PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07"

Transkript

1 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ], C[, 6, ]. Určete a) Obvod b) Obsah c) Vnitřní úhly d) Rovnici roviny, ve které trojúhelník leží a tuto rovinu nakreslete tak, že nakreslíte její průsečnice se souřadnými rovinami xy, xz, yz, do stejného obrázku nakreslete i daný trojúhelník. e) Rovnice těžnic a souřadnice těžiště T f) Rovnice výšek a souřadnice ortocentra V 1.1 Obvod Strany v trojúhelníku označíme podle běžného způsobu. a = BC = (4 ) + (5 6) + ( ) = = 1 = 4.58 b = AC = ( ) + ( 3 6) + (3 ) = = 8 = 9.6 c = AB = ( 4) + ( 3 5) + (3 ) = = 89 = 9.43 Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= = Obsah K výpočtu obsahu použijeme Heronův vzorec. Tedy pro obsah platí S = s(s a)(s b)(s c) = 11.54( )( )( ) =.5j kde s = a+b+c = = Obsah pomocí vektorového součinu S = 1 (4, 8, 3) (, 9, 1) = 1 ( = 1 (19, 4, 36) = =.45, 4 3 1, ) Tento výsledek je přesnější, protože docházelo k menšímu zaoukrouhlování než při výpočtu Heronovým vzorcem. 1

2 1.3 Vnitřní úhly Protože známe velikosti stran v trojúhelníku, vypočteme vnitřní úhly pomocí Kosinové věty. a = b + c bc cos(α) bc cos(α) = b + c a ( b + c a ) α = arccos bc ( ) α = arccos α = arccos(.88) = 8.6 stupňů podobně b = a + c ac cos(β) ac cos(β) = a + c b ( a + c b ) β = arccos ac ( ) β = arccos β = arccos(.3) = 71. stupňů a ještě poslední úhel c = a + b ab cos(γ) ab cos(γ) = a + b c ( a + b c ) γ = arccos ab ( ) γ = arccos γ = arccos(.17) = 8. stupňů Součet úhlů v trojúhelníku musí dát 18 stupňů. Vzhledem k zaokrouhlení vznikne malá chyba. Výpočet vnitřního úhlu pomocí skalárního součinu cos(α) = cos(α) = AB AC AB AC (4, 8, 3) (, 9, 1) ( 3) ( 1) cos(α) = ( 3)( 1) 89 8

3 cos(α) =.88 α = arccos(.88) α = 8.6 stupňů 1.4 Rovnice roviny, ve které trojúhelník leží K určení parametrických rovnic roviny potřebujeme jeden bod, který v té rovině leží a dva směrové vektory této roviny. Můžeme např. zvolit bod A a vektory AB a AC. AB = B A = (4, 5 ( 3), 3) = (4, 8, 3) AC = C A = (, 6 ( 3), 3) = (, 9, 1) Tedy rovina (A[, 3, 3], AB = (4, 8, 3), AC = (, 9, 1)) je dána těmito rovnicemi x = 4t y = 3 + 8t + 9s z = 3 3t s, t,s R Z parametrických rovnic odvodíme obecnou rovnici roviny vyloučením parametrů t a s. x = 4t y = 3 + 8t + 9s z = 3 3t s t = x y = x + 9s z = x 3 x+y 4 9 s = 3 x+y 36z = 18 7x 1 + 8x 4y 9 19x + 4y + 36y 96 = Obecná rovnice roviny tedy je : 19x + 4y + 36z 96 = Průsečíky roviny se souřadnými rovinami xy, xz, a yz Průsečík roviny s osou z, tj. x=, y= Průsečík roviny s osou y, tj. x=, z= z 96 = z = =.7 Průsečík roviny s osou x, tj. y=, z= y = y = 96 4 = 4 19x = x = = 5.1 3

4 3,5 1,5 z 1, y 4 x Těžnice a Těžiště Těžnice t BC je přímka, která prochází středem strany BC a protějším vrcholem A. Podobně to platí o těžnicích t AC a t AB. Rovnice těchto těžnic se napíší ze znalosti dvou bodů, kterými procházejí. Souřadnice těžiště T se pak spočítá jako průsečík alespoň dvou těžnic. Rovnice těžnic a) Těžnice na stranu BC značí se t BC prochází středem strany BC, který označíme S BC a vrcholem trojúhelníku A[, 3, 3]. Střed strany BC vypočteme takto S BC = B + C = Směrový vektor těžnice je [4, 5, ] + [, 6, ] = [ 4 +, 5 + 6, + ] = [, 5.5, 1] S BC A = A S BC = (, 3 5.5, 3 1) = (, 8.5, ) Těžnice t BC je dána bodem A[, 3, 3] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto x = t y = 3 8.5t z = 3 + t t R S BC A = (, 8.5, ) a její b) Těžnice na stranu AC značí se t AC prochází středem strany AC, který označíme S AC a vrcholem trojúhelníku B[4, 5, ]. Střed strany AC vypočteme takto S AC = A + C = [, 3, 3] + [, 6, ] [ + = 4, 3 + 6, 3 + ] = [, 1.5,.5]

5 Směrový vektor těžnice je S AC B = B S AC = (4, 5 1.5,.5) = (4, 3.5,.5) Těžnice t AC je dána bodem B[4, 5, ] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto S AC B = (4, 3.5,.5) a její x = 4 + 4t y = t z =.5t, t R c) Těžnice na stranu AB značí se t AB prochází středem strany AB, který označíme S AB a vrcholem trojúhelníku C[, 6, ]. Střed strany AB vypočteme takto S AB = A + B = Směrový vektor těžnice je [, 3, 3] + [4, 5, ] [ + 4 =, 3 + 5, 3 + ] = [, 1, 1.5] S AB C = C S AB = (, 6 1, 1.5) = (, 5,.5) Těžnice t AB je dána bodem C[, 6, ] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto S AB C = (, 5,.5) a její x = t y = 6 + 5t z = +.5t, t R Těžiště T najdeme jako průsečík těžnic. Stačí tedy nalézt alespoň průsečík dvou těžnic např. t AB a t AC. Obě těžnice jsou jako přímky dány parametrickými rovnicemi. Jejich průsečík-těžiště T musí ležet na obou přímkách, proto se x-ové a y-ové souřadnice musí rovnat. Tady je třeba ale změnit jednu věc a to tu, že parametr t v těžnicí t AB a v těžnici t AC je různý a pokud s oběma těžnicemi počítáme dohromady jako ted, musíme označit parametr v obou rovnicích různě. Parametr v rovnicích těžnice t AB označíme t a parametr v rovnicích těžnice t AC označíme s. Položíme tedy sobě rovny x-ové rovnice a y-ové rovnice a řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých t a s. x = t x = 4 + 4s y = 6 + 5t y = s z = +.5t z =.5s x = x y = y z = z t = 4 + 4s 6 + 5t = s +.5t =.5s t = s 6 + 5( s) = s +.5( ) = 3.5( ) 3 t = s = s t = 9 = 13.5s 3 s = 3 5

6 Nyní můžeme dosadit vypočtené t do parametrických rovnic těžnice t AB a obdržíme souřadnice těžiště T. x = t = ( 3 ) = 4 3 y = 6 + 5t = 6 + 5( 3 ) = 8 3 z = +.5t = +.5( 3 ) = 5 3, t R Stejné souřadnice bychom dostali, kdybychom dosadili výsledný parametr s do parametrických rovnic těžnice t AC. Toto je tedy těžiště trojúhelníku T[ 4 3, 8 3, 5 3 ]. Těžiště trojúhelníku můžeme zjistit mnohem jednodušeji ze vzorce T = A + B + C 3 Dosad te tedy naše souřadnice bodů trojúhelníka a dostaneme T = A + B + C 3 Tedy = [, 3, 3] + [4, 5, ] + [, 6, ] 3 Vidíme, že jsme dostali stejné souřadnice. 1.6 Výšky a Ortocentrum T[1.33,.67, 1.67] [ = 3, , ] [ 4 = 3 3, 8 3 3], 5 Výška v BC je přímka, která je kolmá ke straně BC a prochází protějším vrcholem A. Podobně to platí o výškách v AC a v AB. Rovnice výšky se napíše ze znalosti dvou bodů, kterými prochází a postup bude nyní komplikovanější než byl v rovině. Důvod je ten, že nemůžeme jednoduše vzít normálový vektor ke straně, protože takových normálových vektorů je nekonečně mnoho a tvoří celou rovinu. Prvním bodem je protější vrchol, to je jasné. Druhý bod určíme jako průsečík roviny procházející protějším vrcholem, která je kolmá na příslušnou stranu a touto stranou. Rovnice výšek a) Výška na stranu BC značí se v BC je kolmá na stranu BC a prochází vrcholem trojúhelníku A[, 3, 3]. Nejdříve si určíme rovnici strany BC=a: Strana BC je dána např. bodem B[4, 5, ] a směrovým vektorem s BC = ( 4, 1, ) BC(B, s BC ) : x = 4 4t y = 5 + t z = t, t <, 1 > 1) Nyní je třeba určit rovinu σ BC, která prochází bodem A a je kolmá ke straně BC. Tedy směrový vektor úsečky BC je zároveň normálovým vektorem roviny σ BC. 6

7 σ BC : ax + by + cz + d =, kde (a,b,c) = ( 4, 1, ) tedy σ BC : 4x + y + z + d = d určíme z toho, že rovina σ BC prochází bodem A: A[, 3, 3] σ BC : ( 4) + ( 3) d =, odtud d=-3 tedy σ BC : 4x + y + z 3 = ) Ted určíme průsečík P BC roviny σ BC se stranou BC tím, že dosadíme parametrické rovnice strany BC tj. x, y, z do rovnice roviny σ BC a dostaneme rovnici pro parametr t: 4(4 4t) + (5 + t) + (t) 3 = t t + 4t 3 = 1t = 14 t = 14 1 =.67 tedy dosazením do rovnic strany BC máme x = 4 4t = = 1.33 y = 5 + t = = 5.67 z = t =.67 = 1.33 tedy P BC = [1.33, 5.67, 1.33] 3) Výška v BC je dána body A[, 3, 3] a P BC [1.33, 5.67, 1.33], směrový vektor P BC A = A P BC = ( 1.33, , ) = ( 1.33, 8.67, 1.67) a její prametrické rovnice jsou tyto x = 1.33t y = t z = t, t R b) Výška na stranu AB značí se v AB je kolmá na stranu AB a prochází vrcholem trojúhelníku C[, 6, ]. Nejdříve si určíme rovnici strany AB=c: Strana AB je dána např. bodem A[, 3, 3] a směrovým vektorem s AB = (4, 8, 3) AB(A, s AB ) : x = 4t y = 3 + 8t z = 3 3t, t <, 1 > 1) Nyní je třeba určit rovinu σ AB, která prochází bodem C a je kolmá ke straně AB. Tedy směrový vektor úsečky AB je zároveň normálovým vektorem roviny σ AB. σ AB : ax + by + cz + d =, kde (a,b,c) = (4, 8, 3) tedy σ BC : 4x + 8y 3z + d = 7

8 d určíme z toho, že rovina σ AB prochází bodem C: C[, 6, ] σ AB : d =, odtud d=-4 tedy σ BC : 4x + 8y 3z 4 = ) Ted určíme průsečík P AB roviny σ AB se stranou AB tím, že dosadíme parametrické rovnice strany AB tj. x, y, z do rovnice roviny σ AB a dostaneme rovnici pro parametr t: 4(4t) + 8( 3 + 8t) 3(3 3t) 4 = tedy dosazením do rovnic strany AB máme 16t t 9 + 9t 4 = x = 4t = 4.84 = t = 75 t = =.84 y = 3 + 8t = = 3.74 z = 3 3t = =.47 tedy P AB = [3.37, 3.74,.47] 3) Výška v AB je dána body C[, 6, ] a P AB [3.37, 3.74,.47], směrový vektor P AB C = C P AB = ( 3.37, ,.47) = ( 3.37,.6, 1.53) a její prametrické rovnice jsou tyto x = 3.37t y = 6 +.6t z = t, t R Ortocentrum V se určí jako průsečík výšek v AB a v BC. Položíme tedy sobě rovny x-ové, y-ové, z-ové souřadnice obou výšek a řešíme tři rovnice pro dvě neznámé t,s. V druhé výše v BC musíme odlišit parametr a tak ho přepíšeme na s. Řešíme soustavu dvou rovnic, když položíme sobě rovny y-ové a z-ové souřadnice a pak dosazením do do třetí rovnice pro rovnost x-ových souřadnic zjistíme, jestli je výpočet proveden správně. V našem případě malá chyba vznikla zaokrouhlováním. y = y z = z x = x 6 +.6t = s t = s 3.37t = 1.33s t = s ( s) = s = 1.5 t =.37 s =.94 Dosadíme tedy parametr t do parametrických rovnic pro výšku v AB a dostaneme souřadnice ortocentra V. Stejné sořadnice bychom dostali dosazením parametru s do parametrických rovnic pro výšku v BC. x = 3.37t = 3.37(.37) = 1.5 y = 6 +.6t = 6 +.6(.37) = 5.16 z = t = (.37) =

9 Ortocentrum V V [1.5, 5.16, 1.43] Obsah, obvod a těžiště obrazce Je dán obrazec v rovině ohraničený parabolou y = x 6x+5 a dvěma přímkami y = x+1 a y =.5x 3. Tento obrazec nakreslete a určete jeho a) Obsah b) Obvod c) Těžiště.1 Obsah Vyjdeme ze základního vzorce pro obsah oblasti, která je na intervalu < a,b > ohraničená zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x). Nezáleží na tom, zda jsou funkce kladné nebo záporné, pouze musí platit, že f(x) g(x) na < a,b >. Potom platí, že S = b a (f(x) g(x)) dx Z grafu vidíme, že náš obrazec je zhora ohraničen f(x) = x + 1 ale zdola se to nedá napsat jako jedna funkce, ale musí se to rozdělit na 3 části g(x) = x 6x + 5, x < A,B > g(x) =.5x 3, x < B,C > g(x) = x 6x + 5, x < C,D > 9

10 kde A a D jsou průsečíky paraboly a přímky x+1, B a C jsou průsečíky paraboly a přímky.5x-3. Tedy obsah našeho obrazce je dán součtem obsahů 3 jeho částí. Proto náš obrazec rozdělíme na 3 části a na každou část můžeme použít základní vzorec. S = S 1 + S + S 3 B ( S = (x + 1) (x 6x + 5) ) C dx + ((x + 1) (.5x 3)) dx A D + C ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx B Nyní spočítáme body A, B, C, D: A,D : x + 1 = x 6x + 5 x 7x + 4 = x 1, = A =.63, D = 6.37 = B,C :.5x 3 = x 6x + 5 x 6.5x + 8 = x 1, = B = 1.65, D = 4.85 = Po úpravě a dosazením dostaneme S = [ x3 ( x + 7x 4) ) 4.85 dx + (.5x + 4)) dx + ] 1.65 [ = 3 + 7x 4x +.63 = = x + 4x ] [ x x 4x ( x + 7x 4) ) dx ] Obvod K výpočtu obvodu obrazce potřebujeme vědět, jak vypočítat délku libovolné křivky. K tomu použijeme základní vzorec pro délku části funkce f(x) na intervalu < a, b >, který je b D = 1 + (f (x)) dx a Náš obrazec se skládá ze 4 stran D 1, D, D 3, D 4, kde D 1 je levá parabola, D je spodní úsečka, D 3 je pravá parabola a D 4 je horní úsečka. D = D 1 + D + D 3 + D 4 1

11 = + B A D A 1.65 C 1 + ((x 6x + 5) ) dx ((x + 1) ) dx B D 1 + ((.5x 3) ) dx ((x 6x + 5) ) dx C = 4x 4x + 37dx dx + 4x 4x + 37dx =.34 ( ) + [ ] x ( ) + [ ] 6.37 x.63 =.17( ) + 1.5( ) +.55( ) + ( ) = = 3.78 kde 1 + ( (x 6x + 5) ) = 1 + (x 6) = 1 + 4x 4x ( (.5x 3) ) = 4x 4x + 37 = 1 + (.5) = 1.5 D 1 a D 3 kvůli složitosti výpočtu primitivní funkce, jsme spočítali přibližně pomocí Lichoběžníkova pravidla. Při výpočtu D 1 jsme interval <.63, 1.65 > rozdělili na 3 díly, takže dělící body jsou.63,.97, 1.31, Krok h=.34. Při výpočtu D 3 jsme interval < 4.85, 6.37 > rozdělili také na 3 díly, takže dělící body jsou 4.85, 5.36, 5.87, Krok h=.51. Zde jsme zaokrouhlili krok z.566 na.51 a proto místo posledního bodu 6.38 bereme náš bod D=6.37. Lichběžníkovým pravidlem jsme tedy přibližně vypočetli, že délky částí parabol jsou D 1 = 3.93 a D 3 = Přesné hodnoty těchto délek jsou D 1 = 3.93 a D 3 = 8.8. Z toho je vidět, že u D 1 se to s přesným řešením na desetinná místa shoduje a D 3 je shoda taky dobrá..3 Těžiště K výpočtu souřadnice těžiště T[x T,y T ] použije základní vzorce. Mějme tedy obrazec, který je na intervalu < a,b > ohraničen zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x). Nezáleží na tom, zda jsou funkce kladné nebo záporné, pouze musí platit, že f(x) g(x) na < a,b >. Potom souřadnice těžiště T se spočítají podle vzorců kde S = x T = S y S, b a y T = S x S (f(x) g(x)) dx 11

12 S x = 1 S y = b a b a ( (f(x)) (g(x)) ) dx x (f(x) g(x)) dx V našem případě už máme S spočítané z a) S=6.13. Zbývá spúočítat S x a S y. Zde musíme postupovat stejně jako při výpočtu obsahu S a rozdělit integrál na 3 části. S x = S x1 + S x + S x3 S x = 1 B ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx + 1 C ( (x + 1) (.5x 3) ) dx A B + 1 D ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx C = ( x 4 + 1x 3 45x + 6x 4 ) dx (.75x + 5x 8 ) dx ( x 4 + 1x 3 45x + 6x 4 ) dx 4.85 =.5 [.x 5 + 3x 4 15x x 4x ] [.5x 3 +.5x 8x ] [.x 5 + 3x 4 15x x 4x ] 6.37 =.5( ) = S y S y = = S y1 + S y + S y3 = + B A D + C x ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx + x ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx ( x 3 + 7x 4x)dx + ( x 3 + 7x 4x)dx C B (.5x + 4x)dx x ((x + 1) (.5x 3)) dx + [.5x x 3 x ] [.17x 3 + x ] 4.85 [.5x x 3 x ] = = 9.81 Odtud můžeme dosadit do vzorců Těžiště T je dáno x T = S y S = = 3.55, y T = S x S = = 1.95 T[3.55, 1.95] 1

13 3 Objem a Povrch rotačního tělesa Je dán obrazec v rovině ohraničený parabolou y =.1x + x + 1 a přímkou y = 8. Rotací tohoto obrazce kolem osy x vznikne rotační těleso. Načrtněte toto těleso a určete jeho a) Objem b) Povrch 3.1 Objem Vyjdeme ze základního vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa, které vznikne tak, že kolem osy x rotuje funkce f(x), která je dána na intervalu < a,b > a je tam kladná. Objem tohoto rotačního tělesa pak vypočteme za vztahu S = π b a (f(x)) dx Pokud rotační těleso vznikne rotací obrazce ohraničeného zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x) na intervalu < a,b >, přičemž celý ten obrazec je nad osu x, pak objem vzniklého tělesa spočítáme ze vztahu S = π b a ( (f(x)) (g(x)) ) dx V našem případě využijeme druhý vzorec, kde f(x) =.1x +x+1 a g(x) = 8 Je třeba určit průsečíky obou funkcí, budou to dva body A a B:.1x + x + 1 = 8.1x + x + = x 1, = (.1). A = 1.71, B = Pak objem našeho tělesa je S = π B A ( (.1x + x + 1) (8 ) ) dx 13

14 11.71 ( = π.1x 4.x 3 x + x + 36 ) dx 1.71 = π [.x 5.5x 4.33x 3 + 1x + 36x ] = Povrch I nyní vyjdeme ze základního vzorce pro výpočet povrchu pláště rotačního tělesa, které vznikne tak, že kolem osy x rotuje funkce f(x), která je dána na intervalu < a,b > a je tam kladná. Povrch pláště tohoto rotačního tělesa pak vypočteme za vztahu b S = π f(x) 1 + (f (x)) dx a V našem případě těleso má vnější povrch P 1 a vnitřní povrch P. Celkový povrch tělesa P je součtem obou povrchů P 1 a P. Pro výpočet obou použijeme základního vzorce. P = P 1 + P B = π (.1x + x + 1) 1 + ((.1x + x + 1) ) dx + π to A (.1x + x + 1) x.4x + dx + π = π 8dx = π 4.47 ( (.1( 1.71) ).4( 1.71).4( 1.71) + + ( ) ( ) ( ) ) + π [8x] = π (.35( )) + 16π(11.71 ( 1.71)) = = B A ((8) ) dx 14

15 4 Určení dráhy z rychlosti Těleso se pohybuje rychlostí v(t) = 4t 1 t + 3t + Určete a) Jakou rychlost mělo těleso ve sekundě b) Jakou těleso urazilo dráhu ve sekundě, jestliže v čase těleso už urazilo 1 metr. 4.1 Rychlost 4. Dráha v() = = 14m.s 1 s(t) = v(t)dt = (4t 1 t + 3t + )dt = = 1 t (.8t +.16) + t 3 + t + C (4t 1 t )dt + (3t + )dt kde první integrál vypočteme metodou per-partes (4t 1 t )dt u = 4t u = 4 v = 1 t v = 1 t ln(1) ( ) = 4t 1 t ( ) 4 1 t dt = ln(1) ln(1) ln(1) t1 t + ln(1) = ln(1) t1 t + ln(1) 1 t ( ) ln(1) = 1 t (.8t +.16) 1 t dt Konstantu C určíme z podmínky, že těleso v čase už urazilo 1 metr, tj. s() = 1 : 1 ( ) C = C = 1 C = 1.16 Tedy dráha tělesa je dána rovnicí s(t) = 1 t (.8t +.16) + t 3 + t Dráhu, kterou těleso urazilo ve sekundě dostaneme dosazením t= do s(t): s() = 1 ( ) = 13.16m 15

16 t Rychlost Draha 16

17 5 Určení rychlosti a dráhy ze zrychlení Těleso se pohybuje se zrychlením a(t) = 4 + t 3 4 t + (.3) t Určete a) Jaké zrychlení mělo těleso ve 3 sekundě b) Jakou rychlost mělo těleso ve 3 sekundě, jestliže v čase se těleso pohybovalo rychlostí metry za sekundu. c) Jakou těleso urazilo dráhu ve 3 sekundě, jestliže v čase těleso už urazilo 4 metry. 5.1 Zrychlení 5. Rychlost a(3) = (.3) 3 = 75..m.s v(t) = a(t)dt = (4 + t 3 4 t + (.3) t )dt = 4dt + t 3 4 t dt + (.3) t dt = 4t t 17 + (.3)t ln(.3) + C 1 = 4t t 17.83(.3) t + C 1 kde t 3 4 t dt = t 3 t 1 4 dt = t 13 4 dt = t dt = 8 17 Konstantu C 1 určíme z podmínky, že těleso v čase se pohybovalo rychlostí m.s-1, tj. v() = : (.3) + C 1 =.83 + C 1 = 4 t 17 C 1 =.83 Tedy rychlost tělesa je dána rovnicí v(t) = 4t t 17.83(.3) t +.83 Ry chlost, kterou těleso mělo ve 3 sekundě dostaneme dosazením t=3 do v(t): v(3) = (.3) = 19.71m.s Dráha s(t) = v(t)dt = (4t t 17.83(.3) t +.83)dt = t t ln (.3) (.3)t +.83t + C = t t (.3) t +.83t + C 17

18 kde.47 4 t 17 dt =.47 t 17 4 dt =.47 t =.9 4 t 1 Konstantu C určíme z podmínky, že těleso v čase už urazilo 4 metry, tj. s() = 4 : (.3) C = C = 4 C = 3.31 Tedy dráha tělesa je dána rovnicí s(t) = t t (.3) t +.83t Dráhu, kterou těleso urazilo ve 3 sekundě dostaneme dosazením t=3 do s(t): s() = (.3) = 58.6m t Zrychleni Rychlost Draha 18

19 6 Obecný trojúhelník Je dán obecný trojúhelník, jehož jedna jeho strana má délku 5 cm. Zbylé dvě strany označte jako proměnné x a y. Určete a) Pro která x a y je to vůbec trojúhelník, tzn. definiční obor všech následujících funkcí a tuto množinu nakreslete b) Obvod trojúhelníku jako funkci D(x,y) c) Obsah trojúhelníku jako funkci S(x,y) d) Velikost jednoho vnitřního úhlu jako funkci α(x,y) e) Velikost výšky na stranu, která je číselně daná jako funkci v(x,y) 6.1 Definiční obor Všechny strany trojúhelníku musí být větší než nula, odtud x,y >. navíc musí být splněny trojúhelníkové nerovnosti-součet libovolných dvou stran trojúhelníku musí být větší než ta třetí. x + y > 5, x + 5 > y, y + 5 > x, x >, y > y > 5 x, y < 5 + x, y > x 5, Tyto nerovnice určují v rovině xy následující oblast a to je definiční obor všech funkcí. Hranice této oblasti do definičního oboru nepatří

20 6. Obvod Obvod D je dán jako součet všech stran v trojúhelníku a protože závisí na hodnotách dvou stran x, y v trojúhelníku, píšeme D(x,y) = 5 + x + y x -5 y 5 1-1

21 6.3 Obsah K určení obsahu použijeme Heronův vzorec, protože je trojúhelník zadán třemi stranami kde a=x, b=y, c=5. S = S(x, y) = S(x, y) = S = s(s a)(s b)(s c), s = a + b + c s(s a)(s b)(s c) ( x + y + 5 x + y + 5 ) ( ) ( ) x + y + 5 x + y + 5 x y x y x y + 65 x + 65 y y x -1 1

22 6.4 Vnitřní úhel Vyjdeme z Kosinové věty např. pro úhel α: = b + c bc cos(α) ( b + c a ) α = arccos bc ( y + 5 x ) α(x, y) = arccos y 5 ( 5 x + y ) α(x, y) = arccos 1y a 3,5 1,5 1, y 5 5 x

23 6.5 Výška Vyjdeme ze vztahu pro výšku na stranu c: sin(α) = v y v = y sin(α) ( ( 5 x + y )) v(x, y) = y sin arccos 1y ( )) 5 v(x,y) = y x + y 1 cos (arccos 1y ( ) 5 x + y v(x,y) = y 1 1y y x 3

24 7 Tečná rovina a normála Napište rovnici tečné roviny a normály funkce z(x,y) v bodě A a nakreslete to. a) z(x,y) = 3x 3 y 4 tan(x 5y), A[ 1, 1, ] b) z(x,y) = x 8 x y 3, A[ 1, 1, ] 7.1 První příklad K napsání tečné roviny v bodě využijeme základní vzorec. Tečná rovina TR k funkci z(x,y) v bodě A[x,y,z ] je popsána touto rovnicí TR : z z = z(x,y ) x (x x ) + z(x,y ) (y y ) y V našem případě je x = 1 a y = 1, z je třeba vypočítat ze z(x,y) = 3x 3 y 4 tan(x 5y) z = z(x,y ) = z( 1, 1) = 3( 1) tan(( 1) 5 1) = 3 tan( 7) =.6 Dále potřebujeme spočítat parciální derivace podle x z( 1, 1) x z x = 9x y 4 tan(x 5y) 3x 3 y 4 1 cos (x 5y) = 9x y 4 tan(x 5y) 6x 3 y 4 cos (x 5y) = = 9( 1) 1 4 tan(( 1) 5 1) = 9 tan( 7) + 6 cos ( 7) = ( 1) cos (( 1) 5 1) a podle y z y z( 1, 1) y = 1x 3 y 3 tan(x 5y) 3x 3 y 4 1 cos (x 5y) ( 5) = 1x 3 y 3 tan(x 5y) + 15x 3 y 4 cos (x 5y) = = 1( 1) tan(( 1) 5 1) + = 1 tan( 7) 15 cos ( 7) = ( 1) cos (( 1) 5 1) Dosadíme do vzorce pro tečnou rovinu a upravíme na základní tvar TR : z z = z(x,y ) (x x ) + z(x,y ) (y y ) x y z (.6) = 18.4(x ( 1)) + ( 36.8)(y 1) z +.6 = 18.4x y TR : 18.4x y + z 5.6 = 4

25 Z analytické geometrie je známo, že rovina ax + by + cz + d = má normálový vektor n = (a,b,c)-to je vektor, který je k té rovině kolmý. Normála N je tedy dána bodem A[ 1, 1,.6] a vektorem n = ( 18.4, 36.8, 1). Její parametrické rovnice jsou následující N : x = t y = y z =.6 + t, t R ,96,98-1, -1,4 1-1 x 1, -,98 1,4 -,96 y 7. Druhý příklad K napsání tečné roviny v bodě využijeme základní vzorec. Tečná rovina TR k funkci z(x,y) v bodě A[x,y,z ] je popsána touto rovnicí TR : z z = z(x,y ) x (x x ) + z(x,y ) (y y ) y V našem případě je x = 1 a y = 1, z je třeba vypočítat ze z(x,y) = x 8 x y 4 z = z(x,y ) = z( 1, 1) = ( 1) 8 ( 1) 1 4 = Dále potřebujeme spočítat parciální derivace podle x z x z( 1, 1) x y4 = 4x 8x + x 8 x y 4 ln(8) 4x = 4x 8 x y ln(8)x 3 8 x y 4 = = 4( 1) 8 ( 1) ln(8)( 1) 3 8 ( 1) 1 4 =.6 5

26 a podle y z y z( 1, 1) y = x 8 x y 4 ln(8) ( 6y ) = 1 ln(8)x y 8 x y 4 = = 1 ln(8)( 1) 1 8 ( 1) 1 4 = 4.95 Dosadíme do vzorce pro tečnou rovinu a upravíme na základní tvar TR : z z = z(x,y ) (x x ) + z(x,y ) (y y ) x y z = (.6)(x ( 1)) + ( 4.95)(y 1) z =.6x y TR :.6x y + z 6.35 = Z analytické geometrie je známo, že rovina ax + by + cz + d = má normálový vektor n = (a,b,c)-to je vektor, který je k té rovině kolmý. Normála N je tedy dána bodem A[ 1, 1, ] a vektorem n = (.6, 4.95, 1). Její parametrické rovnice jsou následující N : x = 1 +.6t y = y z = + t, t R ,9 -,95-1 x 1 1,5 1,1-1,5-1,1,9,95 y 6

27 8 Výpočet dvojného integrálu Vypočtěte následující dvojné integrály a napište jejich geometrický význam (načrtněte graf dané funkce na obdélníku D-zjistěte funkční hodnoty alespoň ve vrcholech D a ověřte zda graf leží nad rovinou xy nebo ne) a) D x y cos(3 y)dxdy, D =<, 1 > < 1, 3 > b) D sin(y 3x)dxdy, D =<, 1 > <, > 8.1 První příklad U tohoto příkladu můžeme funkci f(x,y) zapsat jako součin nějaké funkce f 1 (x) a f (y) a využít vzorec b d f(x,y)dxdy = f 1 (x)dx f (y)dy D V našem případě je f 1 (x) = x a f (y) = y cos(3 y) Tedy x y cos(3 y)dxdy = D = = 1 a x dx 3 1 y cos(3 y)dy c [ ] [ 3 x3 1 1 y sin(3 y) + 1 ] 3 4 cos(3 y) 1 ( 3 13 ) 3 ( )3 (( 1 3 sin(3 3) + 1 ) 4 cos(3 3) ( 1 ( 1) sin(3 ( 1)) + 1 )) 4 cos(3 ( 1)) =.4 kde druhý integrál vypočteme metodou per-partes y cos(3 y)dy u = y u = 1 v = cos(3 y) v = 1 sin(3 y) = y ( 1 sin(3 y) 1 1 sin(3 y)dy = 1 y sin(3 y) + 1 sin(3 y)dy = 1 y sin(3 y) + 1 ( 1 )( cos(3 y)) = 1 y sin(3 y) + 1 cos(3 y) 4 7

28 y -1 -,5,5 x ,5 8. Druhý příklad U tohoto příkladu sice můžeme použít součtový vzorec pro sin(x+y) a potom izolovat proměnnu x a y, ale ukážeme si výpočet tohoto integrálu, aniž bychom jednotlivé proměnné izolovali. Použijeme tzv. Fubiniův vzorec D f(x,y)dxdy = ( b d a c f(x,y)dy ) dx Tedy sin(y 3x)dxdy = D = = 1 ( 1 ) sin(y 3x)dy dx = 1 [ 1 ] cos(y 3x) ( 1 cos( 4 3x) 1 ) cos(4 3x) dx [ 1 6 sin( 4 3x) sin(4 3x) ] 1 dx = 1 ( sin( 7) + sin(1) + sin( 4) sin(4)) =.5 6 8

29 1,5 -,5 - -1, -1,4 y,6 x 1,8 1 9

30 9 Řešení diferenciální rovnice Najděte funkci y(x), která je řešením příslušné diferenciální rovnice a splňuje i počáteční podmínky. Proved te zkoušku a) y (x) + y(x) = 1 x, y() =, y () = b) y (x) y (x) = x + 1, y() = 9.1 První příklad Jedná se o lineární diferenciální rovnici druhého řádu a na pravé straně je polynom druhého stupně. Nalezení řešení probíhá ve 3 krocích. a) Nejprve nelezneme řešení difrenciální rovnice s nulovou pravou stranou y y (x) + y = Charakteristický polynom má tvar k + = kde řešení je dvojice komplexně sdružených čísel k 1 = i, k = i odtud řešení y = C 1 cos( x) + C sin( x) b) Nyní budeme hledat partikulární řešení y p. Je to nějaké jedno řešení, které vyhovuje celé diferenciální rovnici i s pravou stranou. Protože na pravé straně máme polynom. stupně a není kořenem charakteristického polynomu, budeme y p hledat ve tvaru y p = Ax + Bx + C Obecné koeficienty A, B, C nalezneme tak, že y p do sadíme do diferenciální rovnice a dále postupujeme metodou neurčitých koeficientů. y p(x) + y p = 1 x A + (Ax + Bx + C) = 1 x Ax + Bx + A + C = 1 x x : A = 1 A =.5 x : B = B = 1 : A + C = 1 C = 1 Tedy naše partikulární řešení má tvar y p =.5x + 1 Obecné celkové řešení y je součtem řešení y p a y y(x) = y p (x) + y (x) =.5x C 1 cos( x) + C sin( x) 3

31 c) Nyní je třeba z počátečních podmínek vypočítat konstanty C1 a C: y() = : C 1 cos( ) + C sin( ) = C 1 = 1 y () = : C 1 sin( ) + C cos( ) = C = Tedy řešení naší diferenciální rovnice je y(x) =.5x cos( x) sin( x) Zkouška: Nejdříve si potřebujeme vypočítat derivaci y (x) y(x) =.5x cos( x) sin( x) y (x) = x sin( x) cos( x) y (x) = 1 cos( x) + sin( x) Dosadíme výslednou funkci y(x) do naší diferenciální rovnice a po úpravách se levá strana musí rovnat pravé y (x) + y(x) = 1 x 1 cos( x) + sin( x) + (.5x cos( x) sin( x) ) = 1 x x + 1 = 1 x 9. Druhý příklad Toto je případ separovatelné rovnice, y napíšeme jako podíl dy/dx a všechno s x převedeme na jednu stranu a všechno s y na druhou stranu tak, aby dx a dy byly v čitateli. Potom provedeme integraci a pokud to jde, vyjádříme y jako funkci x. Neznámou konstantu vypočteme z počáteční podmínky. y (x) y (x) = x + 1 y dy dx = x + 1 y dy = ( x + 1)dx y dy = ( x + 1)dx y 3 3 = x ln() + x + C y() = : 3 = 3 ln() + + C 8 3 = 1 ln() + C C = (4)

32 Tedy řešení v imlicitním tvaru vypadá takto y 3 3 = x ln() + x + 1. V našem případě můžeme funkci y(x) vyjádřit i explicitně Zkouška: Počáteční podmínka je splněna y(x) = x + 3x y() = = = Dosad me nyní náše výsledné řešení do původní diferenciální rovnice a pokud je výpočet v pořádku, musí se levá strana rovnat pravé. ( x + 3x ) 1 ( 4.33 x + 3x ) 3 (4.33 x ln() + 3) = x x + 1 = x + 1 Obsah 1 Výpočty v trojúhelníku Obvod Obsah Vnitřní úhly Rovnice roviny, ve které trojúhelník leží Těžnice a Těžiště Výšky a Ortocentrum Obsah, obvod a těžiště obrazce 1.1 Obsah Obvod Těžiště Objem a Povrch rotačního tělesa Objem Povrch Určení dráhy z rychlosti Rychlost Dráha Určení rychlosti a dráhy ze zrychlení Zrychlení Rychlost Dráha

33 6 Obecný trojúhelník 6.1 Definiční obor Obvod Obsah Vnitřní úhel Výška Tečná rovina a normála První příklad Druhý příklad Výpočet dvojného integrálu První příklad Druhý příklad Řešení diferenciální rovnice První příklad Druhý příklad

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 27 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Karel povídá: Myslím si celé číslo. Je záporné. Nyní

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 17 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B,

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více