Řešené příklady ze starých zápočtových písemek

Transkript

1 Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku na řešení x > 0. Dále si uvědomíme, že log 6 = a upravujeme následovně: log x log x 3 = log 6 log x) 3 log x = 0 y 3y = 0 y + )y ) = 0 subst. y = log x Tedy bud to = y = log x x = 6 nebo = y = log x x =. Obě jsou větší než nula, a tedy řešením je x = 6 a x =. Úloha. Najděte všechna reálná řešení nerovnice Řešení. Rozdělme na dva případy: x + x + < 7. x. Pak x + x + = x + x + = 3x +, máme tedy nerovnost 3x ) < 7, neboli vzdálenost 3x od bodu je menší než sedm, tj. 3 8, 6) a 8, ) 3 x <. Pak x + x + = x x = x, tj. vzdálenost x od bodu je menší než sedm, tj. 6, 8), tj. 8, 6). Dohromady tedy [ ), ) 83, ), ) ) 8, 6) Řešení je 8, ). sinx + π/) +. [, ) 8, ) 8, ). Řešení. Prostě se to nakreslí. Hodnota + π posune graf sinu o pulkopeček doleva. Absolutní hodnota přehodí vše pod osou y = 0 nad ni a + posune poté celý graf o ve směru osy y směrem nahoru. Postupně by grafy vypadaly následovně. sinx + π/) sinx + π/)

2 sinx + π/) Špičky jsou v bodech [ π + kπ, ], k Z, a vrcholy oblouků v bodech [kπ, ], k Z. Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log 5 x + ) log 5 x = log 5 3. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku na řešení x > 0. Dále si uvědomíme, že 0 = log 5 a upravujeme následovně: log 5 x + log 5 x = log 5 3 log 5 x + x log 5 3 = 0 můžeme dělit x, nebot víme,že x > 0 x + log 5 = 0 3x x + = můžeme násobit x, nebot víme,že x > 0 3x x 3x + = 0 x )x ) = 0 Tedy bud to x = nebo x =. Obě jsou větší než nula, a tedy řešením je x = a x =. Úloha. Najděte všechna reálná řešení nerovnice Řešení. Rozdělme na tři případy: x x 5., 3) 5 x x = 3x 3 x 8 3 [ 3, ] 5 x x = x + x, ) 5 x x = 3x + x Dohromady tedy bud to x 8 a x < 3, 3), nebo x a [ 3, ] [ 3, ], nebo 3 x a x > [, ). Úplně dohromady, 3) [ 3, ] [, ) =, ] [, ). Řešení je, ] [, ). x + x. Řešení. Rozdělíme na tři podintervaly, na nich si funkci spočteme a poté na každém z nich nakreslíme., 0) x + x = x + [0, ] x + x =, ) x + x = x

3 Úloha. V závislosti na parametru c R určete všechna reálná x, pro která platí log x + c),. Řešení. Máme log x + c), ], právě když platí: což je to stejné jako < x + c, c < x c. Řešme nejprve levou nerovnost. Pro c > je splněna vždy, tj. R, pro c jen pro, c ) c, ). Nyní řešme pravou nerovnost. Pokud c >, tak není splněna nikdy. Pokud c máme [c, c] Dohromady tedy: Pro c > máme prázdnou množinu řešení. Pro c, ] máme [c, c] z levé nerovnosti nemáme žádné omezení na x). Pro c máme [c, c], c ) ) c, ) = [c, c ) c, c] Úloha. Najděte všechna reálná x, pro která je definován výraz x + x 7 + x. x 3 Řešení.

4 Výraz definovaný, právě když platí: x + x 7 x 3 + x 0 x 3. První podmínku upravíme dáme na společný jmenovatel a rozložíme kvadratickou rovnici v čitateli): x + x 7 x 3 + x = x + x 7 x 3 = x 57 )x + 57) x 3 + x 0, právě když Platí tedy x +x 7 x 3 a) x 3 > 0 a x 57 )x + 57) 0 tj. 3, + ), 57] [ + 57, + ))) nebo b) x 3 < 0 a x 57 )x + 57 ) 0 tj., 3) [ 57 ), + 57 Protože 57 7, 8), máme 57, ) a , 7 ]). ), takže oba zlomky jsou menší než 3. Z případu a) tedy dostáváme 3, + ) a z případu b) [ 57 ), + 57 ]. Řešení tedy je [ 57, + 57 ] 3, ). fx) = x + ). Řešení. Prostě se to nakreslí. x + ) je parabola směrem nahoru s minimem v bodě [, 0]. - uvnitř absolutní hodnoty ji posune kus pod osu x. Absolutní hodnota potom převrátí ten kus pod osou x nad osu x. Mínus před absolutní hodnotou potom překlopí graf podle osy x a konečně jednička před absolutní hodnotou ho kus posune nad osu x. Výsledek je: x + ) x + ) x + ) x + ) x + )

5 Průsečíky s osou x jsou v,, + 3 a špičky grafu v bodě [, ] a [0, ]. Úloha. V závislosti na parametru c R určete všechna reálná x, pro která platí c3 x+ + 0, 0. Řešení. c3 x+ + 0, 0] je ekvivalentní s 0 < c3 x+ + 0, což je to stejné jako < c3 x+ 9. ) Protože nyní potřebujeme dělit céčkem je třeba rozdělit úlohu na 3 možnosti: c = 0. Při této volbě dostáváme < 0 9, což je splněno pro každé x. c > 0. Vydělením rovnice ) céčkem dostáváme: c < 3x+ 9 c Protože c < 0, je levá nerovnost splněna pro všechna x a z pravé nerovnosti dostáváme: 3 x+ 9 c x + log 39) log 3 c) x + log 3 c) x log 3c) c < 0. Vydělením rovnice ) céčkem dostáváme: c > 3x+ 9 c Protože 9 c < 0 je pravá nerovnost splněna pro všechna x a z levé nerovnosti dostáváme: 3 x+ < c x + < log 3) log 3 c) x < log 3 c) Zde se nenecháme zmást, že uvnitř logaritmu máme c pro c < 0 je to v pořádku). Dohromady tedy: Pro c < 0 máme, log ) 3 c)

6 Pro c = 0 máme R. Pro c > 0 máme, log ] 3c) Úloha. Najděte všechna reálná x, pro která je definován výraz ) log x + 3x 5 x. Řešení. Výraz je definovaný právě když platí: x + 3x 5 0 a x + 3x 5 x > 0 Z první podmínky vyřešením kvadratické nerovnosti dostáváme: x + 3x 5 0, 3 ] [ ) 9, Druhou podmínku nejprve upravíme do tvaru x + 3x 5 > x. Nyní si všimneme, že protože je nalevo odmocnina, která je vždy nezáporná, tak pro x < 0 je podmínka splněna. Pro x 0 dále upravujeme umocněním, které si právě díky omezení na x 0 můžeme dovolit bez toho aniž bychom ztratili nebo získali nějaká řešení: x + 3x 5 > x x + 3x 5 > x 3x 5 > 0 x > 5 3 Z druhé podmínky tedy celkem dostáváme, že bud to je x < 0 nebo x 0 a x > 5, což znamená: 3, 0) 5 3, ) Výsledkem je potom průnik první a druhé podmínky, 3 ] [ )) 9,, 0) 53, ) ), což je přesně, 3 9 ] ) 5 3, zde je třeba si uvědomit, že 3+ 9 < 5 3, což je pravda, nebot 9 < =). fx) = cotg x + π ). Řešení. Prostě se to nakreslí. Absolutní hodnota u x udělá z grafu kotangens sudou funkci a π grafu pro kladná x doleva o π a polovinu grafu pro záporná x doprava o π. posune polovinu cotgx)

7 cotg x ) cotg x + π )

8 Průsečíky s osou x jsou v kπ, k Z, a svislé čárkované čáry procházeji π + kπ, k Z. Úloha. V závislosti na parametru c R určete všechna reálná x, pro která platí log x + c), ). Řešení. Máme vyřešit nerovnost log x + c) <, neboli < log x + c) < Uvědomme si nejprve, že logaritmus je definován v následujících případech: je-li c > 0, tak pro všechna x, je-li c 0, tak jen pro, c) c, + ). Pokud je logaritmus definován, můžeme nerovnosti upravit na log ) < log x + c) < log ) a dále na < x + c <. Zde si všimneme, že pokud x splňuje tyto nerovnosti, pak je logx + c) určitě definován. Stačí tedy vyřešit po odečtení c) nerovnosti c < x < c. Řešme levou nerovnost. Je-li c >, pak je splněna vždy. Pro c jen pro, c) 8 8 c, + ). Řešme pravou nerovnost. Je-li c, pak není splněna nikdy. Pro c < má řešení c, c). Dáme-li vše dohromady, získáme výsledek: Pro c máme prázdnou množinu řešení. Pro c, ) máme c, c) z pravé nerovnosti nemáme žádnou omezující podmínku). 8 ) Pro c, je c) c, ) c, c) 8 = ) c, c c, ) c. Úloha. Najděte všechna reálná x, pro která platí sin3x ) > 3. Řešení. Řešme nejprve nerovnici sin y > a pro lepší představu si nakresleme obrázek: 3

9 Vidíme, že nerovnost platí pro y arcsin + kπ, π arcsin + kπ), k Z. Podrobněji: funkce sin y je 3 3 π-periodická, stačí tedy úlohu vyřešit na [0, π), tam je sin y kladný, můžeme tedy odstranit absolutní hodnotu. Na [0, π ] je navíc rostoucí a má inverzní funkci nazývanou arcsin, máme tedy sin y > 3 y > arcsin 3 na [0, π ]. Na intervalu [ π, π] dostáváme ze symetrie, která je vidět z obrázku, řešení y < π arcsin jedná se o symetrii 3 sin y = sinπ y)). Dohromady tedy na 0, π) máme řešení y arcsin, π arctg ) a vezmeme-li v úvahu 3 3 π-periodicitu, pak získáme výše uvedený výsledek y arcsin + kπ, π arcsin + kπ), k Z. 3 3 Nyní stačí najít všechna x, pro která y = 3x arcsin + kπ, π arcsin + kπ). Po přičtení dvojky a 3 3 vydělení třemi máme k Z 3 arcsin 3 + kπ + ), 3 π arcsin + kπ + )). 3 fx) = log 3 x +. Řešení. V hlavě pomocí představ nebo pomocí postupného kreslení můžeme postupovat třeba takto: x + log 3 x + ) log 3 x + ) log 3 x + )

10 Průsečíky s osou x spočteme následovně: Graf jde do kladného nekonečna pro x =. log 3 x + ) = 0 x + {3, 3 } {,, 3, 3 } Úloha. V závislosti na parametru c R určete všechna reálná x, pro která platí log 3 x 3c), 3. Řešení. Máme vyřešit nerovnice < log 3 x 3c) 3, což je ekvivalentní s log 3 3 ) < log 3x 3c) log 3 7) a po odlogaritmování ekvivalentní úprava) 3 < x 3c 7 a přičtení 3c 3 + 3c < x 7 + 3c. Řešme levou nerovnost: pro c < je splněna pro všechna R, pro c jen pro, ) + 3c ). + 3c, 3 Řešme nyní pravou nerovnost: pro c < 9 není splněna pro žádné x, pro c 9 je splněna pro 7 + 3c, 7 + 3c ). Výsledek je nyní Pro c < 9 máme prázdnou množinu řešení. Pro c [ 9, 9 ) máme [ 7 + 3c, 7 + 3c] z levé nerovnosti nemáme žádné omezení na x). Pro c 9 je, 3 + 3c) 3 + 3c, ) ) [ 7 + 3c, 7 + 3c] ) ] = [ c, + 3c 3 + 3c, 7 + 3c. Úloha. Najděte všechna reálná x, pro která platí tgx + ). Řešení. Načrtněme si obrázek funkce tg y a s jeho pomocí vyřešme nerovnici tg y

11 Z obrázku vidíme, že řešením je y arctg + kπ, arctg + kπ), k Z. Podrobněji: Díky π-periodičnosti stačí úlohu řešit na 0, π) a díky sudosti vlastně jen na 0, π ). Tam jsou funkce tg a arctg navzájem inverzní, tg je nezáporný a rostoucí a tedy tg y tg y y arctg. Řešení y [0, arctg ] na [0, π) a symetrie nám dá řešení y [ arctg, arctg ] na π, π ) a periodičnost pak y k Z[ arctg + kπ, arctg + kπ]. Nyní stačí najít množinu všech x, která splňují y = x + [ arctg + kπ, arctg jedničky a vydělením dvěma získáme + kπ]. Odečtením k Z[ arctg + kπ ), arctg + kπ )]. fx) = sin x log. Řešení. Nejprve si uvědomíme, že log ) =. Poté v hlavě pomocí představ nebo pomocí postupného kreslení můžeme postupovat třeba takto: sinx) sinx) sinx).5.0 Průsečíky s osou x spočteme následovně: sin x = 0 sin x = x = π 6 + kπ nebo x = 5π 6 + kπ, k Z Vcholky kopečků grafu jsou v bodech [ π + kπ, ], k Z, a [ 3π + kπ, 3 ], k Z.