Řízení jakosti a spolehlivosti. ŘÍZENÍ SPOLEHLIVOSTI - IV Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček
|
|
- Lubomír Pokorný
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Řízení jakosti a spolehlivosti ŘÍZENÍ SPOLEHLIVOSTI - IV Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček
2 Obsah prezentace Logické operace Pravidla pro práci s pravděpodobností Objekty Proces obnovy Ukazatele bezporuchovosti Ukazatele pohotovosti Ukazatele udržovatelnosti Základní typy struktur systémů
3 Matematické operace s jevy Logické operace 1) jestliže A B a B C, potom A C 2) jestliže A B a zároveň B A, potom A = B 3) A B A, a zároveň A B B jestliže C A a C B, potom C A B 4) A A B; B A B jestliže A C a B C, potom A B C 5) Jev, který nastoupí právě tehdy, když nenastane jev A nazýváme jevem doplňkovým (komplementárním) k jevu A. 6)Jev, který spočívá v nastoupení jevu A a současně v nenastoupení jevu B nazýváme rozdílem jevů A a B; symbolicky zapisujeme relaci A \ B. 7) Jev, který musí při každém pokusu nutně nastat nazýváme jevem jistým a označujeme Ω. Jev, který nastat nemůže nazýváme jevem nemožným a označujeme. 8) Jevy A a B, které se vzájemně vylučují, tzn. jejichž průnik je jevem nemožným, A B =, nazýváme jevy neslučitelnými nebo disjunktními.
4 Matematické zákony pro operace s jevy (Booleova algebra) 1) Zákon komutativní (zaměnitelnosti), platí pro sjednocení a průnik jevů: A B = B A A B = B A 2) Zákon totožnosti: A A = A A A = A 3) Zákon asociativní (slučitelnosti) - operace sjednocení a průniku jevů jsou slučitelné) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 4) Zákon distributivní (rozdělitelnosti) - operace sjednocení a průniku jevů jsou rozdělitelné): A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
5 5) Zákon absorpční: A (A B) = A A (A B) = A 6) Komplementy k jevům: A A = A A = Ω 7) Operace s a Ω: A = A = A Ω A = A Ω A = Ω
6 Pravděpodobnost a její axiomy 1) Axiom 1: Pravděpodobnost náhodného jevu A S je nezáporné číslo, nejvýše rovné jedné, tedy: 0 P(A) 1 2) Axiom 2: Pro libovolnou posloupnost disjunktních (A i A j = pro všechna i j) náhodných jevů A 1, A 2, A 3,... (Ai S) platí: P( U A ) = i= 1 i i= 1 P( A ) i Pravidla pro práci s pravděpodobností Tento axiom někdy bývá označován jako věta o sčítání pravděpodobností. 3) Axiom 3: Je-li Ω jistý jev, pak jeho pravděpodobnost je rovna 1, tedy P(Ω) = 1
7 Vlastnosti pravděpodobnosti
8 Mějme jevy A a B. Pravděpodobnost nastoupení jevu A je P(A), pravděpodobnost nastoupení jevu B je P(B). Součet pravděpodobností Součin pravděpodobností ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P + = + Součet a součin pravděpodobnosti ) (. ) ( ) ( B P A P B A P =
9 Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost jevu A je P(A) Pravděpodobnost jevu B je P(B) Podmíněná pravděpodobnost udává pravděpodobnost že nastane jev A, za podmínky že zároveň nastal jev B. Podmíněnou pravděpodobnost označujeme P( A B) P( A B) Vypočítáme ji P( A B) = P( B) Příklad hod 2 kostkami. Jev A nastane, pokud součet bodů bude 4, jev B nastane, jestliže na první kostce bude lichý počet ok. 3 P( A) = 36 2 P( A B) = 36 P( A B) P( A B) = P( B) = P( B) =
10 Objekty Základní pojmy Systém funkční celek, který se dělí na jednotlivé objekty. Objekt jakákoliv součást, zařízení, část systému, funkční jednotka, přístroj nebo systém, s kterým je možné se individuálně zabývat. Objekty se jinak nazývají např. funkční blok, součástka, komponenta apod. Objekty rozdělujeme na objekt opravovaný a objekt neopravovaný. Opravovaný objekt opravitelný objekt, který se po poruše skutečně opravuje. Důležité je slovo skutečně. Každý objekt lze opravit, ale jenom malou část objektů skutečně opravujeme. Neopravovaný objekt objekt, který se po poruše neopravuje.
11 Příklad Systémem může být například osobní automobil. Objektem v automobilu může být například: Brzdová soustava, motor, chladící soustava, systém topení, převodovka, palubní deska, interiér. Každý objekt je možno dále rozdělit na další objekty. Například motor na Karburátor příp. vstřikovací jednotka, ojnice, písty, válce, vložky válců, zapalovací svíčky, kabeláž. Opravovaný objekt na motoru karburátor, válce (oprava výbrusem) Neopravovaný objekt na motoru svíčky Zpravidla se zavádí členění na: systém, prvky, resp. komponenty systému.
12 Stavy objektu Prostoj Provozuneschopný stav Provoz Nevyužitý stav Provozuneschopný stav z vnějších příčin Provozuneschopný stav z vnitřních příčin Preventivní údržba Poruchový stav Použitelný stav Nepoužitelný stav Provoz stav, kdy objekt plní požadovanou funkci. Prostoj stav, kdy objekt neplní požadovanou funkci. Nevyužitý stav prostoj objektu v použitelném stavu v době nepožadované funkce. Provozu neschopný stav stav objektu charakterizovaný jeho neschopností plnit z jakýchkoliv důvodů požadovanou funkci.
13 Porucha Porucha ukončení schopnosti objektu plnit požadovanou funkci. Poruchový stav stav objektu charakterizovaný neschopností plnit požadovanou funkci, kromě neschopnosti během preventivní údržby nebo jiných plánovaných činností, nebo způsobený nedostatkem vnějších prostředků. Každá porucha může vzniknout náhodně v čase. Při větším počtu zařízení lze vypočítat střední dobu do poruchy. Pomocí střední doby do poruchy lze vypočítat parametry statistického rozdělení. Statistické rozdělení se používají pro popis doby do poruchy, i pro popis doby do obnovy objektu. Nejčastěji se používá exponenciálního rozdělení. Má pouze jeden parametr λ. Pravděpodobnost, že u jednoho neopravitelného zařízení bude porucha v časovém intervalu (t, t+ t), za předpokladu, že v čase t byl objekt v provozuschopném stavu je konstantní. Tato pravděpodobnost je nazývána intenzitou poruch.
14 Proces obnovy V praxi se vyskytují případy, kdy prvky (systémy) jsou charakterizovány diskrétními stavy a spojitým časem. Systém se může v libovolném okamžiku nacházet v jednom ze dvou stavů a přechody mezi nimi se náhodně střídají. Tento proces, který bývá označován jako prostý proces obnovy. Stav Nefunkční stav Funkční stav Porucha Obnova Porucha Čas
15 Struktura časových údajů pro kvantitativní analýzu spolehlivosti objektů Doba použitelného stavu τ u ; ; MUT Doba nepoužitelného stavu MDT; MADT Doba využitého (obsazeného) stavu t vs Doba provozu MTTF MTBF Doba nevyužitého stavu; nevyužitá doba tnvs Doba pohotovostního stavu tpst Doba nepožadované funkce tnf Doba provozuneschopného stavu z vnějších příčin tpnsvep Doba provozuneschopného stavu z vnitřních příčin t pnsvip Doba poruchového stavu t prs Doba do obnovy MTTR Doba nezjištěné - ho poruchového stavu Doba administrativního zpoždění Doba údržby po poruše MCMT Doba preventivní údržby t pu MUFT MAD Doba údržby t u Doba provozuschopného stavu t pss Doba provozuneschopného stavu t pns
16 Detailní rozklad doby údržby o ačová deta o o adu doby úd by: Doba údržby t u Doba preventivní údržby t pu Doba údržby po poruše ξ r ; MCMT Doba Doba aktivní údržby MAMT Doba logistického zpoždění MLD Doba aktivní preventivní údržby t apu Doba technického zpoždění MTD Doba aktivní údržby po poruše MACMT Doba lokalizace porouchané části t lprc Doba aktivní opravy t aopr Doba opravy MRT Doba kontroly t kontr logistického zpoždění MLD
17 Přechod mezi jednotlivými stavy je charakterizován dvěma základními parametry: okamžitou intenzitou poruch λ (t) okamžitou intenzitou oprav µ (t) Tyto parametry vyjadřují frekvenci střídání stavů. Parametry přechodu se obecně mohou měnit s časem, zpravidla se předpokládá, že jsou konstantní. Zjednodušený diagram přechodu mezi stavy funkční stav označme symbolem 1 nefunkční stav symbolem 0 λ µ 0 1
18 Ukazatele bezporuchovosti Bezporuchovost - anglicky reliability Schopnost objektu plnit požadovanou funkci v daných podmínkách a v daném časovém intervalu. Ukazatele bezporuchovosti Pravděpodobnost bezporuchového provozu Intenzita poruch Střední doba do poruchy Ukazatele bezporuchovosti lze použít jak pro opravované objekty, tak pro neopravované objekty.
19 Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t 1, t 2 ) Pravděpodobnost, že objekt může plnit požadovanou funkci v daných podmínkách v daném časovém intervalu (t 1, t 2 ). Obecně se předpokládá, že objekt je ve stavu schopném plnit požadovanou funkci na začátku časového intervalu. Laicky udává pravděpodobnost s jakou bude objekt fungovat v čase (t 1, t 2 ), pokud na začátku intervalu byl normálně funkční. Střední doba provozu mezi poruchami MTBF Očekávaná doba provozu mezi poruchami Pro exponenciální rozdělení se vypočte jako MTBF=1/λ Podobně se definují: Střední doba do poruchy MTTF Střední doba do první poruchy MTTFF
20 Ukazatele pohotovosti Ukazatele pohotovosti lze využít pouze pro opravované objekty. Podobně jako u bezporuchovosti se pro konstantní intenzitu poruch používala λ, pro konstantní intenzitu oprav se používá µ. Funkce okamžité pohotovosti [nepohotovosti] A(t) [U(t)] Pravděpodobnost, že objekt je [není] ve stavu schopném plnit v daných podmínkách a v daném časovém okamžiku požadovanou funkci, za předpokladu, že požadované vnější prostředky jsou zajištěny. Funkce okamžité pohotovosti je funkce omezená 0 a 1. Laicky funkce okamžité pohotovosti udává s jakou pravděpodobností bude [nebude] výrobek fungovat, pokud o něm víme pouze poměr doby bezporuchového a poruchového stavu.. Funkce okamžité pohotovosti je velice často blízká 1.
21 Pravděpodobnost, v jakém stavu se objekt vyskytuje: funkční (provozuschopný) stav - funkce okamžité pohotovosti A(t) nefunkční (neprovozuschopný) stav - funkce okamžité nepohotovosti U(t) Funkce A(t) a U(t) jsou vzájemně komplementární, součet v daném okamžiku je roven jedné. Průběh funkce okamžité pohotovosti závisí na počátečním stavu hodnoceného objektu. čas (t = 0) => objekt ve funkčním nebo v nefunkčním stavu. A 1,0 A(t = 0) = 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,857 0,9 0,87 0,861 0,858 0,78 0,834 0,6 0,3 0,2 A ( t = 0) = 0 0, Č asový interval
22 A Okamžitá pohotovost objektu (odvození platí jen pro exp. rozdělení) V čase t=0 je objekt v provozuschopném stavu A(t=0) = 1. µ λ A( t) = + exp[ ( λ + µ ) t] λ + µ λ + µ s rostoucím časem se blíží k ustálené hodnotě dané vztahem: µ A( ) = λ + µ Vztahy mezi ukazateli pohotovosti A(t) A ( t 1, t 2 ) A( ) t 1 t 2 t
23 Asymptotická pohotovost [nepohotovost] A, [U] Asymptotická pohotovost [nepohotovost] je limita okamžité pohotovosti [nepohotovosti], pro účely modelování, existuje-li, jestliže se doba blíží nekonečnu. Obecně je to ustálená hodnota pohotovosti [nepohotovosti]. Má nejjednodušší výpočtové vztahy a u velké většiny případů je ve shodě s realitou. Nejvíce se používá při praktických výpočtech µ MTBF A = = λ MTTR U = = λ + µ MTBF + MTTR λ + µ MTBF + MTTR Střední doba do obnovy MTTR Očekávaná doba do obnovy Vypočte se MTTR=1/µ Hodnota A tedy vyjadřuje pravděpodobnost, že objekt, který je v ustáleném provozním režimu, bude v libovolném časovém okamžiku v provozuschopném stavu. Hodnoty pohotovosti jsou určeny dvěma složkami bezporuchovostí a udržovatelností. U provozovaných zařízení lze pohotovost zvyšovat prakticky jen na složce udržovatelnosti.
24 Ukazatele udržovatelnosti Udržovatelnost - schopnost objektu v daných podmínkách používání setrvat ve stavu nebo vrátit se do stavu, v němž může plnit požadovanou funkci, jestliže se údržba provádí v daných podmínkách a používají se stanovené postupy a zdroje. Některé ukazatele udržovatelnosti - intenzita opravy (okamžitá) (t) -střední intenzita opravy (t1, t2) -střední doba opravy -střední doba do obnovy -střední pracnost údržby µ µ MRT MTTR t pú
25 Základní typy struktur systémů Přehled typů zapojení Sériové zapojení Porucha každého prvku vyvolá poruchu celého systému. Nejhorší možné zapojení z pohledu spolehlivosti. Paralelní zapojení Porucha všech prvků vyvolá poruchu celého systému. Nejlepší možné zapojení z pohledu spolehlivosti. Systém m z n K poruše systému dojde při poruše minimálně m z n prvků. Např. 2 ze 3. Při snímání teploty 3 různými teploměry minimálně 2 musí udávat nesprávnou hodnotu. Sérioparalelní zapojení systém, který lze rozdělit na sériové a paralelní zapojení. Obecné zapojení nejobecnější systém, který lze rozdělit na sériové, paralelní a m z n zapojení.
26 Příklad zapojení sériové paralelní I i N O 1 2 smíšené I i O I 1 I III II O m z n 1 N I 2 2/3 O 3
27 Sériový systém Sériovou strukturou nazýváme takové funkční uspořádání systému, bez ohledu na jeho konkrétní konstrukční a technologické provedení, platí, že k poruše systému dojde při poruše jakéhokoliv komponenty. Komponenty jsou řazeny za sebou. Porucha každé komponenty vyvolá poruchu celého systému. Systém je v bezporuchovém stavu jen tehdy, pokud v bezporuchovém stavu jsou všechny komponenty. Podle schématu fyzického zapojení nemusí být všechny komponenty v typicky v sériovém zapojení (mohou být zapojeny i paralelně). Pro funkci je třeba bezporuchového stavu všech komponent, systém je v sériovém zapojení z hlediska bezporuchovosti. Pokud však dojde k poruše na libovolné komponentě dojde zároveň také k poruše systému.
28 Závislost bezporuchovosti sériového systému na bezporuchovosti komponent
29 Příklad sériového systému Porucha každé komponenty způsobí poruchu celého funkčního bloku. - sériové zapojení z hlediska bezporuchovosti
30 Paralelní systém Paralelní strukturou nazýváme takové funkční uspořádání systému, bez ohledu na jeho konkrétní konstrukční a technologické provedení, platí, že k poruše systému dojde až při současné poruše všech jeho komponent. 1 I 2 i O N K poruše systému dojde až při současné poruše všech jeho komponent. Paralelní systém se nachází v bezporuchovém stavu, je-li v bezporuchovém stavu alespoň jedna jeho komponenta. V poruchovém stavu se systém nachází, jsou-li v poruchovém stavu současně všechny jeho komponenty.
31 Závislost bezporuchovosti paralelního systému na bezporuchovosti komponent
32 Paralelní systém Paralelní zapojení komponent představuje co do číselné hodnoty odhadu pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému nejlepší případ. Oprávněnost použití paralelního modelu je třeba v každém jednotlivém případě důkladně posoudit. Neodůvodněná aplikace paralelního modelu může vést ke značně zkreslenému hodnocení bezporuchovosti systému tak, že mu bude přisuzována podstatně vyšší úroveň bezporuchovosti, než kterou reálně má (případ poruch se společnou příčinou). Podobně jako u sériového systému i v případě paralelního systému hraje významnou roli závislost poruch komponent systému na společné příčině
33 Příklad paralelního systému na signálu sanitky Požadovaná funkce varovný signál - houkání nebo blikání majákem je splněna obvodem světelné nebo akustické signalizace. Jedná se o paralelní systém. Pro funkci varovný signál - houkání a zároveň blikání majákem musí být v pořádku oba obvody. Jedná se o sériový systém.
34 Systém m z n Systém m dobrých z n je takový systém, který má n>m prvků a k jehož bezporuchové funkci musí být v bezporuchovém stavu alespoň m prvků v libovolné kombinaci. Systému se někdy říká systém, pracující v logice m z n. Systém m z n se používá například u čidel, kdy se obvykle používá zapojení 2 ze 3. Systém je v poruše, pokud dvě nebo všechna tři čidla jsou v poruše. 1 I 2 2/3 O 3 Systém m z n je často navrhován tak, aby každá část zálohování byla založena na jiném funkčním principu (diverzita).
35 Systém m z n Výhody: Větší bezpečnost než při paralelním zálohování. Při paralelním zálohování může vzniknout porucha se společnou příčinou a tato porucha vyřadí všechny prvky. Nevýhody: Nákladnější projekt a realizace Použití zabezpečovací systémy Provoz železničních drah Chemické provozy Energetické provozy
36 Smíšené a obecné systémy Smíšené systémy lze rozložit na jednotlivé sérioparalelní struktury. Pro výpočet R(t) smíšených systémů se postupuje dekompozicí na jednodušší úrovně zapojení a po výpočtu jejich dílčích R(t) se tyto agregují do R(t) úplného systému. Pro výpočet R(t) systémů jako celku se využívá numerická matematika. Každou obecnou strukturu lze rozdělit na sériové, paralelní a m z n zapojení a vyšetřovat je odděleně.
37 Příklad funkčního zapojení spínačů Mějme 2 spínače, které jsou fyzicky zapojeny paralelně. Případ 1 všechny spínače jsou otevřeny a mají sepnout. Ze spolehlivostního hlediska jsou v paralelním zapojení. Stačí, aby sepnul jeden spínač a funkce je vykonána. Případ 2 - všechny spínače jsou sepnuty a mají rozepnout. Ze spolehlivostního hlediska jsou v sériovém zapojení. Pokud jeden spínač nerozepne bude vstup propojen s výstupem a funkce nebude vykonána. V návrhu je vždy nutno uvažovat jakou funkci má zařízení plnit.
38 Děkuji Vám za pozornost.
Řízení jakosti a spolehlivosti. ŘÍZENÍ SPOLEHLIVOSTI - XI Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček
Řízení jakosti a spolehlivosti ŘÍZENÍ SPOLEHLIVOSTI - XI Pavel Fuchs David Vališ Josef Chudoba Jan Kamenický Jaroslav Zajíček Obsah prezentace Údržba a její vliv na spolehlivost Hodnocení nákladů životního
VíceSPOLEHLIVOST A PREVENTIVNÍ ÚDRŽBA
ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novotného lávka 5, 116 68 Praha 1 SPOLEHLIVOST A PREVENTIVNÍ ÚDRŽBA MATERIÁLY Z XXIV. SETKÁNÍ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST Praha, prosinec 2006 OBSAH VYUŽITÍ UKAZATELŮ SPOLEHLIVOSTI
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Vícezpravidla předpokládá, že hodnoty intenzity poruch a oprav jsou konstantní.
Pohotovost a vliv jednotlivých složek na číselné hodnoty pohotovosti Systém se může nacházet v mnoha různých stavech. V praxi se nejčastěji vyskytují případy, kdy systém (nebo prvek) je charakterizován
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceSpolehlivost. INP 2008 FIT VUT v Brně
Spolehlivost INP 2008 FIT VUT v Brně 1 Obsah Definice, ukazatele Kombinatorické modely Zvyšování spolehlivosti systému - Bezpečné systémy a Systémy odolné proti poruchám Poznámky Příklady na cvičení 2
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceA6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti
A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky Markovovy
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceŘízení rizik v rámci životního cyklu objektu
Řízení rizik v rámci životního cyklu objektu Jaroslav Zajíček Technická univerzita v Liberci Oddělení spolehlivosti a rizik jaroslav.zajicek@tul.cz +420 606 121 168 Obsah 1. Úvod management rizika 2. Porucha
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Víceotázka body
Test z odborného základu studijního programu BSV AR 06/07 Identifikační číslo: Počet bodů Hodnocení Počet otázek: 0 Čas : 60 minut Bodové hodnocení otázek: OTÁZKY: otázka body 0 0 0 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceSTOCHASTICKÝ MODEL SPOLEHLIVOSTI MODERNIZOVANÉ MOTOROVÉ LOKOMOTIVY STOCHASTIC RELIABILITY MODEL OF MODERNIZED DIESEL LOCOMOTIVE
STOCHASTICKÝ MODEL SPOLEHLIVOSTI MODERNIZOVANÉ MOTOROVÉ LOKOMOTIVY STOCHASTIC RELIABILITY MODEL OF MODERNIZED DIESEL LOCOMOTIVE Jan Famfulík 1 Anotace: Modernizace motorových lokomotiv je v současnosti
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VícePřehled technických norem z oblasti spolehlivosti
Příloha č. 1: Přehled technických norem z oblasti spolehlivosti NÁZVOSLOVNÉ NORMY SPOLEHLIVOSTI IDENTIFIKACE NÁZEV Stručná charakteristika ČSN IEC 50(191): 1993 ČSN IEC 60050-191/ Změna A1:2003 ČSN IEC
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceTestování a spolehlivost. 4. Laboratoř Spolehlivostní modely 1
Testování a spolehlivost ZS 2011/2012 4. Laboratoř Spolehlivostní modely 1 Martin Daňhel Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologí ČVUT v Praze Příprava studijního programu Informatika
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VíceA6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2
A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2 Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky
VíceČíselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?
Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VíceAlgoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.
Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceUniverzita Pardubice Dopravní fakulta Jana Pernera. Vyhodnocení údržby zabezpečovacího zařízení s ohledem na plnění požadavků RAMS.
Univerzita Pardubice Dopravní fakulta Jana Pernera Vyhodnocení údržby zabezpečovacího zařízení s ohledem na plnění požadavků RAMS Vladimír Polívka Bakalářská práce 2009 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VíceLogické řízení. Náplň výuky
Logické řízení Logické řízení Náplň výuky Historie Logické funkce Booleova algebra Vyjádření Booleových funkcí Minimalizace logických funkcí Logické řídicí obvody Blokové schéma Historie Číslicová technika
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné
VíceÚdržba vozidel. 1. Základní pojmy
Údržba vozidel 1. Základní pojmy Optimální jakost konstrukce Náklady s rostoucí jakostí konstrukce rostou progresivně a efekt z užívání výrobku roste degresivně. Mimo vyznačené pásmo bude běžný (neluxusní)
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceZáklady logického řízení
Základy logického řízení Určeno pro studenty bakalářských studijních programů na FBI Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Bezkontaktní logické řízení 11/2007 Doc.Ing. Václav Vrána, CSc. 1 1. Úvod
VíceSPOLEHLIVOST TECHNICKÝCH SYSTÉMŮ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION
VíceROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl
Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceÚvod do modelování a simulace. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Úvod do modelování a simulace systémů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Základní pojmy Systém systémem rozumíme množinu prvků (příznaků) a vazeb (relací) mezi nimi, která jako celek má určité vlastnosti. Množinu
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
Víceotázka body 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 10
Test z odborného základu studijního programu BSV AR 05/06 Identifikační číslo: Počet bodů Hodnocení Počet otázek: 0 Čas : 60 minut Bodové hodnocení otázek: OTÁZKY: otázka body 0 0 3 0 0 5 0 6 0 7 0 8 0
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceSpolehlivost soustav
1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePŘÍSPĚVEK K PLÁNOVÁNÍ ÚDRŽBY ŽELEZNIČNÍCH VOZIDEL CONTRIBUTION TO THE MAINTENANCE PLANNING OF RAIL VEHICLES
PŘÍSPĚVEK K PLÁNOVÁNÍ ÚDRŽBY ŽELEZNIČNÍCH VOZIDEL CONTRIBUTION TO THE MAINTENANCE PLANNING OF RAIL VEHICLES Jan Famfulík 1 Anotace:Při plánování údržby železničních vozidel máme k dispozici určité (omezené)
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VícePojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Markovovy modely
Statistika a spolehlivost v lékařství Markovovy modely Markovovy modely Markovovy modely lze použít pro výpočet spolehlivosti složitých soustav jak s opravami, tak bez oprav. Předpokladem je, že doby poruch/oprav
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
Více