9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost"

Transkript

1 Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé, oboustraé, příčié, zdálivé ad Pevá a volá závislost Pro pochopeí závislostí je potřebé pozat především pevou a volou závislost Závislost pevá Pevá závislost se obvykle vyskytuje u ěkterých přírodích jevů, kdy změa jedoho jevu způsobuje změu jevu druhého a to v přesě odpovídající itezitě. Například délka kovové tyče je ve fukčím vztahu závislá a teplotě, v geometrii plocha čtverce fukčě závisí a jeho straě a pod. Příklad: Pevá (fukčí, determiistická) závislost volý pád: s gt pozorovaé hodoty Čas [s] Obr. 9.1 Pevá závislost dráhy a čase při volém pádu Pozorovaými hodotami lze přesě proložit spojitou křivku o zámé rovici. Případé odchylky od křivky jsou způsobey pouze chybami měřeí. Počet aměřeých hodot eovlivňuje přesost závěrů. Situaci lze kdykoli přesě opakovat. 100

2 Poptávka po zboží [ks] Závislost volá Některé jevy mohou být a sobě závislé je volě, apř. závislost výosu plodiy a spotřebě hojiv, závislost poptávky a ceě zboží apod. I zde se projeví závislost, avšak vztah je více či méě volý. Změa jedoho jevu podmiňuje úroveň jiého jevu je s určitou pravděpodobostí a rověž itezita změy druhého jevu může být růzá. Tuto závislost můžeme zkoumat je při větším možství jevů. Volá (stochastická) závislost trží poptávka: 50 pozorovaé hodoty Cea zboží [Kč] Obr. 9. Volá závislost poptávky a cey zboží Všemi pozorovaými hodotami elze proložit křivku. Odchylky od ideálího průběhu závislosti jsou dáy idividuálími zvláštostmi jedotlivých případů. Iformace o závislosti se zpřesňují s přibývajícím počtem případů. Situaci se ikdy epodaří zovu přesě reprodukovat. Předmětem zájmu statistiky je volá závislost, která je typická pro sociálě ekoomické i mohé jié vysoce komplikovaé jevy. 101

3 9.. Klasifikace statistických závislostí Statistika se zabývá především zkoumáím volé závislosti. V rámci tohoto zkoumáí ale můžeme odhalit i závislosti pevé Podle druhu statistických zaků, můžeme závislosti čleit ásledově: korelačí závislost závislost mezi kvatitativími zaky (apř. vztah mezi spotřebou krmiva a dosahovaým přírůstkem u zvířat, mezi délkou klasu pšeice a počtem zr v klasu, mezi výosem plodiy a straě jedé a spotřebou hojiv), asociačí závislost závislost mezi kvalitativími alterativími zaky (apř. vztah mezi postřikem stromů a červivostí ovoce,), kotigečí závislost závislost mezi kvalitativími zaky možými (apř. citlivost růzých druhů zvířat a ěkteré stresové poděty, vliv růzých techologií a výos jedotlivých druhů obili) Veškeré závislosti můžeme rozdělit a závislosti příčié a závislosti zdálivé. Smysl zkoumat mají pouze závislosti příčié, kde vystupuje: jede jev jako příčia ezávislá proměá (X), druhý jev jako účiek závislá proměá (Y). Statistika zkoumá příčié volé závislosti Klasifikace statistických závislostí číselých zaků Každá závislost číselých zaků má dva vzájemě eoddělitelé atributy (vlastosti): itezitu závislosti - korelace. průběh závislosti - regrese, Statistika měří průběh a itezitu závislosti číselých zaků. Příčié závislosti číselých zaků klasifikujeme z růzých hledisek: a závislosti jedostraé a závislosti oboustraé (vždy však vzájemé), a závislosti přímočaré a křivočaré, ěkteré (zejméa přímočaré) a závislosti pozitiví a závislosti egativí (toto hledisko má pouze okrajový výzam), podle matematických fukcí použitých a zkoumáí průběhu závislosti a závislosti lieárí a závislosti elieárí, podle počtu příči (ezávislých proměých) a závislosti párové (jedoduché, s jedou ezávislou proměou) a závislosti mohoásobé (s ejméě dvěma současě působícími ezávislými proměými),atd. V praxi se většia úloh omezuje je a párové a lieárí ebo křivočaré závislosti. 10

4 Druhy korelačí závislosti: Podle počtu zaků: - jedoduchá (prostá) Y = f (X) - víceásobá Y = f (X 1, X,, X ) Podle typu regresí fukce: y i lieárí závislost y i elieárí závislost x i x i Podle směru regresí fukce: kladá (přímá) závislost záporá (epřímá závislost křivočará závislost y i y i y i x i x i x i Podle stupě závislosti (korelace) zaků: ezávislost volá závislost ižší stupeň vyšší stupeň pevá závislost y i y i y i y i x i x i x i x i Obr. 9.4 Příklady korelačí závislosti 103

5

6 9.3. Korelačí závislost korelačí aalýza Korelačí aalýza zkoumá korelačí závislost mezi kvatitativími (číselými) zaky. Při zkoumáí korelačí závislosti rozezáváme dva základí pojmy: Korelace = stupeň (těsost) závislosti. Regrese = průběh závislosti prostředictvím matematické fukce (zpravidla přímky), změa závislé proměé podle ezávisle proměé. Při malém počtu statistických jedotek je základem pro zkoumáí závislostí základí - datová tabulka, do které zazameáváme hodoty statistických zaků pro všechy statistické jedotky od i = 1 až po i =. Základí - datová tabulka a zkoumáí závislosti Tab. 9.1 Statistická jedotka Hodoty statistických zaků Zak x i Zak y i 1 x 1 y 1 x y... x y V této podobě jde je o zázam výsledků zjišťováí za čleý statistický soubor. Při velkém rozsahu dat je pracoví tabulka epraktická a epřehledá. Výhodější je v této situaci tzv. korelačí tabulka, v které jsou uvedey četosti kombiací obmě hodot obou zaků. Pokud jde o ezávislé proměé je možé vykoat tříděí podle proměé x i podle proměé y. Tab. 9. Korelačí tabulka a zkoumáí závislosti Zak x i Zak y i i y 1 y. y l x l x1 x 1. l x x l x y1 y.. 105

7 Počet letokruhů Příklad: Za 10 rodi máme údaje o počtu dětí v rodiě (proměá x) a velikosti bytu (proměá y) vyjádřeé počtem místostí. Tab. 9.3 Základí - datová tabulka Statistické zaky rodiy Rodia Počet dětí v rodiě (proměá x) Počet místostí (proměá y) Tab. 9.4 Korelačí tabulka Počet dětí (proměá x) Počet místostí (proměá y) Celkem Celkem Prostředkem grafické prezetace závislostí číselých zaků je korelačí bodový graf. Body v grafu představují jedotlivé statistické jedotky, kterým odpovídají obměy příslušých statistických zaků a osách x a y. Pozámka: Když se vyskyte více statistických jedotek se stejými obměami statistických zaků, body se v bodovém korelačím grafu překrývají. Pro lepší ázorost je možé v tomto případě použít pseudo-3d graf. Příklad: U ařezaých prke můžeme zkoumat závislost jejich tloušťky a počtu letokruhů , 0 1, 1, 4 1, 6 Tloušťka prka [cm] Obr. 9.3 Korelačí bodový graf a zkoumáí závislosti tloušťky prke a počtu jejich letokruhů Korelačí aalýza má dvě základí úlohy: korelačí úlohu a regresí úlohu. 1, 8, 0,, 4, 6 106

8 Korelačí úloha Aalytický ástroj korelace se může použít k testováí závislosti dvou číselých statistických zaků. Korelačí úloha spočívá ve zkoumáí těsosti korelačího vztahu. Závislost zameá, že hodoty jedoho zaku odpovídají přímo úměrě (kladá korelace) ebo eúměrě (záporá korelace) hodotám druhého zaku. Mírou korelace je koeficiet, ebo idex korelace r., který má hodoty od -1 do 1, udávající stupeň (úroveň) vztahu (závislosti) hodoceých statistických zaků. Pokud jsou hodoty obou zaků ezávislé, bude korelace blízká ule. V případě, že áhodé veličiy X a Y jsou kvatitativí áhodé veličiy je pro kokrétí hodoty (x 1,y 1 ), (x,y ),... (x,y ) Pearsoův korelačí koeficiet dá vztahem r i1 i1 ( x x)( y y) i ( x x) ( y y) i i i i1 Setkáváme se i s jedodušším vyjádřeím Pearsoova korelačího koeficietu sxy R =, s s kde s x je směrodatá odchylka proměé X, s y směrodatá odchylka proměé Y a s xy takzvaá kovariace proměých X a Y s xy = x y 1 1 ( x i x)( y i y) Podle hodoty Idexu (koeficietu) korelace určuje míru závislosti. Když bude mít Idex (koeficiet) korelace hodoty: r = 0,0 0, r = 0,3 0,4 r = 0,5 0,6 r = 0,7 0,8 r = 0,9 1,0 jedá se o žádou ebo velmi slabou závislost jedá se o slabou jedá se o průměrou závislost jedá se o silou závislost jedá se o velmi silou závislost Lieárí závislost dvou statistických lze postihout vyeseím proměých do grafu. V případě korelace estaovujeme rovici přímky závislosti (to je úlohou lieárí regrese), ale můžeme si přímku představit jako vyjádřeí lieárího vztahu a z odchylek bodů od přímky pak odhadout míru tohoto vztahu. 107

9 r = - 1 r = + 1 r = 0 r = + 0,8 108

10 9.3.. Regresí úloha Regresí úloha korelačí aalýzy má za cíl popsat průběh zkoumaého vztahu statistických zaků a použít její výsledky při progózách. Jde o to, aby jsme vyjádřili průběh korelačí závislosti t.j. změy závisle proměé a změách ezávisle proměé. Teto vztah azýváme regrese. Regresi popisujeme regresí fukcí. = regresí koeficiet = koeficiet spolehlivosti případé předpovědi, udávající, jak přesě odpovídají předpokládaé (očekávaé) hodoty, vyjádřeé regresí fukcí - spojicí tredu (tred, vývoj, směr, vyrováí měřeých veliči), skutečým datům. R Spojice tredu je ejspolehlivější v případě, že se hodota idexu (koeficietu) R spolehlivosti R blíží ebo rová hodotě 1. Přitom platí, že koeficiet spolehlivosti je čtvercem korelačího koeficietu. Přesost regresí fukce je přímo závislá a rozsahu souboru. Pomocí regresí aalýzy, prodloužeím spojice tredu, se dají staovit hodoty za, ebo před zobrazeými daty. Tím se dá provést matematická předpověď. Přesost matematického předvídáí je úměrá velikosti korelačí závislosti. K určeí parametrů (koeficietů) regresí fukce se používá metoda ejmeších čtverců. 109

11 Metoda miimálích čtverců Výzam metody miimálích čtverců Metoda miimálích čtverců je uiverzálí metodou staoveí (odhadu) parametrů b 0, b 1,..., b m fukce ahrazující původí aměřeé hodoty y i závisle proměé Y. Zameá to, že hledáme fukci, která má součet čtverců odchylek měřeých údajů od teoretických co ejmeší. V geometrické představě to zameá, že hledáme takovou křivku, která co ejtěsěji přiléhá k jedotlivým bodům. Fukce této křivky by měla být co ejjedodušší, aby se dala sado používat k výpočtu dalších potřebých hodot. Tuto fukci azýváme regresí fukcí. Původě ezámé koeficiety b j jsou parametry regresí fukce. Výběr typu fukce (tj. apř. kvadratická, lomeá apod.) je v kompeteci řešitele úlohy. Metoda miimálích čtverců aleze pak parametry ejlepší fukce předem zvoleého typu. každé pozorovaé hodotě y i odpovídá hodota vypočteá y i čtverec odchylky pozorovaé a vypočteé hodoty závislé proměé hodoty zavislé promeé Y pozorovaé hodoty závislé proměé y i regresí fukce y hodoty ezávislé proměé X Obr. 9.7 Grafické zázorěí metody kritéria miimálích čtverců 110

12 Metoda miimálích čtverců miimalizuje součet čtverců odchylek pozorovaých (aměřeých) hodot závisle proměé a zvoleé regresí fukce. Spočívá tedy v hledáí takové regresí fukce pro kterou bude platit vztah yi y i mi i1 Platí pro fukce lieárí i elieárí, jedoduché i víceásobé. Je-li rozsah souboru rove, je kritérium miimálích čtverců m ( yi yi ) [ yi b j f j ( xi )] i1 i1 j 0 mi. Dá se ukázat, že vyhovuje-li určitá fukce kritériu miimálích čtverců, splňuje automaticky též ( y i y i ) 0 (součet kladých a záporých odchylek kolem i1 regresí fukce se kompezuje). Tato podmíka však regresí fukci eurčuje jedozačě. Existuje jediá regresí fukce zvoleého typu, která pro kokrétí data vyhovuje podmíce miimálích čtverců. Y y i y i X Obr. 9.8 Grafické zázorěí kritéria miimálích čtverců 111

13

14 Proceta Základí typy regresích fukcí a jejich aplikace Regresí fukce - spojice tredů může mít růzý tvar. Nejčastěji se používají fukce: lieárí, expoeciálí, mociá, logaritmická, polyomická, Vyrováí lieárí fukcí. Lieárí spojice tredu je přizpůsobeá přímka používaá u jedoduchých lieárích moži dat. Data jsou lieárí, jestliže průběh jejich datových bodů připomíá přímku. Lieárí spojice tredu obvykle zobrazuje, že ěco roste ebo klesá kostatí měrou y a bx Příklad: Vyrováí vývoje výdajů a vědu z HDP lieárí fukcí,5 Proceta z HDP a vědu a výzkum Slovesko EU 1,5 y = 0,03x - 44,115 R = 0, y = -0,05x + 50,645 R = 0,899 0, Roky Obr. 9.9 Porováí vývoje podílu vědy z HDP SR a EU 113

15 Počet požárů Vyrováí mociou fukcí Mociá spojice tredu je křivka používaá u dat porovávajících stoupající hodoty aměřeé v určitých itervalech. Například zrychleí auta v itervalech po 1 sekudě. Mociou spojici tredu elze vytvořit, jestliže data obsahují ulové ebo záporé hodoty. b y ax Vyrováí logaritmickou fukcí Logaritmická spojice tredu je přizpůsobeá křivka používaá u dat, která rychle stoupají ebo klesají a postupě se vyrovávají. U logaritmické spojice tredu je možé použít kladé i záporé hodoty. y al( x) b Vyrováí polyomickou fukcí Polyomická spojice tredu je křivka používaá u dat, která kolísají. a edají se tedy aproximovat jedodušší fukcí. Stupeň polyomu může být urče počtem kolísáí v datech ebo počtem zakřiveí (maxim a miim) v křivce. Stupeň má obvykle jede vrchol. Stupeň 3 má obvykle jede ebo dva vrcholy. Stupeň 4 má obvykle až tři vrcholy. y a b x 6 1 b x... b6 x Příklad: Vyrováí počtu požárů za roky polyomem 0 50 Počty požárů ve stavebictví v ČR 00 y = 1,48x x + 6E+06 R = 0, Roky Obr. 9.9 Vývoj počtu požáru za roky

16 Počet požárů Úrazy Vyrováí expoeciálí spojicí Expoeciálí spojice tredu je křivka, která se používá v případě, že hodoty dat stoupají ebo klesají ve stále větších krocích. Tuto spojici elze vytvořit, jestliže data obsahují ulové ebo záporé hodoty. bx y ae Příklad Další graf udává statistický soubor vytvořeý z reálě vysledovaých údajů v letecké dopravě. Počet smrtelých úrazů připadajících a 1 milio alétaých kilometrů je vysledová v rocích 1950 až 005 Soubor byl vyrová expoeciálí fukci. Koeficiet spolehlivosti R = je dost vysoký, aby se expoeciálí fukce mohla použít pro statistické předvídáí. 50 Graf smrtelých úrazů Počty požárů ve stavebictví v ČR y = 5E+7e -0,08443x R = 0, y = 1,48x x + 6E+06 R = 0, Roky Roky Obr. 9.9 Vývoj smrtelých úrazů v letecké dopravě a 1 mil. alétaých kilometrů za roky Předvídaé údaje jsou esmírě ceé iformace pro strategii krizového pláováí. Tyto a obdobě vyhodoceé další vysledovaé iformace se dají aplikovat a každé letiště. To umožňuje připravit odpovídající dimezi místích záchraých sil a prostředků, připravit potřebou kapacitu zdravotických a techických zařízeí, orgaizaci záchraé hasičské i lékařské služby, vytvořit si obraz o řídících pracích apod. 115

17 9.4. Asociačí závislost Asociačí závislost je závislost mezi dvěma kvalitativími alterativími (dvojými) zaky: Tab. 9.5 Základí - datová tabulka a zkoumáí asociačí závislosti přítomost zaku epřítomost zaku zak A a zak B b Zak A Všeobecá asociačí tabulka Zak B b β Celkem a ab aβ a α αb αβ α Celkem b β Tab. 9.6 Koeficiet asociace Q ab ab ab a a b b Koeficiet korelace Odchylka od ezávislosti R ab ab ab a a a b b b Příklad: Soubor pracovíků podiku B, rok 001, = 450 alterativí zaky: A očkováí, B oemocěí Oemocěí (B) Očkováí (A) ao b e ao a e Koeficiet asociace Q ab ab ab a a b b , Koeficiet asociace ukazuje vysoký stupeň účiosti očkováí. 116

18 9.5. Kotigečí závislost Kotigečí závislost mezi kvalitativími možými zaky Všeobecá kotigečí tabulka Tab. 9.7 Zak A a a a a 1 i k Celkem b 1 11 i1 Zak B b b j b l 1 1 i 1 j j k1 k kj kl 1 j l ij 1l l il Celkem 1 i k Čtvercová kotigece k l ij k i1 j1 i j i1 j1 i j l i ij j k l ij i1 j1 i j Čuprovův koeficiet kotigece K k 1l 1 117

19 Příklad: U 350 zákazíků byla hodocea spokojeost s poskytovaými službami vybraé firmy. Tab. 9.7 Kotigečí tabulka a zkoumáí závislosti spokojeosti a využíváí služeb zákazíky Zákazíci Využíváí služeb Spokojeost Celkem se službami firmy ao e zřídka často velmi často Celkem ( ) , K ,7 (3 1)( 1) 0,747 Z výsledku vyplývá, že existuje silý vztah (závislost) mezi spokojeostí se službami firmy a frekvecí jejich využíváí. 118

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

K čemu slouží regrese?

K čemu slouží regrese? REGRESE K čemu slouží regrese? C = Ca + c. Y C = 00 + 0,6. Y + e Budeme zjišťovat jak jeda proměá (ezávislá) Ovlivňuje jiou proměou (závislou) C Y 950 1000 910 150 1130 1500 1150 1750 1475 000 1550 50

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Lekce 2 Jednoduchý lineární regresní model

Lekce 2 Jednoduchý lineární regresní model Lekce 2 Jedoduchý lieárí regresí model Co si řekeme v této lekci Trochu opáčko miulé lekce Sezámíme se s jedoduchým regresím modelem Vysvětlíme si co je to regrese Naučíme se jej iterpretovat Metoda ejmeších

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů. 1. Příklad Hodíme 60krát šestistěou hrací kostkou. Jedotlivé stěy padly v ásledujícím poměru: 7:9:10:6:15:13. Proveďte test a 5% hladiě výzamosti, zda je kostka v pořádku. H 0 : π 1 = 1/6, π = 1/6, π 3

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

523/2006 Sb. VYHLÁŠKA

523/2006 Sb. VYHLÁŠKA 523/2006 Sb. VYHLÁŠKA ze de 21. listopadu 2006, kterou se staoví mezí hodoty hlukových ukazatelů, jejich výpočet, základí požadavky a obsah strategických hlukových map a akčích pláů a podmíky účasti veřejosti

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měřeí kvality Služeb Dodavatel a Objedatel se dohodli a ahrazeí Přílohy C - Systém měřeí kvality Služeb Obchodích podmíek Smlouvy o službách touto Přílohou

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ. Diplomová PRÁCE. Závislost HDP na ekonomických faktorech

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ. Diplomová PRÁCE. Závislost HDP na ekonomických faktorech ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Diplomová PRÁCE Závislost HDP a ekoomických faktorech Praha, 2015 Autor: Jakub Šagala 1 Prohlášeí Prohlašuji, že jsem svou diplomovou prací vypracoval

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více