Výpočet stěny metodou konečných prvků a posudek spolehlivosti stěny metodou SBRA

Transkript

1 Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební Studentská vědecká a odborná činnost Akademický rok 2005/2006 Výpočet stěny metodou konečných prvků a posudek spolehlivosti stěny metodou SBRA Jméno a příjmení studenta : Ročník, obor : Vedoucí práce : Katedra : Oldřich Sucharda 4., Průmyslové a pozemní stavitelství Ing. Jiří Brožovský, Ph.D. Stavební mechaniky

2 OBSAH ANOTACE...3 ANNOTATION VÝPOČET STĚNY METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ ÚVOD ZÁKLADNÍ ČÁSTI PROGRAMU A ZÁKLADY MKP PREPROCESOR ANALÝZA PRVKU ANALÝZA KONSTRUKCE DOKONČENÍ ANALÝZY PRVKU POSTPROCESOR ROVNICE STĚNY KONEČNÝ PRVEK PROGRAM BS CHARAKTERISTIKA KONTROLNÍ VÝPOČTY VZOROVÉ PŘÍKLADY PŘÍKLAD 1* PŘÍKLAD 2* PŘÍKLAD 3* POSUDEK SPOLEHLIVOSTI STĚNY METODOU SBRA PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODA SBRA PŘEDPOKLADY VÝPOČTU ZADÁNÍ SCHÉMA GEOMETRIE* ZATÍŽENÍ MATERIÁLOVÉ VLASTNOSTI ZAVEDENÍ PROMĚNNÝCH DO VÝPOČTU POSTUP ŘEŠENÍ A KRITERIA VÝPOČTU VÝPOČETNÍ MODEL VÝSLEDEK A ROZBOR UKÁZKA ZDROJOVÉHO KÓDU PROGRAMU BS MKP SDĚLENÍ A PODĚKOVÁNÍ LITERATURA

3 VÝPOČET STĚNY METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ A POSUDEK SPOLEHLIVOSTI STĚNY METODOU SBRA Řešitel: Vedoucí práce: Sucharda Oldřich VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební Ing. Jiří Brožovský, Ph.D. VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební Anotace Tato práce se zabývá metodou konečných prvků, která patří mezi nejčastěji používané metody. Obliba této metody je z důvodu jejího univerzálního použití. Zaměření této práce je na oblast výpočtů stěn, tzn. rovinné napjatosti. Ve výpočetním modelu je zvolen trojúhelníkový konečný prvek. V současné době dochází k rozvoji a aplikaci pravděpodobnostního přístupu k výpočtu. Proto tato práce obsahuje základní část pracující s deterministickými hodnotami a speciální modul pro pravděpodobnostní vyhodnocování. Je zvolena pravděpodobnostní metoda SBRA, a proto vytvořený program spolupracuje při pravděpodobnostním vyhodnocování s programem Anthill. Annotation This work solves to the Finite element method which is one of the most using method. The reason of its favour is because of universal application. This work is intended for calculations of plane state of stress. In this model there is used triangular finite element. Nowadays we can see the development and application of probabilistic methods of calculations. Because of that my work consists of basic part, which works with deterministic values, and special module for probabilistic evaluation. I choose probabilistic method SBRA and that s why my program cooperates with program Anthill during probabilistic evaluation

4 1. Výpočet stěny metodou konečných prvků 1.1. Úvod Tato práce se zabývá vytvořením výpočetního programu aplikací metody konečných prvků (MKP) pro řešení stěn. MKP patří k metodám se kterými se řeší téměř všechny typy konstrukcí. V posledních deseti až dvaceti letech se metoda velice rozšířila. MKP patří k numerickým metodám stanovující nepřímé řešení diferenciálních rovnic. Historie vzniku sahá do 40. let 20. století. Praktické použití této metody bylo dlouho omezeno možnostmi výpočetní techniky. MKP je aplikována ve výpočtech ve stavebnictví, strojnictví, leteckém průmyslu a mnoha dalších. MKP je zobecněnou Ritzovou metodou, při které jsou bázové funkce voleny po konečných prvcích. Stejně jako u Ritzovy klasické metody je důležitá správná volba náhradních funkcí tak, aby byly splněny podmínky spojitosti na celé konstrukci. U MKP se tyto náhradní funkce volí na konečných prvcích, a proto je volba náhradních funkcí snadnější. Při zvětšování počtu konečných prvků se zvyšuje přesnost řešení Základní části programu a základy MKP Rozlišujeme tři základní varianty MKP: deformační, silovou a smíšenou. V programu je aplikována varianta deformační, která je i v praxi nejrozšířenější. V deformační metodě je charakteristické použití Lagrangeova principu minima celkové potenciální energie. Při tvorbě výpočetního modelu se zadávají informace geometrické, fyzikální a informace o zatížení konstrukce a okrajových podmínkách. Kvalitní řešení úlohy získáme jen správnou volbou vstupních informací (hustotou dělení, konečným prvkem atd.), protože MKP patří k numerickým metodám, které nedávají přesný ale přibližný výsledek. Sestavení výpočetního postupu v mé práci je rozděleno do několika základních částí: preprocesor, analýza prvku, analýza konstrukce, dokončení analýzy prvku a postprocesor. Program obsahuje speciální část, která umožňuje pravděpodobnostní vyhodnocování Preprocesor V této části je řešen vstup informací o geometrii konstrukce, materiálu, okrajových podmínkách, zatížení a počtu dělení. Tyto informace se ukládají do vstupních textových souborů Analýza prvku Volba konečného prvku závisí na tvaru konstrukce, namáhání, tvorbě sítě prvků, rozměru úlohy (1D, 2D, 3D) atd. V současné době již existuje celá řada odvozených konečných prvků ve tvarech trojúhelníku, čtyřúhelníku, čtyřstěnu apod. Pro výpočet stěn případu rovinné napjatosti je v programu zvolen trojúhelníkový konečný prvek

5 1.5. Analýza konstrukce Tato část vyjadřuje potenciální energii π celé konstrukce. Jednotlivé lokální konečné prvky vkládáme do globální matice tuhosti K a zatěžovacího vektoru F. e,j potencionální energie j-tého konečného prvku Celkový počet deformačních parametrů a rozměr globální matice určuje počet neznámých deformací a počet konečných prvků. Globální vektor uzlových deformačních parametrů je nazýván r. Při sestavování globální matice a vektoru musíme používat jediný globální souřadný systém. Základní maticová rovnice MKP je K * r = F. Při řešení se využívá, že matice K je čtvercová a symetrická. Pokud je globální matice K sestavována bez okrajových podmínek, je soustava rovnic singulární a řešení je nekonečně mnoho. Po uplatnění okrajových podmínek se stává soustava řešitelná. Při tvorbě velkých nebo podrobných výpočetních modelů vznikají velmi rozsáhlé soustavy rovnic, které vyžadují náročné matematické řešení. Okrajové podmínky jsou v deformační variantě MKP vyjádřeny deformačními okrajovými podmínkami v bodě, linii nebo ploše. Při tvorbě výpočetního modelu mají prvky sítě ležet v okrajových podmínkách. Po dokončení sestavení globální matice K a globálních vektorů F a uplatnění okrajových podmínek se soustava rovnic vyřeší. V programu je použita numerická metoda Gaussovy eliminace, která dává dostatečně kvalitní výsledky. Po vyřešení získáme globální vektor uzlových deformačních parametrů r Dokončení analýzy prvku Po získání globálního vektoru uzlových deformačních parametrů r se určí složky napětí. Jednotlivé složky napětí se určují na jednotlivých konečných prvcích. V uzlech, kde se stýká více sousedících prvků, nemají napětí stejné hodnoty. Toto je z důvodů vlastností konečného prvku. Problém je řešen aritmetickým průměrem těchto napětí nebo volbou velice kvalitního konečného prvku. Pro vyhodnocování a posudek, dle doporučení CEB-FIP Model Code 1990 [5], je v programu implementován výpočet hlavních napětí Postprocesor V závěrečné části se zpracovávají a ukládají výsledky řešené úlohy. V programu jsou hlavními výstupními informacemi napětí, hlavní napětí, poměrné deformace, deformace a doplňkově lze získat matice tuhosti konstrukce a zatěžovací vektor. Program také poskytuje vyhodnocení kritéria doporučení dle CEB-FIP Model Code 1990 [5]. Informace se ukládají do textových souborů, se kterými se může pracovat v dalších programech a dále je vyhodnocovat

6 1.8. Rovnice stěny Rovinná napjatost - řeší se Rovinná deformace Obr. 1 - Stěna Obr. 2 - Tunel a ε z 0 Airyho funkce F- popisuje stav napjatosti stěny tak, že platí: Stěnová rovnice- podmínka kompatibility stěny vyjádřená pomocí Airyho funkce: 1.9. Konečný prvek Geometrické rovnice : Maticový zápis (ε=δ T u): Podmínky rovnováhy: Maticový zápis (δσ+x=0): Fyzikální rovnice rovinné napjatosti: Maticový zápis (σ=dε): - 6 -

7 Aproximace neznámých uzlových posunutí: Maticový zápis (u=u a): Aproximace neznámých uzlových Kombinací vztahů ε=δ T u a u=u posunutí v uzlech 1,2,3 (r=s a): a vznikne ε=b a, kde B=δ T u: Z r = S a => a = S -1 r => ε=b S -1 Potenciální energie vnitřních sil: Potenciální energie vnějších sil: Potenciální energie soustavy: Po dosazení za ε a vytknutí r: Stručně Aplikací Lagrangeova variačního principu (δ =min.) kde K je matice tuhosti konečného prvku: F je zatěžovací vektor konečného prvku: Pro studovaný konečný prvek: kde t je tloušťka konečného prvku

8 1.10. Program BS charakteristika Program MKP řešící rovinnou napjatost. Pracuje s trojúhelníkovými konečnými prvky. Kriterium pro vyhodnocení je převzato z doporučení CEB FIP Model Code 90 [5]. Namáhání betonu je v elastické oblasti pracovního diagramu. Vstupní a výstupní informace jsou uloženy v textových souborech. Obsahuje modul pro pravděpodobnostní vyhodnocování. Za poruchu konstrukce se považuje nesplnění kriteria alespoň u jednoho konečného prvku. Pravděpodobnostní veličiny mohou být : o Materiálové vlastnosti o Zatížení Obr. 3 Doporučeni CEB FIP Model Code 90 Obr. 4 - Konečný prvek σ 1 > σ 2 α = σ 1 / σ Kontrolní výpočty Veličiny ověřené kontrolními výpočty v programu ufem autora Ing. Jiří Brožovského, Ph.D.: o Matice tuhosti konstrukce o Přetvoření o Deformace o Napětí (x,y,xy) - 8 -

9 2. Vzorové příklady 2.1. Příklad 1* Vstupní hodnoty: E = 20 GPa Pevnost v tlaku 20 MPa F = N ν = 0,2 Pevnost v tahu 1,5 MPa t = 0,1 m Schéma Výpočetní model Konečné prvky F F F F F F σ [MPa] σ [MPa] σ x y xy [MPa] -0,2-0,2-0,2-0,2-0,2-0,2-0,2-0,2 * Výstupní hodnoty (matice tuhosti konstrukce, souřadnice uzlů, deformace, poměrné deformace, napětí, hlavní napětí) jsou zkontrolovány v programu ufem autora Ing. Jiří Brožovského, Ph.D

10 2.2. Příklad 2* Vstupní hodnoty: E = 20 GPa Pevnost v tlaku 20 MPa F = N ν = 0,2 Pevnost v tahu 1,5 MPa H = N t = 0,1 m Schéma Výpočetní model Konečné prvky F F H H S8 S7 σx [MPa] S6 S5 S4 S3 0,100-0, ,100-0, ,200--0,100-0,300--0,200-0,400--0,300-0,500--0,400 S2 S * Výstupní hodnoty (matice tuhosti konstrukce, souřadnice uzlů, deformace, poměrné deformace, napětí, hlavní napětí) jsou zkontrolovány v programu ufem autora Ing. Jiří Brožovského, Ph.D

11 S8 S7 σy [MPa] S6 S5 S4 S3 0,400-0, ,400-0, ,800--0,400-1,200--0,800-1,600--1,200-2,000--1,600 S2 S S8 S7 σxy [MPa] S6 00-0,400 S5 S4 S3-0, ,800--0,400 S2 S

12 2.3. Příklad 3* Vstupní hodnoty: E = 29 GPa Pevnost v tlaku 20 MPa F = N/m ν = 0,2 Pevnost v tahu 1,5 MPa H = N/m t = 0,1 m Schéma Výpočetní model Konečné prvky f F/2 F F F F F F F F/ H/ H h H H H/ S8 S7 S6 S5 S4 S3 σ x [MPa] 00-0,500-0, ,000--0,500-1,500--1,000-2,000--1,500 S2 S * Výstupní hodnoty (matice tuhosti konstrukce, souřadnice uzlů, deformace, poměrné deformace, napětí, hlavní napětí) jsou zkontrolovány v programu ufem autora Ing. Jiří Brožovského, Ph.D

13 S8 S7 S6 S5 S4 S3 σ y [MPa] -1, ,000--1,000-3,000--2,000-4,000--3,000-5,000--4,000-6,000--5,000-7,000--6,000-8,000--7,000-9,000--8,000 S2 S S8 S7 S6 S5 S4 S3 σ xy [MPa] 2,000-3,000 1,000-2, ,000-1, ,000--1,000-3,000--2,000-4,000--3,000 S2 S

14 3. Posudek spolehlivosti stěny metodou SBRA 3.1. Pravděpodobnostní metoda SBRA Teorie pravděpodobnosti řeší analýzu náhodnosti. Jako náhodný jev můžeme označit takový, který má vnitřní hodnoty proměnné. Základní definice pravděpodobnosti jevu A je m P [ A] =, n kde m je počet příznivých jevů a n je jejich celkový počet. Metoda SBRA je jednou z pravděpodobnostních metod zabývající se výpočtem spolehlivosti. Pravděpodobnost poruchy se určuje na základě vstupních veličin, transformačního modelu a spolehlivostní funkce. Metoda SBRA odpovídá strukturou metodě Monte Carlo. Metodou Monte Carlo se označují metody využívající pro výpočet posloupnost náhodných čísel. Použitím této metody se dají získat přibližná řešení pravděpodobnostních a deterministických úloh. Podstata metody spočívá v mnohonásobném opakovaní simulací. Tento postup řešení umožňuje platnost zákona velkých čísel a centrální limitní věty. Se zvyšujícím počtem simulací se pravděpodobnost poruchy zpřesňuje. Vstupní veličiny mohou být ve výpočtu tvořeny deterministickými a náhodnými proměnnými. Deterministická veličina je určena jednou hodnotou. Náhodné proměnné lze popsat mnoha způsoby. Nejčastějšími způsoby jsou distribuční funkce, kvantilová funkce a histogram četnosti. Obr. 5 - Histogram Pro samotný výpočet musíme převést skutečnou konstrukci, zatížení, odezvu a další vstupní údaje do transformačního modelu. Kvalita výpočtu je přímo úměrná kvalitě transformačního modelu, a proto se musí snažit, aby transformační model odpovídal co nejvíce skutečnosti. Spolehlivostní funkce tvoří hranici mezi příznivými a nepříznivými případy. Při definování spolehlivostní funkce se určuje referenční hodnota, kterou lze popsat z hlediska přetížení, poškození, deformace, polohy konstrukce apod

15 3.2. Předpoklady výpočtu Rovinná napjatost Za poruchu konstrukce se považuje nesplnění kriteria alespoň u jednoho konečného prvku Kriterium CEB FIP Model Code 90 [5] Namáhání betonu je v elastické oblasti pracovního diagramu 3.3. Zadání Stěna je tvořena z betonu kvality C20/25 (E = 29 GPa, ν = 0,2, pevnost v tlaku = 20 MPa, pevnost v tahu = 1,5 MPa ). Rozměry stěny jsou: výška = 1,6 m, šířka = 1,2 m a tloušťka = 0,1 m. Svislé zatížení je tvořeno spojitým zatížením stálým DL = 20kN.m -1, dlouhodobým LL = 7kN.m -1 a krátkodobým SL = 5 kn.m -1. Horizontální zatížení tvoří spojité zatížení H = 10 kn.m -1 s rozptylem normálního rozdělení Schéma Vstupy f Deterministické Variabilní - Geometrie h - Zatížení - Materiálové vlastnosti

16 3.5. Geometrie* Popis Proměnná Nominální hodnota Symbol Jednotka Symbol Hodnota Tloušťka t [m] t 0.1 Šířka stěny a [m] a 1.2 Výška stěny b [m] b 1.6 * Geometrické vstupy jsou ve výpočtu uvažovány jako deterministické veličiny z důvodu jejich malého vlivu Zatížení Popis Proměnná Nominální hodnota Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Symbol Hodnota Symbol Histogram Rozsah Stálé zatížení DL [N.m -1 ] DL nom DL var DEAD-S <0,643..1> Dlouhodobé zatížení LL [N.m -1 ] LL nom 7000 LL var LONG1 <0..0,625..1> Krátkodobé zatížení SL [N.m -1 ] SL nom 5000 SL var SHORT1 <0..1> Horizontální zatížení H [N.m -1 ] H nom H var N (1,0;33) <0..1> 3.7. Materiálové vlastnosti Popis Proměnná Nominální hodnota Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Symbol Hodnota Symbol Histogram Rozsah Pevnost v tlaku F yc [MPa] F ycnom 20 <0,9..1,2> Pevnost v tahu F yt [MPa] F ytnom 1,5 <0,95..1,15> Norm var Souč.příč.kontr. ν [ - ] ν nom 0,2 <0,9..1,1> Modul pružnosti E [MPa] E nom N (1,0;33) <0,9..1,1>

17 3.8. Zavedení proměnných do výpočtu F = DL nom * DL var + LL nom * LL var + SL nom * SL var = * < DEAD-S > * < LONG1 > * < SHORT1 > H = H nom * Norm var = * < Norm (0..1) > F yc = F yc nom * Norm var = 20 * 10 6 * < Norm ( ) > F yt = F yt nom * Norm var = 1,5 * 10 6 * < Norm ( ) > ν = ν nom * Norm var = 0,2 * < Norm ( ) > E = E nom * Norm var = 20 * 10 9 * < Norm ( ) > Norm var - normální rozdělení 3.9. Postup řešení a kriteria výpočtu Náhodně proměnné veličiny se vygenerují v programu Anthill a uloží do souboru log. Konstantní geometrické veličiny se uloží do vstupního souboru. Vstupní data se zpracují programem BS. Vypočítané výsledky se vyhodnotí dle zásad zvolené metody. Spolehlivost konstrukce* : P d = 0, * Návrhová spolehlivost konstrukce dle ČSN EN :2002, Příloha A, úroveň spolehlivosti obvyklá. Zvolený počet simulačních kroků :

18 Obr. 6 - Program Anthill vstupní proměnné Výpočetní model Obr. 7 - Soubor Log Schéma Výpočetní model Konečné prvky f F/2 F F F F F F F F/ H/ H h H H H/

19 3.11. Výsledek a rozbor Pravděpodobnost poruchy stěny je < Stěna vyhoví. Výpočetní čas úlohy je 3 hodiny (P IV 2,4 GHz, 512 MB Ram). Obr. 8 - Výstup programu BS 4. Ukázka zdrojového kódu programu BS MKP read1mkp(a,xa,b,xb,ul); read2mkp(e,v,fyt,fyc,g1,g2,g3); { nacteni hodnot vstupnich ze souboru } t:=ul; tvorbakp(a,b,xa,xb,p); { P konecne prvky } SKP(xa,xb,SK); { SK skupiny trojice KP } maticeprazdnakce(xa,xb,mkce); { matice tuhosti kce se vymaze pro teorie spol} for skpp:=1 to (xa*xb*2) do begin trojkp(skpp,t,e,v,sk,p,bp); {matice tuhosti prvku jsou v BP } maticekce(skpp,sk,bp,mkce); {matice tuhosti konstrukce je v Mkce } end; { maticetiskkce(xa,xb,mkce); } {tisk matice tuhosti konstrukce do souboru } teo1:=g1; teo2:=g2; {zadanizat(xa,xb,sila); } {zadani vektoru zatezovaciho } readzat(xa,xb,sila,teo1,teo2); {nacteni vektoru zatezovaciho } {zadaniposunuti(xa,xb,posun);} {zadani vektoru posunuti } readpost(xa,xb,posun); {nacteni vektoru posunuti } mkcepos(xa,xb,posun,mkce); {uprava Mkce a posunuti } maticetiskkce(xa,xb,mkce); {tisk matice tuhosti konstrukce } upravapost(xa,xb,mpos,posun); {prevede vektor posunuti } {rekapitulace } { Mkce[i,j] BS_mati.txt matice tuhosti konstrukce } { Mpos[i] BS_Mpos.txt vektor posunuti konstrukce } { sila[i] BS_sila.txt vektor zatezovaci konstrukce } { (xa+1)*(xb+1)*2 pocet prvku v matici } resenikce(xa,xb,mkce,sila,ckce);

20 5. Sdělení a poděkování Práce je vypracovaná v rámci studia na fakultě stavební VŠB - TU Ostrava. Rád bych poděkoval Ing. Jiří Brožovskému, Ph.D. za vedení této práce, trpělivosti nad řešenými problémy a pomocí při řešení numerických metod. Také bych rád poděkoval Prof. Ing. Pavlu Markovi, Dr.Sc. za konzultace a podněty při řešení části zabývající se posudkem spolehlivosti metodou SBRA. 6. Literatura [1] Brožovský J.: Modelování fyzikálně nelineárního chování železobetonových konstrukcí, VŠB-TU Ostrava - FAST, Ostrava, 2003 [2] Materna A., Brožovský J.: Transformační metody pro řešení statických úloh stavební mechaniky. Sborník referátů VI. Ročníku celostátní akce se zahraniční účastí Spolehlivost konstrukcí, DT Ostrava, , ISBN [3] Marek P., Brozzetti J., Guštar M., Tikalský P.: Probabilistic Assessment of Structures using Monte Carlo Simulation. Background, Exercises and Software, Praha, Institut of Theoretical and Applied Mechanics, Academy of Sciences of the Czech Republic, 2003, ISBN (second edition) [4] [5] CEB-FIP Model Code 1990, Comité Euro-International du Béton, Paris, 1990 [6] Materna A., Brožovský J.: Metoda konečných prvků, elektronická učebnice, RCCV, VŠB-TU Ostrava, Ostrava, 2003 [7] Teplý B., Šmiřák S.: Pružnost a plasticita II, Nakladatelství VUT Brno, Brno, 1992, ISBN [8] Kolář V., Kratochvíl J., Leitner F., Ženíšek A.: Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků, SNTL, Praha, 1979 [9] Procházka J. a kol.: Betonové konstrukce, Česká betonářská společnost ČSSI, Praha, 2003 [10] Krček B., Kreml P.: Algoritmizace a programování v jazyku PASCAL, VŠB-TU Ostrava, Ostrava, 1999 [11] Boháč Z., Častová N.: Základní numerické metody, VŠB-TU Ostrava, Ostrava,