Extremální úlohy ve stavitelství

Transkript

1 Zadání: Minimálně smáčený sklon příkopu. Jaký musí být sklon příkopu, jehož průřez má tvar rovnoramenného lichoběžníka o daném obsahu S a hloubce příkopu h, aby jeho dno a stěny byly minimálně smáčeny? a b Nápověda: Obsah lichoběžníku S h. Řešení:. 3

2 Zadání: Minimální cena barelu pro daný objem. Uvažujme množinu válcových barelů s víkem. Objem barelu je V. Určete rozměry barelu r, v tak, aby cena byla minimální, tj. aby měl minimální povrch. V Řešení: r 3, 4 V v 3.

3 Zadání: Minimální cena kontejneru pro daný objem. Kontejner na odpady je ve tvaru kvádru s čtvercovou podstavou (bez víka). Objem kontejneru je V. Určete rozměry kontejneru a, b tak, aby cena byla minimální, tj. aby měl minimální povrch. Řešení: 3 V a V, b 3. 4

4 Nejméně osvětlený bod. Zadání 1: Vzdálenost mezi dvěma světelnými zdroji je 1 metrů. Jejich intenzity jsou v poměru 8:1. Určete nejméně osvětlený bod na spojnici světelných zdrojů, víte-li, že osvětlení klesá úměrně se čtvercem vzdálenosti od zdroje. Zadání : Vzdálenost mezi dvěma světelnými zdroji je 1 metrů. Jejich intenzity jsou v poměru 15:8. Určete nejméně osvětlený bod na spojnici světelných zdrojů, víte-li, že osvětlení klesá úměrně se čtvercem vzdálenosti od zdroje.

5 Zadání: Maximální objem prostoru pod stanovou střechou. Ze čtyř tyček délky d se má sestrojit kostra jehlanového tvaru pro čtvercový půdorys. Jaká bude strana čtverce a, aby objem stanu byl maximální? d Řešení: a. 3

6 Zadání: Vytesaný trám s maximální pevností Z kmene tvaru rotačního válce o průměru d má být vytesán trám obdélníkového průřezu. Jaká musí být šířka a výška průřezu, aby měl trám maximální pevnost při podélném tlaku, která je přímo úměrná obsahu průřezu? [ŠIB]: Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: MATEMATIKA 1. Sbírka příkladů, České vysoké učení technické v Praze, 014.

7 Při navrhování nosníků určujeme průběhy funkcí popisujících ohybové momenty M(x) a posouvající síly Q(x). Ze statiky je známo, že mezi ohybovými momenty, posouvajícími silami a intenzitou zatížení f(x) platí tzv. Schwedlerovy věty (viz [ŠIB] a [BUB]): M '( x) Q( x), Q' ( x) f ( x). Zadání: Vetknutý nosník. Na nosníku o rozpětí L vetknutém v průřezu x=0 a prostě podepřeném v průřezu x=l s rovnoměrným spojitým zatížením o intenzitě f ( x) f, x 0, L jsou ohybové momenty popsány funkcí M ( x) f L f Lx f x. 8 8 Ověřte, že platí obě Schwedlerovy věty a určete maximální hodnotu ohybového momentu M(x) a hodnotu příslušného průřezu nosníku x. Řešení: 5L x, 8 5L M ( ) f L. [BUB]: Bubeník F.: MATEMATIKA, České vysoké učení technické v Praze, 006. [ŠIB]: Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: MATEMATIKA 1. Sbírka příkladů, České vysoké učení technické v Praze, 014.

8 Při navrhování nosníků určujeme průběhy funkcí popisujících ohybové momenty M(x) a posouvající síly Q(x). Ze statiky je známo, že mezi ohybovými momenty, posouvajícími silami a intenzitou zatížení f(x) platí tzv. Schwedlerovy věty (viz [ŠIB] a [BUB]): M '( x) Q( x), Q' ( x) f ( x). Zadání: Prostý nosník s konstantním zatížením. Na prostém nosníku o rozpětí L, který je zatížen rovnoměrně spojitým zatížením o intenzitě f ( x) f, x 0, L, jsou ohybové momenty popsány funkcí 1 M ( x) f x( L x). Ověřte, že platí obě Schwedlerovy věty a určete maximální hodnotu ohybového momentu M(x) a hodnotu příslušného průřezu nosníku x. Řešení: L x, L 1 8 M ( ) f L. [BUB]: Bubeník F.: MATEMATIKA, České vysoké učení technické v Praze, 006. [ŠIB]: Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: MATEMATIKA 1. Sbírka příkladů, České vysoké učení technické v Praze, 014.