Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0"

Transkript

1 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = + 6,=0, 3;3 n) 4 +9 =36 o) + =6, =6, 0 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet plochy: = ; = Zde ; je interval, přes který integrujeme. Všechny úlohy budeme řešit obdobně. Vyjádříme si křivku omezující plochu shora jako funkci a křivku omezující plochu zdola jako funkci. Poté v případě, že integrační meze nejsou explicitně zadány, nalezneme průsečíky těchto funkcí. Tak získáme interval ;, přes který budeme integrovat. Výpočet standardně povedeme podle druhého vzorce, jen v některých případech (dolní omezení je shodné s osou ) použijeme první vzorec. Řešení a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: =0,=,= Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.

2 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit == ==0 == ==0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = ) ) = 0) = = 3 0 =0 3 3 =0 3 3 =0 3 = 3 Řešení b Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: =4,=0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 4 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy.

3 Řešení c Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:,,3,0 První křivku vyjádříme ve standardním tvaru Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.,,3,0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 0 3 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 0 ln30ln3 ln 3 ln 3 ln ln3ln Řešení d Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:,0 Obě křivky vyjádříme ve standardním tvaru, přičemž musíme dát pozor u první křivky, kterou musíme vyjádřit jako dvě funkce 3

4 ,, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = = = = = = = = = =0 = =0 = =4 Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = =

5 První dva integrály byly počítány substitucí =; d=d; d=d Řešení e Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:, První křivku vyjádříme ve standardním tvaru, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. 5 arctg 3 arctgarctg

6 Řešení f Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4, Druhou křivku napíšeme ve standardním tvaru 4, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 4 4 Nyní můžeme dosadit do druhého, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení g Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: arcsin,0, Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Je zřejmé, že není zadána křivka pro dolní omezení plochy. Tou tedy zřejmě má být osa. 6

7 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit arcsin 0 Nyní můžeme dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. arcsin arcsin 0 arcsin 0 0 arcsin 0 0 arcsin0arcsin Integrace byla provedena metodou per partes při volbě arcsin; ; ; Vnitřní integrace byla provedena metodou substituce při volbě ; d d; d Řešení h Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: sin,0, 0; 7

8 Zobrazili jsme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit sin 0 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. sin0 cos 0 sincos 0 coscos 0 sin 0 cos cos0cos0sinsin Integrace byla provedena metodou per partes při volbě ; sin; cos; Řešení i Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: První křivku si přepíšeme do standardního tvaru 4,,4,0 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 4,,4,0 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je výpočet celkové plochy nutné rozdělit na součet dvou ploch. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = =4 = = = = 4 = = = = = =4 8

9 = =0 = = Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = 3 = ln ln 4 4ln 4 304ln 4 ln44 ln4 08ln Řešení j Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami:, První z těchto křivek si přepíšeme do standardního tvaru,, Jak se ukáže dále, variantu s minusem nebudeme potřebovat. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit 0 Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy

10 Řešení k Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, 54 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. V tomto případě je na místě provést výpočet průsečíků těchto dvou křivek Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení l Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 4,5 0

11 Obě křivky si přepíšeme do standardního tvaru Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 4,5 Vypočteme si průsečíky těchto křivek Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy ln ln 4 5 4ln 0 6 4ln45 4ln084ln ln5 8ln Řešení m Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6,0, 3;3 Zobrazíme si tyto křivky na obrázku.

12 Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce (i když v tomto případě by postačoval ten první, protože dolní křivka je shodná s osou x), integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy Řešení n Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: Křivku si vyjádříme standardně Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. 364 ; = Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že můžeme označit

13 =)= == 3 == Nyní můžeme dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = = Výpočet tohoto integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. =4 3 =4 3 3 arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin 6 ) +6arcsin ) = = Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 3 ; d= d; 3 d=d 3 = 3 d=3 d=3 d=3 Další krok integrace jsme provedli metodou per partes = = ) ; =; =; = ) )= ) = = d= ) d= d= Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. 3

14 = d= d= d= d = d d= d arcsin= arcsin V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. Nyní můžeme provést zpětnou substituci = d= = d= arcsin = arcsin = arcsin = +arcsin = +arcsin = 3 3 +arcsin 3 A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili = 3 d=3 = arcsin 3 = arcsin 3 Poznámka Uvedené řešení popisuje výpočet pro celou plochu vcelku. Bylo by samozřejmě možné vést výpočet jen pro horní polovinu plochy a výsledek zdvojnásobit. Ještě dalšího zjednodušení bychom dosáhli, kdybychom výpočet vedli jen pro pravou polovinu horní poloviny a výsledek vynásobit čtyřmi. Řešení o Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: 6, =6, 0 Obě první křivky si přepíšeme od standardního tvaru =+6 ; = 6 ; = 6; = 6 Vypočteme si x-ovou souřadnici průsečíků těchto křivek. + =6 a současně =6 +6=6 +6 6=0 4

15 80 S respektováním podmínky v zadání je x-ovou souřadnicí průsečíků daných křivek hodnota. Zobrazíme si tyto křivky na obrázku. Ze zadání, z obrázku a případně z výpočtu průsečíků křivek je zřejmé, že je nutné plochu rozdělit na dvě části. Můžeme označit (ve dvou sloupcích pro obě plochy) = )=+ 6 = = 6 = =0 = = = =6 = = 6 = = = =4 Nyní můžeme dvakrát dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak velikost zadané plochy. = = 6 6 = 6 = 6 = = 6 = = ) Výpočet tohoto posledního integrálu popíšeme dále v poznámce. V tuto chvíli výsledek jeho výpočtu již využijeme k určení velikosti zkoumané plochy. 5

16 = arcsin arcsin 4 4 arcsin arcsin arcsin = = = Poznámka Integraci jsme provedli kombinací metod substituce, per partes a podle vzorce. Nejprve jsme použili substituci, abychom zjednodušili integrovaný výraz. 4 ; d= d; 4 d=d 4 = 4 d=4 d=4 d=4 Další krok integrace jsme provedli metodou per partes = = ) ; =; =; = ) )= ) = = d= ) d= d= Poslední integrál vypočteme metodou podle vzorce po některých již poměrně snadných úpravách. = d= d= d= d = d d= d arcsin= arcsin V tuto chvíli jsme si povšimli, že ve výsledcích výpočtu se nám objevil výraz, který se snažíme vypočítat. Pro tento výraz tedy můžeme postupně sestavit rovnici a vyřešit ji. = d= 6

17 Nyní můžeme provést zpětnou substituci = d= arcsin = arcsin = arcsin = +arcsin = +arcsin = 4 4 +arcsin 4 A nakonec vyjádříme ten integrál, kterým jsme integraci zahájili = 4 d=4 = arcsin 4 = arcsin 4 = 4 +arcsin 4 7

18 Příklad Určete délku oblouku rovinné křivky: a) = arcsin, 0; b) sin,cos, 0; c) cos,sin, 0; d) lnsin), ; Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle jednoho ze vzorců pro výpočet délky křivky: d pro křivku =,, = d pro křivku =,=,, Zde ;, respektive ; je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Řešení a Máme určit délku oblouku rovinné křivky: arcsin, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit arcsin 0 Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci 8

19 Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. d d d d d d Řešení b Máme určit délku oblouku rovinné křivky: sin,cos, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit sin cos 0 Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace sin cos cos 0sinsin Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. cos d cos sin d cosd d coscos sin d 9

20 sin d sin d sin d sin d4cos 0 4cos 4cos Řešení c Máme určit délku oblouku rovinné křivky: cos,sin, 0; Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. Podle zadání se jedná o horní polovinu. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit cos sin 0 Funkce je v parametrickém vyjádření. Vypočteme derivace cos 3cos sin sin 3sin cos Funkce je v parametrickém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do druhého vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky. Naprosto vyhovující je ale počítat délku této křivky jen v prvním kvadrantu pro 0; a vynásobit ji dvěma. Vyhneme se tak potížím při závěrečném výpočtu, kdy by nám zcela proti očekávání vycházela nula. 0

21 d 3cos sin 3sin cos d 9cos sin 9sin cos d 9sin cos cos sin d 9sin cos d 9sin cos d 3sincosd 3sincosd3 sin 3sin 0 3 sin Délka horní poloviny křivky je tedy 3, délka celé křivky je 6. Řešení d Máme určit délku oblouku rovinné křivky: Zobrazíme si tuto křivku na obrázku. lnsin, 3 ; Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit lnsin 3 Funkce je v přímém vyjádření. Vypočteme derivaci cos sin Funkce je v přímém vyjádření. Můžeme tedy nyní dosadit do prvního vzorce, integrovat a vypočítat tak délku zadané křivky.

22 = + ) d = + cos sin d= + cos sin d= sin cos sin d = sin d= lntg d= sin sin d=lntg 3 lntg 3 lntg 4 lntg 6 =ln ) ln 3 0 ln 3 0 ln 3 ln ln 3ln+ln 30+ln3 ln3 Poslední integrál jsme řešili substitucí. Ta je ovšem poněkud neprůhledná a je před ní nutná jistá náročnější úprava integrandu. sin sin sin cos tg sin cos cos cos sin cos tg tg cos tg cos +tg +tg tg Substituce tedy bude Odtud převodem diferenciálu tg ; d= cos d d=cos d= +tg d Nyní lze substituci dokončit sin d=+tg cos tg +tg d= + d + =d d =ln lntg

23 Příklad 3 Určete objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: a) :=4,,4,0 b :, c) :=,, d) :=sin, 0; e :,,0 Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací plochy kolem osy : d Zde ; je interval, přes který integrujeme. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací plochy. Objem tohoto prstence tedy budeme počítat jako rozdíl objemů dvou těles. Řešení 3a Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :4,,4,0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 3

24 d 4 d 6 d6 d Řešení 3b Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :, Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d d d d d 3 6 3d d

25 Řešení 3c Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :,, Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d d d arctg Poznámka arctg arctg Výpočet integrálu je v tomto případě náročnější. Pro tento typ integrálů lze odvodit rekurentní vzorec. V našem konkrétním případě podle rekurentního vzorce (který se dá najít v různých učebnicích a skriptech) platí d arctg My si ale tento integrál vypočteme. d d d d d darctg d 5

26 Poslední integrál budeme počítat metodou per partes. Označíme ; ; ;??? Pro výpočet zavedeme substituci Odtud ;dd; dd d d Můžeme se tedy vrátit k per partes Nyní můžeme psát ; d ; ; arctan d d Tento výsledek konečně můžeme dosadit do našeho výpočtu darctg darctg arctan arctg arctan arctan Tím máme dokončeno odvození vzorce, na který jsme na začátku poznámky odkazovali. Řešení 3d Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :sin, 0; Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit sin 0 6

27 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. d sin d sincos 0 sincos 0sin0cos Integrál jsme vypočítali kombinací metod per partes a podle vzorce takto sin dsincoscos d Odtud již snadno sin dcos dcos d sin d sincos Řešení 3e Máme určit objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :,,0 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 0 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak objem zadaného tělesa. 7

28 = ) d ) d= ) d= d= = =

29 Příklad 4 Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: a) : =4,0,3 b :4, 4; c) : Poznámka Je velmi vhodné udělat si před řešením každého z těchto příkladů obrázek, aby bylo jasné, co vlastně integrujeme. Integraci pak provedeme podle vzorce pro výpočet obsahu rotační plochy vzniklé rotací křivky kolem osy : d rotuje křivka =,, = d rotuje křivka =,=,, Zde ;, respektive ; je interval, přes který integrujeme. Pro konkrétní vzorec se rozhodneme podle toho, zda máme křivku zadanou v přímém či parametrickém vyjádření. Je dobré si uvědomit, že v příkladu e jde o prstenec vzniklý rotací křivky. Řešení 4a Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: : 4,0,3 Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Vypočteme si derivaci funkce Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 9

30 4 4 d Řešení 4b Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: :4, 4; Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit 4 4 Vypočteme si derivaci funkce. 4 0 Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. 4 d

31 Řešení 4c Máme určit obsah pláště tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce kolem osy, je-li: : Zobrazíme si tento obrazec na obrázku. Ze zadání a z obrázku je zřejmé, že můžeme označit Vypočteme si derivaci funkcí. 0 0 Je zřejmé, že obsah pláště zadaného tělesa je třeba počítat jako součet obsahu plášťů vytvořeného oběma křivkami (horní a dolní polovinou kružnice). Téhož výsledku bychom dosáhli, kdybychom vypočítali dvojnásobek jen jednoho z těchto povrchů. Nyní můžeme dosadit do vzorce, integrovat a vypočítat tak obsah pláště zadaného tělesa. d d d d d d d d 3

32 = d d d d d d 4 d d d d d d d d d d d d d d d d d04arcsin 4arcsinarcsin

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Laboratorní cvičení - Integrální počet v R

Laboratorní cvičení - Integrální počet v R Laboratorní cvičení - Integrální počet v R POZOR! Maple neuvádí ve výsledcích neurčitých integrálů integrační konstantu. Maple počítá integrály v oboru komplexních čísel. Neurčitý integrál Neurčitý integrál

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. . Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami který je samozřejmě

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

( ) ( ) ( ) 2.9.24 Logaritmické nerovnice I. Předpoklady: 2908, 2917, 2919

( ) ( ) ( ) 2.9.24 Logaritmické nerovnice I. Předpoklady: 2908, 2917, 2919 .. Logaritmické nerovnice I Předpoklady: 08, 7, Pedagogická poznámka: Pokud mají studenti pracovat samostatně budou potřebovat na všechny příklady minimálně jeden a půl vyučovací hodiny. Pokud není čas,

Více

Zápočtová písemka Řešení

Zápočtová písemka Řešení Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 4. ŘÍJNA 202 Název zpracovaného celku: PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Příhradové konstrukce jsou sestaveny

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Pavel Burda Jarmila Doležalová

Pavel Burda Jarmila Doležalová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 2. Stanovte objem nádoby, ve které je uzavřený dusík o hmotnosti 20 [kg], teplotě 15 [ C] a tlaku 10 [MPa].

Cvičení z termomechaniky Cvičení 2. Stanovte objem nádoby, ve které je uzavřený dusík o hmotnosti 20 [kg], teplotě 15 [ C] a tlaku 10 [MPa]. Příklad 1 Stanovte objem nádoby, ve které je uzavřený dusík o hmotnosti 20 [kg], teplotě 15 [ C] a tlaku 10 [MPa]. m 20[kg], t 15 [ C] 288.15 [K], p 10 [MPa] 10.10 6 [Pa], R 8314 [J. kmol 1. K 1 ] 8,314

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více