Přehled metod regulace procesů při různých typech chování procesu

Transkript

1 Přehled metod regulace procesů při různých typech chování procesu Eva Jarošová, Darja Noskievičová Škoda Auto Vysoká škola, VŠB Ostrava ČSJ

2 Typy procesů (ČSN ISO 2747)

3 Procesy typu A Výsledné rozdělení Čas konstantní střední hodnota konstantní rozptyl okamžité rozdělení normální výsledné rozdělení stejné jako okamžité rozdělení - jediný typ procesu, kde jsou vhodné klasické Shewhartovy regulační diagramy

4 Procesy typu A2 konstantní střední hodnota konstantní rozptyl okamžité rozdělení jednovrcholové výsledné rozdělení stejné jako okamžité rozdělení

5 Procesy typu B Výsledné rozdělení Čas konstantní střední hodnota proměnný rozptyl (změny náhodné nebo systematické) okamžité rozdělení normální výsledné rozdělení jednovrcholové, ale již nikoliv normální

6 Procesy typu C náhodné změny střední hodnoty rozptyl konstantní okamžité rozdělení normální výsledné rozdělení normální

7 Procesy typu C2 náhodné změny střední hodnoty rozptyl konstantní okamžité rozdělení normální výsledné rozdělení jednovrcholové, ale jiné než normální

8 Procesy typu C3 systematické změny střední hodnoty rozptyl konstantní okamžité rozdělení libovolné výsledné rozdělení libovolné

9 Procesy typu C4 systematické i náhodné změny střední hodnoty rozptyl konstantní okamžité rozdělení libovolné výsledné rozdělení libovolné

10 Procesy typu D Výsledné rozdělení Čas systematické i náhodné změny střední hodnoty systematické i náhodné změny rozptylu okamžité rozdělení libovolné výsledné rozdělení je směsí nejrůznějších rozdělení, obecně multimodální - jeho modelování je obtížné - teoreticky je možné využít systém Burrových nebo Pearsonových křivek či Johnsonovu transformaci v případě multimodálního rozdělení - možné využít modelů směsí

11 Typy procesu a vhodné metody SPC

12 Identifikace typu procesu Posouzení normality okamžitého rozdělení normality výsledného rozdělení neměnnosti střední hodnoty neměnnosti rozptylu

13 Ověřování normality Graficky (pravděpodobnostní graf, Q-Q, P-P) Testy normality Aplikace na naměřená data ověření normality výsledného rozdělení Aplikace na rezidua modelu ANOVA nebo regresního modelu ověření normality okamžitého rozdělení

14 Ověřování normality Pravděpodobnostní graf (Minitab) Normal - 95% CI 99, Percent , Splněný předpoklad normality Nesplněný předpoklad normality Q-Q graf v Excelu

15 Ověřování normality Testy normality Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors) Anderson-Darling (AD) Cramér-von Mises Chí-kvadrát Shapiro-Wilk Ryan-Joiner (RJ) Výběrová šikmost a špičatost Jarque a Bera D'Agostino-Pearson

16 Shoda rozptylů - statistické testy Test Předpoklad normality Cochranův x x Hartleyův x x Stejný rozsah skupin dat Bartlettův x x Levenův O'Brianův Brownův- Forsythův Veljkost skupiny dat 6

17 Shoda rozptylů grafické metody - graf autokorelační funkce korelogram,0 0,8 0,6 0,4 Autokorelace 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8 -, Zpoždění

18 Regulační diagramy pro typ A2 zajištění dostatečně velkého rozsahu podskupin - Shewhartův diagram volba vhodnějšího modelu - diagram s asymetrickými mezemi transformace - Shewhartův diagram pro transformovaná data - diagram s asymetrickými mezemi pro původní znak EWMA diagram neparametrický regulační diagram

19 Volba modelu Na základě fyzikální podstaty, zkušenosti, Vhodné v případě diagramu pro individuální hodnoty Rozdělení průměrů lze odvodit jen výjimečně Identifikace na základě dat Diagram pro individuální hodnoty Pojmenované rozdělení (Weibullovo, lognormální, ) předpokládá se vhodný statistický software test dobré shody, různá rozdělení, volba modelu s nejvyšší nebo dostatečně vysokou p-hodnotou Pearsonovy nebo Burrovy křivky vhodný software nebo Excel a postup podle Clementse (989) Diagram pro průměry Pearsonovy nebo Burrovy křivky nedostatek hodnot pro identifikaci rozdělení průměrů, vychází se z individuálních hodnot, viz ukázka 2

20 Transformace Boxova-Coxova nejjednodušší tvar y = x λ pro λ 0 y = ln x pro λ = 0 vhodný software, možno i Excel Johnsonova tři typy křivek, volba vhodného typu a odhad parametrů vyžaduje vhodný statistický software Ověření vhodnosti transformace pomocí normálního pravděpodobnostního grafu či testu normality

21 Ukázka Velikost tahového napětí (v MPa) individuální data , UCL= X _ X=986 Procenta Pořadí pozorování LCL=366 0, X Shewhartův diagram AD test p-hodnota <0,005 RJ test p-hodnota <0,0 Pravděpodobnostní graf pro normální rozdělení

22 Identifikace modelu Goodness of Fit Test Distribution AD P LRT P Normal,955 <0,005 Box-Cox Transformation 0,406 0,347 Lognormal 3,477 <0,005 3-Parameter Lognormal,958 * 0,000 Exponential 73,858 <0,003 2-Parameter Exponential 39,732 <0,00 0,000 Weibull 0,299 >0,250 3-Parameter Weibull 0,26 >0,500 0,724 Smallest Extreme Value 0,285 >0,250 Largest Extreme Value 7,52 <0,00 Gamma 2,97 <0,005 3-Parameter Gamma 2,430 * 0,02 Logistic,379 <0,005 Loglogistic 2,220 <0,005 3-Parameter Loglogistic,382 * 0,00 Johnson Transformation 0,247 0,752

23 Diagram s asymetrickými mezemi pro individuální hodnoty Model: Weibullovo rozdělení odhad parametrů metodou maximální věrohodnosti odhad kvantilů x 0,0035 = x 0,5 = 202 UCL= x 0,99865 = CL=202 X LCL= Pořadí pozorování

24 Diagram pro klouzavá rozpětí Diagram pro klouzavá rozpětí původního znaku Diagram pro klouzavá rozpětí transformovaného znaku z-skórů Φ ( F( x i ) (Statgraphics)

25 Ukázka 2 Kapacita elektrolytických kondenzátorů (µf), podskupiny s rozsahem n = 5 Shewhartův diagram AD test p-hodnota = 0,094 RJ test p-hodnota > 0, Pravděpodobnostní graf pro normální rozdělení

26 Diagram s asymetrickými mezemi pro průměr Využití Pearsonovy křivky Výpočet výběrové šikmosti a špičatosti na základě 00 individuálních hodnot Odvození výběrové šikmosti a špičatosti rozdělení průměrů (rozsah n = 5) Výpočet kvantilů (Clements, 989) x 0,0035 x 0,5 x 0,99865 Průměr X 205,0 202,5 200,0 UCL=205,3 CL=99,03 97,5 95,0 LCL=94, Podskupina

27 Ukázka 3 Generovaná data 30 UCL=3,3 0,999 0,99 0,95 X 20 0 _ X=,79 Pravděpodobnost 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0,05 0, Pořadí pozorování Shewhartův diagram AD test p-hodnota <0,005 RJ test p-hodnota <0, LCL=-7,73 0, X Pravděpodobnostní graf pro normální rozdělení

28 Transformace Box-Cox Boxova-Coxova transformace Y = X 0,5 Shewhartův diagram pro individuální hodnoty Y (Minitab) Zpětná transformace X = Y 2 (pouze pro individuální data) 40 UCL=38,63 30 X 20 0 CL=0, Pořadí pozorování LCL=0,2 00 Shewhartův diagram pro Y Asymetrické meze pro X

29 Ukázka 4 Proces z ukázky, Johnsonova transformace Y = 3, ,85043 arcsinh[(x 2489,35)/34,327] UCL= CL=2023 X LCL= Pořadí pozorování Shewhartův diagram pro Y Asymetrické meze pro X Zpětná transformace: Excel, Hledání řešení 3, ,85043 arcsinh((x 2489,35)/34,327) = 3 3, ,85043 arcsinh((x 2489,35)/34,327) = 0 3, ,85043 arcsinh((x 2489,35)/34,327) = 3

30 Ukazatele způsobilosti pro typ A C p = USL LSL x x 0, ,0035 C pku = USL x µ x LSL pkl 0,99865 x 0,5 0,5 x0,0035 C = µ C = min( C, C ) pk pku pkl

31 Ověřování konstantní střední hodnoty - ANOVA 2 σ A střední hodnota jako náhodná veličina rozptyl 2 test H : 0 σ 0 A = model ANOVA s náhodnými efekty (faktor podskupina) F-test, při p-hodnotě menší než 0,05 zamítnutí H 0 Zdroj Součet Stupně Průměrný čtverec variability čtverců volnosti F Podskupiny SSA k- MSA = SSA/(k-) MSA/MSE Reziduální SSE k(n-) MSE = SSE/(kn-k) Celkový SST kn- P-hodnota k počet podskupin n rozsah podskupin

32 Regulační diagramy pro typ C Regulační diagram s rozšířenými mezemi Modifikovaný regulační diagram Přejímací regulační diagram Regresní regulační diagram

33 Ukázka 5 Podskupiny s rozsahem 5 rozdíly mezi dávkami, ve vstupních materiálech, v okolních podmínkách atd. větší než kolísání mezi jednotlivými vzorky v podskupině všechny hodnoty uvnitř tolerance 9,7 USL=9,7 9,65 X 9,6 9,5 Průměr X 9,60 9,55 9,50 _ UCL=9,5256 X=9,5094 LCL=9,4932 9,4 9,45 9, Podskupina LSL=9,3 9, Podskupina Shewhartův diagram pro průměry

34 Využití ANOVA ke konstrukci rozšířených regulačních mezí F-test (zamítnutí hypotézy o konstantní střední hodnotě) 2 odhad rozptylu σ A a vnitroskupinové variability posouzení normality okamžitého rozdělení na základě reziduí Zdroj Součet Stupně Průměrný variability čtverců volnosti čtverec F P-hodnota Podskupiny 0, MSA = 0, ,78 0,0000 Reziduální 0, MSE = 0,000 Celkový 0, σ 2 ˆ A σ MSA MSE n = 2 ˆ σ = MSE

35 Tvar rozdělení 99,9 99, Procenta Procenta , 9,2 9,3 9,4 9,5 X 9,6 9,7 9,8 0, -0,04-0,03-0,02-0,0 0,00 Rezidua 0,0 0,02 0,03 0,04 Výsledné rozdělení (původní hodnoty) Okamžité rozdělení (rezidua)

36 Diagram s rozšířenými mezemi UCL 3 ˆ σ = x + + n LCL 3 ˆ σ = x n =,5 ˆ σ A (Dietrich, Schulze, 200) 9,8 Průměr X 9,7 9,6 9,5 9,4 9,3 UCL = 9,640 LCL = 9,379 UCL = ˆ µ +,5 ˆ σ A + 3 LCL = ˆ µ,5 ˆ σ A + 3 ˆ σ n ˆ σ n Podskupina

37 Diagram s rozšířenými mezemi další metody konstrukce na základě odhadu rozptylu průměrů ˆ σ ( ) k x = sx = x j x k j= (libovolné rozdělení) ˆ σ ˆ 2 x MR x =,28 k 2 i= 2 σ x 2 MR = 2 k 2 x (normální rozdělení) (normální rozdělení) Rozdělení průměrů normální: UCL = ˆ µ + ˆ σ LCL = ˆ µ ˆ σ 3 x 3 x Rozdělení průměrů rovnoměrné: x ˆ = ˆ µ + 0, ˆ σ = ˆ µ +, 7 ˆ σ 0,9865 x ˆ = ˆ µ 0, ˆ σ = ˆ µ, 7 ˆ σ 0,0035 x x x x

38 Modifikovaný regulační diagram Regulační meze odvozené od tolerančních mezí USL a LSL Předpoklady: (USL LSL) 8σ proces je z hlediska inherentní variability statisticky zvládnutý okamžité rozdělení sledovaného znaku kvality je normální

39 . Modifikovaný regulační diagram - Stanovení intervalu přípustné fluktuace střední hodnoty (APL L ; APL U ) APL L = LSL + u p A σˆ APL U = USL u p A σˆ pa σˆ - maximálně přípustný podíl neshodných jednotek - odhad směrodatné odchylky procesu, který lze vypočíst dle známých vzorců σˆ = R / d 2 σˆ = s / C4

40 . Modifikovaný regulační diagram - Stanovení regulačních mezí ˆ σ UCL = USL u p ˆ σ + u A α / 2 n LCL = USL + u A ˆ σ u α / 2 p α... pravděpodobnost, že proces, jehož skutečná střední hodnota je rovna APLL nebo APLU, bude posuzován jako nevyhovující proces ˆ σ n

41 Ukázka 6 Elektrická pevnost porcelánových izolátorů (kv/mm) Podskupiny s rozsahem 5 Pravděpodobnostní graf AD test p-hodnota = 0,306 RJ test p-hodnota > 0,

42 Ukázka 6 Elektrická pevnost porcelánových izolátorů (kv/mm) Podskupiny s rozsahem 5 Klasické regulační diagramy pro průměr a rozpětí

43 Ukázka 6 Ověření předpokladů: - proces je z hlediska inherentní variability statisticky zvládnutý

44 Ukázka 6 Zvolení hodnoty přípustného podílu neshodných jednotek: p A = 0,0035 Stanovení intervalu přípustné fluktuace střední hodnoty APL L = LSL + u p A σˆ APL = USL u σˆ APL L = ,49 = 30,47 APL U = 40 3,49 = 35,53 U p A Stanovení regulačních mezí ˆ σ ˆ σ UCL = USL u p ˆ σ + u LCL = USL + u A α / 2 p ˆ σ u A α / 2 n n UCL = 35,53 + 3,49/= 37,52 kv/mm LCL = 30,47 3,49/ = 28,48 kv/mm UWL = 35,53 + 2,49/= 36,86 kv/mm LWL = 30,47 2,49/ = 29,4 kv/mm

45 Ukázka 6 Modifikovaný regulační diagram s 3sigma a 2sigma mezemi Interpretace: Hodnota u první podskupiny leží nad horní výstražnou mezí. Protože však hodnota u druhého výběru leží uvnitř výstražných mezí, nebylo nutné provádět žádné seřízení.

46 Přejímací regulační diagram (ČSN ISO ) Regulační meze odvozené od tolerančních mezí USL a LSL Předpoklady Variabilita uvnitř podskupin je mnohemn menší než je tolerance Proces je z hlediska inherentnéí variability statisticky zvládnutý Okamžité rozdělení sledovaného znaku kvality je normální

47 Přejímací regulační diagram

48 Přejímací regulační diagram Interpretace - Leží-li střední hodnota procesu v oblasti vyhovujících procesů, není třeba žádného zásahu. - Leží-li v oblasti nevyhovujících procesů, produkuje nepřípustný podíl neshodných jednotek pr nebo více je třeba do procesu zasáhnout (např. vyměnit opotřebený nástroj). - Oblast indiference zahrnuje procesy, které produkují vyhovující procesy, ale je třeba je sledovat a jakmile jejich střední hodnota dosáhne oblasti nevyhovujících procesů, je třeba provést zásah (ČSN ISO ).

49 Přejímací regulační diagram 2 způsoby návrhu. Vstupní parametry: - rozsah výběru n - nepřípustný podíl neshodných jednotek pr - pravděpodobnost, že proces, jehož skutečná střední hodnota odpovídá RPLL nebo RPLU, nebude posuzován jako nevyhovující, tj. riziko β 2. Vstupní parametry: - přípustný podíl neshodných jednotek pa - nepřípustný podíl neshodných jednotek pr - pravděpodobnost, že proces, jehož skutečná střední hodnota je rovna APLL nebo APLU, bude posuzován jako nevyhovující proces (riziko α) - pravděpodobnost, že proces, jehož skutečná střední hodnota odpovídá RPLL nebo RPLU, nebude posuzován jako nevyhovující, tj. riziko β Výstupní parametr rozsah výběru n

50 Přejímací regulační diagram. způsob navrhování RPL U = USL u p R σˆ RPL L = LSL + u p R σˆ u pr je 00( p R )% kvantil normovaného normálního rozdělení UCL LCL u β n = = RPL RPL L U u + u β β ˆ σ ˆ σ n n je 00( β)% kvantil normovaného normálního rozdělení, je rozsah výběru, jehož hodnota se volí

51 Přejímací regulační diagram 2. Způsob návrhování - spojení návrhu modifikovaného regulačního diagramu s prvním způsobem navrhování přejímacího regulačního diagramu APL U ˆ σ + u α = RPLU u n /2 β ˆ σ n

52 Přejímací regulační diagram 2. Způsob návrhování n = + u β ) ˆ σ = RPL U APL U ( u α / 2 2 u u α / 2 p + u u β A p R 2 UCL = APL LCL = APL U L + u u u α / 2 α / 2 + u- (β u α / 2 α / 2 + u β RPL U ( APL L APL RPL U L ) )

53 Ukázka 7 Elektrická pevnost porcelánových izolátorů (kv/mm) Podskupiny s rozsahem 5 přípustný podíl neshodných jednotek p A = 0,0035 rizikoα= 0,0027 nepřípustný podíl neshodných jednotek p R = 0,0 rizikoβ= 0,05 USL = 40 kv/mm, LSL = 26 kv/mm

54 Ukázka 7 Ověření předpokladů viz Ukázka 7 Výpočet rozsahu výběru 3 +, 65 n = = 4, , tuto hodnotu použijeme při výpočtu regulačních mezí

55 Ukázka 7 Stanovení hodnot APL L, APL U, RPL L a RPL U : APL L, APL U - viz Ukázka 8 APL L = 30,47; APL U = 35,53 RPL L a RPL U RPL U = USL u pr σˆ RPL U = 40 2,33,49 = 36,53 RPL L = LSL + u RPL L = ,33,49 = 29,47 p R σˆ

56 Ukázka 7 Výpočet regulačních mezí UCL UCL u α / 2 = APLU + RPLU APL u / u α (β 3 = 35, , 53 35, 53 = 36, 3 +, 65 ( ) 8 U ) LCL LCL = APL L u u α / 2 α / 2 + u β ( APL 3 = 30, 47, 3 +, 65 ( 30, 47 29, 47) = L RPL L )

57 Ukázka ,8 Průměr _ 33 29, Číslo podskupiny Přejímací regulační diagram

58 Srovnání modifikovaného a přejímacího regulačního diagramu ,8 Průměr _ 33 29, Číslo podskupiny Modifikovaný regulační diagram Přejímací regulační diagram - výsledek zohlednění rizika β v přejímacím diagramu

59 Ukázka 8 Rozměr litinových zátek do převodovek Tolerance USL = 7,5, LSL = 7,06 7,50 USL = 7,5 99,9 X = 7, ,00656 i 99 7, X 7,00 7,075 Procenta , Podskupina LSL = 7,06 0, -0,04-0,03-0,02-0,0 0,00 Rezidua 0,0 0,02 0,03 0,04 Normalita okamžitého rozdělení ověřena pomocí reziduí regresního modelu přímky

60 Modifikovaný diagram 7,3 UCL mod=7,32 UCL=7,26 7,2 Průměr X 7, 7,0 _ X=7,62 LCL=7,097 7,09 7,08 LCL mod=7, Podskupina Shewhartův diagram: UCL, LCL Modifikovaný diagram: UCL mod, LCL mod

61 Ukázka 9 Vrtání otvoru pro válec v bloku motoru Tolerance 76,45 ± 0,02 76,4550 UCL=76, , , X 76,4500 _ X=76,45096 Procenta ,4475 LCL=76, , Pořadí pozorování , -0,005-0,004-0,003-0,002-0,00 0,000 Rezidua 0,00 0,002 0,003 0,004 Shewhartův diagram Model regresní přímky xˆ = 76, , i Pravděpodobnostní graf

62 Diagram s rozšířenými mezemi UCL 3 ˆ σ = x + + n LCL 3 ˆ σ = x n určeno pomocí regresního modelu (rozdíl krajních bodů /2) 76, ,4550 UCL=76,456 76,4525 X 76, , ,4450 LCL=76, Pořadí pozorování doplněny šikmé regulační meze rovnoběžné s trendovou přímkou ˆ σ ˆ σ UCL = b0 + bi + L LCL = b0 + bi L n n

63 Výkonnost procesů typu C Předpoklady celková variabilita procesu je podstatně větší než variabilita uvnitř podskupin okamžité rozdělení je normální, výsledné rozdělení normální být nemusí 2 metody (ČSN ISO 2747 (200). Princip stejný jako u regulačního diagramu s rozšířenými mezemi 2. Zúžení tolerančního pole

64 Výkonnost procesů typu C. přístup -rozšíření hodnoty jmenovatele o hodnotu 2 P p = USL LSL 6σ + 2 P pu = USL µ µ LSL PpL = 3σ + 3σ +

65 Výkonnost procesů typu C 2. přístup zúžení tolerance o hodnotu 2 P p = USL LSL 6σ 2 P pu = USL µ 3σ P pl µ LSL = 3σ

66 Výkonnost procesů typu C Odhad rozsahu změn střední hodnoty 2 (ČSN ISO 2747 (200)). metoda: 2 = max x min x j =, 2,..., k j j 2. metoda: pomocí ANOVA 2 ˆ A σ MSA MSE = n MSA a MSE - průměrné čtverce, které najdeme v tabulce ANOVA, n - rozsah podskupin

67 Ukázka 0 proces typu C2 (okamžité normální rozdělení a výsledné jednovrcholové rozdělení) podskupiny o rozsahu n = 5 předpis : 9,5± ± 0,2 mm - normalita okamžitých rozdělení byla ověřena pomocí reziduí e ij - - odhad pomocí metody ANOVA: 2 ˆ A σ MSA MSE n 2 = A ˆ σ = 0, ˆ σ = 0, 077 A 2 = 3 ˆ σ A = 3 0,077 = 0, 23

68 Ukázka 0 Výpočet indexů výkonnosti. metodou ˆ USL LSL 9,7 9,3 Pp = = =,339 6 ˆ σ ,03 + 0, 23 ˆ USL x 9, 7 9,5094 PpkU = = =, ˆ σ + 3 0, ,55 ˆ x LSL 9,5094 9,3 PpkL = = =, ˆ σ + 3 0, ,55

69 Ukázka 0 Výpočet indexů výkonnosti 2. metodou ˆ USL LSL 2 9,7 9,3 0, 23 Pp = = = 2, ˆ σ 6 0,0 3 P pku USL x 9, 7 9,5094 0,55 = = = 3 ˆ σ 3 0,03 2,25 ˆ x LSL 9,5094 9,3 0,55 PpkL = = = 2, ˆ σ 3 0,03

70 Literatura Clements, J. A.: Process Capability Calculations for Non-Normal Distributions. Quality Progress, 989, roč. 22, č. 9, s ČSN ISO 2747 Dietrich, E., Schulze, A.: Statistical Procedures for Machine and Process Qualification. Hanser, Cincinnati 200 Mitra, A.: Fundamentals of Quality Control and Improvement. John Wiley & Sons, Hoboken 2008 Montgomery, D. C.: Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons, New York 203

71 Děkujeme za pozornost.