VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN"

Transkript

1 VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014

2 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost bodů Trojici přímek x, y, z v prostoru, které jsou k sobě po dvou navzájem kolmé a procházejí společným bodem O, nazýváme kartézskou soustavou souřadnic a označujeme ji Oxyz. Bod O se nazývá počátek, přímky x, y, z se nazývají souřadnicové osy. Na všech osách zvolíme stejnou jednotku délky a číslo nula umístíme do bodu O. Kladné poloosy zvolíme tak, aby tvořily pravotočivý systém. Nechť je dána kartézská soustava souřadnic Oxyz a libovolný bod A v prostoru. Kolmé průměty tohoto bodu na osy x, y, z (v tomto pořadí ) nám určí čísla a 1, a 2, a 3, která udávají vzdálenosti na osách od počátku. Tato čísla nazýváme (kartézské) souřadnice bodu A a zapisujeme je jako trojici [a 1, a 2, a 3 ]. Píšeme rovněž A = [a 1, a 2, a 3 ]. Tento zápis se běžně používá, i když není přesný (A je bod, tj. geometrický objekt, takže se nerovná trojici čísel), je třeba ho chápat tak, že bodu A přísluší souřadnice [a 1, a 2, a 3 ]. Pro vzdálenost dvou bodů A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ] v prostoru platí vzorec d(a, B) = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2. Obdobně lze postupovat v rovině resp. na přímce, souřadnice bodů však budou dvojice čísel resp. jedno číslo. Také další pojmy, které budou vysvětleny níže, lze budovat zcela analogicky i v rovině a na přímce, my se však omezíme na (trojrozměrný) prostor. 1.2 Volné a vázané vektory v prostoru Vektor je standardně chápán jako orientovaná úsečkaab, která má počáteční bod A a koncový bod B. Takto zavedené vektory využíváme především ve fyzice při popisu fyzikálních veličin, u kterých je třeba určit nejenom velikost, ale i směr a orientaci. Takové veličiny se nazývají vektorové. Předpokládejme nejprve, že body A a B jsou různé. Velikostí orientované úsečky AB rozumíme vzdálenost bodů A, B. Směrem rozumíme přímku, někdy jí říkáme nositelka, která je body A a B určená. Říkáme, že dva vektory mají stejný směr, jestliže jsou jejich nositelky rovnoběžné. Orientace je určena tím, že bod A prohlásíme za počáteční a bod B za koncový bod. U vektorů majících stejný směr, má smysl mluvit o souhlasné a opačné orientaci. Jestliže počáteční bod A splývá s koncovým bodem B, má tento vektor velikost nula, avšak ani směr ani orientaci mu nepřiřazujeme. Takto zavedené vektory budeme nazývat vázané vektory (vektory vázané k danému počátečnímu a koncovému bodu). Pro naše účely však budeme uvažovat kromě těchto vektorů ještě vektory, které nejsou vázány k žádné konkrétní dvojici bodů. Takovéto vektory budeme označovat jako volné vektory a budeme je obvykle značit malými tučnými skloněnými písmeny. Dvě orientované úsečkyab acd určují týž volný vektor u, pokud lze jednu z druhé obdržet (rovnoběžným) posunutím; přitom počáteční bod přejde v počáteční a koncový v koncový. To lze (u úseček nenulové délky), právě když mají stejnou velikost, stejný směr a stejnou orientaci. V případě úseček nenulové délky budeme volný vektor u tedy chápat jako množinu všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, stejný směr a stejnou orientaci. Všechny úsečky nulové délky budou tvořit tzv. nulový vektor, který označujeme o. 2

3 Jestliže vázaný vektor AB určuje volný vektor u, platí AB u. Říkáme, že vázaný vektor AB je umístěním volného vektoru u. Je zřejmé, že k tomu, abychom znali volný vektor u, stačí znát jedno jeho umístění. Proto používáme i zápis AB = u Souřadnice vektoru, velikost vektoru Je-li volný vektor u určen orientovanou úsečkouab, kde A = [a 1, a 2, a 3 ] a B = [b 1, b 2, b 3 ], lze ověřit, že rozdíly u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2, u 3 = b 3 a 3, nezávisí na volbě konkrétního umístěníab u. Trojici čísel (u 1, u 2, u 3 ) nazýváme souřadnice volného vektoru u, a píšeme u = (u 1, u 2, u 3 ). Tento zápis opět není přesný, množina orientovaných úseček není rovna trojici čísel, zápis je třeba chápat tak, že volnému vektoru u přísluší souřadnice (u 1, u 2, u 3 ). Používáme rovněž zápis AB = B A = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Opět nejde o nějaké odčítání bodů, ale o rozdíl trojic, které jsou souřadnicemi bodů A a B. Velikostí neboli normou volného vektoru u rozumíme velikost libovolného zástupce z množiny všech orientovaných úseček. Označujeme ji u. Pro velikost volného vektoru u = = (u 1, u 2, u 3 ) platí: u = u u2 2 + u2 3. Je-li u = 1, pak se vektor u nazývá jednotkový vektor Součet vektorů Operaci sečítání zavádíme pro volné vektory. Součtem vektorů u a v je opět volný vektor w = u + v. Vektor w určíme následovně: 1. Zvolíme libovolné umístění AB vektoru u. 2. Zvolíme umístění vektoru v, které má za počáteční bod B, tj. BC, kde C je vhodný bod. 3. Vázaný vektor AC je umístěním volného vektoru w. Lze ověřit, že výsledný volný vektor w nezávisí na volbě umístění AB. Pro souřadnice součtu volných vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) platí Násobení vektoru číslem u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ). Operaci násobení číslem zavádíme pro volné vektory. Násobek volného vektoru u reálným číslem k je opět volný vektor v = ku. Vektor v určíme následovně: 1. Je-li u nulový vektor, je pro libovolné k výsledkem zase nulový vektor, tj. ko = o. 2. Je-li k = 0, je pro libovolný vektor u výsledkem nulový vektor, tj. 0u = o. 3. Je-li u nenulový vektor, zvolíme jeho libovolné umístěníab. Vektor v bude určen vázaným vektorem AC, který určíme takto: a) Bude platit AC = k AB. b) Pro k > 0 budou AB a AC souhlasně orientované. c) Pro k < 0 budou AB a AC nesouhlasně orientované. Lze ověřit, že výsledný volný vektor v nezávisí na volbě umístění AB. 3

4 Pro souřadnice násobku volného vektoru u = (u 1, u 2, u 3 ) číslem k platí ku = (ku 1, ku 2, ku 3 ). Vektor ( 1)u se značí u a nazývá se vektor opačný k vektoru u. Rozdíl vektorů u a v pak definujeme jako součet vektoru u a vektoru opačného k v, tj. u v = u + ( v) Kolineární a komplanární vektory Nechť u a v jsou dva volné vektory. Zvolme jejich umístění AB = u a AC = v, která začínají ve stejném bodě A. Vektory u, v se nazývají kolineární, jestliže jejich umístění AB aac leží na téže přímce. V opačném případě se nazývají nekolineární. Jestliže dva nenulové vektory jsou kolineární a mají stejnou orientaci, tj. jeden je kladným násobkem druhého, nazývají se souhlasně kolineární, v opačném případě, tj. když jeden je záporným násobkem druhého, se nazývají nesouhlasně kolineární. Nechť u, v a w jsou tři volné vektory. Zvolme jejich umístěníab = u, AC = v, AD = w, která začínají ve stejném bodě A. Vektory u, v a w se nazývají komplanární, jestliže jejich umístění AB, AC a AD leží v jedné rovině. V opačném případě se nazývají nekomplanární. O normě vektoru lze dokázat, že má následující vlastnosti: 1. u 0, přičemž u = 0 právě tehdy, když u je nulový vektor. 2. ku = k u pro libovolný volný vektor u a libovolné číslo k. 3. u + v u + v pro libovolné volné vektory u a v. Tato vlastnost se nazývá trojúhelníková nerovnost. Rovnost nastane v této nerovnosti právě tehdy, když jeden z vektorů je nezáporným násobkem druhého. Tedy buď jsou vektory nenulové a souhlasně kolineární, nebo je aspoň jeden z nich nulový. 2 Vektorové prostory V 1, V 2 a V Pojem vektorového prostoru Množinu všech volných vektorů v prostoru budeme značit symbolem V 3. Obdobně značíme V 2 volné vektory v rovině a V 1 volné vektory na přímce. O množině volných vektorů V 3 a operacích sčítání a násobení číslem lze dokázat, že pro libovolné vektory u, v, w V 3 a libovolná čísla k, l R platí: 1) u + v = v + u (komutativní zákon), 2) u + (v + w) = (u + v) + w (asociativní zákon), 3) u + o = o + u = u (existence nulového vektoru), 4) u + ( u) = u + u = o (existence opačného vektoru), 5) k(lu) = (k l)u, 6) k(u + v) = ku + kv (distributivní zákon), 7) (k + l)u = ku + lu (distributivní zákon), 8) 1 u = u. 4

5 Přitom: i) Nulový vektor o je jediný vektor v takový, že pro něj platí u + v = v + u = u pro každý vektor u. ii) Pro libovolný vektor u je vektor u jediný vektor v, pro nějž platí u + v = v + u = o. iii) Pro libovolný vektor u platí 0u = o. Říkáme, že množina V 3 s operacemi sčítání a násobení čísly tvoří vektorový prostor. Tytéž vlastnosti mají i operace na V 2 a V 1 a také tyto množiny s příslušnými operacemi nazýváme vektorové prostory. Později se seznámíme s dalšími příklady vektorových prostorů. 2.2 Lineární kombinace vektorů Předpokládejme, že je dáno n volných vektorů u 1, u 2,..., u n V 3, kde n 1 je přirozené číslo, a stejný počet reálných čísel α 1, α 2,..., α n R. Pak vektor u = α 1 u 1 + α 2 u α n u n nazýváme lineární kombinace vektorů u 1,..., u n s koeficienty α 1,..., α n. Příklad 2.1 Vektor u = ( 5, 2, 0) zapište jako lineární kombinaci vektorů u 1 = (1, 1, 3), u 2 = (2, 0, 4) a u 3 = ( 2, 3, 5). Řešení. Hledáme čísla α 1, α 2, α 3 tak, aby bylo splněno Pro souřadnice daných vektorů má tedy platit u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3. ( 5, 2, 0) = α 1 (1, 1, 3) + α 2 (2, 0, 4) + α 3 ( 2, 3, 5), takže po úpravě dostaneme (se souřadnicemi zacházíme jako s řádkovými maticemi) ( 5, 2, 0) = (α 1 + 2α 2 2α 3, α 1 + 3α 3, 3α 1 + 4α 2 + 5α 3 ). Porovnáním složek trojic na pravé a levé straně předchozí rovnosti získáme následující systém lineárních rovnic: α 1 + 2α 2 2α 3 = 5, α 1 + 3α 3 = 2, (1) 3α 1 + 4α 2 + 5α 3 = 0. Řešení nalezneme pomocí Gaussovy eliminační metody. Všimněte si, že souřadnice daných vektorů zapsané do sloupců tvoří sloupce rozšířené matice soustavy systému (1). Matici soustavy nejprve upravíme na schodovitý tvar (2) + (1) (3) 3(1) (3) + (2) 5

6 Z posledního řádku obdržíme 12α 3 = 12 α 3 = 1. Postupně najdeme i α 2 a α 1. 2α 2 + α 3 = 3 2α = 3 α 2 = 2, α 1 + 2α 2 2α 3 = 5 α 1 6 = 5 α 1 = 1. Tedy u = u 1 2u 2 +u 3. Toto vyjádření je jediné, protože soustava (1) měla jediné řešení. Vektory z V 3, které mají (kartézské) souřadnice (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1), značíme po řadě i, j a k. Tedy i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Libovolný vektor u V 3, jehož souřadnice jsou (u 1, u 2, u 3 ), pak můžeme zapsat jako lineární kombinaci u = u 1 i + u 2 j + u 3 k. Vektory i, j a k jsou jednotkové. Jejich umístění do počátku O leží na kladných souřadnicových poloosách x, y a z. 2.3 Lineární závislost vektorů Pro danou n-tici vektorů u 1, u 2,..., u n V 3, n 1, uvažujme rovnici α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o (2) s neznámými α 1, α 2,..., α n R. Tato rovnice má vždy tzv. triviální řešení α 1 = α 2 = = α n = 0. Pokud rovnice (2) jiné než triviální řešení nemá, nazývají se vektory u 1, u 2,..., u n lineárně nezávislé. Má-li tato rovnice i jiné řešení, tj. takové, že aspoň jeden z koeficientů α i = 0, nazývají se vektory lineárně závislé. Obdobně definujeme lineární nezávislost a závislost v prostorech V 2 a V 1. Poznámka 2.2 Nechť V značí kterýkoli z vektorových prostorů V 1, V 2 nebo V Je-li alespoň jeden z vektorů u 1, u 2,..., u n V nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. 2. Je-li některý z vektorů u 1, u 2,..., u n V násobkem jiného z těchto vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. To nastane zejména, když jsou dva vektory stejné. 3. Obecně platí, že vektory u 1, u 2,..., u n V jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich je lineární kombinací ostatních vektorů. Podíváme se, jak velký počet vektorů ve V 1, V 2 nebo V 3 může být lineárně nezávislý a kdy tomu tak bude. 1) Jeden vektor u V 1 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva a více vektorů jsou ve V 1 vždy lineárně závislé. 6

7 2) Jeden vektor u V 2 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva vektory u, v V 2 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekolineární. Tři a více vektorů jsou ve V 2 vždy lineárně závislé. 3) Jeden vektor u V 3 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva vektory u, v V 3 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekolineární. Tři vektory u, v, w V 3 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekomplanární. Čtyři a více vektorů jsou ve V 3 vždy lineárně závislé. Příklad 2.3 Rozhodněte, zda jsou vektory u = (1, 1, 2), v = (2, 3, 1) a w = (4, 2, 2) z vektorového prostoru V 3 lineárně nezávislé nebo ne. Řešení. Máme rozhodnout, zda lineární kombinace zadaných vektorů je rovna nulovému vektoru pouze v případě, že všechny koeficienty jsou nulové, nebo ne. Tedy v našem případě, zda α 1 u + α 2 v + α 3 w = o pouze pro α 1 = α 2 = α 3 = 0 nebo ne. Do rovnice dosadíme souřadnice vektorů. Všimněte si, že ve V 3 platí o = (0, 0, 0). α 1 (1, 1, 2) + α 2 (2, 3, 1) + α 3 (4, 2, 2) = (0, 0, 0). Porovnáním složek vektorů z levé a pravé strany předchozí rovnice dostaneme homogenní soustavu rovnic. α 1 + 2α 2 + 4α 3 = 0, α 1 + 3α 3 2α 3 = 0, 2α 1 + α 2 + 2α 3 = 0. Soustavu vyřešíme pomocí Gaussovy eliminační metody. Nejprve matici soustavy převedeme na schodovitý tvar (2) + (1) (3) (3) 2(1) (2) (3) 5(2) Zpětným dosazením obdržíme, že řešením jsou čísla α 1 = α 2 = α 3 = 0. Tedy vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé. 2.4 Báze a dimenze vektorového prostoru Nechť V značí kterýkoli z vektorových prostorů V 1, V 2 nebo V 3. Bází vektorového prostoru V nazveme takové vektory e 1, e 2,..., e n V, pro které platí: 1) Jsou lineárně nezávislé. 2) Každý vektor u V lze napsat jako jejich lineární kombinaci, tj. u = α 1 e 1 + α 2 e α n e n pro vhodná čísla α 1, α 2,..., α n. Říkáme, že vektory e 1, e 2,..., e n mající tuto vlastnost tvoří systém generátorů V. 7

8 Lze ukázat, že následující vlastnosti jsou ekvivalentní: e 1, e 2,..., e n V je báze. e 1, e 2,..., e n V je maximální (co do počtu) lineárně nezávislá množina vektorů. e 1, e 2,..., e n V je minimální (co do počtu) systém generátorů. Číslo n, tedy počet prvků báze, nazýváme dimenze neboli rozměr vektorového prostoru V a značíme dim V. Z předchozího výkladu vyplývají následující důležité vlastnosti: 1) dim V 1 = 1 a bází je libovolný nenulový vektor. 2) dim V 2 = 2 a bází je libovolná dvojice nekolineárních vektorů. 3) dim V 3 = 3 a bází je libovolná trojice nekomplanárních vektorů. Libovolný z prostorů V 1, V 2 a V 3 má tedy nekonečně mnoho bází, které obsahují vždy stejný počet vektorů. Jednou z bází ve V 3 je např. trojice i, j a k. 2.5 Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Nechť e 1, e 2,..., e n je báze ve V. Bázi budeme chápat jako uspořádanou n-tici vektorů a budeme ji značit E = e 1, e 2,..., e n. Podle definice báze víme, že každý vektor u V lze vyjádřit ve tvaru u = α 1 e 1 + α 2 e α n e n. Je snadné ověřit, že díky lineární nezávislosti vektorů tvořících bázi jsou koeficienty v předchozí lineární kombinaci určeny jednoznačně. Koeficienty α 1, α 2,..., α n se nazývají souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E = e 1, e 2,..., e n, což zapisujeme u = (α 1,..., α n ) E. Souřadnice vektoru tudíž závisí na volbě báze. Souřadnice vektorů ve V 3, které jsme zavedli v kapitole 1, jsou vlastně souřadnice vzhledem k bázi i, j, k. V dalším textu budeme pracovat právě s těmito souřadnicemi. Příklad 2.4 Ověřte, že vektory e 1 = (2, 1, 0), e 2 = (1, 1, 1), e 3 = (1, 2, 3) tvoří bázi ve vektorovém prostoru V 3. Dále najděte souřadnice vektoru u = (3, 2, 1) vzhledem k této bázi. Řešení. Dimenze vektorového prostoru je dim V 3 = 3. Stačí tedy ověřit, že vektory jsou lineárně nezávislé, tj. že rovnice α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = o je splněna jen pro α 1 = α 2 = = α 3 = 0. Obdobně jako v příkladu 2.3 dostaneme soustavu homogenních rovnic 2α 1 + α 2 + α 3 = 0, α 1 α 2 + 2α 3 = 0, α 2 + 3α 3 = 0. Použijeme Gaussovu eliminační metodu. Matici soustavy upravíme na schodovitý tvar: (2) (1) 2(2) (3) (2) 3(3) Zpětným dosazením dostaneme, že systém má jen triviální řešení α 1 = α 2 = α 3 = 0. Vektory e 1, e 2, e 3 tedy tvoří bázi prostoru V 3. Označme ji E, tj. E = e 1, e 2, e 3. 8

9 Dále máme nalézt souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E. Hledáme konstanty β 1, β 2 a β 3 takové, aby platilo β 1 e 1 + β 2 e 2 + β 3 e 3 = u. Získáme pro ně nehomogenní soustavu rovnic 2β 1 + β 2 + β 3 = 3, β 1 β 2 + 2β 3 = 2, β 2 + 3β 3 = 1. Všimněte si, že matice soustavy je stejná jako u předchozí homogenní soustavy, která sloužila k ověření lineární nezávislosti. Soustavu budeme opět řešit Gaussovou eliminační metodou. Matici soustavy upravíme na schodovitý tvar: Jejím řešením získáme (2) (1) 2(2) (3) (2) 3(3) 12β 3 = 4 β 3 = 1 3, β 2 + 3β 3 = 1 β 2 = 0, β 1 2β 2 + 2β 3 = 2 β 1 = 4 3. Souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E jsou u = ( 4 3, 0, 1 ) 3 E. 3 Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů 3.1 Skalární součin vektorů Nechť u, v V 3 jsou dva nenulové volné vektory. Jejich úhel definujeme takto: Zvolme jejich umístění u = AB a v = AC, která začínají ve stejném bodě A. Označme ϕ úhel, jehož ramena jsou určena vázanými vektory AB a AC, pro nějž platí 0 ϕ π. Tento úhel nezávisí na volbě konkrétních umístění volných vektorů u a v. Proto můžeme definovat (u, v) = = ϕ. Zřejmě platí, že jsou-li u, v souhlasně kolineární, je (u, v) = 0 a jsou-li nesouhlasně kolineární, je (u, v) = π. Pokud je některý z vektorů u, v nulový, jejich úhel nedefinujeme. Jsou-li u, v dva nenulové vektory a ϕ úhel, který svírají, pak skalární součin vektorů u, v je číslo u v = u v cos ϕ. Je-li některý z vektorů (nebo oba) u, v nulový, definujeme, že u v = 0. 9

10 Algebraické vlastnosti skalárního součinu Pro skalární součin platí následující pravidla (u, v, w V 3 jsou libovolné vektory a k R je libovolné číslo): 1) u v = v u (skalární součin je komutativní), 2) (u + v) w = u w + v w (skalární součin je distributivní vzhledem k součtu vektorů), 3) k (u v) = (ku) v, 4) u u 0, přičemž u u = 0, právě když u = o. V pravé straně vztahu 2) není nutné dávat závorky, předpokládáme, že skalární součin má přednost před sčítáním resp. odčítáním (čísel). Aplikace skalárního součinu 1. Pro velikost libovolného vektoru u platí: 2. Pro každé dva nenulové vektory u, v platí: u = u u. u v = 0, právě když u, v jsou k sobě kolmé (značíme u v). Protože o v = 0 pro každý vektor v, považujeme nulový vektor za kolmý (v širším slova smyslu) ke každému vektoru. 3. Pro velikost úhlu ϕ nenulových vektorů u, v platí: cos ϕ = u v u v, 0 ϕ π. Skalární součin v kartézské soustavě souřadnic Protože vektory i, j a k jsou jednotkové a po dvou kolmé, platí: i i = j j = k k = 1, i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0. Odtud a z vlastností skalárního součinu se snadno odvodí vyjádření skalárního součinu vektorů pomocí jejich kartézských souřadnic. Je-li u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k, platí: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Poznámka 3.1 Zcela analogicky se definuje skalární součin volných vektorů z V 1 a V 2 a má tytéž vlastnosti. Nenulové vektory ve V 1 mohou mít ovšem pouze úhly ϕ = 0 nebo ϕ = π. Jsou-li u = (u 1, u 2 ) = u 1 i + u 2 j, v = (v 1, v 2 ) = v 1 i + v 2 j volné vektory ve V 2, platí u v = u 1 v 1 + u 2 v 2. Jsou-li u = (u 1 ) = u 1 i, v = (v 1 ) = v 1 i volné vektory ve V 1, platí u v = u 1 v 1. 10

11 Řešené příklady Příklad 3.2 Vypočtěte skalární součin vektorů u, v, je-li dáno: u = 4, v = 3, (u, v) = = ϕ = π 6. Řešení. Z definice skalárního součinu u v = u v cos ϕ dostaneme: u v = 4 3 cos π 6 = = 6 3. Příklad 3.3 Vypočtěte skalární součin vektorů u a v, je-li u = ( 1, 3, 4) a v = ( 1, 2, 3). Řešení. Vektory jsou zadány souřadnicemi, proto pro výpočet využijeme vztah u v = u 1 v u 2 v 2 + u 3 v 3. Tedy u v = 1 ( 1) + 3 ( 2) = 7. Příklad 3.4 V prostoru jsou dány body A = [1, 2, 3], B = [ 1, 2, 2] a C = [0, 2, 1]. Určete úhel vektorů u = AB a v = AC. Řešení. Souřadnice vektorů jsouab = B A = ( 2, 4, 5), AC =C A = ( 1, 0, 2). Úhel nenulových vektorů vypočteme ze vztahu cos ϕ = u v u v. Tedy cos ϕ = = 2 ( 1) + ( 4) 0 + ( 5) ( 2) ( 2) 2 + ( 4) 2 + ( 5) 2 ( 1) ( 2) 2 = 12 = = 4 5. Pomocí kalkulačky dopočteme ϕ = arccos 4 5. = = 0,6435 rad. Příklad 3.5 Určete číslo t R tak, aby vektory u = (t, 6, 4), v = (2, t, 3) byly navzájem kolmé. Řešení. Aby vektory byly kolmé, musí být splněna podmínka u v = 0. Tedy v našem případě 2t 6t 12 = 0, tedy t = 3. Vektory budou kolmé pro t = 3. Příklad 3.6 Ukažte, že vektory u = 2i 5j + k, v = 3i + 2j + 4k jsou k sobě kolmé. Řešení. Souřadnice vektorů jsou u = (2, 5, 1) a v = (3, 2, 4). Skalární součin vypočteme ze vztahu u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. V našem případě dostaneme u v = = 0. Vektory jsou tedy kolmé. 11

12 3.2 Vektorový součin vektorů Vektorový součin je definován pouze pro vektory ve V 3. Vektorovým součinem dvou nenulových vektorů u a v nazveme vektor w = u v, který má následující vlastnosti: i) Velikost vektoru w je dána vztahem w = u v sin ϕ, kde ϕ je úhel vektorů u a v. ii) Vektor w je kolmý k vektoru u i k vektoru v. iii) Pokud je w nenulový, vektory u, v a w v tomto pořadí tvoří pravotočivý systém. Je-li některý z vektorů nulový, definujeme u v = o. Algebraické vlastnosti vektorového součinu Pro vektorový součin platí následující pravidla (u, v, w V 3 jsou libovolné vektory a k R je libovolné číslo): 1) u v = (v u) (vektorový součin je antikomutativní). 2) (ku) v = u (kv) = k(u v). 3) (u + v) w = u w + v w (vektorový součin je distributivní vzhledem k součtu vektorů). V pravé straně vztahu 3) není nutné dávat závorky, předpokládáme, že vektorový součin má přednost před sčítáním resp. odčítáním (vektorů). Aplikace vektorového součinu 1. Pro dvojici vektorů u a v platí: u v = o, právě když jsou u a v kolineární. 2. Vektorový součin používáme při určování vektoru kolmého ke dvěma daným nekolineárním vektorům. 3. Pomocí vektorového součinu lze určit obsah rovnoběžníku ABCD a trojúhelníka ABC. Položíme-li u = AB a v = AC, pak pro obsah S rovnoběžníku a obsah S trojúhelníka platí: S = u v, S = 1 u v Pro úhel nenulových vektorů u, v platí: sin ϕ = u v u v, 0 ϕ π. Protože však funkce sinus není na intervalu 0, π prostá, nelze z předchozího vztahu úhel ϕ jednoznačně určit. 12

13 Vektorový součin v kartézské soustavě souřadnic Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) lze určit pomocí symbolického determinantu, který rozvineme podle prvního řádku: i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = i u 2 u 3 v 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2 = = i(u 2 v 3 u 3 v 2 ) j(u 1 v 3 u 3 v 1 ) + k(u 1 v 2 u 2 v 1 ). Řešené příklady Příklad 3.7 Vypočtěte vektorový součin vektorů u = (2, 4, 2), v = (1, 2, 5) a určete jeho velikost. Řešení. Vektorový součin u v určíme následovně: i j k u v = = i j k = = i( 20 4) j(10 ( 2)) + k( 4 ( 4)) = 24i 12j + 0k, takže u v = ( 24) 2 + ( 12) = 720 = Tedy u v = ( 24, 12, 0) a jeho velikost je u v = Příklad 3.8 Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD, víte-li, že platí A = [ 1, 1, 5], B = = [ 6, 5, 10] a C = [1, 2, 3]. Dále určete velikost výšky v na stranu AB. Řešení. Označme u = AB = B A = ( 5, 4, 5), v = AC = C A = (2, 3, 2). Obsah rovnoběžníku určíme jako velikost vektorového součinu vektorů u a v. Platí: i j k u v = = i(8 15) j( 10 ( 10)) + k(15 8) = = 7i 0j + 7k. Obsah rovnoběžníku bude: S = u v = ( 7) = 98 = 7 2. Obsah rovnoběžníku lze také vypočítat ze vztahu S = v AB, kde v je výška na stranu AB. S Odtud v =. V našem případě je v = u. Tedy S AB v = 7 2 ( 5) 2 + (4) 2 + ( 5) = 7 2 =

14 3.3 Smíšený součin tří vektorů Smíšený součin je definován pouze pro vektory ve V 3. Smíšeným součinem tří vektorů u, v, w nazýváme skalární součin vektoru w s vektorovým součinem u v. Obvykle ho značíme [u, v, w]. Tedy [u, v, w] = (u v) w. Algebraické vlastnosti smíšeného součinu Pro smíšený součin platí následující pravidla (u, v, w V 3 jsou libovolné vektory): 1) [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]. 2) [u, v, w] = [v, u, w] = [w, v, u] = [u, w, v]. Aplikace smíšeného součinu 1) Trojice nekomplanárních vektorů u, v, w určuje v prostoru těleso, tzv. rovnoběžnostěn. Ten obdržíme takto: Zvolíme umístění AB = u, AD = v a AA = w vycházející ze stejného bodu A. Zbývající vrcholy C, B, C, D doplníme tak, aby BC = v, BB = w, CC = w a DD = w. Objem V tohoto rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu. Tedy: V = [u, v, w] = (u v) w. 2) Trojice nekomplanárních vektorů u, v, w určuje v prostoru čtyřstěn ABCD. Ten obdržíme takto: Zvolíme umístění AB = u, AC = v a AD = w vycházející ze stejného bodu A. Objem V tohoto čtyřstěnu (trojbokého jehlanu) je roven jedné šestině absolutní hodnoty smíšeného součinu vektorů u, v a w. Tedy: V = 1 6 [u, v, w] = 1 (u v) w. 6 3) Pro trojici vektorů u, v a w platí: [u, v, w] = 0, právě když jsou u, v a w komplanární. Smíšený součin v kartézské soustavě souřadnic Ze vzorců pro výpočet skalárního a vektorového součinu se snadno zjistí, že smíšený součin tří vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) a w = (w 1, w 2, w 3 ) lze vypočítat ze vztahu u 1 u 2 u 3 [u, v, w] = (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. 14

15 Řešené příklady Příklad 3.9 Jsou dány body K = [2, 3, 1], L = [8, 4, 2], M = [0, 6, 0], O = [2, 1, 4]. a) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu KLMNOP QR. b) Vypočtěte výšku na stěnu určenou body K, L, M, N. Řešení. 1) Označme vektory u = KL, v = KM a w = KO. Pak u = (6, 1, 1), v = ( 2, 3, 1) a w = (0, 2, 5). Objem rovnoběžnostěnu vypočteme pomocí smíšeného součinu těchto vektorů: [u, v, w] = (u v) w = = 108. Objem rovnoběžnostěnu je tedy V = (u v) w = ) Označme d výšku ke stěně určené body K, L, M, N. Její velikost vypočteme ze vztahu V = d S, kde S je obsah stěny KLMN. S využitím předchozího označení vektorů platí S = u v. Tedy: i j k u v = = 4i 4j + 20k Obsah stěny KLMN je a výška d na tuto stěnu S = ( 4) = 432 = 12 3 d = V S = = 3 3. Příklad 3.10 Rozhodněte o komplanárnosti vektorů u = (1, 3, 1), v = (0, 1, 2) a w = = (2, 4, 1). Řešení. Stačí zjistit, zda je jejich smíšený součin roven nule: [u, v, w] = (u v) w = = 3. Protože smíšený součin je nenulový, vektory nejsou komplanární. 4 Rovnice roviny v prostoru 4.1 Vektorová rovnice roviny Je-li rovina ρ určena bodem A a dvěma nekolineárními vektory u a v, pak pro libovolný bod X roviny ρ platí AX = su + tv, s, t R, a pro žádný jiný bod tento vztah neplatí. Uvedená rovnice se nazývá vektorová rovnice roviny. 15

16 Poznámka 4.1 Vyjádříme-li vektor AX pomocí polohových vektorů r A = OA a r = OX bodů A a X vzhledem k počátku O, platí AX = r r A, takže lze vektorovou rovnici roviny zapsat ve tvaru r = r A + su + tv, s, t R. 4.2 Parametrické rovnice roviny V kartézské soustavě souřadnic lze parametrické rovnice roviny ρ, která je určená bodem A = = [x 0, y 0, z 0 ] a dvěma nekolineárními vektory u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ), zapsat ve tvaru x = x 0 + su 1 + tv 1, y = y 0 + su 2 + tv 2, s, t R. z = z 0 + su 3 + tv 3, Zápis roviny v parametrickém vyjádření je sice jednoduchý, ale pro řešení řady příkladů zcela nepraktický. Proto si zavedeme další vyjádření roviny, a to obecnou rovnici roviny. 4.3 Obecná rovnice roviny Je-li rovina ρ určena bodem A a normálovým vektorem n, tj. nenulovým vektorem kolmým k dané rovině, pak pro všechny body X, které v rovině leží, platí n AX = 0. V kartézské soustavě souřadnic po dosazení za A = [x 0, y 0, z 0 ], X = [x, y, z] a n = = (a, b, c), dostaneme (a, b, c) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, ax + by + cz (ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0. Označíme-li d = (ax 0 + by 0 + cz 0 ), pak rovnice se nazývá obecná rovnice roviny. Poznámka 4.2 Každá rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, ax + by + cz + d = 0, kde (a, b, c) = (0, 0, 0), je rovnicí nějaké roviny. Je-li v obecné rovnici roviny i) koeficient a = 0, je rovina rovnoběžná s osou x, tj. kolmá k rovině yz, ii) koeficient b = 0, je rovina rovnoběžná s osou y, tj. kolmá k rovině xz, iii) koeficient c = 0, je rovina rovnoběžná s osou z, tj. kolmá k rovině xy. Jsou-li v obecné rovnici roviny i) koeficienty a = 0 a b = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou xy, tj. kolmá k ose z, ii) koeficienty a = 0 a c = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou xz, tj. kolmá k ose y, iii) koeficienty b = 0 a c = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou yz tj. kolmá k ose x. 16

17 4.3.1 Obecná rovnice roviny dané třemi body Rovina ρ je daná třemi body A = [x 0, y 0, z 0 ], B = [x 1, y 1, z 1 ], C = [x 2, y 2, z 2 ], které neleží na jedné přímce. Zvolíme si další libovolný bod roviny X = [x, y, z]. Pak vektory AX, AB, AC jsou komplanární, tedy jejich smíšený součin je roven nule. Obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x x 0 y y 0 z z 0 ρ : x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 = Obecná rovnice roviny dané dvěma body a vektorem Rovina je daná dvěma body A = [x 0, y 0, z 0 ], B = [x 1, y 1, z 1 ] a nenulovým vektorem u = (u 1, u 2, u 3 ), který je nekolineární s AB. Zvolíme si další libovolný bod roviny X = = [x, y, z]. Vektory AX, AB a u jsou komplanární, tedy jejich smíšený součin je roven nule a obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x x 0 y y 0 z z 0 ρ : x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 u 1 u 2 u 3 = Obecná rovnice roviny dané bodem a dvěma vektory Rovina je daná bodem A = [x 0, y 0, z 0 ] a dvěma nekolineárními vektory u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ). Opět zvolíme další libovolný bod X = [x, y, z] ležící v rovině. Pak vektory AX, u a v jsou komplanární, a jejich smíšený součin je roven nule. Obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x x 0 y y 0 z z 0 ρ : u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0. Poznámka 4.3 Ve všech předchozích případech lze určit normálový vektor roviny jako vektorový součin dvou nekolineárních vektorů z dané roviny a dosadit jeho souřadnice do obecné rovnice roviny. Parametr d pak dopočítáme dosazením libovolného bodu ležícího v rovině. Řešené příklady Příklad 4.4 Napište obecnou rovnici roviny, je-li rovina ρ určena třemi body A = [1, 1, 2], B = [3, 0, 4], C = [ 2, 2, 1]. Řešení. Zvolíme si další bod X = [x, y, z], který leží v rovině ρ. Potom vektory AX = = (x 1, y + 1, z 2), AB = (2, 1, 2) a AC = ( 3, 1, 1) jsou komplanární, a jejich smíšený součin ( AB AC ) AX = 0. Tedy x 1 y + 1 z 2 ρ : = 0. Po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme ρ : x 4y + z 7 = 0. 17

18 Příklad 4.5 Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A = [1, 1, 2], B = = [3, 1, 1] a je rovnoběžná s přímkou určenou body C = [0, 2, 1] a D = [1, 4, 3]. Řešení. Body A a B leží v rovině ρ, tudíž vektor AB = (2, 0, 3) je s rovinou rovnoběžný. Další vektor, který je s hledanou rovinou rovnoběžný, je směrový vektor přímky u = CD = = (1, 2, 4). Rovnice roviny ρ je tedy určena dvěma vektory a např. bodem A. Zvolme si opět obecný bod X = [x, y, z], který leží v rovině. Její rovnici získáme výpočtem determinantu x 1 y + 1 z 2 ρ : = 0. Po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme ρ : 6x + 5y + 4z 19 = 0. Příklad 4.6 Napište obecnou rovnici roviny ρ, je-li rovina dána parametrickými rovnicemi ρ : x = 1 + 3s + 2t, y = 4t, s, t R. z = 1 + 2s t, Řešení. Z parametrického vyjádření je zřejmé, že rovina je určena bodem A = [ 1, 0, 1] a vektory u = (3, 0, 2) a v = (2, 4, 1), které jsou s rovinou rovnoběžné. Označme X = = [x, y, z] obecný bod roviny ρ. Pak obecnou rovnici roviny dostaneme výpočtem determinantu x + 1 y z + 1 ρ : = 0. Obecná rovnice je ρ : 8x + 7y + 12z + 4 = 0. Příklad 4.7 Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází počátkem soustavy souřadnic, bodem A = [1, 2, 3] a je kolmá k rovině dané osami x a y. Řešení. Rovina ρ je určená bodem A = [1, 2, 3] a počátkem O = [0, 0, 0], tedy vektor OA je s rovinou rovnoběžný. Dále je ρ kolmá k rovině dané osami x a y, tedy vektor u = (0, 0, 1) je s ní rovnoběžný. Hledáme tedy rovnici roviny určenou např. bodem O a vektory OA a u. x y z ρ : = 0. Po úpravě dostaneme obecnou rovnici roviny ρ : 2x y = Úsekový tvar rovnice roviny Jsou-li v obecné rovnici roviny ax + by + cz + d = 0 všechny parametry a, b, c, d nenulové, lze tuto rovnici převést na úsekový tvar. Rovina má v tomto případě rovnici x p + y q + z r = 1, kde p = d a, q = d b, r = d c. Čísla p, q, r jsou po řadě úseky, které rovina vytíná na osách x, y, z. Úsekový tvar rovnice roviny je vhodný především pro její znázornění v kartézské soustavě souřadnic a k nalezení průsečíků roviny se souřadnicovými osami. 18

19 Řešené příklady Příklad 4.8 Určete souřadnice bodů P, Q a R, ve kterých rovina ρ : 3x 2y 4z + 2 = 0 protíná osu x, y a z. Řešení. Rovnici si přepíšeme do úsekového tvaru ρ : x y 1 + z 1 2 = 1. Čísla ve jmenovatelích jednotlivých zlomků jsou úseky vyťaté na osách x, y, z. Souřadnice hledaných bodů jsou P = [ 2 3, 0, 0], Q = [0, 1, 0] a R = [0, 0, 1 2 ]. 5 Rovnice přímky v prostoru 5.1 Vektorová rovnice přímky Je-li přímka p určena bodem A a směrovým vektorem u = o, pak pro libovolný bod X přímky p platí AX = tu, kde t R, a pro žádný jiný bod tento vztah neplatí. Uvedená rovnice se nazývá vektorová rovnice přímky p a t se nazývá parametr. Poznámka 5.1 Vyjádříme-li vektor AX pomocí polohových vektorů r A = OA a r = XO bodů A a X vzhledem k počátku O, platí AX = r r A, takže lze vektorovou rovnici přímky zapsat ve tvaru r r A = tu. 5.2 Parametrické rovnice přímky V kartézské soustavě souřadnic parametrické rovnice přímky určené bodem A = [x 0, y 0, z 0 ] a směrovým vektorem u = (u 1, u 2, u 3 ) zapisujeme ve tvaru x = x 0 + tu 1, y = y 0 + tu 2, t R. z = z 0 + tu 3, Poznámka 5.2 Je-li přímka p určena dvěma body A a B, pak vektor AB je jejím směrovým vektorem. Poznámka 5.3 Jsou-li dány dva různé body A = [x 0, y 0, z 0 ], B = [x 1, y 1, z 1 ], pak parametrické rovnice přímky určené body A a B jsou x = x 0 + t(x 1 x 0 ), y = y 0 + t(y 1 y 0 ), t R. z = z 0 + t(z 1 z 0 ), Omezíme-li t, pak 1. pro t 0, ) jsou to parametrické rovnice polopřímky s počátečním bodem A, která obsahuje bod B, 2. pro t 0, 1 jsou to parametrické rovnice úsečky AB. 19

20 5.3 Kanonické rovnice přímky Je-li přímka p určena bodem A = [x 0, y 0, z 0 ] a směrovým vektorem u = (u 1, u 2, u 3 ) a jsou-li všechny souřadnice směrového vektoru u nenulové, lze vypočtením parametru t ze všech tří parametrických rovnic přímky získat kanonické rovnice přímky p 5.4 Obecné rovnice přímky x x 0 u 1 = y y 0 u 2 = z z 0 u 3. V kartézské soustavě souřadnic lze přímku p zapsat jako společnou přímku (průsečnici) dvou rovin. V tomto případě říkáme, že přímka je určena obecnými rovnicemi { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, p : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Poznámka 5.4 Aby předchozí rovnice určovaly přímku, je třeba, aby normálové vektory n 1 = = (a 1, b 1, c 1 ) a n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) byly nekolineární. Pro další výpočty bude potřeba umět převést obecné rovnice přímky na parametrické. Budeme postupovat následovně: 1. Směrový vektor přímky p vypočteme pomocí vektorového součinu normálových vektorů daných rovin: přímka musí současně ležet v obou rovinách, tudíž její směrový vektor u musí být kolmý k oběma normálovým vektorům daných rovin n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) a n 2 = = (a 2, b 2, c 2 ). Tedy u = n 1 n Libovolný bod A ležící na přímce p musí vyhovovat oběma rovnicím. Hledáme tedy řešení soustavy dvou rovnic pro tři neznámé. Taková soustava má v tomto případě nekonečně mnoho řešení, nám stačí pouze jedno z nich. Postupujeme tedy tak, že jednu neznámou x, y nebo z si zvolíme a zbylé dvě dopočteme tak, aby vyhovovaly zadaným rovnicím. Řešené příklady Příklad 5.5 Napište parametrické rovnice přímky p, která prochází bodem A = [ 1, 2, 8] a je rovnoběžná s osou y. Řešení. Směrový vektor osy y je např. vektor u = (0, 1, 0). Parametrické rovnice přímky p jsou x = 1, y = 2 + t, t R. z = 8, Příklad 5.6 Napište parametrické rovnice úsečky AB, jestliže platí A = [ 2, 4, 8] a B = = [3, 1, 2]. Řešení. Sestrojíme vektor AB = (5, 3, 10). Parametrické rovnice úsečky AB pak jsou x = 2 + 5t, y = 4 3t, t 0, 1. z = 8 10t, 20

21 Příklad 5.7 Napište parametrické rovnice přímky p určené obecnými rovnicemi p : { x 3y + 2z 8 = 0, 2x + 5y 3z + 4 = 0. Řešení. 1. Nejprve si určíme souřadnice normálových vektorů daných rovin n 1 = (1, 3, 2) a n 2 = = (2, 5, 3). Směrový vektor u vypočteme pomocí jejich vektorového součinu, tedy i j k u = n 1 n 2 = = i(9 10) j( 3 4) + k(5 + 6) = i + 7j + 11k Souřadnice směrového vektoru přímky p jsou u = ( 1, 7, 11). 2. Určíme souřadnice libovolného bodu A ležícího na přímce p. Zvolme např. y = 0, zbylé dvě souřadnice jsou řešením soustavy. x + 2z 8 = 0, 2x 3z + 4 = 0. Řešením soustavy dostaneme x = 16 7 a z = Tedy souřadnice hledaného bodu jsou A = [ 16 7, 0, 20 ] 7. Parametrické rovnice přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u jsou x = 16 7 t, y = 7t, t R. z = t, Příklad 5.8 Napište rovnici přímky, která prochází bodem Q = [2, 6, 3] a je rovnoběžná s přímkou p : x = y 2 3 = z 1. Řešení. Směrový vektor přímky p je u = ( 5, 3, 1). Hledaná přímka má být s přímkou p rovnoběžná, tedy vektor u je jejím směrovým vektorem, dále na ní leží bod Q. Parametrické rovnice této přímky tedy jsou x = 2 5t, y = 6 + 3t, t R. z = 3 t, 21

22 6 Polohové úlohy v prostoru V následující kapitole budeme vyšetřovat vzájemnou polohu dvou geometrických útvarů. 6.1 Vzájemná poloha bodu a roviny Je dán bod A = [x 0, y 0, z 0 ] a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Bod A leží v rovině ρ, jestliže po dosazení jeho souřadnic do rovnice roviny dostaneme identitu. V opačném případě bod v rovině neleží. Řešené příklady Příklad 6.1 Zjistěte, zda bod M = [1, 2, 4] leží v rovině ρ : 3x 2y 3z + 5 = 0. Řešení. Do rovnice roviny ρ dosadíme souřadnice bodu M ( 2) = 0 0 = 0, tedy bod M ρ. Příklad 6.2 Určete parametr d tak, aby bod K = [ 3, 2, 1] ležel v rovině ρ : 2x + 6y 3z + d = 0. Řešení. Souřadnice bodu K dosadíme do rovnice roviny ρ a vypočteme parametr d. 2 ( 3) ( 1) + d = 0 d = Vzájemná poloha bodu a přímky x = x 1 + tu 1, Je dán bod A = [x 0, y 0, z 0 ] a přímka p : y = y 1 + tu 2, t R. z = z 1 + tu 3, Po dosazení souřadnic bodu A do parametrických rovnic přímky p dostaneme soustavu tří lineárních rovnic pro t. Jestliže má tato soustava řešení, bod A na přímce p leží, v opačném případě na ní neleží. Tedy všechny tři rovnice musí dávat pro neznámou t tutéž hodnotu t 0! Zejména má-li vektor u nenulové složky, musí platit Řešené příklady t 0 = x 0 x 1 u 1 = y 0 y 1 u 2 = z 0 z 1 u 3. Příklad 6.3 Je dána přímka p o parametrických rovnicích x = 1 2t, y = 2+3t, z = 3+2t, t R. a) Rozhodněte, zda bod K = [ 1, 5, 4] leží na přímce p. b) Určete parametry r, s R tak, aby bod L = [r, 3r, s] ležel na přímce p. 22

23 Řešení. a) Dosadíme souřadnice bodu K do rovnice přímky a vypočteme ze všech rovnic parametr t. 1 = 1 2t t = 1, 5 = 2 + 3t t = 1, 4 = 3 + 2t t = 1 2. Protože parametr t nevyšel ze všech rovnic stejný, bod K neleží na přímce p. b) Postupovat budeme obdobně jako v bodě a). Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu L a dostaneme tak soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé. (Soustava může mít jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho řešení. V našem případě jsou vždy v jedné rovnici svázány pouze dvě proměnné.) r = 1 2t, 3r = 2 + 3t, s = 3 + 2t. Řešením prvních dvou rovnic dostaneme t = 1 9 a r = 7 9, dosazením do třetí rovnice vyjde s = Souřadnice bodu jsou L = [ 7 9, 7 3, 27 ] Vzájemná poloha dvou rovin Dvě roviny mají právě jednu z následujících tří poloh: 1. Nemají společný žádný bod (jsou rovnoběžné různé). 2. Jsou totožné (splývají). 3. Mají společnou právě jednu přímku (jsou různoběžné). Jsou dány roviny ρ : a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 a σ : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Označme jejich normálové vektory n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) a n 2 = (a 2, b 2, c 2 ). Pak roviny ρ a σ jsou: 1. Rovnoběžné různé, jestliže n 1 = λ n 2 (normálové vektory jsou kolineární), ale d 1 = λd Splývající neboli totožné, jestliže n 1 = λ n 2 a navíc platí, že d 1 = λd Různoběžné, jestliže n 1 = λ n 2 pro každé λ R (normálové vektory jsou nekolineární). Řešené příklady Příklad 6.4 Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a σ. a) ρ : 2x + y 2z + 6 = 0, σ : 4x + 2y 4z + 6 = 0, b) ρ : 2x + y 2z + 6 = 0, σ : 4x 2y 2z + 6 = 0. Řešení. a) Normálový vektor roviny ρ je n 1 = (2, 1, 2), normálový vektor roviny σ je n 2 = = (4, 2, 4). Vidíme, že vektor n 2 = 2n 1, ale parametr d 2 = 2d 1, takže roviny jsou rovnoběžné. b) Normálový vektor roviny ρ je n 1 = (2, 1, 2), normálový vektor roviny σ je n 2 = = (4, 2, 2). V tomto případě není jeden normálový vektor násobkem druhého, takže roviny jsou různoběžné. 23

24 Příklad 6.5 Určete hodnoty parametrů b, c R tak, aby roviny ρ : x + by z + 4 = 0 a σ : 4x + 12y + cz + 1 = 0 byly a) rovnoběžné, b) k sobě kolmé. Řešení. a) Normálový vektor roviny ρ je n 1 = (1, b, 1), normálový vektor roviny σ je n 2 = = (4, 12, c). Aby byly roviny rovnoběžné, musí platit n 2 = λn 1 pro vhodné λ R. Po rozepsání do složek dostaneme 4 = λ λ = 4, 12 = λb b = 3, c = λ c = 4. b) Aby byly roviny navzájem kolmé, musí být jejich normálové vektory rovněž kolmé, tj. jejich skalární součin musí být roven nule. Musí tedy platit b c = 0, tj. c = b. Úloha má tudíž nekonečně mnoho řešení. Příklad 6.6 Napište rovnici roviny ρ, ve které leží bod P = [3, 5, 2] a která je rovnoběžná s rovinou σ : x 2y + 3z 1 = 0. Řešení. Normálový vektor roviny σ je také normálovým vektorem roviny ρ. Rovina ρ je tedy určena bodem P a vektorem n = (1, 2, 3). Parametr d určíme dosazením bodu P do rovnice roviny σ. 3 2 ( 5) d = 0 d = 19. Rovnice hledané roviny je ρ : x 2y + 3z 19 = Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky v prostoru mají právě jednu z následujících čtyř poloh: 1. Mají společný právě jeden bod (jsou různoběžné). 2. Jsou totožné (splývají). 3. Nemají společný bod a leží v jedné rovině (jsou rovnoběžné různé). 4. Nemají společný bod a neleží v jedné rovině (jsou mimoběžné). Jsou dány přímky p(a, u), q(b, v). Přímka p je určena bodem A a směrovým vektorem u, přímka q je určena bodem B a má směrový vektor v. Přímky p, q jsou: 1. Rovnoběžné různé, jestliže u = λ v pro vhodné λ R a A / q. 2. Splývající neboli totožné, jestliže u = λ v pro vhodné λ R a navíc A q. 3. Různoběžné, jestliže u a v jsou nekolineární a AB, u a v jsou komplanární, tedy u = λ v pro každé λ R a AB (u v) = Mimoběžné, jestliže AB, u a v jsou nekomplanární, tedy AB (u v) = 0. Řešené příklady Příklad 6.7 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, kde p : x = 1 + t, y = 2 2t, z = t, t R a q : x = 4 2s, y = 1 + 4s, z = 3 2s, s R. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. 24

25 Řešení. Nejprve určíme směrové vektory přímek p, q. Směrový vektor přímky p je vektor u = (1, 2, 1), směrový vektor přímky q je vektor v = ( 2, 4, 2). Protože platí v = 2u, přímky mohou být rovnoběžné nebo splývající. Označme A = [1, 2, 0] bod ležící na přímce p. Pokud A q, jsou přímky splývající, v opačném případě jsou rovnoběžné. Dosadíme souřadnice bodu A do rovnice přímky q a vypočteme z každé rovnice hodnotu parametru s. 1 = 4 2s s = 3 2, 2 = 1 + 4s s = 1 4, 0 = 3 2s s = 3 2. Parametr s není stejný pro všechny rovnice, tedy přímky p a q jsou rovnoběžné různé. Příklad 6.8 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, kde p prochází body A a B a q prochází body C a D. Přitom A = [1, 2, 1], B = [3, 0, 1], C = [2, 1, 2] a D = [5, 6, 7]. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Řešení. Směrový vektor přímky p je vektor AB = (2, 2, 2), směrový vektor přímky q je vektor CD = (3, 5, 5). Je zřejmé, že AB = λcb pro každé λ R. Přímky jsou tedy buď různoběžné nebo mimoběžné. Sestrojíme vektor AC = (1, 3, 3) a rozhodneme, zda je trojice vektorů AB, CD a AC komplanární. V případě, že budou vektory komplanární, leží v jedné rovině, a tudíž přímky p a q jsou různoběžné. V opačném případě jsou přímky mimoběžné. ( AB AC ) CD = = 0. Vektory jsou komplanární, jejich smíšený součin je roven nule, tedy přímky jsou různoběžné. Určíme průsečík P přímek p, q. Souřadnice průsečíku P musí vyhovovat parametrickým rovnicím obou přímek p : x = 1 + 2t, y = 2 2t, z = 1 + 2t, t R, q : x = 2 + 3s, y = 1 5s, z = 2 + 5s, s R. Odtud dostaneme následující rovnosti: 1 + 2t = 2 + 3s, 2 2t = 1 5s, 1 + 2t = 2 + 5s. Jejich řešením dostaneme t = s = 1. Souřadnice průsečíku P = [ 1, 4 3] pak získáme dosazením za t resp. s do parametrického vyjádření přímek. Příklad 6.9 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, je-li p : x 1 3 = y 2 2 = z 1, q : x+1 = y 3 = z+2 2. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. 1 = Řešení. Směrový vektor přímky p má souřadnice u = (3, 2, 1), směrový vektor přímky q má souřadnice v = ( 1, 3, 2). Protože u = λv pro každé λ R, jsou přímky buď různoběžné nebo mimoběžné. Na přímce p leží bod A = [1, 2, 0], na přímce q leží bod B = [ 1, 0, 2]. Vektor jimi určený je AB = ( 2, 2, 2). Pomocí smíšeného součinu zjistíme, zda je trojice u, v a AB 25

26 komplanární. Platí (u v) AB = = 22. Smíšený součin je nenulový, vektory nejsou komplanární, tedy přímky p a q jsou mimoběžné. 6.5 Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka je vzhledem k rovině právě v jedné ze tří poloh: 1. Leží v rovině. 2. Nemá s rovinou žádný společný bod (je s ní rovnoběžná, ale neleží v ní). 3. Má s rovinou společný právě jeden bod (je s ní různoběžná). Je dána rovina ρ : ax + by + cz + d = 0 a přímka p(a, u). Označme normálový vektor roviny n. Přímka je určena bodem A a směrovým vektorem u. 1. Přímka leží v rovině, jestliže n u = 0 a navíc A ρ. 2. Přímka je rovnoběžná s rovinou ale neleží v ní, jestliže n u = 0 a A / ρ. 3. Přímka je různoběžná s rovinou, jestliže n u = 0. Řešené příklady Příklad 6.10 Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p : x = 1 + t, y = 1 2t, z = 3 t, t R a roviny ρ : 2x y + 3z + 1 = 0. V případě, že je přímka různoběžná s rovinou, určete souřadnice průsečíku. Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (1, 2, 1), normálový vektor vektor roviny ρ je n = (2, 1, 3). Jejich skalární součin n u = (2, 1, 3) (1, 2, 1) = = 1, tedy přímka je s rovinou různoběžná. Průsečík P přímky a roviny vypočteme následovně: parametrické rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny a vypočteme hodnotu parametru t. Jeho dosazením do rovnic přímky získáme souřadnice průsečíku. 2(1 + t) (1 2t) + 3( 3 t) + 1 = 0 t = 7, a tedy P = [8, 13, 10]. Příklad 6.11 Určete hodnoty parametrů a, b tak, aby přímka p : x = a + 2t, y = 1 bt, z = 2 + t, t R, byla s rovinou ρ : x + 2y z + 2 = 0 a) různoběžná, b) rovnoběžná a ležela v ní, c) rovnoběžná, ale neležela v ní. Řešení. Ze zadání určíme směrový vektor u = (2, b, 1) přímky p, normálový vektor n = = (1, 2, 1) roviny ρ a bod A = [a, 1, 2], který leží na přímce p. 26

27 a) Aby byla přímka s rovinou různoběžná, musí platit n u = 0. V našem případě dostaneme 2 2b 1 = 0 b = 1 2. Hodnota parametru a může být libovolná, tedy a R. b) Aby přímka ležela v rovině, musí platit n u = 0 a A ρ. S ohledem na předchozí výsledek musí být parametr b = 1 2. Parametr a získáme vyřešením podmínky A ρ. Dosazením souřadnic bodu A do rovnice roviny ρ dostaneme a = 0 a = 2. Přímka leží v rovině, pokud a = 2 a b = 1 2. c) Aby byla přímka s rovinou rovnoběžná, ale neležela v ní, musí platit n u = 0 a zároveň bod A neleží v ρ. Což je splněno, pokud b = 1 2 a a = 2. 7 Metrické úlohy v prostoru V této kapitole budeme určovat vzdálenosti a odchylky dvou základních geometrických útvarů (bodů, přímek a rovin) v prostoru. Obecně vzdáleností dvou geometrických útvarů U 1 R 3 a U 2 R 3 rozumíme minimální vzdálenost mezi body obou útvarů, tj. d(u 1, U 2 ) = min{ X 1 X 2 : X 1 U 1, X 2 U 2 }. Dvojice nejbližších bodů nemusí vždy existovat (příkladem jsou dvě otevřené koule, které mají prázdný průnik). V tom případě je třeba v předchozím vzorci nahradit minimum infimem, které bude vždy existovat. Je zřejmé, že když U 1 U 2 =, pak d(u 1, U 2 ) = 0 (lze volit X 1 = X 2 = A, kde bod A leží v obou množinách; pak d(u 1, U 2 ) = AA = 0). 7.1 Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost dvou bodů A, B je rovna délce vektoru AB resp. úsečky AB. 7.2 Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost bodu A od roviny ρ je vzdálenost bodu A a jeho pravoúhlého průmětu P do roviny ρ. Z geometrického hlediska je tedy potřeba sestrojit přímku kolmou k rovině ρ, která prochází bodem A, nalézt průsečík P této přímky s rovinou a vypočítat velikost úsečky AP. Je dán bod A = [x 0, y 0, z 0 ] a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Vzdálenost bodu od roviny určíme v kartézské soustavě souřadnic ze vztahu d(a, ρ) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2. (3) 27

28 Řešené příklady Příklad 7.1 Určete vzdálenost bodu A = [ 4, 0, 2] od roviny ρ : x 3y + 2z 5 = 0. Řešení. Normálový vektor roviny ρ má souřadnice n = (1, 3, 2), parametr d = 5. Dosazením do vztahu (3) dostaneme 7.3 Vzdálenost bodu od přímky d(a, ρ) = ( 3) = Vzdálenost bodu B od přímky p můžeme určit jako vzdálenost bodu od přímky v rovině ρ, která je určena bodem B a přímkou p. Vzdálenost je pak rovna délce úsečky BP, kde P je pata kolmice k vedené v rovině ρ bodem B k přímce p. Je dán bod B a přímka p(a, u). Pak vzdálenost bodu B od přímky p určíme ze vztahu d(b, p) = u AB u kde u 0 je jednotkový vektor stejného směru jako vektor u. Řešené příklady = u 0 AB, (4) Příklad 7.2 Vypočítejte vzdálenost bodu B = [2, 1, 3] od přímky p : x = 1 2t, y = 3t, z = 4 + t, t R. Řešení. Přímka p je určena bodem A = [1, 0, 4] a směrovým vektorem u = ( 2, 3, 1). Sestrojíme vektorab = (1, 1, 1). Vypočteme velikost vektorového součinu u AB a velikost vektoru u. u AB i j k = = i(3 1) j( 2 1) + k( 2 3) = 2i + 3j 5k Pak u AB = ( 5) 2 = 38 a u = ( 2) = 14. Dosazením do rovnice (4) dostaneme d(b, p) = = Příklad 7.3 Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A = [3, 2, 2], B = = [6, 1, 3], C = [5, 6, 1]. Řešení. Velikost výšky v a je rovna vzdálenosti bodu A od strany a. Strana a je určena vrcholy B a C. Máme tedy určit vzdálenost bodu A od přímky p, která prochází body B a C. Označme BC směrový vektor přímky p; pak BC = ( 1, 7, 4). Dále uvažme např. vektor AB = = (3, 3, 1). Určíme velikost vektorového součinu vektorů BC a AB a velikost vektoru BC. BC AB i j k = = i(7 12) j(1 12) + k( ) = 5i + 11j + 18k

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0. M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Rovnice přímky v prostoru

Rovnice přímky v prostoru Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK

M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3 Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie 3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více