I. termodynamický zákon

Transkript

1 řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho zákldě potom pomocí metod termodynmiky odvodíme celou řdu velmi obecných užitečných vzthů jko je vzth mezi tepenými kpcitmi soustvy, obecné rovnice dibt polytrop systémů vzth mezi dibtickým izotermickým koeficientem pružnosti oissonovým koeficientem systému. 4.1 I. termodynmický zákon jeho důsledky Jk jsme již uvedli, I. termodynmický zákon je zákonem zchování energie lze jej formulovt tkto: eplo dodné soustvě se rovná součtu přírůstku vnitřní energie práce kterou soustv vykoná. I. termodynmický zákon můžeme npst v diferenciálním tvru pro nekonečně mlé změny odpovídjících veličin, přičemž z symbolem d vystupují veličiny, které nejsou úplnými diferenciály nějké funkce, z symbolem d nopk vystupují veličiny, které jsou úplnými diferenciály nějké funkce, tedy stvové veličiny, nebo-li termodynmické potenciály. rvní termodynmický zákon zpsný v diferenciálním tvru má při respektování výše uvedených znménkových konvencí pro práci teplo tvr d Q du + d W (4.1) po jeho integrci Q U 2 U 1 + W U + W. (4.2) šimněme si že rozdíl dvou veličin, které nejsou úplnými diferenciály může dát úplný diferenciál. řepisem I. termodynmického zákon v diferenciálním tvru dostneme du d Q d W. 4 43

2 Michl rdy řednášk 4: I. termodynmický zákon Z I. termodynmického zákon je okmžitě možné odvodit několik nejzřejmějších důsledků pro několik speciálních přípdů soustv dějů: 1. ro izolovnou soustvu: Izolovná soustv si s okolím nevyměňuje ni teplo ni práci, tedy Q 0, W 0 U 0, tkže v izolovné soustvě zůstává vnitřní energie konstntní bez ohledu n to zd v ní probíhjí nějké děje. 2. ro dibticky izolovnou soustvu: dibticky izolovná soustv si s okolím nevyměňuje teplo, le může kont práci. Okmžitě dostáváme Q 0 W U, tkže práce v dibticky izolovné soustvě je rovn záporně vzté změně vnitřní energie. 3. ro kruhové děje ři kruhových dějích se soustv vždy vrcí do svého původního stvu, tedy pro uzvřený cyklus pltí du 0 U 0 Q W, tkže celkové teplo, které soustv přijl během jednoho cyklu je rovno práci, kterou soustv během cyklu vykoná. okud soustv během cyklu přijme teplo Q 1 odevzdá teplo Q 2 potom výsledné teplo přijté soustvou během cyklu je smozřejmě rovno práci, kterou soustv během cyklu vykoná, tedy Q Q 1 Q 2 W zth mezi tepelnými kpcitmi soustvy Již ze studi termiky víme, že tepelná kpcit soustvy závisí n způsobu jkým probíhá její ohřev či chldnutí. Ukžme si nyní jkým způsobem lze z I. termodynmického zákon určit rozdíl tepelných kpcit soustvy při konstntní zobecněné síle souřdnici, tedy C C. oto odvození velmi pěkně demonstruje metody termodynmiky. ýše uvedený vzth odvodíme bez jkýchkoli předpokldů o vnitřní struktuře látek, pouze n zákldě definic tepelných kpcit C C Q Q II. postulátu termodynmiky plikovného n vnitřní energii, (4.3) (4.4) U U(, ) (4.5) 4 44

3 I. termodynmický zákon jeho důsledky Michl rdy zákon zchování energie, tedy I. termodynmického zákon d Q du + d. (4.6) Nejprve zjednodušíme výrz pro C. Z I. termodynmického zákon vyplývá, že je-li konst tedy d 0, potom d Q du. zth (4.4), lze přepst tkto Q C. (4.7) S využitím vzthu (4.5) vyjádříme úplný diferenciál vnitřní energie du d + d, (4.8) který dosdíme li z du do I. termodynmického zákon. o jednoduché úprvě dostáváme d Q d + + d C d + + d. (4.9) oto je teplo přijté soustvou, mění li se během ohřevu jk teplot, tk i zobecněná souřdnice. ydělíme li poslední vzth d nové derivce provedeme při konstntní zobecněné síle, dostneme vzth pro C C. (4.10) Q C + + Sndnou úprvou získáme výsledný hledný vzth pro C C C C +. (4.11) rvní člen n prvé strně rovnice vyjdřuje změnu vnitřní energie soustvy se změnou jejího objemu při konstntní teplotě získáme ho z klorické stvové rovnice zkoumného systému. Druhý člen předstvuje zobecněnou sílu v dném systému poslední člen n prvé strně rovnice má význm změny objemu soustvy s teplotou při stálém tlku. Z tohoto vzthu je jsně ptrná příčin toho, proč pro kpliny pevné látky jsou tepelné kpcity C p C v téměř stejné, ztímco pro plyny se podsttně liší. říčin je v derivci, (4.12) vystupující ve vzthu (4.11) jko poslední člen n prvé strně. to derivce vpodsttě vyjdřuje koeficient teplotní objemové roztžnosti, který je u pevných látek kplin velmi mlý tedy tké rozdíly C C jsou mlé. N druhou strnu pro plyny má koeficient teplotní objemové roztžnosti poměrně znčnou velikost proto tké C C nbývá neznedbtelných hodnot. Fyzikální důvod nerovnosti tepelných kpcit C C spočívá v tom, že při ohřevu z stálé zobecněné síly roste jednk vnitřní energie soustvy, le tké se mění odpovídjící zobecněná souřdnice, tkže soustv nvíc koná 4 45

4 Michl rdy řednášk 4: I. termodynmický zákon ještě práci d n okolí. robíhá li ohřev soustvy při konstntní zobecněné souřdnici, roste pouze vnitřní energie soustvy, le práce se nekoná, protože d 0. oznmenejme ještě, že vzth pro C C lze ještě dále uprvit pomocí rovnice určující vzth mezi klorickou termickou stvovou rovnicí, kterou odvodíme později pomocí entropie. (4.13) Dosdíme li tuto rovnici do (4.11) dostneme C C. (4.14) idíme tedy, že k určení rozdílu tepelných kpcit systému zcel postčuje znlost pouze termické stvové rovnice Myerův vzth Určeme nyní C m C m, tedy rozdíl molárních tepelných kpcit pro ideální plyn. řepíšeme li vzth (4.11) pro systém, kde zobecněnou silou je tlk, tedy, zobecněnou souřdnicí objem, tedy, pro jeden mol plynu dostneme C m C m 1 +. (4.15) n bychom mohli do tohoto vzthu dosdit hodnoty jednotlivých derivcí, potřebujeme nejprve klorickou stvovou rovnici. Jk již víme (viz čl ), t je pro ideální plyn dná definitoricky 0. (4.16) Z termické stvové rovnice pro jeden mol plynu R dostneme derivci nr nr. (4.17) o doszení do rovnice (4.15) okmžitě dostneme C m C m 1 n [0 + ] R R, (4.18) tedy známý Myerův vzth C m C m R. (4.19) Odvod me nyní stejný vzorec ještě jednou, le pomocí vzthu (4.14) C m C m. (4.20) 4 46

5 Zákldní termodynmické děje jejich rovnice Michl rdy K doszení do tohoto vzthu potřebujeme pouze termickou stvovou rovnici pro jeden mol plynu. ro první derivci dostneme nr nr, (4.21) ztímco derivci druhou v pořdí máme již spočtenou (4.17). Dosdíme tedy do obecného vzthu (4.20) C m C m 1 n nr nr R (4.22) protože nr/ dostáváme stejný výsledek, tedy známý Myerův vzth. 4.2 Zákldní termodynmické děje jejich rovnice Nyní se budeme zbývt termodynmickými vrtnými ději, při nichž je některá stvová veličin nebo funkce konstntní nebo nulová odvodíme jejich obecné rovnice Izotermické, izochorické izobrické děje Obecné rovnice izotermických, izochorických izobrických dějů dostneme z termické stvové rovnice (,), kterou přepíšeme do tvru f(,,) 0, držíme li vždy jednu ději odpovídjících stvových veličin konstntní. Dostáváme tk pro izotermický děj 0f konst (,, ), (4.23) pro izochorický děj pro izobrický děj 0f konst (,, ) (4.24) 0f konst (,, ). (4.25) Zde jsme npsli obecné rovnice těchto dějů pro soustvy v nichž roli zobecněné síly hrje tlk zobecněné souřdnice objem. ro soustvy s jinými zobecněnými silmi souřdnicemi jen nhrdíme ptřičné veličiny. plikujeme-li uvedené vzthy n ideální plyn dostneme s využitím termické stvové rovnice ideálního plynu Rn pro izotermický děj tedy Boyle Mrriotteův zákon, pro izochorický děj Rn konst, (4.26) Rn konst, (4.27) 4 47

6 Michl rdy řednášk 4: I. termodynmický zákon tedy Chrlesův zákon pro izobrický děj Rn konst, (4.28) tedy Gy Lusscův zákon. Zdůrzněme ještě, že obdobné zákonitosti lze ze znlosti termické stvové rovnice získt pro libovolný systém, držíme li konstntní teplotu, zobecněnou souřdnici nebo zobecněnou sílu dibtické polytropické děje dibtické děje dibtické děje jsou chrkterizovány podmínkou d Q 0. Odvod me nyní obecnou rovnici dibty. yjdeme z I. termodynmického zákon pro dibtické děje 0 du + d. (4.29) ento vzth uprvíme doszením z úplný diferenciál vnitřní energie du d + d. (4.30) Dostneme 0 d + + d C d + + d, (4.31) kde z C jsme dosdili ze vzthu (4.7). Z výrz v hrnté závorce lze dosdit ze vzthu (4.11) + C C. (4.32) Doszením tohoto vzthu do rovnice (4.31) dostneme což lze uprvit jko 0C d + C C d, (4.33) 0C d +(C C ) d. (4.34) ím jsme dostli obecnou rovnici dibty systému v proměnných. Z uvedeného vzthu je ptrné, že k odvození rovnice dibty pro konkrétní systém stčí znát termickou stvovou rovnici systému. Chceme-li obecnou rovnici dibty v proměnných, je nutno využít termickou stvovou rovnici systému (, ), vyjádřit z ní teplotu (, ), npst její úplný diferenciál d d + d (4.35) 4 48

7 Zákldní termodynmické děje jejich rovnice Michl rdy dosdit do vzthu (4.34). o jednoduché úprvě dostneme 0 C d + C d +(C C ) C d + C C d + C Dostli jsme tk hledný vzth pro dibtu v proměnných 0 d + C d C d (4.36) d (4.37) d. (4.38) d + κ d, (4.39) kde je tzv. oissonův koeficient. κ C C, (4.40) olytropické děje olytropické děje jsou chrkterizovány podmínkou C konst, tedy tepelná kpcit systému je konstntní. ři polytropických dějích si systém s okolím vyměňuje teplo d Q C d. Odvod me obecnou rovnici polytropy. ostup bude velmi podobný jko u odvození obecné rovnice dibty. Opět vyjdeme z I. termodynmického zákon, tentokrát pro polytropické děje C d du + d. (4.41) ento vzth uprvíme doszením z úplný diferenciál vnitřní energie du d + d. (4.42) Dostneme C d d + + d C d + + d, (4.43) kde z C jsme dosdili ze vzthu (4.7). ýrz v hrnté závorce lze opět přepst pomocí vzthu (4.32) což lze uprvit jko C d C d + C C d, (4.44) 0 d + C C d. (4.45) C C 4 49

8 Michl rdy řednášk 4: I. termodynmický zákon ím jsme dostli obecnou rovnici polytropy systému v proměnných. Opět je ptrné, že k odvození polytropy pro konkrétní systém stčí znát termickou stvovou rovnici systému. Chceme-li obecnou rovnici polytropy v proměnných, je opět nutno využít termickou stvovou rovnici systému (, ), vyjádřit z ní teplotu (, ) npst její úplný diferenciál, viz rovnice (4.35). Doszením tohoto vzthu do rovnice (4.45) dostneme 0 d + d + C C C C d + 1+ C C C C d + C C C C Dostli jsme tk hledný vzth pro polytropu v proměnných 0 d (4.46) d (4.47) d. (4.48) d + γ d, (4.49) kde je tzv. polytropický koeficient. γ C C C C, (4.50) dibtický polytropický děj s ideální plyn Ze znlosti obecné rovnice dibtického je děje z termické stvové rovnice ideálního plynu lze nyní již velmi jednoduše určit rovnici dibty v libovolné dvojici stvových veličin. Npříkld ve stvových veličinách dostneme dibtu doszením do rovnice (4.39), kde z zobecněnou sílu dosdíme tlk z zobecněnou souřdnici objem 0 Zbývá ze stvové rovnice ideálního plynu R vyjádřit derivce R R Doszením do (4.54) dostneme diferenciální rovnici d + κ d. (4.51) R (4.52) R. (4.53) 0 R d + κ d, (4.54) R 4 50

9 zth mezi koeficienty pružnosti tepelnými kpcitmi Michl rdy kterou po jednoduché úprvě můžeme integrovt d + κ d ln + κ ln ln konst, (4.55) tedy κ konst, (4.56) což je hledná rovnice dibty pro ideální plyn, tzv. oissonův zákon ve stvových proměnných, kde κ C C > 1, (4.57) je tzv. oissonův koeficient. řechod k jiné dvojici stvových proměnných lze uskutečnit sndno bud zkombinováním výše uvedeného vzthu se stvovou rovnicí, nebo přepsáním obecné rovnice dibty do nových proměnných pomocí obecné termické stvové rovnice. Dostli bychom tk rovnici dibty v proměnných v proměnných, κ 1 konst (4.58) κ 1 κ konst. (4.59) Rovnici polytropy ideálního plynu dostneme obdobným způsobem z obecné rovnice polytropy v proměnných, 0 d + γ d. (4.60) z termické rovnice ideálního plynu. zhledem k tomu, že tto rovnice je ž n koeficient γ zcel obdobná jko obecná rovnice dibty, je zřejmé, že dostneme γ konst, (4.61) což je hledná rovnice polytropy pro ideální plyn ve stvových proměnných, kde γ C C C C, (4.62) je tzv. polytropický koeficient. ro C 0je zřejmé, že γ κ polytrop přechází v dibtu. ro C je γ 1 polytrop přechází v izotermu. ři přechodu k jiné dvojici stvových proměnných mjí rovnice polytropy obdobný tvr jko rovnice (4.58) (4.59), kde koeficient κ nhrdíme γ. 4.3 zth mezi koeficienty pružnosti tepelnými kpcitmi Izotermický dibtický koeficient pružnosti definujeme tkto ε (4.63) 4 51

10 Michl rdy řednášk 4: I. termodynmický zákon ε S S, (4.64) přičemž znménko minus zjišt uje kldnost koeficientů, vzhledem k tomu, že při stlčování (zmenšování objemu systému) musí růst tlk. I. termodynmický zákon nám umožňuje njít vzth mezi poměrem těchto koeficientů tepelnými kpcitmi soustvy. ento vzth nyní odvodíme. Nejprve vyjádříme poměr obou veličin ε S ε Nyní použijeme obecnou rovnici dibty (4.39) 0 vyjádříme z ní derivci S S S. (4.65) d + κ d (4.66) κ. (4.67) Z rovnice izotermy d 0termické stvové rovnice z níž vyjádříme teplotu (,) dostneme d d + d 0 (4.68) tedy derivce je Nyní dosdíme z obě tyto derivce do (4.65). Dostneme ε S ε S κ ( ) ( ) ( ) ( ). (4.69) κ. (4.70) Dostli jsme tk jednoduchý vzth, který musí být splněn mezi dibtickým izotermickým koeficientem pružnosti oissonovým koeficientem κ C /C soustvy ε S ε κ. (4.71) řipomeňme ještě jednou, že tento, opět velmi obecný vzth, je důsledkem I. termodynmického zákon. 4.4 říkldy k procvičení 1. ro ideální izotropní prmgnetikum je vnitřní energie funkcí pouze teploty U U( ) jeho termická stvová rovnice je dán Curiovým zákonem M CH, kde C je Curieho konstnt, H intenzit mgnetického pole v prmgnetiku je jeho teplot. 4 52

11 říkldy k procvičení Michl rdy () Určete rozdíl tepelných kpcit C H C M, při konstntní intenzitě mgnetického pole H mgnetizci M. (b) Odvod te rovnici dibty izotropního ideálního prmgnetik. 2. Určete c m c m pro vn der Wlsův plyn. 3. Určete rovnici dibty pro fotonový plyn v dutině bsolutně černého těles (tedy v termodynmické rovnováze se stěnmi bsolutně černého těles) je-li jeho klorická stvová rovnice dán Stefn Boltzmnnovým zákonem U σ 4 termická stvová rovnice vzthem 1 3 σ 4. σ je konstnt Stefn Boltzmnnov zákon, teplot stěn bsolutně černého těles objem dutiny. 4. Uvžte dibtickou expnzi ideálního plynu ze stvu 1, 1, 1 do stvu 2, 2, 2. () Dokžte, že práce vykonná při expnzi plynu je rovn W 2 1 d κ 1. (b) Ukžte, že tto práce je rovn záporně vzté změně vnitřní enrgie plynu při expnzi, že je tedy splněn I. termodynmický zákon. 5. Určete podmínku kdy dibt dq 0splývá s izotermou d Klorická stvová rovnice pro 1 mol vn der Wlsov plynu je U 3 2 R. ředpokládejte, že počáteční stv 1 molu tohoto plynu má teplotu 1 je uzvřen v objemu 1. určitém okmžiku umožníme plynu expndovt do vku, tkže po expnzi zbírá plyn celkový objem 2. Jkou výslednou teplotu 2 bude mít plyn? 7. Jk by se změnil teplot ideálního plynu, kdybychom s ním provedli stejnou expnzi do vku jko v předšlém příkldu? 8. Entlpie H je definován vzthem H U +. yjádřete tepelnou kpcitu systému při konstntním tlku C pomocí entlpie. 9. Dle termodynmické definice ideálního plynu závisí jeho vnitřní energie pouze n teplotě. Dokžte, že teplo d Q dodné ideálnímu plynu se stne úplným diferenciálem vydělíme-li jej teplotou. 4 53

12 Michl rdy řednášk 4: I. termodynmický zákon 4 54