U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

Transkript

1 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) IV.6. Greenova věta Křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křive nazýváme irkulaí vektorového pole f po křive a zapisujeme f d s. Neht : ) vektorová funke f ( U(,), V(,) ) má spojité pariální derivae v oblasti G E, ) křivka G je kladně orientovaná, uzavřená, jednoduhá, po částeh hladká, ) int G. Potom f d s int ( V U ) dd. poznámka:je-li křivka orientovaná záporně, pak má integrál napravo znaménko mínus. poznámka: Vjádřením křivkového integrálu v difereniáleh má tvrzení Greenov vět tvar: ( V U d+v d U ) dd. Příklad 54. Pomoí Greenov vět spočtěte irkulai vektorového pole f (+,5 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A [,,B [,, C [,. Řešení: Cirkulae, tj. f d s (+,5 4)d s Gr.v. C A (5 )dd dd int int ABC P AB AC (orientae křivk je záporná, proto před dvojným integrálem je znaménko minus). B ( Příklad 55. Všetřete eisteni integrálu ln( + ), artg ) d s a rozhodněte o možnosti užití Greenov vět k jeho výpočtu, jestliže E je kladně orientovaná křivka daná rovnií a) +, b) ( ) +, ) ( ) +, d) je obvod čtvere s vrhol A [,,B [,, C [,, D [,. Jestliže integrál eistuje, vpočtěte jej pomoí Greenov vět. Řešení: Definičníoborvektorovéfunke f ( ln( + ), artg ) jed( f) D D, D {[, E ; > }, D {[, E ; < }. U ln( + ) U +, ln( + ) +, V ( ) artg +(/) V, ( ) artg +(/). V oblasti D i v oblasti D je daná funke spojitá a má spojité pariální derivae. řádu. Pro libovolnou uzavřenou křivku v D ted eistuje f d s a pro výpočet lze použít

2 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) Greenovu větu. Totéž platí i pro oblast D. a) Funke f je spojitá na množině C \M, kde M {[,,[, } (M je dvouprvková množina). Na množině C \ M je však funke f omezená, nebot pro každý bod [, ležíí mimo osu je artg < π. Křivkový integrál ted eistuje. Pro výpočet ale nelze použít Greenovu větu, nebot vbodehmnožinm,kteráječástíkřivknenífunke f definovaná. b) V okolí bodu [, není funke f omezená, nebot lim ln( + ). [, [, Daný integrál ted neeistuje. To platí pro libovolnou křivku, která obsahuje bod [,. ) Integrál eistuje a lze použít Greenovu větu, nebot křivka leží v oblasti D. Proved me ted výpočet. (U, V) d s dd. int int ( V ) ( U dd int +(/) ) dd + d) Integrál eistuje, ale nelze použít Greenovu větu. Důvod je stejný jako v úloze a). Příklad56.Určete irkulai vektorového pole f (,) po záporně orientované křive, kde {[, E ; +, }; {[, E ;,, }, a) přímým výpočtem, b) pomoí Greenov vět. Řešení: : ( ) +,, počáteční bod je A [, A B :,, počáteční bod je B [,

3 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) a) : { +ost, sint, t,π {, :, f d s f d s+ f d s π ( ) sin t+(+ost)ost P (t) [+ost,sint, t,π P (t) ( sint,ost) P () [, nesouhlasná orientae P (t) [t,, t, P (t) (,) P () [, nesouhlasná orientae π ( sint, +ost) ( sint, ost)dt dt π [ π (+ost)dt t+sint π dt b) Souřadniové funke U, V daného vektorového pole f mají spojité pariální derivae v E. Daná křivka je uzavřená, po částeh hladká. Lze ted použít Greenovu větu. f d s Gr.v. (+)dd (obsah půlkruhu) int π π Příklad 57.* Vpočítejte pomoí křivkového integrálu plošný obsah vnitřku asteriod {[, E ; / + / a /, a > }. Řešení: Použijeme parametrizai asteriod : { a os t, : a sin t,π t, P(t) [a os t,a sin t t,π P(t) ( a os tsint,a sin tost ) Pro výpočet použijeme důsledku Greenov vět, podle kterého lze obsah vnitřku křivk vpočítat pomoí křivkového integrálu: P int dd d+d π ( a sin t ( a os tsint ) ) +a os t a sin tost dt a π π (a os tsin 4 t+a sin tos 4 t)dt a sin t 4 dt 8 a π os4t π dt [ 6 a t sin4t 4 sin t os tdt π 8 a π Je dána množina D a vektorové pole f. a) Napište Greenovu větu (předpoklad a tvrzení). b) Načrtněte množinu D a vznačte křivku, která je kladně orientovanou hranií této množin D. ) Vpočítejte irkulai vektorového pole f podél křivk. 58. D {[, E ; + 4,, } f (, +) [ 8 +π

4 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) 59. D {[, E ;, }, f (, ) 54. D {[, E ;, }, f (, + ). [ 54. D {[, E ; 4, 4 4}, f (, (+) ) [8 [ Všetřete eisteni integrálu ( ), d s a rozhodněte o možnosti užití Greenov vět, jestliže E je záporně orientovaná křivka : a) {[, E ; + }, b) {[, E ; +( ) }, ) {[, E ; ( ) + }. V kladném případě vpočtěte integrál pomoí Greenov vět. [ a) neeistuje, nelze b) neeistuje, nelze ) eistuje, lze; π Je dáno vektorové pole f a křivka. a) Napište Greenovu větu a ověřte, zda jsou splněn její předpoklad pro výpočet daného integrálu f d s. b) Hodnotu tohoto křivkového integrálu vpočítejte pomoí Greenov vět. ) Stejný křivkový integrál vpočítejte bez užití Greenov vět. 54. f (, ), {[, E ; + 6}, která je orientovaná záporně. [ π 544. f (,(+ ) ), D je hranie množin D,, }, která je [ orientovaná záporně. 545.* f ( ) +g(), +h(), kde g,h jsou libovolné funke jedné proměnné se spojitou derivaí v R, je záporně orientovaná hranie množin 8 4

5 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) D {[, E ;,, } Pomoí křivkového integrálu vektorové funke vpočítejte prái, kterou vkoná síla f (+, ) působením po dané orientované křive: a) : úsečka AB, s počátečním bodem A [, a konovým bodem B [,. b) {[, E ; +, } s počátečním bodem B [,. ) Pomoí Greenov vět určete prái po uzavřené orientované křive. [ 6 [ a), b), ) 547. Vpočtěte irkulai f (, ) po kladně orientované křive {[, E + ; + 6}. Lze použít Greenovu větu? Odpověd zdůvodněte! 548. Pomoí Greenov vět vpočtěte irkulai vektoru f ) (,( ) po záporně orientované křive {[, E ;( ) + }. [ 4π, nelze 549.* Odvod te pomoí křivkového integrálu vzore pro plošný obsah obraze, který je } ohraničen elipsou {[, E ; a + b. [πab 55.* Užitím křivkového integrálu vpočtěte obsah obraze omezeného obloukem kloid a(t sint), a( ost), t,π a úsečkou z bodu [, do bodu [πa,. [πa 55.* Neht je úsečka z bodu [, do bodu [,, je část parabol opět z [, do [, a I (+) d ( ) d,i (+) d ( ) d. Užitím Greenov vět vpočtěte I I. ±. Návod: nebo [ π (záp.orient.) (klad.orient.) ( 55.* Pomoí Greenov vět vpočtěte integrál e, ) e + d s, + kde je kladně orientovaný obvod čtvere s vrhol [,, [,, [,, [,. [ artg π Pomoí Greenov vět vpočtěte integrál ( e,e ) d s, kde ; {[, E ;,, }, {[, E ;4 + 4, }, přičemž [, je počáteční bod křivk. [π 5