Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl, 2006

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl, 2006"

Transkript

1 Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha Jaroslav Reichl, 006 tet určený jako doplněk stejnojmennému semináři pro studenty čtvrtého ročníku technického lycea, ale i pro samostatné studium Jaroslav Reichl

2 O BSAH Úvod 6 Matematika 7 Filosofická stránka matematiky aneb Hilbert versus množiny 7 Základní pojmy algebry 8 Od kartézského součinu k zobrazení aneb co na střední škole ještě bylo 8 Od operace k unitárnímu prostoru aneb co se dozvíte až na vysoké škole 9 3 Konstrukce množiny modulárních množiny 0 3 Matice 3 Definice a základní operace 3 Použití matic při řešení soustav rovnic 3 4 Determinanty 3 4 Definice, základní vlastnosti 3 4 Výpočet determinantů vyšších stupňů 4 4 Součin prvků na hlavní diagonále 4 4 Rozvoj podle daného sloupce nebo řádku 5 43 Použití determinantů 6 5 Systémy souřadnic 6 5 Kartézský systém souřadnic 6 5 Polární souřadnice 7 53 Cylindrické (válcové) souřadnice 8 54 Sférické (kulové) souřadnice 9 6 Transformace kartézského systému souřadnic 0 6 Kartézský systém souřadnic v rovině 0 6 Posunutí 0 6 Otočení 0 63 Posunutí a otočení 6 Kartézský systém souřadnic v 3D prostoru 6 Posunutí 6 Otočení 7 Matematické vyjadřování a zanedbávání 3 7 Matematické vyjádření slovního projevu 3 7 Přibližné vztahy aneb co lze zanedbat 3 73 Zjednodušení matematických výrazů 3 73 Kroneckerův symbol 3 73 Levi-Civitův symbol Einsteinovo sumační pravidlo 4 8 Součiny s vektory; pravidlo pravé ruky 4 8 Skalární součin 4 8 Vektorový součin 5 83 Pravidlo pravé ruky 6 84 Smíšený součin 6 85 Výrazy obsahující směsici součinů 7 3 Komplení čísla a kvaterniony 8 3 Komplení čísla 8 3 Zavedení kompleních čísel 8 3 Početní operace s kompleními čísly 8 33 Absolutní hodnota a grafické znázornění kompleních čísel 9 34 Goniometrický tvar kompleních čísel Eponenciální tvar kompleních čísel Grafická interpretace početních operací 3 37 Kvadratické rovnice řešené v oboru kompleních čísel 3 38 Binomické rovnice 3 3 ***Kvaterniony 33 4 Diferenciální počet 34 4 Elementární funkce 34

3 4 Limita funkce 35 4 Základní pojmy, zavedení pojmu limita 35 4 Limita v bodě 36 4 Jednostranná limita Nevlastní limity funkce v bodě Limita funkce v nevlastním bodě 40 4 Neurčité výrazy 4 43 Důležité limity 4 44 Užití limity funkce Asymptoty grafu funkce Asymptoty se směrnicí Asymptoty bez směrnice Tečna grafu funkce Spojitost funkce Spojitost v bodě a v intervalu Spojité funkce na uzavřených intervalech Derivace funkce Fyzikální význam derivace Definice derivace Derivace vyšších řádů Vlastnosti derivace Derivace elementárních a složených funkcí Funkce více proměnných Nástin definice funkce více proměnných Parciální derivace funkce více proměnných Implicitně zadané funkce a jejich derivace ***Diferenciál funkce l Hospitalovo pravidlo Průběh funkce Věty o spojitosti Monotónnost funkce a derivace Etrémy funkce a derivace Stacionární body Etrémy funkce a druhá derivace Konvenost a konkávnost funkce Inflení body Vyšetřování průběhu funkce Užití diferenciálního počtu 65 5 Integrální počet 66 5 Historický úvod 66 5 Primitivní funkce 66 5 Zavedení primitivní funkce 66 5 Primitivní funkce elementárních funkcí Integrační metody Per partes Substituční metoda Rozklad na parciální zlomky69 53 Určitý integrál 7 53 Pojem určitý integrál 7 53 Definice určitého integrálu Výpočty určitých integrálů Substituce v určitém integrálu Metoda per partes v určitém integrálu Rozklad na parciální zlomky v určitém integrálu Užití integrálního počtu Obsah rovinného obrazce Útvar omezený grafem jedné funkce Útvar omezený grafy více funkcí Objem rotačního tělesa Délka křivky 78 3

4 544 Povrch rotačního tělesa 79 6 Tenzory 8 6 Skaláry 8 6 Vektory 8 63 Tenzory řádu Tenzorová algebra aneb základní vlastnosti a operace s tenzory řádu Symetrické a antisymetrické tenzory Izotropní tenzory Levi-Civitův symbol (tenzor) Tenzor napětí Tenzorová analýza Hamiltonův operátor nabla Gradient, divergence, rotace Fyzikální význam 89 7 Posloupnosti 9 7 Definice a základní vlastnosti 9 7 Způsoby zadání posloupností 9 73 Fibonacciho posloupnost 9 74 Užití geometrických posloupností Základní pojmy finanční matematiky Spoření bez průběžného vybírání s jednou vloženou jistinou Spoření bez průběžného vybírání s pravidelně vkládanou jistinou na konci každého úrokovacího období Spoření bez průběžného vybírání s pravidelně vkládanou jistinou na začátku každého úrokovacího období Poskytování úvěru Limita posloupnosti Aritmetické posloupnosti Geometrické posloupnosti Užití limit posloupností Výpočet Ludolfova čísla Výpočet čísla e Výpočet druhé odmocniny reálných čísel 99 8 Aplikace 8 8 Taylorův polynom (rozvoj) 0 8 Zajímavé výpočty 03 8 Racionální kořeny rovnice s racionálními koeficienty 03 8 Hornerovo schéma Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele Diferenciál funkce Iterační metody hledání reálných kořenů polynomů Před aplikací metody Metoda půlení intervalu (bisekce) Metoda sečen (regula falsi) Metoda tečen (Newtonova metoda) 84 Matematické zpracování naměřených dat 84 Lineární regrese 3 84 Lineární interpolace Bilineární interpolace Polynomická aproimace Lagrangeovy polynomy Spline-křivky 0 85 Momenty setrvačnosti tuhého tělesa 3 85 Tuhé těleso a jeho pohyby 3 4

5 85 Kinetická energie tuhého tělesa Výpočet momentů setrvačnosti Obdélníková deska Obruč Plášť válce Kruhová deska Plný válec Výpočet na základě momentu setrvačnosti kruhové desky Výpočet bez znalosti momentu setrvačnosti kruhové desky Koule Kužel Přehled momentů setrvačnosti některých těles 7 86 Fourierova transformace 8 86 Matematický popis 8 86 Odvození koeficientů Praktický výpočet 9 87 Vlnová rovnice Připomenutí diferenciálu Šíření příčného vlnění Šíření podélného vlnění 3 88 Diferenciální rovnice Typy diferenciálních rovnic Diferenciální rovnice známé z matematiky ze střední školy Pohyb po úsečce aneb s kanónem na vrabce Pohyb po úsečce s odporovou silou Síla roste s rychlostí lineárně Pohyb parašutisty Kmitavý pohyb Nabíjení kondenzátoru Vybíjení kondenzátoru Elektrický proud procházející cívkou Využití diferenciálního a integrálního počtu k řešení úloh Dynamické modelování Princip metody Základní principy Zdůvodnění použití přibližných vztahů Různé varianty metody 5 80 Řešené úlohy 5 80 Volný pád 5 80 Pád tělesa v odporujícím prostředí Šikmý vrh v odporujícím prostředí Kmitavý pohyb v odporujícím prostředí 56 5

6 ÚVOD Tet, který jste právě otevřeli, doplňuje středoškolskou matematiku a fyziku V první části detailněji rozvíjí ty části matematiky, které jsou stěžejní pro další studium na vysoké škole Jedná se zejména o matematickou analýzu, tj teorii funkcí (elementární funkce a jejich vlastnosti, limita funkce, derivace funkce, primitivní funkce, ) a algebru (vektory, matice, ) V další části tetu jsou ukázány některé aplikace těchto částí matematiky na řešení fyzikálních problémů Některé z předložených fyzikálních problémů se vracejí ke středoškolskému učivu fyziku a rozvíjejí jej a doplňují Některé problémy středoškolskou látku výrazně přesahují PŘEDLOŽENÝ TEXT NENÍ V ŽÁDNÉM PŘÍPADĚ UČEBNICÍ MATEMATIKY ČI FYZIKY!!! Je psán volnějším stylem než by měla být psaná učebnice, chybí důkazy předkládaných matematických vět, některé poznatky jsou občas vytrženy z kontetu, takže jsou obecně v dané podobě neplatné (ale pro danou situaci použitelné), Cílem tetu je přiblížit matematiku a její aplikace volnějším jazykem pro ty studenty střední školy, kteří uvažují o studiu na vysokých školách technického směru Z vlastní zkušenosti a z vyprávění bývalých spolužáků ze střední školy vím, že občas se ve fyzice, elektronice, mechanice, vyskytne použití matematického aparátu, který zatím nebyl v matematice probírán Uvědomí-li si to příslušný přednášející odborného předmětu, přiblíží několika větami, o co jde, jaké to má vlastnosti, jak se s tím počítá, Pokud ne a nebo prostě nechá na studentech, ať si to zjistí sami, je mnohdy velmi obtížné sledovat další výklad! Příslušný matematický aparát pak bude probírán i v matematice - ale až o několik semestrů později A to už někdy bývá pozdě Pokud tet usnadní pochopení předkládané látky, budu rád Pokud ho budete používat i při studiu na vysoké škole, je nutné dbát výše zmíněných omezení Řadu pojmů zde uváděných budete probírat i na vysoké škole, ale pouze stylem definice - věta - důkaz - věta - důkaz - definice - věta - důkaz Pomohou-li vám příklady a vysvětlení obsažené v tomto tetu, pak tet splnil svůj účel Tet je psán pomocí několika zvláštních stylů: Běžný tet, odvozování vztahů, výsledné vztahy, D EFINICE DŮ LEŽITÝCH POJMŮ, ZÁKONŮ, ROVNIC, Komentář, který probíranou látku rozšiřuje, upřesňuje či doplňuje Zjednodušená tvrzení pro lepší pochopení, která jsou tedy z matematického (fyzikálního, ) hlediska nepřesná, ale která mohou napomoci k lepšímu pochopení probírané látky Tet neprošel jazykovou ani odbornou kontrolou Pokud se v tetu někde vyskytnou chyby, překlepy, nejasnosti, omlouvám se a prosím na jejich upozornění Jaroslav Reichl, srpen 00 6

7 MATEMATIKA Filosofická stránka matematiky aneb Hilbert versus množiny Matematika během svého vývoje postupně prošla třemi krizemi, které ovlivnily další vývoj a většinou ne jen matematiky, ale i věd příbuzných Zpočátku vývoje prvních vědeckých poznatků se totiž většinou vědec (učenec) zabýval vědou bez rozdílu zájmu Takže v historických a životopisných dílech můžeme najít o daném učenci, že to byl matematik, astronom, filosof, lékař, řečník, právník, teolog, později (když se začala zhruba od 4 století rozvíjet fyzika) i fyzik Postupem času, jak se zvětšovalo množství poznatků, které byly z daných oborů objeveny, začali se i vědci (učenci) specializovat, takže později se v životopisech setkáme jen s matematikem a fyzikem, fyzikem a astronomem, právníkem, teologem a politikem (náhrada starověkých řečníků), Zmíněné 3 krize matematiky byly tyto: krize matematiky - objevila se během tzv hrdinského věku řecké matematiky (6-4 století př n l) Její příčinou byl objev nesouměřitelnosti úseček, tj nemožnost vyjádření všech čísel (úseček) pomocí poměrů (tj pomocí čísel racionálních) - např strana čtverce a jeho úhlopříčka (poměr je : ) Tento objev vycházel přímo z učení pythagorejců, kteří se snažili veškeré dění ve světě převést na čísla, takže se čísly zabývali důkladně Hlavním jejich představitelem byl Pyhtagoras (asi př n l) krize matematiky - přelom 8 a 9 století; souvisí s nepřesným zaváděním nekonečně malých a nekonečně velkých veličin v souvislosti se zpřehledněním a zpřesňováním základů matematické analýzy ( ε δ akrobatika - definice limit, derivací, jsou vystavěny právě na základě nekonečně malých a nekonečně velkých veličin) 3 krize matematiky - konec 9 století, kdy ruský matematik George Cantor (845-98) zavádí teorii množin (vychází v roce 874) Vybudováním teorie množin se objevila řada paradoů, které se snažily teorii množin vyvrátit Problém byl v samotné aiomatické výstavbě teorie množin Tato (zatím poslední) krize matematiky trvá v podstatě dodnes Problém, na základě něhož v podstatě vznikla třetí krize matematiky, souvisí úzce teorií množin Ta operuje s pojmem nekonečno a to bylo právě příčinou řady obtíží a paradoů Při zavádění pojmu nekonečno jsou možné dva přístupy: nekonečno potenciální (v možnosti) - přístup starších matematiků, kdy nekonečné množiny (např množina přirozených čísel) byla budována postupným přidáváním dalších prvků: z množiny {,, 3,, n } vytvořím množinu {,, 3,, nn+, }, z ní pak množinu {,, 3,, nn,, n } ; přitom platí: {,, 3,, n} {,, 3,, n, n+ } {,, 3,, n, n+, n+ } + +, nekonečno aktuální (v uskutečnění) - přístup, který převažuje dnes a který vychází z toho, že všechny nekonečné množiny, které matematikové potřebují, jsou již vytvořeny První známky aktuálního nekonečna se začínají objevovat ve filosofii na přelomu starověku a novověku - německý matematik Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) patří k prvním zastáncům aktuálního nekonečna Problém s nekonečnými množinami vzniká ale už dříve Galileo Galilei ( ), 4, 9, 6, 5, 36, Mezi těmito množinami eistuje konstruuje (nekonečné) množiny {,, 3, 4, 5, 6, } a { } vzájemně jednoznačné zobrazení (druhá mocnina resp druhá odmocnina) Jinými slovy eistuje vzájemně, 4, 9, 6, 5, 36, To je ale přitom jednoznačné zobrazení množiny {,, 3, 4, 5, 6, } na svojí podmnožinu { } ve sporu s Euklidovým aiomem (postulátem), který říká, že celek je vždy větší než část Obě uvažované množiny jsou totiž nekonečné Bernard Bolzano (78-848) přistupuje k celé problematice nekonečen s teologickými argumenty (kromě toho, že je matematikem, je i profesorem teologie na Karlově Univerzitě) Tento teologický argument se týká právě nekonečných množin s aktuálním přístupem: vytvořená (již eistující) nekonečná množina vyžaduje (aby byla uchována) nekonečnou mysl Tu má jedině Bůh, který sice může nekonečné množiny (přirozená čísla, ) vytvořit, ale otázkou je, jestli to chce (jestli je to správné, užitečné, ) Poté, co v roce 874 publikoval George Cantor (845-98) svojí teorii množin, problémy s nekonečny se projevily ještě více Teorie množin obsahuje všechny množiny a tedy i množin nekonečné A řada matematiků se bránila jejímu přijetí - měly podobně rozporuplné pocity jako Galileo Galilei při konstruování svých dvou množin Typickým příkladem, který se v této souvislosti objevuje jako důkaz neplatnosti teorie množin a na kterém je založena řada dalších paradoů, je případ holiče ve městě Ve městě žije holič, který některé obyvatele holí, někteří se holí sami Každý obyvatel se tedy nechává holit buď holičem nebo se holí sám (nekombinuje obě metody) Cílem je rozdělit město do dvou disjunktních množin (množin s prázdným průnikem), podle toho, jestli je holí holič nebo se holí sami Kam ale s holičem? Holiče holí holič a přitom se ale holí sám! Jiným příkladem je tzv Russelův parado: zavedeme množinu M jako množinu všech množin X, pro M = X; X X A co množina M? Pokud M M, pak to znamená které platí, že množina X nepatří do X, tj { } (podle konstrukce množiny M), že M M Pokud budeme předpokládat, že M M, pak (opět podle zavedení množiny M) dojdeme k závěru, že M M 7

8 Nepříjemné na celé situaci bylo, že tyto uvedené spory a paradoy se začaly objevovat v době, kdy celá matematika teorii množin už používala a začala na ní budovat další závěry Pokusem o záchranu nejen teorie množin se stala aiomatická výstavba matematiky Za aiom bylo v ranných matematických dobách (Euklides a jeho Základy) považováno tvrzení intuitivně jasné, které není třeba dokazovat Na počátku 0 století se význam aiom posunul: je to tvrzení, které je vybrané pro daný účel a z něhož se potom odvozují další tvrzení a závěry Hlavním iniciátorem tohoto snažení byl německý matematik a fyzik David Hilbert ( ), který formalizoval matematiku, tzn že zavedl systém symbolů (jakousi abecedu) používanou matematiky (latinská a řecká písmena, číslice, symboly, ) pravidla podle kterých se z abecedy tvoří slova (např + y, y+ + / ab++ )(, ) Hilbertův formalismus říká, že matematik si nesmí nic představovat - pro něj eistují jen aiomy, na základě nichž a platných pravidel se provádí důkazy složitějších tvrzení, Matematika se tím odloučila od reálného světa Reálný svět popisuje fyzika Fyzik, pokud pustí ve výšce jednoho metru nad podlahou kámen, ví, že kámen spadne na podlahu pod vlivem tíhové síly Země Dost těžko může rozvíjet teorii, která bude popisovat, jak puštěný kámen bude levitovat nebo dokonce prorazí strop a vyletí směrem vzhůru, protože to neodpovídá realitě Matematik tuto šílenou teorii budovat může, protože díky Hilbertovu formalismu nemá matematická teorie žádnou spojitost s praí Součástí Hilbertovy práce byly tyto podmínky na matematickou teorii: nezávislost aiomů - jsou některé matematické teorie, kde se závislé aiomy vyskytují a je to ku prospěchu věci úplný systém - matematická teorie musí být úplná (např je možné dokázat platnost tvrzení T nebo jeho negaci) 3 bezesporný systém - v tomto systému není možné dokázat zároveň platnost tvrzení T i jeho negaci Na základě těchto požadavků a základních aiomů by bylo možné budovat jakoukoliv teorii Hilbert věřil, že je posledním skutečným matematikem, který něco vymyslel Byl přesvědčen, že je možné nalézt mechanické pravidlo pro hledání důkazu a část svého života věnoval hledání tohoto pravidla Kdyby toto pravidlo skutečně našel, pak by se velmi podstatným způsobem snížila role matematiků - ti by se stali jen pomocníky strojů, které by hledali důkazy nových tvrzeních, formulovali tvrzení nová, Začátkem třicátých let 0 století Kurt Gödel dokázal větu o neúplnosti, čímž zhroutil Hilbertovy představy o konci matematiků Gödel využil konečný systém aiomů a navrhl větu, která odkazovala sama na sebe a kterou lze jednoduše formulovat takto: V: Tato věta není dokazatelná Pokud by byl Gödel schopen tuto větu dokázat, věta by byla nepravdivá a to by byl problém Žádná dobrá množina aiomů by totiž neměla umožnit dokázat tvrzení, které je nepravdivé Pokud by naopak tuto větu nebylo možné dokázat, byla by věta pravdivá, ale to není možné v rámci dané teorii dokázat Matematika je tedy neúplná a Gödelova věta se tak stává nejdůležitějším milníkem (pokrokem) v matematice dvacátého století Věta o neúplnosti tedy říká, že když máme k dispozici nějakou matematickou teorii (popsatelnou aiomy, formulemi, ), která obsahuje aritmetiku přirozených nebo celých čísel a která je bezesporná, pak tato teorie nemůže být úplná Jinými slovy v této teorii je možné formálními prostředky dané teorie dokázat platnost tvrzení T i jeho negace nebo danými prostředky není možné dokázat ani tvrzení T ani jeho negaci Jistá náprava by se mohla na první pohled zdát v tom, že jedno z problematických tvrzení vezeme jako základní aiom Tím zvětšíme teorii, ale přesto se zde vyskytne další nedokazatelné tvrzení Problém je v tom, že bezespornost dané teorie není možné dokázat v rámci této teorie, ale až v rámci teorii širší O té ale dopředu nevíme jestli je nebo není bezesporná (Např bezespornost reálných čísel není možné dokázat v rámci reálných čísel, ale až v rámci čísel kompleních - viz definici kompleních čísel jako dvojice čísel reálných v odstavci 3) Základní pojmy algebry Algebra je část matematiky, která se zabývá různými matematickými strukturami (grupy, tělesa, vektorové prostory, okruhy, obory integrity, ), vztahy mezi těmito strukturami a zobrazeními mezi jednotlivými strukturami Zabývá se těmito strukturami jak na obecné úrovni, tak potom na konkrétních aplikacích (např matice a řešení lineárních rovnic a jejich soustav; ) Pro další výklad bude nezbytné seznámit se základními pojmy z lineární algebry Od kartézského součinu k zobrazení aneb co na střední škole ještě bylo Začneme se základní definicí, od níž se odvíjí vše ostatní: kartézský součin K ARTÉZSKÝ SOUČ IN MNOŽIN A A B JE MNOŽINA VŠECH USPOŘ ÁDANÝCH DVOJIC ; TAKOVÝCH, ŽE A A ZÁROVEŇ y B ZNAČ Í SE A B [ y] Pokud se budeme zabývat speciální případem kartézského součinu, ve kterém každý prvek má maimálně jeden obraz, budeme mluvit o zobrazení Z OBRAZENÍ MNOŽINY A DO MNOŽINY B JE PODMNOŽINA KARTÉZSKÉHO SOUČ INU A B, PRO JEJÍŽ USPOŘ ÁDANÉ DVOJICE [ ; y ], [ ; y ] PLATÍ: y y Speciálním případem zobrazení je pak zobrazení prosté, kdy každému obrazu odpovídá maimálně jeden vzor 8

9 Z OBRAZENÍ U SE NAZÝVÁ PROSTÉ, PRÁVĚ TEHDY KDYŽ PRO LIBOVOLNÉ DVA PRVKY y = U ( ) A y = U ( ) ZOBRAZENÍ U PLATÍ: y y Jestliže se jedná o zobrazení množiny A na množinu B, které je prosté, mluvíme o vzájemně jednoznačném zobrazení A na B Od operace k unitárnímu prostoru aneb co se dozvíte až na vysoké škole K důležitým strukturám, které se zavádějí právě v algebře, je nutné zavést i pojem operace N ECHŤ G JE NEPRÁZNÁ MNOŽINA O PERACÍ ( BINÁRNÍ OPERACÍ) NA MNOŽINĚ G SE ROZUMÍ KTERÉKOLIV ZOBRAZENÍ : f G G G Máme-li na neprázdné množině G definovanou nějakou operaci (např operaci * - hvězdička ), můžeme G,*, která se nazývá grupoid Aby byl grupoid grupou, což je důležitý pojem pro zavést uspořádanou dvojici ( ) další výklad, musí být splněny určité podmínky G RUPOID ( G,*) SE NAZÝVÁ GRUPA, JSOU- LI SPLNĚ NY NÁSLEDUJÍCÍ PODMÍNKY: PRO VŠECHNA g, g G PRO VŠECHNA g, g, g 3 G PLATÍ: g * g G, g * g * g = g * g * g ( ASOCIATIVNÍ ZÁKON), PLATÍ: ( ) ( ) EXISTUJE NEUTRÁLNÍ PRVEK n G TAKOVÝ, ŽE PRO KAŽDÝ PRVEK g G PLATÍ: g * n = n* g = g, 4 PRO KAŽDÝ PRVEK g G EXISTUJE SYMETRICKÝ PRVEK s G TAK, ŽE PLATÍ: g * s = s* g = n Pokud navíc pro všechna g, g G platí g* g = g* g hovoří se o komutativní (Abelově) grupě Právě uvedená definice grupy je oproti ostatním (uvedeným dříve) složitější, ale pokusíme se jí rozebrat První bod říká, že pokud provedeme na libovolné dva prvky z množiny G definovanou operaci, výsledek musí být také prvkem z množiny G Druhý bod je vyjádřením asociativního zákona Třetí a čtvrtý bod definují jisté speciální prvky v množině G, které dávají grupám řadu výhod Jedná se ale o učivo, které překračuje rámec tohoto článku V definici grupy jsou tyto speciální prvky popsány v obecné podobě, i když se většinou pracuje s konkrétními případy: pro grupu s operací + (tj sčítání) se neutrální prvek nazývá nulový a symetrický prvek je prvek opačný pro grupu s operací (tj násobení) se neutrální prvek nazývá jednotkový a symetrický prvek je prvek inverzní Příklady grup jsou tyto grupoidy (, + ) inverzní), (, + ) (neeistuje prvek opačný),, (, + ), ( { 0, } ), ale už ne (,) (neeistuje prvek Další algebraickou strukturou je těleso, které můžeme zavést pomocí grup N ECHŤ T JE NEPRÁZDNÁ MNOŽINA, NA KTERÉ JSOU DEFINOVÁNY DVĚ OPERACE: T, +, JE TĚ LESO, JSOU- LI SPLNĚ NY NÁSLEDUJÍCÍ PODMÍNKY: S Č ÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ ( ) PRO VŠECHNA t, t, t3 T PLATÍ: ( 3) 3 ( T, + ) JE KOMUTATIVNÍ GRUPA, 3 ( T {} 0, ) JE ( KOMUTATIVNÍ) GRUPA Jako příklady těles je možné uvést (, +,), (, +,) a (, +,) t t + t = t t + t t (DISTRIBUTIVNÍ ZÁKON), algebře) pro nás nejsou žádným přínosem Další strukturou, s níž pracuje i kvantová fyzika, je vektorový prostor Další příklady (s nimiž se pracuje v N ECHŤ ( T, +,) JE TĚ LESO Ř EKNEME, ŽE V JE VEKTOROVÝ PROSTOR NAD T Ě LESEM T, JESTLIŽE V JE NEPRÁZDNÁ MNOŽINA, NA NÍŽ JSOU DEFINOVÁNY OPERACE S Č ÍTÁNÍ A ODČ ÍTÁNÍ A PRO VŠECHNA λ T A VŠECHNA v V JE DEFINOVÁN PRVEK λv V, PŘ I Č EMŽ PLATÍ: ( V, + ) JE KOMUTATIVNÍ GRUPA, PRO VŠECHNA α, β T A PRO VŠECHNA v V JE α ( βv) ( αβ) = v, 3 PRO VŠECHNA α, β T A PRO VŠECHNA v V JE ( α + β)v = αv+ βv, 4 PRO VŠECHNA α T A PRO VŠECHNA u, v V JE α ( u+ v) = αu+ αv, 5 PRO VŠECHNA v V JE v = v Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory, prvky tělesa, nad kterým je vektorový prostor definován, jsou skaláry Prvky vektorového prostoru nemusí být vektory v běžném slova smyslu, tj úsečky se šipkou Jako vektory (tj prvky vektorového prostoru) mohou vystupovat např reálná čísla, Příklady 9

10 vektorových prostorů: komplení čísla (viz odstavec 3) lze chápat jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel, reálná čísla je možné chápat také jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel, Každý vektorový prostor má svojí bázi Jedná se o skupinu vektorů, která má tyto vlastnosti: pomocí vektorů báze je možné vyjádřit libovolný vektor z daného vektorového prostoru (odborně se říká, že uvažovaná skupina vektorů generuje celý vektorový prostor) vektory jsou lineárně nezávislé, tj žádný vektor báze není lineární kombinací ostatních vektorů 3 počet vektorů báze je roven dimenzi daného vektorového prostoru To, co na první pohled zní učeně, si lze velice jednoduše představit např v kartézské soustavě souřadnic v rovině Rovinu je možné chápat jako prostor dimenze (má nezávislé směry, tj dvě osy) Jako vektory báze u = ; 0 v = 0; Pomocí těchto dvou vektorů, které jsou tohoto prostoru, tj roviny, lze volit např vektory ( ) a ( ) lineárně nezávislé (jeden není lineární kombinací druhého, tj v tomto případě není jeden násobkem druhého), je možné vyjádřit skutečně všechny vektory Tak např vektor w = ( 3; ) můžeme napsat jako tuto lineární w = 3u + v = 3 ; 0 + 0; = 3; 0 + 0; = 3; (viz obr ) Analogicky kombinaci vektorů u a v : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) je možné postupovat v případě libovolného jiného vektoru obr u = Je třeba si uvědomit, že zvolená báze (tj vektory ( ; 0) a v = ( 0; ) 0 ) není jediná Eistuje nekonečné množství dalších, ale tato je nejjednodušší - říkáme, že je ortonormální: vektory báze jsou ortogonální (navzájem kolmé) vektory báze jsou normované, tj jejich velikost je jedna Pokud to je možné vždy se v daném vektorovém prostoru volí ortonormální báze, protože vektory takové báze mají jednoduché souřadnice, s nimiž se provádějí výpočty snadně, navíc v případě euklidovského prostoru vektory leží na osách kartézského systému U NITÁRNÍM PROSTOREM SE ROZUMÍ DVOJICE ( V, g ), KDE V JE VEKTOROVÝ u v V JE g ( u, v ) SKALÁRNÍ SOUČ IN PROSTOR A g SKALÁRNÍ SOUČ IN P RO KAŽDÉ, UVEDENÝCH DVOU VEKTORŮ u, v Ř EKNEME, ŽE VEKTORY u, v V JSOU NAVZÁJEM ORTOGONÁLNÍ ( KOLMÉ), POKUD g( u, v ) = 0 3 Konstrukce množiny modulárních množiny Pro pevně zvolené přirozené číslo p a celé číslo m je možné zkonstruovat množinu mp = { n ; n mod p = m mod p}, tj množinu, která obsahuje čísla, která mají při dělení číslem p stejný zbytek jako při dělení číslem m Příklady uvedených množin: 0 = 3 = {; 6; 3; 0; 3; 6; 9; } { } = 4 = ; 5; ;; 4; 7;0; 3 3 { } = 5 = ; 4; ; ; 5; 8;; Symbolem p se pak značí množina všech různých množin m p pro m : p = { 0 p; p; p; ; p p} Je-li p prvočíslo a pokud dodefinujeme mp + hp = mp + hp a mp hp = mp hp pro h, je možné dokázat, že tímto způsobem jsou korektním způsobem na množině p definovány operace sčítání a násobení, při nichž je (, +, p ) těleso Při sčítání a násobení čísel tvaru m p se postupuje stejně jako v případě, že bychom pracovali v číselné soustavě o základu p Např = 43 = 3, = 85 = 35, Někdy se této části aritmetiky říká aritmetika hodinových ručiček: počítání s ní je podobné jako počítání hodin na hodinách

11 3 Matice 3 Definice a základní operace V tomto odstavci zmíníme základní informace o maticích a operacích, které je možné s maticemi provádět N ECHŤ mn, M ATICÍ A SESTAVENOU Z PRVKŮ TĚ LESA T ROZUMÍME ZOBRAZENÍ A : m n T, ( ) A : i, j aij T T ATO MATICE SE ZNAČ Í A = ( a ij ) M NOŽINU VŠECH TAKOVÝCH MATIC BUDEME ZNAČ IT MNOŽINY ( mn, ) A a a an a a a NEBO am am amn m n T O MATICÍCH Z n = m n T Ř ÍKÁME, ŽE MAJÍ m Ř ÁDKŮ A n SLOUPCŮ, TJ JDE O MATICE TYPU V PŘ ÍPADĚ, ŽE m= n, HOVOŘ ÍME O Č TVERCOVÉ MATICI STUPNĚ n Důležitým pojmem u matice je její hodnost: H ODNOST MATICE M TYPU ( mn, ) UDÁVÁ MAXIMÁLNÍ POČ ET LINEÁRNĚ NEZÁVISLÝCH Ř ÁDKŮ, KTERÝ JE ROVEN MAXIMÁLNÍMU POČ TU LINEÁRNĚ NEZÁVISLÝCH SLOUPCŮ DANÉ MATICE ZNAČ Í SE h( M ) 3 Příklad: Hodnost matice M = 4 6 je ( ) 3 h M =, pro matici A = je h( A ) =, Hodnost matice A se nezmění (tj z matice A vytvoříme novou matici B o téže hodnosti), pokud s řádky resp sloupci provedeme některou z těchto elementárních úprav: napíšeme řádky (resp sloupce) matice A v jiném pořadí násobíme některý řádek (resp sloupec) matice A nenulovým skalárem 3 přidáme k matici A řádek (resp sloupec), který je lineární kombinací ostatních řádků (resp sloupců) 4 vynecháme v matici A řádek (resp sloupec), který je lineární kombinací ostatních řádků (resp sloupců) 5 přičteme k některému řádku (resp sloupci) matice A lineární kombinaci ostatních řádků (resp sloupců) V tom případě se matice nazývají ekvivalentní matice Operace, které je možné provádět s maticemi jsou tyto: P RO MATICE A ( a ij ) = A B ( b ij ) JAKO MATICE C TYPU (, ) i =,,, m, j =,,, n P RO MATICI A ( a ij ) SKALÁREM λ d ij ij = TYPU (, ) mn, PRO KTEROU PLATÍ: C ( c ij ) = TYPU (, ) mn A λ A JAKO MATICE D TYPU (, ) = λa PRO i =,,, m, j =,,, n P RO MATICE A ( a ij ) = TYPU (, ) AB JAKO MATICE F TYPU (, ) i =,,, m, j =,,, k n mn A B ( b ij ) mn SE DEFINUJE SOUČ ET MATIC A + B =, KDE cij = aij + bij PRO λ T SE DEFINUJE NÁSOBEK MATICE A mn, PRO KTEROU PLATÍ: D ( d ij ) = TYPU (, ) mk, PRO KTEROU PLATÍ: F ( f ij ) =, KDE nk SE DEFINUJE SOUČ IN MATIC =, KDE f ij = ab is sj PRO Poznámka: Formuli f ij = ab is sj z definice součinu dvou matic lze opsat slovy tak, že násobíme i-tý řádek s= matice A j-tým řádkem matice B Násobení matic není obecně komutativní!!! Tak jako v grupách a tělesu (viz odstavec ) eistoval jednotkový prvek, eistuje jednotkový prvek i pro matice - je jím jednotková matice: n s=

12 M ATICE E m = SE NAZÝVÁ JEDNOTKOVÁ MATICE STUPNĚ m 0 0 Podobně jako eistoval v grupách a tělesech (viz odstavec ) prvek inverzní k danému prvku, eistuje inverzní prvek i pro matice - je jím inverzní matice: M M = M M = E, SE NAZÝVÁ Č TVERCOVÁ MATICE, PRO KTEROU PLATÍ INVERZNÍ MATICE KE Č TVERCOVÉ MATICI M M M Najít inverzní matici k matici M je možné několika způsoby: pomocí násobení dvou matic (přesně podle definice inverzní matice a definice násobení matic) s tím, že budeme řešit soustavu několika rovnic, v nichž neznámé budou jednotlivé koeficienty hledané inverzní matice M fintou, která spočívá v tom, že si napíšeme danou matici M a jednotkovou matici do velké matice ( M : E ) a pomocí povolených úprav matic (násobení řádku, přičtení řádku k jinému řádku, výměna řádků, ) dojdeme do tvaru, kdy jednotková matice E bude v levé části velké matice - v pravé části velké matice pak bude matice E: M M, tj ( ) Příklad: Nalezněte inverzní matici k matici M = 3 0 Řešení: K nalezení inverzní matice k matici M = použijeme právě popsanou fintu Podle návodu 3 0 vytvoříme matici 0, kterou budeme dále upravovat: Inverzní matice k matici Tuto matici je možné dále upravit na tvar M = 6 3 Pro inverzní matice platí tato pravidla: ( M ) = M ( ) λm M =, kde λ T je nenulový skalár λ = n- n n n- 3 ( ) M M M M M M M M M = je tedy matice M = 6 Na základě eistence inverzní matice se matice dělí do dvou disjunktních skupin: M ATICE, K NÍŽ EXISTUJE INVERZNÍ MATICE, SE NAZÝVÁ REGULÁRNÍ MATICE V OPAČ NÉM PŘ ÍPADĚ SE NAZÝVÁ SINGULÁRNÍ Při počítání s matice je možné se též setkat s maticí transponovanou: N ECHŤ MATICE M ( a ij ) T ROZUMÍME MATICI M ( b ji ) = JE TYPU (, ) = TYPU (, ) mn M ATICÍ TRANSPONOVANOU K MATICI M nm, KDE ( bji ) ( aij ) 5 3 Příklad: maticí transponovanou k matici M = je matice T M = Pro transponované matice platí tato pravidla: T ( M ) T = M ( ) T T λm λm =, kde λ T je nenulový skalár 3 ( ) T T T T T M + M + + M + M = M + M + + M + M n- n n- n 4 ( ) T T T T T M M M M = M M M M n- n n n- = PRO i =,,, m, j =,,, n

13 3 Použití matic při řešení soustav rovnic Při řešení soustavy rovnic hraje důležitou úlohu matice stupňovitého tvaru: M ATICE M TYPU ( mn, ) SE NAZÝVÁ MATICE STUPŇ OVITÉHO TVARU, MÁ- LI TVAR: 0 0 ai * * ai * * M = *, KDE i < i < < ik n, k, aki * * k ai 0 a i 0 a ki 0 A * ZNAČ Í LIBOVOLNÝ PRVEK Z TĚ LESA T k Speciálním případem matice stupňovitého tvaru je matice trojúhelníková Významnou roli hrají matice při řešení soustavy rovnic, kdy maticový zápis výrazně zpřehlední řešení této soustavy a eliminuje možnost vzniku chyby Uvažme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých,, n ve tvaru: a + a + + an n = b a + a + + an n = b kde aij, b, b,, bm T am + am + + amn n = bm, S OUSTAVA ROVNIC SE NAZÝVÁ HOMOGENNÍ, JESTLIŽE b i = 0 PRO i =,,, m S OUSTAVA ROVNICE SE NAZÝVÁ NEHOMOGENNÍ, JESTLIŽE b i 0 ALESPOŇ PRO JEDEN INDEX i =,,, m Pro snadné určení řešitelnosti dané soustavy rovnic se zavádí dvě matice: a a an a a an M ATICE A = SE NAZÝVÁ MATICE SOUSTAVY ROVNIC M ATICE am am amn a a an b a * a an b A = SE NAZÝVÁ ROZŠÍŘ ENÁ MATICE SOUSTAVY ROVNIC am am amn bm Na základě hodnosti matice soustavy rovnic a hodnosti rozšířené matice soustavy rovnic je možné určit počet řešení dané nehomogenní soustavy rovnic (matematicky se jedná o Frobeniovu větu): * h A = h A = n - soustava rovnic má právě jedno řešení ( ) ( ) ( ) ( * ) 3 h( A) * h( A ) h A = h A < n - soustava rovnice má nekonečně mnoho řešení - soustava rovnic nemá žádné řešení Homogenní soustava rovnic má vždy netriviální řešení (alespoň jedno z i pro i =,,, n je < n nenulové), právě když h( A) Postup, kterým je možné pomocí maticového zápisu vyřešit soustavu m rovnic o n neznámých, formuloval už Carl Friedrich Gauss ( ) Na jeho počest se tato metoda nazývá Gaussova eliminační metoda: pomocí elementárních úprav převést rozšířenou matici soustavy rovnic na matici stupňovitého tvaru v případě, že má soustava řešení, pak m n neznámých (je-li m n > 0 ) zvolit jako parametr (pokud m= n tento krok odpadá) 3 pomocí tzv zpětného chodu dopočítávat jednotlivé neznámé odspodu matice stupňovitého tvaru - vypočítat a dosadit do řádku o jeden výše 4 Determinanty 4 Definice, základní vlastnosti Determinant je pojem, který souvisí přímo s maticemi Jedná se o číslo, které ze čtvercové matice získáme předem definovaným způsobem Nejjednodušší je determinant matice druhého stupně 3

14 N ECHŤ T JE TĚ LESO A abcd,,, T D ETERMINANTEM MATICE DRUHÉHO STUPNĚ a b a b ROZUMÍME PRVEK ad bc T ZÁPIS: ad bc c d c d = Poznámka: Determinant matice A bývá někdy zvykem značit též det A Podobným způsobem je možné vypočítat i determinant matice třetího stupně Výpočet tohoto determinantu je možný pomocí Sarrusova pravidla: a a a 3 a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Pamatovat si Sarrusovo pravidlo a a a v tomto tvaru je asi dost náročné (i když jistou závislost pro vytvoření nějaké mnemotechnické pomůcky by se jistě podařilo nalézt) Rozumnější je uvědomit si, že se jedná o jakési zobecnění výpočtu determinantu druhého a a a a a a a a stupně Stačí si determinant 3 a a a 3 a a a přepsat do pomocného tvaru a a a a a a nyní už řešit a a a a a analogicky jako determinant matice druhého stupně Na třech diagonálách, které míří zleva shora doprava dolů vynásobíme prvky a vzniklé součiny sečteme Na třech diagonálách, které jdou zleva zdola doprava nahoru opět vynásobíme prvky a vzniklé součiny sečteme Tento výsledek odečteme od součtu získaného z diagonál jdoucích zleva shora doprava dolů a determinant je vypočtený Příklad: Vypočtěte determinant matice Řešení: Determinant si přepíšeme v pomocném tvaru a nyní už můžeme počítat: 4+ ( )( 3 )( ) + 0 ( )4 0 ( 3 ) ( ) Po vyčíslení dostaneme: = Tedy 4 3 = 0 4 Výpočet determinantů vyšších stupňů Determinant čtvercové matice vyššího stupně než tři se počítá podle jistých pravidel Odvození těchto pravidel jde ale za rámec středoškolské matematiky a nebudeme je zde proto uvádět Připomeneme vlastnosti determinantů: determinant jednotkové matice je výměnou libovolných dvou řádků se změní znaménko determinantu 3 má-li matice libovolné dva řádky stejné, pak její determinant je nulový 4 vynásobením libovolného řádku matice nenulovým skalárem λ se determinant příslušné matice zvýší λ -krát 5 determinant singulární matice je nulový; determinant regulární matice je nenulový 4 Součin prvků na hlavní diagonále V případě, že je nutné vypočítat determinant vyššího než třetího stupně, je možné použít následující pravidlo: Upravíme-li matici do trojúhelníkového tvaru, tj pod hlavní diagonálou jsou samé nuly, je hodnota determinantu rovna součinu prvků na hlavní diagonále Při úpravách je třeba dbát na to, abychom hodnotu determinantu nezvyšovali Zejména bod 4 z právě uvedených vlastností determinantů by mohl působit potíže Je tedy možné násobit libovolným nenulovým reálným číslem λ libovolný řádek determinantu Pokud ale s řádkem nic neprovádíme, hodnota determinantu se λ -krát zvýší Násobíme-li řádek, který potom přičítáme k dalšímu, není nutné provádět žádné korekce při výpočtu determinantu - jeho hodnota se tím nemění Konkrétněji asi vše vysvětlí následující příklad 3 Příklad: Vypočtěte determinant 3 3 Řešení: Determinant vypočteme zejména s využitím bodu 4 uvedeného ve vlastnostech determinantů Aby se hodnota determinantu nezměnila, je třeba uvažovaným skalárem λ determinant ihned vydělit:

15 3 3 3 ( 3) 0 5 ( ) 3 = 3 ( 3) = = 4 ( ) ( 3 3 ) ( ) = = = 4 3 ( 3 ) 5 6 ( 3 ) ( 5 )( 36 )( 0 )35 = = = ( 3 ) 5 ( 4) ( 3 ) 5 ( 4) ( ) Problematika λ - násobku snad vynikla a byla vysvětlena Ve třetím kroku, kde se násobí třetí řádek determinantu skalárem se žádná korekce na výpočet determinantu neprovádí, protože tento třetí řádek 6 přičítáme k řádku čtvrtému a pátému V ostatních případe je nutné korekce provést, protože vždy násobíme řádek, do něhož se přičítá, tj se řádkem samotným se vlastně jakoby nehýbe 4 Rozvoj podle daného sloupce nebo řádku Dříve než začneme s výpočtem determinantu pomocí rozvoje podle daného sloupce resp řádku, je třeba zavést některé důležité pojmy N ECHŤ MATICE A ( a ij ) = JE TYPU (, ) 5 ( ) mn V ZNIKNE- LI MATICE M TAK, ŽE Z MATICE A VYNECHÁME Ř ÁDKY i, i,, i h A SLOUPCE j, j,, j k, BUDEME PSÁT A BUDEME Ř ÍKAT, ŽE MATICE M JE SUBMATICE MATICE A Příklad: Je dána matice A = Určete A ϑ a 3 A ϑ 4 M i, i,, i ϑ h = A j, j,, jk 3 Řešení: Submatice A ϑ vznikne z matice A vynecháním a 3 řádku a a 3 sloupce, tedy z matice A = Proto dostáváme: 3 A ϑ = ( 0 3 4) Analogickým postupem dostaneme: 0 4 A ϑ = 4 3 Pomocí submatice dané matice je možné zavést též subdeterminant a algebraický doplněk N ECHŤ M, MATICE TYPU ( k, k ), JE SUBMATICE MATICE A TYPU (, ) ( m n) = SE NAZÝVÁ SUBDETERMINANT MATICE A k min, PRVEK det M M mn, KDE N ECHŤ MATICE A = ( a ij ) JE Č TVERCOVÁ MATICE STUPNĚ m P RO SUBMATICI ϑ i + ϑ i M = A ZAVÁDÍME Aij = det M = det A j j PRVEK A SE NAZÝVÁ ALGEBRAICKÝ DOPLNĚ K PRVKU ij A DÁLE DEFINUJEME A ( ) a ij V MATICI A ij i + j + Aij =, PŘ I Č EMŽ Nyní je možné napsat rozvoj determinantu pomocí daného sloupce: Pro matici typu A typu ( mm, ) a pro i, pro které i m, platí: det A = ai Ai + ai Ai + + ami Ami Analogicky je možné postupovat při rozvoji determinantu pomocí daného řádku: Pro matici typu A typu ( mn, ) a pro i, pro které i m, platí: det A = aiai + ai Ai + + aim Aim

16 Tento způsob výpočtu determinantu je možné použít v případě determinantů vyšších stupňů, které obsahují v některém sloupci či řádku velké množství nul V ten okamžik se výpočet determinantu výrazně urychlí Nicméně tato pravidla mají obecnou platnost 3 5 Příklad: Vypočtěte determinant matice M = Řešení: Vzhledem k tomu, že se jedná o determinant čtvrtého stupně, nemůžeme použít Sarrusovo pravidlo To bychom mohli použít až na determinanty třetího stupně, které vzniknou po rozvoji determinantu dané matice např podle prvního sloupce: = a A + a A + a A + a A = ( ) ( ) ( ) ( ) = a A + a A + a A + a A = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = (nyní použijeme Sarrusovo pravidlo) = = ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) = = = 3( 6+ 7) ( 4 0) + ( 4 6) = = 7 43 Použití determinantů Význam determinantů spočívá v jejich použití při řešení soustavy rovnic Kromě Gaussovy eliminační metody (viz odstavec 3) je možné k řešení soustavy m rovnic o n neznámých, kde m= n, použít Cramerovo Δi pravidlo publikované švýcarským matematikem Gabrielem Cramerem (704-75): Platí: = pro Δ i =,,, n, kde Δ je determinant matice soustavy lineárních rovnic (viz odstavec 3) a Δ i je determinant matice, kterou získáme z matice soustavy lineárních rovnic tak, že i-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran soustavy lineárních rovnic Otázkou je, zda se jedná o velkou výhodu Řešit např soustavu 5 rovnic o 5 neznámých znamená při použití Cramerova pravidla vyřešit 6 determinantů pátého stupně Možná, že Gaussovou eliminační metodou se dostaneme k výsledku dříve Ale to závisí na konkrétních prvcích matice - pokud jich bude několik na správných místech nulových, výpočet determinantů se zjednoduší 5 Systémy souřadnic V matematice a ve fyzice je třeba vyšetřovat různé úlohy, které se výrazně zjednoduší, pokud si úlohu překreslíme do systému souřadnic Podle zadání úlohy a způsobu výpočtu je možné volit z několika systémů souřadnic 5 Kartézský systém souřadnic Za název kartézského systému souřadnic je zodpovědný francouzský filosof, matematik, fyzik a fyziolog René Descartes ( ), který začal v matematice jako první hledat souvislosti mezi geometrií a algebrou Proto byl po něm pojmenován nejjednodušší systém souřadnic Soustava souřadnic (a nejen kartézská) slouží jednak geometrickému náhledu na danou situaci a jednak umožňuje pomocí algebraických struktur a pravidel počítat základní veličiny spojené s tímto systémem souřadnic Kartézská soustava souřadnic v rovině (resp prostoru) je tvořena dvěmi (resp třemi) navzájem kolmými osami a y (resp, y a z), které se protínají v počátku soustavy souřadnic O Tímto způsobem je zvolena 6 i

17 ortogonální (pravoúhlá) soustava souřadnic, která je speciálním případem tzv kosoúhlé soustavy souřadnic, kde souřadnicové osy svírají libovolný úhel Tento obecný případ ale probírat nebudeme, protože se používá jen ve zcela výjimečných případech Pomocí dvou (resp tří) vektorů e a e (resp e, e a e 3 ), které leží postupně na osách a y (resp, y a z) zvolíme tzv bázi kartézského systému souřadnic, tj vektory, pomocí nichž je možné vyjádřit souřadnice jakéhokoliv bodu a vektoru v daném kartézském systému souřadnic (obšírněji je báze popsána v odstavci ) Zvolíme-li uvažované vektory tak, aby e = ( ; 0; 0), e = ( 0; ; 0) a e 3 = ( 0; 0; ), získáme tzv normované vektory, tj vektory, které mají jednotkovou velikost, tj e = e = e3 = Tímto způsobem byl vytvořen ortonormální (ortogonální a normovaný) systém souřadnic Speciality kartézských souřadnic: jedna z uvažovaných souřadnic je konstantní - získáme rovinu, která je kolmá k ose, jejíž souřadnice je konstantní (např všechny body, pro něž z = 7 vytvoří rovinu, která je kolmá k ose z a tuto osu protíná v bodě z = 7 ) dvě souřadnice konstantní - získáme přímku, která je rovnoběžná s třetí osou (např všechny body, pro které je = 5 a y = vytvoří přímku rovnoběžnou s osou z, která protne rovinu y v bodě [ 5; ] ) Kartézské souřadnice v třírozměrném prostoru se dále rozlišují na: pravotočivé - viz obr ; v takovém systému souřadnic platí: e3 = e e levotočivéˇ- viz obr 3; pro vektory báze e, e a e 3 platí: e3 = e e Rozdíl mezi pravotočivým a levotočivým kartézským systémem souřadnice se běžně příliš neprojeví Rozdíly se objevují v okamžiku, kdy počítáme nějaký příklad (vektory, derivace, ) po složkách Pravotočivý systém se většinou používá ve fyzice, levotočivý v matematice obr obr 3 5 Polární souřadnice Polární souřadnice jsou souřadnice rovinné Jsou určeny počátkem (pólem) O a polární osou o, která prochází počátkem (pólem) O Polohu libovolného bodu A určíme v polárních souřadnicích (viz obr 4): vzdáleností r bodu A od pólu O; jedná se o velikost vektoru OA, který se nazývá polohový vektor (rádius vektor, průvodič); r je reálné nezáporné číslo základní velikostí orientovaného úhlu ϕ, který se nazývá polární úhel (argument, amplituda); úhel ϕ je z intervalu 0; π ) (otevřenost intervalu u hodnoty π je z důvodu zabránění duplicitám) Poloha bodu A je tedy dána v podstatě poloměrem kružnice se středem v bodě O, na níž bod A leží, a úhlem, který svírá v kladném směru jeho průvodič s osou o Tímto způsobem je tedy zavedena polární soustava souřadnic Orϕ obr 4 obr 5 Speciality polárních souřadnic: r = konst - získáme body, které leží na kružnici o poloměru r se středem v počátku 7

18 ϕ = konst - získáme body, které leží polopřímce procházející počátkem O, která svírá s osou o kladně orientovaný úhel ϕ Chceme-li vyjádřit polární souřadnice bodu A [ r; ϕ] [ ; ] A A = v kartézské soustavě souřadnic, tj určit A = y, je možné použít obr 5 Z tohoto obrázku je možné určit: A = rcosϕ a ya = rsinϕ Pro opačný převod, tj převod z kartézské soustavy souřadnic do polární soustavy souřadnic, je možné též použít obr 5 a právě odvozené vztahy Z obrázku je zřejmé, že A r = + y, což vyplývá i ze vztahů A A = rcosϕ a ya = rsinϕ, které stačí dát na druhou a sečíst Z těchto vztahů je možné podílem vyjádřit i úhel ϕ : y A A r sinϕ = = tgϕ rcosϕ Tento vztah je třeba ale ještě okomentovat, protože funkce tangens je nespojitá a pro některé hodnoty je nedefinovaná: A ϕ = arctg y pro A > 0 a y A > 0 A π ϕ = pro A = 0 a y A > 0 A 3 ϕ = π + arctg y pro A < 0 a y A A 4 3π ϕ = pro A = 0 a y A < 0 A 5 ϕ = π + arctg y pro A > 0 a y A < 0 A Právě uvedený rozpis není nutné si pamatovat, stačí jen přemýšlet a vědět, že hodnota úhlu ϕ je z intervalu 0; π ) 53 Cylindrické (válcové) souřadnice V odstavci 5 byly popsány polární souřadnice v rovině Jejich třírozměrnou analogií jsou souřadnice cylindrické (válcové) K rovině, v níž jsou zavedeny polární souřadnice, vedeme kolmici z počátkem (pólem) polárních souřadnic O (viz obr 6) Polární souřadnice r a ϕ pak jsou souřadnicemi průmětu A daného bodu A do roviny, v níž jsou polární souřadnice zavedeny Tímto způsobem je tedy zavedena cylindrická (válcová) soustava souřadnic Orϕ z Speciality cylindrických souřadnic: r = konst - získáme body, které leží na rotačních válcových plochách se společnou osou z ϕ = konst - získáme body, které leží v polorovinách, jejichž hraničními přímkami je osa z 3 z = konst - získáme body, které leží v rovinách kolmých k ose z Chceme-li nyní vyjádřit souřadnice bodu A [ r; ϕ; z] [ ; y; z] = v kartézské soustavě souřadnic, tj určit A = je možné postupovat podle obrázku obr 7 Z obrázku je vidět, že pro -ovou a y-ovou souřadnice libovolného bodu, jehož souřadnice jsou udány pomocí cylindrického systému souřadnic, platí: = r cosϕ a y = rsinϕ Tedy naprosto totéž, jako pro převod souřadnic polárních na kartézské (viz odstavec 5) Třetí souřadnice zůstává beze změny, tedy z = z obr 6 obr 7 8

19 Pro inverzní převod, tj převod souřadnic kartézských na souřadnice cylindrické, je situace opět podobná A = ; y; z po jako v odstavci 5 Pro libovolný bod, jehož souřadnice v kartézské soustavě souřadnic jsou [ ] y převodu do cylindrických souřadnic platí: r = + y, tgϕ = a tedy ϕ = arctg y a z = z Diskuse pro úhel ϕ je uvedena v odstavci 5 Když si ale uvědomíme definiční obor úhlu ϕ a vlastnosti funkce tangens, je možné všechny případy (znaménka souřadnic, y a nulovost souřadnice ) dát dohromady bez jakýchkoliv problémů V případě, že by kartézský systém byl levotočivý, vymění se -ové a y-ové souřadnice 54 Sférické (kulové) souřadnice Sférické (kulové) souřadnice je možné zavést následujícím způsobem V prostoru zvolíme rovinu a v ní bod O, který bude počátkem sférické soustavy souřadnic Bodem O pak v této zvolené rovině vedeme polopřímku o Dále vedeme bodem O přímku o kolmo ke zvolené rovině Polohu libovolného bodu A v této soustavě souřadnice určíme (viz obr 8): vzdáleností r bodu A od počátku O soustavy souřadnic; jedná se o velikost vektoru OA, který se nazývá polohový vektor (rádius vektor, průvodič); r je reálné nezáporné číslo velikostí orientovaného úhlu ϕ, který svírá polopřímka o s polopřímkou OA, kde A je průmět bodu A do zvolené roviny; úhel ϕ je z intervalu 0; π ) (otevřenost intervalu u hodnoty π je z důvodu zabránění duplicitám) 3 velikostí orientovaného úhlu ϑ, který svírá polopřímka OA s přímkou o ; úhel ϑ je z intervalu 0; π Speciality sférických souřadnic: r = konst - získáme body, které leží na soustředných kulových plochách se středem v počátku O ϕ = konst - získáme body, které leží v polorovinách, jejichž hraničními přímkami je přímka o 3 ϑ = konst - získáme body, které leží na rotačních kuželových plochách s vrcholem v počátku O a s osou splývající s přímkou o obr 8 Chceme-li nyní vyjádřit souřadnice bodu A [ r; ϕ; ϑ] [ ; y; z] obr 9 = v kartézské soustavě souřadnic, tj určit A =, je možné postupovat podle obr 9 Z tohoto obrázku je možné určit -ovou, y-ovou a z-ovou souřadnici libovolného bodu Nejprve je třeba určit vzdálenost počátku O sférických souřadnic od průmětu daného bodu do roviny polárních souřadnic, tj do roviny y (na obrázku se jedná o průmět bodu A - bod A A ) Tato vzdálenost je OA = OA sinϑ = r sinϑ OA = OA sinϑ = r sinϑ Nyní je možné již určit -ovou souřadnici daného bodu: = OA cosϕ = rsinϑcosϕ Analogicky pro y-ovou souřadnici dostáváme: y = OA sinϕ = rsinϑsinϕ Souřadnice z je nejjednodušší: z = rcosϑ Zpětný převod, tj převod ze souřadnic kartézských do sférických vyplývá rovněž z obr 9 Platí: r = + y + z Úhel ϕ z intervalu 0; π ) lze určit na základě platnosti těchto dvou vztahů: sinϕ = y + y a cosϕ = + y Konečně pro úhel ϑ z intervalu 0; π platí následující podmínky, z nichž je možné úhel ϑ určit: + y + y + y sinϑ = = = + y + z + + r y z, z z cosϑ = = r + y + z a + y tgϑ = z 9

20 V případě, že by kartézský systém byl levotočivý, zamění se -ové a y-ové souřadnice 6 Transformace kartézského systému souřadnic Nejběžněji používaným systémem souřadnic a nejjednodušším na výpočty je kartézský systém souřadnic (viz odstavec 5) Někdy je též účelné systém souřadnic transformovat tak, aby lépe vyhovoval řešení dané úlohy Výklad provedeme pouze pro kartézský systém souřadnic Ten je možné transformovat: posunutím - posunutím celého systému souřadnic tak, že počátek soustavy souřadnic přejde do ; y bodu o souřadnicích [ ] 0 0 otočením - otočení kolem daného bodu (v nejjednodušším případě kolem počátku kartézského systému souřadnic) o úhel α 6 Kartézský systém souřadnic v rovině Kartézský systém souřadnic v rovině je dán dvěma navzájem kolmými osami a y a počátkem O: hovoříme o kartézském systému souřadnic Oy 6 Posunutí Při posunutí přechází kartézský systém souřadnic Oy na systém souřadnic O y jak je ukázáno na obr 0 Při přechodu od kartézského systému O y ke kartézskému systému Oy platí následující transformační vztahy: = + 0 a y = y + y0 Při přechodu od nečárkovaného systému k čárkovanému systému platí vztahy, které z předchozích získáme jednoduchou matematickou úpravou: = 0 a y = y y0 Bod o souřadnicích [ ; ] y (v nečárkovaném systému souřadnic) určuje bod, do kterého se posunul 0 0 počátek čárkovaného systému souřadnic S využitím maticového počtu (viz odstavec 3) je možné výše uvedené transformační vztahy vyjádřit 0 0 takto: = + resp y y = y0 y y y0 6 Otočení Otočení kartézského systému souřadnic kolem daného bodu je operace složitější Nicméně i zde platí relativně jednoduché vztahy, které je možné odvodit z obr Bod A má v čárkované soustavě souřadnic (tj v té, která byla oproti nečárkované soustavě otočena o úhel A = ; y, Tentýž bod má v nečárkované (původní) soustavě souřadnic α v kladném smyslu) souřadnice [ A A] souřadnice A [ ; y ] = = α sinα = A A Z obr je vidět, že pro -ové souřadnice platí: A a b A cos y A Analogicky pro y-ové souřadnice lze psát: ya = c+ d = Asinα + y A cosα Je tedy možné napsat transformační rovnice při přechodu od čárkované soustavě souřadnic k nečárkované: = cosα y sinα a y = sinα + y cosα Tyto transformační rovnice je možné zapsat cosα sinα s využitím matic (viz odstavec 3): = y sinα cosα y obr 0 obr Matice, která vystupuje v právě zformulovaném zápisu, tj matice cos α sin α bývá v algebře sinα cosα nazývána matice přechodu od jedné soustavy souřadnic k jiné Ve skutečnosti se jedná o matici přechodu od jedné báze k bázi druhé, ale v tomto speciálním případě je možné hovořit jen o souřadnicích Není to zcela přesné, ale postačující Podrobněji je o bázích pojednáno v odstavci 0

OBSAH. 1. Matematické nástroje fyziky... 5

OBSAH. 1. Matematické nástroje fyziky... 5 Jaroslav Reichl, SPŠST Panská, Praha Matematika pro fyziky OBSAH Matematické nástroje fyziky 5 Filosofická stránka matematiky aneb Hilbert versus množiny 5 Základní pojmy algebry 6 Od kartézského součinu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více