termodynamický zákon František SEIFRT 9. března 2006

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "termodynamický zákon František SEIFRT 9. března 2006"

Filip Müller
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Říční toky, dopravní zácpy a druhý termodynamický zákon Seminář Oddělení Mikrostruktur 9. března 2006 Plzeň

2 1 Úvod 2 Model dopravní zácpy, podmínka entropie Nelineární zákon zachování 3 Model říčního toku v 1D Saintovy-Venantovy rovnice Metody řešení Okrajové podmínky Systém říčních toků Numerické simulace 4 Model říčního toku ve 2D Saintovy-Venantovy rovnice Okrajové podmínky Model s proměnnou oblastí řešení Numerické simulace 5 Závěr

3 Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava

4 Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava

5 Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava

6 Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava

7 Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava

8 Šoková vlna

9 Nelineární zákon zachování Nelineární zákon zachování q t + f(q) x = 0 (2.1) f(q) = ūq - dostaneme obyčejnou rovnici advekce f(q) = u max q(1 q) - model toku aut, nebo také stlačitelné tekutiny o kvadratická funkce hustoty aut, kapaliny o maximální tok aut pro q = 1 2

10 Nelineární zákon zachování

11 Nelineární zákon zachování Definice Charakteristika X(t) je křivka splňující tuto ODR Hodnota q je podél této křivky konstantní X (t) = f ( q ( X(t),t )). (2.2) d dt q (X(t),t) = X (t)q x + q t, (2.3) = 0. (2.4)

12 Nelineární zákon zachování

13 Nelineární zákon zachování Rychlost šíření šokové vlny Použijeme zákon zachování na část roviny x t = x 1 t1 + t t 1 x1 + x q(x,t 1 + t)dx f(q(x 1,t))dt t1 + t x1 + x x 1 q(x,t 1 )dx (2.5) t 1 f(q(x 1 + x,t))dt. (2.6) s = f(q r) f(q l ) q r q l (2.7) Podobný vztah i pro systémy A(q r q l ) = s(q r q l ) (2.8)

14 Nelineární zákon zachování Nejednoznačnost, přípustnost a podmínka entropie (1 a b) ((1 2 b) 2 (1 2 a) 2 ) 2/3 (1 2 b) 3 + 2/3 (1 2 a) q r q l η(q) = (1 2q) 2,ψ(q) = 2 3 (1 2q)3 u max (2.9)

15 Saintovy-Venantovy rovnice Model v jedné dimenzi 2.5 hloubka h = h(x,t) h + B h(x,t) u(x,t) rychlost proudění u = u(x,t) výška dna B = B(x) B(x) x Obrázek: Geometrická interpretace proměnných v 1D rovnicích.

16 Saintovy-Venantovy rovnice Saintovy-Venantovy rovnice S-V rovnice v diferenciálním tvaru h t + (hu) x = 0, (3.1) (hu) t + (hu ) gh2 = ghb x, (3.2) x 0,d (3.3) počáteční podmínky h(x,0) = h 0 (x),u(x,0) = u 0 (x) (3.4) okrajové podmínky x h(0,t) = h l (t),h(d,t) = h p (t), u(0,t) = u l (t),u(d,t) = u p (t). (3.5)

17 Saintovy-Venantovy rovnice 2.5 ρh(x,t)dx h + B ρu(x 1,t)h(x 1,t) ρu(x 2,t)h(x 2,t) 1 dx x 4 6 x 1 8 x Obrázek: Rovnice kontinuity. d x2 ρh(x,t)dx = ρu(x 1,t)h(x 1,t) ρu(x 2,t)h(x 2,t), (3.6) dt x 1

18 Saintovy-Venantovy rovnice Pohybové rovnice F ma = 0, (3.7) z T1 ma G Fp α T2 výsledná síla F o tlakové síly T 1, T 2 o síla F p způsobená změnou průřezu o tíhová síla G setrvačná síla ma x T 1 T 2 + F p + Gsinα ma = 0, (3.8)

19 Saintovy-Venantovy rovnice Pohybové rovnice F ma = 0, (3.7) z T1 ma G Fp α T2 výsledná síla F o tlakové síly T 1, T 2 o síla F p způsobená změnou průřezu o tíhová síla G setrvačná síla ma x T 1 T 2 + F p + Gsinα ma = 0, (3.8)

20 Metody řešení Metody řešení Zavedeme následující značení ( ) ( h q(x,t) =,f(q) = hu hu hu gh2 ) ( 0,S(x,q) = Saintovy-Venantovy rovnice pak lze zapsat ve tvaru ). ghb x (3.9) q t + ( f(q) ) = S(x,q). (3.10) x

21 Metody řešení Za předpokladu spojité diferencovatelnosti funkce q si můžeme dovolit udělat další úpravu rovnic (3.10) q t + f (q)q x = S(x,q), (3.11) kde f (q) je Jacobiova matice soustavy ( ) f 0 1 (q) = u 2. (3.12) + gh 2u Vlastní čísla matice f (q) jsou λ 1 = u gh, λ 2 = u + gh. (3.13)

22 Metody řešení odvodíme numerické rekurentní schéma pro homogenní rovnice průměrná hodnota zachovávané veličiny q(x,t) = 1 q(ξ,t)dξ,i x = x I x q t + f(q) x = 0 (3.14) { ξ ξ x x 2 }, (3.15) rovnice (3.14) zintegrujeme přes interval I x, vyděĺıme x a dosadíme prům. hodnotu 1 q(ξ,t)dξ + 1 [ t x I x x I x ξ f( q(ξ,t) ) ] dξ = 0, q t (x,t) + 1 [ f ( q(x + x x 2,t)) f ( q(x x ] 2,t)) = 0. (3.16)

23 Metody řešení časová diskretizace, integrujeme přes interval t τ t + t q(x,t + t) = q(x,t) 1 [ t+ t f ( q(x + x x t 2,τ)) dτ t+ t t f ( q(x x ] 2,τ)) dτ. q(, t) nahradíme po částech polynomiální funkcí w(x, t) (3.17) p 1 p 2 p j p m x 1 x 2 x j 1 x j x j+1 x m 1 x m Obrázek: Aproximační po částech polynomiální funkce.

24 Metody řešení po částech konstantní polynom Laxovo-Friedrichsovo schéma w n+1 j+ 1 2 = 1 2 ( wn j + wn j+1 ) t ( f( w n x j+1 ) f( w j n )). (3.18) po částech lineární polynom Tadmorovo schéma Kurganovo-Noellovo-Petrovové schéma

25 Okrajové podmínky Okrajové podmínky n+1 w 1/2 w 1 n+1 w j n+1 w m n+1 n+1 w m+1/2 t n+1 t n n(+, ) w 1/2 n(+, ) w 3/2 n(+, ) w j 1/2 n(+, ) w j+1/2 n(+, ) w m 1/2 n(+, ) w m+1/2 Obrázek: Okrajové podmínky

26 Okrajové podmínky Riemannovy invarianty. t n+1 R 1 = u 2 gh Γ 1 Riemannovy invarianty ξ 1 {}}{ ϕ t n x m 3 x 2 m 1 x 2 m+ 1 2 R 1 = u 2 gh,r 2 = u + 2 gh, (3.19) jsou konstantní na charakteristikách Γ i : dx dt = λ i,i = 1,2.

27 Systém říčních toků Systém říčních toků x 2l x 3p 2 3 x 1p=x 2p=x3l 1 x 1l zachování průtoku h 1 u 1 + h 2 u 2 = h 3 u 3 vzdálenost od referenční hladiny v místě soutoku je u všech tří řek stejná h 1 + B 1 = h 2 + B 2 = h 3 + B 3

28 Numerické simulace Simulace uvažující nerovnosti dna

29 Numerické simulace Simulace soutoku tří řek

30 Saintovy-Venantovy rovnice Model ve dvou dimenzích z v h(x,y) B(x,y) u x hloubka h = h(x,y,t) rychlosti proudění u = u(x,y,t) v = v(x,y,t) výška dna B = B(x,y) y Ω Obrázek: Geometrická interpretace proměnných v 2D rovnicích.

31 Saintovy-Venantovy rovnice Ve dvou dimenzích přibývá jedna rovnice h t + (hu) x + (hv) y = 0, (hu) t + (hu ) gh2 + (huv) y = ghb x, x (hv) t + (huv) x + (hv ) gh2 = ghb y, y (4.1)

32 Okrajové podmínky n w 1/2,N+1/2 L y n w M+1/2,N+1/2 y k+1 n w j,k+1 n w j+1,k+1 n+1 w j+1/2,k+1/2 y k n w j,k n w j+1,k n w 1/2,1/2 n w M+1/2,1/2 0 x j x j+1 L x Obrázek: Tadmorovo schéma.

33 Okrajové podmínky Zrcadlové okrajové podmínky Lze připodobnit pohybu vody v bazénu voda se odráží od stěn hladina u stěny je stejná jako u nejbližších vnitřních hodnot tok kolmý na stěnu má opačné znaménko tok rovnoběžný se stěnou zůstává stejný Pro levou hranici konkrétně položíme h n+1 1 2,k+ 1 2 (hu) n+1 1 2,k+ 1 2 (hv) n+1 1 2,k+ 1 2 := h n+1 3 2,k+ 1 2 := (hu) n+1 3 2,k+ 1 2 := (hv) n+1 3 2,k+ 1 2 pro k = 1... N. (4.2)

34 Model s proměnnou oblastí řešení Obrázek: Změna oblasti platnosti Saintových-Venantových rovnic. platnost S-V rovnice na oblasti { (x,y) Ω h(x) > 0 } vznik a zaplavování ostrůvků vylití řeky ze břehů

35 Model s proměnnou oblastí řešení Stefanova úloha oblast platnosti par. dif. rovnic závisí na samotném řešení způsoby řešení o pevná sít, logická proměnná pro každou buňku (indikátor minimální hladiny) o proměnná sít - v každém časovém kroku třeba určit o kdy se voda rozleje na suché buňky - zaplavení břehu (ostrůvku) o kdy se voda vrátí zpět - odkrytí břehu (ostrůvku)

36 Numerické simulace Rovné dno, model bez uvažování tření o dno

37 Numerické simulace Dno s nerovnostmi, včetně tření o podklad

38 Závěr Cílem této práce bylo pojmout problematiku říčních toků v širším kontextu fyzikální původ rovnic popisujících říční toky numerické metody počítačové simulace Vlastní přínos okrajové podmínky v jedné dimenzi - aplikace Riemannových invariantů zrcadlové okrajové podmínky ve dvou dimenzích implementace pravé strany do Tadmorova schématu - členité dno numerické simulace v jedné i ve dvou dimenzích

39 Možná rozšíření v 1D - inundační kanály, záplavování území ve 2D - model s proměnnou oblastí platnosti Saintových-Venantových rovnic o vylití ze břehů o simulace více řek v obou dimenzích - časově proměnné dno, o vymílání koryta

40 Literatura A. Kurganov, D. Levy: Central-upwind schemes for the Saint-Venant system, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 36 (2002), pages A. Kurganov, G. Petrova: Central schemes and contact discontinuities, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 34 (2002), pages G. Steinebach, S. Rademacher, P. Rentrop, M. Schulz: Mechanisms of coupling in river flow simulation systems, Journal of Computational and Applied Mathematics, R. J. Leveque: Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press

Podobné dokumenty

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y