M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D

Transkript

1 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 ± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a 1; a ] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z a 1 + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i [0; 1]. Pro imaginární jednotku platí: i -1 i 3 -i i 4 +1 i 5 i i 6-1 atd... Algebraický tvar komplexního čísla :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 58

3 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Nechť je dáno komplexní číslo a [a 1; a ]. Jeho vyjádření ve tvaru z a 1 + a i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a 1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z a 1 + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy z 1 Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají. Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. Rovnost komplexních čísel :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 58

4 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Komplexní čísla z 1 a 1 + b 1i a z a + b i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a 1 a a zároveň b 1 b Součet komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 58

5 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich podíl takto: Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 58

6 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 58

7 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky: a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla: Příklad 1: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 58

8 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Příklad : Příklad 3: Příklad 4: Příklad 5: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 58

9 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Příklad 6: Příklad 7: Příklad 8: Vypočtěte i 148 Příklad 9: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 58

10 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Příklad 10: Příklad 11: ± Komplexní čísla - procvičovací příklady i :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 58

11 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D i x 3; y i :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 10 z 58

12 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D , i :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 11 z 58

13 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D , , i :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 58

14 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D i ± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný. Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula - pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. Platí totiž, že např. Ö(-4) i Kvadratická rovnice x -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x 1 i a x -i V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad 1: V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x x (x + 5/7) 0 x + 5/7 0 [x + i.ö(5/7)]. [x - i. Ö(5/7)] 0 x 1 - i. Ö(5/7) x i. Ö(5/7) Příklad : V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x - 4x :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 13 z 58

15 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 D b - 4ac D (-4) x x x x x x 1, 1, 1, 1, 1, 1, - b ± D a - (-4) ± ± i ± i. 6.( ± i. ) 6 ± 3 Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad 3: Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - 1x + 5 Protože kořeny rovnice 4x - 1x jsou čísla 1 ± i x1, ± i 8 dostáváme: 4x æ -1x ç x - è 3 ( x - 3-4i)(. x i) ö æ - i. ç x - ø è 3 ö + i ø ± Kvadratické rovnice v oboru C - procvičovací příklady :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 14 z 58

16 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D ± Stereometrie - Vzájemná poloha Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 15 z 58

17 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé. ± Stereometrie - krychle, kvádr, hranol Krychle Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: S 6.a... S je povrch krychle, a je hrana krychle V a 3... V je objem krychle, a je hrana krychle u s a.ö... u s je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle u t a.ö3... u t je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 16 z 58

18 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: Použité veličiny: a, b, c... délky hran kvádru S... povrch tělesa V... objem tělesa u s... stěnová úhlopříčka u t... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S.(ab + ac + bc) V a.b.c u s Ö(a +b )... CZ u t Ö(a +b +c ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a b, pak vzorce budou v následující podobě: S a + 4ac V a.c u s a.ö (pro podstavu) nebo u s Ö(a +c ) (pro boční stěnu) u t Ö(a +c ) Hranol :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 17 z 58

19 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S.S p + S Q V S P. v... S P je obsah podstavy, S Q je obsah pláště... S P je obsah podstavy, v je výška tělesa Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso. ± Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 18 z 58

20 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 1. Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku. Návod: a 5,4 cm u t? u t a.ö3 u t 5,4.Ö3 u t 9,4 cm (přibližně) Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm.. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,5 m. Vypočtěte jeho objem. Návod: a 3 cm b 4 cm v 0,5 m 5 cm V? V S p.v a. b V. v V 150 cm 3 Objem hranolu je 150 cm V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 5 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá. Návod: a 5 cm,5 dm b 30 cm 3,0 dm V 13,5 l 13,5 dm 3 c? V a.b.c 887 V 13,5 c c a. b,5.3,0 c 1,8 dm 18 cm Voda v akváriu sahá do výšky 18 cm. ± Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 1. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,5 m. Vypočítejte jeho povrch. 31 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 19 z 58

21 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1. Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a 30 dm a úhlopříčky u 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 00 cm, je-li přítok l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. 3 h 0 min 3. Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m 3 byl otesán trám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. 16 kg, 39 % 4. Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 0 cm a hranu podstavy 6 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru : 3. Vypočítejte objem hranolu cm 3 5. Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m 3 lisované slámy 100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75 %? 15,75 t 6. Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m, ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 000 kg/m 3 je v náspu o délce 1 km? t 7. Povrch kvádru je cm. Šířka kvádru je o 0 % menší než jeho délka, výška kvádru je o 50 % větší než jeho délka. Vypočtěte objem kvádru. 074 cm 3 8. Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (4 cm, 1 cm) bylo naplněno vodou do výšky 0 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. 864 cm 3 9. Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. Kolika desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? 7 krát 11. Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v 350 cm? 10 m 3 1. Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 48 cm 3. Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. 0,8 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 0 z 58

22 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 0 cm a hranu podstavy 6 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru : 3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Objem cm 3 ; povrch cm 14. Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 144 cm. Výška sloupu je,5 m. Objem 1,08 m 3 ; povrch 8,7 m 15. Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou 6 cm. Obsah největší stěny pláště je 10 cm a výška hranolu je 1 cm. Vypočítejte objem tělesa. 88 cm Rozměry kvádru jsou v poměru : 3 : 6. Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Určete jeho povrch a objem. Objem je 88 cm 3, povrch je 88 cm. 17. Kvádr má rozměry a 3 cm, b 6 cm, c 8 cm. Vypočtěte velikost největší stěnové úhlopříčky. 10 cm 18. Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka měří 15 cm, jedna odvěsna 1 cm. Objem hranolu je 1,51 dm 3. Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výška 8 cm, povrch cm 19. Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 5 m. V bazénu je litrů vody. Do jaké výšky sahá voda? 1,5 m 0. Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 1 cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. 7,5 l ± Stereometrie - válec Válec :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 58

23 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: S p.r + p.r.v S p d /+ p.d.v V p.r.v V p.d /4.v S... povrch tělesa; r... poloměr podstavy, v... výška tělesa d... průměr podstavy V... objem tělesa Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy. ± Válec - ukázkové příklady :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 58

24 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 1. Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,7 l barvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m, jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř? Návod: d 60 cm 6 dm v 85 cm 8,5 dm V 0 0,7 l 0,7 dm 3 V? Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): S pd / + p.d.v S 3,14.6 / +.3,14.6.8,5 376,8 S 376,8 dm 3,77 m (přibližně) V V 0/S V 0,7 / 3,77 V 0,191 l (přibližně) Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy.. Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 6,8 l a výšce 0,5 m. Návod: V 6,8 l 6,8 dm 3 v 0,5 m 5 dm S p? V S p. v S p V / v S p 6,8 / 5 S p 1,56 dm Obsah podstavy válce je 1,56 dm. ± Válec - procvičovací příklady 1. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody.. V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 94 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Hloubka nádrže je 5 m. 3. Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m. Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Na nátěr sudu se spotřebuje 0,7 litru barvy :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 58

25 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 4. Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu. 5. Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 5 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Válec má průměr 8, cm. 6. Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 1 kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m. Je zapotřebí 33 plechovek. 7. Kanystr tvaru válce s průměrem 8, cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Obsah podstavy kvádru je 65 cm. 8. V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 94 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? hl 9. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30%? Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm. 10. Vypočtěte výšku válce o objemu 6,8 litru, je-li obsah podstavy 1,56 dm. Výška válce je 5 dm ± Stereometrie - jehlan Jehlan :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 58

26 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní. U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V S p.v/3 S S p + S Q Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné. ± Jehlan - ukázkové příklady :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 58

27 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 1. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho kilogramu natřeme 1 m. Zaokrouhlete na stovky. Návod: a 8,4 m v 6,5 m m 0 1 kg c 0 63 Kč S 0 1 m c? Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku v a v æ a ö + ç è ø po dosazení dostáváme v a 7,74 m (přibližně) S 4. a.v a/ a.v a S. 8,4.7,74 S 130 m (přibližně) c S/S 0.c 0 c 130/1.63 c 68,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 58

28 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1. Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejně dlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm. Návod: 903 r 4 cm a h V? [cm 3 ] S? [cm ] Poloměr kružnice opsané je vlastně polovina úhlopříčky čtverce, který tvoří podstavu Pro úhlopříčku platí: u a. Ö, zároveň u. r, proto u. 4 8 a u/ö, tedy a 8/Ö po výpočtu a zaokrouhlení: a 5,66 cm Pokud známe hranu a, známe zároveň i hranu h, která je s ní shodná. Nyní si spočteme tělesovou výšku v a stěnovou výšku v a: v h - r v 4 cm (po zaokrouhlení) æ a ö ç è ø va + v v a 4,9 cm (po zaokrouhlení) v va 5,66 - æ ç è 5,66 ö ø Nyní snadno spočítáme povrch a objem jehlanu: a. v a S a + 4. a +.. a v S 5, ,66. 4,9 87,5 (po zaokrouhlení) S 87,5 cm a V 4,7 cm 3 (po zaokrouhlení) Objem jehlanu je asi 4,7 cm 3, povrch asi 87,5 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 58

29 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 3. Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 7,0 cm 3. Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu. Návod: V 7,0 cm 3 v a? S? V S p.v/3 V a 3 /3 901 a 3 3V Po dosazení: a 6 cm Stěnová výška v a: v a v æ a ö + ç è ø Po dosazení: v a 6,71 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S 1 a.v a/ Obsah pláště: S Q 4.S 1.a.v a Povrch jehlanu: S S P + S Q a +.a.v a Po dosazení: S ,71 S 116,5 cm (přibližně) Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm. ± Jehlan - procvičovací příklady 1. Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou o obsahu 0 m, stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,5 Kč? Natření střechy bude stát 315 Kč.. Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm a výška tělesa je 9 cm. Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 15 cm. Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm. 4. Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a 1 0 cm, a 8 cm a tělesová výška v 17 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany. Délka pobočné hrany je asi 0,1 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 58

30 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 5. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a 17 cm, v 35 cm. Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi cm Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a 7 cm, c 4 cm, v a 3 cm, v 1 cm. Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6 cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm. Objem jehlanu je asi 49,6 cm Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a 10 cm, b 8 cm a tělesová výška je 15 cm. Povrch jehlanu je 36 cm. 9. Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delší než je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm. Objem čtyřbokého jehlanu je asi 381,5 cm Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku 1 dm. Určete tělesovou výšku jehlanu. Tělesová výška jehlanu je asi 1,94 dm. 11. Pobočné hrany o délce 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy odchylku Obsah podstavy je 0 cm. Jak velká je tělesová výška jehlanu? Tělesová výška jehlanu je asi 8,53 cm. 1. Žulový obelisk o výšce 18 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo jeřábem. Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 800 kg/m 3. Jeřáb musí mít minimální nosnost 11 tun. 13. Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a 16 cm, b 1 cm, h 0 cm, kde a, b jsou hrany podstavy a h je pobočná hrana. Povrch jehlanu je asi 714 cm ± Jehlan komolý Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu. Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 58

31 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 ( S + S S S ) 1 V v Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa. S S 1 + S + S Q Příklad 1: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 30 z 58

32 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 ± Stereometrie - kužel Kužel Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče. r... poloměr podstavy v... výška kužele V... hlavní vrchol s... strana kužele Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce: 1 1 V p. r. v V p. d. v 3 1 S p. r + p. r. s 1 S 1 p. d + p. d. s :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 31 z 58

33 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 S... povrch tělesa V... objem tělesa d... průměr podstavy ± Kužel - ukázkové příklady 1. Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m plechu. Návod: d 80 cm v 60 cm m 0 1 kg S 0 6 m m? [kg] Natíráme pouze plášť kužele, proto S p d.s/ (1) Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty: s s v æ d ö + ç è ø æ 80 ö 60 + ø ç è 919 s 7,11 (po zaokrouhlení) Dosadíme do (1): S 3, ,11/ S 9057 cm 0,91 m (po zaokrouhlení) 1 kg... 6 m m [kg]... 0,91 m Jedná se o přímou úměrnost, proto m 1. 0,91/6 m 0,15 kg (o zaokrouhlení) Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,15 kg barvy.. Objem kužele je 1 cm 3, jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele? Návod: V 1 cm 3 v 4 cm S p? [cm ] V Sp. v S p3v/v S p 3.1/4 S p 9 cm Obsah podstavy kužele je 9 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 58

34 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 3. Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 5 a ramenem délky 0,75 m? Návod: 918 Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. a 5 s 0,75 m V? [m 3 ] sin a v/s v s. sin a v 0,75. sin 5 v 0,75. 0,46 v 0, m 0,3 m (po zaokrouhlení) cos a r/s r s. cos a r 0,75. cos 5 r 0,75. 0,9063 r 0, m 0,68 (po zaokrouhlení) V p r v/3 V 3,14.0,68.0,3/3 V 0,155 m 3 (po zaokrouhlení) V 155 dm 3 Objem kužele je 155 dm 3. ± Kužel - procvičovací příklady 1. Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm. Povrch kužele je 68 cm.. Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 3 cm a výškou tělesa 0,5 m. Objem kužele je cm Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky? Výška nálevky je asi 9,6 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 33 z 58

35 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 4. Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm. Objem kužele je cm Kužel má objem cm 3 a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Poloměr podstavy kužele je 9 cm. 6. Kužel má objem 83,7 cm 3 a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výška kužele je 5 cm. 7. Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm. Povrch kužele je 35,5 cm. 8. Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 0 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 1 cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm. 9. Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m. Povrch kužele je 6 09 cm. 10. Rotační kužel má obsah podstavy 8,6 cm a objem celého tělesa je 131,88 cm 3. Určete jeho výšku. Výška kužele je 14 cm. 11. Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Objem kužele je 718 cm V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich dl nápoje? Větší objem má sklenička 1. typu; dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky. 13. Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 0 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody. 14. Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady,6 m a největší šířka hromady 7 m? Na hromadě je uloženo asi 33,3 m 3 písku ± Kužel komolý Komolý kužel Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 34 z 58

36 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů. Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele. S S + S + 1 S Q Příklad 1: Příklad : :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 35 z 58

37 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 ± Stereometrie - koule Koule Koule je prostorové těleso. Jedná se o těleso, které je tvořeno body, jež mají od jediného pevně zvoleného bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru. U koule počítáme opět povrch nebo objem. d... průměr koule Povrch koule: S p.d Objem koule: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 36 z 58

38 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 V 1. p. d 6 3 ± Koule - ukázkové příklady 1. Kolik metrů čtverečních materiálu bylo potřeba na zhotovení balonu pro vzduchoplavce, jestliže měl poloměr,5 m? Návod: r,5 m S? [m ] S 4.p.r 4. 3,14.,5 S 78,5 m Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m materiálu.. Vypočti objem koule o průměru 75 cm. Návod: d 75 cm V? [cm 3 ] V. p. d , V 0 781,5 cm 3 0, m 3 (po zaokrouhlení) Objem koule je asi 0, m ± Koule - procvičovací příklady 1. Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. Povrch koule je asi 6, m.. Vypočti objem koule o poloměru 5 cm. Objem koule je 589 dm Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo 1, m materiálu, ze kterého 30 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Míč má průměr asi 0,5 m. 4. Vypočti poloměr koule, jejíž objem je 1 litr. Koule má poloměr asi 6, cm. 5. Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm 3. Povrch koule je asi 44 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 37 z 58

39 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 6. Vypočti povrch koule o poloměru m. Povrch koule je asi 50, m. 7. Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. Povrch koule je asi 63,6 dm. 8. Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm. Objem koule je asi 898 cm Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Do akvária se vejde asi 5,3 litru vody. 10. Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru 3 cm naplněné vodou hladina stoupne o 1 mm? Kovová kulička má průměr asi 11 mm. 11. Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 10 cm a byla pevně uložena? Pouzdro musí mít poloměr asi 8,66 cm. 1. Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. Objem koule je 68 dm Kolik olověných kuliček o průměru 18 mm se odlije z 1 kg materiálu o hustotě kg/m 3? Z uvedeného materiálu odlijeme asi 31 kuliček ± Složitější příklady ze stereometrie cm cm ,7 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 38 z 58

40 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D cm cm , ,3 cm , % S 18 cm, V 188,6 cm ,5 cm V 4,03 dm ,8 cm m 1 kg, m 14 kg, m 3 38 kg :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 39 z 58

41 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D cm cm cm cm, 6 cm 1 cm ± Náročnější příklady ze stereometrie :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 40 z 58

42 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 1. Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana měří 4 cm. Odchylka boční hrany od roviny podstavy je 60 stupňů. Návod: a 4 cm j 60 S? [cm ] a. v BS. tgj. tgj v a a. S a a v tg + a æ a ö + ç è ø. j + 1 a. v + 4. Po dosazení: S 4.1 a tg éa. ù ê tgjú ë û + a. j + 1 a a a. æ a ö + ç è ø ( + tg j + 1).1 o ( + tg ) 58, 33 S 58,33 cm (po zaokrouhlení) tg j + 1 Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je 58,33 cm. 58,33 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 41 z 58

43 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li obsah podstavy 0 cm. Odchylka boční stěny od roviny podstavy je 60 stupňů. Návod: S p 0 cm j 60 V? [cm 3 ] a S p a S p v. tgj. tgj 1 S p 1 V. S p.. tgj S p. S p. tgj 3 6 Po dosazení: 1 V tg60 o 5,8 V 5,8 cm 3 (po zaokrouhlení) Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 5,8 cm 3. 5,8 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 58

44 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 3. Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6 cm a 4 cm. Boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60 stupňů. Vypočítejte povrch komolého jehlanu. Návod: a 6 cm b 4 cm j 60 S? [cm ] ( ) j j tg b a tg b a v - ø ö ç ç è æ -... v b a v a + ø ö ç è æ - ( ) j j 1 tg b a tg b a b a v a + - ú û ù ê ë é - + ø ö ç è æ - ( ) ( ) ( ) j j tg b a b a tg b a b a b a v b a b a v b a b a S a a Po dosazení: ( ) 9 104, o tg S S 104,9 cm (po zaokrouhlení) Povrch pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu je asi 104,9 cm. 104,9 cm 377 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( :11:54 43 z 58

45 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 4. Vypočítejte objem rotačního kužele, jestliže rozvinutý plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a se středovým úhlem 10 stupňů. Návod: :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 44 z 58

46 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 s 3 cm j 10 V? [cm 3 ] Obsah kruhové výseče ( povrch pláště kužele): p. s. j S Délka kruhového oblouku ( obvod podstavy kužele): p. s. j l 180 l. p.r p. s. j l 180 s. j r p p V p. r. v 3 v s 3 p. s j r 3. s 1 æ s. j ö V. p. ç. 3 è 360 ø æ s. j ö - ç è 360 ø s j æ s. j ö - ç è 360 ø 3 p. s j j Po dosazení: V p ,96 V,96 cm 3 (po zaokrouhlení) :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 45 z 58

47 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Objem rotačního kužele je asi,96 cm 3.,96 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 46 z 58

48 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 5. Vypočítejte povrch rotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od roviny podstavy odchylku 30 stupňů. Návod: 380 v 10 cm j 30 S? [cm ] v r tgj v s sin j S p. r p. v æ + p. r. s p. ç è æ 1. ç + è tg j tgj 1.sin v tg j j ö ø ö ø æ v ö v + p. ç. è tgj ø sin j Po dosazení: S æ 1 p. 10. ç è tg o tg30.sin 30 o o S 030,8 cm (po zaokrouhlení) Povrch rotačního kužele je asi 030,8 cm. ö 030,76 ø 030,8 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 47 z 58

49 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 6. Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6 cm a 4 cm. Boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60 stupňů. Vypočítejte objemkomolého jehlanu. Návod: 376 a 6 cm b 4 cm j 60 V? [cm 3 ] ( S + S S S ) 1 V v æ ö v ça b. -.. tgj a - b tg è ø V Po dosazení: V. 6 ( ) j ( a - b) tgj. ( a + b + a. b ) ( a - b)(. a + b + a. b ). tgj 1 o ( 6-4 )( ). tg60 6, 05 V 6,05 cm 3 ( po zaokrouhlení) Objem pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu je asi 6,05 cm 3. 6,05 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 48 z 58

50 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 7. Vypočítejte objemrotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od roviny podstavy odchylku 30 stupňů. Návod: 381 v 10 cm j 30 V? [cm 3 ] v r tgj æ v ö 1 p. v V p. r. v p ç v. 3 3 è tgj ø 3 tg j Po dosazení: V 3 1 p tg 30 o 314 V 3 14 cm 3 (po zaokrouhlení) Objem rotačního kužele je asi 3 14 cm cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 49 z 58

51 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 8. Určete poloměr rovnostranného válce o objemu 1 litr. Návod: 385 V 1 litr cm 3 v r r? [cm] V p. r. v p. r.r. p. r r 3 p V 3 Po dosazení: 1000 r 3 5,4 p r 5,4 cm (po zaokrouhlení) Válec má tedy poloměr asi 5,4 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 50 z 58

52 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 9. Vypočítejte poloměr podstavy rotačního kužele, jestliže rozvinutý plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a se středovým úhlem 10 stupňů. Návod: 38 s 3 cm j 10 r? [cm] Obsah kruhové výseče ( povrch pláště kužele): p. s. j S Délka kruhového oblouku ( obvod podstavy kužele): p. s. j l 180 l. p.r p. s. j l 180 s. j r p p 360 Po dosazení: 3.10 r r 1 cm Poloměr podstavy rotačního kužele je 1 cm. 1 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 51 z 58

53 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 0 cm. Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočítejte objem válce v litrech. Návod: 384 u 0 cm v d 4r V? [cm 3 ] ( 4r) + ( r) 16r + 4r 0r u v + d u u u. 5 r u 5 v 4u æ u. 5 ö u V p. r. v p. ç. p. u 10 è ø 5 50 Po dosazení: 5 V 1 3 p V 1 14 cm 3 (po zaokrouhlení) V 1,1 litrů (po zaokrouhlení) Objem válce je asi 1,1 litru. 1,1 litru :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 58

54 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany jsou si rovny, má povrch S cm. Určete objem tělesa. Návod: S cm V? [cm 3 ] a. a. æ ö a. 3 3 S a. a + 3a a. ç + 3 è ø 371 Ze vzorce pro povrch vyjádříme a: S S a Po dosazení dostaneme (po zaokrouhlení):.4530 a 34, 3cm V S p. v 3 a a. a V. a Dosadíme do připraveného vzorce pro objem: 3 34,3. 3 V V cm 3 17,4 dm 3 (po zaokrouhlení) Objem hranolu je tedy přibližně 17,4 dm 3. 17,4 dm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 53 z 58

55 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 1. Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li obsah podstavy 0 cm. Odchylka boční stěny od roviny podstavy je 60 stupňů. Návod: S p 0 cm j 60 S? [cm ] a S p a S p v a cosj cosj S S S p p æ. ç1 + è a. v 1 cos j ö ø a S p +. S p S p. cosj Po dosazení: æ 1 ö S 0. ç o è cos 60 ø S 60 cm Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je 60 cm. 60 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 54 z 58

56 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Délky hran kvádru ABCDEFGH jsou a 3 cm, b 4 cm, c 5 cm. Vypočítejte objemtrojbokého jehlanu ADEC. Návod: 379 a 3 cm b 4 cm c 5 cm V? [cm 3 ] V S. p v 3 1 b. c 1 V. a a. b. c 3 6 Po dosazení: V V 10 cm 3 10 Objem trojbokého jehlanu je 10 cm cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 55 z 58

57 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Délky hran kvádru ABCDEFGH jsou a 3 cm, b 4 cm, c 5 cm. Vypočítejte povrch trojbokého jehlanu ADEC. Návod: 378 a 3 cm b 4 cm c 5 cm V? [cm 3 ] S? [cm ] S S + S + S + S 1 ADE ADC b. c a. b a. S + + EDC b + c ACE ( bc + ab + a. b + c + c a + b ) c. + a + b Po dosazení: S ( ) 38, 1 1 S 38,1 cm (po zaokrouhlení) Povrch trojbokého jehlanu je asi 38,1 cm. 38,1 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 56 z 58

58 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Určete výšku rovnostranného válce o objemu 1 litr. Návod: 386 V 1 litr cm 3 v r? [cm] V p. r. v p. r.r. p. r r 3 p V 3 v r v V. 3 p Po dosazení: 1000 v. 3 10,84 p v 10,84 cm (po zaokrouhlení) Válec má tedy výšku asi 10,84 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 57 z 58

59 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana měří 4 cm. Odchylka boční hrany od roviny podstavy je 60 stupňů. Návod: a 4 cm j 60 V? [cm 3 ] a. v BS. tgj. tgj a V 1. 1 a.. tgj a 3.. tgj 3 6 Po dosazení: V tg60 6,13 6 o V 6,13 cm 3 (po zaokrouhlení) Objem jehlanu je přibližně 6,13 cm 3. 6,13 cm :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 58 z 58

60 M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D 1 Obsah Komplexní čísla 1 Komplexní čísla - procvičovací příklady 9 Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel 13 Kvadratické rovnice v oboru C - procvičovací příklady 14 Stereometrie - Vzájemná poloha 15 Stereometrie - krychle, kvádr, hranol 16 Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady 18 Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady 19 Stereometrie - válec 1 Válec - ukázkové příklady Válec - procvičovací příklady 3 Stereometrie - jehlan 4 Jehlan - ukázkové příklady 5 Jehlan - procvičovací příklady 8 Jehlan komolý 9 Stereometrie - kužel 31 Kužel - ukázkové příklady 3 Kužel - procvičovací příklady 33 Kužel komolý 34 Stereometrie - koule 36 Koule - ukázkové příklady 37 Koule - procvičovací příklady 37 Složitější příklady ze stereometrie 38 Náročnější příklady ze stereometrie :11:54 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (