MECHANIKA ROVINNÉHO POHYBU TUHÉHO TĚLESA. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíral, Přemysl Šedivý.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MECHANIKA ROVINNÉHO POHYBU TUHÉHO TĚLESA. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíral, Přemysl Šedivý."

Transkript

1 MECHNIK ROVINNÉHO POHYBU TUHÉHO TĚLES Obsah Studjní text po řeštele FO a ostatní zájemce o fyzku Bohuml Vybíal, Přemysl Šedvý Předmluva 2 1 Knematka ovnného pohybu tuhého tělesa Chaaktestkaovnnéhopohybu Tanslačnípohybtuhéhotělesa Rotačnípohybtuhéhotělesakolemnehybnéosy Obecnýovnnýpohyb.Základníozkladpohybu Pólovnnéhopohybutělesa Zvláštnípřípadypolohypólupohybu Dynamka ovnného pohybu tuhého tělesa Vnějšíavntřnísíly Hybnostsoustavy,hmotnýstřed Pvnímpulsovávěta Duhámpulsovávětapoobecnýovnnýpohyb Dynamkaotáčvéhopohybukolemnehybnéosy Moment hybnost tělesa vzhledem k nehybné ose. Momentsetvačnost Duhámpulsovávětapootackolemnehybnéosy Sovnání otačního pohybu kolem nehybné osy s tanslačnímpohybem Výpočetmomentusetvačnost Steneovavěta Momenty setvačnost homogenních těles jednoduchého geometckéhotvauohmotnost m Dynamkaobecnéhoovnnéhopohybutuhéhotělesa Knetcká enege tuhého tělesa př obecném ovnném pohybu Zákonzachovánímechanckéenege Výsledky úloh 42 Lteatua 44 1

2 Předmluva Předložený studjní text se zabývá mechankou ovnného pohybu tuhého tělesa. Vznkl zkácením a přepacováním podobného studjního textu[4] z oku 1997 tím,žeseomezujejennaovnnýpohybtělesa. Pobíaná látka se vztahuje k mechance tuhých těles, kteá je jedním z plířů celé fyzky. Zabývá se jednak popsem pohybu tělesa, nebol knematkou ovnného pohybu, a také vztahem mez knematckým velčnam pohybu a slam č momenty sl, kteé pohyb ovlvňují, nebol dynamkou ovnného pohybu. plkace této část mechanky jsou významné po techncké oboy, zejména stojíenství. Studjní text je nadstavbou učva, kteé je ve středoškolských učebncích fyzky, a poskytuje půpavu po řešení náočnějších úloh, kteé se často vyskytují ve Fyzkální olympádě. Obsahuje 10 vyřešených příkladů a 12 úloh s uvedeným výsledky řešení. Po další studum dopoučujeme navazující text[5], kteý pojednává o setvačnících. Po vážné zájemce o mechanku pak učebnce[1],[2[ a[3], kteé jsou však už učebncem vysokoškolským. 2

3 1 Knematka ovnného pohybu tuhého tělesa 1.1 Chaaktestka ovnného pohybu Př ovnném pohybu opsují body tělesa ovnné tajektoe, kteé leží ve vzájemně ovnoběžných ovnách. Poto po pops ovnného pohybu postačí popsovat půmět(s) tělesa do jedné z těchto ovn, kteou volíme za základní. Tak místo tojozměného tělesa vyšetřujeme pohyb plošného útvau v ovně. Do základní ovny umístíme počátek O a osy x, y katézské souřadncové soustavy (ob.1). Poloha tělesa př ovnném pohybu bude jednoznačně učena polohou úsečky B ve vztažné soustavě v základní ovně, tedy polohou efeenčního(vztažného) bodu(např. bodu ) a směem úsečky B. Pohyb budou popsovat ovnce x = x (t) y = y (t), (1) ϕ=ϕ(t). Těleso vykonávající ovnný pohyb má tedy tř stupně volnost. y B (S) B B 0 0 y ϕ 0 0 B O x x O Ob.1 Ob Tanslační pohyb tuhého tělesa Př tanslačním pohybu zůstává úsečka spojující lbovolné dva body tělesa stále ovnoběžná se svou výchozí polohou. Poto mají tajektoe všech bodů tělesa př jeho tanslac shodný tva a stejnou délku tajektoe jsou shodné, vzájemně posunuté křvky. Př tanslačním pohybu lbovolná přímka spojená s tělesem nemění svůj smě. Uvažujme dva body, B tělesa př tanslačním pohybu(ob. 2). Po jejch polohové vektoy platí 3

4 = (t), B = B (t)= + 0, kdevekto 0 jekonstantní.potopoychlostazychlenídvoulbovolných bodů tělesa dostaneme v B = d B dt a B = dv B dt = d dt = dv dt = v, (2) = a. (3) Všechny body tuhého tělesa se tedy př tanslačním pohybu pohybují stejnou ychlostí a se stejným zychlením. Pohybový stav tuhého tělesa je poto př tanslačním pohybu jednoznačně učen pohybem jedného bodu, za kteý zpavdla volíme hmotný střed tělesa. K řešení tanslačního pohybu tedy použjeme poznatků po pohyb jednoho hmotného bodu. 1.3 Rotační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy Přotactuhéhotělesakolemosynehybnévtělesevevztažnésoustavěse pohybují všechny body tělesa(s výjmkou bodů osy) po tajektoích ve tvau kužnc ležících v ovnách kolmých k ose se středem na ose. Rotační pohyb tělesa kolem pevné osy je zvláštním případem ovnného pohybu. Ve zvolené necální vztažné soustavě je pohybový stav tělesa popsán jednou souřadncí úhlemotočení = (t),kteýdefnujemejakovektoležícívoseotace (ob. 3). Jeho smě učíme nejsnáze pavdlem pavé uky: ukazují-l psty pavé uky smě oentované tajektoe =d =d bodů =d2 tělesa, ukáže palec smě vektou.rychlostzměnyúhluotočenípopsujevektoúhlováychlost,kteý defnujemevýazem = lm t 0 t dt. Rychlostzměnyúhlovéychlostpopsujevektoúhlovézychlení,kteýdefnujemevýazem = lm t 0 t dt dt 2. Obavektoy, ležívoseotace(ob.3).nynímůžemeučtychlosta zychlení bodu tělesa otujícího kolem nehybné osy(ob. 4), kteá pochází počátkem O vztažné soustavy. Je zřejmé, že po dáhu s a velkost v ychlost bodu platí s=ϕ, v= ds dt = dϕ dt = ω. 4

5 ϕ v a t an ϕ s O Ob. 3 Ob.4 d Duhý ze vztahů nás vede k výpočtu obvodové ychlost v jako vektou v=. (4) Jeho devací podle času podle vzoce po devac součnu dvou funkcí př zachování pořadí funkcí(po vektoový součn dvou vektoů ve vztahu(4) neplatí komutatvní zákon) dostaneme po zychlení bodu postupně výazy a= dv dt = d d ( )= + dt dt dt = + ( ). (5) Pvnísložkazychlenív(5)mázřejměsmětečnykekužncvbodě je tedytečnýmzychlením a t bodu.duhásložkazychlenív(5)mázřejmě směnomálykekužncvbodě jetedynomálovýmzychlením a n bodu. Nebol a=a t + a n, a t =, a n = v= ( ). (6) a t = ε, a n = ωv= ω 2 = v2. (7) 5

6 1.4 Obecný ovnný pohyb. Základní ozklad pohybu S ohledem na pops pohybu ovncem(1) lze ovnný pohyb tělesa ozložt na tanslační pohyb efeenčního bodu a na otační pohyb kolem efeenčního bodu vzob.5.přtomlzeukázat,žeotačnísložkaovnnéhopohybu nezávsí na volbě efeenčního bodu. Na ob. 6 je znázoněn ozklad pohybu popřípad,žeefeenčnímbodemjebod B. y O 1 (1) B 1 Ob.5 B 2 B 2 ϕ 2 (2) x y O 1 (1) B 1 2 Ob.6 Polohulbovolnéhobodu Btělesa,popsanoupolohovýmvektoem B = B (t), lze vyjádřt ve tvau B = + B, kde = (t)jepolohovývektobodu a B = B (t)jepolohovývekto bodu Bvzhledemkbodu vevztažnésoustavě,jejížpočátekjevbodě a souřadncovéosy x, y jsouovnoběžnésosam xay(ob.7).devacítohoto vztahu podle času dostaneme vztah po ychlost bodu B: B 2 ϕ 2 (2) x v B = v + v B = v + B, y kde v B = ω B, v B B. Potože pohybem bodu B v soustavě x y jeotaceokolobodu,jeychlost v B kolmákúsečce B.Pakje zřejmé, že př ovnném pohybu půměty ychlostí dvou lbovolných bodů tělesa na přímku, kteá je spojuje, jsou sovny větaopůmětechychlostí. Po zychlení bodu B analogcky platí (sovnejsevztahy(6)a(7)): y B v B vb ω v B B Ob.7 v x x a B = a + a B = a + a Bt + a Bn = a + B + ( B ). 6

7 Z výazů po ychlost a zychlení bodu B je zřejmý ozklad ovnného pohybu tělesa na tanslační pohyb efeenčního bodu a na otační pohyb kolem tohoto bodu. Příklad 1 klouzající tyč Tyčdélky lsepohybujetak,že její koncový bod klouže po ose yapřblžujesekbodu Ostálouychlostí v akoncovýbod B kloužepoose x(ob.8).vokamžku, kdy tyč svíá s osou x úhel ϕ, učete: y v a) ychlost a zychlení bodu B, O B x b) úhlovou ychlost a úhlové Ob.8 zychlení tyče. Úlohuřešteobecněapakpohodnoty l=1,00m, v =2,00m s 1, ϕ=25. Řešení a) Zezadáníjezřejmé,žeychlostazychleníbodu Bmajísměosy x.zvolíme bod jako efeenční a na ob. 9 vyznačíme základní ozklad pohybu bodu B. Platí: v B = v + v B, a B = a + a B = 0+a Bn + a Bt, přčemž v B B, a Bt B, a Bn = v2 B. l y l ϕ ω v ε l v B Ob.9 O Z nákesu odvodíme: v B = v tg ϕ, a Bt a B v B = v cosϕ, 7 a Bn ϕ B v ϕ v B x a B= a Bn cosϕ = v2 B lcosϕ = v2 lcos 3 ϕ.

8 Vekto v B másměkladnépoloosy x,vekto a B másměopačný. Číselněvychází v B =0,93m s 1, a B =5,4m s 2. b) V daném okamžku je velkost úhlové ychlost tyče a velkost úhlového zychlení je ε= a Bt l ω= v B l = a Bsnϕ l = v lcosϕ = v2 snϕ l 2 cos 3 ϕ. Oentace obou velčn je vyznačena v obázku. Číselněvychází ω=2,2ad s 1, ε=2,3ad s 2, Po sovnání poveďme ještě analytcké řešení úlohy a): Vevýchozípolozetyčepopsanéúhlem ϕ,kdymábod souřadnc y=y 0 abod Bsouřadnc x=x 0,volímepočátečníokamžk t=0.závslost x-ové souřadnce bodu B na čase pak vyjadřuje funkce x= l 2 (y 0 v t) 2 = l 2 y v y 0 t v 2 t2 = = x v y 0 t v 2 t2, kteou dvakát zdevujeme a dostaneme vztahy vyjadřující závslost x-ových souřadnc ychlost a zychlení bodu B na čase: a B = d2 x dt 2 = v B = dx dt = v y 0 v 2 t x v y 0 t v 2 t2. v 2 x v y 0 t v 2 (v t2 y 0 v 2 t)2 x v y 0 t v 2 t2 x 2 0+2v y 0 t v 2. t2 Dosazením t=0 dojdemekvýsledkům v Bx = y 0v = v tg ϕ, x 0 ( ) ( 1 a Bx = v 2 + y2 0 x 0 x 3 = v2 x y 2 ) 0 0 x 0 x 2 0 = v2 lcos 3 ϕ, kde l= x y2 0. Tytovýsledkyjsouvsouladuspředcházejícímřešením. Gafcko početní metoda s užtím základního ozkladu pohybu byla ale mnohem jednodušší a názonější. 8

9 1.5 Pól ovnného pohybu tělesa Rychlost bodů tělesa př jeho ovnném pohybu lze jednoduše učt užtím pólu pohybu. Pólem pohybu nebol okamžtým středem otáčení se nazývá bod P půmětu tělesa do základní ovny, jehož ychlost je v daném okamžku nulová (ob.10). v B vb B 1 B b P a ω C ϕ M Ob. 10 v C 1 Ob.11 Nyní je otázkou, zda pól pohybu můžeme po každý okamžk lbovolného ovnného pohybu nalézt. Ukážeme, že ano. Uvažujme lbovolnou úsečku B vpůmětutělesadoovnypohybu(ob.11),kteápřpohybupřejdedopolohy jnéhosměu 1 B 1.Půsečík Msymetálúseček 1, BB 1 jetotžbod,kolem něhožseúsečka Botočíoúhel ϕdonovépolohy 1 B 1,neboťtojúhelníky BM, 1 B 1 M jsoushodnéapohyblzepovažovatzaotočenítojúhelníku BM,kněmužnáležíúsečka B,kolembodu Moúhel ϕ.pokudnastane zvláštnípřípad,žeosyúseček 1, BB 1 splynou(ob.12)budebod Mpřímo půsečíkemúseček B, 1 B 1. B 1 B v B B ϕ M M P 1 Ob. 12 Ob. 13 v 9

10 Ob.11a12ukazuje,žekaždépřemístěníúsečky Bdonovépolohy 1 B 1, kteéneníposunutím(pakbyúsečky B, 1 B 1 bylyovnoběžné)jeotočením okolonějakéhobodu M,kteývlmtě 1 0, BB 1 0nazývámepól pohybu P. Úsečky 1, BB 1 naob.11a12jsousečnamtajektoípříslušnýchbodů. Vlmtěpokaždýčasovýntevaltytosečnypřejdouvtečny(vzob.13)a osyúseček 1, BB 1 přejdouvnomálytajektoí.jejchpůsečíkjepól pohybu P. Vaťme se nyní k popsu obecného ovnného pohybu podle ob. 9. Zvolme s body, B,jejchžychlost v, v B nejsoupaalelní.pakpól Pjepůsečíkem přímky a,kteápocházíbodem kolmokv,apřímky b,kteápochází bodem Bkolmokv B.Pak v P =0.Kdybychompředpokládal v P 0musel bypodlevětyopůmětechychlostíbýtvekto v P současněkolmýkab,což není možné. Povelkostychlostíbodů, Bplatí v = ω P, v B = ω PB,nebol v P = v B = ω. (8) PB Velkost ychlostí bodů tělesa př ovnném pohybu jsou úměné jejch vzdálenost od pólu pohybu. Je-l znám pól, lze učt ychlost lbovolného bodu C: v C = ω PC, kde ω= v P. Pól nejlépe učíme gafcky ze znalost nepaalelních ychlostí dvou lbovolných bodů tělesa. 1.6 Zvláštní případy polohy pólu pohybu 1. Jestlže se těleso př ovnném pohybu odvaluje bezskluzu,jepólempohybuboddotykutělesaspodložkou(ob.14).vdaném okamžkuje v P =0,jnakbysebod P muselsmýkat.polohabodu P jevšakokamžtá bod Psepřesouvájstouychlostípopodložce. Bude-l se odvalovat koule nebo válec po ovné podložce, bude ychlost přemsťování pólu ovna ychlost v středu tělesa. V jných případech, například př valení po oválu, budou tyto ychlost ůzné. ω v P Ob

11 2.Jsou-lychlost v, v B bodů, Btělesapřovnnémpohybuvzájemně ovnoběžnéakolménaúsečku Bamají-lůznévelkost,ležípól Pvpůsečíku přímky spojující body, B a přímky spojující koncové body vektoů v, v B (ob.15a,b). 3.Budou-lmítsouhlasněovnoběžnévektoy v, v B,naozdílodpřípadu ad2, stejnou velkost a stejný smě jde o lmtní případ polohy pólu pohybu, kteý zřejmě leží v nekonečnu(ob. 16). 4.Jsou-lychlost v, v B,bodů, Btělesapřovnnémpohybusouhlasně ovnoběžné vektoy a nejsou-l kolmé k úsečce B(ob. 17), tak především podlevětyopůmětechychlostímusíbýt v cosα=v B cosα,nebol v = v B. Ztohojepakzřejmé,žepól P. v v v B v B P ω α v ω P v B B v B B α B P Ob. 15a Ob. 15b Ob. 16 Ob. 17 v B Příklad 2 planetové soukolí C Jedánopevnékoloostředu O 1 apoloměu,poněmž R O sebezskluzuodvalujeduhékoloostředu Oapoloměu Rtak,žeunašeč,kteýspojujestředy O 1, O ω 0 seotáčíúhlovouychlostí 0(ob.18).Učetesměa B velkostychlostíbodů O,, B, Cpohyblvéhokola. O 1 Řešení Ob.18 Poblémřešímepomocípólupohybu P,kteýmjezřejměboddotykuobou kol,kolemněhožsepohyblvékolootáčíokamžtouúhlovouychlostí.její velkostučímezúvahy,žebod Ojespolečnýunašečkolu.Poto 11

12 v ω v 0 v C O R C Ztoho v 0 = ω 0 (R+)=ωR. ω=(1+ R )ω 0. B v B Ob. 19 ω 0 P O 1 Pak v =2Rω=2(R+)ω 0, v B = v C = 2Rω= 2(R+)ω 0. Směy vektoů ychlostí jsou zřejmé zob.19.poblémlzeřeštovněžpřímo (bez výpočtu ω) užtím vztahu(8), přčemž výchozíbudeychlost v 0. Úlohy 1.Vpříkladu1učetevelkostychlostbodu Ba)užtímpólupohybu,b)užtím věty o půmětech ychlostí. 2.Tyčzpříkladu1podloužímezabod Bnadvojnásobnoudélku(ob.20). Bod seopětpohybujepoose ykonstantníychlostí v abod Bklouže poose x.učeteychlostazychlenívolnéhokonce Cvokamžku,kdytyč svíásosou xúhel ϕ. 3.Jedánklkovýmechansmuspodleob.21,uněhož :l=1:3.klka O se otáčí stálou úhlovou ychlostí ω. Užtím základního ozkladu pohybu učetezychleníčepu Bvlevéapavékajnípoloze. y v O l ϕ B l x C O Ob. 20 Ob. 21 ω l B 12

13 2 Dynamka ovnného pohybu tuhého tělesa 2.1 Vnější a vntřní síly Př odvozování pohybových ovnc tuhého tělesa budeme vycházet z Newtonových pohybových zákonů po hmotný bod. Z metodckého hledska budeme tuhé těleso považovat za soustavu n + hmotných bodů, kteé jsou podobeny tuhým vazbám. Konečné součty pak přecházejí v nekonečné řady, tj. n n lm pojednoduchostjeoznačíme. n + =1 =1 Po zachování lepší souvslost a názonost výkladu tedy ponecháme označení ve tvau sumačních znamének, avšak bez uvedení ntevalu, v němž leží hodnoty ndexu n. Budeme vždy předpokládat, že sumace, esp. ntegace, pobíhá přes celé těleso. Rovněž po hmotnost hmotných bodů, esp. elementů tělesa, kteé mají hmotnost mnohem menší než je hmotnost celého tělesa, ponecháme označení m.přpaktckýchvýpočtechnahadímesumacenekonečnýchřadučtým ntegály. Hmotné body přtom představují elementy hmotnost dm. Př řešeníúlohbudemepředpokládat,žetělesajsouhomogenní,tedydm= dv, kde je konstantní hustota mateálu tělesa a dv je element objemu. Nasoustavuhmotnýchbodůatedynatuhétělesoobecněpůsobídvě soustavy sl síly vnější a síly vntřní. Vnější síly souvsejí s působením jných bodů nebo těles, kteé k vyšetřovanému tělesu nepočítáme. Výslednc vnějších sl,působícína -týbod,označíme F.Patřísemnapř.tíhovásíla,kteoupůsobí Země na uvažované těleso. Vnějším slam jsou síly vzájemného působení př bezpostředním dotyku tělesa s jným tělesy, dále tlakové síly tekutn, síly elektcké a síly magnetcké. Vntřní síly souvsejí se vzájemným působením bodů uvažované soustavy. U tuhého tělesa m F jsou to např. vazbové síly, kteé uskutečňují F j soudžnost tělesa. Potože vntřní síly jsou slam vzájemného působení, platí po ně New- O s F j tonůvpncpakceaeakce.označíme-l F j j sílu,kteoupůsobí j-týbodna -týbod,af j sílu,kteounaopakpůsobí -týbodna j-týbod F j (ob. 22), bude m j Ob. 22 F j + F j =0. Po momenty uvedených sl vzhledem k lbovolné ose O kolmé k ovně pohybu podobně platí F j + j F j =0, neboťoběsílymajístejnéameno sajsouvzájemněopačnéhosměu(ob.22). 13

14 Tedy součet momentů vntřních sl k lbovolnému bodu je nulový. Př vyšetřování dynamckých účnků sl na tuhé těleso jako celek tedy stačí zkoumatjen účnekvnějších sl.ktomujetřebapoznamenat,ževntřní síly mohou mít vlv na pohyb soustavy hmotných bodů, mohou způsobovat přeskupování bodů uvntř dané soustavy. U tuhého tělesa k tomu však dojít nemůže, potože u něj je vzdálenost mez body podle defnce stále konstantní (tva tělesa se zachovává). U skutečných(pužných) těles vntřní síly způsobují mechancké napětí a mají tedy ozhodující vlv na soudžnost těles př jejch namáhání. 2.2 Hybnost soustavy, hmotný střed Jednou z důležtých dynamckých chaaktestk soustavy hmotných bodů je hybnost soustavy, defnovaná jako vektoový součet hybností jednotlvých bodů: p= m v = ( ) d m dt = d m. (9) dt Zde jsme mohl povést naznačenou úpavu devace podle času, neboť podle klasckémechankymůžemebát m = konst. Nynívýaz(9)upavímeužtímpojmuhmotnýstřed.Jetobod,pomocíněhož zjednodušíme výpočet hybnost soustavy tím, že do něj umístíme celkovou hmotnost m soustavy, tj. m= m. Poloha S hmotnéhostředusedefnujezevztahu m S = m, (10) nebol S = 1 m. (11) m Po soustavu hmotných bodů nebo po tuhé těleso, kteé se nacházejí v homogenním tíhovém pol, je hmotný střed zřejmě totožný s těžštěm. Hmotný střed nemusí být eálným bodem soustavy hmotných bodů nebo tuhého tělesa(je tomu např. u pstence nebo u dutého válce). Zavedeme-l vztah(10) do(9), můžeme po hybnost soustavy psát kde v S jeychlosthmotnéhostředu. p= d dt (m S)=m d S dt = mv S, (12) 14

15 Hybnost soustavy hmotných bodů je ovna hybnost jedného hmotného bodu, kteý by se pohyboval jako hmotný střed tělesa a ve kteém by byla soustředěna celá hmotnost soustavy. Př výpočtu hybnost tuhého tělesa vykonávajícího ve zvláštním případě posuvný pohyb není an nutné pacovat s hmotným středem, neboť podle(2) jsouychlostvšechbodůstejnéatudížjemožnévevztahu(9) v vytknout před sumu. Pak je hybnost tělesa ovna součnu hmotnost a ychlost lbovolného bodu tělesa př jeho tanslačním pohybu. Z hledska unvezálnost pojmu hmotný střed po obecné případy soustavy hmotných bodů, např. u ovnného pohybu tuhého tělesa, se s tímto pojmem pacuje u tanslačního pohybu. 2.3 Pvní mpulsová věta Uvažujme tuhé těleso, kteé se pohybuje v necální vztažné soustavě. Bude-l na -týbodtohototělesapůsobtvnějšísíla F avýsledncevntřníchsl j F j odostatníchbodůtělesa,budepočasovouzměnujehohybnost p platt dp dt = F + j F j. (13) Sumací přes celé těleso po levou stanu ovnce(13) dostaneme dp dt = d p = d dt dt (mv S), (14) tedy časovou změnu hybnost tělesa vyjádřené vztahem(12). Podobně sumací po pavou stanu ovnce(13) dostaneme F + F j = F = F, j tedy výslednou vnější sílu působící na těleso, neboť výslednce všech vntřních sl je nulová. Změnu hybnost tělesa tudíž způsobuje výslednce působících vnějších sl podle ovnce dp = F. (15) dt Je fomálně shodná s pohybovou ovncí jedného hmotného bodu a je pohybovou ovncí tanslačního pohybu tuhého tělesa. Rovnce(15) se označuje jako pvní mpulsová věta po tuhé těleso. Časová změna hybnost tělesa je ovna výsledné síle působící na těleso. 15

16 Potože podle klascké mechanky neuvažujeme závslost hmotnost tělesa na jeho ychlost ve vztažné soustavě a potože hmotnost tuhého tělesa se jnak s časem nemění(jnak je tomu např. u aket), můžeme ovnc(15) přepsat s využtím vztahu(12) do tvau m dv S dt = ma S = F, (16) kde a S jezychleníhmotnéhostředu. Je-lvýsledncevnějšíchsl Fnulová,je dp = 0atedy p=konst,nebol dt hybnost tělesa je konstantní. Dospíváme tak k zákonu zachování hybnost. 2.4 Duhá mpulsová věta po obecný ovnný pohyb Př obecném ovnném pohybu tělesa leží tajektoe, ychlost a zychlení jednotlvých bodů tělesa v navzájem ovnoběžných ovnách ovnoběžných se zvolenou základní ovnou. Za tuto ovnu zvolíme ovnu(x, y) katézské soustavy (ob. 23). Budeme předpokládat, že vnější síly působí na hmotné body tělesa v základní ovně. Poloha půmětu -tého hmotného bodu tělesa do základní ovny, ychlost, zychlení tohoto bodu a vnější síla, kteá na něj působí, mají souřadnce =(x, y, 0), v =(v x, v y,0), a =(a x,a y, 0), F =(F x,f y,0). Moment vnější síly, kteá působí na -týhmotnýbod,vzhledemkose zdefnujeme jako vekto z M = F L M kolmý k základní ovně, tedy ovnoběžný s osou z. nalogcky zavedeme moment hybnost -tého hmot- F O P y ného bodu L = p = m v. (17) Tyto vektoy mají souřadnce M =(0, 0, M ), L =(0, 0, L ) x m Ob. 23 Okamžtáosaotacetělesamásměosy z,apotoúhlováychlostaúhlové zychlenímajísouřadnce =(0,0, ω), =(0,0, ε). p 16

17 Budeme nyní hledat souvslost mez časovou změnou momentu hybnost a výsledným momentem síly, kteý působí na tuhé těleso př otac kolem okamžté osy otace. Poté budeme výpočet specalzovat na otac kolem nehybné osy. Po moment hybnost -tého bodu platí vztah(17). Jeho devací podle času (jako součnu dvou funkcí) dostaneme dl dt =d dt p + dp dt. Pvní součn na pavé staně je nulový, neboť vekto hybnost má stejný smě jako vekto ychlost. Ve duhém součnu dosadíme sílu podle vztahu(13). Tedy dl dt = F + F j. j Povedeme-l sumac těchto příspěvků vzhledem k okamžté ose po celé těleso, dostaneme pohybovou ovnc, jejíž levá stana bude mít tva dl dt = d L = dl dt dt. Jde tedy o časovou změnu momentu hybnost tuhého tělesa. Pavá stana ovncebudemítposumactva F + F j = F = M = M. j Půjde tedy o výsledný moment vnějších sl působící na tuhé těleso, neboť výsledný moment všech vntřních sl je nulový. Tento moment má smě okamžté osy otace. Obecná pohybová ovnce otačního pohybu tedy zní dl dt Výsledek(18) se označuje jako duhá mpulsová věta. = M. (18) Časová změna momentu hybnost tělesa vzhledem k lbovolné ose kolmé k ovně pohybu je ovna výslednému momentu vnějších slvzhledemktéžeose. 17

18 2.5 Dynamka otáčvého pohybu kolem nehybné osy Moment hybnost tělesa vzhledem k nehybné ose. Moment setvačnost Př otáčvém pohybu tělesa kolem nehybné osy opsují body tělesa kuhové tajektoe se středem naoseotáčení.povýpočetpříspěvku L -tého bodu tělesa k celkovému momentu hybnost L tělesazvolímepočátek O vestředutétokužnce L (ob. 24). Pak bude velkost polohového vektou hmotnéhobodutotožnáspoloměempříslušné L kuhové tajektoe. Defnujeme O L = p = m v. (19) Tento vekto umsťujeme do osy otace. Rychlost v -téhobodujekolmákpůvodč,můžeme tedy po velkost momentu hybnost -tého bodu psát L = p sn90 = m v = ωm 2, o m Ob. 24 kde ω je úhlová ychlost otace. Potože takto vypočtené příspěvky od jednotlvýchbodůmajístejnýsmě směnehybnéosyotace budemítmoment hybnost celého tělesa velkost L= L = ω m 2 v = ωj, (20) kde J= m 2 (21) je moment setvačnost tuhého tělesa vzhledem k nehybné ose o. Jelkož úhlováychlost jevektoležícívoseotace,jemomenthybnosttuhého tělesa otujícího kolem nehybné osy vekto ležící ovněž v nehybné ose otace. L=J, (22) Duhá mpulsová věta po otac kolem nehybné osy Vyjádříme-l moment hybnost tuhého tělesa otujícího kolem nehybné osy pomocí vztahu(22) a uvážíme-l, že po dané ozložení hmotnost tuhého tělesa vzhledem k nehybné ose otace je J = konst., můžeme výsledek(18) přepsat 18

19 do jednoduchého tvau d dt d (J )=J dt = J =M, (23) kde jevektoúhlovéhozychlení,kteýovněžležívoseotace. Je-l výsledný moment sl M nulový, je dl dt = 0atedy L=konst. (24) Tím jsme dospěl k zákonu zachování momentu hybnost. Potože J = konst., dostáváme vzhledem k(22) současně výsledek =konst.. (25) Sovnání otačního pohybu kolem nehybné osy s tanslačním pohybem Nejpve poovnáme vztahy po výpočet knetcké enege. Př tanslačním pohybu se všechny body tělesa pohybují stejnou ychlostí v. Knetcká enege tělesa je E k = 1 2 m v 2 = 1 2 v2 m = 1 2 mv2. (26) Přotačnímpohybutělesakolemnehybnéosyúhlovouychlostí jevelkostychlost -téhoelementu v = ω.knetckáenegetělesaje E k = 1 2 m v 2 =1 2 ω2 m 2 =1 2 Jω2 (27) Mez velčnam po tanslační pohyb tuhého tělesa a po otační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy je možné sledovat analoge, kteé mají hlubší fyzkální souvslost. Po získání lepší oentace mez těmto velčnam a vztahy je vhodné s udělat jejch shnutí v následující tabulce: 19

20 d d d tanslační pohyb otační pohyb elementdáhy d, ds elementúhlovédáhy ychlost v= d úhlováychlost = dt dt zychlení a= dv úhlovézychlení = dt dt hmotnost m moment setvačnost J síla F momentsíly M= F hybnost p=mv momenthybnost L=J I.mpulsovávěta F= dp II.mpulsovávěta M= dl dt dt pohybováovnce ma=f pohybováovnce J =M elementpáce dw= F ds elementpáce dw= M d výkon P= F v výkon P= M knetckáenege E k = 1 2 mv2 knetckáenege E k = 1 2 Jω2 Příklad 3 oztáčení setvačníku Na hřídel s nasazeným setvačníkem o poloměu a o celkovém momentu setvačnost J vzhledem k ose hřídele působí hnací moment síly o velkost M= M 0 kω, kde M 0 a k jsou konstanty a ω je okamžtá úhlová ychlost. Na obvod setvačníku(ob. 25) současně působí čelst bzdy, přčemž přítlačná síla je N a součntel Ob. 25 smykovéhotření f.hřídelseozbíházkldového stavu. Učete a) maxmálníúhlovouychlost ω m hřídele, b) závslost ω= ω(t)ačas t m,kdyhřídeldosáhneúhlovéychlost ω m. Řešení N M(ω) a) Potože hnací moment síly je závslý na úhlové ychlost a bzdný moment síly Nfjekonstantní,dosáhnehřídelmaxmálníúhlovéychlost ω m př vyovnání velkost těchto momentů sl, tedy když M 0 kω m = Nf ω m = M 0 Nf. k 20

21 b) Pohybová ovnce podle(23) ve skaláním tvau bude J dω dt = M 0 kω Nf. by se hřídel vůbec oztočla, musí být M 0 Nf=M 0 >0. Rovnc upavíme do tvau vhodného k ntegac tím, že oddělíme(sepaujeme)poměnné ωa t: dω J M 0 kω =dt. Integujemevmezíchod ω=0do ωaod t=0do t: Odtud ω t J kdω k 0 M 0 kω = dt, 0 J [ ] ω ln(m 0 kω) k = J 0 k ln M 0 M 0 kω = t. ω= M 0 Nf k (1 e kj t ) Zčasovéhopůběhu ωvdíme,žehřídeldosáhnemaxma ω m ažvlmtním případě t m. Úlohy 4.Setvačník(ob.26)můžemeoztočttak,ženajehopouzdoopoloměu navneme šňůku a za její volný konec táhneme slou až do jejího odvnutí. Vypočtěte úhlovou ychlost setvačníku o momentu setvačnost J, jestlže se odvnula bez pokluzu ze stavu kldu šňůka délky l př působení stálé sílyovelkost F. 5.Jakýjemomentsetvačnostkotoučekladkyopoloměu =180mmvzhledemkosejdoucítěžštěm,jestlžezávažíohmotnost m=4,0kgpoběhne dáhu s=1,2mzadobu t=1,3s?napočátkujezávažívkldu(ob.27). 6. Roto tubíny o momentu setvačnost J volně dobíhá z počáteční úhlové ychlost ω 0 podpůsobenímodpoovýchsl,kteémajímomentovelkost M= kω 2,kde ωjeokamžtáúhlováychlosta k >0jekonstanta.Učete a) závslost ω= ω(t), b) dobu t 1,zanížseúhlováychlostzmenšízω 0 na ω 0 /

22 J J g s Ob. 26 Ob. 27 m Výpočet momentu setvačnost Moment setvačnost tělesa vzhledem k nehybné ose defnujeme výazem(21): J= m 2. Je to velčna, kteá je míou setvačných účnků tělesa př otačním pohybu. Tato velčna zřejmě závsí nejen na hmotnostech elementů tělesa, ale především na jejch ozložení vzhledem k otační ose. Přtom setvačnost hmotných elementů se uplatňuje s duhou mocnnou jejch vzdáleností od osy otace. JednotkoumomentusetvačnostvsoustavěSIjekg m 2. Př výpočtu momentu setvačnost těles předpokládáme spojtě ozloženou hmotnost. Pak sumace nekonečné řady(21) přejde na učtý ntegál J= (m) 2 dm, (28) kde ntegac povádíme přes celou hmotnost m tělesa. Je-l těleso homogenní, takdm= dv, =konst.adv jeelementobjemu.paksentegál(28) zjednoduší na tva J= (V) 2 dv (29) a ntegac povádíme přes celý objem V tělesa. Element dv volíme tak, aby ntegace byla co nejjednodušší, jak to bude ukázáno na následujících příkladech. Máme-l počítat moment setvačnost k učté ose a známe-l moment setvačnost k ose ovnoběžné s touto osou, kteá pochází hmotným středem, použjeme k výpočtu s výhodou Steneovu větu(vz následující odstavec). Moment setvačnost je zřejmě adtvní velčna. Toho lze výhodně využít přvýpočtumomentusetvačnosttělessloženýchz nčástí,jejchžmomenty J kdanéoseznáme.pak n J= J. (30) =1 Má-l homogenní těleso dutnu nebo otvo, odečteme od celku moment setvačnost tělesa, kteé by vyplňovalo dutnu nebo otvo. Tento postup se využje 22

23 např.přřešeníúlohč.8a9. dtvnost momentu setvačnost využjeme př výpočtu momentu setvačnost homogenního tělesa, kteé s představíme složené z nekonečného počtu částí, jejchž elementání momenty dj známe. Pak řada(30) přejde v ntegál J= dj. (31) Tohoto postupu je využto např. v příkladě 5, kde s těleso představíme složené z elementáních desek poměnného poloměu. (J) Příklad 4 moment setvačnost válce Vypočtěte moment setvačnost homogenního kuhového válce vzhledem k jeho otační ose. Válec má polomě R a hmotnost m. Řešení K řešení užjeme vzoec(29). Z válce vyjmeme element souměný k ose. Jeho půřez má tva mezkuží (ob. 28) o poloměu a tloušťce d. Označíme-l výšku válce l, bude dv=2pld. Integujemevmezíchod =0do = R.Pak J= R 0 2 dv=2p l R 0 R O Ob. 28 d 3 d= 1 2 p lr4 = 1 2 mr2, (32) kde m=pr 2 l jehmotnostválce. Moment setvačnost válce po učtou hmotnost zřejmě nezávsí na jeho výšce. Stejný vzoec tedy platí po tenkou kuhovou desku stejného poloměu a stejné hmotnost. Příklad 5 moment setvačnost koule Vypočtěte moment setvačnost homogenní koule o hmotnost m a poloměu R vzhledem k ose o, kteá pochází jejím středem. Řešení K řešení použjeme vzoec(31). Koul s představíme složenou z elementáních desek(vstev) o poloměu atloušťcedy(ob.29).deskamávsouladus(32) elementání moment setvačnost dy y R dj= dm, o kde dm=p 2 dy, 2 = R 2 y Ob. 29

24 Integacívmezíchod y= R, y= R dostaneme J= p 2 R R kde m= 4 3 pr3 jehmotnostkoule. (R 2 y 2 ) 2 dy= 8 15 p R5 = 2 5 mr2, (33) Steneova věta Nyní odvodíme větu, kteá umožní vypočíst moment setvačnost J tělesa vzhledem k lbovolné ose, známe-l moment setvačnost J S vzhledem k ovnoběžné ose, kteá pochází hmotným středem. Po výpočet položíme počátek O čákované vztažné soustavy do hmotného středu S (ob. 30). Nečákovaná soustava má osy ovnoběžné se soustavou čákovanou, přčemžosy x, x splývají.půjdenámotonajítvztahmezmomentem Jkose zamomentem J S kose z,kteápocházíhmotnýmstředem S.Osy z, z majívzájemnou vzdálenost d. Podle defnčního vztahu(21) platí po tyto momenty setvačnost vztahy y y O d x O S x Ob. 30 m y =y x x J= m (x 2 + y 2 ), J S = m (x 2 + y 2 ). Zob.30jezřejmé,že x 2 =(x + d)2, y = y. Po dosazení do výazu po J dostaneme J= m (x 2 + y 2 )+2d m x + d 2 m = J S + md 2, potože začátek čákované soustavy leží v hmotném středu tělesa(po jeho polohuvtétosoustavěplatí x S =0)atudížvsouladus(11)je m x =0. Dostal jsme tak důležtý vztah J= J S + md 2, (34) 24

25 kteý se nazývá Steneova věta: Moment setvačnost J tuhého tělesa vzhledem k lbovolné ose je ovensoučtumomentusetvačnost J S vzhledemkosepocházející hmotným středem S ovnoběžně s uvažovanou osou a součnu hmotnost m tělesa se duhou mocnnou vzdálenost d obou os. Příklad 6 moment setvačnost dvojce koulí Vypočtěte moment setvačnost soustavy dvou dotýkajících se a pevně spojených stejných homogenních koulí podleob.31kose o.každázkoulímáhmotnost ma polomě. Řešení Užtím Steneovy věty a výsledku(33) dostaneme ( ) 2 J=2(J S + m 2 )=2 5 m2 + m 2 = 14 5 m2. o m m Ob Momenty setvačnost homogenních těles jednoduchého geometckého tvau o hmotnost m V následující tabulce uvedeme momenty někteých homogenních těles jednoduchého tvau. Jedná se vesměs o hlavní centální momenty setvačnost(s výjmkoumomentu J 1 vpvnímpřípadě). Tenká tyč 1 0 l J 0= 1 12 ml2, J 1= 1 3 ml2 Kolmý válec Kuhová deska l J 1= 1 2 m2 J 2= J 3= m 4 ( 2 + l2 3 ) 25

26 Dutý kuhový kolmý válec Tenkostěnná válcová tubka Koule Tenkostěnná kulová skořepna Kolmý kužel Komolý kolmý kužel Tenký kuhový pstenec Kychle Hanol Elpsod a a b 3!26 c a c b J 1= m 2 ( ) J 1= m 2 J 1= J 2= J 3= 2 5 m2 J 1= J 2= J 3= 2 3 m2 J 1= 3 10 m2 J 3 1= 10 m J 1= J 2= 1 2 m2 J 3= m 2 J 1= J 2= J 3= m 6 a2 J 1= m 12 (b2 + c 2 ) J 2= m 12 (a2 + c 2 ) J 3= m 12 (a2 + b 2 ) J 1= m 5 (b2 + c 2 ) J 2= m 5 (a2 + c 2 ) J 3= m 5 (a2 + b 2 )

27 Úlohy 7. Odvoďte vztah po výpočet momentů setvačnost tenké čtvecové desky ostaně aahmotnost mvzhledemkjejímosámsouměnost1,2a3 (ob.32). 8. Odvoďte vztah po výpočet momentu setvačnost tenké kulové skořepny o hmotnost m a poloměu R vzhledem k její ose souměnost. 9.Jedánahomogenníkuhovádeskaopoloměu sotvoempodleob.33. Hmotnost desky je m. Vypočtěte a) moment setvačnost J vzhledem k ose pocházející středem O kolmo k ovně desky. b) momentsetvačnost J S vzhledemkosepocházejícítěžštěmdesky kolmo k ovně desky. a 3 2 O 2 Ob Ob

28 2.6 Dynamka obecného ovnného pohybu tuhého tělesa Po pohyb tělesa budou platí mpulsové věty, kteé mají obecný tva(15) a(18): dp dt = F, dl dt = M, kde p= m v = mv S, L= m v (35) je hybnost a moment hybnost tělesa př ovnném pohybu. V těchto vyjádřeních je osa, vzhledem k níž počítáme momentové velčny L, M, volena obecně jako osa zvztažnésoustavy x, y, z.přřešeníúlohjevhodnébuďvycházetze základního ozkladu pohybu tělesa př kteém za efeenční bod tělesa zvolíme jeho hmotný střed, nebo zvolt počátek vztažné soustavy v pólu pohybu. Oba způsoby řešení podobně pobeeme. 1. Použtí základního ozkladu pohybu Shmotnýmstředemtělesa Sspojímepočátekvztažnésoustavy O x y z, kteá koná posuvný pohyb vzhledem původní necální soustavě Oxyz tak, že souřadncové osy obou soustav jsou ovnoběžné(ob. 34). Pak po polohový vekto -tého bodu měřený v soustavě Oxyz a po ychlost tohoto bodu platí = S +, v = v S + v, kde S jepolohovývektohmotnéhostředuav S jehoychlost. y y m O S x v v S v S O x Ob. 34 Nejpve vyjádříme moment hybnost tělesa vzhledem k ose z dosazením těchto vztahů do výazu(35): 28

29 neboť L= ( S + ) m (v S + v )= S v S m + + S m v + m = m S =0, m v = S mv S + m v = mv S =0, m v S + m v, (36) potože S =0, v S =0 jepolohaaychlosthmotnéhostředuvzhledem kevztažnésoustavě O x y z pevněspojenéshmotnýmstředem(vzob.34). Výaz(36) může být fomálně přepsán do tvau kde L=L S + L, (37) L S = S p S (38) je moment hybnost hmotného středu tělesa vzhledem k ose z, nazývaný též obtální moment hybnost a L = m v (39) jemomenthybnosttělesavzhledemkose z pocházejícíhmotnýmstředem, nazývanýtéžspnovýmomenthybnost.(označení obtální a spnový mají původ v atomstce, kde se zavádí např. obtální moment hybnost elektonu a spnový moment hybnost elektonu, zvaný spn.) Časovou změnu momentu hybnost dostaneme součtem devovaných vztahů (38)a(39): dl dt = v S p }{{ S + } S ma S + v m v + 0 }{{} 0 m a. (40) Pvní a třetí člen je zřejmě nulový(jde o vektoový součn ovnoběžných vektoů).upavímenyníčtvtýčlen,kdyžsuvědomíme,ževzhledemk(6)a(7) platí: a = a t+ a n= + v, a t, a n. Vzájemnou polohu vektoů vdíme na ob. 35. Z uvedených vztahů plyne: m a = m a t + m a n= m }{{} ( )= m 2, 0 29

30 S a t z v a t m a = m 2 = J S, kde J S jemomentsetvačnostvzhledem kose z,kteápocházíhmotnýmstředem S. Tak můžeme vztah(40) přepsat do tvau a n dl dt = S ma S + J S. (41) Ob. 35 Výsledný moment sl, kteý je oven výslednému momentu vnějších sl, můžeme analogcky ozložt na dva členy M= F = ( S + ) F = S F+ M S, (42) kde M S jevýslednýmomentvnějšíchslvzhledemkose z pocházejícíhmotným středem. Poovnáme-l vztahy(15),(18),(41) a(42) získáme pohybové ovnce tuhého tělesa konajícího obecný ovnný pohyb ve tvau: Př vyjádření ve složkách dostaneme ma S = F, J S =M S. (43) m d2 x S dt 2 = F x, (44) m d2 y S dt 2 = F y, (45) J S d 2 ϕ dt 2 = M S, (46) kde x S, y S jsousouřadncehmotnéhostředu, F x, F y souřadncevýslednce vnějšíchsl, J S momentsetvačnosttělesakosepocházejícíhmotnýmstředem a M S velkostvýslednéhomomentuvnějšíchslktéžeose. 30

31 2. Volba počátku vztažné soustavy v pólu pohybu y Z vlastností pólu vyplývá, že ychlost všech bodů jsou kolmé k původčům, nebol v =. Pakmomenthybnost(35)tělesakose zje L= m ( ) apojehodevacpodlečasuplatí dl dt = v m v + }{{} 0 ω O P v m Ob. 36 (m )+ (m v ). }{{} 0 Vektovokouhlézávocevetřetímčlenujeovnoběžnýsvektoem,ovněž vektoy ve vektoovém součnu pvního členu jsou vzájemně ovnoběžné, poto jsouobačlenynulové.nyníupavímeduhýčlen.vektoy, avektoový součn jsouvzájemněkolmé.poto m ( )= m 2, (m )= m = J 2 P. Velčna J P jemomentsetvačnostkose zpocházejícípólempohybu.moment vnějších sl počítáme ovněž k ose pocházející pólem: F = M P. Duhá mpulsová věta tedy dává pohybovou ovnc ve tvau kteou lze psát skaláně J P =M P, J P ε=j P d 2 ϕ dt 2 = M P. (47) Př řešení úloh, podle dspozce zadání, lze výhodně užít jeden nebo duhý způsob sestavení pohybové ovnce. Někdy lze jednoduše užít postupy oba, jak s ukážeme na následujícím příkladě. x 31

32 Příklad 7 jednostanně uvolněná tyč Homogennítenkátyčohmotnost madélce l je zavěšena na dvou stejných ovnoběžných vláknech1,2podleob.37.pookamžkbezpostředně po přestřžení vlákna 2 učete: a) zychlení hmotného středu S a úhlové zychlení tyče, b) tahovousílu F 1 vevlákně1. Řešení Výslednátíhovásíla mgpůsobívtěžšt Ttotožnémshmotnýmstředem S (ob. 38). Pohybové ovnce(44) až(46) mají tva mẍ S =0, g 1 2 l F 1 m Ob. 37 mÿ S = F 1 mg, (48) P O S T x l J S ϕ= F 1 2, kde J S = 1 12 ml2. mg Ob. 38 Nakonctyče,vbodě O P,jeokamžtýpólpohybuatudížmez y-ovou složkou okamžtého zychlení hmotného středu a úhlovým zychlením platí y F 1 l 2 ϕ, ω ÿ S = l 2 ϕ. (49) Podosazenído(48)za J S a ÿ S řešenímdostaneme a) ẍ S =0, ÿ S = 3 g, ϕ= 3g 4 2l, b) F 1= mg 4. Tahová síla ve vlákně je zřejmě polovční než před přestřžením vlákna 2, kdy každé vlákno zachycovalo polovnu tíhy tyče. Nyní ještě ukážeme duhý způsob využívající pól pohybu, kdy použjeme vztah(47),kamdosadíme J P = 1 3 ml2.platí: v souladu s předchozím řešením. 1 3 ml2 ϕ= mg l, odtud ϕ= 3g 2 2l 32

33 Příklad 8 koule na nakloněné ovně Homogenní koul o poloměu a hmotnost m položíme na nakloněnou ovnu se sklonem α. S jakým zychlením se bude pohybovat, je-l součntel smykového třenímezkoulíanakloněnouovnou f? Řešení Soustavu souřadnc zvolíme tak, že osa xbudemítsměspádncenakloněné ovny(ob. 39). Rovna působí ε y na těleso eakcí, kteá má nomálovousložku Natečnousložku T.Skalání pohybové ovnce(44) až(46) a S po uvažované těleso jsou O T mẍ S = mgsnα T, (50) mg N mÿ S = N mgcosα, (51) α J S ϕ=t. (52) x Vtěchtotřechovncíchjepětneznámých: N, T, x S, y S, ϕ. Ob. 39 by soustava byla řeštelná, musíme přpojt ještě dvě ovnce(esp. podmínky). Jednou z nch je podmínka vazby, podle níž se hmotný střed pohybuje po přímce ovnoběžné s osou x, nebol y S = = konst., esp. ÿ S =0. (53) Pak z ovnce(51) po nomálovou složku eakce plyne N= mgcosα. (54) Další doplňkové ovnce závsí na tom, zda těleso př odvalování pokluzuje nebo ne. Mohou nastat tyto případy: 1. Těleso se dokonale odvaluje, tedy bez pokluzu. Pak je bod dotyku koule s nakloněnou ovnou okamžtým pólem pohybu( P). Odtud dostaneme vazbovou ovnc x S = ϕ, esp. ẍ S = ϕ. (55) 2. Těleso se odvaluje a současně smýká, tedy mez tělesem a nakloněnou ovnou je pokluz a tečná složka eakce dosahuje hodnoty síly smykového tření ad 1) Řešení po dokonalé odvalování Dosazením z(55) za ϕ do(52) dostaneme T= F t = fn= fmgcosα. (56) T= J S 2 ẍs. (57) 33

34 Po dosazení(57) do(50) dostaneme po x-ovou složku zychlení hmotného středu výaz ẍ S = a= m 2 J S + m 2 gsnα= m 2 5 gsnα= gsnα. (58) 2 5 m2 + m 2 7 Zpětným dosazením(58) do(57) vychází po tečnou složku eakce výaz T= J S J S + m 2 mgsnα= J S mgsnα= 2 mgsnα, (59) J P 7 kde J P = J S + m 2 = 7 5 m2 je,vsouladusesteneovouvětou,moment setvačnost k ose, kteá pochází okamžtým pólem pohybu P. by př odvalování nedošlo k pokluzu, musí být tečné složky eakce(59) menšínežsílasmykovéhotření,nebol T < fn.musítedybýtsplněnapodmínka J S J P mgsnα < fmgcosα, nebol po úhel α sklonu nakloněné ovny musí platt ad 2) Řešení po odvalování povázené smýkáním tg α < J P = 7 f. (60) J S 2 Nomálová tečná složka eakce jsou po tento případ známy: vz výazy(54) a(56).dosazenímza Tzovnce(56)doovnc(50)a(52)dostaneme ẍ S = a=g(snα fcosα), (61) ϕ=f mg J S cosα. (62) byřešení(61)mělosmysl,musíbýtvýazvzávocekladný,tj.musíplatt snα > fcosα, tj. tg α > f. (63) Potože vyšetřovaný případ ad 2) nastává až př nesplnění podmínky(60), tj. po apodmínka J P JS >1,jetedysplněna. tg α J P J S f= 7 2 f 34

35 2.7 Knetcká enege tuhého tělesa př obecném ovnném pohybu Př obecném ovnném pohybu po knetckou eneg tělesa platí E k = 1 2 m v 2 =1 m (v v ). (64) 2 Rychlost -téhobodu v nynívyjádřímepomocíychlost v S hmotnéhostředu v uvažované vztažné soustavě. Zřejmě platí(vz ob. 34 vpavo) v = v S + v, kde v jeychlost -téhoboduvzhledemkhmotnémustředu.podosazenído (64) dostaneme E k = 1 m (v S +v 2 ) (v S+v )=1 2 v2 S m +v S m v +1 m v 2 2.(65) Suma ve duhém členu výazu(65) představuje hybnost tělesa ve vztažné soustavě spojené hmotným středem. Sovnáme-l výazy(9) a(12) můžeme analogcky psát m v = mv S, (66) kde v S jeychlosthmotnéhostředuvsoustavěsnímpevněspojené zřejmě je v S =0ačlen(66)jenulový.Pakpřejdevztah(65)poknetckouenegdo tvau E k = 1 2 mv2 S +1 2 m v 2 = 1 2 mv2 S +1 2 ω2 m 2 =1 2 mv2 S +1 2 J Sω 2, (67) kde J S jemomentsetvačnosttělesakosepocházejícíhmotnýmstředem. Knetcká enege tuhého tělesa př jeho obecném ovnném pohybu je ovna součtu knetcké enege hmotného středu(odpovídá tanslační složce pohybu) a knetcké enege pohybu tělesa vzhledem k hmotnému středu(odpovídá otační složce pohybu). 2.8 Zákon zachování mechancké enege Uvažujme pohyb tělesa v slovém pol, kteé je konzevatvní. Přtom konzevatvnípolejetakovépole,uněhožjepácepůsobícísílyvykonanápouzavřené tajektotělesavtomtopolnulová.tomůžebýtjen,kdyžpácemezdvěma body tajektoe závsí pouze na výchozí a konečné poloze tělesa, nkol na 35

36 tvau tajektoe. V takovém pol můžeme defnovat potencální(polohovou) eneg E p.příklademkonzevatvníchpolívmechancejepolegavtačnía pole pužných sl, v elektomagnetsmu je to pole elektostatcké. Páce, kteou vykoná konzevatvní pole př přemístění tělesa z polohy 1 do polohy2,je W 12 = E p1 E p2. (68) Ztohojezřejmé,žepotencálníenegejedefnovánaažnakonstantu ta se př výpočtu páce podle(68) vyuší. Poto je nutné podle chaakteu úlohy volt nulovou hladnu potencální enege. Páce vykonaná na tělese se pojeví vzůstem jeho knetcké enege v uvažované necální vztažné soustavě. Tedy W 12 = E p1 E p2 = E k2 E k1, nebol E k1 + E p1 = E k2 + E p2. Obecně tedy platí E k + E p = konst. (69) Tento vztah vyjadřuje zákon zachování mechancké enege: Celková mechancká enege tělesa v konzevatvním pol v uvažované necální vztažné soustavě je konstantní. Zákon zachování enege(69) spolu s výazy(26),(27) a(67) po knetckou eneg můžeme s výhodou využít př řešení mnohých úloh z mechanky tělesa. Přtom např. př výpočtu ychlost nebo úhlové ychlost nemusíme řešt dfeencální pohybovou ovnc, jak s ukážeme na následujících dvou příkladech. Příklad 9- klouzající tyč Tenkátuháhomogennítyčodélce l=2aa hmotnost m klouže koncovým bodem B po dokonale hladké vodoovné ploše (ob. 40). Tyč se začala pohybovat z kldové, téměř svslé polohy(ϕ p/2). Učete velkost úhlové ychlost jakofunkcúhlu ϕ. m, l=2a ϕ B Ob

37 Řešení K řešení využjeme zákona zachování mechancké enege(69). V opěném bodě B působínatyčeakce R B vodoovnéplochy, kteá však v případě neexstence tření je kolmákploše,atudížpřpohybutyčenekoná pác(ob. 41). Jednou slou, kteá způsobuje změnu knetcké enege v soustavě spojené s vodoovnou plochou je tíhová síla mg. Potože počáteční ychlost tyčebylanulováatíhovásílajesvslá,pohybuje se hmotný střed po svslé přímce. Mechancká enege v počáteční poloze má složky ω S v S mg Ob. 41 a ϕ ω P B R B v B E k0 =0, E p0 = mga. Vobecnépolozepodle(67)je E k = 1 2 mv2 S +1 2 J Sω 2, E p = mgasnϕ. Povýpočetychlost v S hmotnéhostředu Smůžemesvýhodoupoužítpólu pohybu P(ob.41).Platí v S = ω=ωacosϕ.uvážíme-l,že J S = m(2a) 2 /12, dostaneme po dosazení do vztahu(69) po zákon zachování enege ovnc nebol mga= 1 2 ma2 ω 2 cos 2 ϕ ma2 ω 2 + mgasnϕ, g(1 snϕ)= aω2 6 (1+3cos2 ϕ). Odtud dostaneme hledané řešení 6g ω= a 1 snϕ 1+3cos 2 ϕ. 37

38 Příklad10 otáčejícísetyč Tenká tuhá homogenní tyč o hmotnost madélce ljezestavukldu,kdyjeodkloněnaodsvslceoúhel ϕ 0,volněpuštěna (ob.42). a) Vypočtěte ychlost jejího koncového bodu př dopadu na vodoovnou ovnu. b) Dojakévzdálenost x R odosy Oje nutné ve vodoovné ovně umístt náazník o tuhost k, aby zachytl celousílunáazu,tj.abyeakcevzávěsuosytyčenezávselanasílenáazu. c) Vypočtěte velkost síly náazu př umístění náazníku podle b). Řešení y O ϕ 0 l, m x R Ob. 42 a) Řešíme užtím zákona zachování mechancké enege. Nulovou hladnu potencální enege volíme ve vodoovné ovně. Celková enege ve výchozí poloze je Celková enege ve vodoovné ovně je E 0 = E pmax = mg l 2 cosϕ 0. (70) E v = E kmax = 1 2 Jω2 = ml2 ( ) 2 v = 1 l 6 mv2. Z ovností celkových enegí v obou polohách dostaneme po ychlost koncového bodu tyče výaz v= 3glcosϕ 0. b)přdopadutuhétyčenapužnýnáazníkokonstantnítuhost kdojdeke zpomalenému otočnému zabzdění tyče; úhlové zychlení označíme ε. x R Na element dx tyče působí element x dx náazník síly(ob. 43) O k df= adm=εx m l dx. x df q(x) F Ob Délková hustota síly tedy je q(x)= df dx = εm l x.

39 Hustota síly tedy naůstá lneáně od osy O(vz ob. 44). Výsledná síla má velkost l F= q(x)dx= εm l xdx=ε ml l 2. (71) 0 by náazník zcela zachytl náazovou sílu, musíme jej umístt tak, aby leželnanostelcevýslednce(71).jejípolohu x R učímezpodmínky,že moment výslednce je oven součtu momentů složkových sl. Složkové síly jsou ozloženy spojtě, poto tento součet přejde v ntegál. Tedy nebol Fx R = ε ml 2 x R= εm l l 0 0 q(x) xdx, l 0 x 2 dx=ε ml2 3. Zpvníhoatřetíhočlenudostanemepopolohuvýslednceatímpopolohu náazníku výaz x R = 2 l. (72) 3 Tato poloha se v dynamce nazývá střed ázu nebo střed pekuze. c) Výše vypočtená velkost výslednce setvačných sl, kteá je dynamckou slou náazu, je podmíněna znalostí úhlového zychlení ε po dopadu na náazník. To závsí na tuhost náazníku a jeho velkost během náazu vzůstá. Výpočet konečné velkost síly F můžeme však udělat přímo úvahou o eneg.celkovámechanckáenege E 0 vypočtenáva)seponáazupřeměnína potencálnípužnoueneg E p náazníkupodlevztahu E 0 = E p = 1 ( ) 2 F 2 ky2 max =1 2 k = F2 k 2k, kde y max = F k jedynamckásložkadefomacepřnáazu.podosazeníza E 0 zvýazu(70)dostanemepokonečnouvelkostsílynáazuvýaz F= mglkcosϕ 0. (73) Po dosazení tohoto výazu do(71) bychom mohl vypočítat velkost příslušného úhlového zychlení př největší defomac náazníku. Celková síla, působící př náazu na náazník, bude komě dynamcké složky (73)zahnovatještěstatckoutíhovousložku,kteázávsínapoloze x R podle (72). Celková síla má velkost F c = 3 4 mg+ mglkcosϕ 0. 39

40 Úlohy 10. Maxwellovo kyvadlo je soustava dvou blízko sebe umístěných válcových kotoučůopoloměu Raocelkovéhmotnost m,kteéjsouspojenyčepem opoloměu,jehožhmotnostzanedbáme(ob.44).načepujejednímkoncem přpevněno a navnuto neoztažtelné vlákno, kteé je duhým koncem přpevněno k závěsu. Po navnutí vlákna a po uvolnění kotoučů z honí kldové polohy se vlákno odvjí bez pokluzu. Vypočtěte a) ychlost středu kotoučů př jejch přemístění do vzdálenost h od kldové polohy, b) zychlení středu kotoučů. h m g h m g ω R 2 B R C h 1 Ob. 44 Ob Kulčkaohmotnost mapoloměu sezkldovéhostavuvbodě valíbez klouzánípodázepodleob.45avbodě Cjopustí.Je-ldánavýška ha polomě R, vypočtěte a) sílu, kteou bude na kulčku působt dáha, když bude pocházet jejím nejnžším bodem B, b) největšívýšku h 1,dokteévystoupí,aúhlovouychlost ω 1,kteouzde bude mít. 40

41 12.Tenkáhomogennítyčodélce ljeuvolněnazesvslépolohy(1)(ob.46)asezanedbatelnýmtřenímseotáčí okolo čepu O. a) Užtím pohybové ovnce učete závslost úhlového zychlení ε tyče na úhlu otočení. b) Užtím zákona zachování enege učete závslost úhlové ychlost ω tyče na úhlu otočení. Devací výsledku b) ověřte řešení a). l O (1) ϕ Ob.46 41

42 Výsledky úloh 1.a) v B v = PB P v B = v PB P = v tg ϕ, b) v snϕ=v B cosϕ. 2.Platí x C =2x B, y C = y.ztoho ẋ C =2ẋ B =2v tg ϕ, ẏ C = ẏ = v, ẍ C =2ẍ B = 2v2 lcos 3 ϕ, ÿ C= ÿ =0. Rychlostbodu Cmávelkost v C = v 4tg 2 ϕ+1asvíásosou xúhel Zychlení bodu C má velkost 1 ψ=actg 2tg ϕ. 2v 2 lcos 3 asmězáponépoloosy x. ϕ 3.Vkajníchpoloháchje v B = 0.Poto v B = v.zychleníbodu Bmá tvalesměosy OB.Potovkajníchpoloháchje a Bt = 0, Vlevékajnípolozeje(vzob.47) a B = a + a Bn a B = a a Bn = v2 v2 = v2 l v2 3 =2 3 ω2. Vpavékajnípolozeje(vzob.48) a B = a + a Bn = v2 + v2 = v2 l + v2 3 =4 3 ω2. v a O v a Bn v B B a B a Ob

43 v B O a v a B a Bn a v B Ob ω= 2Fl J. 5. J= m 2 ( gt 2 2s 1 ) =0,76kg m 2. 6.Pohybováovnceposepaacpoměnných: dω ω 2 = k J dt. a) ω= Jω 0 J+ kω 0 t, b) t 1= 9J kω J 1 = J 2 = 1 12 ma2, J 3 = 1 6 ma2. 8. Označme R vnější polomě, vntřní polomě skořepny. Moment setvačnost plné koule je J 1 = 2 5 mr2 = 8 15 pr5. Moment setvačnost skořepny je tedy J= J 1 J 2 = 8 15 p(r5 5 )= 15 p(r 8 )(R4 + R 3 +R 2 2 +R ). Hmotnost skořepny je m=m 1 m 2 = 4 3 p(r3 3 )= 4 3 p(r )(R2 + R+ 2 ). Utenkéskořepny R. J m 8 ) 5R4 15 p(r = 4 3 p(r ) 3R2 2 3 R2, J 2 3 mr2. 43

44 [ 9. J= m2 2 m ( ) 2 + m ( 2) 2 ] = m2, těžštějevevzdálenost ( ) 2 6 odstředu O, J S= J m = m2. 10.a) v= 11.a) F B = mg 2gh, b) a= 1+ R2 2 2 [ 1+ 10(h ) 7(R ) b) h 1 = 5h+2R, ω 7 1 = 2 2 g R 2. ], 10g(h R) a) ε= 3g 3g snϕ, b) ω= (1 cosϕ). 2l l Lteatua [1] Bdčka, M., Hladík,.: Teoetcká mechanka. Paha: cadema, [2] Szabó, J.: Mechanka tuhých těles a kapaln. Paha: SNTL, [3] Tkal, V.: Mechanka hmotných bodů a tuhého tělesa. Paha: Nakl. ČSV, [4] Vybíal, B.:Knematka a dynamka tuhého tělesa. Knhovnčka Fyzkální olympády č. 31. Hadec Kálové: MFY, [5] Vybíal, B.:Setvačníky a jejch aplkace. Knhovnčka Fyzkální olympády č. 34. Hadec Kálové: MFY,

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět SMR Pavel Padevět Oganzace předmětu Přednášející Pavel Padevět, K 3, D 09 e-mal: pavel.padevet@fsv.cvut.cz Infomace k předmětu: https://mech.fsv.cvut.cz/student SMR Heslo: odné číslo bez lomítka (případně

Více

Hlavní body. Úvod do dynamiky. Dynamika translačních pohybů Dynamika rotačních pohybů

Hlavní body. Úvod do dynamiky. Dynamika translačních pohybů Dynamika rotačních pohybů Mechanka dynaka Hlavní body Úvod do dynaky. Dynaka tanslačních pohybů Dynaka otačních pohybů Úvod do dynaky Mechanka by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody poč se tělesa dávají do pohybu, zychlují,

Více

Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2

Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2 Zobecnění Coulombova zákona Uvažme nyní, jaké elektostatcké pole vytvoří ne jeden centální) bodový náboj, ale více nábojů, tzv. soustava bodových) nábojů : echť je náboj v místě v místě.... v místě Pak

Více

Výslednice, rovnováha silové soustavy.

Výslednice, rovnováha silové soustavy. Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky

Více

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Součást Newtonovské klasická mechanika (v

Více

Kinematika tuhého tělesa

Kinematika tuhého tělesa Kinematika tuhého tělesa Pet Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIERCI Fakulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií Tento mateiál vznikl v ámci pojektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků

Více

a polohovými vektory r k

a polohovými vektory r k Mechania hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je supina objetů, o teých je vhodné uvažovat jao o celu Pvy HS se pohybují účinem sil N a) vnitřních: Σ ( F + F + L+ F ) 0 i 1 i1 b) vnějších: síly od objetů,

Více

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m 8. Mechanika tuhého tělesa 8.. Základní poznatky Souřadnice x 0, y 0, z 0 hmotného středu tuhého tělesa x = x dm m ( m) 0, y = y dm m ( m) 0, z = z dm m ( m) 0. Poznámka těžiště tuhého tělesa má v homogenním

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

2.1 Shrnutí základních poznatků

2.1 Shrnutí základních poznatků .1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při

Více

Statika soustavy těles v rovině

Statika soustavy těles v rovině Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M

Více

MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem

MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU udeme se zabývat výpočtem magnetického pole vytvořeného danou konfiguací elektických poudů (podobně jako učení elektického pole vytvořeného daným ozložením elektických

Více

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA .5. OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA.5. ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz F Z výsednce zrychujících s F m.a n m a t a n r z F Zrychující moment M F. r F. r z z z m.a t r6,5cm ρ r ω,ε r

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Soustava hmotných bodů

Soustava hmotných bodů Soustava hmotných bodů Těleso soustava hmotných bodů Tuhé těleso - pevný předmět jehož rozměr se nemění každé těleso se skládá z mnoha částc síla působící na -tou částc výsledná síla působící na předmět

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3

1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3 lektostatické pole Dvě stejné malé kuličk o hmotnosti m jež jsou souhlasně nabité nábojem jsou pověšen na tenkých nitích stejné délk v kapalině s hustotou 8 g/cm Vpočtěte jakou hustotu ρ musí mít mateiál

Více

MECHANIKA I. Jaromír Švígler

MECHANIKA I. Jaromír Švígler MECHNIK I Jaomí Švígle OBSH Předmluva Rozdělení a základní pojm mechank 4 Statka Základní pojm a aom statk Síla Moment síl k bodu a k ose Slová dvojce Základní věta statk Páce a výkon síl a momentu 5 Slové

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

Příklady elektrostatických jevů - náboj

Příklady elektrostatických jevů - náboj lektostatika Hlavní body Příklady elektostatických jevů. lektický náboj, elementání a jednotkový náboj Silové působení náboje - Coulombův zákon lektické pole a elektická intenzita, Páce v elektostatickém

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...

Více

I. MECHANIKA 4. Soustava hmotných bodů II

I. MECHANIKA 4. Soustava hmotných bodů II I. CHIK 4. Soustaa hmotných bodů II 1 Obsah Spojté ozložení hmotnost. Počet stupňů olnost. Knematka tuhého tělesa. Zjednodušení popsu otace kolem osy a peného bodu. Chaslesoa ěta. Dynamka tuhého tělesa.

Více

Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a rotační. Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb rotační pohyb geometrie hmot

Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a rotační. Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb rotační pohyb geometrie hmot Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a otační Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb otační pohyb geoetie hot Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a otační posuvný

Více

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.

Více

Gravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r

Gravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r Newtonův avitační zákon: Gavitační pole ezi dvěa tělesy o hotnostech 1 a, kteé jsou od sebe vzdáleny o, působí stejně velké síly vzájené přitažlivosti, jejichž velikost je přío úěná součinu hotností 1

Více

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény

Více

ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH

ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH Povzoní studní mateál - - Křvky v toozměném postou Úvod E - toozměný eukldovský posto s pevně zvolenou katézskou soustavou P e e V - eho zaměření D Nechť J R Zobazení X

Více

Fyzika. Fyzikální veličina - je mírou fyzikální vlastnosti, kterou na základě měření vyjadřujeme ve zvolených jednotkách

Fyzika. Fyzikální veličina - je mírou fyzikální vlastnosti, kterou na základě měření vyjadřujeme ve zvolených jednotkách Fyzika Studuje objekty neživé příody a vztahy mezi nimi Na základě pozoování a pokusů studuje obecné vlastnosti látek a polí, indukcí dospívá k obecným kvantitativním zákonům a uvádí je v logickou soustavu

Více

v 1 = at 1, (1) t 1 = v 1

v 1 = at 1, (1) t 1 = v 1 Příklad Statující tyskové letadlo musí mít před vzlétnutím ychlost nejméně 360 km/h. S jakým nejmenším konstantním zychlením může statovat na ozjezdové dáze dlouhé,8 km? Po ychlost v ovnoměně zychleného

Více

Harmonický pohyb, výchylka, rychlost a zrychlení

Harmonický pohyb, výchylka, rychlost a zrychlení Střední půmyslová škola a Vyšší odboná škola technická Bno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechanika, kinematika Hamonický pohyb,

Více

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

Otáčení a posunutí. posunutí (translace) otočení (rotace) všechny body tělesa se pohybují po kružnicích okolo osy otáčení

Otáčení a posunutí. posunutí (translace) otočení (rotace) všechny body tělesa se pohybují po kružnicích okolo osy otáčení Otáčení a posunutí posunutí (translace) všechny body tělesa se pohybují po rovnoběžných trajektorích otočení (rotace) všechny body tělesa se pohybují po kružncích okolo osy otáčení Analoge otáčení a posunutí

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m

Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu

Více

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě

Více

4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy

4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy STROJNICKÁ PŘÍRUČKA čá s t 4, d íl 3, k a p to la 3, str. 1 díl 3, Statka 4/3.3 ROVNOVÁHA TĚLESA Procházejí-l po uvolnění tělesa všechny síly jedním bodem v rovně (tvoří rovnný svazek sl), jsou vždy splněny

Více

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední půmyslová škola a Vyšší odboná škola technická Bno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechanika, dynamika Pohybová ovnice po

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

Učební text k přednášce UFY102

Učební text k přednášce UFY102 Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy

Více

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet

Více

Literatura SETRVAČNÍKY A JEJICH APLIKACE. Obsah. [1] Brdička, M., Hladík, A.: Teoretická mechanika. Akademia, Praha 1987.

Literatura SETRVAČNÍKY A JEJICH APLIKACE. Obsah. [1] Brdička, M., Hladík, A.: Teoretická mechanika. Akademia, Praha 1987. teatua [1] Bdčka,., Hladík, A.: Teoetcká mechanka. Akadema, Paha 1987. [] Gonda, J.: Dnamka pe nženeov. Vdavatel stvo SAV, Batslava 1966. [3] Hoák, Z., Kupka, F., Šndelář, V.: Techncká fzka. SNT, Paha

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Jízdní odpory. Téma 4 KVM. Teorie vozidel 1

Jízdní odpory. Téma 4 KVM. Teorie vozidel 1 Jízdní odpoy Téa 4 KVM Teoe vozdel Jízdní odpoy Jízda = překonávání odpoů Velkost jízdních odpoů podňuje paaety jízdy a její hospodánost Jízdní odpoy závsí na: Konstukčních vlastnostech vozdla Na okažté

Více

Osově namáhaný prut základní veličiny

Osově namáhaný prut základní veličiny Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení

Více

Zobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru

Zobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem,

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá

Více

Newtonův gravitační zákon

Newtonův gravitační zákon Gavitační pole FyzikaII základní definice Gavitační pole je posto, ve kteém působí gavitační síly. Zdojem gavitačního pole jsou všechny hmotné objekty. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahována gavitační

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

MECHANIKA I. Jaromír Švígler

MECHANIKA I. Jaromír Švígler MECHNIK I Jaomí Švígle OBSH Pedmluva Rozdlení a základní pojm mechank 4 Statka Základní pojm a aom statk Síla Moment síl k bodu a k ose Slová dvojce Základní vta statk Páce a výkon síl a momentu 5 Slové

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

eská zem d lská univerzita v Praze, Technická fakulta

eská zem d lská univerzita v Praze, Technická fakulta eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta 9. lektcké pole 9. lektcký náboj Každá látka je vytvoena z tzv. elementáních ástc, kteé vytváejí složtjší stuktuy. ástce na sebe vzájemn psobí slam, kteé

Více

Cavendishův pokus: Určení gravitační konstanty,,vážení Země

Cavendishův pokus: Určení gravitační konstanty,,vážení Země Cavendishův pokus: Učení gavitační konstanty,,vážení Země Jiří Kist - Mendlovo gymnázium, Opava, SO@seznam.cz Teeza Steinhatová - gymnázium J. K. Tyla Hadec Kálové, SteinT@seznam.cz 1. Úvod Abstakt: Cílem

Více

Trivium z optiky Vlnění

Trivium z optiky Vlnění Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou

Více

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/ Střední půmyslová šola a Vyšší odboná šola technicá Bno, Soolsá 1 Šablona: Inovace a zvalitnění výuy postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechania, pužnost pevnost Záladní duhy namáhání,

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje EEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité ozložení náboje Pete Doumashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah. SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE.1 ÚKOY. AGOITMY PO ŘEŠENÍ POBÉMU ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Mechanické vlastnosti materiálů.

Mechanické vlastnosti materiálů. Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky

Více

FYZIKA I. Mechanická energie. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Mechanická energie. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Mechanická enegie Pof. RND. Vilém Mád, CSc. Pof. Ing. Libo Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Iena Hlaváčová, Ph.D. Mg. At. Dagma Mádová Ostava

Více

7 Úvod do kinematické geometrie v rovině

7 Úvod do kinematické geometrie v rovině 7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text 7 Úvod do knematcké geometre v rovně V této kaptole se budeme zabývat pohybem. Slovo pohyb, které jsme použl v mnulé kaptole, používáme

Více

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting

Více

MECHANIKA 1. KINEMATIKA 1.1. POJMY 1.2. PŘÍMOČARÝ POHYB

MECHANIKA 1. KINEMATIKA 1.1. POJMY 1.2. PŘÍMOČARÝ POHYB MECHANIKA Zabývá se mechanickými pohyby těles Dělíme ji na několik částí Dynamika zabývá se příčinou pohybu (síla, hmotnost, hybnost, impuls síly I ) Kinetika zabývá se popisem pohybu (ychlost, dáha, čas,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

Sylabus 18. Stabilita svahu

Sylabus 18. Stabilita svahu Sylabus 18 Stablta svahu Stablta svahu Smykové plochy rovnná v hrubozrnných zemnách ev. u vrstevnatého ukloněného podloží válcová v jemnozrnných homogenních zemnách obecná nehomogenní podloží vč. stavebních

Více

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy - při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o rovnoměrném rotačním pohybu)

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Dynamika tuhého tělesa. Petr Šidlof

Dynamika tuhého tělesa. Petr Šidlof Dnaika tuhého tělesa Pet Šidlof Dnaika tuhého tělesa Pvní věta ipulsová F dp dt a t Zchlení těžiště Výslednice vnějších sil F A F B F C Celková hbnost soustav p p i Hotnost soustav i těžiště soustav se

Více

11. cvičení z Matematiky 2

11. cvičení z Matematiky 2 11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv

Více

3.7. Magnetické pole elektrického proudu

3.7. Magnetické pole elektrického proudu 3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam

Více

FYZIKA I. Pohyb setrvačníku. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohyb setrvačníku. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohyb setrvačníku Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar

Více

Těžiště. Fyzikální význam těžiště:

Těžiště. Fyzikální význam těžiště: ěžště Fykální výnam těžště: a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru b) bod, ve kterém le hmotný útvar vystavený tíe podepřít prot posunutí anž by docháelo k rotac ěžště je chápáno jako statcký střed

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ Úloha č. 6 a MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ ÚKOL MĚŘENÍ:. Změřte magnetickou indukci podél osy ovinných cívek po případy, kdy vdálenost mei nimi je ovna poloměu cívky R a dále R a R/..

Více

DYNAMIKA BODU. kterou nazýváme setrvačnou silou. Pohybovou rovnici (2) pomocí ní přepíšeme na

DYNAMIKA BODU. kterou nazýváme setrvačnou silou. Pohybovou rovnici (2) pomocí ní přepíšeme na DYNMIK BODU POHYBOVÉ OVNIC Ze kušenost je námo že tělesa (bod) jsou schon uvádět do ohbu nebo měnt jejch ohbový stav na ně ůsobí (statcké) slové účnk. Kvantfkací tohoto stavu je Newtonův nc síl (. nc klascké

Více

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2)

Vyřešením pohybových rovnic s těmito počátečními podmínkami dostáváme trajektorii. x = v 0 t cos α (1) y = h + v 0 t sin α 1 2 gt2 (2) Test a. Lučištník vystřelil z hradby vysoké 40 m šíp o hmotnosti 50 g rychlostí 60 m s pod úhlem 5 vzhůru vzhledem k vodorovnému směru. (a V jaké vzdálenosti od hradeb se šíp zabodl do země? (b Jaký úhel

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 6. Příklad 1: Pacovní látkou v poovnávacím smíšeném oběhu spalovacího motou je vzduch o hmotnosti 1 [kg]. Počáteční tlak je 0,981.10 5 [Pa] při teplotě 30 [ C]. Kompesní pomě je 7, stupeň zvýšení tlaku 2

Více

GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU

GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU Integální počet funkcí jedné eálné poměnné - 4. - GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU PŘÍKLAD Učete plochu pod gfem funkce f ( x) = sinx n intevlu,. Ploch pod gfem nezáponé funkce f(x) se n intevlu,

Více

Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016

Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016 Řešení testu b Fika I (Mecanika a molekulová fika NOFY. ledna 6 Příklad Zadání: Po kouli o poloměu se be pokluovaní valí malá koule o poloměu. Jaká bude úlová clost otáčení malé koule v okamžiku kd se

Více