodou nesmíte měnit pořadí řádků, ani násobit řádky konstantou. Není proto možné vyhnout se práci se zlomky. V dalších úlohách se seznámite s LU-rozkladem s permutační maticí, který můžete použít v případech, kdy je prohození řádků nutné..

22 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 0 0 y +y = 8 y y y = 8, +y = 8 4 6x +x = 0 +x +4x = 8 x = 4 x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a ). Všechny tři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = 0 0 y +y = 0 0 y y +y = 0 0 6x +x = 0 0 +x +4x = 6 0 x = 0 Y = A = 4 Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) 6 )) = , 4. Příklad.4: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 4,, 9, ), inverzní matice A a determinantu det A. Práce s čtvercovou maticí se čtyřmi řádky je o něco náročnější než v případě matic s menšími rozměry, postup je nicméně totožný. Gaussovou eliminační metodou dostáváme:

23 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = , U = Opět mějte stále na paměti, že tento algoritmus hledání LU-rozkladu zapovídá prohazování řádků a násobení řádků konstantou. Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 4 y +y = y +y = 9 y y + 5 y +y 4 = x 4x +x = 4 x +4x x 4 = 8 +5x +5x 4 = 0 x 4 = 5 y = x = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, 4, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e, e 4 ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a, a 4 ). Všechny čtyři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = y +y = y Y = +y = y y + 5 y 0, +y 4 = x 4x +x = x +4x x 4 = x +5x 4 = A = x 4 = Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: 5,. det A = det L det U = ) ) ) 5 )) = 60. Příklad.5: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic

24 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Ax = b, kde b = 6,, 5, ), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = 0 0 0, U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 6 6 y +y = y = y y +y = 5 6, y y +y +y 4 = 4x x +x 4 = 6 x +x 4 = x +x 4 = 6 x 4 = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, 4, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e, e 4 ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a, a 4 ). Všechny čtyři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = y +y = Y = 0 0 y y +y = , y y +y +y 4 = x x +x 4 = x +x 4 = 0 0 x +x 4 = 0 x 4 = x = A = Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) 4 ) ) )) = 8.. 4

25 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Příklad.6: Je dána matice A = Vypočtěte LU-rozklad A = LU pomocí Gaussovy eliminační metody bez výběru hlavního prvku. Využijte nalezeného LU-rozkladu k určení řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kde b = 5,,, 9), inverzní matice A a determinantu det A. Gaussovou eliminační metodou dostáváme: Matice U je výsledkem Gaussovy eliminační metody, matici L sestavíme z multiplikátorů s opačnými znaménky), které jsme použili během eliminace: L = 0 0 0, U = Při řešení Ax = b nejprve spočteme y z Ly = b a potom z Ux = y vypočítáme x: y = 5 5 y +y = y = 4 y +y +y = 6, y +y y +y 4 = 9 4x +x +x x 4 = 5 x +x x 4 = 4 x x 4 = 6 x 4 = Inverzní matici vypočítáme tak, že řešíme soustavy Aa i = e i, i =,,, 4, kde e i jsou sloupce jednotkové matice I = e, e, e, e 4 ). Získané vektory a i jsou sloupci inverzní matice, tj. A = a, a, a, a 4 ). Všechny čtyři soustavy budeme řešit současně, přičemž jejich řešení opět rozložíme do dvou kroků: y = y +y = Y = 0 0 y +y +y = , y +y y +y 4 = x =. +

26 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY 4x +x +x x 4 = x +x x 4 = 0 0 x x 4 = 0 x 4 = 4 5 A = Determinant det A vypočítáme jako součin diagonálních prvků matic L a U: det A = det L det U = ) 4) )) =. 4. Příklad.7: Je dána matice 7 A = 8. 5 Vypočtěte LU-rozklad s permutační maticí, tj. rozklad PA = LU, pomocí Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku. Při výpočtu LU-rozkladu s permutační maticí budeme postupovat takto: vytvoříme pomocné matice Ũ = A, P = I a L = I = jednotková matice); v matici Ũ provádíme dopředný chod Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku; v matici P přehazujeme řádky stejně jako v matici Ũ; do matice L zapíšeme v každé fázi multiplikátory s opačnými znaménky) a při přehození řádků v Ũ přehodíme v L řádky i sloupce; nakonec dostáváme P = P, L = L a U = Ũ. Výpočet tedy zahájíme tím, že definujeme pomocné matice Ũ, P a L Ũ = 8, P = 0 0, L = Po výběru hlavního prvku v první fázi tj. v absolutní hodnoty největšího prvku v prvním sloupci): 8 Ũ = , P = , L = Po eliminaci v první fázi s multiplikátory m = a m = : Ũ = 0 0, P = 0 0, L =

27 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Po výběru hlavního prvku ve druhé fázi bez prohození druhého a třetího řádku bychom v eliminaci vůbec nemohli pokračovat!): 8 Ũ = , P = 0 0, L = Eliminace ve druhé fázi je multiplikátorem m = 0, čili veskrze symbolická: Výsledkem jsou matice Ũ = 0 4, P = 0 0, L = P = P, L = L, U = Ũ. Můžete si vyzkoušet, že skutečně platí PA = LU. Poznámka. Mohli byste považovat za nevýhodu, že získaný tvar ve skutečnosti není rozkladem matice A. Ten byste dostali jeho vynásobením obou stran rovnosti zleva maticí P. Výpočet inverzní matice k permutační matici je naštěstí velice snadný, platí totiž P = P. Matici A proto můžeme rozložit na součin takto: A = P LU = P LU, neboli = Příklad.8: Je dána matice 8 A = Vypočtěte LU-rozklad s permutační maticí, tj. rozklad PA = LU, pomocí Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku. Při výpočtu LU-rozkladu s permutační maticí budeme postupovat takto: vytvoříme pomocné matice Ũ = A, P = I a L = I = jednotková matice); v matici Ũ provádíme dopředný chod Gaussovy eliminační metody s výběrem hlavního prvku; v matici P přehazujeme řádky stejně jako v matici Ũ; do matice L zapíšeme v každé fázi multiplikátory s opačnými znaménky) a při přehození řádků v Ũ přehodíme v L řádky i sloupce; nakonec dostáváme P = P, L = L a U = Ũ. 7

28 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Výpočet tedy zahájíme tím, že definujeme pomocné matice Ũ, P a L. 8 Ũ = , P = , L = Po výběru hlavního prvku v první fázi tj. v absolutní hodnoty největšího prvku v prvním sloupci): 6 Ũ = , P = , L = Po eliminaci v první fázi s multiplikátory m =, m = a m 4 = : Ũ = , P = , L = Po výběru hlavního prvku ve druhé fázi toho docílíme prohozením druhého a čtvrtého řádku): Ũ = , P = , 0 0 L = Při eliminaci ve druhé fázi jsme použili multiplikátory m = 5 9 a m = 0 9 : Ũ = , P = , L = Po výběru hlavního prvku ve třetím kroku prohozením třetího a čtvrtého řádku): Ũ = Nakonec provedeme eliminaci koeficientem m 4 = 0 59 : , P = , 0 0 L =

29 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: PŘÍMÉ METODY Ũ = , P = , 0 0 L = Výsledkem jsou matice P = P, L = L, U = Ũ. Můžete si vyzkoušet, že skutečně platí PA = LU. 9

30 KAPITOLA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Příklad.: Vyřešte soustavu lineárních rovnic x +x +x = 0, x +x x = 9, x +x +x = 0, pomocí Jacobiho iterační metody s přesností ɛ = 0. Než aplikujeme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu, musíme zajistit, aby posloupnost vektorů, kterou metoda vytváří, konvergovala ke správnému výsledku. Z teorie víme, že konvergence je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro tento účel stačí přehodit první a třetí rovnici a následně přičíst první rovnici ke druhé rovnici. Dostaneme pak: Matice soustavy x +x +x = 0, x +x = 9, x +x +x = 0. 0 je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. > +, > + 0 a > +. 0

31 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 0 x x ), x = 9 x ), x = x x ) a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu x k+) = 0 xk) x k) x k+) = 9 xk) ), x k+) = xk) x k) ). Poznamenejme, že rekurentní vzorce můžeme zapsat také v maticovém tvaru, který je obzláště výhodný při řešení úlohy pomocí počítačového softwaru. x k+) x k+) x k+) 0 = x k) x k) x k) ), + Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) =,, ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x ) =.6667, , 0 ). x ) =.4444, , ), x ) =.48, 5.704,.070 ), atd. x k) x k ) R 0,., x0), x0) ), x ) x 0) R = max{.6667, , 0 } = , x ) x ) R = max{ , , 0 } =., atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: k x k) x k) x k) x k) x k ) R

32 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Ukončili jsem po jedenácté iteraci, protože x 0) x 9) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledek zapíšeme jako x =.00 ± 0, x = 5.00 ± 0, x =.00 ± 0. Příklad.: Vyřešte soustavu lineárních rovnic x +x +5x = 6, 5x +x +x = 8, 7x +7x +7x = 4, pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody s přesností ε = 0. Z teorie víme, že konvergence Gaussovy-Seidelovy metody je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro dosažení takové matice můžeme například nejprve umístit druhou rovnici na první pozici, třetí rovnici na druhou pozici a první rovnici na třetí pozici: 5x +x +x = 8, 7x +7x +7x = 4, x +x +5x = 6, Pak již jen stačí odečíst první a třetí rovnici od druhé rovnice: Matice soustavy 5x +x +x = 8, x +5x +x = 0, x +x +5x = je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 5 > +, 5 > + a 5 > +. Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 5 8 x x ), x = 5 0 x x ), x = 5 6 x x ) a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Gaussovu-Seidelovu metodu x k+) = 5 8 xk) x k) ), x k+) = 5 0 xk+) x k) ), x k+) = 5 6 xk+) x k+) ).

33 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) =,, ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x ) = 4,.6, 0.9 ). x ) =.96,.97,.007 ), x ) =.998,,.004 ), atd. x k) x k ) R 0, x ) x 0) R = max{ 4,.6, 0.9 } = 5,, x0), x0) ), x ) x ) R = max{ ,.97.6, } = 0.7, x ) x ) R = , atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: k x k) x k) x k) x k) x k ) R Ukončili jsem po jedenácté iteraci, protože x 4) x ) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledek zapíšeme jako x = 4.00 ± 0, x =.00 ± 0, x =.00 ± 0. Příklad.: Vyřešte soustavu lineárních rovnic x +x +x =, 5x x 4x =, x +4x x =, jak pomocí Jacobiho, tak pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody s přesností ε = 0. Všímejte si odlišností obou metod.

34 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Aby metody konvergovaly, je třeba převést soustavu rovnic do ekvivalentního tvaru, jehož matice soustavy je ostře diagonálně dominantní. Zdůrazněme, že tato postačující podmínka konvergence je pro obě metody společná! Všimněte si, že v matici soustavy nenajdeme na žádném řádku ostře dominantní prvek ve smyslu, že by byl v absolutní hodnotě ostře) větší než součet absolutních hodnot prvků zbylých. Vhodné ekvivalentní úpravy se nám proto budou hledat obtížněji, protože však je matice soustavy regulární má nenulový determinant - ověřte si!), takové úpravy nutně existují. Se soustavou budeme pracovat v maticovém tvaru, protože je to přehlednější. Po krátkém experimentování ovšem s vědomím toho, co chceme získat) dostáváme následující úpravy: V tuto chvíli jsme získali ostrou diagonální dominanci na prvním a druhém řádku. Na třetím řádku bychom měli rádi dominantní třetí prvek tj. 4), přičemž nám vadí první prvek tj. 5). Nabízí se odečíst od třetího řádku první na první pozici pak bude místo 5 menší ), jenže tím dominance nedosáhneme. Ukázalo se, že odečtení celého prvního řádku bylo příliš hrubou operací. Zkusme tedy být jemnější a od třetího řádku odečíst 5 8 prvního řádku. Po provedení závěrečné kosmetické úpravy dostaneme: Zapsáno opět v rovnicovém tvaru tedy: Matice soustavy 8x x =, x +5x = 4, 8x +x = je samozřejmě ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 8 > 0 +, 5 > + 0 a >

35 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Upravenou soustavu převedeme do iteračního tvaru x = 8 + x ), x = 5 4 x ), x = 9 8x ). V tuto chvíli je třeba napsat rekurentní vzorce a ty jsou u Jacobiho i Gaussovy-Seidelovy metody odlišné. Nejprve rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu: x k+) = 8 + xk) x k+) = 5 4 xk) x k+) = ), ), 9 8xk) ). A dále rekurentní vzorce pro Gaussovu-Seidelovu metodu: x k+) = 8 + xk) ), x k+) = 5 4 xk+) x k+) = ), 9 8xk+) ). Výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) metod tedy zvolíme pro například x 0) =,, )., x0), x0) ), u obou Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme první prvky. V případě Jacobiho metody dostaneme x ) = 8, 5, 85 ). Po prvním kroku je hodnota chyby x ) x 0) R = max{ 8, 5 V případě Gaussovy-Seidelovy metody to bude 85 6, } = > 0. a chyba bude mít hodnotu x ) = 8, 09 40, ) x ) x 0) R = max{ 8, 09 40, } = 55 > 0. Výpočet opakujeme, dokud není chyba menší nebo rovna 0. Výpočty zapíšeme do tabulek. Jacobiho metoda: Gaussova-Seidelova metoda: k x k) x k) x k) x k) x k ) R

36 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY k x k) x k) x k) x k) x k ) R Jacobiho metodu jsme ukončili po šesté iteraci a Gaussovu-Seidelovu po čtvrté iteraci. Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledky obou metod jsou totožné všimněte si však, že na dalších desetinných místech se liší) a zapíšeme je jako x = 0.94 ± 0, x =.6 ± 0, x =.8 ± 0. Příklad.4: Vyřešte soustavu lineárních rovnic 6x +x +x +x 4 = 7, x +5x +x 4 = 9, x +6x +5x =, x +x x +5x 4 =. pomocí Jacobiho iterační metody s přesností ε = 0. Než aplikujeme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu, musíme zajistit, aby posloupnost vektorů, kterou metoda vytváří, konvergovala ke správnému výsledku. Z teorie víme, že konvergence je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro tento účel stačí od třetí rovnice odečíst rovnici druhou a dostaneme: Matice soustavy 6x +x +x +x 4 = 7, x +5x +x 4 = 9, x +x +5x x 4 =, x +x x +5x 4 = je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 6 > + +, 5 > + 0 +, 5 > + + a 5 >

37 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 6 7 x x x 4 ), x = 5 9 x x 4 ), x = 5 + x x + x 4 ), x 4 = 5 x x + x ) a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Jacobiho metodu x k+) = xk) + x k) + x k) 9 xk) x k) 4 ), x k+) = 5 x k+) = 5 x k+) 4 = 5 4 ), + xk) x k) + x k) 4 ), xk) x k) + x k) ). Poznamenejme, že rekurentní vzorce můžeme zapsat také v maticovém tvaru, který je obzláště výhodný při řešení úlohy pomocí počítačového softwaru. x k+) x k+) x k+) x k+) = x k) x k) x k) x k) Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) = 0, 0, 0, 0 ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme x ) = 7 6, 9 5, 5, 5 ). x ) =.,.4, 0.99,.467 ),. x ) =.7,.97,.04,.9907 ), atd. Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x ) x 0) R = max{ 7 6., 9 5 =.8, x ) x ) R =.6, x ) x ) R = , atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: x k) x k ) R 0, 7 +.4, 5, x0), x0), x0) 4 ), , }

38 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY k x k) x k) x k) x k) 4 x k) x k ) R Ukončili jsem po osmé iteraci, protože x 8) x 7) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. Výsledek zapíšeme jako x =.00 ± 0, x =.00 ± 0, x =.00 ± 0, x 4 =.00 ± 0. Příklad.5: Vyřešte soustavu lineárních rovnic 6x +x +x +x 4 = 6, x 5x x +x 4 =, x x 5x +x 4 =, 5x 6x +7x 4 = 54. pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody s přesností ε = 0. Z teorie víme, že konvergence Gaussovy-Seidelovy metody je zaručena, pokud je matice soustavy ostře diagonálně dominantní v ostatních případech konvergovat může, ale také nemusí). Pro dosažení takové matice soustavy stačí od čtvrté rovnice odečíst rovnici třetí a dostaneme: 6x +x +x +x 4 = 6, x 5x x +x 4 =, x x 5x +x 4 =, x +x x +6x 4 =. Matice soustavy je ostře diagonálně dominantní, neboť absolutní hodnoty prvků na diagonále jsou ostře) větší než součty absolutních hodnot ostatních prvků na příslušných řádcích, tj. 6 > + +, 5 > + +, 5 > + + a 6 > + +. Upravenou soustavu převedeme na iterační tvar x = 6 6 x x x 4 ), x = 5 x + x x 4 ), x = 5 x + x x 4 ), x 4 = 6 x x + x ) 8

39 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY a připsáním iteračních indexů dostaneme rekurentní vzorce pro Gaussovu-Seidelovu metodu x k+) = 6 6 xk) x k) x k) 4 ), x k+) = 5 xk+) + x k) x k) 4 ), x k+) = 5 xk+) + x k+) x k) 4 ), x k+) 4 = 6 xk+) x k+) + x k+) ) Protože výpočet konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x 0) = x 0) zvolíme pro jednoduchost x 0) =,,, ). Dosadíme do pravé strany rekurentních vzorců a vypočteme x ) =.8, , 4.58, 5.78 ). Jestliže takto pokražujeme dále, dostáváme x ) =.7585,.767, 4.05, ), x ) = 0.847,.99,.95, ), atd. Současně přitom zjišťujeme, zda platí takže postupně počítáme x k) x k ) R 0,, x0), x0), x0) 4 ), x ) x 0) R = max{.8, , 4.58, 5.78 } = 5.58, x ) x ) R =.044, x ) x ) R = 0.968, atd. Výpočet zapíšeme do tabulky: k x k) x k) x k) x k) 4 x k) x k ) R Ukončili jsem po sedmé iteraci, protože x 7) x 6) R = Požadovaná přesnost je ε = 0, proto jednotlivé souřadnice výsledku zaokrouhlíme na desetinná místa. 9

40 KAPITOLA. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC: ITERAČNÍ METODY Výsledek zapíšeme jako x =.00 ± 0, x =.00 ± 0, x = 4.00 ± 0, x 4 = 5.00 ± 0. 40

41 KAPITOLA 4 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Příklad 4.: Pro uzly x i a funkční hodnoty y i dané následující tabulkou i= i= i= i=4 i=5 x i 0 y i 0 0 sestavte interpolační polynom v Lagrangeově tvaru. Interpolační polynom v Lagrangeově tvaru je určen předpisem px) = y 0 ϕ 0 x) + y ϕ x) + y ϕ x) + y ϕ x) + y 4 ϕ 4 x), kde ϕ 0 x), ϕ x), ϕ x), ϕ x), ϕ 4 x) jsou polynomy Lagrangeovy báze dané úlohy: ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = ϕ 0 x) = Dohromady pak dostáváme x + )x 0)x )x ) + ) 0) ) ) = xx + )x )x ), 80 x + )x 0)x )x ) + ) 0) ) ) = xx + )x )x ), 4 x + )x + )x )x ) 0 + )0 + )0 )0 ) = x + )x + )x )x ), 8 x + )x + )x 0)x ) + ) + ) 0) ) = xx + )x + )x ), 0 x + )x + )x 0)x ) + ) + ) 0) ) = xx + )x + )x ), 7 4

42 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ px) = xx + )x )x ) x + )x + )x )x ) 80 8 xx + )x + )x ). 4 Příklad 4.: Pro uzly x i a funkční hodnoty y i dané následující tabulkou i= i= i= i=4 x i 0 y i 0 0 sestavte interpolační polynom v Newtonově tvaru. Interpolační polynom v Newtonově tvaru je určen předpisem px) = y 0 + f [x, x 0 ]x x 0 ) + f [x, x, x 0 ]x x 0 )x x ) + + f [x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x ) + + f [x 4, x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x )x x ), kde f [x, x 0 ], f [x, x, x 0 ], f [x, x, x, x 0 ] a f [x 4, x, x, x, x 0 ] jsou poměrné diference.,.,. a 4. řádu. Poměrné diference prvního řádu. Spočítáme všechny poměrného diference prvního řádu podle vzorce: f [x i+, x i ] = f i+ f i x i+ x i pro i = 0,,..., n V tomto příkladě je počet uzlů n = 5, budou tedy čtyři poměrné diference prvního řádu: pro i = 0 f [x, x 0 ] = f f 0 x x 0 = 0 ) = pro i = f [x, x ] = f f x x = 0 0 ) = pro i = f [x, x ] = f f = 0 ) = x x 0 pro i = f [x 4, x ] = f 4 f = 0 x 4 x = Poměrné diference druhého řádu. Spočítáme všechny poměrného diference druhého řádu podle vzorce: f [x i+, x i+, x i ] = f [x i+, x i+ ] f [x i+, x i ] x i+ x i pro i = 0,,..., n 4

43 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Poměrné diference druhého řádu budou tři: pro i = 0 f [x, x, x 0 ] = f [x, x ] f [x, x 0 ] = x x 0 0 ) = 6 pro i = f [x, x, x ] = f [x, x ] f [x, x ] x x = ) ) = pro i = f [x 4, x, x ] = f [x 4, x ] f [x, x ] x 4 x = ) ) = 7 6 Poměrné diference třetího řádu. Spočítáme všechny poměrného diference třetího řádu podle vzorce: f [x i+, x i+, x i+, x i ] = f [x i+, x i+, x i+ ] f [x i+, x i+, x i ] x i+ x i pro i = 0,,..., n Poměrné diference třetího řádu budou dvě: pro i = 0 f [x, x, x, x 0 ] = f [x, x, x ] f [x, x, x 0 ] x x 0 = 6 ) ) = 5 pro i = f [x 4, x, x, x ] = f [x 4, x, x ] f [x, x, x ] x 4 x = 7 6 ) = 5 Poměrné diference čtvrtého řádu. Spočítáme poměrnou diference čtvrtého řádu podle vzorce: f [x i+4, x i+, x i+, x i+, x i ] = f [x i+4, x i+, x i+, x i+ ] f [x i+, x i+, x i+, x i ] x i+4 x i pro i = 0,,..., n 4 Poměrná diference čtvrého řádu bude jedna: pro i = 0 f [x 4, x, x, x, x 0 ] = f [x 4, x, x, x ] f [x, x, x, x 0 ] x 4 x 0 = 5 5 ) = 0 Poměrných diference lze zapsat do tabulky: i x i y i.řád.řád.řád 4.řád

44 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Interpolační polynom v Newtonově tvaru je určen předpisem: px) = f 0 + f [x, x 0 ]x x 0 ) + f [x, x, x 0 ]x x 0 )x x ) + + f [x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x ) + + f [x 4, x, x, x, x 0 ]x x 0 )x x )x x )x x ), Pomocí hodnot vypočtených v prvním řádku tabulky sestavíme interpolační polynom: px) = x + ) 6 x + )x + ) + xx + )x + ) xx )x + )x + ). 5 0 Příklad 4.: Pro uzly x i a funkční hodnoty y i dané následující tabulkou sestavte interpolační polynom: a) v základním tvaru, b) v Lagrangeově tvaru, c) v Newtonově tvaru. i= i= i= x i y i a) Interpolační polynom hledáme ve tvaru px) = a 0 + a x + a x. Dosazením do interpolačních požadavků px i ) = y i, i = 0,, dostaneme p ) = = a 0 a + 9a =, p ) = = a 0 a + a =, p) = = a 0 + a + a =. Tyto rovnosti představují soustavu lineárních rovnic, kterou je možno zapsat také ve tvaru 9 a 0 a =. a Vyřešením dostaneme a 0 = 8, a =, a = 5 8, takže hledaným interpolační polynom má tvar px) = 8 + x x. b) Interpolační polynom v Lagrangeově tvaru je určen předpisem px) = y 0 ϕ 0 x) + y ϕ x) + y ϕ x), kde ϕ 0 x), ϕ x), ϕ x) jsou polynomy Lagrangeovy báze dané úlohy: ϕ 0 x) = ϕ x) = ϕ x) = x + )x ) + ) ) = x + )x ), 8 x + )x ) + ) ) = x + )x ), 4 x + )x + ) + ) + ) = x + )x + ). 8 44

45 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Dohromady pak dostáváme px) = 8 x + )x ) + 4 x + )x ) + x + )x + ). 4 c) Interpolační polynom v Newtonově tvaru je určen předpisem px) = y 0 + f [x, x 0 ]x x 0 ) + f [x, x, x 0 ]x x 0 )x x ), kde f [x, x 0 ] a f [x, x, x 0 ] jsou poměrné diference. a. řádu. Výpočet poměrných diferencí je proveden v následující tabulce: i x i y i.řád.řád Pomocí hodnot vypočtených v prvním řádku tabulky sestavíme interpolační polynom: px) = x + ) + 5 x + )x + ). 8 px) = 8 + x x px) = 8 x + )x ) + 4 x + )x ) + x + )x + ) 4 px) = x + ) + 5 x + )x + ) 8 Příklad 4.4: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 x i y i přímkou ϕx) = c x + c metodou nejmenších čtverců. Pro nalezení nejlepší aproximace ve smyslu nejmenších čtverců je třeba nejprve sestavit normální rovnice. Pokud hledáme aproximaci ve tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c R jsou vhodné koeficienty, a v bodech x i máme předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= n n c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) = i= i= n i= y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= 45

46 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ V našem případě je ϕ x) = x a ϕ x) = jedná se o konstantní funkci, která má v každém bodě hodnotu ). Nyní již soustavu normálních rovnic pro neznámé koeficienty c, c snadno zapíšeme. 5 c x 5 i + c x i = i= i= 5 5 c x i + c = i= i= 5 y i x i i= 5 y i i= Vypočítáme jednotlivé součty: 5 xi = = 90.5 i= 5 x i = = 8.5 i= 5 y i x i = = 57 i= 5 y i = = 8.5 i= A dosadíme do soustavy lineárních rovnic: 90.5c + 8.5c = c + 5c = 8.5 Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty c =.647, c =.049. Nalezená funkce má rovnici ϕx) =.647x

47 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ 5 zadana data nalezena funkce Příklad 4.5: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9 i=0 x i y i funkcí ϕx) = c sin x + c ln x metodou nejmenších čtverců. Pro nalezení nejlepší aproximace ve smyslu nejmenších čtverců je třeba nejprve sestavit normální rovnice. Pokud hledáme aproximaci ve tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c R jsou vhodné koeficienty, a v bodech x i máme předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= n n c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) = i= i= n i= y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= V našem případě je ϕ x) = sin x a ϕ x) = ln x. Nyní již soustavu normálních rovnic pro neznámé koeficienty c, c snadno zapíšeme. 0 c sin 0 x i + c sin x i ln x i = i= i= 0 0 c ln x i sin x i + c ln x i = i= i= 0 y i sin x i i= 0 y i ln x i i= 47

48 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Vypočítáme jednotlivé součty: 0 sin x i = sin 0.) + sin 0.8) + sin 4.6) + sin 6.) + sin 6.6) + sin.5) + i= + sin.8) + sin.) + sin 4.6) + sin 4.9) = sin x i ln x i = sin0.) ln0.) + sin0.8) ln0.8) + sin4.6) ln4.6) + i= + sin6.) ln6.) + sin6.6) ln6.6) + sin.5) ln.5) + + sin.8) ln.8) + sin.) ln.) + sin4.6) ln4.6) + + sin4.9) ln4.9) = ln x i = ln 0.) + ln 0.8) + ln 4.6) + ln 6.) + ln 6.6) + ln.5) + i= + ln.8) + ln.) + ln 4.6) + ln 4.9) = y i sin x i = 9 sin0.) + sin0.8) 4 sin4.6) 6 sin6.) i= 5 sin6.6) 59 sin.5) 55 sin.8) 46 sin.) 47 sin4.6) 46 sin4.9) = y i ln x i = 9 ln0.) + ln0.8) 4 ln4.6) 6 ln6.) 5 ln6.6) i= 59 ln.5) 55 ln.8) 46 ln.) 47 ln4.6) 46 ln4.9) = A dosadíme do soustavy lineárních rovnic: c c = c c = Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty c = 9.7, c = Nalezená funkce má rovnici ϕx) = 9.7 sin x ln x. 48

49 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ 0 zadana data nalezena funkce Příklad 4.6: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 x i y i pomocí metody nejmenších čtverců nejprve přímkou ϕx) = c x + c a posléze funkcí ψx) = d sin x + d cos x. Určete, která ze získaných funkcí aproximuje zadaná data lépe. Nejprve je třeba sestavit normální rovnice. V obou případech jde o aproximaci tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c R jsou vhodné koeficienty. Pokud máme v bodech x i předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= n n c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) = i= i= n i= y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= Po zkušenostech získaných v předchozích úlohách jsme s normálními rovnicemi obeznámeni natolik, že se můžeme podívat, jak vypadá přepis do maticového tvaru: i= n ϕ x i )) i= n ϕ ) ) x i ) ϕ x i ) c i= n i= n ϕ x i ) ϕ x i ) i= n ϕ x i )) = y ) i ϕ x i ) c i= n y i ϕ x i ) 49

50 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ V prvním případě je ϕ x) = x, ϕ x) = a ve druhém ϕ x) = sin x, ϕ x) = cos x. Nyní již obě soustavy normálních rovnic snadno zapíšeme. Aproximace funkcí tvaru ϕx) = c x + c : 5 i= x i 5 i= x ) ) i c i= n 5 i= x i 5 i= = y ) ix i c i= n y i Po dosazení hodnot ze zadání dostaneme soustavu rovnic: ) ) ) 99 c. = 5.4 c Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty zaokrouhleno na desetinná místa) c = 0.0, c =.6. Nalezená funkce má rovnici ϕx) = 0.0 x +.6. Aproximace funkcí tvaru ψx) = d sin x + d cos x: 5 i= sin x i 5 i= sin x ) i cos x i 5 i= cos x i sin x i 5 i= cos x i d d ) i= n = y ) i sin x i i= n y i cos x i Po dosazení hodnot ze zadání dostaneme soustavu rovnic zaokrouhleno na desetinná místa): ) ) ).4 0. d 0.87 = Soustavu vyřešíme a dostaneme koeficienty zaokrouhleno na desetinná místa) c =.55, c =.7. Nalezená funkce má rovnici ψx) =.55 sin x.7 cos x. d Jak určit, která z aproximací je lepší? Někdy se to zdá být zjevné z obrázku, ale rádi bychom uměli dobrost aproximace měřit exaktně. Principem metody nejmenších čtverců je nalézt takovou funkci určitého tvaru, jejíž součet druhých mocnin tj. čtverců) rozdílů funkčních hodnot a zadaných hodnot v předepsaných bodech je co nejmenší. Pro měření dobrosti aproximace proto využijeme právě těchto součtů. Čím menší součet dostaneme, tím lepší je aproximace. V případě, že dostaneme soušet nulový, je aproximace ideální a předepsaných bodech nabývá předepsaných hodnot. Pro aproximaci ϕx) dat x i, y i, kde i =,..., n, definujeme chybu jako n i= ϕx i) y i ). Chyba aproximace ϕx) = 0.0x +.6 je proto 5 0.0x i +.6 y i ) = 8.9 i= Chyba aproximace ψx) =.55 sin x.7 cos x je proto 5.55 sin x i.7 cos x i y i ) =.5 i= 50

51 KAPITOLA 4. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ Protože.5 < 8.9, je lepší aproximací dat funkce ψx). 8 6 zadana data. nalezena funkce. nalezena funkce Příklad 4.7: Aproximujte následující data i= i= i= i=4 i=5 i=6 i=7 x i y i funkcí ϕx) = c x + c x + c metodou nejmenších čtverců. Pro nalezení nejlepší aproximace ve smyslu nejmenších čtverců je třeba nejprve sestavit normální rovnice. Pokud hledáme aproximaci ve tvaru ϕx) = c ϕ x) + c ϕ x) + c ϕ x), kde c, c, c R jsou vhodné koeficienty, a v bodech x i máme předepsané hodnoty y i, přičemž i =,..., n, pak mají normální rovnice tvar n c ϕ x i )) n n + c ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= i= c n i= n ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) n + c ϕ x i ) ϕ x i ) = i= i= c n i= n ϕ x i ) ϕ x i ) + c ϕ x i )) n + c ϕ x i )) = i= i= n i= n i= y i ϕ x i ) y i ϕ x i ) n y i ϕ x i ) i= V našem případě je ϕ x) = x, ϕ x) = x a ϕ x) = tj. funkce, která má v každém bodě hodnotu ). Nyní již soustavu normálních rovnic pro neznámé koeficienty c, c, c snadno zapíšeme. 5

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0. A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 8 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic

Více

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka

Více

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody...

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody... Poznámky k přednášce 1 Numerické metody I Jaro 2010 Tomáš Řiháček Obsah 1 Normy vektorů a matic 1 2 Nelineární rovnice 3 2.1 Metoda bisekce (půlení intervalu).............................. 3 2.2 Iterační

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více