Komplexní analýza 1. Ladislav Mišík
|
|
- Jan Beran
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Komplexní analýza 1 Ladislav Mišík
2 2
3 Obsah 1 Komplexní čísla Rozšíření tělesa reálných čísel Operace s komplexními čísly Geometrie komplexních čísel Umocňování a odmocňování komplexních čísel Limita posloupnosti komplexních čísel Řady komplexních čísel Nekonečno a stereografická projekce* Některé typy množin v rovině Krátké shrnutí Komplexní funkce komplexní proměnné Definice a základní vlastnosti Limita funkce Spojitá křivka Krátké shrnutí Diferenciální počet komplexních funkcí Derivace a diferenciál Pravidla pro počítání derivací Nutná a postačující podmínka pro diferencovatelnost komplexní funkce Analytičnost komplexní funkce Reálná a imaginární složka analytické funkce Konformní zobrazení* Krátké shrnutí
4 4 OBSAH 4 Elementární funkce Úvod Lineární lomená funkce Mocninná funkce s přirozeným exponentem Polynomická funkce (polynom) Racionální funkce Odmocnina s přirozeným stupněm Exponenciální funkce Logaritmická funkce Trigonometrické funkce Hyperbolické funkce Inverzní trigonometrické funkce Obecné exponenciální a mocninné funkce* Obecná mocninná funkce* Obecná exponenciální funkce* Krátké shrnutí
5 Kapitola 1 Komplexní čísla V této kapitole se naučíte zejména provádět algebraické operace s komplexními čísly; určit modul a argument komplexního čísla; zapsat komplexní číslo v geometrickém tvaru; počítat mocniny a odmocniny komplexních čísel. Klíčová slova: Komplexní číslo, algebraický tvar, goniometrický tvar, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota (modul), argument komplexního čísla, Moivreova věta. 1.1 Rozšíření tělesa reálných čísel Je známo, že v oboru reálných čísel není možné řešit některé algebraické rovnice. Nejjednodušším příkladem rovnice, která nemá reálné řešení, je rovnice x 2 = 1, (1.1) což mźa následek, že v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina z čísla 1. Abychom tento nedostatek odstranili, je nutno rozšířit těleso komplexních čísel tak, že přidáme fiktivní (imaginární) řešení rovnice (1.1). Toto řešení budeme dále značit symbolem i a nazývat imaginární jednotkou. To znamená, že i je takové číslo, pro které platí i 2 = 1. (1.2) 5
6 6 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Samozřejmě i není reálné číslo, je to číslo imaginární. Příklad Nyní už můžeme řešit také další rovnice neřešitelné v oboru reálných čísel. Například řešení rovnice x 2 = 4 je číslo 2i neboť (2i) 2 = (2 2 )(i 2 ) = 4( 1) = 4. Obecně, pro a > 0 je řešením rovnice x 2 = a číslo a i. Dokažte, že také číslo 2i je řešením naší rovnice. Před uvedením následujícího příkladu připomínáme, že řešení obecné kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, (1.3) kde x je neznámá a a, b, c dané konstanty, jsou obecně dvě čísla x 1,2 = b ± D, kde D = b 2 4ac. (1.4) 2a V případě D = 0 je řešením jediné reálné číslo x = b 2a a v případě D < 0 rovnice (1.4) nemá reálné řešení. Příklad Kvadratická rovnice x 2 4x + 5 = 0 nemá v reálném oboru řešení neboť její diskriminant D = ( 4) = = 4 je záporný. V předchozím příkladu jsme ale viděli, že 4 = 2i. Dosazením do (1.4) dostáváme dvě (samozřejmě nikoliv reálná) řešení naší rovnice x 1,2 = 4 ± 2i 2 = 2 ± i Z předchozích příkladů plyne, že nyní už můžeme řešit libovolnou kvadratickou rovnici (1.3). Jestliže je diskriminant D rovnice záporný, je D > 0 a proto dostáváme dvojici (nikoli reálných) řešení x 1,2 = b ± D i. 2a Cvičení Najděte všechna řešení kvadratických rovnic x 2 + x 6 = 0, x 2 + 2x + 5 = 0, 3x 2 12x + 12 = 0, 3x 2 x + 2x = 0. Abychom mohli akceptovat uvedené řešení, musíme za čísla považovat všechny smysluplné výrazy obsahující reálná čísla, číslo i a algebraické operace, například 2+3i, 8 i+π, i 5 16i 3 2i+5, 3+5i+4 2i+2i 4 +i 3 atd. Přitom
7 1.1. ROZŠÍŘENÍ TĚLESA REÁLNÝCH ČÍSEL 7 předpokládáme, že operace známé z reálného oboru si zachovávají pěkné vlastnosti jako komutativita, asociativita a distributivita i tehdy, když operují s výrazy obsahujícími nové číslo i. Proto, jelikož i 3 = (i 2 )i = ( 1)i = i a i 4 = (i 2 ) 2 = ( 1) 2 = 1, můžeme poslední dva předchozí výrazy zjednodušit a i 5 16i 3 2i + 5 = i + 16i 2i + 5 = i 3+5i+4 2i+2i 4 +i 3 = 3+5i+4 2i+2 i = ( 3+4+2)+(5i 2i i) = 3+2i. Cvičení Zjednodušte následující výrazy do tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla. i 18, 5i i i 3, i 10 + i i 2 + i + 1, 1 i, 6 i. 3i Definice Komplexní čísla jsou všechna čísla tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka. Reálné číslo a nazýváme reálnou složkou komplexního čísla z = a + bi a značíme Re z a reálné číslo b nazýváme imaginární složkou komplexního čísla z = a+bi a značíme Im z. Dvě komplexní čísla z 1 = a + bi a z 2 = c + di se rovnají právě tehdy, když se vzájemně rovnají jejich reálné a imaginární složky, t.j. z 1 = z 2 a = c a b = d. Všimněme si, že každé reální číslo je také číslo komplexní (s nulovou imaginární složkou). Komplexní čísla s nulovou reální složkou se nazývají ryze imaginární. Cvičení Rozhodněte, která z daných komplexních čísel jsou reálná nebo ryze imaginární. 3i, (3i) 2, (2i) 3, 3 + i, (3 + i) 2, (3 + i)(3 i), Cvičení Pro které hodnoty reálných konstant a, b jsou následující čísla reálná, resp. ryze imaginární? (a+bi), (a+bi) 2, (a+bi) 3, (a+bi)(a bi), a 2 +bi 2, ai bi 3, ai+b, i+ab, abi.
8 8 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA 1.2 Operace s komplexními čísly Na příkladech jsme už viděli, že s komplexními čísly můžeme provádět některé operace, na které jsme zvyklí z reálných čísel. V této části podrobněji probereme operace sčítání, odčítání, násobení a dělení. Doporučujeme čtenáři aby prověřil, že uvedené definice jsou jediné možné, aby operace sčítání, odčítání, násobení a dělení splňovaly komutativní, asociativní a distributivní zákony tak, jak je tomu v oboru reálných čísel. Definice Součet komplexních čísel z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i je komplexní číslo z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i. Definice Součin komplexních čísel z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i je komplexní číslo z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i. Teď je zřejmé jak definovat rozdíl komplexních čísel z 1 z 2 = z 1 + ( 1)z 2 = (x 1 + y 1 i) + ( x 2 y 2 i) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 )i. Provedení operace podílu je ovšem o něco složitější. Nejdříve vypočteme následující příklad. Příklad Vydělíme komplexní čísla 3+5i 4 2i : 3 + 5i 4 2i = 3 + 5i 4 2i 4 + 2i 4 + 2i i + 6i + 10i2 = = i i 8i 4i 2 20 = i. Hlavní myšlenka výpočtu spočívá v rozšíření původního zlomku o zlomek rovný jedničce ve tvaru 4+2i. Výrazy v čitateli a jmenovateli rozšiřujícího 4+2i zlomku vzniknou z jmenovatele původního zlomku změnou znaménka před imaginární částí, t.j., 4 2i se změní na 4 + 2i. Tato unární operace na komplexních číslech je tak významná, že má svůj vlastní název, který je zaveden v následující definici. Definice Číslem komplexně sdruženým k číslu z = a+bi je komplexní číslo z = a bi. Hlavní myšlenka užití čísla komplexně sdruženého k jmenovateli zlomku při úpravě podílu je skryta v následující jednoduché větě.
9 1.3. GEOMETRIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 9 Věta Pro každé komplexní číslo z je součin zz nezáporné reálné číslo. Důkaz: Nechť z = a + bi. Potom máme zz = (a + bi)(a bi) = a 2 abi + abi b 2 i 2 = a 2 + b 2 [0, + ). Nyní popíšeme metodu, pomocí které můžeme provádět operaci podílu obecně. Nechť z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i. Potom podíl z 1 z 2 počítáme následovně (podrobnosti výpočtu skontrolujte sami) x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i = x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i x 2 y 2 i x 2 y 2 i = x 1x 2 + y 1 y 2 + (y 1 x 2 x 1 y 2 )i x y2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x y y 1x 2 x 1 y 2 x y 2 2 Cvičení Najděte součet, rozdíl, součin a podíl dvojic komplexních čísel z 1 a z 2. a) z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 + 2i, b) z 1 = 2i, z 2 = 4 3i, c) z 1 = 3 + i, z 2 = 5, d) z 1 = π, z 2 = 2i. Dříve než pojednáme o operacích umocnǒvání a odmocnǒvání komplexních čísel, podíváme se na geometrické vlastnosti komplexních čísel. 1.3 Geometrie komplexních čísel Geometrický model množiny reálných čísel je přímka reálná osa. Jelikož každé komplexní číslo je jednoznačně určené dvojicí reálných čísel, je přirozené, že geometrickým modelem množiny komplexních čísel je rovina komplexní rovina. Každému komplexnímu číslu z = a + bi odpovídá bod roviny se souřadnicemi (a, b). Opačně, každému bodu (a, b) v rovině odpovídá jednoznačně komplexní číslo a + bi. Tato korespondence mezi komplexními čísly a body roviny je vzájemně jednoznačná. Příklad V popsané korespondenci odpovídá x-ová osa množině všech reálných čísel, říkáme jí reálná osa a je určena rovnicí Im z = 0. Analogicky odpovídá y-ová osa množině všech tzv. ryze imaginárních císel, říkáme jí imaginární osa a je určena rovnicí Re z = 0. i. =
10 10 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Cvičení Zobrazte komplexní čísla i, i, 1+i, 3 2i, 1+5i, 4 2i a čísla k nim komplexně sdružená. Který z těchto bodů je nejvzdálenější od bodu 0? Vzhledem k jednoznačnosti uvedené korespondence v dalším textu budeme často psát bod z místo bod odpovídající komplexnímu číslu z. Definice Vzdálenost dvou komplexních čísel je délka úsečky spojující body odpovídající těmto číslům. Číselné vyjádření vzdálenosti komplexních čísel z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i je dáno vzorcem d(z 1, z 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. (1.5) Cvičení Ověřte platnost předešlého vzorce. (Návod: nakreslete obrázek a použijte Pytagorovu větu.) Cvičení Určte moduly všech čísel z Cvičení Cvičení Vypočtěte vzdálenost dvojic bodů a) d(4 + i, 2 + 2i), b) d( 1 3i, 5i), c) d( 1 + i, 2 3i). 2 Definice Absolutní hodnota komplexního čísla je jeho vzdálenost od nuly. Číselné vyjádření absolutní hodnoty komplexního čísla z = x + yi je z = x 2 + y 2 = zz. (1.6) Komplexní čísla, jejichž absolutní hodnota je jedna, nazýváme komplexní jednotky. Pro absolutní hodnotu užíváme také název modul. Cvičení Vypočtěte moduly (t.j. absolutní hodnoty) komplexních čísel 4, 6i, 2 + i, 3 4i, 4 i, i. 2 2 Cvičení a) Dokažte, že pro každé komplexní číslo z platí z = z. b) Dokažte že pro libovolná komplexní čísla z a w platí d(z, w) = z w. (1.7) c) Dokažte že množina všech komplexních jednotek tvoří jednotkovou kružnici se středem v bodě 0. Argument nenulového komplexního čísla je velikost úhlu mezi jeho spojnicí s počátkem a kladnou částí reálné osy. Číslo 0 nemá argument.
11 1.3. GEOMETRIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 11 Příklad Argument kladného reálného čísla je roven nule, argument záporného reálného čísla je roven π. Argument čísla i je π, argument i je 2 π. Argument čísla 1 + i je π a argument 1 + 3i je 2π Pojem argumentu není tak jednoduchý, jak by se mohlo podle předchozího příkladu zdát. Vezměme si třeba argument čísla i. Úhel mezi spojnicí čísel i a 0 (záporná část imaginární osy) a kladnou částí reálné osy může být interpretován jednak jako π, jednak jako 3π, nebo taky 7π. Obecně platí: Je-li číslo ϕ argumentem komplexního čísla z, pak jeho argumentem je také každé číslo tvaru ϕ + 2kπ, kde k Z je libovolné celé číslo. Definice Argumentem komplexního čísla z rozumíme libovolný úhel mezi polohovým vektorem čísla z (t.j. vektorem s počátečním bodem 0 a koncovým bodem z) a vektorem kladné části reálné osy. Množinu všech argumentů komplexního čísla z značíme Arg z. Pro každé z existuje právě jeden úhel ϕ (Arg z) ( π, π]. Tento úhel nazýváme hlavní hodnota argumentu čísla z a značíme arg z. Cvičení Najděte Arg z a arg z pro komplexní čísla z: a) 1 i, b) 6i, c) 12, d) 1 3i, e) 1 + 2i, f) 3 + 3i. Cvičení Dokažte, že pro každé komplexní číslo z platí ϕ Arg z k Z : ϕ + 2kπ Arg z (1.8) Cvičení Určte arg z, arg z 2 a arg z 3 pro z = 2 + 2i; z = 11; z = 3 i; z = 4i. Cvičení Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí a) Pro každé komplexní číslo z je arg z ( π, π]. n b) Pro každé ϕ ( π, π] obsahuje množina {k Z; ϕ + k 2π n právě n po sobě jdoucích celých čísel včetně čísla 0. c) Pro každé ϕ ( π, π] a každé k Z je ( cos ϕ + k 2π ) ( = cos ϕ + (k + n) 2π ) n n ( π, π]} a ( sin ϕ + k 2π ) ( = sin ϕ + (k + n) 2π ). n n
12 12 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Cvičení Dokažte, že následující podmínky pro nenulová komplexní čísla z = x + yi a w = u + vi jsou vzájemně ekvivalentní (a) arg z = arg w; (b) Arg z = Arg w; (c) z w = z w (0, + ); Nyní si položme otázku: Jak vyjádřit modul a argument komplexního čísla pomocí jeho reálné a imaginární části? A opačně: Známe-li modul a argument komplexního čísla z, jsme schopni určit jeho reálnou a imaginární část? Jinými slovy: Je svým modulem a argumentem komplexní číslo jednoznačně určeno? Řešení najdeme v následujícím příkladu. Příklad Nejdřív hledáme modul a argument komplexního čísla z = x + yi. Už víme, že modul čísla z je určen vztahem (1.6): z = x 2 + y 2. Pro argument čísla z platí (načrtněte si obrázek): arctg y pro x > 0; x arg z = arctg y + π pro x > 0, y 0; (1.9) x arctg y π pro x < 0, y < 0. x Následně Arg z = {arg z + 2kπ; k Z}. Teď předpokládejme, že známe z i arg z a hledáme číslo z. Protože každá polopřímka začínající v bodě 0 protne jednotkovou kružnici se středem v 0 v právě jednom bodě, pro danou hodnotu arg z existuje jediná komplexní jednotka w, pro kterou platí arg w = arg z. Z definic funkcí sin a cos plynou pro složky čísla w = u + vi vztahy u = cos(arg z) a v = sin(arg z). Pro hledané číslo z zřejmě platí z = z w, proto pro jeho složky z = x + yi dostáváme x = z cos(arg z) a y = z sin(arg z). (1.10) Z rovnic (1.10) předešlého příkladu plyne, že komplexní číslo je jednoznačně určeno svým modulem a argumentem. Tento způsob určení komplexního čísla je popsán v následující definici.
13 1.4. UMOCŇOVÁNÍ A ODMOCŇOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 13 Definice Zápis z = z cos(arg z) + i z sin(arg z) = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) (1.11) nazýváme komplexní číslo v goniometrickém tvaru. Dodejme, že vzhledem k tomu, že funkce sin a cos jsou periodické s periodou 2π, ze vztahu (1.8) plyne z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) = z (cos(arg z) + i sin(arg z)). Příklad Napišeme číslo z = 1 3 v goniometrickém tvaru. Máme z = ( 3) 2 = 2 a podle vztahu (2.2.1) platí arg z = arctg 3 1 π = arctg 3 π = π 3 π = 2π Umocňování a odmocňování komplexních čísel Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru se řídí následující formulí. Jestliže a, z jsou komplexní čísla, pak a.z = a z (cos(arg a + Arg z) + i sin(arg a + Arg z)), (1.12) t.j. při násobení komplexích čísel platí: modul součinu je součin modul u; argument součinu je součet argument u. Uvedenou rovnost je třeba chápat tak, že za hodnoty Arg a a Arg z dosadíme libovolné hodnoty těchto množin, například arg a a arg z. (Dokažte, že výběr hodnot nemá vliv na výslednou hodnotu výrazu.) V dalším textu budeme často používat jednodušší arg místo Arg. Z uvedeného plyne následující důležitý fakt. V lineárním zobrazení w = az obraz w vznikne z bodu z jeho otočením kolem počátku o úhel arg a a následnou stejnolehlostí se středem v počátku a koeficientem a.
14 14 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA O umocňování komplexních čísel říká Moivreova věta. z n = z n (cos(n arg z) + i sin(n arg z)). Příklad Vypočteme hodnotu (1 i) 99. Nejprve napíšeme číslo 1 i v goniometrickém tvaru 1 i = 2(cos( π 4 ) + i sin( π 4 )). Podle Moivreovy věty pak platí (využíváme periodičnost funkcí cos a sin s periodou 2π): 2 49 ( ( 2 cos 3π 4 (1 i) 99 = ( ( ( 2) (cos π )) ( ( + i sin 99 π ))) = 4 4 ) ( + i sin 3π 4 )) ( = ) i = i. Pomocí Moivreovy věty můžeme počítat n-tou odmocninu z komplexního čísla. Na rozdíl od reálného oboru, kde například druhá odmocnina z jedné je jediné reálné číslo, v komplexním oboru definujeme n-tou odmocninu obecněji. Definice n-tou odmocninou komplexního čísla z rozumíme každé komplexní číslo w, které je řešení rovnice w n = z. (1.13) Teď ukážeme, jak vyjádřit obecně n-tou odmocninu komplexního čísla z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)), t.j. řešení rovnice (1.13). Dosaďme tohle řešení w = w (cos(arg w) + i sin(arg w)) a s užitím Moivreovy věty počítejme z (cos(arg z) + i sin(arg z)) = ( w (cos(arg w) + i sin(arg w))) n = = w n (cos(n Arg w) + i sin(n Arg w)). Srovnáním modulů a argumentů levé a pravé strany předchozí rovnice dostáváme z = w n z = w n a Arg z = n Arg w. (1.14)
15 1.4. UMOCŇOVÁNÍ A ODMOCŇOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 15 Z první rovnosti zřejmě plyne w = n z. (1.15) Interpretovat druhou rovnost je poněkud složitější. Jde o to, že v množině Arg w může být kterékoliv reálné číslo ϕ, pro které platí nϕ Arg z. Podle Cvičení 1.3.8, abychom určili Arg w, stačí určit arg w a pak platí Arg w = {arg w + 2kπ; k Z}. Máme tedy n arg w Arg z, t.j. n arg w = arg z + 2kπ pro nějaké vhodné celé číslo k. Proto arg w může být kterékoliv reálné číslo, pro které platí arg w = arg z + 2kπ n = arg z n + k 2π n ( π, π] pro nějaké vhodné číslo k Z (nezapomeňte na definici hodnoty arg!). Na základě Cvičení platí, že n-tou odmocninou nenulového komplexního čísla je množina právě n komplexních čísel n z = { n z ( arg z + 2kπ cos + i sin n arg z + 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1}. Pomocí posledního vztahu můžeme definovat také mocninu s racionálním exponentem: ( q ) ( p ) ) p z = { q arg z + 2kπ arg z + 2kπ z (cos p + i sin p, k = 0, 1,..., q 1}. q q Cvičení Dokažte, že všechny hodnoty ( q z) p jsou různé právě tehdy, jestliže čísla p a q jsou nesoudělná. ( Cvičení Vypočítejte (1 + i) 10 1, i ) 24 ( 3 2 2, 1 + i ) , ( 2 + i 2) Najděte všechny hodnoty 3 1, 4 1, 3 i, 4 i, 3 8, 1 + i, i, i Řešte rovnice z 2 2iz + 3 = 0, z 2 + 2iz + i 1 = 0, z 3 + 8i = Zobrazte graficky množiny bodů v komplexní rovině, které jsou určeny podmínkami z + 1 > 1; 1 < z i < 2; Im z 1 + i = 0; Re z i = 0;
16 16 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA z = 2(cos t + i sin t), t [0, π]; z + i = z i ; z 1 + z + 1 = 4. Korespondenční úkol. Nechť a = 2 2i a b = 1 + 3i. Vyjádřete obě čísla v goniometrickém tvaru. Pak najděte všechna řešení rovnice z 3 = ab s neznámou z a z nich vyznačte to, jehož hlavní hodnota argumentu je záporná. 1.5 Limita posloupnosti komplexních čísel Vzdálenost komplexních čísel u a w je dána vztahem (1.7): d(z, w) = z w. Pro δ > 0 jsou δ-okolí a prstencové δ-okolí komplexního čísla z definovány U δ (z) = {w C; d(w, z) < δ} a U δ (z) = {w C; d(w, z) < δ} {z}. V oboru reálných čísel v některých úvahách pracujeme také s nevlastní body + a, t.j. jedno nekonečno v každém směru reálné osy. Zdálo by se tedy, že v komplexním oboru budeme pracovat s nekonečně mnoha nekonečny, s jedním v každém směru. Situace je ovšem jiná. V komplexním oboru se ukazuje výhodné mít pouze jedno nekonečno, to samé v každém směru. Pozice nekonečna mezi komplexními čísly je dána následující definicí. Pro r > 0 je r-okolí definováno U r ( ) = {w C; d(w, 0) > r}. Rozšířenou množinu komplexních čísel budeme rozumět množinu C { }, kterou budeme značit C. Definice vlastní a nevlastní limity posloupnosti komplexních čísel jsou obdobné jako v reálném oboru. Definice ( Limita posloupnosti komplexních čísel.) Posloupnost komplexních čísel (z n ) konverguje k číslu z 0, když ke každému ε > 0 existuje takové n 0 N, že pro každé přirozené n > n 0 platí z n U ε (z 0 ) (ekvivalentně z n z 0 < ε). Tuto skutečnost značíme lim n + z n = z 0. Definice (Nevlastní limita posloupnosti komplexních čísel.) Posloupnost komplexních čísel (z n ) konverguje k bodu, když pro každé r > 0 existuje takové n 0 N, že pro každé přirozené n > n 0 platí z n U r ( ). Tuto skutečnost značíme lim z n =. n + Poznámka Podmínka lim z n = +. n + lim n + z n = je ekvivalentní s podmínkou
17 1.5. LIMITA POSLOUPNOSTI KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 17 Věta ( Věta o limitě posloupnosti komplexních čísel.) Číslo a + ib je limitou posloupnosti komplexních čísel (z n = x n + iy n ) práve tehdy, když lim x n = a a lim y n = b. n + n + Důkaz: Nechť pro každé n N je z n = x n + iy n. Předpokládejme, že platí lim z n = L = a + ib. Potom pro každé ε > 0 existuje takové n 0 N, že pro n + všechna n > n 0 je z n L = (x n a) 2 + (y n b) 2 < ε. Pak ale rovněž pro všechny n > n 0 platí a také x n a = (x n a) 2 (x n a) 2 + (y n b) 2 < ε (1.16) y n b = (y n a) 2 (x n a) 2 + (y n b) 2 < ε, (1.17) a proto lim x n = a a lim y n = b. Na druhou stranu, jestliže pro každé n + n + ε > 0 existují taková n 1 N a n 2 N, že platí nerovnice (1.16) a (1.17), pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne také z n L = (x n a) 2 + (y n b) 2 x n a + y n b < 2ε, z čehož dostáváme lim z n = a + ib. n + Cvičení Analogická věta platí i pro dvojici modul argument. Zformulujte ji, ale buďte opatrní! Následující příklad ukazuje zajímavé užití Moivreovy věty. Příklad Nechť α R a ρ (0, 1). Pro přirozené číslo n definujme Chceme vypočítat a u n = 1 + ρ cos α + ρ 2 cos 2α + + ρ n cos nα. lim u n. Položme n + v n = ρ sin α + ρ 2 sin 2α + + ρ n sin nα w n = u n + iv n = 1 + ρ(cos α + i sin α) + + ρ n (cos nα + i sin nα).
18 18 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Při označení t = ρ(cos α + i sin α) je w n součtem konečné geometrické posloupnosti a proto dostáváme Následně, jelikož t = ρ < 1, w n = 1 + t + t t n = 1 tn+1. 1 t lim w 1 t n+1 n = lim n + n + 1 t = 1 1 t. Z věty o limitě posloupnosti komplexních čísel dostáváme řešení úlohy lim u n = lim Re 1 n + n + 1 ρ(cos α + i sin α) = 1 ρ cos α (1 ρ cos α) 2 + sin 2 α. 1.6 Řady komplexních čísel Nechť z n = x n + iy n ; kde n = 1, 2,.... Pak výraz + n=1 z n = z 1 + z 2 + (1.18) se nazývá nekonečná řada komplexních čísel. Jestliže existuje vlastní limita posloupnosti částečných součt u {S n } + n=1, kde S n = této řady, pak hovoříme o konvergentní řadě, v opačném případě hovoříme o divergentní řadě. V případě konvergentní řady podle Věty platí + n=1 z n = + n=1 x n + i + n=1 n k=1 z k y n. (1.19) Cvičení Dokažte vztah (1.19) pro konvergentní řady komplexních čísel.
19 1.6. ŘADY KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 19 Věta (Cauchyovo-Bolzanovo kriterium konvergence.) Řada (1.18) konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje takové n 0 N, že pro všechna n > n 0 a pro každé k platí S n+k S n < ε. Konkrétně pro k = 1 dostáváme nutnou podmínku konvergence nekonečné řady. Věta Jestliže řada (1.18) konverguje, pak platí lim z n = 0. n + Řada komplexních čísel se nazývá absolutně konvergentní, když konverguje řada + z n. Konvergentní řada, která není absolutně konvergentní, se n=1 nazývá relativně konvergentní. Věta (Věta o absolutní a relativní konvergenci.) Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní. Opačné tvrzení neplatí. Důkaz: Pro každé n N označme S n = a k a T n = a k. Užitím trojúhelníkové nerovnosti dostáváme pro každou dvojici přirozených čísel n a k S n+k S n = a n+1 +a n+2 + +a n+k a n+1 + a n a n+k = T n+k T n. (1.20) Cauchyovo-Bolzanovo kriterium říká, že z absolutní konvergence řady (1.18) plyne, že ke každému ε > 0 existuje přirozené n 0 tak, že pro každé přirozené n > n 0 a každé přirozené k platí T n+k T n < ε. Z nerovnosti (1.20) ovšem plyne také nerovnost S n+k S n < ε, z čehož opět pomocí Cauchyova- Bolzanova kriteria plyne konvergence řady (1.18). n=1 n=1 Příklad Typickým příkladem relativně konvergentí řady je řada (dokonce reálných čísel) + n=1 ( 1) n n. Následující dvě věty plynou bezprostředně z Věty a jejich důkaz ponecháváme čtenáři jako cvičení. Věta Řada + z n je absolutně konvergentní právě tehdy, když jsou n=1 absolutně konvergentní obě řady + x n n=1 a + n=1 y n.
20 20 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Důsledek Součet absolutně konvergentní řady je nezávislý na přerovnání. Věta (Věta o součtu, rozdílu a součinu konvergentních řad.) Nechť + z n a + z n jsou konvergentní řady se součty S a S. Pak také řada + n=1 n=1 n=1 (z n + z n) je konvergentní a platí + (z n + z n) = S + S. Jestliže navíc obě n=1 řady konvergují absolutně, pak absolutně konverguje i jejich součin, t.j. řada + n=1 (z 1z n + z 2z n z nz 1). K ověření absolutní konvergence lze užít všechna kriteria pro řady s kladnými členy známá z reálné analýzy, například kritérium Cauchyovo, d Alembertovo, integrální nebo kritérium majorantní. Jako příklad uvádíme kritérium Cauchyovo, které se nejčastěji používá ve speciálních případech mocninných řad, s nimiž se seznámíme později. Věta (Cauchyovo kriterium absolutní konvergence.) Nechť + zn. Pak řada + z n n=1 n je nekonečná řada komplexních čísel a q = lim sup z n n + n=1 konverguje, jestliže q < 1, a diverguje, jestliže q > 1. V případě q = 1 může řada konvergovat i divergovat. Cvičení Zjistěte, zda konvergují posloupnosti a nalezněte limity. ( n lim n + n + 1 i ) ( ) ( ( n + 1, lim + in, lim n n + i ) n ), n n + n n + n ( ) ( n lim n + n + 1 in 3n 2 nπ, lim cos n n + n 2 5 2n i sin nπ ) ( ) n, lim i. 2n + 7 n + 2. Je-li lim u n + iv n =, co můžeme říci o limitách lim u n a lim v n? n + n + n 3. Nechť lim w n = A. Dokažte, že platí lim w n = A. Platí též n n lim arg w n = arg A? n 4. Najděte ( lim n 2 cos π cos π cos nπ ) n 4
21 1.7. NEKONEČNO A STEREOGRAFICKÁ PROJEKCE* 21 a ( 4 lim n 5 sin π sin π n 5 sin nπ n 6 ( 5. Dokažte, že pro z = x + iy platí lim 1 + z n n n) = e x (cos y + i sin y). 6. Rozhodněte o konvergenci řad n=1 in + 1 n + 2i ( n n + 1 ) n, n=1 ( ) n 2i, n n=1 ). (1 + i) n (n + i), 2 7. Dokažte následující tvrzení a) Jestliže pro všechna n N platí Re w n 0, Im w n 0 a řada konverguje, pak řady w n a wn 2 konvergují absolutně. n=1 n=1 n=1 i n n. w n n=1 b) Jestliže pro všechna n N platí Re w n 0 a řady w n a wn 2 konver- gují, pak také řada w n 2 konverguje. n=1 c) Jestliže řada w n konverguje, pak konverguje absolutně, pokud je pro n=1 všechna n N splněna některá z podmínek n=1 n=1 (i) arg w n a < π 2 ; (ii) 0 < a < arg w n < π a. 1.7 Nekonečno a stereografická projekce* Operace s nekonečnem. I když nekonečno není komplexní číslo, někdy je výhodné provést operaci, která obsahuje nekonečno. Nyní některé takové operace budeme definovat. Každou z těchto operací je třeba chápat v toem smyslu, že kdyby na pozici symbolu byla jakákoliv komplexní veličina, která se blíží k, výsledek operace by zůstal stejný. Nechť z C, w C, w 0. Pak definujeme ± z =,. w =, a = 0, a =, a 0 =. 0 Výrazy ±, 0.,, nemají smysl. Zdůvodněte proč. 0 Pozici nekonečna mezi komplexními čísly je možné geometricky interpretovat pomocí stereografické projekce. Uvažujme v prostoru jednotkovou kulovou
22 22 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA plochu, t.j. množinu B = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1} a komplexní rovinu ztotožněnou s rovinou C = {(x, y, z) R 3 ; z = 0}. Označme N = (0, 0, 1) S a uvažujme bijekci σ : B \ {N} C definovanou vztahem ( ) x σ(x, y, z) = 1 z, y 1 z, 0, (x, y, z) B {N}. Cvičení Prověřte, že σ(x, y, z) C a že se skutečně jedná o bijekci mezi množinami B \ {N} a C. Bijekci σ lze geometricky popsat následovně. Zvolme bod X = (x, y, z) B. Bod σ(x, y, z) C bude průsečík přímky určené body N a X s komplexní rovinou C (zdůvodněte, že průsečík skutečně existuje a je jednoznačně určen). Zobražení σ nazýváme stereografickou projekcí. Uvažujeme-li zobrazení inverzní k σ, dostáváme, že všechna komplexní čísla můžeme zobrazit do sféry B, přičemž obazem celé komplexní roviny bude celá sféra B s výjimkou bodu N. Proto můžeme σ 1 rozšířit na zobrazení ϕ z celé rozšířené komplexní roviny C = C { } na celou sféru B, definujíce ϕ = σ 1 na C a ϕ( ) = N. Vlastnosti stereografické projekce jsou popsány v následujícím cvičení. Cvičení Dokažte, že zobrazení ϕ zobrazí a) množinu {z C; z < 1} na dolní polosféru {(x, y, z) R 3 ; x 2 +y 2 +z 2 = 1 a z < 0}, b) body množiny {z C; z = 1} samy na sebe, c) množinu {z C; z > 1} na horní polosféru {(x, y, z) R 3 ; x 2 +y 2 +z 2 = 1 a z > 0}. 2. Dokažte, že ϕ je spojité zobrazení na celé rozšířené komplexní rovině C, speciálě platí x n ϕ(x n ) N. 3. Najděte obrazy polopřímek {z C; arg z = α} a kružnic {z C; z = r} při zobrazení ϕ. 4. Zjistěte, jaký je vztah mezi obrazy ϕ(z 1 ) a ϕ(z 2 ) dvojic bodů pro a) z 2 = z 1, b) z 2 = z 1, c) z 2 = z Najděte obrazy množin při zobražení ϕ: a) Re z > 0; b) Im z > 0; c) 1 < z < 2; d) Re z = C (C je dána konstanta); e) Im z = C. 1.8 Některé typy množin v rovině Definice Množina A C je otevřená právě tehdy, jestliže obsahuje
23 1.9. KRÁTKÉ SHRNUTÍ 23 s každým svým bodem také některé jeho okolí, t.j. pro každé z A existuje takové ε > 0, že U ε (z) A. Definice Bod z je hromadným bodem množiny A C, jestliže pro všechna ε > 0 platí U ε (z) A. Bod z je hraničním bodem množiny A C, jestliže je hromadným bodem obou množin A a C A. Hranice množiny je množina všech její hraničních bodů. Definice Množina A C je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hromadné body. Uzávěr množiny A je sjednocení množiny A a její hranice. Věta Množina je uzavřená právě tehdy, je-li její doplněk otevřená množina. Definice Otevřená množina A C je souvislá právě tehdy, jestliže můžeme každé dva její body spojit lomenou čárou, která celá leží v množině A. Oblast je otevřená souvislá množina. Uzavřená oblast je uzávěr oblasti. Definice Množina A C je omezená, jestliže existuje takové kladné číslo R, že A U R (0), t.j. pro všechna z A platí z < R. Příklad Pro dané a C a R > 0 je kruh z a < R oblast (t.j. otevřená souvislá množina), je to také omezená množina. Kružnice z a = R je hranicí této oblasti a uzavřený kruh z a R je uzavřená oblast. Cvičení Popište vlastnosti následujících množin: a) {z = x + iy; x (0, 1] a y > 0}; b) {z = x + iy; x [0, 1] a y 0}; c) {z = x + iy; x (0, 1) a y 0}; d) {z C; 0 < arg z < π a 1 < z < 2}; 2 e) {z = ρ(cos t + i sin t); 0 < ρ < 1 a π < t < 3π }; f) {z = ρ(cos t i sin t); 1 < ρ < 2 a π t 3π }; g) 1 < z ; h) z < 1; i) 1 < z a 2 2 z 2. Cvičení Dokažte, že pro všechna reálná čísla y platí lim (1 + y n + n )n = cos y + i sin y. Z toho plyne formula e x+iy = e x (cos y + i sin y). 1.9 Krátké shrnutí Viděli jsme, že komplexní čísla mají algebraické vlastnosti (t.j. operace a jejich vlastnosti) velice podobné číslům reálným. Naproti tomu geometrie
24 24 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA komplexních čísel je mnohem složitější než je tomu u čísel reálných. Důsledkem je poměrně složitý pojem argumentu, nejednoznačnost odmocniny a množství typů rovinných množin. Později uvidíme, že tyto fakty budou zdrojem mnoha komplikací, které ovšem obohatí celou teorii. Na druhé straně je výhodné, že pojmy konvergence posloupností a řad v komplexním oboru je možné redukovat na analogické pojmy v reálném oboru s nimiž již umíme pracovat.
25 Kapitola 2 Komplexní funkce komplexní proměnné V této kapitole se naučíte zejména určit reálnou a imaginární složku komplexní funkce; vypočítat vlastní a nevlastní limitu komplexní funkce; zjistit spojitost komplexní funkce; pracovat se spojitými křivkami. Klíčová slova: Komplexní funkce, složky komplexní funkce, mnohoznačná funkce, vlastní a nevlastní limita, spojitost komplexní funkce, spojitá křivka. 2.1 Definice a základní vlastnosti Definice Mnohoznačná komplexní funkce komplexní proměnné je relace, jejiž definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny množiny C. To znamená, že každé hodnotě z z jisté množiny komplexních čísel je přiřazeno jedno nebo více komplexních čísel w. Jestliže je každé takovéto w určeno jednoznačně, pak hovoříme o jednoznačné funkci, v opačném případě hovoříme o mnohoznačné funkci. Poznámka Budeme-li v dalším textu psát o komplexní funkci, budeme mít na mysli vždy jednoznačnou komplexní funkci. Budeme-li mít na mysli 25
26 26 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE mnohoznačnou funkci, vždy to explicitne vyjádříme. V takovémto případě budeme mnohoznačnost funkce zvýrazňovat užitím velkého písmene (napr. F ) pro název funkce. Důvodem tohoto rozdílu oproti reálným funkcím jsou důležité funkce jako w = Arg z, w = n z. Později uvedeme další mnohoznačné funkce. V případě mnohoznačné funkce píšeme někdy w F (z) místo w = F (z). Definice Nechť w = f(z), kde z = x + iy a w = u(x, y) + iv(x, y), přičemž u, v jsou reální funkce dvou proměnných. Funkci u budeme nazývat reálnou částí funkce f a funkci v budeme nazývat imaginární částí funkce f. Příklad Rozložme na složky funkci w = z z. Pro z = x + iy je w = x + iy x + iy = x 2 + y 2 (x iy) = x 2 + y 2 x i x 2 + y 2 y. Proto pro reálnou složku u a imaginární složku v dané funkce dostáváme u(x, y) = x 2 + y 2 x, v(x, y) = x 2 + y 2 y. Cvičení Rozložme na složky funkce a) w = z 2, b) w = arg z, c) w = 1 1 z, d) w = z, e) w = iz, f) w =. z 1+z Definice Nechť w = F (z) je (obecně mnohoznačná) komplexní funkce definována na množině D C. Množinu H = {w = F (z); z D} nazýváme obor hodnot funkce F. Funkci F 1 : H D definovanou vztahem z = F 1 (w) právě tehdy, když w = F (z), nazýváme funkcí inverzní k funkci F. Někdy se může stát, že funkce inverzní k mnohoznačné funkci je jednoznačná a opačně. Z obecné teorie zobrazení je známo, že k jednoznačné funkci f na množině M existuje inverzní jednoznačná funkce f 1 definována na množině f(m) právě tehdy, je-li funkce f na množině M prostá, t.j. x 1, x 2 M a x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). (2.1) Příklad Uvažujme funkci w = z 2. Tato funkce je jednoznačná v celé komplexní rovině, ovšem není prostá, protože například ( 1) 2 = 1 2. Inverzní k této funkci je mnohoznačná funkce z = w. Když chceme, aby inverzní funkce byla jednoznačná, musíme omezit definiční obor původní funkce na některou (zpravidla pokud možno co největší) množinu M, na které je původní funkce prostá. Když vyjádříme naši funkci pro z v goniometrickém tvaru pomocí Moivreovy věty, dostáváme w = z 2 = z 2 (cos(2 Arg z)) + i sin(2 Arg z)).
27 2.1. DEFINICE A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 27 Uvažujme nyní, kdy se může stát, že pro z 1 z 2 platí z 2 1 = z 2 2. Z předchozí rovnice plyne, že je to právě tehdy, když z 1 = z 2 a 2 Arg z 1 = 2 Arg z 2. Smysl první rovnosti je zrejmý, druhá říká, že 2 arg z 1 = 2 arg z 2 +2kπ pro nějaké celé číslo k. Po vydělení dvěma dostáváme pro hlavní hodnoty argumentů čísel z 1 a z 2 rovnost arg z 1 = arg z 2 + kπ, t.j. arg z 1 arg z 2 = kπ pro nějaké celé číslo k. Protože obě hodnoty argumentů leží v intervalu ( π, π], absolutní hodnota jejich rozdílu je menší než 2π. Proto k { 1, 0, 1}. V případě k = 0 je ovšem z 1 = z 2 i arg z 1 = arg z 2, proto z 1 = z 2. Máme tedy tvrzení: Pro z 1 z 2 platí z 2 1 = z 2 2 právě tehdy když platí z 1 = z 2 a arg z 1 = arg z 2 ± π, což neznamená nic jiného, že z 2 1 = z 2 2 z 1 = z 2 nebo z 1 = z 2. Z toho plyne, že chceme li najít jednoznčnou inverzní funkci k w = z 2, musíme se omezit na množiny, které neobsahují obě čísla z a z pro žádné komplexní z. Tak například z = ( w) 0 = ( ( arg w ) ( arg w )) w cos + i sin 2 2 je funkce inverzní k w = z 2 definované v množině {z C; arg z ( π π ]}. 2 2 Obdobně, vybereme-li jinou než hlavní hodnotu argumentu, například definujemeli arg 1 z = Arg z [0, 2π) (promyslete!) dostáváme, že z = ( w) 1 = ( ( arg1 w ) ( arg1 w )) w cos π + i sin π 2 2 je funkce inverzní k w = z 2 definované v množině {z C; arg z [0, π)}. Cvičení Nechť w = z 2. Tato funkce jednoznačně zobrazuje množinu Im z > 0 na množinu w C R +. Najděte obraz množiny Re z = 1. Cvičení Nechť w = z 2. Dokažte, že tato funkce jednoznačně zobrazuje následující množiny a najděte jejich obrazy: a) Im z = 1; b) z < 2 a 0 < arg z < π; c) Re z + Im z = 1.
28 28 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE 2.2 Limita funkce Definice Nechť funkce w = f(z) je definována v okolí bodu z 0. Říkáme, že funkce f má v bodě z 0 limitu L C, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna z U δ (z 0 ) je f(z) U ε (L). Cvičení Dokažte, že lim f(z) = právě tehdy, platí-li lim f(z) = z z0 z z0 + Následující věta je podobná jako v případě limity posloupnosti. Z ní pak plyne, že limity a spojitost komplexních funkcí se řídí podobnými pravidly jako limity a spojitost funkcí reálných, což je obsaženo v dalších větách této sekce. Jelikož důkazy jsou prakticky stejné jako v případě reálných funkcí, nebudeme je tu uvádět. Věta Nechť f(z) = u(x, y) + iv(x, y) a z 0 lim f(z) = L = a + ib právě tehdy jestliže z z 0 lim u(x, y) = a a lim v(x, y) = b. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Věta Nechť lim f 1 (z) = L 1 z z0 f 2 (z)) = L 1 ± L 2, lim = x 0 + iy 0. Pak platí a lim z z0 f 2 (z) = L 2. Pak lim z z0 (f 1 (z) ± z z0 ( f 1(z) jsou-li výrazy (f 1 (z).f 2 (z)) = L 1.L 2 a lim ) = L 1 z z0 f 2 (z) L 2 na pravé stranědefinovány, t.j. nejedná se o výrazy typu 0, 0, atd. 0 Definice Funkce w = f(z) je spojitá v bodě z 0 svého definičního oboru, je-li z 0 izolovaným bodem nebo platí-li lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Cvičení Spojitost funkce f(z) = u(x, y) + iv(x, y) pro z = x + iy je ekvivalentní spojitosti obou reálných funkcí u a v dvou reálných proměnných x a y. Dokažte. Věta Pro součet, rozdíl, součin, podíl a složené funkce spojitých funkcí platí analogické věty jako v případě reálném. Plyne to z příslušných vět o limitách. Definice Nechť F je mnohoznačná funkce. Říkáme, že z funkce F vydělíme v oblasti D spojitou jednoznačnou větev f, jestliže f je v oblasti D spojitá jednoznačná funkce a pro každé z D platí f(z) F (z). Jednoznačné větve ( w) 0 a ( w) 1 mnohoznačné funkce z = w jsme viděli už v Příkladu
29 2.3. SPOJITÁ KŘIVKA 29 Příklad Z mnohoznačné funkce F (z) = Arg(z) můžeme vydělit spojité jednoznačné větve následujícím způsobem. Pro každé α R definujme oblast D α = C {z C; α / Arg z}. Potom funkce f(z) = arg α (z), kde arg α (z) Arg(z) (α, α + 2π), je spojitá jednoznačná větev funkce F (z) = Arg z v oblasti D α. Cvičení a) Dokažte, že f(z) = z 2 je spojitá funkce na C. b) Najděte některou spojitou jednoznačnou větev funkce F (z) = 3 z v oblasti D = {z C; arg z (0, π )}. Má tato funkce spojitou jednoznačnou větev 3 také v některé větší oblasti než je D? Uvažte také případ oblasti D 1 = {z C; arg z (0, π)}. c) Nechť arg α a D α znamenají totéž jako v Příkladu Najděte hodnotu α R, pro kterou platí arg α z = arg z pro všechna z D α Definice Zobecněnou spojitou funkcí budeme rozumět libovolnou spojitou funkci f : D C C. Příkladem zobecněné spojité funkce je funkce f(z) = dodefinována v bodě 0 tak, že f(0) =. 1 z Cvičení Rozhodněte, které z následujících funkcí f můžeme dodefinovat v bodě 0 tak, aby funkce zůstala spojitá. a) f(z) = 0; b) f(z) = Im z z ; c) f(z) = ; z d) f(z) = ; e) f(z) = z z z z Im z 2 ; f) f(z) = z Re z. z 2 z 2.3 Spojitá křivka Definice Spojitou křivkou rozumíme libovolnou spojitou komplexní funkci reálné proměnné definovanou na některém uzavřeném intervalu, t.j. z = γ(t); t [α, β] R. Poznámka Křivkou se často rozumí pouze její obraz γ([α, β]), tedy množina bodů v komplexní rovině. Pro zdůraznění důležitosti funkčního předpisu také hovoříme o parametrizaci křivky. Spojitou křivku si můžeme představit jako trajektorii pohybujícího se bodu. Takto lze spojitou křivku orientovat dvěma způsoby: souhlasně s její parametrizací, když γ(α) je počáteční bod křivky a γ(β) je koncový bod křivky, nebo nesouhlasně s její parametrizací, je-li tomu obráceně. Definice Spojitá křivka γ se nazývá uzavřená, je li γ(α) = γ(β). Spojitá křivka γ se nazývá jednoduchá nebo také Jordanova, plyne-li pro
30 30 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE libovolnou dvojici bodů x y z intervalu [α, β] z rovnosti γ(x) = γ(y) rovnost {x, y} = {α, β}. Shodnost dvou spojitých křivek chápeme ve smyslu invariantnosti vzhledem k parametrizaci, ne vzhledem k jejich oboru hodnot. Definice Křivky z = γ(t); t [α, β] a z = δ(t); t [a, b] jsou shodné, existuje-li taková monotónní spojitá bijekce φ: [α, β] [a, b], že pro každé t [α, β] je γ(t) = δ(φ(t)). Poznamenajme, že jsou-li křivky γ a δ v uvedené definici shodné, pak nutně platí γ(α) = δ(a) a γ(β) = δ(b), je-li bijekce φ rostoucí, nebo je-li φ klesající. γ(α) = δ(b) a γ(β) = δ(a), Příklad Uvažujme křivky α: z = cos t + i sin t, t [0, 2π], β: z = cos t + i sin t, t [0, 4π], γ: z = cos t + i sin t, t [0, π], δ: z = cos 2πt + i sin 2πt, t [0, 1], ϕ: z = sin t + i cos t, t [0, 2π]. Křivka α je jednoduchá uzavřená křivka a jejím obrazem je jednotková kružnice k 1 se středem v počátku souřadnic. Ověřte (uvažte, že pro každé t R je cos t + i sin t = 1). Křivka β je uzavřená, není však jednoduchá, protože například β(0) = β(2π) = β(4π) = 1. Jejím obrazem je také kružnice k 1. Křivka γ je jednoduchá, ale není uzavřená, protože γ(0) = 1 1 = γ(π). Jejím obrazem je půlkružnice k 1 {z C; Im z 0}. Křivka δ je, stejně jako křivka α, jednoduchá, uzavřená a jejím obrazem je také kružnice k 1. Nakonec křivka ϕ je, jako křivky α a δ, jednoduchá uzavřená křivka a jejím obrazem je opět kružnice k 1. Z uvedených vlastností plyne, že žádná z křivek β, γ se nemůže rovnat žádné jiné zkoumané křivce. Jediné rovnosti, které mohou nastat jsou rovnosti mezi křivkami α, δ a ϕ. Definujeme-li bijekci φ: [0, 1] [0, 2π] vztahem φ(t) = 2πt, pak máme pro každé t [0, 1] α(φ(t)) = δ(t)
31 2.3. SPOJITÁ KŘIVKA 31 a křivky α a δ jsou shodné. Na druhou stranu α(0) = 1 a ϕ(0) = ϕ(2π) = i, proto podle poznámky za definicí shodných křivek není možné, aby křivky α a ϕ byly shodné. Korespondenční úkol. Jsou dány křivky α : z = cos t + i sin t, t [0, 2π], β : z = sin t + i cos t, t [0, 2π], γ : z = cos t + i sin t, t [0, 2π], δ : z = cos t i sin t, t [0, 2π] a ε : z = cos t + i sin t, t [ 2π, 2π]. Zjistěte, které z nich jsou shodné. Cvičení Nechť α : z = t, t [ 1, 1], β : z = cos t, t [0, π] a γ : z = cos t, t [0, 2π]. Pak platí α = β γ. Dokažte. Cvičení Dokažte, že množina všech bodů spojité křivky je uzavřená množina. Důležitým typem křivky je lomená čára, t.j. křivka, která je složena z na sebe navazujících úseček. Tento typ křivky jsme v předchozí kapitole užili k definici oblasti. Nyní můžeme vyslovit i jinou charakterizaci oblasti. Věta Platí-li pro otevřenou množinu U C, že ke každé dvojici bodů z 1, z 2 U existuje spojitá křivka γ: [α, β] U tak, že γ(α) = z 1 a γ(β) = z 2, pak U je oblast. Příklad Množina A = {z C; Re z < 0} je oblast, množina B = {z C; Re z 1} je uzavřená oblast. Množina C = {z C; Re z 2} ovšem není oblast. Její body z 1 = 1 a z 2 = 3 nemůžeme spojit žádnou spojitou křivkou, která celá leží v C, neboť každá taková křivka nutně protne přímku Re z = 2. Věta (Jordanova věta) Nechť γ je uzavřená Jordanova křivka. Pak γ rozděluje komplexní rovinu na dvě disjunktní oblasti G 1 a G 2, jejichž společnou hranicí je křivka γ. Přitom jedna z těchto oblastí je omezená a druhá není. Omezenou oblast nazýváme vnitřek křivky γ a neomezenou oblast nazýváme vnějšek křivky γ. Definice Oblast G nazýváme jednoduše souvislou, má-li následující vlastnost: Leží-li některá uzavřená Jordanova křivka γ celá v oblasti G, pak také celý vnitřek křivky γ leží v oblasti G. V opačném případě nazýváme oblast G vícenásobně souvislou. Příklad Oblasti A = {z C; Im z > 1} a B = {z C; Arg z ( 3π, 3π) } jsou jednoduše souvislé. Naproti tomu oblasti C = {z C; 1 < 2 Re z < 2} a D = Uδ (z), z C, δ > 0 jsou vícenásobně souvislé.
32 32 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE Cvičení Rozhodněte, které oblasti jsou jednoduše souvislé: vnitřek kruhu, vnějšek kruhu, mezikruží, C {0}. 2.4 Krátké shrnutí Viděli jsme, že v komplexním oboru je pojem funkce daleko složitější než v oboru reálném. Mnohoznačné funkce, jako Arg z nebo n z nemají analogii mezi reálnými funkcemi a jejich mnohoznačnost nám bude v budoucnu působit jisté komplikace. Na druhé straně je dobře, že pojem limity a spojitosti (jednoznačné) komplexní funkce je znovu podobný a lze jej popsat limitou funkcí dvou reálných proměnných.
33 Kapitola 3 Diferenciální počet komplexních funkcí V této kapitole se naučíte zejména určit, zda je komplexní funkce diferencovatelná, případně analytická; vypočítat derivaci a diferenciál diferencovatelné funkce; užívat pravidla pro derivaci součtu, součinu, podílu funkcí a pravidlo pro derivaci složené funkce; zjistit, zda je daná funkce dvou reálných proměnných složkou analytické funkce. Klíčová slova: Derivace komplexní funkce, diferencovatelná funkce, diferenciál, analytická funkce, celá funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky diferencovatelnosti, harmonická funkce, harmonicky sdružené funkce. 3.1 Derivace a diferenciál f(z) f(z Definice Nechť w = f(z) je komplexní funkce. Existuje-li lim 0 ) z z0 z z 0, nazývá se derivace funkce f v bodě z 0 a značí se symbolem f (z 0 ). Příklad Nechť f(z) = z z. Potom f(z) f(0) lim z 0 z 0 z z = lim z 0 z 33 = lim z 0 z = 0,
34 34 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ proto f je diferencovatelná v bodě z 0 = 0 a f (0) = 0. Pro funkci w = f(z) označme w = f(z) f(z 0 ) a z = z z 0. Definice Funkce w = f(z) je diferencovatelná v bodě z 0, jestliže existuje konstanta A C a taková funkce ε(z 0, z), že platí lim ε(z 0, z) = 0 z 0 a navíc platí w = A z + ε(z 0, z) z. (3.1) Důležitý vztah mezi existencí derivace a diferencovatelností je dán následující větou. Věta Funkce w = f(z) je diferencovatelná v bodě z 0 právě tehdy, když má v bodě z 0 derivaci a navíc platí A = f (z 0 ). Důkaz. Nechť f je diferencovatelná v bodě z 0. Z definice diferencovatelnosti a po dělení rovnice (3.1) výrazem z plyne f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = A + lim z z0 ε(z 0, z) = A, z čehož plyne existence derivace funkce v bodě z 0 a rovnost f (z 0 ) = A. Opačně, nechť má funkce f derivaci v bodě z 0. Pro z z 0 = z C označme Potom platí ε(z 0, z) = f(z 0 + z) f(z 0 ) z f (z 0 ). lim ε(z f(z 0 + z) f(z 0 ) 0, z) = lim f (z 0 ) = f (z 0 ) f (z 0 ) = 0, z 0 z 0 z z čehož plyne diferencovatelnost funkce f v bodě z 0. Poslední věta má důležitý důsledek, kterého důkaz je přenechán čtenáři. Důsledek Jestliže je funkce v bodě diferencovatelná, pak je v tomto bodě také spojitá. Definice Jestliže je funkce w = f(z) v bodě z 0 diferencovatelná, pak lineární výraz A z nazýváme diferenciálem funkce f v bodě z 0 a značíme jej df nebo dw. Píšeme též f (z 0 ) = dw dz. Cvičení Ověřte, že funkce f(z) = (Re z) z je diferencovatelná v bodě z 0 = 0 a f (0) = 0. Cvičení Dokažte, že funkce f(z) = Re z není nikde diferencovatelná.
35 3.2. PRAVIDLA PRO POČÍTÁNÍ DERIVACÍ Pravidla pro počítání derivací Počítáme-li derivaci v obecném bodě z (nikoliv ve speciálním bodě z 0 ), užíváme ekvivalentní tvar limity lim. Následující příklady ukazují, f(z+ z) f(z) z 0 z že derivace komplexních funkcí se často chovají podobně jako v oboru reálném. Příklad Počítáme derivaci konstantní funkce f(z) = c v oblasti D. V libovolném bodě z D máme f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z c c = lim z 0 z = 0. Příklad Ukážeme, že pro každé přirozené číslo n má funkce f(z) = z n derivaci f (z) = nz n 1. Dříve než budeme počítat derivaci, užijeme binomickou formuli (a + b) n = a n + ( ) n a n 1 b + 1 na úpravu výrazu ( ) n (z+ z) n = z n + z n 1 z+ 1 ( n 2 Nyní spočítáme derivaci v libovolném bodě (z n ) f(z + z) f(z) = lim z 0 z = lim z 0 z n + ( n 1 = lim z 0 = lim z 0 nzn 1 + ( ) ( ) n n a n 2 b ab n 1 + b n 2 n 1 ) z n 2 ( z) ( ) n z( z) n 1 +( z) n. n 1 (z + z) n z n = lim z 0 z ) z n 1 z + ( ) n 2 z n 2 ( z) ( z) n z n = z z ( nz n 1 + ( ) n 2 z n 2 ( z) + + ( z) n 1) = z ( ) n z n 2 ( z) + + ( z) n 1 = nz n 1, 2 neboť limity všech n 1 členů obsahujících výraz z jsou rovny nule. Důvod, proč se derivace mocninné funkce v reálném a komplexním oboru často neliší, není náhodný. Zhruba řečeno, tkví v tom, že jak algebraické =
36 36 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ operace, tak definice a pravidla počítaní limit jsou v reálném i komplexním oboru stejné. Analogicky, jako v předchozím příkladu, můžeme dokázat pravidla pro počítaní derivací komplexních funkcí, která se naprosto shodují s pravidly pro funkce reálné. Věta (O derivaci a algebraických operacích.) Předpokládejme, že komplexní funkce f a g jsou diferencovatelné v bodě z. Potom je v bodě z diferencovatelný také jejich součet, rozdíl, součin a podíl (je-li v bodě z definován) a platí (D1) (f ± g) (z) = f (z) ± g (z); (D2) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z), speciálně pro konstantu c je (cf(z)) = cf (z); (D3) ( f g ) (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g 2 (z) ; Věta (O derivaci složené funkce.) Nechť funkce w = f(z) je diferencovatelná v bodě z 0 a funkce ζ = g(w) definována v okolí bodu w 0 = f(z 0 ) a diferencovatelná v bodě w 0. Potom složená funkce h = g f je diferencovatelná v bodě z 0 a platí (g(f(z 0 ))) = g (f(z 0 ))f (z 0 ). (3.2) Důsledkem je věta o derivaci inverzní funkce Věta (O derivaci inverzní funkce) Nechť funkce w = f(z) sobrazuje vzájemně jednoznačně oblast D na oblast E, přičemž inverzní funkce f 1 je jednoznačná a spojitá na oblasti E. Potom, jestliže je funkce f diferencovatelná v bodě z 0 a f (z 0 ) 0, pak je inverzní funkce z = f 1 (w) diferencovatelná v bodě w 0 = f(z 0 ) a platí (f 1 ) (w 0 ) = 1 f (z 0 ). (3.3) Existují ovšem také funkce, jejichž derivace nelze počítat aplikací výše uvedených pravidel. Příklad Vyšetříme diferencovatelnost funkce f(z) = z. Jestliže derivace v obecném bodě z existuje, tak platí f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z = lim z 0 z + z z. z
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VícePŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL
PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceDERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceKomplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
VíceZápadočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY FUNKE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Josef MAŠEK Plzeň 996 vydání 3 Předmluva k vydání Tento učební text navazuje
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
Více13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
Více