Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0"

Transkript

1 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = + 6,=0, 3;3 n) 4 +9 =36 o) + =6, =6, 0 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet plochy: = ; = Zde ; je interval, přes který integrujeme. Všechny úlohy budeme řešit obdobně. Vyjádříme si křivku omezující plochu shora jako funkci a křivku omezující plochu zdola jako funkci. Poté v případě, že integrační meze nejsou explicitně zadány, nalezneme průsečíky těchto funkcí. Tak získáme interval ;, přes který budeme integrovat. Výpočet standardně povedeme podle druhého vzorce, jen v některých případech (dolní omezení je shodné s osou ) použijeme první vzorec. Řešení a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: =0,=,= Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.

2 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit == ==0 == ==0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = ) ) = 0) = = 3 0 =0 3 3 =0 3 3 =0 3 = 3 Řešení b Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: =4,=0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 4 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.

3 Řešení c Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:,,3,0 První křivku vyjádříme ve standardním tvaru Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.,,3,0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 0 3 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 0 ln30ln3 ln 3 ln 3 ln ln3ln Řešení d Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:,0 Obě křivky vyjádříme ve standardním tvaru, přičemž musíme dát pozor u první křivky, kterou musíme vyjádřit jako dvě funkce 3

4 ,, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = = = = = = = = = =0 = =0 = =4 Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = =

5 První dva integrály byly počítány substitucí =; d=d; d=d Řešení e Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:, První křivku vyjádříme ve standardním tvaru, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 5 arctg 3 arctgarctg

6 Řešení f Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4, Druhou křivku napíšeme ve standardním tvaru 4, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 4 4 Nyní můžeme dosadit do druhého, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení g Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: arcsin,0, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Je zřejmé, že není zadána křivka pro dolní omezení plochy. Tou tedy zřejmě má být osa. 6

7 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit arcsin 0 Nyní můžeme dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. arcsin arcsin 0 arcsin 0 0 arcsin 0 0 arcsin0arcsin Integrace byla provedena metodou per partes při volbě arcsin; ; ; Vnitřní integrace byla provedena metodou substituce při volbě ; d d; d Řešení h Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: sin,0, 0; 7

8 Zobrazili jsme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit sin 0 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. sin0 cos 0 sincos 0 coscos 0 sin 0 cos cos0cos0sinsin Integrace byla provedena metodou per partes při volbě ; sin; cos; Řešení i Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: První křivku si přepíšeme do standardního tvaru 4,,4,0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 4,,4,0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = =4 = = = = 4 = = = = = =4 8

9 = =0 = = Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = 3 = ln ln 4 4ln 4 304ln 4 ln44 ln4 08ln Řešení j Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:, První z těchto křivek si přepíšeme do standardního tvaru,, Jak se ukáže dále, variantu s minusem nebudeme potřebovat. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy

10 Řešení k Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, 54 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. V tomto případě je na místě provést výpočet průsečíků těchto dvou křivek Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení l Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4,5 0

11 Obě křivky si přepíšeme do standardního tvaru Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 4,5 Vypočteme si průsečíky těchto křivek Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy ln ln 4 5 4ln 0 6 4ln45 4ln084ln ln5 8ln Řešení m Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6,0, 3;3 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.

12 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení n Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: Křivku si vyjádříme standardně Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 364 ; = Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit

13 =)= == 3 == Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = = Výpočet tohoto integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. =4 3 =4 3 3 arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin 6 ) +6arcsin ) = = Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 3 ; d= d; 3 d=d 3 = 3 d=3 d=3 d=3 Další krok integrace jsme provedli metodou per partes = = ) ; =; =; = ) )= ) = = d= ) d= d= Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. 3

14 = d= d= d= d = d d= d arcsin= arcsin V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. Nyní můžeme provést zpětnou substituci = d= = d= arcsin = arcsin = arcsin = +arcsin = +arcsin = 3 3 +arcsin 3 A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili = 3 d=3 = arcsin 3 = arcsin 3 Poznámka Uvedené řešení popisuje výpočet pro celou plochu vcelku. Bylo by samozřejmě možné vést výpočet jen pro horní polovinu plochy a výsledek zdvojnásobit. Ještě dalšího zjednodušení bychom dosáhli, kdybychom výpočet vedli jen pro pravou polovinu horní poloviny a výsledek vynásobit čtyřmi. Řešení o Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, =6, 0 Obě první křivky si přepíšeme od standardního tvaru =+6 ; = 6 ; = 6; = 6 Vypočteme si x-ovou souřadnici průsečíků těchto křivek. + =6 a současně =6 +6=6 +6 6=0 4

15 80 S respektováním podmínky v zadání je x-ovou souřadnicí průsečíků daných křivek hodnota. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je nutné plochu rozdělit na dvě části. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = )=+ 6 = = 6 = =0 = = = =6 = = 6 = = = =4 Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = = 6 6 = 6 = 6 = = 6 = = ) Výpočet tohoto posledního integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. 5

16 = arcsin arcsin 4 4 arcsin arcsin arcsin = = = Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 4 ; d= d; 4 d=d 4 = 4 d=4 d=4 d=4 Další krok integrace jsme provedli metodou per partes = = ) ; =; =; = ) )= ) = = d= ) d= d= Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. = d= d= d= d = d d= d arcsin= arcsin V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. = d= 6

17 Nyní můžeme provést zpětnou substituci = d= arcsin = arcsin = arcsin = +arcsin = +arcsin = 4 4 +arcsin 4 A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili = 4 d=4 = arcsin 4 = arcsin 4 = 4 +arcsin 4 7

18 Příklad Určete délku oblouku rovinné křivky: a) = arcsin, 0; b) sin,cos, 0; c) cos,sin, 0; d) lnsin), ; Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet délky křivky: d pro křivku =,, = d pro křivku =,=,, Zde ;, respektive ; je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Řešení a Máme určit délku oblouku rovinné křivky: arcsin, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit arcsin 0 Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci 8

19 Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. d d d d d d Řešení b Máme určit délku oblouku rovinné křivky: sin,cos, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit sin cos 0 Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace sin cos cos 0sinsin Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. cos d cos sin d cosd d coscos sin d 9

20 sin d sin d sin d sin d4cos 0 4cos 4cos Řešení c Máme určit délku oblouku rovinné křivky: cos,sin, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Podle zadání se jedná o horní polovinu. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit cos sin 0 Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace cos 3cos sin sin 3sin cos Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. Naprosto vyhovující je ale počítat délku této křivky jen v prvním kvadrantu pro 0; a vynásobit ji dvěma. Vyhneme se tak potížím při závěrečném výpočtu, kdy by nám zcela proti očekávání vycházela nula. 0

21 d 3cos sin 3sin cos d 9cos sin 9sin cos d 9sin cos cos sin d 9sin cos d 9sin cos d 3sincosd 3sincosd3 sin 3sin 0 3 sin Délka horní poloviny křivky je tedy 3, délka celé křivky je 6. Řešení d Máme určit délku oblouku rovinné křivky: Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. lnsin, 3 ; Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit lnsin 3 Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci cos sin Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky.

22 = + ) d = + cos sin d= + cos sin d= sin cos sin d = sin d= lntg d= sin sin d=lntg 3 lntg 3 lntg 4 lntg 6 =ln ) ln 3 0 ln 3 0 ln 3 ln ln 3ln+ln 30+ln3 ln3 Poslední integrál jsme řešili substitucí. Ta je ovšem poněkud neprůhledná a je před ní nutná jistá náročnější úprava integrandu. sin sin sin cos tg sin cos cos cos sin cos tg tg cos tg cos +tg +tg tg Substituce tedy bude Odtud převodem diferenciálu tg ; d= cos d d=cos d= +tg d Nyní lze substituci dokončit sin d=+tg cos tg +tg d= + d + =d d =ln lntg

23 Příklad 3 Určete objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: a) :=4,,4,0 b :, c) :=,, d) :=sin, 0; e :,,0 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací plochy kolem osy : d Zde ; je interval, přes který integrujeme. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací plochy. Objem tohoto prstence tedy budeme počítat jako rozdíl objemů dvou těles. Řešení 3a Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :4,,4,0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 3

24 d 4 d 6 d6 d Řešení 3b Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :, Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d d d d d 3 6 3d d

25 Řešení 3c Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :,, Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d d d arctg Poznámka arctg arctg Výpočet integrálu je v tomto případě náročnější. Pro tento typ integrálů lze odvodit rekurentní vzorec. V našem konkrétním případě podle rekurentního vzorce (který se dá najít v různých učebnicích a skriptech) platí d arctg My si ale tento integrál vypočteme. d d d d d darctg d 5

26 Poslední integrál budeme počítat metodou per partes. Označíme ; ; ;??? Pro výpočet zavedeme substituci Odtud ;dd; dd d d Můžeme se tedy vrátit k per partes Nyní můžeme psát ; d ; ; arctan d d Tento výsledek konečně můžeme dosadit do našeho výpočtu darctg darctg arctan arctg arctan arctan Tím máme dokončeno odvození vzorce, na který jsme na začátku poznámky odkazovali. Řešení 3d Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :sin, 0; Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit sin 0 6

27 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d sin d sincos 0 sincos 0sin0cos Integrál jsme vypočítali kombinací metod per partes a podle vzorce takto sin dsincoscos d Odtud již snadno sin dcos dcos d sin d sincos Řešení 3e Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :,,0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 0 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 7

28 = ) d ) d= ) d= d= = =

29 Příklad 4 Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: a) : =4,0,3 b :4, 4; c) : Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet obsahu rotační plochy vzniklé rotací křivky kolem osy : d rotuje křivka =,, = d rotuje křivka =,=,, Zde ;, respektive ; je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací křivky. Řešení 4a Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: : 4,0,3 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Vypočteme si derivaci funkce Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 9

30 4 4 d Řešení 4b Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :4, 4; Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 4 4 Vypočteme si derivaci funkce. 4 0 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 4 d

31 Řešení 4c Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: : Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Vypočteme si derivaci funkcí. 0 0 Je zřejmé, že obsah pláště zadaného tělesa je třeba počítat jako součet obsahu plášťů vytvořeného oběma křivkami (horní a dolní polovinou kružnice). Téhož výsledku bychom dosáhli, kdybychom vypočítali dvojnásobek jen jednoho z těchto povrchů. Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. d d d d d d d d 3

32 = d d d d d d 4 d d d d d d d d d d d d d d d d d04arcsin 4arcsinarcsin

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Laboratorní cvičení - Integrální počet v R

Laboratorní cvičení - Integrální počet v R Laboratorní cvičení - Integrální počet v R POZOR! Maple neuvádí ve výsledcích neurčitých integrálů integrační konstantu. Maple počítá integrály v oboru komplexních čísel. Neurčitý integrál Neurčitý integrál

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0 Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné

Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter..

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Gradovaný řetězec úloh Téma: Komolý kužel Autor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy:

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem

Více

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. . Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více