Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0"

Transkript

1 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = + 6,=0, 3;3 n) 4 +9 =36 o) + =6, =6, 0 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet plochy: = ; = Zde ; je interval, přes který integrujeme. Všechny úlohy budeme řešit obdobně. Vyjádříme si křivku omezující plochu shora jako funkci a křivku omezující plochu zdola jako funkci. Poté v případě, že integrační meze nejsou explicitně zadány, nalezneme průsečíky těchto funkcí. Tak získáme interval ;, přes který budeme integrovat. Výpočet standardně povedeme podle druhého vzorce, jen v některých případech (dolní omezení je shodné s osou ) použijeme první vzorec. Řešení a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: =0,=,= Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.

2 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit == ==0 == ==0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = ) ) = 0) = = 3 0 =0 3 3 =0 3 3 =0 3 = 3 Řešení b Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: =4,=0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 4 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.

3 Řešení c Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:,,3,0 První křivku vyjádříme ve standardním tvaru Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.,,3,0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 0 3 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 0 ln30ln3 ln 3 ln 3 ln ln3ln Řešení d Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:,0 Obě křivky vyjádříme ve standardním tvaru, přičemž musíme dát pozor u první křivky, kterou musíme vyjádřit jako dvě funkce 3

4 ,, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = = = = = = = = = =0 = =0 = =4 Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = =

5 První dva integrály byly počítány substitucí =; d=d; d=d Řešení e Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:, První křivku vyjádříme ve standardním tvaru, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 5 arctg 3 arctgarctg

6 Řešení f Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4, Druhou křivku napíšeme ve standardním tvaru 4, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 4 4 Nyní můžeme dosadit do druhého, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení g Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: arcsin,0, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Je zřejmé, že není zadána křivka pro dolní omezení plochy. Tou tedy zřejmě má být osa. 6

7 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit arcsin 0 Nyní můžeme dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. arcsin arcsin 0 arcsin 0 0 arcsin 0 0 arcsin0arcsin Integrace byla provedena metodou per partes při volbě arcsin; ; ; Vnitřní integrace byla provedena metodou substituce při volbě ; d d; d Řešení h Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: sin,0, 0; 7

8 Zobrazili jsme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit sin 0 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. sin0 cos 0 sincos 0 coscos 0 sin 0 cos cos0cos0sinsin Integrace byla provedena metodou per partes při volbě ; sin; cos; Řešení i Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: První křivku si přepíšeme do standardního tvaru 4,,4,0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 4,,4,0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = =4 = = = = 4 = = = = = =4 8

9 = =0 = = Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = 3 = ln ln 4 4ln 4 304ln 4 ln44 ln4 08ln Řešení j Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:, První z těchto křivek si přepíšeme do standardního tvaru,, Jak se ukáže dále, variantu s minusem nebudeme potřebovat. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy

10 Řešení k Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, 54 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. V tomto případě je na místě provést výpočet průsečíků těchto dvou křivek Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení l Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4,5 0

11 Obě křivky si přepíšeme do standardního tvaru Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 4,5 Vypočteme si průsečíky těchto křivek Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy ln ln 4 5 4ln 0 6 4ln45 4ln084ln ln5 8ln Řešení m Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6,0, 3;3 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.

12 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení n Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: Křivku si vyjádříme standardně Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 364 ; = Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit

13 =)= == 3 == Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = = Výpočet tohoto integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. =4 3 =4 3 3 arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin 6 ) +6arcsin ) = = Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 3 ; d= d; 3 d=d 3 = 3 d=3 d=3 d=3 Další krok integrace jsme provedli metodou per partes = = ) ; =; =; = ) )= ) = = d= ) d= d= Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. 3

14 = d= d= d= d = d d= d arcsin= arcsin V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. Nyní můžeme provést zpětnou substituci = d= = d= arcsin = arcsin = arcsin = +arcsin = +arcsin = 3 3 +arcsin 3 A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili = 3 d=3 = arcsin 3 = arcsin 3 Poznámka Uvedené řešení popisuje výpočet pro celou plochu vcelku. Bylo by samozřejmě možné vést výpočet jen pro horní polovinu plochy a výsledek zdvojnásobit. Ještě dalšího zjednodušení bychom dosáhli, kdybychom výpočet vedli jen pro pravou polovinu horní poloviny a výsledek vynásobit čtyřmi. Řešení o Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, =6, 0 Obě první křivky si přepíšeme od standardního tvaru =+6 ; = 6 ; = 6; = 6 Vypočteme si x-ovou souřadnici průsečíků těchto křivek. + =6 a současně =6 +6=6 +6 6=0 4

15 80 S respektováním podmínky v zadání je x-ovou souřadnicí průsečíků daných křivek hodnota. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je nutné plochu rozdělit na dvě části. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = )=+ 6 = = 6 = =0 = = = =6 = = 6 = = = =4 Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = = 6 6 = 6 = 6 = = 6 = = ) Výpočet tohoto posledního integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. 5

16 = arcsin arcsin 4 4 arcsin arcsin arcsin = = = Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 4 ; d= d; 4 d=d 4 = 4 d=4 d=4 d=4 Další krok integrace jsme provedli metodou per partes = = ) ; =; =; = ) )= ) = = d= ) d= d= Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. = d= d= d= d = d d= d arcsin= arcsin V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. = d= 6

17 Nyní můžeme provést zpětnou substituci = d= arcsin = arcsin = arcsin = +arcsin = +arcsin = 4 4 +arcsin 4 A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili = 4 d=4 = arcsin 4 = arcsin 4 = 4 +arcsin 4 7

18 Příklad Určete délku oblouku rovinné křivky: a) = arcsin, 0; b) sin,cos, 0; c) cos,sin, 0; d) lnsin), ; Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet délky křivky: d pro křivku =,, = d pro křivku =,=,, Zde ;, respektive ; je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Řešení a Máme určit délku oblouku rovinné křivky: arcsin, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit arcsin 0 Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci 8

19 Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. d d d d d d Řešení b Máme určit délku oblouku rovinné křivky: sin,cos, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit sin cos 0 Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace sin cos cos 0sinsin Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. cos d cos sin d cosd d coscos sin d 9

20 sin d sin d sin d sin d4cos 0 4cos 4cos Řešení c Máme určit délku oblouku rovinné křivky: cos,sin, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Podle zadání se jedná o horní polovinu. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit cos sin 0 Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace cos 3cos sin sin 3sin cos Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. Naprosto vyhovující je ale počítat délku této křivky jen v prvním kvadrantu pro 0; a vynásobit ji dvěma. Vyhneme se tak potížím při závěrečném výpočtu, kdy by nám zcela proti očekávání vycházela nula. 0

21 d 3cos sin 3sin cos d 9cos sin 9sin cos d 9sin cos cos sin d 9sin cos d 9sin cos d 3sincosd 3sincosd3 sin 3sin 0 3 sin Délka horní poloviny křivky je tedy 3, délka celé křivky je 6. Řešení d Máme určit délku oblouku rovinné křivky: Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. lnsin, 3 ; Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit lnsin 3 Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci cos sin Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky.

22 = + ) d = + cos sin d= + cos sin d= sin cos sin d = sin d= lntg d= sin sin d=lntg 3 lntg 3 lntg 4 lntg 6 =ln ) ln 3 0 ln 3 0 ln 3 ln ln 3ln+ln 30+ln3 ln3 Poslední integrál jsme řešili substitucí. Ta je ovšem poněkud neprůhledná a je před ní nutná jistá náročnější úprava integrandu. sin sin sin cos tg sin cos cos cos sin cos tg tg cos tg cos +tg +tg tg Substituce tedy bude Odtud převodem diferenciálu tg ; d= cos d d=cos d= +tg d Nyní lze substituci dokončit sin d=+tg cos tg +tg d= + d + =d d =ln lntg

23 Příklad 3 Určete objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: a) :=4,,4,0 b :, c) :=,, d) :=sin, 0; e :,,0 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací plochy kolem osy : d Zde ; je interval, přes který integrujeme. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací plochy. Objem tohoto prstence tedy budeme počítat jako rozdíl objemů dvou těles. Řešení 3a Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :4,,4,0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 3

24 d 4 d 6 d6 d Řešení 3b Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :, Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d d d d d 3 6 3d d

25 Řešení 3c Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :,, Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d d d arctg Poznámka arctg arctg Výpočet integrálu je v tomto případě náročnější. Pro tento typ integrálů lze odvodit rekurentní vzorec. V našem konkrétním případě podle rekurentního vzorce (který se dá najít v různých učebnicích a skriptech) platí d arctg My si ale tento integrál vypočteme. d d d d d darctg d 5

26 Poslední integrál budeme počítat metodou per partes. Označíme ; ; ;??? Pro výpočet zavedeme substituci Odtud ;dd; dd d d Můžeme se tedy vrátit k per partes Nyní můžeme psát ; d ; ; arctan d d Tento výsledek konečně můžeme dosadit do našeho výpočtu darctg darctg arctan arctg arctan arctan Tím máme dokončeno odvození vzorce, na který jsme na začátku poznámky odkazovali. Řešení 3d Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :sin, 0; Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit sin 0 6

27 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d sin d sincos 0 sincos 0sin0cos Integrál jsme vypočítali kombinací metod per partes a podle vzorce takto sin dsincoscos d Odtud již snadno sin dcos dcos d sin d sincos Řešení 3e Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :,,0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 0 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 7

28 = ) d ) d= ) d= d= = =

29 Příklad 4 Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: a) : =4,0,3 b :4, 4; c) : Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet obsahu rotační plochy vzniklé rotací křivky kolem osy : d rotuje křivka =,, = d rotuje křivka =,=,, Zde ;, respektive ; je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací křivky. Řešení 4a Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: : 4,0,3 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Vypočteme si derivaci funkce Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 9

30 4 4 d Řešení 4b Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :4, 4; Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 4 4 Vypočteme si derivaci funkce. 4 0 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 4 d

31 Řešení 4c Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: : Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Vypočteme si derivaci funkcí. 0 0 Je zřejmé, že obsah pláště zadaného tělesa je třeba počítat jako součet obsahu plášťů vytvořeného oběma křivkami (horní a dolní polovinou kružnice). Téhož výsledku bychom dosáhli, kdybychom vypočítali dvojnásobek jen jednoho z těchto povrchů. Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. d d d d d d d d 3

32 = d d d d d d 4 d d d d d d d d d d d d d d d d d04arcsin 4arcsinarcsin

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami který je samozřejmě

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí Numerické algoritmy KAPITOLA 11 V této kapitole: Vyhledávání nulových bodů funkcí Iterativní výpočet hodnot funkce Interpolace funkcí Lagrangeovou metodou Derivování funkcí Integrování funkcí Simpsonovou

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 15. ZÁŘÍ 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY ) NOSNÍKY ZTÍŽENÉ OBECNOU SOUSTVOU SIL Obecný postup při matematickém řešení reakcí

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny 125 15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny Na rozdíl od pevných látek, které zachovávají při pohybu svůj tvar, setkáváme se v přírodě s látkami, které

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce ermistor Pomůcky: Systém ISES, moduly: teploměr, ohmmetr, termistor, 2 spojovací vodiče, stojan s držáky, azbestová síťka, kádinka, voda, kahan, zápalky, soubor: termistor.imc. Úkoly: ) Proměřit závislost

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 URČI HODNOTU VÝRAZU Kolik to je? A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1 určit (vy)počítat dosadit hodnota výrazu (urči) (vypočítej) (dosaď) B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 DOSAĎ

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Vlhký vzduch a jeho stav

Vlhký vzduch a jeho stav Vlhký vzduch a jeho stav Příklad 3 Teplota vlhkého vzduchu je t = 22 C a jeho měrná vlhkost je x = 13, 5 g kg 1 a entalpii sv Určete jeho relativní vlhkost Řešení Vyjdeme ze vztahu pro měrnou vlhkost nenasyceného

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ. strana ze 36 Šárka Hošková Jaromír Kuben Pavlína Račková Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

1.1 Oslunění vnitřního prostoru

1.1 Oslunění vnitřního prostoru 1.1 Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1 Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I .. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla

Více