Hádanka kněží boha Ra

Transkript

1 Háanka kněží boha Ra Stojíš pře stěno, a ktero je stna Lotos jako krh Slnce. Vele stny je položen jeen kámen, jeno láto a va stvoly třtiny. Jeen stvol je lohý tři míry, rhý vě míry. Stvoly (opřené ve stabilní poloe v iametrálně protilehlých boech na okraji na) se kříží na povrch voy ve stni Lotos a ten povrch je jen mír nae nem. Ko rčí velikost nejelší úsečky, ktero le místit o na stny Lotos, ten si veme oba stvoly a be kněem boha Ra. Jinými slovy: Vypočítejte průměr stny tvar válce, stvoly jso postaveny na no tak, že kolmý průmět kažého nich na postav válce je týmž průměrem postavy válce. Úloha pocháí e starověkého Egypta a abych prav řekl, jaksepatří mi avařila šiškebab. Nejřív si opětovně ěláme náčrtek: Vtahy s omocninami vlevo a vpravo jso ovoené pomocí Pythagorovy věty (ktero ve starém Egyptě nenali) trojúhelníků ABC a ABD. Dále vyjeme s poobností trojúhelníků ATV a ABD (věta ) a trojúhelníků BTV a BAC (věta ) a sestavíme vě rovnice (áme o poměr opovíající si strany): 4 9 V první rovnici nahraíme výra levo strano rhé rovnice a ostaneme tak jen rovnici o nenámé :. Výray po omocninami mi přijo příliš 4 9 složité, tak aveeme sbstitci = 4. Výra 9 tím páem přepíšeme na +. Rovnice rčitě troch prokokne.

2 No, prokokla, ale ne moc. Zksíme ji troch pravit. Nejřív se bavíme lomků, protože lomek (jak smýšlejí mí raí stenti) je o slova ZLO! 4 3 Na pravé straně atkneme a poté rovnici tímto výraem vyělíme. A ž je tam as lomek! A těch omocnin je tam taky požehnaně. Tak to celé mocníme (vpravo pole vorce!) Na levé straně proveeme příslšné ělení. Jak se ělí výray s proměnnými rčitě všichni náte, vysvětlovati tíž netřeba. Hm, pořá mi to přije jakési složité. Zaveeme tey ještě jen sbstitci (neělám si sran) =. Rovnici vynásobíme kvaratickým vojčlenem +, seřaíme a jelikož vnikne rovnice čtvrtého stpně, poksíme se rčit alespoň přibližné řešení. Mimochoem, v této fái úlohy ž je na Slnce jasné, že staří Egypťané postpovali jinak. Z meto, pomocí kterých se á rčit přibližné řešení takto nechtné rovnice, požijeme meto tečen. Za prvé je rčitě nejjenošší a a rhé jino ani nenám. Tato metoa se naývá Newtonova, čehož je patrné, že ji vymyslel jeen největších borců na poli věy, co ky žili. Poksím se tto meto krátce vysvětlit. Máme fnkci f, která je na rčitém avřeném interval spojitá a monotónní (tj. pořá rostocí nebo pořá klesající), ále nemá na tomto interval žáný inflení bo (tj. je pořá konvení nebo konkávní) a nechť se honoty fnkce v krajních boech tohoto interval liší naménkem (tj. eistje na tomto interval průsečík graf fnkce s oso ). Vybereme si nějaké číslo tohoto interval a sestrojíme v tomto boě tečn ke graf fnkce f. Tečna je přímka a její směrnice je erivací fnkce f v boě (áklaní geometrický výnam erivace fnkce). Má tey rovnici y = f ( ) + q; ke číslo q ává posn přímky po ose y. Do rovnice osaíme sořanice bo otyk [ ; y ], ke y = f( ), a vyjáříme q. f f q f f q Naše tečna má také průsečík s oso. Jeho sořanice, které onačíme [ ; ], msejí vyhovovat rovnici tečny. Takže opět osaíme: f Z rovnice vyjáříme. q q Za číslo q osaíme a pravíme. f

3 f f f f f Takto ostaneme. Je to jakási první aproimace námi hleaného průsečík graf fnkce s oso. Beme-li chtít rho a přesnější aproimaci, stačí vtah přeineovat. Dostaneme: f f No a tak můžeme pokračovat ál a ál o té oby, než osáhneme požaované přesnosti. Osobně na tyto výpočty oporčji požít nějaký program (např. Microsoft Ecel), jinak je to ocela řina. Pro náornost ještě jeen obráek. Je na něm patrné, jak se postpné aproimace blíží k hleaném průsečík graf fnkce s oso (jehož -ová sořanice je řešením rovnice f() = ). 4 3 Tak a teď pět k háance kněží boha Ra. Řešení rovnice je vlastně hleáním průsečík graf příslšné fnkce s oso. Fnkci onačíme stanarně 4 3 f : y. Nejříve msíme najít vhoný avřený interval vyhovjící pomínkám výše. Vraťme se k průměr stny. Aby menší stvol alespoň čohal voy, msí platit: 4. Z toho po jenochých úpravách plyne < 3. Uvažme na chvíli, že průměr stny be roven čísl. Pak 4 3, 9 8. Výšk hlainy onačíme v. Z poobností trojúhelníků ATV a ABD a trojúhelníků BTV a BAC plyne: v Z rhé rovnice osaíme o první a vyjáříme v. 3 8 v 3 přibližně, (což je moc). Z toho plyne, že průměr stny >. Celkem 8 tey platí:

4 3. Přejeme k první sbstitci, tj. nenámé = 4. Z tohoto vtah vyjáříme. 4 4 Dostaneme sostav nerovnic: 4 3 Umocníme Teď ž bývá jen přejít k proměnné aveené vtahem = Zajímají nás poe klaná čísla, hleaný interval je tíž ; 3. To by bylo. Nyní je třeba rčit první a rho erivaci. To by neměl být pro nikoho problém. 3 f 4 6 f Položíme-li rho erivaci rovn, aná kvaratická rovnice nemá řešení. Snano ověříme, že rhá erivace je pro všechna R klaná, tíž fnkce je na celém svém efiničním obor konvení. Gt. První erivace je však ocela oříšek. Položíme-li ji rovn (hleáme lokální etrémy fnkce), ostaneme kbicko rovnici, která je sice obecně řešitelná, její řešení však není v mých možnostech. Takže si vypomůžeme programem Microsoft Ecel, ke proveeme pár ílčích výpočtů. číslo honota fnkce honota první erivace - -,73,8787,, -,479 -,936, -,84,7,3 -,879,648,4 -,8464 3,6, -,437,6,66 7,4 Z tablky viíme, že aný interval (vynačen žltě) nevyhovje, erivace je nejříve áporná a potom klaná, fnkce má něke mei, a, lokální minimm. Jako nejvhonější pro žití Newtonovy metoy se jeví interval,;, 6. Položíme tey =, a proveeme pár alších výpočtů.

5 aproimace čitatel jmenovatel náslející aproimace, -,437,87,87,7473 6,77,7633,7633,36 6,97, ,769 4,E-7 6,779,769 4 Z tablky viíme, že 3 = 4 (v přesnosti na pět esetinných míst, což by starým Egypťanům jistě stačilo). Zbývá návrat pět k průměr stny. Je-li =,769, pak = =, =,39. Nejelší úsečka, ktero le místit o na stny Lotos, be lohá přibližně,3 míry. Smekám svůj imaginární klobok pře starými Egypťany!! 4 3 Na ávěr pro úplnost ještě jeen obráek s grafem fnkce f : y. Je na něm viět hleaný průsečík (rhý nevyhovje pomínkám úlohy) i lokální minimm fnkce něke mei =, a =,. y