Úvod do práce s Matlabem
|
|
- Arnošt Netrval
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do práce s Matlabem 1 Reálná čísla 1.1 Zadávání čísel Reálná čísla zadáváme s desetinnou tečkou (.), čísla lze také zadávat v exponenciálním tvaru například číslo zadáme takto 1.4e-5, číslo takto 53.23E4. Pro exponent můžeme používat symbol E nebo e. Při zadávání nesmíme dělat v čísle mezeru. 1.2 Operace s čísly Pro operaci s čísly používáme následující symboly. + sčítání - odčítání * násobení / dělení ^ umocnění Tabulka 1.1: Operace s čísly Jak jsme zvyklí z matematiky, provádějí se operace v předepsaném pořadí, nejprve operace umocnění, pak násobení a dělení a nakonec sčítání a odčítání. Stejně tak v Matlabu platí stejná priorita operací a používáme kulaté závorky (žádné jiné pro tento účel nelze použít). operace priorita ^ 1. * / Tabulka 1.2: Priorita operací 1.3 Elementární matematické funkce Nyní uvedeme seznam elementárních funkcí. sin(x) sinus: sin(x) cos(x) kosinus: cos(x) tan(x) tangens: tg(x) cot(x) kotangens: cotg(x) asin(x) arkussinus: arcsin(x) acos(x) arkuskosinus: arccos(x) atan(x) arkustangens: arctg(x) acot(x) arkuskotangens: arccotg(x) Tabulka 1.3: Goniometrické a cyklometrické funkce log(x) přirozený logaritmus: ln(x) log10(x) dekadický logaritmus: log(x) log2(x) logaritmus při základu 2: log 2 (x) exp(x) exponeciální funkce: e x pow2(x) exponeciální funkce při základu 2: 2 x Tabulka 1.4: Logaritmické a exponenciální funkce 1
2 sqrt(x) abs(x) sign(x) Tabulka 1.5: Ostatní funkce druhá odmocnina: x abolutní hodnota: x funkce signum Funkce můžeme použít i pro matice, funkce se pak vyčíslí pro jednotlivé prvky matice. Pozor na funkci x^(1/3) (tj. 3 x ) a funkci acot(x) Poznámka: Vlastní funkci si zadáme příkazem inline, např. funkci f(x) = sin(x) + x 2 zadáme takto f=inline( sin(x)+x^2 ) 1.4 Konstanty a speciální proměnné Matlab má k dispozici několik konstant a speciálních proměnných. pi Ludolfovo číslo π = inf nekonečno NaN neurčitý výraz i imaginární jednotka Tabulka 1.6: Speciální proměnné a konstanty 1.5 Zaokrouhlování Čísla můžeme zaokrouhlit několika způsoby. round(x) floor(x) ceil(x) zaokrouhlí číslo x na celé číslo (čísla menší než *.5 směrem dolů a ostatní směrem nahoru) zaokrouhlí číslo x na nejbližší nižší celé číslo (dolů) zaokrouhlí číslo x na nejbližší vyšší celé číslo (nahoru) Tabulka 1.7: Zaokrouhlování čísel Funkce pro zaokrouhlování můžeme použít i pro matice, funkce se pak vyčíslí pro jednotlivé prvky matice. 2 Matice a vektory 2.1 Zadávání matic a vektorů Matici zadáváme v hranatých závorkách, prvky na řádku oddělujeme mezerou nebo čárkou. Jednotlivé řádky pak středníkem nebo klávesou ENTER. Příklady 2.1. Zadáme matici A = středníkem: , prvky na řádku oddělíme mezerou a jednotlivé řádky 2
3 >> A=[3 5; 0 9; -3 2] A~= Funkce pro tvorbu matic Matici se speciálními prvky lze vytvořit i pomocí následujících príkazů. zeros(m,n) ones(m,n) eye(m,n) rand(m,n) nulová matice typu m n matice jedniček typu m n jednotková matice typu m n matice náhodných čísel z intervalu (0, 1) typu m n Tabulka 2.1: Funkce pro tvorbu matic Pokud se použijí funkce zeros, ones, eye, rand pouze s jedním parametrem (například zeros(3)), vznikne čtvercová matice příslušného řádu. 2.3 Vygenerování aritmetické posloupnosti Potřebujeme-li vygenerovat vektor čísel, která jsou prvky aritmetické posloupnosti, pak to lze v Matlabu udělat pomocí dvojteček takto: prvni_clen:diference:posledni_clen 2.2. Potřebujeme vektor (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22) tedy čísla od 4 do 22 s krokem 3. Budeme postupovat takto: >> 4:3:22 ans = Pokud se diference vynechá, Matlab ji bere jako rovnu 1. >> 2:10 ans = Diference může být i záporné číslo. >> 13:-3:0 ans = Diference může být i desetinné číslo. 3
4 >> 5:0.2:6 ans = Operace s maticemi a vektory Pro operaci smaticemi a vektory používáme následující symboly: + součet matic (např. A+B je matice s prvky a ij + b ij ) - rozdíl matic (např. A-B je matice s prvky a ij b ij ) * součin matic řadek krát sloupec / pravé maticové dělení (např. A/B je matice A B 1 ) \ levé maticové dělení (např. A\B je matice A 1 B) ^ mocnina matic (např. A^k je A A... A (k-krát)) transponovaná matice, (např. A je matice s prvky a ji ) Tabulka 2.2: Operace s maticemi.* součin matic prvek po prvku (např. A.*B je matice s prvky a ij b ij )./ pravé dělení prvek po prvku (např. A./B je matice s prvky a ij /b ij ).\ levé dělení prvek po prvku (např. A.\B je matice s prvky b ij /a ij ).^ mocnina (např. A.^k je matice s prvky (a ij ) k ). transponovaná matice (např. A je matice s prvky a ji ) Tabulka 2.3: Operace s maticemi (používáme zejména pro tabelaci) 2.3. Potřebujeme zjistit hodnotu funkce f(x) = x 4 + x 1 x 2 +2 >> x=1:0.2:2 x = >> y=x.^4+(x-1)./(x.^2+2) y = v bodech 1, 1.2, 1.4,..., 2 Čísla si vypíšeme do tabulky >> [x y ] ans =
5 2.5 Funkce lineární algebry pro matice size(a) typ matice A (počet řádků, počet sloupců) numel(a) počet prvků A det(a) determinant matice A rank(a) hodnost matice A norm(a) norma matice A inv(a) inverzní matice A rref(a) převedení matice A na horní trojúhelníkový tvar pomocí eliminace eig(a) vlastní čísla a vlastní vektory matice A Tabulka 2.4: Funkce pro matice 2.6 Manipulace s maticemi tril(a) dolní trojúhelníková matice k matici A triu(a) horní trojúhelníková matice k matici A diag(a) hlavní diagonála matice A diag(v) matice, která má na hlavní diagonále vektor v, a jinde nuly Tabulka 2.5: Manipulace s maticemi 2.7 Práce s daty max(a) min(a) sum(a) prod(a) mean(a) Tabulka 2.6: Práce s daty maximum ve sloupcích matice A minimum ve sloupcích maticea součty prvků ve sloupcích matice součiny prvků ve sloupcích matice aritmetický průměr ve sloupcích Pokud použijeme funkce z tabulky 2.6 pro vektory, aplikuje se na jednotlivé prvky vektoru, bey ohledu na to, zda je vektor sloupcový nebo řádkový. 3 Relační a logické operátory 3.1 Pravda, nepravda V Matlabu neni speciální typ pro logické proměnné, pravda má hodnotu 1 a nepravda hodnotu Relační operátory Relační operátory lze použít na matice, kde se pak srovnávají prvek po prvku. == je rovno = ~= není rovno < je menší < > je větší > <= je menší nebo rovno <= je větší nebo rovno Tabulka 3.1: Relační operátory 5
6 3.3 Logické operátory Vstup not and or xor A B ~A A&B A B xor(a,b) Tabulka 3.2: Logické operátory Je možné se setkat s oběma zápisy. Tj. A&B je totéž jako and(a,b), A B je totéž jako or(a,b) a ~A je totéž jako not(a). Logický výraz se vyhodnocuje zleva doprava. 4 Dvojrozměrné grafy 4.1 Vykreslení grafu plot(x,y) graf bodů o souřadnicích (x, y) fplot( f,[a,b]) graf funkce f na intervalu a, b Tabulka 4.1: Dvojrozměrné grafy Vstupem příkazu plot jsou souřadnice bodů, které se pak spojí čarou. Chceme-li vykreslit graf funkce, lze použít i příkaz fplot, první parametrem je funkční předpis v apostrofech a druhým je interval, na kterém chceme graf vykreslit, třetím nepovinným parametrem je specifikace. Příklady 4.1. Vykreslíme graf funkce y = x 2 na intervalu 4, 4 pomocí příkazu plot. Vstupem příkazu plot jsou souřadnice bodů, které se pak spojí čarou. Nejprve si do proměnné x uložíme souřadnice x, které vygenerujeme jako 100 bodů mezi 4 a 4: >> x=linspace(-4,4); Pak vytvoříme souřadnice y jako funkční hodnoty funkce y = x 2 v bodech x: >> y=x.^2; A vykreslíme graf: >> plot(x,y) Po vypsání příkazu se zobrazí nové okno Figure No. 1, které se stane aktivním. 6
7 obr. 4.1: Graf funkce y = x 2 Pokud je toto okno otevřené, graf se překreslí, ale okno se nestane aktivním. V tomto případě okno učiníme aktivní kliknutím na tlačítko Figure No. 1 na hlavním panelu ve W indows (obvykle je umístěn dole) Chceme-li vykreslit graf funkce, lze použít i příkaz fplot, první parametrem je funkční předpis v apostrofech a druhým je interval, na kterém chceme graf vykreslit. Zobrazíme graf funkce y = sin(x) x na intervalu 20, 20 : >> fplot( sin(x)/x,[-20,20]) obr. 4.2: Graf funkce y = sin(x) x Chceme-li graf vykreslit jinak než modrou plnou čárou, použijeme tzv. specifikaci grafu. Pro specifikaci můžeme použít libovolnou kombinaci voleb z prvního, druhého a třetího sloupce tabulky 4.2 (v uvedeném pořadí), přičemž některou lze vynechat. Specifikaci uvádíme jako řetězec, tj. do apostrofů a je to třetí nepovinný parametr příkazu plot a fplot. 7
8 Například červenou čárkovanou čáru vytvoříme specifikací r--, zelené kroužky go, žlutou čáru s trojúhelníčky yv-. Barvy Symboly Typy čar b modrá. tečky - plná g zelená o kroužky : tečkované r červená x křížky -. čerchovaná c světlé modrá + křížky + -- čárkovaná m fialová * hvězdičky y žlutá s čtverce k černá d kosočtverce v trojúhelníky (dolu) ^ trojúhelníky (nahoru) < trojúhelníky (vlevo) > trojúhelníky (vpravo) p pěticípé hvězdy h šesticípé hvězdy Tabulka 4.2: Specifikace grafu 4.3. Ukážeme si graf funkce y = sin(2x) na intervalu π, π černou tečkovanou čarou. >> x=linspace(-pi,pi); >> y=sin(2*x); >> plot(x,y, k: ) obr. 4.3: Graf funkce y = sin(2x) 4.4. Specifikace pomocí symbolů se často používá chceme-li zobrazit diskrétní data. Máme zadané hodnoty v tabulce, a zobrazíme je jako hvězdičky. t s >> t=[ ]; >> s=[ ]; >> plot(t,s, h ) 8
9 obr. 4.4: Graf 4.5. Jsou-li x-ové souřadnice čísla 1, 2, 3,... můžeme je v příkazu plot vynechat. den teplota >> teplota=[ ]; >> plot(teplota) obr. 4.5: Graf teplot 4.6. Při volbě intervalu, na kterém vykreslujeme graf musíme být obezřetní a brát v úvahu definiční obor funkce. Zobrazíme si graf funkce y = ln(x), víme, že definiční obor je (0, ), zobrazíme si tedy graf na intervalu, který lezží v definičním oboru, například , 3 : >> fplot( log(x),[0.0001,3]) 9
10 obr. 4.6: Graf funkce Ukážeme si, co by se stalo, kdybych nechali graf zobrazit na intervalu 3, 3, Matlab vypíše chybovou hlášku, >> fplot( log(x),[-3,3]) Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored. > In C:\MATLAB6P1\toolbox\matlab\specgraph\fplot.m at line Více grafů najednou hold subplot(m,n,k) vykreslení grafů do jednoho obrázku, nastavením on tuto vlastnost zapneme, off vypneme více obrázků do jednoho okna Tabulka 4.3: Více grafů do jednoho obrázku nebo více obrázků do jednoho okna Pokud chceme vykreslit více grafů do jednoho obrázku, použijeme příkaz hold. Příklady x Máme-li naměřené hodnoty v tabulce: A víme že předpokládané y chování této fyzikální veličiny je dáno fynkcí f = x 2 x exp(x/10) + 1. Chceme si do jednoho grafu zobrazit naměřené i teoretické hodnoty. Nejprve si zadáme data z tabulky do proměnných x,y a příkazem hold on otevřeme okno (zatím prázdné), do kterého se budou zobrazovat všechny grafy, které budeme vykreslovat: >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> hold on Vykreslíme data z tabulky jako červené hvězdičky: >> plot(x,y, r* ) a graf teoretických hodnot: 10
11 >> fplot( x^2-x*exp(x/10)+1,[-5,10]) >> hold off Nyní si ukážeme jak to vyřešíme pouze pomocí příkazu plot, >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> xg=linspace(1,10); >> yg=xg.^2-xg.*exp(xg./10)+1; >> plot(x,y, *,xg,yg, - ) 4.3 Nastavení grafu Do grafu můžeme přidat popisy os, nadpis, text na libovolné místo, také lze měnit rozsah os. axis([x1,x2,y1,y2]) rozsah os pro první proměnnou od x1 do x2, pro druhou od y1 do y2 zoom kliknutím levým tlačitkem myši do obrázku se zvětší detail, pravým se lze vracet grid zobrazení mřížky do grafu title( text ) titulek obrázku xlabel( text ) popis x-ové osy ylabel( text ) popis y-ové osy text(x1,y1, text ) umístění textu xxx na pozici x1, y1 legend( text ) popisy k více grafům v jednom obrázku Tabulka 4.4: Nastavení grafu 11
KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice
KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice Ing. Lenka Šroubová, Ph.D. email: lsroubov@kte.zcu.cz http://home.zcu.cz/~lsroubov 3. 10. 2012 Základy práce s výpočetními systémy opakování a pokračování
VíceNumerická matematika Řešené příklady s Matlabem a aplikované úlohy
Numerická matematika Řešené příklady s Matlabem a aplikované úlohy Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN
VícePPEL_3_cviceni_MATLAB.txt. % zadat 6 hodnot mezi cisly 2 a 8 % linspace (pocatek, konec, pocet bodu)
%------------------------------------- % 3. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB %------------------------------------- % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE % e-mail: lsroubov@kte.zcu.cz %-------------------------------------
VíceX37SGS Signály a systémy
X7SGS Signály a systémy Matlab minihelp (poslední změna: 0. září 2008) 1 Základní maticové operace Vytvoření matice (vektoru) a výběr konkrétního prvku matice vytvoření matice (vektoru) oddělovač sloupců
VíceEkonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista
Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého
VíceLineární algebra s Matlabem cvičení 3
Lineární algebra s Matlabem cvičení 3 Grafika v Matlabu Základní příkazy figure o vytvoří prázdné okno grafu hold on/hold off o zapne/vypne možnost kreslení více funkcí do jednoho grafu ezplot o slouží
VíceMODAM Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D.
GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) MODAM 2015 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2015 GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) Příklad 1: Kružnice opsaná trojúhelníku Zadání: Vytvořte aplikaci na sestrojení
VícePříklad elektrický obvod se stejnosměrným zdrojem napětí
Příklad elektrický obvod se stejnosměrným zdrojem napětí Určete proudy 18, 23, 4, 5, 67 v obvodu na obr., je-li dáno: 1 = 1 Ω, 2 = 2 Ω, 3 = 3 Ω, 4 = 5 Ω, 5 = 3 Ω, 6 = 2 Ω, 7 = 4 Ω, 8 = 4,5 Ω, U = 6 V.
VíceAlgoritmizace a programování
Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
Více% vyhledání prvku s max. velikostí v jednotlivých sloupcích matice X
%------------------------------------- % 4. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB %------------------------------------- % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE % e-mail: lsroubov@kte.zcu.cz %-------------------------------------
VíceKreslení grafů v Matlabu
Kreslení grafů v Matlabu Pavel Provinský 3. října 2013 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu
VíceGeoGebra známá i neznámá (pokročilí)
GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) MODAM 2017 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2017 GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) Příklad 1: Cykloida Zadání: Kotálením kružnice vytvoříme cykloidu. 3. 2. 1.
VíceUniverzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu.
Univerzitní licence MATLABu Pište mail na: operator@service.zcu.cz se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. * násobení maticové K = L = 1 2 5 6 3 4 7 8 Příklad: M = K * L N = L * K (2,2) = (2,2) * (2,2)
VíceZáklady algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Práce s maticemi Přednáška 9 23. listopadu 2009 Pole: vektory a matice Vektor (jednorozměrné pole) deklarace statická int v1[5]; dynamická int * v2; + přidělení paměti:
VíceSeminář z MATLABU. Jiří Krejsa. A2/710 krejsa@fme.vutbr.cz
Seminář z MATLABU Jiří Krejsa A2/710 krejsa@fme.vutbr.cz Obsah kurzu Posluchači se seznámí se základy systému Matlab, vědeckotechnickými výpočty, programováním v Matlabu včetně pokročilých technik, vizualizací
VíceKAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM
KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat
VíceNumerická matematika: Pracovní listy
: Pracovní listy Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava K M D G Řy - Interpolace polynomy 1. 1 Interpolace a aproximace Úloha interpolace
VíceCyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
Vícepi Ludolfovo číslo π = 3,14159 e Eulerovo číslo e = 2,71828 (lze spočítat jako exp(1)), např. je v Octave, v MATLABu tato konstanta e není
realmax maximální použitelné reálné kladné číslo realmin minimální použitelné reálné kladné číslo (v absolutní hodnotě, tj. číslo nejblíž k nule které lze použít) 0 pi Ludolfovo číslo π = 3,14159 e Eulerovo
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceStručný návod k programu Octave
Stručný návod k programu Octave Octave je interaktivní program vhodný pro technické výpočty. Je nápadně podobný programu MATLAB, na rozdíl od něho je zcela zadarmo. Jeho domovská vebová stránka je http://www.octave.org/,
VíceOperace s vektory a maticemi + Funkce
+ Funkce 9. března 2010 Operátory Operátory Aritmetické: Operátory Operátory Aritmetické: maticové + (sčítání), (odčítání), (násobení), / (dělení matematicky je maticové delení násobení inverzní maticí),
VícePříklad: Řešte soustavu lineárních algebraických rovnic 10x 1 + 5x 2 +70x 3 + 5x 4 + 5x 5 = 275 2x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 9x 4 + 6x 5 = 100 8x 1 + 9x 2 +
Příklad: Řešte soustavu lineárních algebraických rovnic 1x 1 + 5x 2 +7x 3 + 5x 4 + 5x 5 = 275 2x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 9x 4 + 6x 5 = 1 A * x = b 8x 1 + 9x 2 + x 3 +45x 4 +22x 5 = 319 3x 1 +12x 2 + 6x 3 + 8x
Vícewhile cyklus s podmínkou na začátku cyklus bez udání počtu opakování while podmínka příkazy; příkazy; příkazy; end; % další pokračování programu
while cyklus s podmínkou na začátku cyklus bez udání počtu opakování while podmínka příkazy; příkazy; příkazy; end; % další pokračování programu podmínka je libovolný logický výraz s logickou hodnotou
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMODAM Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D.
GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) MODAM 2016 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2016 GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) Příklad 1: Hod kostkou Zadání: Vytvoříme simulaci hodů hrací kostkou a budeme
Více- speciální symboly + - * / =., < > <> <= >= a další. Klíčová slova jsou chráněnými útvary, které nelze použít ve významu identifikátorů.
Základní symboly - písmena A B C Y Z a b c y z - číslice 0 1 2 9 - speciální symboly + - * / =., < > = a další - klíčová slova and array begin case const a další Klíčová slova jsou chráněnými útvary,
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceSada 1 - Základy programování
S třední škola stavební Jihlava Sada 1 - Základy programování 04. Datové typy, operace, logické operátory Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VícePříklady k druhému testu - Matlab
Příklady k druhému testu - Matlab 20. března 2013 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu
VíceMODAM Popis okna. 2 Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) MODAM 2016 Mgr. Jana Bělohlávková. MODAM 2016 GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) Popis okna 2 Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie,
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceZáklady algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceMODAM Ing. Schreiberová Petra, Ph.D.
GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) MODAM 2017 RNDr. Radomír Paláček, Ph.D. Ing. Schreiberová Petra, Ph.D. MODAM 2017 GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) Příklad 1: Kyvadlo Zadání: Vytvořte animaci
VíceZáklady algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VícePříklady k prvnímu testu - Matlab
Příklady k prvnímu testu - Matlab March 13, 2013 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu rozumíte.
VícePPEL_4_cviceni_MATLAB.txt. % 4. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB. % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE %
%------------------------------------- % 4. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB %------------------------------------- % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE % e-mail: lsroubov@kte.zcu.cz %-------------------------------------
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceSystém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných
Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných jakési nádoby na hodnoty jsou různých typů při běžné
Více2. cvičení z ZI1 - Excel
Doc.Ing. Vlastimil Jáneš... janes@fd.cvut.cz 2. cvičení z ZI1 - Excel O Excelu - organizace listů : 1 list : max. 65 536 řádků a 256 sloupců, tj. 16 777 216 buněk. Sloupce : A, B,.Z, AA, AB,. IU, IV (26
VíceNumerická matematika: Pracovní listy
: Pracovní listy Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava K M D G Řy - Nelineární rovnice 1. 1 Nelineární rovnice Nelineární rovnice
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
Vícevíce křivek v jednom grafu hold on přidrží aktuální graf v grafickém okně, lze nakreslit více grafů do jednoho grafického okna postupně hold off
více křivek v jednom grafu hold on přidrží aktuální graf v grafickém okně, lze nakreslit více grafů do jednoho grafického okna postupně hold off vypnutí, konec možnosti kreslit více grafů do jednoho grafického
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePříloha 1. 1. Jazyk Coach
Příloha 1 1. Jazyk Coach 1.1 Úvod Součástí integrovaného prostředí Coach jsou programy Modelování a Řídicí prostředí, ve kterých je možno navrhovat, zapisovat, ladit a provádět modelové výpočty a řídicí
Vícepředmětu MATEMATIKA B 1
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceMS EXCEL_vybrané matematické funkce
MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu
VíceProgramy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE
Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak
VíceStěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití
Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců
Více1.1 Struktura programu v Pascalu Vstup a výstup Operátory a některé matematické funkce 5
Obsah Obsah 1 Programovací jazyk Pascal 1 1.1 Struktura programu v Pascalu.................... 1 2 Proměnné 2 2.1 Vstup a výstup............................ 3 3 Operátory a některé matematické funkce 5
VíceOperátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2
* násobení maticové Pro čísla platí: Pro matice - násobení inverzní maticí inv inverzní matice A -1 k dané matici A je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Více. Poté hodnoty z intervalu [ 1 4, 1 2. ] nahraďte hodnotami přirozeného logaritmu.
1. Spočítejte objemy krychlí s délkami stran a = 2 cm, 3 cm a 4 cm. 2. Vytvořte vektor funkčních hodnot funkce sin(x) v bodech 0, π 4, π 2,..., 2π. 3. Vygenerujte posloupnost u čísel 2, 1.8,... délky 20.
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceSlovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VícePříklady: (y + (sin(2*x) + 1)*2)/ /2 * 5 = 8.5 (1+3)/2 * 5 = /(2 * 5) = 1.3. Pavel Töpfer, 2017 Programování 1-3 1
Výraz - syntaxe i sémantika podobné jako v matematice - obsahuje proměnné, konstanty, operátory, závorky, volání funkcí - všechny operátory nutno zapisovat (nelze např. vynechat znak násobení) - argumenty
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMATrixLABoratory letný semester 2004/2005
1Prostedie, stručný popis okien Command Window příkazové okno pro zadávání příkazů v jazyku Matlabu. Workspace zde se zobrazuje obsah paměti; je možné jednotlivé proměnné editovat. Command History dříve
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceMODAM Popis okna. 2 Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) MODAM 2016 Mgr. Jana Bělohlávková. MODAM 2016 GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) Popis okna 2 Jana Bělohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie,
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceDoňar B., Zaplatílek K.: MATLAB - tvorba uživatelských aplikací, BEN - technická literatura, Praha, (ISBN:
http://portal.zcu.cz > Portál ZČU > Courseware (sem lze i přímo: http://courseware.zcu.cz) > Předměty po fakultách > Fakulta elektrotechnická > Katedra teoretické elektrotechniky > PPEL Doňar B., Zaplatílek
Vícepři vykreslování křivky je důležitá velikost kroku, příp. počet prvků, ve vektoru t (na ose x). t = linspace(0,2*pi,500); y = sin(t); t =
při vykreslování křivky je důležitá velikost kroku, příp. počet prvků, ve vektoru t (na ose x). t = linspace(0,2*pi,500); y = sin(t); t = linspace(0,2*pi,5); plot(t,y,'b') y = sin(t); plot(t,y,'c') při
VíceÚvod do programu MAXIMA
Jedná se o rozpracovaný návod k programu wxmaxima pro naprosté začátečníky. Návod lze libovolně kopírovat a používat ke komerčním i osobním účelům. Momentálně chybí mnoho důležitých kapitol které budou
VícePříklad: Součet náhodných čísel ve vektoru s počtem prvků, které zadá uživatel, pomocí sum() a pomocí cyklu for. Ověříme, že příliš výpisů na
Příklad: Součet náhodných čísel ve vektoru s počtem prvků, které zadá uživatel, pomocí sum() a pomocí cyklu for. Ověříme, že příliš výpisů na obrazovku zpomaluje tím, že zobrazíme okno (proužek) o stavu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Vícevýsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.
Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x)
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceLogaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
Více8. Posloupnosti, vektory a matice
. jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceI. Kalkulátor Rebell SC2040 manuál s příklady Tlačítko: MODE CLR
I. Kalkulátor Rebell SC2040 manuál s příklady Tlačítko: MODE CLR Toto tlačítko je velmi důležité pro volbu pracovního režimu. 1 stisknutí: 1 (COMP) - běžné výpočty SD, REG statistické výpočty 2 stisknutí
VíceŠkolní kolo soutěže Baltík 2009, kategorie C
Úloha 1 Sídliště Počet bodů: 40 b Pracujte v 3D režimu s Baltíkem. a) Bílý a šedivý Baltík si postaví šachovnici o rozměru 6x6 políček následujícím způsobem. Předměty SGP21.sgpm a SGP22.sgpm upravte na
Více2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce
2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž
VíceStřední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97. Vybrané části Excelu. Ing. Petr Adamec
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Střední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97 Vybrané části Excelu Ing. Petr Adamec Brno 2010 Cílem předmětu je seznámení se s programem Excel
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
Více