6 kapitola Z 0 7akladn funkce v C

Transkript

1 1 3Z kladn funkce v C kapitola6

2 1 32 HERB Line rn funkce f : w = az + b, a, b й C, a ы 0, D(f) = C 6с5. i) H(f) = C 6с5 ; ii) ч f 6х6 6с1 З ч; iii) f je jednozna 0 0n, prost a spojit funkce na C 6с5 ; iv) line rn funkce f : w = z + b, z й C 6с5, b й C, p 0 0edstavuje posunut roviny o vektor [Re b, Im b]; v) line rn funkce f : w = az, z й C 6с5, a й C, a ы 0, p 0 0edstavuje (a) pro a = 1 identick і zobrazen, (b) pro a = 1 oto 0 0en o hel 0м1 (a = e i 0м1 ) okolo po 0 0 tku proti sm їru hodinov 0 5ch ru 0 0i 0 0ek, (c) pro a = 6с11 st 0 0edovou soum їrnost (oto 0 0en o hel іп), (d) pro a й R + stejnolehlost s kvocientem a a st 0 0edem v po 0 0 tku, (e) pro a й C, a ы 0, superpozici oto 0 0en a stejnolehlosti.

3 1 3HERB Argument f : w = Arg z = {іа й R : z = z (cos іа + i sin іа)}, D(f) = C \ {0}. Obr zek 6.1: Graf argumentu Arg z a hlavn hodnoty argumentu arg z. i) funkce f : z 6х6 6с1 З Arg z je nekone 0 0n їzna 0 0n funkce; ii) funkce f : z 6х6 6с1 З arg z je jednozna 0 0n a spojit na C \ {z й R : z э 0} (Gaussova rovina bez z porn і vodorovn і poloosy); iii) funkce arg z je nespojit v ka 0 6d іm bod ї z 0 й {z й R : z э 0}: lim z З z 0 z 0 < 0 Im z щ 0 arg z = arg z 0 = іп, lim z З z 0 z 0 < 0 Im z < 0 arg z = 6с1іп.

4 1 34 HERB Kruhov inverze i) H(f) = C 6с5 ; ii) 0 6х6 6с1 З f ч, ч 6х6 6с1 З f 0; f : w = 1 z, D(f) = C 6с5. iii) f je jednozna 0 0n, prost a spojit funkce na C 6с5 ; iv) kru іznici z = 1 p 0 0ev d kruhov inverze na kru іznici w = 1, vn їj 0 8ek t іto kru іznice na jej vnit 0 0ek a obr cen ї.

5 1 3HERB Line rn lomen funkce 6Ь1 az + b 6Ь4 6Ь2 f : w = cz + d 6Ь4 6Ь3 a c i) H(f) = C 6с5 ; ii) 6с1 d c f 6х6 6с1 З ч; pro z ы ч, pro z = ч. a, b, c, d й C, c ы 0, ad 6с1 bc ы 0, D(f) = C 6с5. iii) jednozna 0 0n, spojit a prost funkce z C 6с5 na C 6с5 ; iv) w = az + b cz + d = a 1 c + (bc 6с1 ad) c 2 ; z + d c v) inverzn zobrazen line rn lomen і funkce je line rn lomen funkce 6Ь1 dw 6с1b 6Ь4 6Ь2 pro w й C \ { } a 6с1cw+a c, f 6с11 (w) = ч pro w = a c 6Ь4 6Ь3, 6с1 d pro w = ч; c vi) line rn lomen і zobrazen zobrazuje zobecn їn і kru 0 6nice na zobecn їn і kru 0 6nice (p 0 0 mky a kru 0 6nice v C 6с5 naz 0 5v me zobecn їn 0 5mi kru 0 6nicemi v C 6с5 ); vii) line rn lomen і zobrazen zobrazuje oblasti, na kter і rozd їluje rovinu zobecn їn kru іznice іц na oblasti, na kterou rozd їluje rovinu zobecn їn kru іznice f(іц); viii) line rn lomen і zobrazen zachov v dvojpom їr 6я6z 1, z 2, z 3, z 4 й C 6с5 : (z 1, z 2, z 3, z 4 ) = (f(z 1 ), f(z 2 ), f(z 3 ), f(z 4 )), kde dvojpom їr uspo 0 0 dan і 0 0tve 0 0ice navz jem r 0 1zn 0 5ch bod 0 1 z 1, z 2, z 3, z 4 й C 6с5 je definov n 6Ь1 z 3 6с1 z 1 6Ь4 6Ь2 : z 4 6с1 z 1 = z 3 6с1 z 1 є z4 6с1 z 2 pro z 1, z 2, z 3, z 4 й C, (z 1, z 2, z 3, z 4 ) = z 3 6с1 z 2 z 4 6с1 z 2 z 3 6с1 z 2 z 4 6с1 z 1 6Ь4 6Ь3 lim (z 1, z 2, z 3, z 4 ) pro z k = ч, k й {1, 2, 3, 4}; z k З ч ix) line rn lomen і zobrazen w = f(z), kter і zobrazuje navz jem r 0 1zn і body z 1, z 2, z 3 й C 6с5 po 0 0ad ї na navz jem r 0 1zn і body w 1, w 2, w 3 й C 6с5 je jedin і a je ur 0 0eno jednozna 0 0n ї vztahem (z 1, z 2, z 3, z) = (w 1, w 2, w 3, w).

6 6 HERBA 0 7R 0Ґ8 n-ta 0 7 mocnina f : w = zn, n й N, D(f ) = C 6с5. i) H(f ) = C 6с5 ; f f ii) 0 7 6с1 З 0, ч 7 6с1 З ч. iii) n-ta 0 7 mocnina je jednoznac 0Ґ8na 0 7 a spojita 0 7 funkce na C 6с5. Obra 0 7zek 6.2: Zobrazen pomoc druhe 0 7 mocniny w = z 2. Obra 0 7zek 6.3: Zobrazen pomoc tr 0Ґ8et mocniny w = z 3. Obra 0 7zek 6.4: Zobrazen pomoc c 0Ґ8tvrte 0 7 mocniny w = z 4.

7 HERBA 0 7R 0Ґ8 7 n-ta 0 7 odmocnina f :w= л n z C 6с5 = {w й C 6с5 : wn = z}, n й N, n щ 2, D(f ) = C 6с5. Obra 0 7zek 6.5: Graf druhe 0 7, tr 0Ґ8et a c 0Ґ8tvrte 0 7 odmocniny (Riemannovy plochy). i) H(f ) = C 6с5 ; f f ii) 0 7 6с1 З 0, ч 7 6с1 З ч; iii) n-ta 0 7 odmocnina je n-znac 0Ґ8na 0 7 funkce. Obra 0 7zek 6.6: Zobrazen pomoc druhe 0 7 odmocniny w = Obra 0 7zek 6.7: Zobrazen pomoc tr 0Ґ8et odmocniny w = л л 3 z. z.

8 1 38 HERB Exponenci ln funkce f : w = e z = + ч ф n=0 z n, D(f) = C. n! i) H(f) = C \ {0}; ii) exponenci ln funkce je jednozna 0 0n funkce; iii) pro z = x + i y plat e z = e x+i y = e x (cos y + i sin y); iv) exponenci ln funkce je periodick v Im z s periodou 2іп (pro z = i y plat e z = e i y = cos y + i sin y);

9 1 3HERB Logaritmick funkce f : w = Ln z = {w й C : e w = z}, D(f) = C \ {0}. i) H(f) = C; Obr zek 6.8: Graf logaritmick і funkce. ii) logaritmick funkce je nekone 0 0n їzna 0 0n funkce; iii) je-li w 0 й Ln z, potom Ln z = {w й C : w = w 0 + i 2kіп, k й Z}; iv) Ln z = ln z + i Arg z; v) hlavn hodnota logaritmu ln z = ln z + i arg z; vi) hlavn hodnota logaritmu je jednozna 0 0n a prost (tj. jednolist ) funkce na mno іzin ї C \ {0}; vii) ln z = ln r + i 0м1, z = r e i 0м1, 0м1 й ( 6с1іп, іп, r > 0.

10 1 310 HERB Goniometrick і funkce sin z = ei z 6с1 e 6с1i z 2i cos z = ei z + e 6с1i z 2, tg z = sin z cos z,, cotg z = cos z sin z, D(sin) = C, D(cos) = C, D(tg) = C, D(cotg) = C. i) H(sin) = H(cos) = C, H(tg) = H(cotg) = C 6с5 \ { юi }, ii) sin z, cos z, tg z a cotg z jsou jednozna 0 0n і funkce, iii) sin z a cos z jsou periodick і funkce v Re z s periodou 2іп, iv) tg z a cotg z jsou periodick і funkce v Re z s periodou іп.

11 HERBA 0 7R 0Ґ8 11 Cyklometricke 0 7 funkce Arcsin z = {w й C : sin w = z}, D(Arcsin) = C, Arccos z = {w й C : cos w = z}, D(Arccos) = C, Arctg z = {w й C : tg w = z}, Arccotg z = {w й C : cotg w = z}, D(Arctg) = C 6с5 \ { юi }, D(Arccotg) = C 6с5 \ { юi }. Obra 0 7zek 6.9: Grafy cyklometricky 0 7ch funkc (Riemannovy plochy). i) H(Arcsin) = H(Arccos) = H(Arctg) = H(Arccotg) = C; ii) cyklometricke 0 7 funkce jsou nekonec 0Ґ8ne 0Ґ8znac 0Ґ8ne 0 7 funkce; iii) hlavn hodnoty oznac 0Ґ8ujeme arcsin, arccos, arctg, arccotg; iv) hodnoty arkustangens a arkuskotangens v bode 0Ґ8 ч: Arctg ч = (2k + 1) іп2, k й Z, Arccotg ч = kіп, k й Z.

12 1 312 HERB Hyperbolick і funkce sinh z = ez 6с1 e 6с1z 2 cosh z = ez + e 6с1z 2, tgh z = sinh z cosh z,, cotgh z = cosh z sinh z, D(sinh) = C, D(cosh) = C, D(tgh) = C, D(cotgh) = C. i) H(sinh) = H(cosh) = C, H(tgh) = H(cotgh) = C 6с5 \ { ю1}, ii) sinh z, cosh z, tgh z a cotgh z jsou jednozna 0 0n і funkce, iii) sinh z a cosh z jsou periodick і funkce v Im z s periodou 2іп, iv) tgh z a cotgh z jsou periodick і funkce v Im z s periodou іп; v) Plat sin(z 1 ю z 2 ) = sin z 1 cos z 2 ю cos z 1 sin z 2, cos(z 1 ю z 2 ) = cos z 1 cos z 2 6с2 sin z 1 sin z 2, sinh(z 1 ю z 2 ) = sinh z 1 cosh z 2 ю cosh z 1 sinh z 2, cosh(z 1 ю z 2 ) = cosh z 1 cosh z 2 ю sinh z 1 sinh z 2, sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, cosh z = cos i z, cos z = cos x cosh y 6с1 i sin x sinh y, cosh i z = cos z, sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y, sinh z = 6с1i sin i z, cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y, sinh i z = i sin z.

13 1 3HERB Hyperbolometrick і funkce Argsinh z = {w й C : sinh w = z}, D(Argsinh) = C, Argcosh z = {w й C : cosh w = z}, D(Argcosh) = C, Argtgh z = {w й C : tgh w = z}, D(Argtgh) = C 6с5 \ { ю1}, Argcotgh z = {w й C : cotgh w = z}, D(Argcotgh) = C 6с5 \ { ю1}. i) H(Argsinh) = H(Argcosh) = H(Argtgh) = H(Argcotgh) = C; ii) hyperbolometrick і funkce jsou nekone 0 0n їzna 0 0n і funkce; iii) hlavn hodnoty ozna 0 0ujeme argsinh, argcosh, argtgh, argcotgh; iv) hodnoty argumentu hyperbolick іho tangens a argumentu hyperbolick іho kotangens v bod ї ч: Argtgh ч = (2k + 1) іп 2 i, k й Z, Argcotgh ч = kіпi, k й Z.

14 1 314 HERB Obecn mocninn a exponenci ln funkce f : w = z a = e a Ln z, D(f) = C \ {0}, a й C, f : w = a z = e z Ln a, D(f) = C, a й C \ {0}. 6Ь1 6Ь4 6Ь2 jednozna 0 0nou pro a й Z, i) a-t mocnina z a je funkc n-zna 0 0nou pro a й Q, a = m, m й Z, n й N, n 6Ь4 6Ь3 nekone 0 0n їzna 0 0nou pro a й C \ Q;