vede právě tímto směrem k pojmu entropie, známému z termodynamiky a statistické fyziky.
|
|
- Vlasta Horáková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Entropie a informace Entr-Inf4.tex J. Obdržálek předběžná verze, Úvod. Motivace Zavedli jsme entropii. V termodynamice měla všechny atributy nepořádku, chaosu apod.: v izolovaném systému samovolně mohla jen růst nevratným procesem. Ve statistické fyzice souvisela s pravděpodobností daného makrostavu v konkurenci k makrostavům ostatním, majícím jiné počty jim odpovídajících mikrostavů. Na rozdíl od multiplikativní pravděpodobnosti nezávislých dějů) je entropie neinteragujících stavů) aditivní. Chtěli bychom z definice entropie odpreparovat všechno ostatní a ponechat jenom pravděpodobnost; tím by byl takový pojem použitelný všude, kde se s pravděpodobností pracuje např. právě v informatice. Ukážeme, že pokus o kvantifikování pojmů neurčitost, nejistota vede právě tímto směrem k pojmu entropie, známému z termodynamiky a statistické fyziky..2 Základní představy a označení Značme v souladu s normou IEC/ISO 80000, Díl ) log u logaritmus o základu u, lg log 0 logaritmus o základu 0; jednotka informace hartley, Hart; ln log e logaritmus o základu e logaritmus naturalis); jednotka informace nat, nat; lb log 2 logaritmus o základu 2 binární); jednotka informace shannon, Sh. Pro jevy J zavedeme pravděpodobnosti p, takové, že jev jistý I má pravděpodobnost p =, jev vyloučený O má pravděpodobnost p = 0, každý jiný jev J má pravděpodobnost 0 < p <. pravděpodobnost p, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů J i, J j, je rovna součtu jejich pravděpodobností: p = p i p j. Uvažujme úplný soubor jevů S E N, tvořený N elementárními jevy E i s pravděpodobnostmi p i pro i =... N), tj. s určitostí nastane některý z nich, nikdy nenastane současně více z nich. všechny mají stejnou pravděpodobnost p i ; zřejmě platí p i = N.
2 Dále uvažujme úplný soubor S K tvořený K jevy J i s pravděpodobnostmi p i pro i =... K), tj. s určitostí nastane některý z nich, nikdy nenastane současně více z nich. jev J i má pravděpodobnost p i ; zřejmě platí N i= p i =. Množinu všech pravděpodobností p i pro i =,..., N budeme značit buď výpisem všech p i, anebo {p i } N tedy také { 4 }4 pro N = 4), případně p. 2 Nejistota 2. Značení Každý úplný soubor S K tvořený K jevy J i je tedy charakterizován konečnou posloupností {p i } K tvořenou K pravděpodobnostmi {p i } K. Naším záměrem bude vyslyšet Galilea a přiřadit tomuto souboru číslo, které by měřilo naši nejistotu, máme-li uhádnout, který z jevů J i v jistém konkrétním případě nastane. Nejistotu označíme Hp), kde p {p i } K. Příležitostně užijeme označení typu H K ) pro zdůraznění počtu jevů, případně označení typu H A pro konkrétní hodnotu H. Velmi častý případ nejistoty souboru tvořeného N stejně pravděpodobnými elementárními) jevy budeme stručně značit H N H{ N }N ). Písmeno S užívané pro entropii se nám pro nejistotu nehodí, protože ho užíváme pro soubory. Naše písmeno H ovšem neznamená termodynamickou entalpii. Kdo by mocí mermo chtěl mít nějakou tu mnemoniku, tak ať si představí, že H měří horrorovitost situace. 2.2 Konkrétní příklad: Jiřík a Zlatovláska Jak známo, Jiřík poté, co zdolal všechny překážky, si měl vybrat svou Zlatovlásku ze dvanácti N = 2) na pohled stejných panen; jeho nezáviděníhodná nejistota byla nejprve H 2 = Hp) = H,,,,,,,,,,, ) ) Tuto nejistotu bychom v dalším rádi kvantifikovali. Díky dobrotě srdce Jiříkova v předchozím dění mu však zlatá muška sednuvší na třetí pannu zleva změnila podmínky soutěže na mnohem příznivější situaci: H B2 = Hp B2 ) = H0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). 2) Jiřík měl nyní naprostou jistotu, že zvolí Zlatovlásku a nikoli povitruli. Nejistotu měl tedy nulovou: H B2 = 0. Fakticky byl ve stejné situaci, jako kdyby od Zlatovlásky dále nebyl nikdo: H B = Hp B ) = H0, 0, ) = H B2 ) anebo rovnou, kdyby tam byla jediná dívka, z níž by měl volit 2 H = H) = 0. 4) Co se dá změřit, má být změřeno, a co se nedá měřit, má být převedeno na měřitelné. 2 Princip voleb za totality Národní fronta) už současní studenti znají jen z vyprávění. 2
3 Připusťme však alternativní pohádku, kdy je letní parno, plno much kolem hradu i uvnitř a znavený Jiřík si není jistý, zda velká zlatá moucha přiletěvší náhle na první dívku je opožděnou pravou, velkou zlatou muškou či obyčejnou masařkou; nyní je situace H C2 = Hp C2 ) = H, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2 2 0), 5) fakticky stejná se situací H C2 = Hp C2 ) = H, ) 2 2 = H2, 6) odhlédneme-li od kandidátek evidentně klamných. Kdyby se mu přece jen velká a tlustá moucha zdála méně vhodná ke Zlatovlásce ale koneckonců kdoví, čeho se může nadít později... ), mohlo by to být třeba H D, = Hp D, ) = H 99, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ), 7) fakticky shodně se situací H D2 = Hp D2 ) = H, ) ) Pro úplnost připomeňme, že pořadí kandidátek v sevřené rojnici není jistě podstatné, takže záměna první a třetí dívky H D, = Hp D, ) = H 99, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ), 9) je opět fakticky stejná se situací ). 0) H D = Hp D ) = H 99, Mění ovšem Jiříkovo rozhodnutí, nikoli však jeho šance, a tedy ani jeho nejistotu. Úhrnně můžeme kvalifikovat pořadí nejistot: 0 = H = H B2 = H B < H D, = H D2 = H D, = H D < H 2 = H C2 = H C2 < H 2, ) Pro kvantifikaci provedeme v dalším podrobnější rozbor. Zatím si prosím znovu pročtěte a promyslete Jiříkovy alternativy spolu s jeho kvalitativním hodnocení šancí podle rel. ). 2. Požadavky na kvantitativní hodnocení Stanovme nejprve, co očekáváme od nejistoty H jako takové: symetrie: Hodnota funkce H {p i } ) nezávisí na permutaci indexů: H {..., p i,..., p j,...} ) = H {..., p j,..., p i,...} ) pro každá i, j; 2) spojitost: Funkce H {p i } ) je spojitou funkcí každé ze svých proměnných p i ; monotonie vůči počtu možností): Pro nejistoty stejně pravděpodobných jevů v souborech S E N) platí: tedy 0 = H ) < H 2 2, 2 ) < H,, )... ) 0 =) H < H 2 <... < H N < H N <... ; 4) aditivita: Zapíšeme-li posloupnost jevů jako skupiny skupin těchto jevů, pak se všechny nejistoty všech skupin sečtou s příslušnými vahami). Tato formulace není asi příliš srozumitelná na první čtení. Osvětlíme ji v následujícím odstavci.
4 2.4 Aditivita rozděl a panuj) Představme si místo dobrého Jiříka zhýčkaného Žoržíka, kterému žádná zlatá muška nehodlá pomoci. Veze si ssebou proto tři oddané sluhy, aby se sám nemusel namáhat a aby oni převzali aspoň kus jeho práce i odpovědnosti. Teď se pokouší, zda by něco získal rozdělením nejistot mezi své sluhy. On sám má nejistotu H Ž ; podle rov. ) je však H Ž = H 2. ) }{{ 2} Ž Zkusí rozdělit odpovědnost tak, že Alfons navrhne mezi prvními pěti pannami, Bolton mezi dalšími čtyřmi a Cyril mezi zbývajícími třemi pannami., }{{ 2} A, }{{ 2} B ) }{{ 2} C Alfons má šanci může mít šťastnou ruku) v 5 případů a má nejistotu 2 HA = H 5, Bolton má šanci 4 s nejistotou 2 HB = H 4 a Cyril má nejmenší šanci, ale s nejistotou jen 2 HC = H. Žoržík se pak rozhodne mezi třemi návrhy svých sluhů, tedy mezi šancemi 5, 4, ) , }{{ 2}, }{{ 2} ) }{{ 2} } A {{ B C } Ž Uváží-li, jakou měl který sluha šanci uhádnout Zlatovlásku, přináší Žoržík sám nejistotu H Ž = H 5 2, 4 2, ) 2 Z nejistot každého z jeho sluhů se ovšem uplatní jen příslušná poměrná část. Celková výsledná nejistota koumáckého Žoržíka je tedy 5) 6) 7) 8) H Ž 5 2 HA 4 2 HB 2 HC = H 5 2, 4 2, ) H 5 4 H 2 4 H 2 9) My ovšem víme, že spravedlnost vítězí, čili Žoržík si tím nemůže ani polepšit, ani pohoršit. Musí tedy platit H Ž =) H 2 = H 5 2, 4 2, ) H 5 4 H 2 4 H 2 20) a to je náš předpoklad spravedlivého skládání nejistot v tomto konkrétním případě. Každý matfyzák to ovšem ihned přepíše obecně: Pro úplný soubor S K tvořený K jevy J i s pravděpodobnostmi p i pro i =... K) převeditelnými na společný jmenovatel tak, že p i = n i N, kde n i, N jsou přirozená čísla, platí ) H N = H K {pk } K K p k H nk, 2) k= ve všech pohádkách i ve školních učebnicích, včetně teoretické fyziky) 4
5 resp. po opuštění našich zkratek H N { N } N i= ) { } = nk K ) K HK N n k H { } nk ) k= N n k n k, 22) j= k= O situace, kdy pravděpodobnosti p i jsou iracionální a nelze je tedy převést na společný jmenovatel, se pak postará náš požadavek spojitosti. Řešení problému. Úloha Požadavky jsou formulovány; stačí tedy jen je splnit, tj. najít obecný vzorec pro { }) H { n } k K ) K pk HK, 2) N k= pro libovolnou posloupnost racionálních p k se společným jmenovatelem N), a případně najít řešení i pro iracionální p i..2 Zjednodušení Ukážeme, že namísto vyjádření 2) stačí vyjádřit všechna H N pro N =, 2,..., tedy nejistoty pro soubory SN E elementárních jevů pro všechna přirozená N. Hledaná 2) totiž při znalosti H N dostaneme pro libovolnou konečnou posloupnost { } p k s racionálními pk z rov. 2). To je ovšem znamenité zjednodušení.. Speciální případ: N = 2 n Případ N = je jasný: H = H ) = 0, žádná nejistota není. Ani pro případ N = 2 nám rov. 2) nepřinese nic nového: rozdělíme-li 2 jevy do 2 skupin po jevu, dostaneme H 2 = H 2 2, 2 ) 2 H 2 H = H = H 2, 24) tedy identitu. Aspoň máme potvrzeno, že H = 0.) Až další případ, N = 4, dává něco nového: čtyři elementární jevy rozdělíme na dvě skupiny po dvou a dostaneme H 4 H 4 4, 4, 4, 4 Podobně postupujeme dále: ) = H2 2, 2) 2 H 2 2 H 2 = 2H 2. 25) H 8 H 8 { 8.}) = H 2, ) H 4 2 H 4 = H 2, 26) H 6 H 6 { 6.}) = H 2, ) H 8 2 H 8 = 4H 2, 27) a snadno dokážeme úplnou indukcí, že H 2 n = nh 2, 28) 5
6 neboli H N = lb N)H 2, 29) alespoň pokud je lb N = n přirozené číslo. Logaritmická závislost ve speciálním případě budí podezření, že vzorec jde zobecnit. Zkusíme proto dostat obecnou funkcionální rovnici..4 Další speciální případ: N = a b V předchozím odstavci jsme zvětšovali počet jevů násobením dvěma. Můžeme ovšem násobit i jiným číslem, třeba třemi. Jestliže je N = b, kde b je přirozené číslo, pak můžeme N jevů rozdělit na disjunktní skupiny po b elementárních jevech a rov. 2) dává H b = H H b = H H b 0) Nedá práci nahlédnout, že pro libovolná přirozená čísla platí Stačí tedy znát jen H p pro všechna prvočísla p..5 Obecné řešení pro H N a H{p i }) Funkcionální rov. ) má však známé řešení: H ab = H a H b ) H a = log a při libovolném základu logaritmu. 2) V informatice obvykle pracujeme s binární soustavou, a proto bereme logaritmy se základem 2, tedy lb x) = log 2 x). Připomeňme, že všechny logaritmy si jsou úměrné, takže platí např. lb 27 = lg 27/ lg 2. Volba základu logaritmu je tedy pouze otázkou volby konstanty měrné jednotky viz norma IEC/ISO 80000, Díl ). U binárních logaritmů je H 2 = ; jednotkou je proto shannon, Sh. Volba přirozených logaritmů ln se základem e dává jednotku nat, nat. Volba dekadických logaritmů lg dává jednotku hartley, Hart. Přibližné převodní vztahy jsou Sh 0,69 nat 0,0 Hart nat,4 Sh 0,44 Hart Hart,22 Sh 2,0 nat Dosazením do rov. 2) dostaneme ) H K {pk } K = K HN p k H nk pro p k = n k /N; tedy k= = K n k lb N) k= N lb n k) = K n k k= N lb n k N ) ) H K {pk } K = K p k lb p k ) ) k= Tento vzorec jsme odvodili jen pro racionální pravděpodobnosti p k, ale díky požadavku spojitosti H musí platit i pro p k zcela obecná. 6
Teorie informace Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku
Teorie Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Seznámení s problematikou a obsahem studovaného předmětu. Základní pojmy z Teorie, jednotka, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Kód.
VíceSíla a významnost asociace mezi proměnnými v systému
Síla a významnost asociace mezi proměnnými v systému Program 1. Entropie jako míra neuspořádanosti. 2. Entropie jako míra informace. 3. Entropie na rozkladu množiny elementárních jevů. 4. Vlastnosti entropie.
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno JAMES WATT 19.1.1736-19.8.1819 Termodynamika principy, které vládnou přírodě Obsah přednášky Vysvětlení základních
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceTeorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku
Teorie Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Seznámení s problematikou a obsahem studovaného předmětu. Základní pojmy z Teorie, jednotka, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Kód.
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceAutomatizační technika. Obsah
7.09.016 Akademický rok 016/017 Připravil: Radim Farana Automatizační technika Základy teorie Obsah Informace Jednotka Zdroj Kód Přenosový řetězec Prostředky sběru, zobrazování, přenosu, zpracování a úschovy
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Více9 METODY STATISTICKÉ FYZIKY
22 9 METODY STATISTICKÉ FYZIKY Základní pojmy statistické fyziky Klasická a kvantová statistika Maxwellova - Boltzmannova rozdělovací funkce Boseova - Einsteinova rozdělovací funkce Fermiova - Diracova
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceÚvod do teorie informace
PEF MZLU v Brně 24. září 2007 Úvod Výměna informací s okolím nám umožňuje udržovat vlastní existenci. Proces zpracování informací je trvalý, nepřetržitý, ale ovlivnitelný. Zabezpečení informací je spojeno
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceStatistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vícez nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).
0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Vícex + 6 2x 8 0. (6 x 0) & (2x 8 > 0) nebo (6 x 0) & (2x 8 < 0).
Opáčko - Řešení. a) Podíl vlevo není definovaný pro x 8 = 0, a tedy dostáváme podmínku na řešení x. Jedničku převedeme na levou stranu nerovnosti, převedeme na společný jmenovatel a dostáváme Nerovnost
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
Více1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePodmíněná pravděpodobnost, nezávislost
Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy
VíceCvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
Více6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
VíceV exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technoiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VíceJednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
Více, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceBinární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
Vícemetoda je základem fenomenologické vědy termodynamiky, statistická metoda je základem kinetické teorie plynů, na níž si princip této metody ukážeme.
Přednáška 1 Úvod Při studiu tepelných vlastností látek a jevů probíhajících při tepelné výměně budeme používat dvě různé metody zkoumání: termodynamickou a statistickou. Termodynamická metoda je základem
Více