Jakýkoliv mechanismus částice urychluje, měl by splňovat několik empiricky daných

Transkript

1 Kapitola 2 Urychlení kosmického záření V této kapitole odvodímy obecně platné principy, které se pravděpodobně uplatňují při urychlování částic kosmického záření. Uvádím pravděpodobně proto, že přesný způsob urychlování částic všech energií doposud znám není. Jakýkoliv mechanismus částice urychluje, měl by splňovat několik empiricky daných kritérií: Netermálním vznik kosmického záření, t.j. ne pouze zahřátím hmoty na velmi vysoké teploty. To lze snadno nahlédnout, pokud odhadneme, jakých teplot by zdrojový objekt musel dosahovat, aby částice měly kinetickou energii v oboru energií kosmického záření. Částice ideálního plynu mají při teplotě T kinetickou energii E k =3/2 k B T, kde k B 8, ev/k. K dosažení energií >1 MeV je tak třeba teplot vyšších než K, což jsou nerealistické teploty, které zatím ve vesmíru pozorovány nebyly. Je tedy zřejmé, že částice musí být urychlovány jiným způsobem. Univerzalita tvaru spektra kosmického záření. Je pozoruhodné, že spektrum je popsáno mocninným zákonem v celém svém rozsahu, přičemž parametry tohoto zákona se s energií mění jen nepatrně.tento fakt naznačuje,že urychlování v celém energetickém oboru může být způsobeno jedním typem procesu, který navíc musí být univerzální na velkém oboru časových, prostorových i energetických měřítek. Dostatečně silné zdroje z pozorování víme, že doba života kosmického záření v naší Galaxii je konečná a KZ pak uniká nebo interaguje. Pokud existuje rovnováha, je nutné, aby existoval jeden či více dostatečně silných zdrojů, které budou tento únik kompenzovat. V naší Galaxii tedy musí kosmické záření vznikat rychleji než erg/s. Bottom-up scénář částice kosmického záření by měly být normální hmotou urychlenou na vysoké energie. Alternativně by mohly vznikat v top-down procesu rozpadem velmi těžkých exotických částic. Tento scénář se však zdá být vyloučen současnými pozorováními (nejsou pozorovány extrémně energetické fotony, které by rozpady provázely a zastoupení prvků v kosmickém záření je podobné tomu ve Sluneční soustavě). 17

2 Urychlení kosmického záření 2.1 Obecné principy urychlování částic ve vesmíru Zdroje energie Hustota energie kosmického záření v naší Galaxii tvoří významný podíl celkové hustoty energie (srovnatelný např. s celkovou energií magnetického pole Galaxie). Je proto potřeba hledat odpovídající zdroje, které by mohly tuto energii poskytnout: Kinetická energie (a) posuvná kinetická energie např. rázových vln a pohybujících se mračen hmoty, (b) rotační energie neutronových hvězd a černých děr Gravitační energie potenciální energie v okolí masivních černých děr (aktivní galaktická jádra), kup galaxií Elekromagnetická energie turbulentní magnetická pole v Galaxii, komprese, elektromagnetické pole v okolí neutronových děr Energii z těchto zdrojů je třeba elektromagneticky Lorentzovou silou F L = q(e+1/c v B) přenést na energii kosmického záření. Urychlení přímo gravitační interakcí je ve většině případů zanedbatelné Urychlení magnetickým polem Ve vesmírném prostředí mohou být částice elektromagneticky urychlovány téměř výlučně magnetickým polem, protože elektrická pole jsou ve vesmíru v makroskopických měřítkách efektivně stíněná. Přímo lze sice částice urychlovat pouze elektrickým polem E, které částici urychluje přímo ve směru siločar elektrického pole, nezávisle na směru letu částice. Komplikaci však působí to, že mezihvězdný prostor je převážně vyplněn vodivým plazmatem, které efektivně odstiňuje elektrická pole na dostatečně velkých vzdálenostech. Stínění elektrického náboje (a elektrického pole) lze kvantitativně odhadnout vztahem pro Debyovou délkou λ D. Ta charakterizuje vzdálenost, za kterou jsou již jakákoliv elektrická pole efektivně odstíněna. Závisí primárně na teplotě T a hustotě elektronů n e : λ D = ɛ 0 k B T, (2.1) n e qe 2 T/1K 69 m n e /1 m 3 kde q e je náboj elektronu a ɛ 0 permitivita vakua. Je zřejmé, že s rostoucí hustotou nositelů náboje se zmenšuje vzdálenost, na níž ještě elektrická pole hrajou roli. Hodnoty Debyovy délky pro několik typických prostředí jsou uvedeny v tabulce 2.1. Z nich je zřejmé, že v mezihvězdném prostoru mohou makroskopická E-pole existovat maximálně na úrovni 10 m, v mezigalaktickém prostoru 100 km. Kvůli stínění elektrického pole ve vesmíru probíhá urychlení většinou na magnetických polích. Výjimku tvoří několik specifických případů jako jsou magnetosféry neutronových hvězd nebo oblasti v okolí černých děr. 18

3 Prostředí Hustota [m 3 ] Teplota [K] Debyova délka [m] Mezigalaktický prostor Mezihvězdný prostor Tokamak Jádro hvězdy Tabulka 2.1: Debyova délka pro různé charakteristické typy prostředí 2.2 Jednorázové urychlení Urychlení může probíhat v jednom procesu, při kterém částice spojitě nabývá energii, např. při průchodu potenciálovým rozdílem v okolí neutronových hvězd. Urychlení indukovaným elektrickým polem Již bylo zmíněno, že makroskopická elektrostatická pole se ve vesmíru téměř nevyskytují. Existují však prostředí, kde pohybující se velmi silné magnetické pole může pole elektrické intenzity indukovat dynamicky, např. v okolí rotující neutronové hvězdy, pulsaru. Velikost indukovaného elektrického pole můžeme určit z integrálního Faradayova zákona: E dl = Φ B t, kde Φ B = B n ds je magnetický tok plochou S o normále n. Poznámka: Faradayův zákon přímo vyplývá z Maxwellovy rovnice E = B t použitím Stokesova vzorce, podle něhož E dl = ( E) n ds. Křivku, podél níž se elektrické pole indukuje, si pro jednoduchost znázorníme jako čtverec o straně délky L. Pak bude platit 4EL = L 2 B t. Čím rychleji se magnetické pole mění, tím větší je velikost indukovaného pole. Minimální doba t min, za kterou se magnetické pole v dané ploše změní, můžeme odhadnout jako 19

4 Urychlení kosmického záření t min = L/c. Po dosazení a výpočtu energie odpovídající maximální hodnotě elektrické intenzity 1 dostáváme maximální energii E max částice o náboji Ze: E max = ZeEdx = ZeBcL V případě rotující neutronové hvězdy je magnetické pole B 10 6 TaL 100 km. Maximální dosažitelná energie pak je např. pro protony: E max = ev. (2.2) 2.3 Stochastické urychlení Na rozdíl od jednokrokového urychlení zde jde o stochastický proces, při kterém častice v mnoha jednotlivých krocích získávají postupně energii. V každém kroku mohou částice energii i ztratit, ale statisticky musí být pravděpodobnější energetický zisk. V takovém případě může urychlení trvat velmi dlouho a závisí na tom, zda je dostatečně rychlé,aby vykompenzovalo případné energetické (např. radiační) ztráty. Příkladem stochastického urychlení je i Fermiho urychlení diskutované dále v oddílu Hillasova podmínka V případě postupného urychlení ve více krocích je částici třeba ve zdroji urychlujícího pole držet (konfinovat) dostatečně dlouho dostatečně velkým magnetickým polem. Pokud je v objektu B-pole slabé, musí jej vykompenzovat jeho prostorový rozměr. Dostáváme tak přirozenou, tzv. Hillasovu podmínku (Hillas, 1984) na minimální velikost a B-pole pro dosažení energie E: E E max =10 18 ev Z ( )( ) B L. (2.3) 1 µg 1kpc Tato podmínka je samozřejmě pouze podmínkou nutnou a nikoliv dostačující pro urychlení na danou energii. Na obr. 2.1 jsou znázorněné jednotlivé potenciální urychlovače částic. Aby mohly urychlit částici na odpovídající energii, musí se nutně nad nakreslenou závislostí. 2.4 Fermiho urychlení Fermiho urychlení je zatím nejuznávanějším modelem, který popisuje přenos kinetické energie zmagnetizovaných oblaků plazmatu nebo rázové vlny na energii KZ částice. Jde o stochastické urychlení, které navrhnul Enrico Fermi v dnes již klasické práci Fermi (1949). Fermiho základní jednoduchá myšlenka přišla jako odpověd ve snaze vyvrátit tvrzení Edwarda Tellera, že kosmické záření musí být pouze slunečního původu. 1 Zde E max se týká energie, zatímco samotné E značí elektrickou intenzitu. 20

5 Obrázek 2.1: Hillasův diagram zobrazující minimální velikost a magnetické pole objektu nutné k urychlení částice nad danou energii. Graf přejat z Kotera and Olinto (2011) Fermiho urychlení druhého řádu Podle této hypotézy jsou částice urychlovány interakcemi s mračny zmagnetizovaného plynu, pohybujícími se v mezihvězdném prostoru. KZ do těchto mračen proniká, difuzí v nich se isotropizuje a vylétá v náhodném směru. Celý proces probíhá efektivně jako odraz od magnetického zrcadla. Částice získá energii, pokud jde o čelní srážku a energii ztrácí, pokud jde o zadní srážku. Statisticky jsou čelní srážky v isotropním prostřední pravděpodobnější a proto v průměru dochází k energetickému zisku. Poznámka: Základní myšlenku lze ilustrovat analogií s hrou tenisovou raketou. V laboratorním systému rakety platí, že míček přilétající na raketu rychlostí v 1 se odrazí (v ideálním případě) stejnou rychlostí v opačné m s m ě r u v 2 = v 1. Samotná raketa se ale vůči kurtu a divákům pohybuje rychlostí V.Vsystému diváků má tudíž míček při dopadu na raketu rychlost v 1 = v 1 V apo odpálení hráčem rychlost v 2 = (v 2 V )=V + v 1 = v 1 +2V.Míčekmápo odpálení v systému diváků rychlost o 2V větší než předtím. Pokud bude mít raketa opačný směr a bude se před odpálením pohybovat ve směru od míčku pryč, zpomalí se míček na rychlost v 2 = v 1 2V. Kvantitativní popis Pohyb částice skrz zmagnetizovaný oblak plynu je znázorněn na obr Částice o energii E 1 v laboratorním systému pozorovatele vletí do oblaku o rychlosti V = V,kdese 21

6 Urychlení kosmického záření "#$%&'!! Obrázek 2.2: Fermiho urychlení na oblaku zmagnetizovaného plynu. Častice se v něm difúzí isotropizuje a podle úhlu vletu a výletu oproti směru pohybu oblaku energií bud získává nebo ztrácí pohybuje difúzním pohybem. Přitom částice v laboratorním systému oblaku interaguje pouze elasticky (kvůli velké hmotnosti oblaku) a neztrácí energii, proto v tomto systému E 1 = E 2. Změní však přitom směr, proto E 2 E 1. Energii E 1 určíme Lorentzovou transformací E 1 do čárkovaného systému oblaku. Pro Lorentzovu transformaci čtyřhybnosti P 1 =(E 1 /c, p) platí: P 1 = Λ P 1, kde Λ je matice Lorentzovy transformace: γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 Λ = Pro transformaci energie částice do klidového systému oblaku pak platí: E 1 = γ ( E 1 V p 1 ), kde p 1 = p 1 cos θ 1 = E 1 v 1 /c 2 cos θ 1. Energie částice při výletu z oblaku E 2 = E 1, jelikož předpokládáme pouze elastické rozptyly na magnetických polích. Hledanou energii E 2 po výletu z oblaku pak určíme zpětnou transformací do původního systému pozorovatele: ( E 2 = γe 2 1+ V ) v 2 cos θ c 2 2 Dosadíme E 2 a použijeme relativistického limitního přiblížení, kdy v 1,2 c. Pak: 22 E 2 = γ 2 E 1 (1 β cos θ 1 )(1 + β cos θ 2 ).

7 Rychlost β = V/c je rychlostí oblaku vzhledem k laboratornímu systému. Pro změnu energie částice pak platí: E E = E 2 E 1 E 1 = 1 β cos θ 1 + β cos θ 2 β cos θ 1 cos θ 2 1 β 2 1 (2.4) Směr výletu částice v čárkovanému klidovém systému oblaku je isotropní, proto cos θ 2 = 0avztahsezjednodušína: E E = γ2 β(β cos θ 1 ) (2.5) Z této rovnice je zřejmé, v jakém případě částice energii získává a v jakém ztrácí. Připomeňme, že úhel θ 1 je úhel, který svírá vektor rychlosti magnetického oblaku a vektor rychlosti vlétávající částice (viz obr. 2.2). Pro θ (π/2, 3/2π) jde o čelní srážku a E je vždy kladné. Pro θ ( π/2, π/2), tedy v případě zadní srážky, částice energii s velkou pravděpodobností ztratí, jelikož β je typicky velmi malá (jde o rychlost oblaku, ne částice). Čelní srážky jsou však statisticky pravděpodobnější, proto dochází v průměru k energetickému zisku. K výpočtu této střední hodnoty je potřeba výraz cos θ 1 zprůměrovat přes úhel θ 1 : cos dn θ1 dω cos θ 1 = dω dn dω, dω kde (dn/dω)/ dn/dω) je normalizovaná hustota pravděpodobnosti srážky částice s oblakem pod úhlem θ. Ta závisí na vzájemné rychlosti obou objektů jako: dn (1 dω(θ, φ) Vu ) cos θ, kde u je rychlost částice a V rychlost oblaku. Po dosazení pak dostáváme cos θ = 1/3 V/u. V ultrarelativistické limitě, kdy u cje cos θ = 1/3β. Celkově tedy z rovnice (2.5) plyne pro střední energetický získ při jedné interakci částice s oblakem: E = 4 E 3 β2. (2.6) Energetický zisk 2 je tudíž úměrný β 2,kdeβ 1, protože typická rychlost oblaků v meziihvězdném prostoru není relativistická (β 10 4 ). Spektrum urychlených částic Pokud je energetický zisk částice za jednotku času během urychlování úměrný její energii, má spektrum urychlených částic tvar mocninného zákona. Toto obecné tvrzení lze 2 V předchozím výrazu jsme použili plausibilní přiblížení, kdy γ 1, což je pro nerelativistické rychlosti oblaků plynu realistický předpoklad. 23

8 Urychlení kosmického záření odvodit použitím transportní rovnice (viz oddíl 5.3. Ta má ve zjednodušeném případě se zanedbáním jaderných interakcí, rozpadů a zdrojů tvar: 0= N(E) [b(e)n(e)] E τ esc Zde b(e) de/dt popisuje energetické ztráty. Pokud jsou energetické ztráty úměrné energii částice, t.j. b(e) = αe, pak má transportní rovnice řešení ve tvaru mocninného zákona: N(E) =ke x, kde x =1+ 1 ατ esc. (2.7) Spektrum částic urychlených tímto způsobem má opravdu mocninný tvar (což je jednou z podmínek na mechanismus urychlení viz úvod této kapitoly). Nedostatky Fermiho urychlení druhého řádu Tento mechanismus sice popisuje kvalitativně správně pozorované spektrum, má ale několik závažných nedostatků, kvůli kterým se usuzuje, že pravděpodobně není hlavním produkčním mechanismem: Nízká efektivita Energetický zisk je úměrný pouze β 2,kdeβ 1. Je tudíž v každém kroku velmi malý a je potřeba velmi mnoho kroků na urychlení na vysoké energie. Pomalý zisk energie je ve většině realistických případů převážen energetickými ztrátami. Stále je však možné, že produkuje kosmické záření o relativně nižších energiích v některých specifických astrofyzikálních prostředích, např. v turbulentním magnetickém poli uvnitř kup galaxií. Neuniverzálnost spektrálního indexu Odvozený spektrální index x = ατ esc závisí na několika parametrech, které nejsou univerzálních v širokém energetickém prostorovém spektru. Těžko by tak bylo možné produkovat spektrum kosmického záření, které je na tak velkém dynamickém rozsahu energií i toků téměř stejného tvaru Fermiho urychlení prvního řádu Nízká efektivita Fermiho urychlení druhého řádu je způsobena existencí zadních srážek, které způsobují ztrátu energie. Modifikací tohoto mechanismu je Fermiho urychlení prvního ř á d u 3, které probíhá silných rázových vlnách, kde jsou silně preferovány pouze čelní srážky. Bylo navrženo v 70. letech 20. století současně několika teoretickými skupinami (Krymskii, 1977; Axford et al., 1977; Bell, 1978; Blandford and Ostriker, 1978). Rázová vlna je vlnou, která se šíří nadzvukovou rychlostí, t.j. rychlostí vyšší, než je rychlost šíření tlakových vln v daném prostředí. Na rozhraní rázové vlny dochází ke skokovému zvýšení tlaku, hustoty a teploty za vlnou a zároveň snížení relativní rychlosti materiálu vůči rázové vlně. Kinetická energie rázové vlny se tak přeměňuje v tepelnou 3 Často bývá nazýváno difúzním urychlením na rázových vlnách, v anglické literatuře pak diffusive shock acceleration. 24

9 energii strhávaného materiálu za rázovou vlnou. Více podrobností k rázovým vlnám viz oddíl E. Silné rázové vlny jsou takové, které se pohybují rychlostí výrazně přesahující rychlost zvuku v daném prostředí, t.j. M 1, kde M je Machovo číslo. Zvuk jakožto perturbace tlaku se v prostředí šíří rychlostí c s danou tlakem a hustotou vztahem: c s = P ρ. (2.8) Pro plyn s polytropickou stavovou rovnicí P = Kρ γ,kdeγ =5/3 v případě jednoatomového plynu, pak dostáváme rychlost zvuku: c s = Machovo číslo, charakterizující sílu rázové vlny, pak je: M v c s = 5 P 3 ρ. (2.9) 3 ρv 2 5 P. (2.10) Podmínky před a za rázovou vlnou dávají do vztahu Rankine-Hugoniotovy podmínky: ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 F hmota (2.11) P 1 + ρ 1 v1 2 = P 2 + ρ 2 v2 2 F mom (2.12) 1 2 v P 1 = 1 2 ρ 1 2 v P 2 E (2.13) 2 ρ 2 (2.14) Tyto podmínky vycházejí ze zákona zachování hmoty, hybnosti a energie při proudění plynů. Jejich odvození je možné nalézt např. v klasické práci Landau and Lifshitz (1959). S jejich pomocí lze např. odvodit rychlost strhávání mezihvězdného materiálu rázovou vlnou. Rychlost rázové vlny označíme V s. Materiál je pak rázovou vlnou strháván rychlostí 3/4 V s. Oblast za rázovou vlnou nazýváme downstream (dolní tok) a oblast před ní upstream (horní tok) 4. Z obrázku 2.3 je zřejmé, že při průchodu rázovou vlnou oběmi směry částice naráží na materiál v čelních kolizích a proto při každém průchodu získávají energii E. Po zprůměrování pravděpodobností průchodu rázovou vlnou pod různými úhly dostáváme střední energetický zisk: E = 4 β, (2.15) E 3 kde β =(v 2 v 1 )/c. 4 Přesněji oblast upstream poznáme tak, že v klidovém systému rázové vlny materiál v této oblasti proudí od rázové vlny pryč a v oblasti downstream proudí směrem k rázové vlně podobně jako u horního a dolního toku řeky. 25

10 Urychlení kosmického záření!! "'$%&! #$%&! "#$%&! '$%&! Obrázek 2.3: Schematické znázornění Fermiho urychlení prvního řádu na rázových vlnách. Vlevo: Znázornění toku plynu v klidovém systému rázové vlny. Plyn z horního toku do rázové vlny vtéká, plyn v horním toku proudí směrem od rázové vlny. Uprostřed: Klidový systém horního toku (t.j. plynu, který ještě rázová vlna nezasáhla). Částice v klidu v tomto systému se srážejí čelní srážkou s materiálem za rázovou vlnou, který k nim proudí rychlostí 3/4V, odráží se od magnetických turbulencí v tomto materiálu a získávají odpovídající energii. Vpravo: Klidový systém dolního toku (t.j. materiálu strženého rázovou vlnou). Částice unášené tímto systémem za rázovou vlnou se střetávají s materiálem před rázovou vlnou opět rychlostí 3/4V a získávají stejnou energii. Při průchodu rázovou vlnou oběma směry tedy částice prodělávají čelní srážku s magnetickými turbulencemi na druhé straně, během níž energii získávají. 26

11 Spektrum urychlených částic Na základě jednoduchých argumentů můžeme odhadnout spektrum částic urychlených Fermiho mechanismem 1. řádu. Využijeme k tomu znalost: Střední energetický zisk během jednoho kroku ξ E/E 0. V našem případě je ξ =1+ 4 U, kde U = v 3 c 2 v 1 je rozdíl rychlostí materiálu před a za vlnou, t.j. U =3/4 V s. Pravděpodobnost P úniku částice ze systému. Částice je vždy v daném prostředí isotropizována interakcemi na magnetických turbulencích. Proto koná spolu s okolním prostředím posuvný pohyb. V oblasti horního toku se takto k rázové vlně přibližuje, v dolním toku se od ní v průměru vzdaluje rychlostí 1/4V s. Částice tak ze systému unikají frekvencí 1/4 NV s částic za jednotku času. Zároveň za jednotku času projde rázovou vlnou 1/4 N c částic (vyplývá z klasické kinetické teorie pro částice pohybující se rychlostí c). Pravděpodobnost úniku částice ze systému za jednotku č a s u j e t a k : (1 P )= 1/4 NV s 1/4 N c = V s/c, kde P je pravděpodobnost, že částice v systému zůstává. Vzhledem k nerelativistickým rychlostem V s je procento unikajicích částic velmi nízké. Po k krocích je energie částice E(k) =E 0 ξ k a počet částic o energii >E(k) poklesne na N(k) =N 0 P k. Pak platí: ln(n/n 0 ) ln(e/e 0 ) = ln P ln ξ, a pro počet částic o energii >Etak: N(> E)=N 0 ( E E 0 ) ln P/ln ξ. Diferenciální spektrum pak dostaneme derivací: ln P 1+ N(E) =a E ln ξ de. (2.16) Pro nerelativistické rychlosti rázových vln platí aproximace: ( ln P = ln 1 V ) s c ( ln ξ = ln 1+ V ) s c ln P aproto ln ξ Diferenciální spektrum pak má univerzální tvar: V s c V s c 1. (2.17) N(E) E 2 de. (2.18) 27

12 Urychlení kosmického záření The maximum energy that can be obtained by the Fermi acceleration in non-relativistic shocks (as found for instance in SNRs or large scale structure formation shocks) can be estimated (Lagage and Cesarsky, 1983) as: ( ) B E max = Z GeV. (2.19) 10 5 G For a quantitative illustration in the example of a galaxy cluster (B 5 µg see section add reference!!!), the maximum energy of a proton can be approximately E max ev. 2.5 Shrnutí kapitoly Urychlení KZ Absence makroskopických elektrických polí ve vesmíru Urychlení magnetickým polem, které zprostředkovává přenos kinetické energie materiálu ve vesmíru na částice KZ Urychlení jednorázové např. v okolí pulsaru nebo stochastické v mnoha krocích (např. Fermiho urychlení) Fermiho urychlení 2. řádu Princip odrazu od zmagnetizovaného oblaku plynu Produkuje mocninné spektrum Nevýhodou je jeho neefektivita. Při vyšších energií dominují ztráty. Mocninné spektrum není univerzální Fermiho urychlení 1. řádu Urychlení na silných rázových vlnách Mocninné spektrum Efektivní urychlení, spektrální index 2, 0 je univerzální a odpovídá pozorováním Například na rázových vlnách pozůstatků supernov, kup galaxií a ve výtryscích aktivních galaktických jader 28

13 Literatura W. I. Axford, E. Leer, and G. Skadron. The Acceleration of Cosmic Rays by Shock Waves. In International Cosmic Ray Conference, volume 11 of International Cosmic Ray Conference, pages132 +,1977. A. R. Bell. The acceleration of cosmic rays in shock fronts. II. MNRAS, 182: , February R. D. Blandford and J. P. Ostriker. Particle acceleration by astrophysical shocks. ApJ, 221:L29 L32, April doi: / E. Fermi. On the Origin of the Cosmic Radiation. Physical Review, 75: , April doi: /PhysRev A. M. Hillas. The Origin of Ultra-High-Energy Cosmic Rays. ARA&A, 22: , doi: /annurev.aa K. Kotera and A. V. Olinto. The Astrophysics of Ultrahigh Energy Cosmic Rays. ArXiv e-prints, January2011. G. F. Krymskii. A regular mechanism for the acceleration of charged particles on the front of a shock wave. Soviet Physics Doklady, 22:327 +, June P. O. Lagage and C. J. Cesarsky. The maximum energy of cosmic rays accelerated by supernova shocks. A&A, 125: , September L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid mechanics. Oxford:PergamonPress,