BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Stereometrické úlohy řešené výpočtem. Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta. Petra Urbášková

Transkript

1 Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Petra Urbášková Stereometrické úlohy řešené výpočtem Vedoucí bakalářské práce: prof RNDr Josef Janyška, DSc Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika 2010

2 Poděkování Děkuji panu prof RNDr Josefu Janyškovi, DSc za odborné vedení mé bakalářské práce Prohlašuji, ţe jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s pouţitím citovaných pramenů V Brně dne Petra Urbášková

3 Název práce: Stereometrické úlohy řešené výpočtem Autor: Petra Urbášková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí bakalářské práce: prof RNDr Josef Janyška, DSc Abstrakt: Účelem této práce bylo vytvořit sbírku příkladů ze stereometrie řešených výpočtem První kapitola obsahuje teoretický úvod do dané problematiky, druhá kapitola je věnována výpočtu vzdáleností bodů, přímek a rovin V následující kapitole se zabýváme odchylkami přímek a rovin A poslední čtvrtá kapitola se věnuje povrchům a objemům různých těles Práce zahrnuje řadu řešených i neřešených příkladů, včetně jejich výsledků Klíčová slova: stereometrie, vzdálenost, odchylka, povrch, objem Title: Stereometry exercises solved by computation Author: Petra Urbášková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof RNDr Josef Janyška, DSc Abstract: The aim of this bachelor s thesis was to create a solid geometry task collection solved by computation First chapter contains theoretic introduction which will be used further, second chapter deals with points, lines and planes distances In the next chapter we attend to deviations of lines and planes And the last fourth chapter deals with surfaces and volumes of different solids The bachelor s thesis involves plenty of solved and also unsolved tasks including their results Keywords: solid geometry, distance, deviation, surface, volume

4 Obsah Úvod 2 1 Stereometrie 3 11 Základy stereometrie 3 12 Vzdálenosti bodů, přímek a rovin 4 13 Odchylky bodů, přímek a rovin 5 14 Kolmost přímek a rovin 6 15 trojúhelníku 7 2 Vzdálenosti 9 21 Vzdálenost dvou bodů 9 22 Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost dvou přímek Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost přímky od roviny Vzdálenost dvou rovnoběţných rovin 25 3 Kolmost a odchylky Kolmost Odchylka přímek Odchylka přímky a roviny Odchylka dvou rovin 35 4 Objemy a povrchy těles Přehled vzorců Příklady Objemy a povrchy řešené pomocí posloupností 45 Výsledky 48 Literatura 49 1

5 Úvod Stereometrie nebo také prostorová geometrie je vlastně geometrií v prostoru Na rozdíl od planimetrie, kde se úlohy řešily v rovině (E 2 ), budeme řešit úlohy v třírozměrném prostoru (E 3 ), coţ můţe někdy dělat potíţe Ne kaţdý má dobře vyvinutou prostorovou představivost Proto je vhodné, pokud to lze, pokusit se názorně předvést řešený problém (např pomocí vhodných modelů) V dnešní době existuje také mnoho programů na podporu výuky geometrie Jedním z nich je i program GEONExT, pomocí kterého jsem tvořila ilustrace k této práci Geometrie v prostoru je velmi rozsáhlá Prostor obsahuje nekonečné mnoţství bodů, přímek a rovin, coţ skýtá moţnost tvorby mnoha různých zadání úloh Tato práce se věnuje metrickým vlastnostem útvarů v E 3 V první kapitole uvádím základní pojmy a postupy nutné pro další práci Druhá a třetí kapitola obsahuje příklady výpočtu vzdáleností a odchylek bodů, přímek a rovin Poslední čtvrtá kapitola se věnuje objemům a povrchům prostorových útvarů Součástí práce je mnoţství řešených příkladů, pro lepší pochopení dané problematiky, a pro samostatné procvičení obsahuje i několik neřešených úloh Pro kontrolu jsou uvedeny i výsledky Předpokládáme u čtenáře základní znalost geometrie v rovině a konstrukční geometrie 2

6 Kapitola 1 Stereometrie V kapitole 1 Stereometrie budeme vycházet z 11 Základy stereometrie Ve stereometrii je nanejvýš vhodné úlohu doplnit jejím odpovídajícím grafickým zpracováním Usnadní nám to volbu postupu, při řešení těchto úloh Existuje ale několik druhů zobrazení útvarů v prostoru V této práci budeme pouţívat převáţně volné rovnoběţné promítání Principy volného rovnoběžného promítání 1 Všechny útvary v rovinách rovnoběţných s průmětnou (plochou papíru) se zobrazují ve skutečné velikosti (nezkreslují se úhly ani délky) 2 Všechny přímky kolmé k průmětně (nárysně) se zobrazují pod úhlem 45 a velikosti úseček kolmých k průmětně se zkracují na polovinu původních délek Obr 1 Krychle ve volném rovnoběžném promítání Následující věty určují vztahy bodů, rovin a přímek v prostoru Věta 11 Rovina je určena: a) 3 body, které neleží na jediné přímce b) přímkou a bodem, který na ní neleží c) dvěma různoběžnými přímkami Roviny budeme značit malými řeckými písmeny ( ) Věta 12 Jestliže dva různé body téže přímky leží v rovině, potom celá přímka leží v této rovině Věta 13 Pro každé dvě různé rovnoběžné přímky v prostoru existuje právě jedna rovina, která je obsahuje (různé rovnoběžky určují jednoznačně rovinu) Věta 14 (o totožnosti) a) Jestliže mají dvě rovnoběžné přímky společný bod, jsou totožné 3

7 b) Jestliže mají dvě rovnoběžné roviny společný bod, jsou totožné c) Jestli je přímka rovnoběžná s rovinou a má s ní společný bod, leží tato přímka v rovině Věta 15 (o rovnoběžnosti) a) Jestliže jsou dvě přímky rovnoběžné s danou přímkou v prostoru, jsou tyto přímky rovnoběžné b) Jestliže jsou dvě roviny rovnoběžné s danou třetí rovinou, pak jsou tyto dvě roviny rovnoběžné c) Jestliže jedna ze dvou přímek, které jsou rovnoběžné, je rovnoběžka s danou rovinou, pak je i druhá přímka rovnoběžná s danou rovinou d) Jestliže je jedna ze dvou rovin, které jsou rovnoběžné, rovnoběžná s danou přímkou, pak je i druhá rovina rovnoběžná s danou přímkou Věta 16 Jestliže rovina obsahuje dvě přímky a, které jsou různoběžné a současně přímka je rovnoběžná s rovinou a zároveň přímka je rovnoběžná s rovinou, pak roviny a jsou také rovnoběžné Věta 17 Jestliže je rovina různoběžná se dvěma rovnoběžnými rovinami, potom je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách Vzájemná poloha přímek Přímky a jsou mimoběžné, jestliţe neleţí v jedné rovině Rovnoběžnými nazýváme přímky a, jestliţe leţí v jedné rovině a zároveň nemají společný ani jeden bod Různoběžné jsou takové přímky a, které mají společný právě jeden bod, nazýváme ho průsečík Přímky a jsou totožné, jestliţe mají společné všechny body Vzájemná poloha rovin a Roviny jsou totožné, jestliţe mají společné všechny body Různoběžné nazýváme takové dvě roviny a, jejichţ průnikem je přímka Kdeţto rovnoběžnými rovinami jsou roviny a, jestliţe nemají společný ţádný bod Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka a rovina jsou rovnoběžné, jestliţe nemají ţádný společný bod Pokud přímka a rovina mají pouze jeden společný bod, jsou různoběžné Jestliţe všechny body přímky patří i do roviny, nazýváme přímku a rovinu totožnými 12 Vzdálenosti bodů, přímek a rovin Definice 11 Vzdálenost bodů je délka úsečky ; značíme ji Definice 12 Vzdálenost bodu od přímky můţeme určit jako vzdálenost bodu od přímky v rovině, neboť bod a přímka v prostoru určují rovinu (pokud bod na přímce neleţí) Je to vzdálenost bodu od jeho pravoúhlého průmětu na přímku Značíme 4

8 Definice 13 Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky Vzdálenost rovnoběţných přímek můţeme určit jako vzdálenost přímek v rovině jimi určené nebo pomocí roviny kolmé k oběma přímkám Vzdálenost přímek značíme Definice 14 Vzdálenost mimoběžných přímek je délka úsečky, kde body jsou po řadě průsečíky mimoběţek s takovou příčkou mimoběţek, která je k oběma z nich kolmá Značíme stejně jako v případě rovnoběţných přímek Definice 15 Vzdálenost bodu od roviny je vzdálenost tohoto bodu od jeho pravoúhlého průmětu do této roviny Značíme Definice 16 Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny Vzdálenost přímky a roviny značíme Definice 17 Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny Vzdálenost rovnoběţných rovin značíme 13 Odchylky bodů, přímek a rovin Definice 18 Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost kaţdého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0 Je-li odchylkou přímek, značíme Definice 19 Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběţných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběţně s danými mimoběţkami Definice 110 Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá Věta 18 Pro různoběžné roviny platí: a) Jestliže je daná rovina kolmá k průsečnici dvou různoběžných rovin, potom je kolmá k oběma těmto rovinám b) Odchylka různoběžných rovin je odchylka jejich přímek kolmých k průsečnici Věta 19 Odchylka dvou rovin je odchylka dvou přímek, z nichž jedna je kolmá k první a druhá ke druhé rovině Věta 110 Odchylka dvou rovnoběžných rovin je rovna nule Věta 111 Jsou-li roviny a také rovnoběžné, pak Definice 111 Není-li přímka kolmá k rovině, je odchylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do této roviny Odchylka přímky a roviny, k níţ je kolmá, je 90 Věta 112 Pro libovolné přímky a libovolné roviny platí: a) Jestliže,pak 5

9 b) Jestliže, pak c) Jestliže, pak 14 Kolmost přímek a rovin Definice 112 Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, kdyţ jejich odchylka je 90 Definice 113 Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, kdyţ je přímka kolmá ke všem přímkám roviny Věta 113 Jestliže je přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k této rovině kolmá Věta 114 Úsečka je kolmá k rovině, jestliže je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám nebo úsečkám této roviny Věta 115 Přímka rovnoběžná s některou přímkou kolmou k dané rovině je k této rovině kolmá Věta 116 Všechny přímky kolmé k dané rovině jsou rovnoběžné Věta 117 Všechny roviny kolmé k dané přímce jsou rovnoběžné Věta 118 Jestliže je daná rovina rovnoběžná s rovinou, která je kolmá k dané přímce, potom je daná rovina také kolmá k této přímce Věta 119 Jestliže je daná přímka kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných rovin, potom je kolmá také ke druhé rovině Věta 120 Jestliže je daná rovina kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných přímek, potom je kolmá také ke druhé z těchto přímek Věta 121 Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici Věta 122 Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu Definice 114 Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, kdyţ jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině Věta 123 Jestliže dvě různoběžné roviny jsou kolmé k dané rovině, potom jejich průsečnice je kolmá k této rovině Věta 124 a) Jestliže přímka a rovina jsou kolmé k dané rovině, potom jsou rovnoběžné b) Jestliže přímka a daná rovina mají společný bod a jsou kolmé k rovině, potom tato přímka leží v dané rovině Věta 125 Jestliže je rovina rovnoběžná s přímkou kolmou ke druhé rovině, potom je také tato rovina kolmá k druhé rovině 6

10 15 trojúhelníku V této podkapitole si uvedeme věty a vzorce, které budeme pouţívat v nejednom příkladě Jejich znalost je důleţitá pro správné řešení zadaných úloh Pravoúhlý trojúhelník Obr 2 Pravoúhlý trojúhelník Nechť je libovolný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu, pro nějţ, Velikosti jeho stran,, po řadě označme,, Pak pro trojúhelník platí: Hodnota funkce sinus pro úhel přeponě je rovna poměru délky protilehlé odvěsny k Hodnota funkce kosinus pro úhel přeponě je rovna poměru délky přilehlé odvěsny k Hodnota funkce tangens pro úhel přilehlé odvěsně je rovna poměru délky protilehlé odvěsny k Věta 126 (Pythagorova věta) Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami Můžeme zapsat jako Věta 127 (Euklidova věta o výšce) Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony Zapíšeme Věta 128 (Euklidova věta o odvěsně) Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé Zapíšeme 7

11 Obecný trojúhelník Obr 3 Obecný trojúhelník Věta 129 (Sinová věta) Pro každý trojúhelník,, a strany velikosti,, platí:, jehož vnitřní úhly mají velikost Věta 130 (Kosinová věta) Pro každý trojúhelník velikost,, a strany velikosti,, platí:, jehož vnitřní úhly mají 8

12 Kapitola 2 Vzdálenosti 21 Vzdálenost dvou bodů Příklad 1 Mějme krychli zadaných bodů: o délce hrany a = 6 cm Vypočítejte vzdálenost a), Přímka je tělesovou úhlopříčkou krychle (obr 4) Obr 4 Obr 5 Kolmý pohled na rovinu ACG Odvoďme si velikost tělesové úhlopříčky s pomocí Pythagorovy věty, kde hledáme velikost přepony pravoúhlého trojúhelníku (obr 5) Úsečka a velikost úsečky vypočteme také pomocí Pythagorovy věty (úhlopříčka strany trojúhelníka) b), = a cm (Obr 6) m je výpočet délky přepony trojúhelníku (obr 7) Trojúhelník je pravoúhlý Délka kratší odvěsny je rovna polovině délky hrany krychle tedy = cm a délka delší odvěsny trojúhelníku je cm (přímka je úhlopříčkou strany ) Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme délku přímky, tedy velikost přepony pravoúhlého trojúhelníka = 9 cm 9

13 Obr 6 Obr 7 Kolmý pohled na rovinu ACG c), Z nákresu zjistíme, ţe řešením úlohy je výpočet délky přepony pravoúhlého trojúhelníku (obr 8, 9) Nejdříve si dopočítejme délky stran jednotlivých odvěsen trojúhelníku Strana je rovna polovině délky úhlopříčky strany krychle = = 3 cm Délka druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku je rovna délce hrany, tedy = 6 cm Obr 8 Obr 9 Nyní hodnoty dosadíme do Pythagorovy věty a vypočítáme velikost přímky = = = 3 cm Příklad 2 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan, kde = a = 4 cm, = 8 cm Vypočítejte vzdálenost zadaných bodů: a), Vzdálenost zadaných bodů je délkou odvěsny trojúhelníka (obr 10, 11) 10

14 Obr 10 Obr 11 Kolmý pohled na rovinu BDV Délky přepon jsou = = 8 cm a = = = 2 cm Tyto hodnoty dosadíme do Pythagorovy věty = = 6 cm b), K výpočtu je nutné dopočítat úhel, který svírá přímka s přímkou (její délka je rovna velikosti úhlopříčky podstavy = cm) Délka hrany je rovna délce hrany, kterou jsme řešili v řešeném příkladě 2 a) V tomto výpočtu vyuţijeme vzorec: sin = = = 70,53 Obr 12 Obr 13 Kolmý pohled na rovinu ACV Ke konečnému výpočtu pouţijeme Kosinovou větu (obr 12, 13) Známe úhel, který svírají přímky a, je roven úhlu, tedy 70,53 Známe i délku přímky CS CV, je rovna polovině délky hrany, tedy = 3 cm Po dosazení do Kosinové věty získáváme = 11

15 5,83 cm c), Obr 14 Obr 15 Výpočet provedeme jednoduchým dosazením do Pythagorovy věty (obr 14, 15) Hledáme velikost přepony, jestliţe jedna odvěsna je rovna výšce = 8 cm a druhá odvěsna je rovna polovině délky strany, tedy = 2 cm Dosadíme do vzorce = cm Úlohy na procvičení 1) Mějme krychli o délce hrany = 4 cm Vypočítejte vzdálenost zadaných bodů: a), b), c), d), 2) Vypočítejte vzdálenosti zadaných bodů, jestliţe je dán pravidelný čtyřboký jehlan s délkou hrany podstavy = 5 cm a délkou hrany pláště = 10 cm: a), b), c), 22 Vzdálenost bodu od přímky Příklad 1 Nechť máme pravidelný čtyřboký jehlan, kde = 5 cm a = 8 cm Vypočítejte vzdálenost vrcholu od přímky = 12

16 Bod a přímka tvoří rovinu a řešením této úlohy je vzdálenost bodů a, kde je patou výšky trojúhelníku, která prochází bodem (obr 16, 17) Pro trojúhelník platí: = = 8 cm, =5 (přímka je úhlopříčkou čtverce s velikostí stran = 5 cm, pro délku úhlopříčky platí ) Obr 16 Obr 17 Kolmý pohled na rovinu BDV Označme písmenem úhel, který svírají strany trojúhelníku a Výška trojúhelníku na přímku a procházející bodem má velikost = = cm Dosazením do vzorce pro výpočet sinu v pravoúhlém trojúhelníku dopočítáme hodnotu sin, tedy sin =, a po opětovném dosazení a upravení daného vzorce získáme hledanou vzdálenost bodu od přímky Bp = 5 cm Příklad 2 Mějme krychli o délce hrany = 4 cm Jaká je vzdálenost a) bodu od přímky = Pravoúhlý průmět bodu na přímku je totoţný s bodem (obr 18, 19) 13

17 Obr 18 Obr 19 Kolmý pohled rovinou ABE Proto hledaná vzdálenost bodu od přímky je délka přímky, coţ je délka úhlopříčky čtverce Zapíšeme b) bodu od přímky = = = cm Bod a přímka tvoří rovinu (obr 20, 21) Obr 20 Obr 21 m je výška trojúhelníku na stranu procházející bodem Trojúhelník má rozměry: = cm (přímka je úhlopříčkou čtverce ), = = = cm (úhlopříčky čtverců a ) Výšku trojúhelníku na stranu procházející bodem, tedy řešení, vypočítáme Pythagorovou větou takto = cm c) bodu od přímky = Získali jsme rovinu tvořenou bodem a přímkou (obr 22) Vzdálenost bodu od přímky je vzdálenost bodu od jeho pravoúhlého průmětu na přímku Tato hledaná vzdálenost je výška trojúhelníku z bodu na stranu (obr 23) 14

18 Pro rozměry trojúhelníku Obr 22 Obr 23 platí: = 4 cm (úhlopříčka čtverce ), = cm, = = 6 cm (Pythagorova věta, kde za odvěsny dosadíme polovinu strany ) a úhlopříčku čtverce Označme písmenem úhel, který svírají strany a Tento úhel zjistíme pomocí Kosinové věty cos cos = Konečný výpočet provedeme pomocí vzorce = sin = 2 sin71,57 = 4,24 cm Úlohy na procvičení 1) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan, kde = 4 cm a = 8 cm Jaká je vzdálenost a) bodu od přímky? b) bodu od přímky? c) bodu od přímky p =? 2) Nechť máme kvádr o rozměrech = 4 cm, = 5 cm a = 7 cm Vypočítejte a) vzdálenost bodu od přímky? b) vzdálenost bodu od přímky? c) vzdálenost bodu od přímky? d) vzdálenost bodu od přímky? 3) Mějme krychli o délce strany = 10 cm Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky: a) 15

19 b), 23 Vzdálenost dvou přímek Vzdálenost rovnoběžek Příklad 1 Mějme krychli o délce hrany = 6 cm Vypočítejte vzdálenost daných přímek: a), Podle definice si zvolme libovolný bod na přímce, např bod m tedy bude vzdálenost bodu od přímky (obr 24) Obr 24 Obr 25 Kolmý pohled rovinou ADE Výsledkem je délka kolmé úsečky k přímce vedené z bodu Vzdálenost rovnoběţných přímek a je rovna velikosti úhlopříčky čtverce (obr 25) s délkou jednotlivých stran = 6 cm b), = = cm Zvolme si libovolný bod na přímce, zvolme si např bod Bod a přímka tvoří rovinu (obr 26) m je výška trojúhelníku na stranu procházející bodem (obr 27) O trojúhelníku víme: délka úsečky je rovna délce úhlopříčky strany krychle, tedy = 6 cm, = = = 3 cm Pomocí Kosinové věty zjistíme úhel, který svírají úsečky a, označme si jej jako cos = 16 = 78,46

20 Obr 26 Obr 27 S vyuţitím vzorce pro pravoúhlý trojúhelník sin = výpočet provedeme konečný c), sin = = sin = 3 cm Opět si zvolme libovolný bod např na přímce, my si zvolme bod (obr 28) Obr 28 Obr 29 Trojúhelník je pravoúhlý (obr 29), kde pravý úhel, označme ho leţí u vrcholu, a má rozměry: = = 3 cm, = cm, = cm Ţe trojúhelník věty: je pravoúhlý, si můţeme ověřit za pomoci Pythagorovy = 72=72 m je tedy délka strany na stranu z bodu, která je zároveň výškou trojúhelníku = = cm 17

21 Příklad 2 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan, jehoţ délka hrany podstavy je = 4 cm a = 8 cm Určete, jaká je vzdálenost přímky od přímky Obr 30 Obr 31 Výška trojúhelníku na stranu z bodu je hledaným řešením úlohy (obr 30, 31) Hrana svírá s podstavou jehlanu úhel Délka úhlopříčky podstavy je rovna = 4 cm, tedy = 2 Úhel dopočítáme cos = Pomocí vzorce pro pravoúhlý trojúhelník dostaneme konečný výpočet sin = = = sin = 2 sin69,30 = 2,65 cm Mimoběžky Příklad 1 Je zadána krychle s délkou hrany? cm Jaká je vzdálenost daných mimoběţek a), Všimněme si, ţe úsečka tvoří hledanou kolmou příčku k přímkám (obr 32) Proto vzdálenost přímek je rovna délce úsečky, tedy cm Obr 32 18

22 b), (obr 33) Kolmou příčkou přímek je úsečka, proto vzdálenost přímek je rovna délce této příčky cm Obr 33 c), Obr 34 Obr 35 Kolmý pohled na rovinu BDF (obr 34) Podle nákresu vypočítáme úhel, abychom poté vypočetli vzdálenost přímek (obr 35) Úhel získáme pomocí vzorce pro pravoúhlý trojúhelník Tuto hodnotu dosadíme do následujícího vzorce cm Příklad 2 V pravidelném čtyřbokém jehlanu s hranou cm a výškou cm jsou dány přímky a Určete vzdálenost těchto dvou přímek Průsečnice kolmá na přímku a zároveň na přímku je úsečka (obr 36), takţe vzdálenost přímky od přímky je rovna velikosti úsečky 19

23 cm Obr 36 Úlohy na procvičení 1) Mějme pravidelný čtyřboký hranol o rozměrech = = 6 cm, = 9 cm Vypočítejte, jaká je vzdálenost rovnoběţných přímek a) a b) 2) Je dána krychle o délce hrany = 8 cm Jaká je vzdálenost a) přímky a přímky? b) přímky a přímky? 24 Vzdálenost bodu od roviny Příklad 1 Je dána krychle, jejíţ rozměry jsou = 6 cm Jaká je vzdálenost: a) bodu od roviny Body tvoří rovinu krychle, hledáme tedy nejkratší vzdálenost bodu od roviny (obr 37) Pravoúhlý průmět bodu leţí na přímce Tedy hledáme vzdálenost bodu od této přímky m je výška rovnoramenného trojúhelníku z bodu na stranu (obr 38) Obr 37 Obr 38 Kolmý pohled do roviny ADE Tato výška je zároveň polovinou délky úhlopříčky strany, proto výsledek je roven 20

24 = cm b) bodu od roviny Vzdálenost bodu od roviny je rovná vzdálenosti bodu od jeho pravoúhlého průmětu do roviny (obr 39) Tento průmět leţí na úsečce Obr 39 Obr 40 Kolmý pohled do roviny ACG Délku úsečky získáme pomocí Pythagorovy věty (odvěsny jsou rovny délce strany a polovině délky úhlopříčky strany, obr 40) cm Dosazením do Euklidovy věty o odvěsně zjistíme délku úsečky CP = = = cm Euklidovou větou o výšce provedeme konečný výpočet c) bodu od roviny Pravoúhlý průmět bodu do roviny leţí na přímce (obr 41) Budeme tedy hledat výšku trojúhelníku z bodu na přímku (obr 42) cm Obr 41 Určeme velikost úhlu pomocí funkce sinus Obr 42 Kolmý pohled na rovinu ACG 21

25 , Hodnotu funkce sinu s můţeme získat také jako cm Příklad 2 Mějme pravidelný čtyřstěn, jehoţ všechny hrany mají délku cm Jaká je vzdálenost bodu od roviny? Hledáme vzdálenost bodu od jeho pravoúhlého průmětu do roviny (obr 43), tento průmět leţí na přímce Abychom mohli pokračovat ve výpočtu, je potřeba zjistit velikost úhlu Ten zjistíme takto Obr 43 cos = Nyní dosadíme do vzorce pro sinus v pravoúhlém trojúhelníku = 4,90 cm Úlohy na procvičení 1) Je zadána stejná krychle jako v zadání řešeného příkladu 1 a) Jaká je vzdálenost bodu od roviny b) Jaká je vzdálenost bodu od roviny c) Jaká je vzdálenost bodu od roviny 2) Mějme pravidelný šestiboký hranol s hranou podstavy cm a výškou cm Určete vzdálenost bodu a roviny a), b), c), 25 Vzdálenost přímky od roviny Příklad 1 Je dán kvádr, jehoţ rozměry jsou cm, cm, cm Spočítejte vzdálenost mezi přímky od roviny 22

26 a), (obr 44) Přímka leţí v rovině, která je s rovinou rovnoběţná, takţe přímka je s rovinou také rovnoběţná Hledáme nejkratší vzdálenost přímky od roviny, coţ je úsečka cm b), Obr 44 Obr 45 Obr 46 Kolmý pohled na rovinu ABF Přímka je rovnoběţná s rovinou (obr 45) Vzdálenost přímky od roviny je rovna výšce trojúhelníku na stranu (obr 46) Tento trojúhelník je pravoúhlý, proto pro zjištění úhlu pouţijeme vzorec nyní můţeme provést konečný výpočet c), Řešme trojúhelník (obr 47, 48), jehoţ vrcholy jsou,, a jehoţ rozměry jsou, cm cm, cm 23

27 Obr 47 Obr 48 Kolmý pohled na rovinu BCG Hledaná vzdálenost je rovna výšce tohoto trojúhelníku na stranu Vypočítejme nejdříve úhel, abychom mohli přistoupit ke konečnému výpočtu cos =, cm Příklad 2 Mějme jehlan se čtvercovou podstavou, délka hrany podstavy je rovna cm a výška je rovna cm Jak vzdálená je přímka od roviny? Obr 49 Obr 50 Kolmý pohled na rovinu S AB S CD V Řešme trojúhelník a hledejme výšku tohoto trojúhelníku (obr 49, 50), která vede z bodu na stranu K tomu abychom tuto výšku určili, je nutné znát úhel Jakmile ho budeme znát, dosadíme jeho hodnotu do funkce sinus odvozené z pravoúhlého trojúhelníku 24

28 cm Úlohy na procvičení 1) V krychli o délce hrany určete vzdálenost přímky a roviny a), b), c), 2) Mějme komolý jehlan se čtvercovými podstavami, hrana dolní podstavy je rovna cm, hrana horní podstavy je rovna cm, výškou je dána cm Jaká je vzdálenost mezi přímkou a rovinou? 3) Určete vzdálenost přímky a roviny v pravidelném tříbokém hranolu, jestliţe všechny jeho hrany mají délku cm 26 Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin Příklad 1 Máme pravidelný šestiboký hranol délku cm a délka úsečky je rovna cm, jehoţ hrana podstavy má a) jaká je vzdálenost rovin a? Budeme řešit pravoúhlý trojúhelník odvěsny (obr 51, 52), řešením je dvojnásobek cm Obr 51 Obr 52 Kolmý pohled podstavou 25

29 b) jaká je vzdálenost podstav hranolu? Vzdálenost podstav je vlastně výška tohoto hranolu (obr 53, 54) Obr 53 Obr 54 Kolmý pohled na rovinu ADD Známe délku úsečky cm Abychom mohli vypočítat výsledek, musíme znát délku úsečky Jednotlivé podstavy jsou tvořeny šesti rovnostrannými trojúhelníky, jejichţ délka hrany je Proto platí cm Nyní vypočítejme odvěsnu trojúhelníku cm Příklad 2 Je zadán hranol se čtvercovou podstavou Délka hrany podstavy má délku a výšku Tělesová úhlopříčka je dlouhá Určete vzdálenost a) rovin a Roviny jsou rovnoběţné, jsou to dvě protější roviny pláště hranolu (obr 55) Jelikoţ podstava je tvaru hranolu, vzdálenost těchto dvou rovin je rovna Tělesová úhlopříčka je rovna přeponě pravoúhlého trojúhelníku, jehoţ jedna odvěsna je rovna výšce a druhá úhlopříčce podstavy Obr 55 j Vzdálenost rovin a je rovna j b) rovin a 26

30 Roviny jsou rovnoběţné,, Vzdálenost těchto dvou rovin je rovna vzdálenosti výšky trojúhelníku procházející bodem od výšky trojúhelníku procházející bodem (obr 56, 57) Obr 56 Obr 57 Kolmý pohled na rovinu ACG Hledanou vzdálenost získáme řešením funkce sinus pro pravoúhlý trojúhelník, nejdříve ale musíme zjistit velikost úhlu, velikost úsečky je rovny délce úhlopříčky podstavy, tedy, výška hranolu je rovna j, j Úlohy na procvičení 1) V krychli o délce hrany určete vzdálenost rovin a) b) c) 2) Určete vzdálenost roviny podstavy pravidelného čtyřbokého jehlanu s rovinou, která prochází středy hran pláště Hrana podstavy jehlanu má velikost cm a hrana pláště je rovna cm 3) Mějme pravidelný osmistěn s délkou hrany cm (obr 58) Jaké je vzdálenost roviny od roviny? Obr 58 27

31 Kapitola 3 Kolmost a odchylky 31 Kolmost Jestliţe rovina obsahuje některou z bočních hran kolmého hranolu, je tato rovina kolmá k rovinám obou podstav (obr 59) Rovina obsahující hlavní vrchol a střed podstavy libovolného pravidelného jehlanu je kolmá k rovině podstavy (obr 60) Obr 59 Obr 60 Příklad 1 V krychli s dálkou hrany určete pravoúhlý průmět bodu do roviny a), b), Obr 61 Rovina je kolmá na rovinu, bod leţí v rovině (obr 61) Pravoúhlý průmět bude leţet na průsečíku těchto dvou rovin, coţ je přímka Spustíme-li kolmici z bodu na přímku, protnou se v bodě, coţ je i hledaný pravoúhlý průmět bodu do roviny Obr 62 Roviny podstav jsou kolmé k dané rovině, bod náleţí do roviny horní podstavy (obr 62) Průmět získáme spuštěním kolmice z bodu na průsečík rovin a, coţ je přímka Podstava má tvar čtverce, spuštěná kolmice protne přímku v bodě Bod je středem podstavy 28

32 c), Obr 63 Rovina je kolmá na boční stranu, jejíţ je bod součástí (obr 63) Proto bude hledaný kolmý průmět leţet na přímce, která je průsečíkem těchto dvou rovin Kolmice z bodu na úsečku je zároveň výškou rovnoramenného trojúhelníku na stranu Pro pata této výška leţí ve středu úsečky a je i hledaným průmětem bodu do roviny Příklad 2 Je dána krychle, ověřte, zda jsou následující útvary na sebe kolmé a), Ano, přímky jsou na sebe kolmé Pohybujeme se v krychli, takţe boční hrany jsou kolmé na obě podstavy (obr 64) Přímka je boční hranou a přímka patří do roviny podstavy, proto jsou na sebe kolmé Obr 44 b), Ano, jsou Udělejme si kolmý průmět zadaných přímek do roviny podstavy (obr 65) Vypočtěme odchylku těchto průmětů, Obr 65 Kolmý pohled horní podstavou c), (obr 66) Jestliţe je přímky kolmá k přímce i, kolmá k Průmět přímek a do roviny podstavy je stejný, tedy Úsečky a jsou úhlopříčky čtverce, coţ znamená, ţe jsou na sebe kolmé Proto i a jsou na sebe kolmé Obr 66 29

33 d), Rovina obsahuje přímku, která je kolmá k rovině (obr 67) Proto je i rovina kolmá k rovině Obr 67 Úlohy na procvičení 1) Mějme krychli, a) najděte přímku kolmou k rovině a procházející bodem b) najděte rovinu kolmou k přímce a procházející bodem c) určete, které z následujících rovin jsou na sebe kolmé:,,,, 2) V kvádru, jehoţ rozměry jsou,,, určete pravoúhlý průmět přímky do roviny a) b) c) d) 32 Odchylka přímek Příklad 1 V krychli, o délce hrany cm, vypočítejte odchylku přímek a) Přímky a jsou rovnoběţné (obr 68) Odchylka dvou rovnoběţných přímek je nulová, tedy Obr 68 b) Přímky a jsou různoběţky (obr 69) Odchylka těchto dvou přímek je rovna vnitřnímu úhlu trojúhelníku při vrcholu (obr 70) 30

34 Obr 69 Obr 70 Trojúhelník je rovnostranný, délka všech jeho stran je rovna velikosti úhlopříčky strany, tedy Součet vnitřních úhlů obecného trojúhelníku je roven 180, protoţe je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho vnitřní úhly jsou si rovny a mají velikost 60 m této úlohy je odchylka cm Příklad 2 Mějme kvádr o stranách odchylku přímek Vypočítejte (obr 71) Přímky jsou mimoběţky, proto výsledek bude řešením výpočtu odchylky přímek, kde a přímky a mají společný bod D Obr 71 Obr 72 m je velikost úhlu u vrcholu trojúhelníku (obr 72) Dopočítejme pomocí Pythagorovy věty délky jednotlivých stran Dosazením do Kosinové věty získáme velikost hledaného úhlu cos cos = 31,,

35 α = 47,96 Příklad 3 Je dám pravidelný pětiboký hranol s hranou podstavy a výškou Vypočítejte odchylku přímek a Přímky jsou mimoběţky Proto pro výpočet pouţijeme přímku, platí (obr 73) Obr 73 Obr 74 Musíme spočíst strany rovnoramenného trojúhelníku (obr 74), abychom mohli poté dopočítat velikost úhlu při vrcholu tohoto trojúhelníku délku úsečky budeme řešit pomocí trojúhelníku, kde úhel při vrcholu má velikost rovnu velikosti vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku, tedy cm, Na zbývající dva úhly rovnoramenného trojúhelníku vychází velikost Nyní pomocí Sinové věty dopočítáme délku úsečky A nyní Kosinovou větou určíme velikost úhlu cos cos = α = 55,11 32

36 Úlohy na procvičení 1) Je dán kvádr, jehoţ rozměry jsou cm, cm, cm Určete odchylku přímek a) a b) a c) a 2) Mějme hranol, jehoţ podstava má tvar pravidelného šestiúhelníku s délkou hrany cm a jehoţ výška je cm Jaká je odchylka přímek a) a b) a 3) Vypočítejte odchylku přímek v pravidelném čtyřbokém jehlanu, jehoţ hrana podstavy má velikost cm a jehoţ výška je cm a) a b) a c) a d) a 33 Odchylka přímky a roviny Příklad 1 V krychli, o délce hrany, vypočítejte odchylku přímky a roviny a), Kolmý průmět přímky do roviny je roven přímce (obr 75), takţe odchylku přímky vypočítáme jako odchylku přímek Obr 75 b), Přímka je kolmým průmětem přímky do roviny, odchylka přímek je rovna odchylce přímky (obr 76) Úsečka je úhlopříčkou strany, výpočet bude tedy vypadat 33

37 Obr 76 c), Kolmý průmět přímky do roviny je roven přímce, takţe odchylku přímky vypočítáme jako odchylku přímek (obr 77) Úsečka je úhlopříčkou strany, výpočet bude tedy vypadat Obr 77 d), Udělejme si kolmý průmět přímky do roviny, dostaneme přímku (obr 78) Odchylka přímky a roviny je rovna odchylce přímek Proveďme výpočet Obr 78 Příklad 2 Mějme hranol cm a jehoţ výška je, jehoţ podstava má tvar čtverce s délkou hrany cm Jaká je odchylka a) přímky od roviny? Kolmým průmětem přímky do roviny je přímka (obr 79), takţe odchylku vypočítáme jako Obr 79 34

38 b) přímky od roviny? m je odchylka roviny od pravoúhlého průmětu přímky na rovinu, tedy odchylka roviny a přímky (obr 80) Provedeme výpočet takto Obr 80 Úlohy na procvičení 1) Určete odchylku přímky a roviny v krychli o délce hrany : a), b), c), 2) Jaká je odchylka přímky a roviny, jestliţe máme jehlan se čtvercovou podstavou o délce hrany cm a s délkou hrany pláště cm? a), b), c), d), 34 Odchylka dvou rovin Příklad 1 Je dána krychle se stranou Jaká je odchylka rovin a) a? Přímka je kolmá na průsečnici rovin a zároveň leţí v rovině (obr 81) Přímka je kolmá na průsečnici a zároveň leţí v rovině Hledaná odchylka rovin je rovna odchylce přímek, tedy Obr 81 35

39 b) a Přímka je průsečnicí rovin (obr 82) Přímka je kolmá na a patří do roviny, přímka je kolmá na a patří do roviny Odchylka rovin je rovna odchylce přímek a Počítejme Obr 82 Příklad 2 Mějme pravidelný čtyřboký jehlan, hrana podstavy má délku cm a výška jehlanu je cm Vypočítejte odchylku rovin a) a Odchylka rovin je rovna velikosti odchylky přímek a (obr 83) Tuto odchylku vypočítáme takto Obr 83 b) a Velikost odchylky přímek a je rovna velikosti odchylky rovin (obr 84) Tato odchylka je rovna Obr 84 36

40 Úlohy na procvičení 1) Vypočítejte odchylky rovin v krychli s délkou hrany : a) a b) a c) a 2) Mějme zadané stejné těleso jako v řešeném příkladě 2 této kapitoly a) a b) a c) a 37

41 Kapitola 4 Objemy a povrchy těles 41 Přehled vzorců V této části si uvedeme vzorce pro výpočet objemů a obsahů těles, případně i dalších metrických vlastností, které je vhodné znát a které budou potřeba k úspěšnému řešení daných úloh Předpokládá se znalost vzorců pro řešení plochých (dvourozměrných) obrazců, přesto uvedeme vzorce, se kterými běţně nepracujeme Pro obsah či povrch budeme pouţívat značení S (případně pro obsah podstavy a pro obsah pláště) a pro objem značení V Úhlopříčky budeme značit jako, poloměry písmenem r a výšku jako Velikost úhlů budeme udávat ve stupních Pravidelný n-úhelník Obr 85 Pravidelný n-úhelník Kruhová úseč S = S = nebo Obr 86 Kruhová úseč Kruhová výseč L = S = (délka oblouku) Obr 87 Kruhová výseč Krychle V = S = = = Obr 88 Krychle 38

42 Kvádr S = V = Obr 89 Kvádr Kolmý hranol V = S = Obr 90 Kolmý hranol Rotační válec V = S = Obr 91 Rotační válec Rotační kužel S = V = Obr 92 Rotační kužel Rotační komolý kužel V = S = Obr 93 Rotační komolý kužel Jehlan V = S = Obr 94 Jehlan 39

43 Komolý jehlan V = S = Obr 95 Komolý jehlan Koule V = S = Obr 96 Koule Kulová úseč V = Vrchlík S = Obr 97 Kulová úseč Kulová výseč S = V = Obr 98 Kulová výseč Kulová vrstva V = Kulový pás S = Obr 99 Kulová vrstva 40

44 42 Příklady Příklad 1 Mějme pravidelný šestiboký jehlan o délce hrany podstavy a = 5 cm a délce boční hrany s = 7 cm Jaký bude objem a povrch tohoto jehlanu? Obr 100 Obr 101 Podstava Podstava jehlanu tvoří pravidelný šestiboký mnohoúhelník (obr 100, 101) Úhlopříčky podstavy dělí tento mnohočlen na šest stejných rovnostranných trojúhelníků (kaţdý z těchto trojúhelníků má velikost úhlu u středu podstavy rovnu, a jelikoţ zbývající dva úhly jsou stejné, vychází na kaţdý z nich úhel, jestliţe jsou si tedy všechny úhly v trojúhelníku rovny, jedná se o rovnostranné trojúhelníky) Obsah podstavy vypočítáme jako šestinásobek obsahu jednoho z těchto trojúhelníků, kde x je výška tohoto trojúhelníku cm 2 Pláště tvoří šest stejných rovnoramenných trojúhelníků s podstavou rovnu 4 cm a rameny délky 7 cm Postup bude podobný jako u výpočtu obsahu podstavy Povrch jehlanu je tedy roven,08 cm cm 2 Abychom vypočítali objem jehlanu, je potřeba zjistit výšku jehlanu Výšku získáme jednoduchým dosazením do Pythagorovy věty Nyní stačí dosadit do vzorce pro výpočet objemu cm cm Příklad 2 Objem čtyřbokého hranolu (kvádru) je roven 216 cm 3 Určete jeho povrch, jestliţe délky jeho hran jsou v poměru 41

45 Abychom mohli vypočítat povrch tohoto hranolu, musíme nejdříve určit rozměry jednotlivých stran (obr 102) Víme, ţe hrany jsou v poměru, coţ můţeme přepsat jako a = 2x, b = x, c = 4x, kde x je jednotka poměru Dosaďme tuto substituci do vzorce pro objem Obr 102 Takţe rozměry hranolu jsou a = 2x = 6 cm, b = x = 3 cm, c = 4x = 12 cm Nyní stačí dosadit do vzorce pro povrch cm cm Příklad 3 Kolik limonády se vejde do sklenice ve tvaru komolého kuţelu, jestliţe její dno má průměr 5 cm a její hrdlo má průměr 8 cm? Stěna sklenice má délku 12 cm Při výpočtu zanedbejme tloušťku stěn Pro výpočet objemu komolého kuţelu je nutné znát poloměry obou podstav a výšku tělesa (obr 103) Poloměry známe, je to polovina kaţdého ze zadaných průměrů cm a cm Výšku, která není uvedena, je nutné dopočítat Získáme ji řešením pravoúhlého trojúhelníku s délkou přepony s = 12 cm, délkou kratší odvěsny cm Abychom vypočítali výšku, tedy druhou odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku, musíme dopočítat úhel Ten získáme pomocí vzorce sin = = 7,18 Úhel, který nám vyšel, dosadíme do vzorce tan = v = Obr 103 Kolmý průmět na osu otáčení Nyní, kdyţ známe potřebné veličiny, dosadíme do vzorce pro objem komolého kuţelu V = = 402,13 cm 42

46 Příklad 4 Cisterna tvaru válce (poloţeného na bok) je dlouhá 5 m Jaký objem veze, jestliţe její poloměr je 1 m a není naplněna aţ po okraj Výška hladiny je 0,5 m pod výškou strany Objem převáţené látky získáme jako součin plochy podstavy válce, které se látka dotýká, a délky cisterny Plocha podstavy, které se převáţená látka nedotýká, má tvar kruhové úseče (obr 104), proto výsledný obsah podstavy bude roven obsahu kruhu o poloměru 1 m mínus obsah kruhové výseče o výšce 0,5 m Obr 104 Kolmý průmět na podstavu válce = Objem zjistíme po dosazení do vzorce V = cm 3 Příklad 5 Vypočtěte, jaký objem bude mít koule, jejíţ povrch je tvořen 314 čtverečky o délce hrany 2 cm Při výpočtu zanedbejme nerovnosti na povrchu takto vzniklé koule Ze zadání víme, ţe tato koule má povrch S = 314 = 1256 cm 2 Abychom mohli vypočítat její objem, musíme znát její poloměr, který získáme právě z výpočtu jejího povrchu S = V = cm 3 Příklad 6 Kolik kopečků zmrzliny uděláme pomocí naběračky ve tvaru kulového vrchlíku o poloměru 2,5 cm a výšce 4 cm Máme k dispozici vaničku zmrzliny o objemu 2 litry Při porcování budeme dodrţovat přesnou míru Nejdříve si vypočteme objem naběračky Je ve tvaru vrchlíku, takţe objem zjistíme dosazeními do vzorce pro objem kulové úseče 43

47 V cm 3 A nyní jen vydělíme objem vaničky objemem naběračky, jen si obě veličiny převedeme na stejné jednotky 2 l = 2 dm 3 = 2000 cm 3 vytvoříme 27 kopečků zmrzliny Úlohy na procvičení 1) Určete, jaký poloměr a jakou výšku bude mít káď ve tvaru válce o objemu 27 l, jestliţe její poloměr je roven polovině výšky 2) Čtyřboký hranol se čtvercovou podstavou má tělesovou úhlopříčku cm Určete rozměry tohoto hranolu, jestliţe poměry stran jsou 3) Vypočítejte hranu krychle vepsané do koule, jejíţ povrch je roven 763 cm 2 4) Jaký je objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jestliţe hrana jeho podstavy má délku 6 cm a jeho boční hrana svírá s rovinou podstavy úhel 60 5) Určete povrch a objem pravidelného osmistěnu s délkou hran 8 cm 6) Mějme komolý kuţel s poloměry podstav 2 cm a 8 cm, jehoţ výška je rozdělena dvěma rovinami, které jsou rovnoběţné s podstavou, na tři stejné části Vašim úkolem bude zjistit poměr objemů takto vzniklých těles 7) Jaký bude poloměr míče, který jsme získali sešitím 12 pětiúhelníků a 20 šestiúhelníků, jejichţ délka hrany je 5 cm Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo 8) Jaký objem koláče sníme, jestliţe jsme dostali jednu osminu koláče, který měl průměr 30 cm a vykynul do výšky 3 cm? 9) Určete povrch a objem hranolu ABCDEF s podstavou tvaru rovnostranného trojúhelníku o délce hrany 3 cm a délkou příčky z bodu A do středu strany EF rovnu cm Obr ) Mějme pravidelný komolý čtyřboký jehlan s výškou 9 cm, jehoţ objem je 453 cm 3 Jaká jsou rozměry hran podstav, jestliţe druhá podstava je o 56 cm 2 větší neţ první? 11) Mějme krychli a kouli o stejném povrchu, a to Jaký bude rozdíl objemů těchto dvou těles? 12) Jaká bude váha 100 hřebíků znázorněných na obrázku (těleso je sloţeno z kulové úseče, válce a kuţele) Hustota materiálu je 7,6 g/cm 3 Spoj mezi hlavičkou a tělem zanedbejme (obr 106) 44

48 Obr ) Kolik zbude volného místa ve válci, jehoţ výška je 15 cm a poloměr 5 cm, jestliţe do něj vloţíme kulovou výseč, jejíţ poloměr je roven cm a její osa rotace je shodná s osou rotace válce 14) Z barevného skla budeme tvořit kouli o průměru 24 cm, která se bude skládat z šesti vodorovných, stejně vysokých, kulových vrstev, a to v barevném provedení: ţlutá, modrá, červená a opět ţlutá, modrá, červená Vašim úkolem bude zjistit, kolik bude potřeba barevného materiálu (rozděleno podle jednotlivých barev) 15) Kolik kuliček navrstvíme na sebe, aniţ by nějaká přesahovala horní hranu hranolu, jestliţe je budeme vkládat do nádoby, jejíţ podstava má tvar pravidelného pětiúhelníku o délce hrany 1,5 cm a její výška je 15 cm Jednotlivé kuličky se budou těsně dotýkat stěn hranolu 43 Objemy a povrchy řešené pomocí posloupností Pro zajímavost si nyní ukáţeme, stereometrické výpočty lze provádět i s pomocí nekonečných geometrických řad Uvedu pouze ukázkové příklady, ve sbírkách tyto příklady příliš neobjevují Nicméně existuje mnoţství kombinací těles, pro která je tento druh výpočtů vhodný Fantazii se meze nekladou Předpokládáme základní znalosti výpočtu posloupností, teorie dostupná v Uvedeme pouze postačující vzorec Součet nekonečné geometrické řady je roven, pro Příklad 1 Máme krychli s délkou hrany 8 cm Vepíšeme do ní pravidelný čtyřboký jehlan, jehoţ výška je rovna výšce krychle Do tohoto jehlanu vepíšeme opět krychli a pokračujeme takto dál Vypočtěte součet objemů takto vzniklých těles Krychle dosahuje vţdy do poloviny výšky předcházejícího jehlanu, z toho můţeme odvodit veličiny, které budeme potřebovat k vyřešení příkladu Nejdříve výpočet rozlišme na dvě části, první se bude týkat krychlí a druhá jehlanů Krychle má vţdy poloviční rozměr strany neţ krychle Obr 107 Pohled boční stranou předcházející,, 45

49 Součet nekonečné geometrické řady, která je tvořena objemy krychlí, je rovna Jehlan má rozměr podstavy a výšku stejné jako krychle, do které je vepisován Po dosazení do vzorce pro objem jehlanu získáme, Nyní můţeme sečíst i objemy jehlanů Celkový součet těles je potom roven Příklad 2 Mějme kouli, do níţ budeme vepisovat střídavě krychle a koule Krychle se svými vrcholy dotýká pláště koule, vepisovaná koule se zase dotýká středů stran krychle Vypočtěte obecně součet povrchů vzniklých těles Obr 108 Pohled na řez tělesem Koule má polomer, jestliţe do ní vepíšeme krychli, tělesová uhlopříčka krychle bude rovna dvojnásobku poloměru opsané koule, tedy Nyní, kdyţ do této vzniklé krychle vepíšeme krychli, její poloměr bude roven polovině hrany, tedy Touto cestou nám vznikne posloupnost kroky koule (r) krychle ( ) Na základě této tabulky můţeme dopočíst povrchy těles a určit jejich součet Věnujme se nejdříve kouli, povrch vypočteme vzorcem :,, 46

50 To stejné provedeme s krychlí, :,, Výsledný součet tedy je roven j 2 47

51 Výsledky 2 VZDÁLENOSTI 21 Vzdálenost dvou bodů 1) a) cm, b) cm, c) cm, d) cm; 2) a) cm, b) cm, c) cm 22 Vzdálenost bodu a přímky 1) a) cm, b) cm c) cm; 2) a) cm, b) cm, c) cm, d) cm; 3) a) cm, b) cm 23 Vzdálenost dvou přímek 1) a) cm, b) cm; 2) a) cm, b) cm 24 Vzdálenost bodu od roviny 1) a), b), c) ; 2) a), b) c) 25 Vzdálenost přímky a roviny 1) a), b), c) ; 2) ; 3) 26 Vzdálenost rovnoběžných rovin 1) a), b), c) ; 2) ; 3) 3 ODCHYLKY 31 Kolmost 1) a), b), c),, ; 2) a), b), c), d) 32 Odchylka přímek 1) a), b), c) ; 2) a), b) ; 3) a), b), c), d) 33 Odchylka přímky a roviny 1) a), b), c) ; 2) a), b), c), d) 34 Odchylka dvou rovin 1) a), b), c) ; 2) a), b), c) 4 OBJEMY A POVRCHY 42 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11), ; 12) ; 13) ; 15) ; 14) 48

52 Literatura [1] BUŠEK, Ivan Středoškolská matematika ve vzorcích a větách 2 vyd, 1 vyd v Prometheu Praha : Prometheus, s ISBN [2] ČERMÁK, Pavel; ČERVINKOVÁ, Petra Odmaturuj! z matematiky Vyd 3 opr Brno : Didaktis, s ISBN [3] FUCHS, Eduard; KUBÁT, Josef Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia 1 vyd Praha : Prometheus, s ISBN [4] KADLEČEK, Jiří Geometrie v rovině a v prostoru : pro střední školy 1 vyd Praha : Prometheus, s ISBN [5] MAŠKA, Otokar Řešené úlohy z matematiky : stereometrie, trigonometrie, analytická geometrie Vyd 1 Praha : SNTL - Státní nakladatelství technické literatury, s [6] ODVÁRKO, Oldřich, et al Matematika : pro II ročník gymnázií 1 vydání Praha : Státní pedagogické nakladatelství, s [7] POMYKALOVÁ, Eva Matematika pro gymnázia : stereometrie 3 vyd Praha : Prometheus, s ISBN