PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLADY K MATEMATICE 3"

Transkript

1 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem funkce f bude taková podmnožina bodů z R 3, pro které má předpis zadávající funkci smysl. (Víme, že t je definována pouze pro t.) usí tedy platit x y x z, tj. x + y x + z. Definičním oborem funkce f je tedy uzavřený průnik dvou rotačních válců s osami z a y a poloměry (Obr. ).,5 z -, ,5 -,5 y,5,5 x Obr. Příklad.. Určete definiční obor f(x, y, z) = x + y + z. Výsledek:, + ), + ), + ) Date:

2 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.3. Určete definiční obor f(x, y, z) = ln (xyz). Výsledek: Body z R 3, pro které platí xyz >, tj. body ležící v.,3.,6. a 8. oktantu a současně x, y, z Příklad.4. Určete definiční obor f(x, y, z) = arcsin x + arccos y + arctg z. Výsledek:,, (, + ) Příklad.5. Určete definiční obor f(x, y, z) = x y z. Výsledek: x + y + z, tj. všechny body koule se středem v počátku a poloměrem Příklad.6. Určete definiční obor f(x, y, z) = ln (4 x y z ) x +4y +z 4. Výsledek: x /4 + y + z /4 > x + y + z < 4, tj. všechny body, které jsou současně vnější body elipsoidu se středem v počátku a poloosami a =, b =, c = a vnitřní body koule se středem v počátku a poloměrem Příklad.7. Určete definiční obor vektorové funkce F(x) = (arcsin(x ), ln (x 4)). Výsledek: (, 3 Příklad.8. Určete definiční obor vektorové funkce F(x, y) = (arcsin x + arccos y, arcsin (x + y)). Výsledek: Uzavřený šestiúhelník s vrcholy (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) Příklad.9. Najděme vrstevnice (úrovňové plochy) funkce f(x, y, z) = x y+z. Řešení: Funkce f je definována v celém R 3 a oborem jejích funkčních hodnot je R. Pro dané q R je tedy její vrstevnicí rovina q = x y + z. Všechny vrstevnice pak tvoří systém rovnoběžných rovin x y + z q =, q R. Příklad.. Najděte vrstevnice funkce f(x, y, z) = x + y + z. Výsledek: Rovnoběžné roviny x + y + z q =, q R Příklad.. Najděte vrstevnice funkce f(x, y, z) = x + y + z. Výsledek: Soustředné kulové plochy x + y + z = q, q. Příklad.. Najděte vrstevnice funkce f(x, y, z) = x + y z. Výsledek: Pro q = rotační kužel z = x + y, pro q > (Obr. ) a pro q < (Obr. 3) rotační hyperboloidy. Příklad.3. Funkce f je skalární funkce tří proměnných taková, že f(,, 3) = (4,, ). Dále funkce ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (,, 3) a ψ () = (,, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Řešení: Pro derivaci funkce složené z vnější skalární funkce f a vnitřní vektorové funkce ψ platí h (t) = f(ψ(t))ψ (t)

3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 3,5,5 z -,5 z - - -,5 - y x x y 3 Obr. Obr. 3 a to znamená, že všechny potřebné informace k výpočtu derivace h () máme k dispozici. Pro t = je ψ() = (,, 3) a dále víme, že f(,, 3) = (4,, ). Známe také ψ () = (,, ) a tedy h () = f(ψ())ψ () = f(,, 3)ψ () = (4,, ) (,, ) = 4. Příklad.4. Funkce f je skalární funkce dvou proměnných taková, že f(, ) = (, 3). Dále funkce ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (, ) a ψ () = (, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Výsledek: Příklad.5. Funkce f je skalární funkce tří proměnných taková, že f(,, 3) = (,, 3). Dále funkce ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ(3) = (,, 3) a ψ (3) = (,, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t = 3. Výsledek: Příklad.6. Funkce f je skalární funkce dvou proměnných taková, že f(, ) = (, ) a ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (, ) a ψ () = (, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Výsledek: 4 Příklad.7. Funkce f je skalární funkce dvou proměnných taková, že f(4, ) = (8, 4) a ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (4, ) a ψ () = (4, ).Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Výsledek: 36 Příklad.8. Vypočítejme derivaci funkce f(x, y, z) = x y + yz xz 3 v bodě P = (,, ) ve směru vektoru v = (,, ).

4 4 ZDENĚK ŠIBRAVA Řešení: Pro derivaci funkce f v bodě P ve směru jednotkového vektoru u platí f(p ) = f(p ) u, u kde f(p ) je gradient funkce f v bodě P, tj. Je f(p ) = ( f(p ) x, f(p ) y, f(p ) z ). f(p ) = xy z 3 (x,y,z)=(,, ) = 5, x f(p ) = x + z (x,y,z)=(,, ) =, y f(p ) = yz 3xz (x,y,z)=(,, ) = 7 z a f(p ) = (5,, 7). Vektor v = (,, ), v jehož směru máme počítat derivaci, však není jednotkový. Nahradíme ho tedy vektorem u, kde u = v v = (,, ), 3 tj. jednotkovým vektorem ve směru vektoru v. Potom f(p ) u = f(p ) u = 3 (5,, 7) (,, ) = 7 3. Příklad.9. Derivace funkce f dvou proměnných v bodě P ve směru vektoru u = (, ) je a derivace této funkce ve směru vektoru u = (, ) je ( 3. Najděme derivaci funkce f ve směru vektoru u 3 =, ) 3. Řešení: ( K nalezení derivaci ) funkce f ve směru vektoru u 3 potřebujeme znát f(p ) = f(p ), f(p ). Víme, že x y a Je tedy a tedy f(p ) u = f(p ) u = ( f(p ) x, f(p ) ) (, ) = y ( f(p ) f(p ) = f(p ) u = u x, f(p ) ) (, ) = 3. y f(p ) x = f(p ) y = 3 f(p ) = (, 3) f(p ) = f(p ) u 3 = (, ( 3) u 3, ) 3 =.

5 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 V příkladech..5 vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u. Příklad.. f(x, y) = 3x 4xy + 5y 3, P = (, ), u = (3, ). Výsledek: / 3 Příklad.. f(x, y, z) = 3x yz + 4xy z + 5xyz, P = (,, ), u = (6, 6, 3). Výsledek: 5 Příklad.. f(x, y) = ln (x + y), P = (, ), u = (u, u ) je směrový vektor tečny paraboly y = 4x sestrojené v bodě P (u < ). Výsledek: /3 Příklad.3. f(x, y) = x, P = ( 3, 3), u = (u y, u ) je směrový vektor tečny kružnice x + y + 4y = sestrojené v bodě P (u < ). Výsledek: 3/ Příklad.4. f(x, y) = arcsin x, P = (, ), u = (u y, u ) je směrový vektor normály hyperboly xy = sestrojené v bodě P (u > ). Výsledek: 55/34 Příklad.5. f(x, y, z) = xy +z 3 xyz, P = (,, ), u svírá se souřadnicovými osami úhly α = π/3, β = π/4, γ = π/3. Výsledek: 5 Příklad.6. Derivace funkce dvou proměnných f v bodě P ve směru vektoru u = (, ) je a derivace této funkce ve směru vektoru u = (, 3) je 3. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 3 = (, ). Výsledek: Příklad.7. Derivace funkce tří promměnných f v bodě P ve směru vektoru u = (,, ) je, ve směru vektoru u = (,, ) je a ve směru vektoru u 3 = (,, ) je 4 3. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 4 = (,, ). Výsledek: /3 Příklad.8. Derivace funkce tří promměnných f v bodě P ve směru vektoru 6 u = (, 3, ) je 4 a ve směru vektoru u = (, 3, ) je 6. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 3 = (,, ). Výsledek: / 3 Příklad.9. Najděme rovnici tečné roviny k ploše x y + z = 3 rovnoběžné s rovinou ϱ : x + y + z =. Řešení: Pro nalezení rovnice tečné roviny ax + by + cz + d = potřebujeme znát např. normálový vektor této roviny a jeden bod, který v této rovině leží. Protože hledaná tečná rovina má být rovnoběžná s rovinou ϱ, musí být jejich normálové vektory rovnoběžné, tj. (a, b, c) = k(,, ), k R. O ploše x y + z = 3 můžeme předpokládat, že je vrstevnicí (úrovňovou plochou) funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + z pro q = 3. Dále víme, že

6 6 ZDENĚK ŠIBRAVA gradient funkce v každém bodě P je normálovým vektorem vrstevnice procházející tímto bodem a je tedy normálovým vektorem tečné roviny v bodě P. Tedy ( f(p ) f(p ) = x, f(p ) y, f(p ) ) = (a, b, c). z Nechť tedy P = (x, y, z ) je dotykový bod plochy a tečné roviny. Potom f(p ) = x, x = k x = k x, () f(p ) = 4y, 4y = k y = k y, f(p ) = z, z = k z = k. z Protože bod P leží na ploše x y + z = 3, musí jeho souřadnice splňovat rovnici plochy, tj. k 4 k + k = 3 k = ±. Z () pak dostáváme dva dotykové body P = (,, ) a P = (,, ) a to znamená, že k dané ploše existují dvě tečné roviny rovnoběžné s rovinou ϱ x + y + z ± 3 =. V příkladech.3.3 najděte rovnice tečné roviny a normály k dané ploše v bodě P. Příklad.3. x 3y z =, P = ( 3,, 6). Výsledek: 6x + 6y + z + 6 =, X = P + t(6, 6, ) Příklad.3. x + y + z = 69, P = (3, 4, ). Výsledek: 3x + 4y + z 69 =, X = P + t(3, 4, ) Příklad.3. e xz +yz =, P = (,, ). Výsledek: x + y z + =, X = P + t(,, ) Příklad.33. Najděte rovnice tečných rovin k ploše x + y + z = 7, které jsou rovnoběžné s rovinou x + y z + =. Výsledek: x + y z ± 7 = Příklad.34. Najděte rovnice tečných rovin k ploše x +y +3z 4xz 3 =, které jsou rovnoběžné s rovinou x + 4y 3z =. Výsledek: x + 4y 3z ± 6 = Příklad.35. Najděte rovnice tečných rovin k ploše 3x + y + z 4xz = 8, které jsou rovnoběžné s rovinou 3x 4y z =. Výsledek: 3x 4y z ± 8 =

7 .. Extrémy funkcí více proměnných.... Lokální extrémy funkcí více proměnných. PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 Příklad.36. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = 4x 3 + 8y 3 4xy + 3. Řešení: Funkce f je spojitá v celém R a má také v celém R vlastní derivace. To znamená, že lokální extrémy může mít pouze ve svých stacionárních bodech, tj. v bodech kde se obě první parciální derivace rovnají nule. f(x,y) x = x 4y, tj. x y =, f(x,y) y = 4y 4x, tj. y x =. Vyjádříme-li z první rovnice y = x a dosadíme-li do druhé rovnice, dostaneme x(x 3 4) =. Odtud pak x = y = a x = 3 4 y = 3. Funkce f má tedy dva stacionární body P = (, ) a P = ( 3 4, 3 ). O tom, zda v těchto bodech má funkce lokální extrém, rozhodneme na základě znaménka determinantu () D = det tj. znaménka výrazu ( fxx (P ) f xy (P ) f yx (P ) f yy (P ) f(p ) f(p ) x y ), ( ) f(p ) x y v jednotlivých stacionárních bodech. Funkce f má v bodě P extrém pouze v případě, že je D >. V případě, že je D <, funkce v bodě P extrém nemá. Předně je f(x, y) x = 4x, f(x, y) y = 48y, f(x, y) x y = 4. Pro P = (, ) dostáváme dosazením do () ( ) 4 D = det = ( 4) 4 = 4 < f v bodě P nemá extrém. Pro P = ( 3 4, 3 ) dostáváme dosazením do () ( ) D = det = 78 > a funkce f má v bodě P = ( 3 4, 3 ) extrém. O tom, zda má funkce v tomto bodě lokální maximum nebo minimum, rozhodneme na základě znaménka druhé derivace f(p )/ x. Platí V našem případě je f xx (P ) > f má v bodě P lokální minimum, f xx (P ) < f má v bodě P lokální maximum. f(p ) x = >

8 8 ZDENĚK ŠIBRAVA a funkce f má v bodě P = ( 3 4, 3 ) ostré lokální minimum. Hodnota tohoto minima je f( 3 4, 3 ) =. Příklad.37. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = xy(6 x y). Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R. Lokální extrémy může mít tedy pouze ve stacionárních bodech. Tedy tj. (3) (4) f(x,y) x f(x,y) y = y(6 x y) xy = y(6 x y), = x(6 x y) xy = x(6 x y), y(6 x y) =, x(6 x y) =. Při řešení soustavy (3),(4) budeme postupovat následovně: (i) Nechť je x = y =. Potom je splněna rovnice (3) i (4) a bod P = (, ) je stacionární bod funkce f. (ii) Nechť je x = y. Potom je splněna rovnice (4). Aby byla splněna rovnice (3) musí být (6 x y) =. Podle předpokladu je však x = a tedy y = 6 a bod P = (, 6) je stacionární bod funkce f. (iii) Nechť je x y =. Potom je splněna rovnice (3). Aby byla splněna rovnice (4) musí být (6 x y) =. Podle předpokladu je však y = a tedy x = 6 a bod P 3 = (6, ) je stacionární bod funkce f. (iv) Nechť je x y. Potom, aby byla splněna rovnice (3), resp. rovnice (4), musí být (6 x y) =, resp. (6 x y) =. Další stacionární bod tedy dostaneme řešením soustavy 6 x y =, 6 x y =. Odtud P 4 = (, ). Je zřejmé, že další možnost již nemůže nastat. Pro další vyšetření extrémů potřebujeme druhé derivace funkce f. f(x, y) x = y, f(x, y) y = x, f(x, y) x y = 6 x y. Pro P = (, ) dostáváme ( ) 6 D = det = 36 < funkce nemá v bodě P 6 = (, ) extrém. Pro P = (, 6) dostáváme ( ) 6 D = det = 36 < funkce nemá v bodě P 6 = (, 6) extrém. Pro P 3 = (6, ) dostáváme ( ) 6 D = det = 36 < funkce nemá v bodě P 6 3 = (6, ) extrém.

9 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 Pro P 4 = (, ) dostáváme ( ) 4 D = det = > funkce má v bodě P 4 4 = (, ) extrém. Protože v bodě P 4 = (, ) je f(p 4 )/ x = 4 <, má funkce f v tomto bodě ostré lokální maximum. Jeho hodnota je f(, ) = 4(6 ) = 8. Příklad.38. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = (x y + ). Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R. Lokální extrémy může mít tedy pouze ve stacionárních bodech. Protože dostáváme f(x,y) x = 4x(x y + ), f(x,y) y = 4(x y + ), 4x(x y + ) =, 4(x y + ) =. Obě rovnice budou splněny pouze v případě, když x y + =, tj. funce má nekonečně mnoho stacionárních bodů, které všechny leží na parabole y = (x +). Z definice funkce plyne, že obor funkčních hodnot Hf =, + ) a že f(x, y) = právě tehdy, když x y + = a ve všech ostatních bodech R je f(x, y) >. To znamená, že funkce f nabývá ve všech bodech paraboly y = (x + ) svého neostrého minima. Poznámka.39. Je zřejmé, že příklad.38 jsme mohli vyřešit pouhou úvahou. Jak jsme již uvedli, je obor funkčních hodnot funkce funkce f(x, y) = (x y +) interval, + ) a minimum funkce f je. Platí (x y + ) = x y + = a to znamená, že funkce f nabývá svého neostrého minima ve všech bodech paraboly y = (x + ). Příklad.4. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = 3 (x y). Řešení: Funkce f je definována v celém R. Její první parciální derivace jsou f(x, y) x = 3 3 x y, f(x, y) y = 3 3 x y. Je zřejmé, že parciální derivace funkce f neexistují pro body (x, y), které leží na přímce y = x. Všechny tyto body jsou vratkými body funkce f a to znamená, že funkce f může v těchto bodech mít lokální extrém. Oborem hodnot funkce f je interval (,, přičemž f(x, y) = právě tehdy, když y = x, a ve všech ostatních bodech R je f(x, y) <. To znamená, že funkce f(x, y) = 3 (x y) ve všech bodech přímky y = x nabývá svého neostrého lokálního maxima. (Při řešení tohoto příkladu jsme mohli postupovat analogickým způsobem podle poznámky.39). Příklad.4. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 3 +y +z +xy+z.

10 ZDENĚK ŠIBRAVA Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R 3. Lokální extrémy může mít tedy pouze ve stacionárních bodech. f(x, y, z) = 3x + y, x Odtud f(x, y, z) y = y + x, 3x + y =, y + x =, z + =. f(x, y, z) z = z +. Z poslední rovnice dostáváme z =. Z druhé rovnice vyjádříme y = 6x a dosadíme do první. Dostaneme kvadratickou rovnici x 4x =. Odtud x =, x = 4. Funkce má dva stacionární body P = (,, ) a P = (4, 44, ). O tom, zda v těchto bodech má funkce lokální extrém, rozhodneme na základě znamének D, D a D 3, kde Protože D = f xx (P ), D 3 = det f(x, y, z) x = 6x, ( fxx (P ) f D = det xy (P ) f yx (P ) f yy (P ) f xx(p ) f xy (P ) f xz (P ) f yx (P ) f yy (P ) f yz (P ) f zx (P ) f zy (P ) f zz (P ) f(x, y, z) y =, f(x, y, z) f(x, y, z) =, =, x y x z dostáváme pro P = (,, ) ( ) D =, D = det = 4, D 3 = det ), f(x, y, z) z =, f(x, y, z) y z =, = 48. Protože D < a dále D 3, nemá funkce f v bodě P = (,, ) lokální extrém. Pro P = (4, 44, ) je D = 44, ( 44 D = det ) = 44, D 3 = det 44 = 88. Protože D >, D >, D 3 >, má funkce f v bodě P = (,, ) lokální extrém, a to minimum. Jeho hodnota je f(4, 44, ) = 693. V příkladech.4.57 najděte lokální extrémy daných funkcí. Příklad.4. f(x, y) = (x + ) + y. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) =

11 Příklad.43. f(x, y) = x 3 6x 6xy + 6y + 3y. Výsledek: PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Ostré lok. min. f(, ) = 7 Příklad.44. f(x, y) = x + y xy x y +. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = Příklad.45. f(x, y) = 7x y + 4y 3 69y 54x. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = 8, ostré lok.max. f(, ) = 8 Příklad.46. f(x, y) = x y + x 4y. Výsledek: Příklad.47. f(x, y) = x 3 + y 3 8xy + 5. Výsledek: Funkce nemá lok. extrémy Ostré lok. min. f(6, 6) = Příklad.48. f(x, y) = e x y (x + y ). Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) =, lok. max. / e v bodech kružnice x + y = Příklad.49. f(x, y) = (x y + ). Výsledek: Funkce má neostré lok. max. ve všech bodech přímky x y + = Příklad.5. f(x, y) = x ( + y ). Výsledek: Funkce má neostré lok. min. ve všech bodech přímky x = Příklad.5. f(x, y) = 3 (x + y ). Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = Příklad.5. f(x, y) = 3 x y. Výsledek: Funkce nemá lok. extrémy Příklad.53. f(x, y, z) = x + y + z + zy z + y x. Výsledek: Ostré lok. min. f(,, ) = Příklad.54. f(x, y, z) = x 3 + 3x + y + z + xy + 5x + 4y + 4z + 7. Výsledek: Ostré lok. min. f(3, 45, ) = 693 Příklad.55. f(x, y, z) = xyz(4 x y z). Výsledek: Ostré lok. min. f(,, ) = Příklad.56. f(x, y, z) = x + y + z xy xz. Výsledek: Funkce nemá lok. extrémy Příklad.57. f(x, y, z) = (3x + y + z) e x y z. Výsledek: Ostré lok. max. f(3 7/4, 7/7, 7/4) = 7 e /, Ostré lok. min. f( 3 7/4, 7/7, 7/4) = 7 e /... Vázané extrémy funkcí dvou proměnných. Příklad.58. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = x + y + 6 vázané na podmínku x + y 5 =.

12 ZDENĚK ŠIBRAVA 8 z yx 4 4 Obr. 4 Řešení: Pro pochopení vázaného lokálního extrému si představme, že se pohybujeme po nějaké ploše (grafu nějaké funkce dvou proměnných f) po cestě, jejíž kolmý průmět do roviny xy je dán rovnicí g(x, y) =. V našem případě se pohybujeme po nakloněné rovině z = x + y + 6 po cestě (elipse), jejímž kolmým průmětem do roviny xy je kružnice x + y = 5 (Obr. 4). Nás zajímá minimální a maximální nadmořská výška, do které se na naši cestě dostaneme (obecně nás zajímají všechna taková místa, kde po sestupu začneme opět stoupat a naopak, kde po stoupání začneme opět klesat), tj. hledáme lokální extrémy funkce f vázané na podmínku g(x, y) =. Tyto extrémy můžeme najít např. následujícím způsobem. Najdeme body P, ve kterých jsou vektory f a g rovnoběžné, tedy platí, že jeden je nějakým λ-násobkem druhého, tj. platí f(p ) = λ g(p ). Spolu s podmínkou, že P je bod, který leží na naší cestě, tj. g(p ) =, dostáváme (je f(x, y) = (, ) a g(x, y) = (x, y)) (5) = λx, = λy, x + y 5 =. ůžeme postupovat také tak, že si setrojíme tzv. Lagrangeovu funkci Φ(x, y) = x + y + 6 λ(x + y 5), kde λ je pevné, zatím neznámé číslo. Pro ukázněné turisty, tj. pro takové, kteří neopustí vyznačenou cestu (tj. platí x + y 5 = ), jsou funkce f a Φ totožné. Nyní budeme hledat lokální extrémy této nové funkce Φ. Jelikož funkce Φ má spojité parciální derivace v celém R, může mít extrémy

13 pouze ve svých stacionárních bodech. Φ(x, y) x PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 = λx, Φ(x, y) y = λy. Jak už bylo řečeno, jsme ukáznění turisté, a proto nás zajímají body, ve kterých se parciální derivace funkce Φ rovnají nule, ale navíc, tyto body musí ležet na naší cestě, tedy musí splňovat podmínku x + y 5 =. Odtud dostáváme soustavu tří rovnic pro neznámé x, y a λ λx =, λy =, x + y 5 =, která je totožná se soustavou (5). Vyjádříme-li z první rovnice x = /λ, z druhé y = /(λ) a dosadíme-li do třetí, dostaneme a λ = x = y =, λ = x = y =. Funkce Φ má dva stacionární body vázané na podmínku x + y 5 =, a to P = (, ), kde λ = / a P = (, ), kde λ = /. Dále je Φ(x, y) x = λ, Φ(x, y) y = λ, Φ(x, y) x y =. Potom pro P = (, ) a λ = / je ( ) D = det = > funkce má v bodě P = (, ) extrém. Protože v bodě P = (, ) je Φ(P )/ x = >, má funkce Φ v tomto bodě ostré lokální minimum vázané na podmínku x + y 5 =. Pro P = (, ) a λ = / je ( ) D = det = > funkce má v bodě P = (, ) extrém. Protože v bodě P = (, ) je Φ(P )/ x = <, má funkce Φ v tomto bodě ostré lokální maximum vázané na podmínku x + y 5 =. Jak už bylo řečeno, pro všechna (x, y) = {(x, y) R : x + y 5 = } je Φ(x, y) = f(x, y). To ovšem znamená, že funkce Φ a f mají tytéž vázané extrémy vzhledem k množině, tj. funkce f má dva lokální extrémy vázané na podmínku x + y 5 = a to ostré lokální minimum f(, ) = = a ostré lokální maximum f(, ) = =. Příklad.59. Najděme lokální extrém funkce f(x, y) = 6 + xy vázaný na podmínku x y =.

14 4 ZDENĚK ŠIBRAVA 4 z y -4 - x 4 Obr. 5 Řešení: Budeme postupovat podobně jako v příkladu.58. Sestrojíme Lagrangeovu funkci a budeme vyšetřovat její extrémy vázané na podmínku x y = : Φ(x, y) = 6 + xy λ(x y ). Potom Φ(x, y) Φ(x, y) = y λ, = x + λ. x y Hledáme stacionární body funkce Φ takové, aby současně splňovaly podmínku x y =, tj. řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých y λ =, x + λ =, x y =. Odtud dostáváme, že λ = a x =, y =, tj. funkce Φ má jeden stacionární bod vázaný na podmínku x y =. Protože dostáváme Φ(x, y) x =, Φ(x, y) y =, ( D = det ) = <. Φ(x, y) x y =, Z této podmínky ale vyplývá, že funkce Φ nemá v bodě P = (, ) extrém. Otázkou je, co můžeme v této chvíli usoudit o extrému funkce f vázaného na podmínku x y =. Podívejme se předně na Obr. 5. Jako turisté se tentokrát pohybujeme po úbočí horského sedla, tj. po hyperbolickém paraboloidu z = 6 + xy po cestě, jejímž kolmým průmětem do roviny xy

15 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 je přímka x y =. esta, po které se skutečně pohybujeme, má tvar paraboly, kdy nejdříve klesáme až do vrcholu paraboly a poté začneme na cestě opět stoupat. Je tedy zřejmé, že na naší cestě zcela jistě dosáhneme ostrého lokálního minima (jisté minimální nadmořské výšky). K rozhodnutí, zda v bodě P = (, ) má funkce f skutečně extrém vázaný na podmínku x y =, bychom potřebovali znát některé další informace o vyšetřování vázaných extrémů. y však budeme většinou vyšetřovat absolutní extrémy funkcí na množině (Příklad.67), kde nám stačí nalézt pouze body podezřelé z vázaných extrémů (kritické body) a ty uvedenou metodou dokážeme nalézt. Přesto si ukažme, jak v některých jednodušších případech dokážeme rozhodnout o existenci vázaných extrémů. Položme x = t. Protože y = x a z = 6+xy, je y = t a tedy z = 6+t(t ). Potom ψ(t) = (t, t, 6 + t(t )), kde t R, není nic jiného, než parametrizace té paraboly, po které se ve skutečnosti pohybujeme. x a y jsou vlastně naše souřadnice, které bychom našli na mapě a souřadnice z nám určuje naši nadmořskou výšku. Jak jsme již uvedli v příkladu.58, nás zajímá minimální a maximální nadmořská výška, do které se na naší cestě dostaneme. Už víme, že tuto nadmořskou výšku popisuje právě z-tová souřadnice křivky, po které se pohybujeme, tedy funkce z = h(t), kde h(t) = 6 + t(t ). Její extrémy dokážeme nalézt snadno. Je h (t) = t t = t =. Protože h (t) = >, má funkce h v bodě t = lokální extrém a to minimum. Na naší cestě tedy dosáhneme minimální nadmořské výšky h() = 6 + ( ) = 5 a to v bodě, jehož souřadnice jsou (, ) = (, ). Tímto způsobem jsme tedy našli lokální extrém funkce f(x, y) = 6 + xy vázaný na podmínku x y =. Funkce má jeden vázaný lokální extrém (minimum) v bodě P = (, ) a je f(, ) = 5. Druhý způsob, který jsme použili pro hledání vázaných extrémů funkcí dvou proměnných, se dá dobře použít v případě, že se nám podaří jednoduchým způsobem parametricky vyjádřit křivku, po které se na ploše pohybujeme. V opačném případě je pro nalezení kritických bodů vhodnější použít metodu Lagrangeových multiplikátorů. V příkladech.6.66 najděte lokální extrémy daných funkcí vázaných na danou podmínku. Příklad.6. f(x, y) = x + y, x y + 5 =. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = 5 Příklad.6. f(x, y) = x + y, x + y =. Výsledek: Ostré lok. max. f(/ 5, / 5) = 5/, Ostré lok. min. f( / 5, / 5) = 5/

16 6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.6. f(x, y) = xy x + y, x + y =. Výsledek: Ostré lok. max. f( /, 3/) = /4 Příklad.63. f(x, y) = 3x y, y = x 3 +. Výsledek: Ostré lok. max. f(, ) =, Ostré lok. min. f(, ) = 3 Příklad.64. f(x, y) = x y, y = e x. Výsledek: Ostré lok. max. f(, e ) = 4 e, Ostré lok. min. f(, ) = Příklad.65. f(x, y) = +, 4x + y = 6 x y. x y Výsledek: Ostré lok. max. f(3, 6) = /6, Ostré lok. min. f(, ) = 3/ Příklad.66. f(x, y) = x y, x + y =. Výsledek: Ostrá lok. max. f(±, ) =, Ostrá lok. min. f(, ±) =..3. Globální extrémy funkcí dvou a tří proměnných. Příklad.67. Najděme globální extrémy funkce f(x, y) = x 4x + y y na množině = {(x, y) R : x y x + y }. Řešení: Při hledání globálních (absolutních) extrémů spojité funkce f na uzavřené množině budeme postupovat následujícím způsobem: (i) Najdeme všechny kritické body na. (ii) Najdeme všechny kritické body funkce f vázané na hranici h množiny. (iii) Najdeme všechny body, ve kterých se h láme (ke křivce v tomto bodě nelze sestrojit tečnu). (iv) Ve všech těchto nalezených bodech vypočítáme funkční hodnotu funkce f. Největší, resp. nejmenší z těchto hodnot je globální maximum, resp. globální minimum funkce f na množině. V našem případě je množina kruhová výseč o poloměru se středem v počátku, ohraničená přímkami y = x a y = x, přičemž x (Obr. 6). Hledejme stacionární body funkce f. f(x,y) x = x 4, x 4 =, f(x,y) y = y, y =. Odtud A = (, ). Nyní najdeme kritické body na hranici h množiny. Tato hranice je sjednocením tří křivek (část kružnice x + y = ), (část přímky y = x) a 3 (část přímky y = x), přičemž tyto křivky se postupně protnou v bodech (, ), (, ), (, ). Body podezřelé z extrémů vazaných na podmínku x + y = najdeme metodou Lagrangeových multiplikátorů. Hledáme takový bod A = (x, y) (splňující podmínku g(x, y) = ) a takový skalár λ, pro který platí f(a) = λ g(a).

17 PŘÍKLADY K ATEATIE x - -4 Obr. 6 Protože f(x, y) = (x 4, y ) a g(x, y) = (x, y), je A řešením soustavy x 4 λx =, y λy =, x + y =. Vyjádříme-li z první rovnice x = /( λ), z druhé y = /( λ) a dosadíme-li do třetí, dostaneme dva body (4, ) a ( 4, ). Druhý bod však nepatří do množiny a proto jej z dalších úvah vyřadíme. Dostáváme tedy další bod A = (4, ), ve kterém může mít funkce f na množině extrém. Dále najdeme body, ve kterých může mít funkce f extrém vázaný na podmínku y = x. Označme x = t. Potom y = t a dosazením do z = x 4x + y y dostaneme z = t 6t. Funkce h(t) = t 6t, t, má jeden bod podezřelý z extrému t = 3/. Dalším bodem, ve kterém může mít funkce f na množině extrém, je tedy bod A 3 = (3/, 3/). Stejným způsobem najdeme bod podezřelý z extrému funkce f na vazbu y = x. Dostaneme bod A 4 = (/, /). Posledními podezřelými jsou body, ve kterých se hranice množiny láme. To jsou již dříve zmíněné průsečíky jednotlivých křivek, tj. body A 5 = (, ), A 6 = (, ), A 7 = (, ). Nyní vypočítáme funkční hodnoty funkce f v bodech A až A 7. f(, ) = 5, f(4, ) =, f ( 3, ) 3 = 9, f (, ) =, f(, ) =, f(, ) =.633, f(, ) =

18 8 ZDENĚK ŠIBRAVA Funkce f má maximum v bodě A 7 = (, ) a minimum 5 v bodě A = (, ). Příklad.68. Na elipse, která je průnikem válcové plochy x + y = a roviny x + y + z =, najděme body, jejichž druhá mocnina jejich vzdálenosti od počátku je největší, resp. nejmenší. Řešení: Pro vzdálenost bodu (x, y, z) od počátku platí x + y + z, přičemž ze všech bodů R 3 nás zajímají pouze takové body, které leží na válcové ploše x +y = a současně v rovině x+y+z =. Naším úkolem je tedy nalézt absolutní extrémy funkce f(x, y, z) = x + y + z vázané na dvě podmínky x + y = (g (x, y, z) = ) a x + y + z = (g (x, y, z) = ). Hledáme tedy takový bod (x, y, z), pro který je (6) (7) (8) (9) () f(p ) = λ g (P ) + µ g (P ) a současně g (x, y, z) =, g (x, y, z) =. Protože f = (x, y, z), g = (x, y, ) a g = (,, ) dostáváme x λx µ =, y λy µ =, z µ =, x + y =, x + y + z =, což je soustava pěti nelineární rovnic o pěti neznámých. Za předpokladu, že λ z rovnic (6), (7), (8) dostaneme µ () x = ( λ), y = µ ( λ), z = µ. Dosazením do (9) a () a úpravou pak Odtud pak µ = ( λ), µ = ( λ) 3 λ. λ = 3 ±, µ = ( ± ). Odtud pak dosazením do () ( P =,, + ), P = (,, ). Pro λ = dostaneme z (6) a (7) µ =, z (8) z = a z (9) a () pak x = y = a x = y =. Dalšími kritickými body jsou tedy P 3 = (,, ), P 4 = (,, ). V takovýchto úlohách bývá právě řešení těchto soustav největším problémem. Proto doporučujeme pro jejich řešení použít některý z vhodných programů (athematica, aple, atlab).

19 Protože PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 f(p ) = + ( + ) = , f(p ) = + ( ) =.757 f(p 3 ) = f(p 4 ) = je P = ( /, /, + ) bod elipsy, jehož vzdálenost od počátku je největší a P 3 = (,, ) a P 4 = (,, ) body elipsy, jejiž vzdálenost od počátku je nejmenší. Příklad.69. Najděme absolutní extrémy funkce f(x, y, z) = x+y+z na množině = {(x, y, z) R 3 : x y + z }. Řešení: Protože hledáme extrémy spojité funkce na uzavřené množině, máme zaručeno, že tyto extrémy budou existovat. Při hledání kritických bodů budeme postupovat následovně: (i) Funkce f nemá žádné stacionární body v R 3, tedy ani v. (ii) Najdeme stacionární body funkce f vázané na podmínku y + z x =. (iii) Najdeme stacionární body funkce f vázané na podmínku x =. (iv) Najdeme stacionární body funkce f vázané na podmínky x = a y + z x =, tj. vyšetříme množinu bodů, ve kterých se hranice h množiny láme. V případě (ii) použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů, tj. hledáme bod P a skalár λ, aby f(p ) = λ g (P ) a současně g (P ) =, kde g (x, y, z) = y + z x. Protože f = (,, ), g = (, y, z), dostáváme + λ =, λy =, λz =, y + z x =. Odtud dostáváme první kritický bod P = (,, ). V případě (iii) postupujeme analogicky (podmínka vazby je dána vztahem x = ). Zde nenajdeme žádný kritický bod. V posledním případě opět použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů, tentokrát však pro dvě vazby, tj. hledáme bod P a skaláry λ a µ takové, aby f(p ) = λ g (P ) + µ g (P ) a současně g (P ) = a g (P ) = (g (x, y, z) = x ). Budeme tedy řešit soustavu + λ µ =, λy =, λz =, y + z x =, x =. Jejím řešením získáme tentokrát dva kritické body P = ( ) P 3 =,, ( ),, a

20 ZDENĚK ŠIBRAVA Protože f(p ) =, f(p ) = + a f(p 3 ) = je zřejmé, že funkce f nabývá na množině svého maxima f (, /, / ) = + a minima f (/, /, /) =. V příkladech.7 až.87 najděte extrémy (absolutní) daných funkcí na daných množinách. Příklad.7. f(x, y) = x 4 + y 4, = {(x, y) R : x + y }. Výsledek: max. f(±, ) = f(, ±) =, min. f(, ) = Příklad.7. f(x, y) = x 3 + y 3, = {(x, y) R : x + y }. Výsledek: max. f(, ) = f(, ) =, min. f(, ) = f(, ) = Příklad.7. f(x, y) = x + 4x + y y 3 = {(x, y) R : x + y }. Výsledek: max. f(4, ) = 37, min. f(, ) = 8 Příklad.73. f(x, y) = x 4x + y y + 3 = {(x, y) R : x + y 5}. Výsledek: max. f(, ) = 8, min. f(, ) = Příklad.74. f(x, y) = x + y + 4x 4y, = {(x, y) R : x y 3}. Výsledek: max. f(, ) = 4, min. f(, ) = 6 Příklad.75. f(x, y) = x + y x + 6y, = {(x, y) R : x 7 4 y 4}. Výsledek: max. f(, 4) = 8, min. f(6, 4) = 84 Příklad.76. f(x, y) = x xy + y, = {(x, y) R : x y x y x}. Výsledek: max. f(, ) = f(, ) = 4, min. f(/, /) = /4 Příklad.77. f(x, y) = x + y xy + x 4y +, = {(x, y) R : x y x}. Výsledek: max. f(, ) = 7, min. f(3/4, 3/4) = /8 Příklad.78. f(x, y) = x + y xy x + 4y, = {(x, y) R : x x y }. Výsledek: max. f(, ) = 5, min. f( 3/4, 3/4) = 7/8 Příklad.79. f(x, y) = x + xy 4x + 8y, kde je ohraničená přímkami x =, y =, x =, y =. Výsledek: max. f(, ) = 7, min. f(, ) = 3 Příklad.8. f(x, y) = x 3 +4x +y xy, = {(x, y) R : y x y 4}. Výsledek: max. f(±, 4) = 3, min. f(, ) = Příklad.8. f(x, y) = x + y + 4x 6y 4, = {(x, y) R ; x y x + y 5}. Výsledek: max. f( 6, 6) = 48 6, min. f(, 3) = 7

21 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Příklad.8. f(x, y) = x +y +6x y, kde je trojúhelník s vrcholy v bodech (, ), (, 6), (, ). Výsledek: max. f(, ) =, min. f( 9/5, /5) = 9/5 Příklad.83. f(x, y) = x +y +x 6y, kde je trojúhelník s vrcholy v bodech (, ), ( 6, ), (, ). Výsledek: max. f(, ) =, min. f( 4, ) = 9 Příklad.84. f(x, y) = cos x cos y cos (x + y), = {(x, y) R : x π y π}. Výsledek: max. f(, ) = f(π, ) = f(π, π) = f(, π) =, min. f(π/3, π/3) = f(π/3, π/3) = /8 Příklad.85. f(x, y, z) = xyz, kde je polokoule x + y + z 3, z. Výsledek: max. f(,, ) = f(,, ) =, min. f(,, ) = f(,, ) = Příklad.86. f(x, y, z) = x + y + z, kde je elipsoid x + y + z. Výsledek: max. f(/, /, ) =, min. f( /, /, ) = Příklad.87. f(x, y, z) = x y + z, kde je čtyřstěn x + y + z, x, y, z. Výsledek: max. f(,, ) = f(,, ) =, min. f(,, ) = Příklad.88. Na elipse x + y = najděte bod, který je nejblíže, resp. nejdále 4 9 od přímky 3x y 9 =. Výsledek: (4/ 5, 3/ 5), ( 4/ 5, 3/ 5) Příklad.89. Na hyperbole x y = 4 najděte bod, který je nejblíže, bodu (, ). Výsledek: ( 5, ), ( 5, ) Příklad.9. ezi všemi pravoúhlými trojúhelníky daného obsahu najděte ten, který má nejmenší obvod. Výsledek: Rovnoram. trojúh. Příklad.9. V rovině R najděte takový bod, aby součet čtverců jeho vzdáleností od přímek x =, y =, x y + = byl co nejmenší. Výsledek: ( /4, /4) Příklad.9. V rovině x + z 3 = najděte takový bod, aby součet čtverců jeho vzdáleností od bodů (,, ) a (,, ) byl co nejmenší. Výsledek: ( 3/4,, 9/4) Příklad.93. V rovině x + y z = najděte takový bod, aby součet čtverců jeho vzdáleností od rovin x + 3z = 6 a y + 3z = byl co nejmenší. Výsledek: (3,, ) Příklad.94. ezi všemi kvádry vepsanými do elipsoidu s poloosami a, b, c najděte ten, který má maximální objem. Vypočítejte tento objem. Výsledek: 8abc/(3 3) Příklad.95. ezi všemi hrnci o stejném povrchu S najděte ten, který má největší objem. Výsledek: R = S/(3π), v = S/(3π), V = S 3 /(7π) Příklad.96. Do polokoule o poloměru R vepište kvádr největšího objemu. Výsledek: Kvádr o hranách R/ 3, R/ 3, R/ 3

22 ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku (dvojrozměrném intervalu) 3+y spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme dvojný integrál na dvojnásobný integrál (přičemž nezáleží na pořadí, ve kterém budeme integrovat) a postupnou integrací dostaneme x 3 + y da = 3 = π 3 8 x 3 [ x dy dx = arctg y ] y= dx = 3 + y 3 3 y= 3 x dx = π 3 Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x sin y da, kde =,, π/. Řešení: Funkce f(x, y) = x sin y je na spojitá. Pomocí Fubiniovy věty opět převedeme dvojný integrál na dvojnásobný. Protože meze pro x i y jsou konstantní, opět nezáleží v jakém pořadí budeme integrovat. Postupně dostaneme. π/ x sin y da = x sin y dx dy = = 3 π/ sin y dx = 3. π/ [ x sin y ] y= y= dx = Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde =,,. Výsledek: 4

23 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál e x y da, PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 kde =,, 4. Výsledek: 8(e ) Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál ( + x + y) da, 3 kde =,, 4. Výsledek: 9 Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál x y e xy da, kde =,,. Výsledek: Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál xy sin (x + y) da, kde =, π, π/. Výsledek: 4 π,5 x -,5,5,5 -,5 - -,5 - Obr. 7 Příklad.8. Vypočítejme dvojný integrál xy da,

24 4 ZDENĚK ŠIBRAVA kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x x. Řešení: je ohraničená přímkou y = x a parabolou y = x x (Obr. 7). Souřadnice průsečíků obou křivek získáme řešením soustavy dvou rovnic y = x, y = x x. Řešením této soustavy zjistíme, že křivky se protnou v bodech (, ) a (, ). Funkce f(x, y) = xy je na spojitá a je zřejmé, že pro libovolné x, je x y x x. Užitím Fubiniovy věty pak dostáváme xy da = = x x x xy dy dx = Příklad.9. Vypočítejme dvojný integrál x y da, [ ] y=x x xy y= x (x(x x ) x 3 ) dx = 6 5. kde je množina ohraničená křivkami y = x, y = x a x = 3. dx = Řešení: nožina je část roviny ohraničená přímkami y = x, x = 3 a hyperbolou y = (Obr. 8). x 3,5 3,5 y,5,5,5,5,5 3 x Obr. 8 3,5

25 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 Vyšetřením průsečíků křivek, které tvoří hranici množiny a také z obrázku je zřejmé, že pro všechny body (x, y) množiny je x, 3 a y x. Protože x funkce f(x, y) = x je na spojitá můžeme použít Fubiniovu větu. Potom y x y da = = 3 x /x 3 x 3 dy dx = y ( x + x 3 ) dx = Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x y da, ] y=x [ x y y=/x dx = ] 3 [ x + x4 = 6. 4 kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Řešení: nožina je ohraničena parabolou y = x a přímkou y = x (Obr. 9), přičemž hraniční křivky se protnou v bodech (, ), a (4, ) y - 3 x 4 - Obr. 9 Z obrázku je patrné, že v tomto případě bude lepší dvojný integrál převést pomocí Fubiniovy věty na dvojnásobný tak, abychom integrovali nejdříve podle x a teprve pak podle y. V opačném případě bychom totiž museli množinu rozdělit na dvě množiny, a to na, kde x, a x y x a na, kde x, 4 a x y x. V případě, že zaměníme pořadí integrace, platí pro, že y, a y x y +. Potom

26 6 ZDENĚK ŠIBRAVA -,5 y -,5,5 x -,5 -,4, z,8,6,4 -, -,5 x - -,5,5 y Obr. Obr. x y da = = y+ y x y dx dy = [ ] x=y+ 3 x3 y dy = x=y 3 y ( (y + ) 3 y 6) dy = Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde je množina ohraničená křivkou x + y =. Řešení: Hraniční křivkou množiny je lomená čára, s vrcholy v bodech (, ), (, ), (, ) a (, ), (Obr. ). Funkce f(x, y) = x + y je na množině spojitá a nezáporná. Z definice dvojného integrálu f(x, y) da víme, že jeho geometrickým významem (za předpokladu, že funkce f je na spojitá a nezáporná) je objem válcového tělesa (Obr. ) Ω = { (x, y, z) R 3 : (x, y) z f(x, y) }. Těleso, jehož objem máme počítat (část hranolu jehož osa je rovnoběžná s osou z), je symetrické podle rovin x = a y =. Stačí tedy počítat pouze přes část množiny ležící v. kvadrantu. Výsledný integrál bude čtyřnásobkem takto

27 vypočítaného integrálu. Je tedy x (x + y ) da = 4 (x + y ) dy dx = 4 = 4 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 (x ( x) + ( x)3 3 Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál (x + y) da, ] y= x [yx + y3 dx = 3 y= ) dx = 3. kde = {(x, y) R : x y x + y 3}. Výsledek: 7/ Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál xy y da, kde = {(x, y) R : y y x y}. Výsledek: 6 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál y x + y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: ln (5/4) Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál e x/y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x, x = a y =. Výsledek: / Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál (x + y ) da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: 33/4 Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x x + a y = x +. Výsledek: 79/8

28 8 ZDENĚK ŠIBRAVA,5,5-3 - y - 3 -,5 x - -,5 Obr. Příklad.8. Vypočítejte dvojný integrál 4x y da, kde je trojúhelník s vrcholy (, ), (, ), (, ). Výsledek: 8 (3 3 + π) Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál x(y ) da, kde = {(x, y) R : x + y y x + y }. Výsledek: / Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = { (x, y) R : x + 4y 8 y x } (Obr. ). Výsledek: Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x + y da, kde = { (x, y) R : x + y 4 x y 3x }.

29 PŘÍKLADY K ATEATIE x - - Obr. 3 Řešení: Při výpočtu tohoto integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic () x = r cos φ, y = r sin φ a J = r. V našem případě je (Obr. 3) obrazem obdélníku N =, π/4, π/3 jak zjistíme dosazením za x a y z () do nerovnic popisujících množinu x + y 4, x y 3x, r cos φ + r sin φ 4, r cos φ r sin φ 3r cos φ, r, tg φ 3, π 4 φ π 3. Použitím věty o substituci ve dvojném integrálu a Fubiniovy věty pak dostaneme x + y da = N r r da = π/3 π/4 r dρ dφ = π/3 π/4 [ r 3 3 ] dφ = = π/3 π/4 7 3 dφ = 7 36 π. Příklad.. Vypočítejme objem tělesa, které je ohraničeno plochami x + y = x + y, z = x + y a z =. Řešení: Těleso, jehož objem máme nalézt, je část rotačního válce určeného řídicí kružnicí x + y = x + y, zdola ohraničeného rovinou z = a shora rovinou z = x + y. (Obr.4)

30 3 ZDENĚK ŠIBRAVA,5,5 z,5 -,4 x-,4,8 -,5,,4 y,8, Obr. 4 Jak víme již z příkladu., je objem takového tělesa číselně roven hodnotě dvojného integrálu (x + y) da, kde = { (x, y) R : x + y x + y }. Doplněním na čtverec a úpravou můžeme podmínku x + y x + y upravit na tvar ( (3) x ( + y ) ). Z (3) je zřejmé, že množina je kruh se středem v bodě (/, /) a poloměrem / (Obr. 5). Dvojný integrál (x + y) da budeme opět počítat pomocí substituce do polárních souřadnic. (Tato substituce převádí integraci přes kruh na integraci přes dvojrozměrný interval.) V našem případě však posuneme těleso tak, aby střed řídicí kružnice byl počátek. Toho dosáhneme tak, že substituci do polárních souřadnic budeme volit ve tvaru (4) x = + r cos φ, y = + r sin φ a J = r. Dosazením do (3) dostaneme ( x ) + ( y ), ( + r cos φ ( ) + + r sin φ r. ),

31 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3,,8,4,4 x,8, Obr. 5 Pro φ jsme nedostali žádnou omezující podmínku, je tedy φ π. Potom (x + y) da = π / ( r + r (cos φ + sin φ) ) dr dφ = = = π π [ r + r3 (cos φ + sin φ) 3 ( 4 + (cos φ + sin φ) ] r= / r= ) dφ = dφ = π. Při počítání objemu jsme mohli místo substituce pomocí posunutých polárních souřadnic (4) použít substituci (). Dosazením () do podmínky x +y x + y postupně dostaneme r (cos φ + sin φ) r(cos φ + sin φ), r (cos φ + sin φ). Z podmínky r cos φ + sin φ pak plyne π φ 3π. Odtud 4 4 3π/4 cosφ+sin φ ( (x + y) da = r (cos φ + sin φ) ) dr dφ = = 3 π/4 3π/4 (cos φ + sin φ) 4 dφ = π. π/4

32 3 ZDENĚK ŠIBRAVA V tomto případě je však výpočet posledního integrálu složitější než při substituci (4).,5 - -,5 x,5 -,5 - Obr. 6 Příklad.3. Vypočítejme obsah množiny, která je ohraničená lemniskátou (x + y ) = x y (Obr. 6). Řešení: Pro obsah množiny platí µ() = da, kde v našem případě je = { (x, y) R : (x + y ) x y }. Z rovnice lemniskáty je vidět, že tato křivka je symetrická podle osy x i podle osy y (je sudá v obou proměnných). Při výpočtu obsahu plochy ohraničené touto křivkou stačí počítat obsah pouze té části, která leží v prvním kvadrantu a výsledek násobit čtyřmi. Pro výpočet integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic. Dosazením () do nerovnice určující dostaneme (5) (x + y ) x y, r 4 r (cos φ sin φ), r cos φ sin φ = cos φ. Z podmínky (5) dostáváme r cos φ a dále (6) cos φ, tj. φ π 4, π 4 3π 4, 5π 4.

33 PŘÍKLADY K ATEATIE y x Obr. 7 Podle předpokladu počítáme obsah pouze té části, pro kterou je x a y, tj. cos φ sin φ φ, π. Spolu s (6) tedy dostáváme φ, π. Potom 4 π/4 cos φ µ() = da = 4 r dr dφ = Příklad.4. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde = { (x, y) R : x 9 + y 4 }. π/4 cos φ dφ =. Řešení: Protože v tomto případě je množina ohraničená elipsou (Obr. 7), bude výhodné použít substituci pomocí zobecněných polárních souřadnic (7) x = ar cos φ, y = br sin φ a J = abr, V zobrazení (7) (uvažovaném na množině (, + ) (, π)) má elipsa x /a + y /b = rovnici r =. Při výpočtu integrálu opět stačí, budeme-li integrovat pouze přes část, která leží v prvním kvadrantu. Použitím substituce (7), kde a = 3, b =, tj. x = 3r cos φ, y = r sin φ a J = 6r,

34 34 ZDENĚK ŠIBRAVA 3 z yx 3-3 Obr. 8 a dosazením do (za podmínky x, y ) dostaneme r, φ π. Odtud µ() = ( x + y ) da = 4 π/ ( 9r cos φ + 4r sin φ ) 6r dr dφ = = 6 π/ ( 9 cos φ + 4 sin φ ) dφ = 39 π. Příklad.5. Vypočítejme obsah části kuželové plochy z = x + y, kterou z ní vytne parabolický válec z = x (Obr. 8). Řešení: Víme, že pro obsah S plochy P, která je částí grafu funkce z = f(x, y), (x, y) platí ( ) ( ) f f (8) S = + + da. x y V našem případě je plocha částí grafu funkce f(x, y) = x + y. Hranici množiny najdeme jako (pravoúhlý) průmět průniku ploch z = x + y a z = x do roviny z = x = x + y, tj, x + y = x, z =.

35 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 35 Je tedy = { (x, y) R : (x ) + y }. nožina je tedy kruh se středem v bodě (, ) a poloměrem. Dále je a odtud f(x, y) x = x x + y, f(x, y) y + ( ) f + x = ( ) f =. y y x + y Substitucí do polárních souřadnic () dostaneme π/ cos φ S = da = r dr dφ = π. π/ Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál ( 3x y) da, kde = {(x, y) R : x + y 4 y x}. Výsledek: π Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál ln (x + y ) da, x + y kde = {(x, y) R : x + y e y }. Výsledek: π/4 Příklad.8. Vypočítejte dvojný integrál x y + x + y da, kde = {(x, y) R : x + y x }. Výsledek: π(π )/4 Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál sin x + y da, kde = {(x, y) R : π x + y 4π }. Výsledek: 6π Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál arctg y x da, kde = { (x, y) R : 4 x + y x y 3x }. Výsledek: 5 48 π

36 36 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : x + y ax} (a > ). Výsledek: a 5 π/4 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál y da, kde = {(x, y) R : (x + y ) ay 3 } (a > ). Výsledek: 56 πa3 Příklad.33. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : (x + y ) a (x y )} (a > ). Výsledek: Příklad.34. Vypočítejte dvojný integrál x 4 y 9 da, kde = { (x, y) R : x 4 + y 9 }. Výsledek: 4π Příklad.35. Vypočítejte dvojný integrál (x y) da, kde = { (x, y) R : x + 4y 4 x y }. Výsledek: 3 ( 3) Příklad.36. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x a y = x. Výsledek: 9/ Příklad.37. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy = 9, y = x a x = 5. Výsledek: ln 3 9 ln 5 V příkladech vypočítejte obsahy množiny. Příklad.38. = {(x, y) R : (x ) + y x + (y ) }. Výsledek: (π )/ Příklad.39. = {(x, y) R : x + y x + y y}. π Výsledek: 3 3 { ( ) } Příklad.4. = (x, y) R x : + y 9 4 xy. Výsledek: 8

37 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 37 Obr. 9 V příkladech.4.47 vypočítejte objemy daných těles. Příklad.4. {(x, y, z) R 3 : 9(x ) + (y + ) z 9}. Příklad.4. {(x, y, z) R 3 : (x ) + 4(y ) z 4}. Výsledek: 7 π Výsledek: 4π Příklad.43. {(x, y, z) R 3 : x + y ax x z x} (a > ). Výsledek: πa 3 Příklad.44. { (x, y, z) R 3 : x + y (y x) z (x + ) (y ) }. Výsledek: 7 4 π Příklad.45. { (x, y, z) R 3 : x + y (x y) z 3 (x ) (y + ) }. Výsledek: Příklad.46. {(x, y, z) R 3 : 3x + 7y z 6 3x 7y }. Výsledek: 5π π Příklad.47. {(x, y, z) R 3 : 8x + y z 4 8x y }. Výsledek: π V příkladech vypočítejte objemy těles ohraničených danými plochami:

38 38 ZDENĚK ŠIBRAVA Obr. Obr. Příklad.48. x =, y =, x + y = 3, z =, z = 4x + y +. Výsledek: 45 Příklad.49. y =, y = x, z =, z = x + y. Výsledek: 88 5 Příklad.5. y = ln x, y = ln x, z =, y + z =. (Pomůcka: Platí ln n x dx = x ln n x n ln n x dx.) Výsledek: 3 e 8 Příklad.5. x + y = x, z = xy, z = (z ). Výsledek: /3 Příklad.5. x + y = y, z = x + y, z =. Výsledek: 3 π Příklad.53. x + y = a, z =, z = e x y (a > ). Výsledek: ) π ( e a Příklad.54. Vypočítejte objem tzv. Vivianiova tělesa (Obr. 9) { (x, y, z) R 3 : x + y + z a x + y ax } (a > ). Výsledek: (3π 4)a3 9 Příklad.55. Vypočítejte objem a povrch tělesa ohraničeného dvěma rotačními válcovými plochami o stejném poloměru R, jejichž osy se kolmo protínají 6 (Obr. ) a (Obr. ). Výsledek: 3 R3, 6R Příklad.56. Vypočítejte obsah části rotačního paraboloidu z = x y, kterou z něj vyřízne válcová plocha x + y =. Výsledek: 6 (5 5 )π Příklad.57. Vypočítejte obsah části hyperbolického paraboloidu z = 4 + x y, kterou z něj vyřízne válcová plocha x + y = 4. Výsledek: 6 (7 7 )π V příkladech vypočítejte obsahy daných ploch. Příklad.58. {(x, y, z) R 3 : x + 3y + 4z = x y z }. Výsledek: 6 9

39 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 39 Příklad.59. {(x, y, z) R 3 : x + y = z z xy}. Výsledek: ( 3π) 9 Příklad.6. { (x, y, z) R 3 : (x + y ) 3/ + z = z }. ( ) Výsledek: ln (3 + ) π Příklad.6. { (x, y, z) R 3 : x + y 3 = z x 9 + y 4 }. Výsledek: 4( )π Příklad.6. { (x, y, z) R 3 : x + y = z z z ( x + )}. Výsledek: 8π Příklad.63. {(x, y, z) R 3 : x + z = a z y x}. (a > ) Výsledek: a Příklad.64. {(x, y, z) R 3 : x + y + z = a x + y ax, z } (a > ). Výsledek: (π )a, (Obr. 9) Příklad.65. Vypočítejte obsah části zemského povrchu (za předpokladu, že jde o kulovou plochu o poloměru R = 6378 km), ohraničenou poledníky odpovídajícími západním zeměpisným délkám 3 a 6 a rovnoběžkami odpovídajícími severním zeměpisným šířkám 45 a 6. Výsledek: R π( 3 ) = km Fyzikální aplikace dvojného integrálu Nechť je dvourozměrná množina (rovinná deska), jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je h(x, y). (I) Hmotnost této množiny je (9) m = h(x, y) da. (II) Statický moment této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y je () S x = yh(x, y) da, resp. S y = xh(x, y) da. (III) Souřadnice těžiště této množiny (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou () x T = S y m, y T = S x m.

40 4 ZDENĚK ŠIBRAVA (IV) oment setrvačnosti této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k počátku je I x = y h(x, y) da, resp. I y = x h(x, y) da, () resp. I z = I x + I y = (x + y )h(x, y) da. Poznámka.66. V dalších příkladech budeme vždy v případě homogenní desky (tělesa) předpokládat, že h(x, y) = (h(x, y, z) = ). Příklad.67. Najděme souřadnice těžiště nehomogenní rovinné desky ohraničené kružnicí x + y = ax, a >, jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku (, ). Řešení: Víme, že h(x, y) = x + y. Protože deska je symetrická podle osy x a funkce h je sudá v proměnné y, je zřejmé, že těžiště desky bude ležet na ose x, tj. y T =. Pro určení x T potřebujeme znát celkovou hmotnost desky m a dále statický moment desky vzhledem k ose y (viz ()). Podle (9) a () je m = x + y da, S y = x x + y da. Použitím substituce pomocí polárních souřadnic () dostaneme Potom m = x + y ax, r (cos φ + sin φ) ar cos φ, r a cos φ a tedy φ π, π. x + y da = π/ a cos φ r dr dφ = a S y = = π/ π/ [ r 3 3 x x + y da = ] a cos φ π/ π/ = 8a 4 π/ dφ = 6 3 a3 a cos φ π/ cos 3 φ dφ = 3 9 a3, r 3 cos φ dr dφ = cos 5 φ dφ = 64 5 a4.

41 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 4 Podle () je tedy x T = S y m = 64a a = 6a 3 5. Příklad.68. Vypočítejme moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R vzhledem k její libovolné tečně t, jestliže její plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od tečny t. Řešení: Zvolme si souřadnicový systém tak, že střed kružnice ohraničující desku je v bodě (, R), tj. její rovnice je x + (y R) = R a tečna, ke které budeme moment setrvačnosti počítat, je osa x. Potom plošná hustota desky v každém bodě (x, y) je h(x, y) = y. Je tedy I t = I x = y h(x, y) da = y 3 da, kde = {(x, y) R : x + (y R) R }. Použitím substituce pomocí posunutých polárních souřadnic pak dostaneme I t = x = r cos φ, y = R + r sin φ a J = r, y 3 da = π R (R + r sin φ) 3 r dr dφ = 7 4 πr5. V příkladech vypočítejte souřadnice těžiště rovinných homogenních desek: Příklad.69. Deska ohraničená parabolou y = x a přímkou x = a, (a > ). Výsledek: (3a/5, ) Příklad.7. Deska ohraničená křivkami 4y = x, x + y = 3. Výsledek: (, 7/5) Příklad.7. Deska ohraničená křivkami y = x 3x, y = x. Výsledek: Příklad.7. Deska ohraničená křivkou y = x x 4, x. Výsledek: (/, /5) ( 3 π, ) 6 Příklad.73. Deska ohraničená křivkou (x + y ) = x y, (x, y ). ( Výsledek: 6, ) 5π 4 Příklad.74. Nehomogenní deska má tvar půlkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. 3 R Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. Výsledek: π Příklad.75. Nehomogenní deska má tvar čtvrtkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. 8 Výsledek: R 5 π

42 4 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.76. Vypočítejte moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R a plošné hustotě h(x, y) = x y vzhledem k přímce procházející jejím středem. Výsledek: R 6 /6 Příklad {.77. Vypočítejte moment } setrvačnosti homogenní rovinné desky (x, y) R : x + y y vzhledem k ose x. ( π Výsledek: ) Příklad.78. Vypočítejte moment setrvačnosti rovinné desky ohraničené křivkami y = 4 x a y = vzhledem k ose x, jestliže plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy y. Výsledek: 64/3 Příklad.79. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní desky ohraničené elipsou 4(x + ) + y = 4 vzhledem k ose y. Výsledek: 5π/ Příklad.8. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní rovinné desky {(x, y) R : (x + y ) a (x y )}, (a > ) vzhledem k ose x a y. Výsledek: I x = (3π 48 8)a4, I y = (3π + 8)a Trojné integrály. Příklad.8. Vypočítejme trojný integrál (x y + z) dv, kde =,,, 3. Řešení: Funkce f(x, y, z) = x y + z je na trojrozměrném intervalu spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme trojný integrál na jednoduchý integrál z dvojného integrálu (x y + z) dv = (x y + z) da dx. K výpočtu dvojného integrálu nyní použijeme opět Fubiniovu větu (pro dvojný integrál) a tím převedeme zadaný trojný integrál na trojnásobný integrál (x y + z) dv = 3 (x y + z) dz dy dx = = = ] z=3 [xz yz + z dy dx = z= [xy y + 5 y ] y= y= dx = (x + ) dx =. ( x y + 5 ) dy dx =

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více